Çok değişkenli hermite tabanlı appell polinomları üzerine

T.C.

AKDEN·

IZ ÜN·

IVERS·

ITES·

I

FEN B·

IL·

IMLER·

I ENST·

ITÜSÜ

ÇOK DE ¼

G·

I¸

SKENL·

I HERMITE TABANLI APPELL POL·

INOMLARI

ÜZER·

INE

BURAK KURT

DOKTORA TEZ·

I

MATEMAT·

IK ANAB·

IL·

IM DALI

T.C.

AKDEN·

IZ ÜN·

IVERS·

ITES·

I

FEN B·

IL·

IMLER·

I ENST·

ITÜSÜ

ÇOK DE ¼

G·

I¸

SKENL·

I HERMITE TABANLI APPELL POL·

INOMLARI

ÜZER·

INE

BURAK KURT

DOKTORA TEZ·

I

MATEMAT·

IK ANAB·

IL·

IM DALI

T.C.

AKDEN·

IZ ÜN·

IVERS·

ITES·

I

FEN B·

IL·

IMLER·

I ENST·

ITÜSÜ

ÇOK DE ¼

G·

I¸

SKENL·

I HERMITE TABANLI APPELL POL·

INOMLARI

ÜZER·

INE

BURAK KURT

DOKTORA TEZ·

I

MATEMAT·

IK ANAB·

IL·

IM DALI

Bu tez /

/ 2013 tarihinde a¸

sa¼

g¬daki jüri taraf¬ndan oybirli¼

gi / oyçoklu¼

gu ile kabul

edilmi¸

stir.

Prof. Dr. Y¬lmaz ¸

S·

IM¸

SEK (Dan¬¸

sman)

...

Prof. Dr. Ahmet DERNEK

...

Prof. Dr. Nuri ÜNAL

...

Doç. Dr. Mehmet CENKC·

I

...

Yrd. Doç. Dr. Mümün CAN

...

ÖZET

ÇOK DE ¼

G·

I¸

SKENL·

I HERMITE TABANLI APPELL POL·

INOMLARI

ÜZER·

INE

Burak KURT

Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸

sman: Prof. Dr. Y¬lmaz ¸

S·

IM¸

SEK

Ocak 2013, 61 sayfa

·

Ilk bölümde Appell polinomlar ailesindeki baz¬polinomlar ile Hermite

polinomu-nun tan¬mland¬¼

g¬diferensiyel denklem verilmi¸

stir. Sonra ilk olarak klasik Bernoulli,

Euler, Genocchi, Euler-Frobenius polinomlar¬tan¬mlanm¬¸

st¬r. Bu polinomlar¬n sa¼

gla-d¬klar¬özellikler ifade edilmi¸

stir.

Bulgular bölümünde Dattoli ve arkada¸

slar¬taraf¬ndan tan¬mlanan 2D-Bernoulli

polinomlar¬n genelle¸

stirilmesi verilmi¸

stir. Genelle¸

stirilmi¸

s parametreli

Apostol-Berno-ulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi polinomlar¬ için çe¸

sitli yeni rekürans ba¼

g¬n-t¬lar¬ispatlanm¬¸

st¬r. Hermite- tabanl¬Apsotol-Bernoulli polinomu ile Hurwitz-Lerch

zeta fonksiyonu ve genelle¸

stirilmi¸

s Frobenius-Euler polinomu ile Hurwitz-Lerch zeta

fonksiyonu aras¬ndaki lineer ba¼

g¬nt¬lar ispatlanm¬¸

st¬r. Bu polinomlar için baz¬yeni

genellemeler verilmi¸

stir. Son olarak üstel fonksiyonlar¬n integral de¼

geri iki de¼

gi¸

skenli

ve dört de¼

gi¸

skenli Hermite polinomlar¬cinsinden ifadeleri bulunmu¸

stur.

ANAHTAR KEL·

IMELER:

Bernoulli polinomalar¬, Euler polinomlar¬,

Hermite polinomlar¬, Appell polinomlar¬,

Appell dizileri.

