MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ METALÜRJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

0

T.C.

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

METALÜRJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

MBM.311 MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİK YÖNTEMLER DERSİ

PROF. DR. YÜKSEL ÖNER

10. Hafta

yoner@omu.edu.tr www.omu.edu.

121

4.4.2 Kitle Varyansı Bilinmiyorken Kitle Ortalaması Hakkında Hipotez Testi (𝒕 − 𝑻𝒆𝒔𝒕𝒊) ve Güven Aralığı

𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımına sahip bir kitleyi ele alalım, 𝜎² bilinmiyor ve 𝑛 örnek hacmi de küçük olsun. Kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi hakkında hipotez testi uygulaması ve güven aralığı oluşturma süreci şu şekilde olacaktır.

i) Hipotezler oluşturulur.

𝜇 bilinmeyen kitle ortalamasını gösteren bir parametre ve 𝜇₀ ∈ 𝐼𝑅 bilinen bir reel sayı olmak üzere:

a) 𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀ b) 𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀ c) 𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀ 𝐻₁: 𝜇 < 𝜇₀ 𝐻₁: 𝜇 > 𝜇₀ 𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀ (4.9) şeklindedir. Burada (a) ve (b) tek yönlü test ve (c) çift yönlü test olarak bilinir.

ii) Kitleden rastgele 𝑛 birimlik bir örnek (𝑋₁, 𝑋₂, … . 𝑋_𝑛) çekilerek, bu örnekten bilinmeyen 𝜇 ve 𝜎² parametrelerinin yansız nokta tahmin edicileri olan istatistikler ele alınır. Örnek ortalama istatistiği ve bu istatistiğin örnekleme dağılımı elde edilir. Örnek ortalama istatistiği 𝑋 =

1

𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖 olup, bu istatistiğin örnekleme dağılımı 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎_𝑋²) şeklinde bir normal dağılımdır.

Burada 𝜎_𝑋² = ^𝜎2

𝑛 örnek ortalama istatistiğinin varyansıdır. 𝜎² parametresi bilinmediğinden örnek ortalama istatistiğinin varyansı da bilinmiyordur. 𝜎² parametresinin yansız nokta tahmin edicisi örnek varyansı 𝑆² = ¹

𝑛−1∑^𝑛_𝑖=1(𝑋_𝑖 − 𝑋)²istatistiği olup, örnek ortalama istatistiğinin varyansının tahmin edicisi 𝑆_𝑋² = ^𝑆2

𝑛 dir.

iii) Test istatistiği belirlenir. 𝐻₀ hipotezini test etmede kullanılacak olan test istatistiği kitle varyansının bilinmiyor olması nedeniyle, örnek ortalama istatistiğinin standartlaştırılması ile elde edilecek olan 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑡 − istatistiğidir. Bu sebeple bu testin adına 𝑡 − testi denilmektedir.

Test istatistiği;

𝑡 =^𝑋−𝜇

𝑆_𝑋 ~𝑡_(𝑛−1) (4.10) şeklinde tanımlıdır. Burada 𝑆_𝑋 , örnek ortalama istatistiğinin standart hata tahmini olup, 𝑆_𝑋 = ^𝑆

√𝑛 şeklinde ifade edilir. 𝑡 istatistiğinin örnekleme (olasılık) dağılımı, (𝑛 − 1) serbestlik dereceli 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑡 dağılımı olarak bilinir. Bu dağılımın ortalaması “0 (sıfır)” olup, ortalamaya göre simetrik bir dağılımdır. Bazı farklı serbestlik derecelerine göre dağılımın grafiği Şekil 4.3 de gösterilmektedir. 𝐻₀ hipotezi doğru iken test istatistiğinin alabileceği değer;

𝑡

=

𝑆_𝑋 reel sayısı olacaktır.

122

Şekil:4.4 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒕 Dağılımı Grafiği (𝒗: 𝒔𝒆𝒓𝒃𝒆𝒔𝒕𝒍𝒊𝒌 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒆𝒔𝒊) iv) Karar kuralı belirlenir ve değerlendirme yapılır. Karar kuralı araştırmacı tarafından belirlenecek olan 𝛼 önem seviyesinde 𝐻₀ ve 𝐻₁ hipotezlerinden beklentiler dikkate alınarak belirlenir.

a) 𝐻₁: 𝜇 < 𝜇₀ 𝑃(𝑡 ≤ −𝑡_{(𝑛−1);𝛼}) = 𝛼 veya 𝑃(𝑡 ≥ 𝑡_{(𝑛−1);1−𝛼}) = 1 − 𝛼 olacak şekilde

−𝑡_{(𝑛−1);𝛼} kritik değeri belirlenir (Şekil:4.4(a)). Eğer 𝑡_ℎ < −𝑡_{(𝑛−1);𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Eğer 𝑡_ℎ ≥ −𝑡_{(𝑛−1);𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez. Burada 𝑡_{(𝑛−1);1−𝛼}= −𝑡_{(𝑛−1);𝛼} dır.

b) 𝐻₁: 𝜇 > 𝜇₀ 𝑃(𝑡 ≥ 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼}) = 𝛼 olacak şekilde 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼} kritik değeri belirlenir (Şekil:4.4(b)). Eğer 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1);𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Eğer 𝑡_ℎ ≤ 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez.

c) 𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀ 𝑃(𝑡 ≤ −𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}) = 𝛼/2 ve 𝑃(𝑡 ≥ 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}) = 𝛼/2 olacak şekilde

−𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} ve 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} kritik değerleri belirlenir (Şekil:4.4(c)). Eğer 𝑡_ℎ < −𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} veya 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Eğer

−𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}≤ 𝑡_ℎ ≤ 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez.

Şekil:4.5 (a) 𝑯_𝟏: 𝝁 < 𝝁_𝟎 Şekil:4.5 (b) 𝑯_𝟏: 𝝁 > 𝝁_𝟎 Şekil:4.5 (c) 𝑯_𝟏: 𝝁 ≠ 𝝁_𝟎

v) Güven aralığı belirlenir. Kitle varyansı 𝜎² bilinmiyorken kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi için %(1 − 𝛼) güven katsayılı güven aralığı:

123

𝑃(𝑋 − 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋) = 1 − 𝛼 (4.11) eşitliği ile verilir.

ÖRNEK:4.6 Yüksek dayanımlı hafif materyallerin çoğalmasıyla golf sopalarının, tasarımı ve üretiminde köklü değişiklikler olmuştur. Oyuk kafalı ve ince yanaklı golf sopalar, özellikle orta düzey oyuncuların çok daha uzun ilk atış yapmasını sağlamaktadır. Bu durum ince yanak yapısının topa uyguladığı “yay etkisi” sebebiyledir. Golf topuna vurup, topun çıkış hızını giriş hızına oranlayarak bu yay etkisi ölçülebilir. Bu bulgulara göre; Bu hızlar oranına golf sopasının

“ yay etkisi katsayısı” adı verilmektedir. Geçmişteki bilgiler yay etkisi katsayısına ait dağılımın 𝑁(𝜇 , 𝜎²) olduğu bilinmektedir. Bir deney düzenlenerek, belli bir üreticinin üretmiş olduğu golf sopalarından rastgele olarak 15 adet alınmış ve yay etkisi katsayıları ölçülmüştür. Deneyde golf topları, topların giriş hızını ve dönme oranını kontrol edebilmek için hava tabancası ile fırlatılmıştır. Yapılan ölçümler aşağıdaki gibidir. Buna göre;

a) %5 önem seviyesinde ortalama yay etkisi katsayısının 0,82 yi geçtiğine dair yeterli delil olup olmadığına karar veriniz?

b) Ortalama yay etkisi katsayısına ait %95 güven katsayılı güven aralığını bulunuz ve yorumlayınız?

𝑋_𝑖: 0,8411 0,8580 0,8042 0,8191 0,8532 0,8730 0,8182 0,8483 0,8282 0,8125 0,8276 0,8359 0,8750 0,7983 0,8660

Çözüm: 𝑋: Üreticinin üretmiş olduğu golf sopaları için yay etkisi katsayısı olsun. 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımına sahip olduğu biliniyor.

a) 𝜇: ortalama yay etkisi katsayısı ve 𝜇₀ = 0,82 olmak üzere;

i) Hipotezler kurulur 𝐻₀: 𝜇 = 0,82 𝐻₁: 𝜇 > 0,82

ii) Örnek ortalaması istatistiği ile kitle varyansı bilinmediğinden tahmin edicisi olan örnek varyansı istatistiği hesaplanır.

𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐 𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐

𝑋 =¹

𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖

=^12,5586

15 = 0,8372 𝑆²= ¹

𝑛−1∑^𝑛_𝑖=1(𝑿𝒊− 𝑿)²

= ¹

14(0,008443)

= 0,0006 bulunur.

0,8411

0,8580 0,8042 0,8191 0,8532 0,8730 0,8182 0,8483

0,0039 0,0208 -0,033 -0,0181

0,016 0,0358

-0,019 0,0111

0,000015 0,000433 0,001089 0,000328 0,000256 0,001282 0,000361 0,000123

0,8282 0,8125 0,8276 0,8359 0,8750 0,7983 0,8660

-0,0009 -0,0247 -0,0096 -0,0013 0,0378 -0,0389

0,0288

0,000081 0,000610 0,000092 0,000002 0,001429 0,001513 0,000829

Toplam 12,5586 0,008443

124

iii) Test istatistiği belirlenir ve 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer bulunur. Kitle varyansı bilinmediğinden test istatistiği; 𝑡 =^𝑋−𝜇

𝑆_𝑋 ~𝑡_𝑛−1 dir. Burada 𝑆_𝑋 = ^𝑆

√𝑛 örnek ortalamasının standart hata tahminidir. Test istatistiğinin 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer;

𝑡_ℎ =^𝑋−𝜇0

𝑠/√𝑛 = 0,8372−0,82

√0,0006/√15 = 2,72 bulunur.

iv) Karar: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻₁ hipotezine göre karar kuralı; 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1);𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Kritik değer 𝑡_{(𝑛−1);𝛼}= 𝑡_14;0,05 = 1,761 dir. 2,72 > 1,761 yani 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1);𝛼} olduğundan 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Bu sonuca göre; söz konusu üreticinin üretmiş olduğu golf sopalarının 0,82 değerinden daha büyük yay etkisi katsayısı olduğuna dair kuvvetli delil vardır.

Eğer 0,82 katsayısı bir sınır değer ise üretici tasarımını değiştirmek zorunda kalabilir.

b) Ortalama yay etkisi katsayısı olan 𝜇 parametresine ait güven aralığı Eşitlik (4.11) gereğince;

𝑃(𝑋 − 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋) = 1 − 𝛼 ile bulunur.

𝑋 = 0,8372; 𝑆_𝑋= ^𝑆

√𝑛=^√0,0006

√15 = 0,0063; 𝛼 = 0,05 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} = 𝑡_14;0,025 = 2,145 olup, bu değerler yerlerine yazılırsa;

𝑃(0,8372 − (2,145) × (0,0063) ≤ 𝜇 ≤ 0,8372 + (2,145) × (0,0063)) = 0,95

𝑝(0,8237 ≤ 𝜇 ≤ 0,8507) = 0,95 olarak bulunur. Bu güven aralığı 0,82 değerini kapsamadığından ve hatta güven aralığının alt sınırı 0,82’den büyük olduğundan, söz konusu üreticinin üretmiş olduğu golf sopalarının 0,82 değerinden daha büyük yay etkisi katsayısı olduğuna dair kuvvetli delil vardır.

ÖRNEK:4.7 Bir makinede otomobil süspansiyon sisteminde kullanılan metal çubuklar üretilmektedir. Üretimde metal çubukların çaplarına ait dağılım 𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılım ile uyumludur. Bu metal çubukların çaplarının ortalamasının 8,20 mm’den farklı olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı araştırmak amacı ile üretilen metal çubuklardan rastgele olarak 12 tanesi alınmış ve bunların çapları ölçülerek (mm) aşağıdaki sonuçlar gözlenmiştir. Bu örnekleme göre;

a) İleri sürülen iddiayı destekleyen yeterli delil olup olmadığına %5 önem seviyesinde karar veriniz ve sonucu değerlendiriniz?

b) Metal çubukların çapları ortalaması için %95 güven katsayılı güven aralığını oluşturunuz ve sonucu değerlendiriniz?