JÜR·

I:

Prof. Dr. Y¬lmaz ¸

S·

IM¸

SEK (Dan¬¸

sman)

Prof. Dr. Ahmet DERNEK

Prof. Dr. Nuri ÜNAL

Doç. Dr. Mehmet CENKC·

I

Yrd. Doç. Dr. Mümün CAN

ABSTRACT

ON THE MULTI VARIABLE HERMITE-BASED APPELL

POLYNOMIALS

Burak KURT

Ph. D. Thesis in Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Y¬lmaz S·

IMSEK

JANUARY 2013, 61 pages

The aim of this thesis is to investigate the Hermite-based Appell polynomials.

In the …rst section, we de…ne Appell polynomials and Hermite polynomials. In the

second section, we introduce classical Bernoulli polynomials, classical Euler

polyno-mials and Appell polynopolyno-mials. After, some theorems which satisfy these polynopolyno-mials

are proven.

In the …nal section, 2D-Bernoulli polynomials and Apostol-Bernoulli

polyno-mials are given. Also some theorems are proved. Two relations are proved between

Hermite-based Apostol-Bernoulli polynomials with Hurwitz-Lerch zeta function and

between generalized Frobenius-Euler polynomaials with Hurwitz-Lerch zeta

func-tion.

KEY WORDS:

Bernoulli polynomials, Euler polynomials,

Hermite polynomials, Appell polynomials,

Appell sequences.

COMMITTEE:

Prof. Dr. Y¬lmaz ¸

S·

IM¸

SEK (Supervisor)

Prof. Dr. Ahmet DERNEK

Prof. Dr. Nuri ÜNAL

Assoc. Prof. Dr. Mehmet CENKC·

I

Asst. Prof. Dr. Mümün CAN

ÖNSÖZ

Bu tez çal¬¸

smas¬, esas olarak önbilgiler ve bulgular olmak üzere iki bölümden

olu¸

smaktad¬r. ·

Ilk olarak Appell polinom ailesinden olan polinomlar¬, Hermite

poli-nomlar¬ve klasik Bernoulli, Euler ve Genocchi polipoli-nomlar¬verilmi¸

stir. Daha sonra

Apostol-Bernoulli polinomlar¬, Apostol-Euler polinomlar¬ve Appell

polinomlar¬ta-n¬mlanm¬¸

st¬r. Bunlar¬n sa¼

glad¬¼

g¬baz¬ba¼

g¬nt¬lar ispatlanm¬¸

st¬r.

Genelle¸

stirilmi¸

s parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi

polinomlar¬nda çe¸

sitli yeni rekürans ba¼

g¬nt¬lar¬ispatlanm¬¸

st¬r. Hermite-

tabanl¬Apos-tol-Bernoulli polinomu ile Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu ve genelle¸

stirilmi¸

s

Frobenius-Euler polinomu ile Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu aras¬nda lineer ba¼

g¬nt¬ispatlan-m¬¸

st¬r. Son olarak üstel fonksiyonlar¬n integral de¼

geri iki de¼

gi¸

skenli ve dört de¼

gi¸

skenli

Hermite polinomlar¬cinsinden ifadeleri verilmi¸

stir. Bu tez çal¬¸

smas¬n¬n, bu alandaki

çal¬¸

smalara önemli katk¬lar sa¼

glayaca¼

g¬inanc¬nday¬m.

Bu çal¬¸

sma boyunca bilgisini ve zaman¬n¬ benimle payla¸

san, deste¼

gini

esirge-meyen dan¬¸

sman¬m Say¬n Prof. Dr. Y¬lmaz ¸

S·

IM¸

SEK’e te¸

sekkürlerimi sunar¬m.