𝑋_𝑖(Metal çubuk çapı − mm) : 8,23 8,29 8,19 8,14 8,31 8,19 8,29 8,32 8,42 8,24 8,30 8,40

Çözüm: 𝑋: Üretilen metal çubukların çapı (mm) olsun. 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımına sahip olduğu biliniyor.

a) 𝜇: ortalama yay etkisi katsayısı ve 𝜇₀ = 8,20 mm olmak üzere;

i) Hipotezler kurulur

125 𝐻₀: 𝜇 = 8,20

𝐻₁: 𝜇 ≠ 8,20

ii) Örnek ortalaması istatistiği ile kitle varyansı bilinmediğinden tahmin edicisi olan örnek varyansı istatistiği hesaplanır.

𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐 𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐

𝑋 =¹

𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖

=^99,32

12 = 8,28 𝑆²= ¹

𝑛−1∑^𝑛_𝑖=1(𝑿_𝒊− 𝑿)²

= ¹

11(0,077)

= 0,007 bulunur.

8,23

8,29 8,19 8,14 8,31 8,19

-0,05 0,01 -0,09 -0,14 0,03 -0,09

0,0025 0,0001 0,0081 0,0196 0,0009 0,0081

8,29 8,32 8,42 8,24 8,30 8,40

0,01 0,04 0,014

-0,04 0,02 0,12

0,0001 0,0016 0,0196 0,0016 0,0004 0,0144

Toplam 99,32 0,077

iii) Test istatistiği belirlenir ve 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer bulunur. Kitle varyansı bilinmediğinden test istatistiği; 𝑡 =^𝑋−𝜇

𝑆_𝑋 ~𝑡_𝑛−1 dir. Burada 𝑆_𝑋 = ^𝑆

√𝑛 örnek ortalamasının standart hata tahminidir. Test istatistiğinin 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer;

𝑡_ℎ =^𝑋−𝜇0

𝑠/√𝑛 = ^8,28−8,20

√0,007/√12= 3,31 bulunur.

iv) Karar: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻₁ hipotezine göre karar kuralı; 𝑡_ℎ < −𝑡_(𝑛−1);^𝛼

2

veya 𝑡_ℎ > 𝑡_(𝑛−1);^𝛼

2

ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Kritik değerler – 𝑡_(𝑛−1);^𝛼

2

= −𝑡_11;0,025 = −2,201 ve 𝑡_{(𝑛−1);𝛼/2}= 𝑡_11;0,025 = 2,201 dir. 3,31 > 2,201 yani 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1);𝛼/2} olduğundan 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Bu sonuca göre; üretilen metal çubukların çaplarının öngörülen 8,20 mm’den farklı olduğu iddiasını destekleyen yeterli delil vardır.

b) Metal çubukların çapları ortalamasına ait güven aralığı Eşitlik (4.11) gereğince;

𝑃(𝑋 − 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋) = 1 − 𝛼 ile bulunur.

𝑋 = 8,28; 𝑆_𝑋= ^𝑆

√𝑛=^√0,007

√12 = 0,0242; 𝛼 = 0,05 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} = 𝑡_11;0,025 = 2,201 olup, bu değerler yerlerine yazılırsa;

𝑃(8,28 − (2,201) × (0,0242) ≤ 𝜇 ≤ 8,28 + (2,201) × (0,0242)) = 0,95

𝑝(8,2267 ≤ 𝜇 ≤ 8,3333) = 0,95 olarak bulunur. Bu güven aralığı 8,20 değerini kapsamadığından söz konusu metal çubukların çaplarının 8,20 mm değerinden farklı olduğuna dair kuvvetli delil vardır ve hatta güven aralığının alt sınırı 8,20’den büyük olduğundan, söz konusu metal çubukların çaplarının 8,20 mm’den büyük olduğu %95 güvenle söylenebilir.