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

ÖNSÖZ ...iii

İÇİNDEKİLER ... iv

1. GİRİŞ ... 1

2. ÖN BİLGİLER, KURAMSAL BİLGİLER VE KAYNAK TARAMALARI ... 4

2.1. Klasik Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomları ve Bazı Özellikleri ... 4

2.2. Tek Değişkenli Hermite Polinomları ... 5

2.3. Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi Polinomları ... 7

2.4. Natalini Anlamında Bernoulli Polinomu ... 13

2.5. Parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi

Polinomları ... 15

2.6. Çok Değişkenli Hermite Polinomları ... 17

2.7. Hermite Tabanlı Bernoulli, Euler Polinomları ve Hermite Tabanlı Apostol-

Bernoulli Polinomları ... 20

2.8. Genelleştirilmiş Frobenius-Euler Polinomları ... 23

3. BULGULAR ... 25

3.1. 2D-Hermite Bernoulli Polinomu İçin Bazı Genelleştirmeler ... 25

3.2. Genelleştirilmiş Parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-

Genocchi Polinomları İçin Bazı Genelleştirmeler ... 27

3.3. Apostol Tipli Frobenius-Euler Polinomları İçin Bazı Genelleştirmeleri ... 39

3.4. Hermite Polinomları Yardımıyla Üstel Fonksiyonların İntegrali ... 45

4. SONUÇ ... 49

5. KAYNAKLAR ... 50

ÖZGEÇMİŞ

1.

G·

IR·

I¸

S

n

_{. mertebeden verilen fA}

n

(x)

g, n 2 N

0

=

f0; 1; 2;

g polinomlar dizisi

d

dx

A

n

(x) = nA

n 1

(x)

, n 2 N

0

ve a

0

6= 0 olmak üzere

A(t) =

1

X

n=0

a

n

(x)

t

n

n!

,

kuvvet serisi için

A(t) exp(xt) =

1

X

n=0

A

n

(x)

t

n

n!

e¸

sitli¼

_{gini gerçeklerse fA}

n

(x)

g dizisine Appell polinomlar dizisi denir (Dattoli vd 2002,

Lu Da.-Q. 2011, Trembly vd 2011). Buradaki A(t) fonksiyonuna fA

n

(x)

g dizisinin

do¼

guray fonksiyonudur.

Fizikte ve matematikte çok uygulama alanlar¬olan Appell polinomlar¬n¬n

baz¬-lar¬n¬verelim (Dattoli vd 2002):

A(t) =

t

e

t

₁

al¬rsak, A

n

(x) = B

n

(x)

klasik Bernoulli polinomu,

A(t) =

2

e

t

_{+ 1}

al¬rsak, A

n

(x) = E

n

(x),

klasik Euler polinomu,

A(t) =

2t

e

t

_{+ 1}

al¬rsak, A

n

(x) = G

n

(x),

klasik Genocchi polinomu,

A(t) =

t

e

t

₁

al¬rsak, A

n

(x) = B

n

(x),

2 C,

genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu,

A(t) =

2

e

t

_{+ 1}

al¬rsak, A

n

(x) = E

n

(x),

2 C,

genelle¸

stirilmi¸

s Euler polinomu,

A(t) =

2t

genelle¸

stirilmi¸

s Genocchi polinomu,

A(t) =

1 m

t

m

e

1t

1

e

mt

1

( 1)

al¬rsak,

m. mertebeden genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu,

A(t) = 2

m

e

1t

+ 1

e

mt

+ 1

( 1)

al¬rsak,

m. mertebeden genelle¸

stirilmi¸

s Euler polinomu,

A(t) =

t

m

e

t m 1

_P

h=0 th h!

al¬rsak, A

n

(x) = B

n[m 1]

(x), m

1,

Natalini anlam¬nda genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu,

A(t) =

t

e

t

₁

al¬rsak, A

n

(x) = B

n

(x; ),

2 C,

. mertebeden Apostol-Bernoulli polinomudur.Son denklemde

= 1

için genelle¸

stir-ilmi¸

s Bernoulli polinomu B

_n

(x)

elde edilir.

=

= 1

al¬nd¬¼

g¬nda da B

n

(x)

klasik Bernoulli polinomu elde edilir.

A(t) =

2

e

t

_{+ 1}

al¬rsak, A

n

(x) = E

n

(x; ),

2 C,

. mertebeden Apostol-Euler polinomu elde edilir.

= 1

için genelle¸

stirilmi¸

s Euler polinomu E

_n

(x),

=

= 1

al¬nd¬¼

g¬nda da

E

n

(x)

Euler polinomu elde edilir.