ÖRNEK:4.8 Bir nükleer reaktörde yakıt çubuğunu zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın 𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımı ile uyumlu olduğu bilinmektedir. Son yıllarda yakıt çubuğu zenginleştirme

126

yüzdeleri ortalamasının 2,95’in altını düştüğü iddia edilmektedir. Bu durumu araştırmak amacı ile bir uzman bu nükleer reaktörde rastgele seçilen 12 yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdeleri üzerinde yaptığı ölçüm sonuçlarını aşağıdaki gibi bulmuştur. Buna göre;

a) İleri sürülen iddianın doğru olup olmadığına %5 önem seviyesinde karar veriniz?

b) Reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın ortalaması ile ilgili %95 güven seviyeli güven aralığını bulunuz?

𝑋_𝑖: Reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdesi(%): 2,90 2,84 3,08 2,88 2,86 2,89 3,08 3,04 2,82 3,01 2,86 2,98

Çözüm: 𝑋: Reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdesi. 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımına sahip olduğu biliniyor.

a) 𝜇: Reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın ortalaması ve 𝜇₀ = 2,95 mm olmak üzere;

i) Hipotezler kurulur 𝐻₀: 𝜇 = 2,95 𝐻₁: 𝜇 < 2,95

ii) Örnek ortalaması istatistiği ile kitle varyansı bilinmediğinden tahmin edicisi olan örnek varyansı istatistiği hesaplanır.

𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐 𝑿_𝒊 𝑿_𝒊− 𝑿 (𝑿_𝒊− 𝑿)^𝟐

𝑋 =¹

𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖

=^35,24

12 = 2,94 𝑆²= ¹

𝑛−1∑^𝑛_𝑖=1(𝑿_𝒊− 𝑿)²

= ¹

11(0,1006)

= 0,0091 bulunur.

2,90

2,84 3,08 2,88 2,86 2,89

-0,04 -0,10 0,14 -0,06 -0,08 -0,05

0,0016 0,01 0,0196 0,0036 0,0064 0,0025

3,08 3,04 2,82 3,01 2,86 2,98

0,14 0,10 -0,12

0,07 -0,08

0,04

0,0196 0,01 0,0144 0,0049 0,0064 0,0016

Toplam 35,24 0,1006

iii) Test istatistiği belirlenir ve 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer bulunur. Kitle varyansı bilinmediğinden test istatistiği; 𝑡 =^𝑋−𝜇

𝑆_𝑋 ~𝑡_𝑛−1 dir. Burada 𝑆_𝑋 = ^𝑆

√𝑛 örnek ortalamasının standart hata tahminidir. Test istatistiğinin 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer;

𝑡_ℎ =^𝑋−𝜇0

𝑠/√𝑛 = ^2,94−2,95

√0,0091/√12= −0,36 bulunur.

iv) Karar: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻₁ hipotezine göre karar kuralı; 𝑡_ℎ < −𝑡_{(𝑛−1);𝛼} ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Kritik değerler – 𝑡_{(𝑛−1);𝛼} = −𝑡_11;0,05 = −1,796 dır. −0,36 > −1,796 yani 𝑡_ℎ > 𝑡_{(𝑛−1);𝛼} olduğundan 𝐻₀ hipotezi ret edilemez. Bu sonuca göre; reaktörde yakıt çubuğunun

127

zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın ortalamasının 2,95’in altına düştüğü iddiasını destekleyen yeterli delil bulunamamıştır.

b) Reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın ortalamasına ait güven aralığı Eşitlik (4.11) gereğince;

𝑃(𝑋 − 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2}× 𝑆_𝑋) = 1 − 𝛼 ile bulunur.

𝑋 = 2,94; 𝑆_𝑋= ^𝑆

√𝑛=^√0,0091

√12 = 0,0275; 𝛼 = 0,05 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑡_{(𝑛−1); 𝛼/2} = 𝑡_11;0,025 = 2,201 olup, bu değerler yerlerine yazılırsa;

𝑃(2,94 − (2,201) × (0,0275) ≤ 𝜇 ≤ 2,94 + (2,201) × (0,0275)) = 0,95

𝑝(2,8795 ≤ 𝜇 ≤ 3,0005) = 0,95 olarak bulunur. Bu güven aralığı 2,95 değerini kapsadığından söz konusu reaktörde yakıt çubuğunun zenginleştirme yüzdelerine ait dağılımın ortalamasının 2,95’in altına düştüğü iddiası %95 güvenle geçerli bir iddia değildir.