A(t) = exp

₀

+

₁

t +

+

_r+1

t

r+1

,

_r+1

_{6= 0}

olursa A

n

(x), r = 1 için Hermite polinomu, r = 2 için ortogonal polinomlar¬

kap-sayan genelle¸

stirilmi¸

s Gould-Hopper polinomu,

A(t) =

1

(1

t)

m+1

al¬n¬rsa, A

n

(x) = n!G

m n

(x)

dir.

Bernoulli polinomlar¬n¬ tan¬mlayan alt¬ farkl¬ yakla¸

s¬m vard¬r (Costabille vd

2006).

Bu tez çal¬¸

smas¬nda, Appell polinomlar ailesinin üyeleri olan Hermite-tabanl¬

Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi polinomlar¬n¬n gerçekledi¼

gi

ba¼

g¬nt¬lar ve sa¼

glad¬klar¬teoremler incelenece¼

gi için ilk olarak Hermite polinomlar¬n¬

tan¬mlayal¬m.

y

00

2xy

0

+ 2 y = 0

diferensiyel denklemini sa¼

glayan polinoma Hermite polinomu denir. Burada

sabit-tir. Hermite polinomunun do¼

guray fonksiyonu

1

X

n=0

H

n

(x)

t

n

n!

= e

2xt t2

ifadesiyle tan¬mlan¬r. ·

Ikinci ve üçüncü bölümde iki de¼

gi¸

skenli ya da çok de¼

gi¸

skenli

Hermite polinomlar¬tan¬mlanarak, bunlar ile Appell polinomlar¬aras¬ndaki

teorem-ler, ba¼

g¬nt¬lar ifade edilecek ve ispatlanacakt¬r.

2.

ÖN B·

ILG·

ILER, KURAMSAL B·

ILG·

ILER VE KAYNAK TARAMA

2.1.

Klasik Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlar¬ve Baz¬Özellikleri

Tan¬m 2.1

B

n

(x) Bernoulli Polinomlar¬, E

n

(x) Euler Polinomlar¬ve G

n

(x)

Genoc-chi Polinomlar¬s¬ras¬yla

1

X

n=0

B

n

(x)

t

n

n!

=

t

e

t

₁

e

xt

, jtj < 2 ,

(2.1)

1

X

n=0

E

n

(x)

t

n

n!

=

2

e

t

_{+ 1}

e

xt

, jtj < ,

(2.2)

1

X

n=0

G

n

(x)

t

n

n!

=

2t

e

t

_{+ 1}

e

xt

, jtj <

(2.3)

ifadeleriyle tan¬mlan¬r (Abramowitz ve Stegun 1964).

x = 0

alarak Bernoulli, Euler ve Genocchi say¬lar¬elde edilir. Bu say¬lar¬n do¼

gu-ray fonksiyonlar¬s¬ras¬yla

1

X

n=0

B

n

t

n

n!

=

t

e

t

₁

, jtj < 2 ,

(2.4)

1

X

n=0

E

n

t

n

n!

=

2

e

t

_{+ 1}

, jtj < ,

(2.5)

1

X

n=0

G

n

t

n

n!

=

2t

e

t

_{+ 1}

, jtj <

(2.6)

ifadeleriyle tan¬mlan¬r (Abramowitz ve Stegun 1964).

Bernoulli polinomu

B

n

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

k

(x)y

n k

_;

B

n

(x) =

n

X

k=0

n

k

B

k

x

n k

=

n

X

k=0

n

k

B

n k

x

k

_;

B

_n0

(x) = nB

n 1

(x) ;

n

X

k=0

n + 1

k

B

k

(x) = (n + 1) x

n

ba¼

g¬nt¬lar¬n¬ve

B

k

(mx) = m

k 1 m 1

_X

l=0

B

k

(x + lm

1

)

(2.7)

Raabe ba¼

g¬nt¬s¬n¬gerçekler (Abramowitz ve Stegun 1964).