SORULAR 1) Araç lastiği üreten firmada çalışan bir araştırma mühendisi, yeni bir kauçuk bileşiği içeren

lastiklerin ömürlerini incelemektedir. Bu firmada üretilen lastiklerin ömürleri 𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımı ile uyumlu kabul edilmektedir. Araştırma mühendisi yapacağı inceleme için 10 tane lastik üretmiş ve yol testi yaparak ömürlerini belirlemiştir. Elde edilen ölçüm sonuçlarından örnek ortalaması ve standart sapması sırasıyla 61.492 ve 3035 km olarak hesaplanmıştır.

a) Mühendis yeni lastiğin ortalama yaş ömrünün 60.000 km den fazla olduğunu iddia etmektedir. Eldeki örneklem bilgilerine göre %5 önem seviyesinde mühendisin haklı olduğuna dair yeterli delil bulunup bulunmadığına karar veriniz?

b) Mühendisin ürettiği yeni lastikler için ortalama ömre ait %95 güven katsayılı güven aralığını oluşturunuz?

2) Belli bir markaya ait olan margarin, çoklu doymamış yağ asidi seviyesinin (%)belirlenmesi için test edilmiştir. Söz konusu markaya ait margarinlerde çoklu doymamış yağ asidi seviyesinin dağılımı 𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımı ile uyumludur. Bu marka margarine ait paketlerden rastgele 6 tanesi seçilerek çoklu doymamış yağ asidi seviyesi (%) ölçülerek aşağıdaki sonuçlar kaydedilmiştir.

𝑋_𝑖(%): 16,8 17,2 17,4 16,9 16,5 17,1 Bu sonuçlara göre;

a) Söz konusu marka margarine ait ortalama çoklu doymamış yağ asidi seviyesinin %17’den farklı olup olmadığına %1 önem seviyesinde karar veriniz?

b) Söz konusu marka margarine ait ortalama çoklu doymamış yağ asidi seviyesi için %99 güven katsayılı güven aralığını elde ediniz?

3) Bulut tohumlama hava durumunu değiştirme yöntemi olarak yıllardır çalışılan bir konudur.

Rastgele seçilmiş ve gümüş nitratla tohumlanmış 20 buluttan elde edilen yağış miktarları (1000

128

𝑚³) aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Tohumlanmış bulutlardan elde edilen yağış miktarına ait dağılımın 𝑁(𝜇 , 𝜎²) olduğunu varsayalım. Buna göre;

a) Tohumlanmış bulutlar kitlesinden elde edilen yağış miktarı ortalamasının 25 (× 1000 𝑚³) değerini geçtiği iddiası %1 önem seviyesinde desteklenebilir mi?

b) Tohumlanmış bulutlar kitlesinden elde edilen yağış miktarı ortalamasına ait %95 güven katsayılı güven aralığını oluşturunuz?

𝑋_𝑖(𝑌𝑎ğ𝚤ş 𝑚𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 − 1000𝑚³): 18,0 30,7 19,8 27,1 22,3 18,8 31,8 23,4 21,2 27,9 31,9 27,1 25,0 24,7 26,9 21,8 29,2 34,8 26,7 31,6

4.4.3 Kitle Varyansı Hakkında Hipotez Testi ve Güven Aralığı

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımına sahip bir kitle verilsin ve kitle varyansı 𝜎² parametresinin bilinmediğini kabul edelim. Bilinmeyen 𝜎² parametresi hakkında istatistiksel çıkarım, bu parametre ile ilgili hipotez testi ve güven aralığı yardımıyla yapılabilir. 𝜎₀²𝜖𝐼𝑅⁺ olmak üzere hipotez testi algoritması aşağıdaki gibi verilir.

i) Hipotezler kurulur

a) 𝐻₀: 𝜎² = 𝜎₀² b) 𝐻₀: 𝜎² = 𝜎₀² c) 𝐻₀: 𝜎² = 𝜎₀²

𝐻₁: 𝜎² < 𝜎₀² 𝐻₁: 𝜎² > 𝜎₀² 𝐻₁: 𝜎² ≠ 𝜎₀² (4.12) Burada (a) ve (b) tek yönlü test ve (c) çift yönlü test olarak bilinir.