Benzer olarak E

n

(x)

Euler polinomu

E

n

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

E

k

(x)y

n k

;

E

n

(x) =

n

X

k=0

n

k

E

k

x

n k

=

n

X

k=0

n

k

E

n k

x

k

_;

n

X

k=0

n

k

E

k

(x) + E

n

(x) = 2x

n

_;

ba¼

g¬nt¬lar¬n¬ve

E

n

(mx) =

8

>

>

<

>

>

:

m

nm 1

P

k=0

( 1)

k

E

n

(x + km

1

)

, n 2 N

0

, m = 1; 3; 5;

2 n+1

m

nm 1

P

k=0

( 1)

k

B

n

(x + km

1

)

, n 2 N

0

, m = 2; 4; 6;

(2.8)

Raabe ba¼

g¬nt¬s¬n¬sa¼

glar (Abramowitz ve Stegun 1964, Srivastava ve Pinter 2004).

Genocchi polinomunun do¼

guray fonksiyonu Euler polinomuna benzer oldu¼

gu için

yukar¬daki bilinen özellikler Genocchi polinomu için de yaz¬labilir. Bernoulli

poli-nomlar¬, Euler polinomlar¬ ve Genocchi polinomlar¬ aras¬nda çok çe¸

sitli ba¼

g¬nt¬lar

vard¬r (Abramowitz ve Stegun 1964).

2.2.

Tek De¼

gi¸

skenli Hermite Polinomlar¬

Tan¬m 2.2

(Rainville 1960)Tek de¼gi¸

skenli Hermite polinomu H

n

(x),

1

X

n=0

H

n

(x)

t

n

n!

= exp(2xt

t

2

)

(2.9)

ifadesiyle ya da

H

n

(x) =

[

n 2

]

X

k=0

( 1)

k

n!

k!(n

2k)!

(2x)

n 2k

_(2.10)

e¸

sitli¼gi ile tan¬mlan¬r. Burada "[.]" i¸

sareti tam de¼ger anlam¬ndad¬r.

Bu tan¬mlara denk olan Rodrigues formülü

H

n

(x) = ( 1)

n

exp(x

2

)

d

n

dx

n

exp( x

2

)

(2.11)

e¸

sitli¼

gi ile verilebilir. (2.10)’dan

H

0

(x) = 1; H

1

(x) = 2x; H

2

(x) = 4x

2

2; H

3

(x) = 8x

3

12x;

H

4

(x) = 16x

4

48x

2

+ 12; H

5

(x) = 32x

5

160x

3

+ 120x;

H

6

(x) = 64x

6

480x

4

+ 720x

2

120; H

7

(x) = 128x

7

1344x

5

+ 3360x

3

1680x

elde edilir. Hermite polinomu

2xH

n

(x) = 2nH

n 1

(x) + H

n+1

(x);

xH

_n0

(x) = nH

_{n 1}0

(x) + nH

_n0

(x);

H

_n0

(x) = 2xH

n

(x)

H

n+1

(x)

rekürans ba¼

g¬nt¬lar¬n¬ve

1

Z

1

e

x2

H

n

(x)H

m

(x)dx = 2

n

n!

p

,

m;n

ortogonallik özelli¼

gini gerçekler (Rainville 1960). Burada

m;n

kroneker deltas¬ ve

e

x2

fonksiyonuna H

n

(x)

Hermite polinomunun a¼

g¬rl¬k fonksiyonu denir.

Tan¬m 2.3

(Dattoli vd 1998) ·

Iki indisli-tek de¼gi¸

skenli Hermite polinomu

1

X

n=0 1

X

m=0

u

m

m!

v

n

n!

H

m;n

(x) = e

x(u+v) uv

_(2.12)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

(2.12)’den

H

m;n

(x) =

n

X

k=0

n

k

x

k+m

( v)

n k

e¸

sitli¼

gi yaz¬labilir. Tek de¼

gi¸

skenli iki indisli Hermite polinomu tan¬m¬ndan

H

m;n

(x) =

min(m;n)

_X

q=0

( 1)

q

q!

m

q

n

q

x

m+n 2q

(2.13)

ba¼

g¬nt¬s¬elde edilir.

2.3.

Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi Polinomlar¬

. mertebeden klasik Bernoulli, Euler, Genocchi polinomlar¬s¬ras¬yla

t

e

t

₁

e

xt

₌

1

X

n=0

B

_n( )

(x)

t

n

n!

;

jtj < 2 , 1 = 1,

(2.14)

2

e

t

_{+ 1}

e

xt

₌

1

X

n=0

E

_n( )

(x)

t

n

n!

;

jtj < , 1 = 1

(2.15)

ve

2t

e

t

_{+ 1}

e

xt

₌

1

X

n=0

G

( )_n

(x)

t

n

n!

;

jtj < , 1 = 1

(2.16)

ifadeleri ile verilir (Luo ve Srivastava 2006, Luo vd 2003). Burada

gerçel ya da

karma¸

s¬k say¬d¬r.

= 1

durumunda klasik Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlar¬

elde edilir.

Genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli ve Euler polinomlar¬tan¬mlar¬ndan

B

_n( + )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

(x)B

( ) k

(y)

E

_n( + )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

E

( ) n k

(x)E

( ) k

(y)

(2.17)

e¸

sitlikleri kolayca elde edilir. (2.17) de

= 0

al¬rsak

B

_n( )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

(x)y

k

E

_n( )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

E

( ) n k

(x)y

k

bulunur.

(2.14) ve (2.15) den

B

_n( )

(x + 1)

B

_n( )

(x) = nB

_{n 1}( 1)

(x)

_{, n 2 N}

(2.18)

E

_n( )

(x + 1) + E

_n( )

(x) = 2E

_n( 1)

(x)

_{, n 2 N}

(2.19)

B

_n( 1)

(x) =

1

n + 1

n

X

k=0

n + 1

k

B

( ) k

(x)

E

_n( 1)

(x) =

1

2

E

( ) n

(x) +

n

X

k=0

n

k

E

( ) k

(x)

!

ifadeleri elde edilir (Luo ve Srivastava 2006).

Genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomlar¬ ve Euler polinomlar¬ aras¬nda a¸

sa¼

g¬daki

ba¼

g¬nt¬lar¬ifade edelim.

Teorem 2.4

(Srivastava ve Pinter 2004)

. mertebeden Bernoulli polinomu ile

.

mertebeden Euler polinomlar¬aras¬nda

B

_n( )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) k

(y) +

k

2

B

( 1) k 1

(y) E

n k

(x),

2 C, n 2 N

0

;

E

_n( )

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

E

( 1) k+1

(y)

B

( ) k+1

(y) B

n k

(x),

2 C, n 2 N

0

ba¼g¬nt¬lar vard¬r.

Tan¬m 2.5

. mertebeden Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi

polinomlar¬s¬ras¬yla

t

e

t

₁

e

xt

₌

1

X

n=0

B

_n( )

(x; )

t

n

n!

;

(2.20)

= 1 ise

_{jtj < 2 ,}

_{6= 1 ise jtj < jln j ,}

2

e

t

_{+ 1}

e

xt

₌

1

X

n=0

E

_n( )

(x; )

t

n

n!

;

jtj < jln (

)

j ,

(2.21)

2t

e

t

_{+ 1}

e

xt

₌

1

X

n=0

G

( )_n

(x; )

t

n

n!

;

jtj < jln (

)

j

(2.22)

e¸

sitlikleriyle tan¬mlan¬r (Luo 2009, Trembly vd 2012, Kurt ve ¸

Sim¸

sek 2012).

Apostol-Bernoulli ve Apostol-Euler polinomlar¬n¬n do¼

guray fonksiyonu

tan¬m¬n-dan

B

( + )_n

(x + y; ) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

(x; )B

( ) k

(y; )

E

_n( + )

(x + y; ) =

n

X

k=0

n

k

E

( ) n k

(x; )E

( ) k

(y; )

(2.23)

B

_{n 1}( 1)

(x; ) =

B

( )_n

(x + 1; )

B

_n( )

(x; )

2E

_n( 1)

(x; ) =

E

_n( )

(x + 1; ) + E

_n( )

(x; )

(2.24)

ba¼

g¬nt¬lar¬kolayca elde edilir (Luo 2009).

(2.23) de

= 0

alarak

B

_n( )

(x + y; ) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

(x; )y

k

E

_n( )

(x + y; ) =

n

X

k=0

n

k

E

( ) n k

(x; )y

k

elde edilir.