ii) Kitleden rastgele 𝑛 birimlik bir örnek (𝑋₁, 𝑋₂, … . 𝑋_𝑛) çekilerek, bu örnekten bilinmeyen 𝜇 ve 𝜎² parametrelerinin yansız nokta tahmin edicileri olan istatistikler ele alınır. Örnek ortalama istatistiği 𝑋 = ¹

𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖 iken, 𝜎² parametresinin yansız nokta tahmin edicisi örnek varyansı 𝑆² = ¹

𝑛−1∑^𝑛_𝑖=1(𝑋_𝑖− 𝑋)²istatistiğidir.

iii) Test istatistiği ve test istatistiğinin örnekleme dağılımı belirlenir. 𝐻₀ hipotezini test etmek için kullanılacak olan test istatistiği örnek varyansı 𝑆² istatistiğinin bir fonksiyon olan 𝜒² =^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜎² = ^{∑ (𝑋𝑖−𝑋)}

𝑛 2 𝑖=1

𝜎² istatistiğidir. Bu istatistiğin örnekleme (olasılık) dağılımı (𝑛 − 1) serbestlik dereceli Ki-Kare dağılımı olarak bilinir ve

𝜒² =^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜎² = ^{∑ (𝑋𝑖−𝑋)}

𝑛 2 𝑖=1

𝜎² ~𝜒_(𝑛−1)² (4.13) şeklinde gösterilir. Ki-Kare dağılımı (0, ∞) aralığında değerler alır ve sağa çarpık bir dağılımdır. Bir Ki-Kare dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait grafik ve 𝑃(𝜒² ≥ 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² ) = 𝛼 olasılığı Şekil:4.6’da görülmektedir. 𝐻₀ hipotezi doğru iken test istatistiğinin alabileceği değer 𝜒_ℎ² = ^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜎₀² dir.

iv) Karar kuralı belirlenir ve değerlendirme yapılır. Karar kuralı araştırmacı tarafından belirlenecek olan 𝛼 önem seviyesinde 𝐻₀ ve 𝐻₁ hipotezlerinden beklentiler dikkate alınarak belirlenir.

129

Şekil:4.6 Ki-Kare Dağılımı Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Grafiği

a) 𝐻₁: 𝜎² < 𝜎₀² 𝑃(𝜒² ≥ 𝜒_{(𝑛−1); 1−𝛼}² ) = 1 − 𝛼 olacak şekilde 𝜒_{(𝑛−1); 1−𝛼}² kritik değeri belirlenir (Şekil:4.7(a)). Eğer 𝜒_ℎ² < 𝜒_{(𝑛−1); 1−𝛼}² ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir.

Eğer 𝜒_ℎ² ≥ 𝜒_{(𝑛−1); 1−𝛼}² ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez.

b) 𝐻₁: 𝜎² > 𝜎₀² 𝑃(𝜒² ≥ 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² ) = 𝛼 olacak şekilde 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² kritik değeri belirlenir (Şekil:4.7(b)). Eğer 𝜒_ℎ² > 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir.

Eğer 𝜒_ℎ² ≤ 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez.

c) 𝐻₁: 𝜎² ≠ 𝜎₀² 𝑃 (𝜒² ≥ 𝜒_{(𝑛−1); 1−}^𝛼

2

2 ) = 1 −^𝛼

2 ve 𝑃 (𝜒² ≥ 𝜒_(𝑛−1); ^𝛼

2

2 ) = 𝛼/2 olacak şekilde 𝜒_{(𝑛−1); 1−}^𝛼

2

2 ve 𝜒_(𝑛−1); ^𝛼

2

2 kritik değerleri belirlenir (Şekil:4.7(c)).

Eğer 𝜒_ℎ² < 𝜒_{(𝑛−1); 1−}^𝛼

2

2 veya 𝜒_ℎ² > 𝜒_(𝑛−1); ^𝛼

2

2 ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir.

Eğer 𝜒_{(𝑛−1); 1−}^𝛼

2

2 ≤ 𝜒_ℎ² ≤ 𝜒_(𝑛−1); ^𝛼

2

2 ise 𝐻₀ hipotezi ret edilemez.

Şekil:4.7(a) 𝑯_𝟏: 𝝈^𝟐< 𝝈_𝟎^𝟐 (b) 𝑯_𝟏: 𝝈^𝟐> 𝝈_𝟎^𝟐 ( c ) 𝑯_𝟏: 𝝈^𝟐≠ 𝝈_𝟎^𝟐

v) Kitle varyansı 𝜎² parametresi için (1 − 𝛼) güven katsayılı güven aralığı;

𝑃 (^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜒(𝑛−1); 𝛼 2

2 ≤ 𝜎² ≤ ^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜒(𝑛−1); 1−𝛼 2

2 ) = 1 − 𝛼 (4.14) eşitliği ile verilir.

130

ÖRNEK:4.9 Otomatik dolum yapan makinede şişelere sıvı deterjan doldurulmaktadır. Bu makine ile yapılan dolum hacmi dağılımı 𝑁(𝜇 , 𝜎²) dağılımı ile uyumludur. Bu makine tarafından doldurulmuş olan şişelerden rastgele alınan 20 şişelik örneklem için dolum hacni örnek varyansı 𝑆² = 0,0153 (𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒)² olarak bulunmuştur. Eğer dolum hacmi varyansı 0,01’i geçerse şişelerin önemli bir kısmı az veya fazla dolacaktır. Buna göre;

a) Üreticinin şişelerin az veya fazla dolu olması ile ilgili problem yaşadığına dair %5 önem seviyesinde yeterli delil var mıdır?

b) Dolum hacmi kitle varyansına ait %95 güven katsayılı güven aralığını bulunuz?

Çözüm: 𝑋: Dolum hacmi [(𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒)²] için 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎²) olduğu biliniyor.

𝜎₀² = 0,01 olmak üzere;

i) Hipotezler kurulur 𝐻₀: 𝜎² = 0,01 𝐻₁: 𝜎² > 0,01

ii) Örnek hacmi 𝑛 = 20 ve örnek varyansı 𝑆² = 0,0153 olarak hesaplanmış.

iii) Test istatistiği ve örnekleme dağılımı 𝜒² =^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜎² ~𝜒_(𝑛−1)² olup, 𝐻₀ hipotezi altında alabileceği değer 𝜒_ℎ² =19×(0,0153)

0,01 = 29,07 dir.

iv) Karar ve yorum: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻₁ hipotezine göre karar kuralı 𝜒_ℎ² > 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² ise 𝐻₀ hipotezi ret edilir. Burada kritik değer; 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² = 𝜒_{19; 0,05}² = 30,14 dir. Buna göre 29,07<30,14 yani 𝜒_ℎ² < 𝜒_{(𝑛−1); 𝛼}² olduğundan 𝐻₀ hipotezi ret edilemez. Sonuç olarak üreticinin şişelerin az veya fazla dolu olması ile ilgili problem yaşadığına dair yeterli delil bulunamamıştır.

b) Dolum hacmi kitle varyansı 𝜎² parametresi için güven aralığı Eşitlik (4.14) gereğince;

𝑃 (^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜒(𝑛−1); 𝛼 2

2 ≤ 𝜎² ≤ ^{(𝑛−1)𝑆2}

𝜒(𝑛−1); 1−𝛼 2

2 ) = 1 − 𝛼 dir. 𝑛 = 20; 𝛼 = 0,05; 𝑆² = 0,0153 ve kritik değerler 𝜒_(𝑛−1); ^𝛼

2

2 = 𝜒_{19; 0,025}² = 32,85 ve 𝜒_{(𝑛−1); 1−}^𝛼

2

2 = 𝜒_{19; 0,975}² = 8,91 olup, bu değerler yerlerine yazılırsa 𝑃 (19×(0,0153)

32,85 ≤ 𝜎² ≤19×(0,0153)

8,91 ) = 𝑃(0,0088 ≤ 𝜎² ≤ 0,0326) = 0,95 bulunur. Güven aralığı 𝜎₀² = 0,01değerinide kapsadığı için dolum hacmi kitle varyansı için

%95 güvenle 𝜎² = 0,01 olabilir. Bu sebeple üreticinin şişelerin az veya fazla dolu olması ile ilgili problem yaşadığına dair yeterli delil olmadığını güven aralığına dayanarak da söyleyebiliriz.