Di¼

ger taraftan (2.20) ve (2.21) den

E

_n( 1)

(x; ) =

1

2

n

X

k=0

n

k

E

( ) k

(x; ) + E

( ) n

(x; )

!

, n 2 N

0

B

_n( )

(x;

2

) = 2

n n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

( )E

( ) k

(2x; )

ve

B

n

(x;

) = 2

n 1

B

n

(

x + 1

2

;

2

)

B

n

(

x

2

;

2

)

ifadeleri elde edilir (Luo 2009).

Teorem 2.6

(Luo ve Srivastava 2006) Pinter-Srivastava toplama teoremi olarak

ifade edilen a¸

sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar vard¬r:

B

_n( )

(x + y; )

=

1

2

n

X

k=0

n

k

B

( ) k

(y; )

E

n k

(x; ) +

n k

X

j=0

n

k

j

E

j

(x; )

!

=

1

2

n

X

k=0

n

k

B

( ) k

(y; )E

n k

(x; )

+

2

n

X

k=0

n

k

B

( ) k

(y; )

n k

X

j=0

n

k

j

E

j

(x; ),

E

_n( )

(x + y; )

=

n

X

k=0

2

k + 1

n

k

E

( 1) k+1

(y; )

E

( ) k+1

(y; ) B

n k

(x; ).

Teorem 2.7

(Wang 2008)

,

,

_{2 C, n 2 N}

0

olsun.

. mertebeli

Apostol-Bernoulli polinomu ve

. mertebeli Apostol-Euler polinomu aras¬nda

B

( )_n

(x + y; ) =

1

2

n

X

k=0

n

k

1

X

m=0

m

m

B

_{n k}( )

(m + y; )

!

E

_k( )

(x; )

e¸

sitli¼gi vard¬r.

(2.7) ve (2.8)’de klasik Bernoulli polinomlar¬ ve klasik Euler polinomlar¬ için

Raabe ba¼

g¬nt¬lar¬n¬ vermi¸

stik. ¸

Simdi yüksek mertebeden Apostol-Bernoulli

poli-nomlar¬ ve yüksek mertebeden Apostol-Euler polipoli-nomlar¬ için Raabe ba¼

g¬nt¬s¬n¬n

genelle¸

stirmesini verelim.

Teorem 2.8

_{(Luo 2009) m 2 N}

0

,

,

2 C olsun. Yüksek mertebeden

Apostol-Bernoulli polinomu için

B

_n( )

(mx; ) = m

n

X

v1; ;vm 1 0

v

1

;

; v

m 1 r

B

_n( )

(x +

r

m

;

m

).

(2.25)

çarp¬m e¸

sitli¼gi vard¬r. Burada

r = v

1

+ 2v

2

+

+ (m

1) v

m 1

,

v

1

;

; v

m 1

=

(

1)

(

v

1

v

2

v

m

+ 1)

v

1

!v

2

!

v

m

!

d¬r.

Teorem 2.9

_{(Luo 2009) m 2 N}

0

, n, l 2 N, ,

2 C olsun. Bu durumda yüksek

mertebeden Apostol-Euler polinomlar¬için Raabe ba¼g¬nt¬s¬a¸

sa¼g¬daki e¸

sitlikler verilir:

m

tek ise,

E

_n( )

(mx; )

= m

n

X

v1; ;vm 1 0

v

1

;

; v

m 1

(

)

r

E

_n( )

(x +

r

m

;

m

),

(2.26)

m

çift ise

E

_n( )

(mx; )

=

( 2)

l

m

l

(n + 1)

_l

X

0 v1;v2; ;vm 1 l v1+v2+ +vm 1=l

v

1

; v

2

;

; v

m 1

(

)

r

B

_n+l(l)

(x +

r

m

;

m

).

(2.27)

Burada

(n)

₀

= 0; (n)

_k

= n (n + 1)

(n + k

1)

dir.

(2.22) ba¼

g¬nt¬s¬kullan¬larak

G

( )_n

(x) = G

( )_n

(x; 1),

G

( )_n

( ) = G

( )_n

(0; ),

G

n

(x; ) = G

(1)n

(x; ),

G

n

( ) = G

(1)n

( ), G

(0) n

(0; ) = x

n

e¸

sitlikleri yaz¬labilir (Luo 2009).

Ayr¬ca (2.22) ba¼

g¬nt¬s¬ndan

G

( )_n

(x; ) =

n

X

k=0

n

k

G

( ) n k

( )x

k

_,

G

( )_n

(x; ) =

n

X

k=0

n

k

G

( 1) n k

( )G

k

(x; ),

G

( )_n

(x + 1; ) + G

( )_n

(x; ) = 2nG

(_{n 1}1)

(x; ),

d

dx

G

( ) n

(x; ) = nG

( ) n 1

(x; ),

d

p

dx

p

G

( ) n

(x; ) =

n!

(n

p)!

G

( ) n p

(x; )

, n, p 2 N

o

ve

G

( + )_n

(x + y; ) =

n

X

k=0

n

k

G

( ) k

(x; )G

( ) n k

(y; )

e¸

sitlikleri elde edilebilir (Luo 2009).

Teorem 2.10

(Luo ve Srivastava 2011) Genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Genocchi polinomu

G

(l)_n

(x; )

= e

x ln 1

X

k=0

n + k

l

k

n + k

k

1

G

(l)_n+k

(x)

(ln )

k

k!

, n, l 2 N

0

,

2 C

(2.28)

ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar.

Teorem 2.11

( Luo ve Srivastava 2011) Genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Bernoulli, genelle¸

s-tirilmi¸

s Apostol-Euler ve genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Geocchi polinomlar¬aras¬nda a¸

sa¼g¬-daki e¸

sitlikler vard¬r:

G

(l)_n

(x; ) =

n!

(n

l)!

E

(l) n l

(x; ), n, l

2 N

o

,

2 C,

E

_n(l)

(x; ) =

n!

(n + l)!

G

(l) n+l

(x; ), n, l

2 N

o

,

2 C,

G

( )_n

(x; ) = ( 2) B

_n(l)

(x;

),

,

_{2 C, 1 := 1}

ve

B

_n( )

(x; ) =

1

( 2)

G

( ) n

(x;

),

2 C, 1 := 1.

Teorem 2.8 ve Teorem 2.9’a

benzer olarak genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Genocchi

polinomlar¬için katl¬çarpma teoremini verelim.

Teorem 2.12

_{(Jolany vd 2013) m 2 N, n 2 N}

o

,

,

2 C için yüksek mertebeden

Apostol-Genocchi polinomu için

G

( )_n

(mx; )

= m

n

X

v1; ;vm 1 0

v

1

;

; v

m 1

(

)

r

G

( )_n

(x +

r

m

;

m

_).

çarpma formülü vard¬r. Burada

r = v

1

+ 2v

2

+

+ (m

1) v

m 1

,

v

1

;

; v

m 1

=

(

1)

(

v

1

v

2

v

m

+ 1)

v

1

!v

2

!

v

m

!

ve m tek tamsay¬d¬r.

2.4.

Natalini Anlam¬nda Bernoulli Polinomu

Tan¬m 2.13

(Natalini ve Berdani 2003) Yeni genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu

G

[m 1]

(x; t) =

t

m

_e

xt

e

t m 1

_P

h=0 th h!

=

1

X

n=0

B

_n[m 1]

(x)

t

n

n!

(2.29)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. Burada m

1 dir.

"[:]" notasyonu tam de¼

ger fonksiyonu de¼

gildir. Bu tezde bir gösterim olarak

kul-lan¬lm¬¸

st¬r.

m = 1

için G

[0]

(x; t) =

P

1 n=0

B

n[0]

(x)

t n

n!

klasik Bernoulli polinomu elde edilir. (2.29)

ba¼

g¬nt¬s¬dan genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli say¬lar¬n¬n bir kaç tanesi

B

₀[m 1]

= m!;

B

₁[m 1]

=

m!

m + 1

;

B

₂[m 1]

=

2m!

(m + 1)

2

_{(m + 2)}

;

elde edilir.

(2.29)’dan

B

_n[m 1]

(x) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

x

n k

ve

B

_n[m 1]

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

(x)y

n k

=

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

(y)x

n k

Tan¬m 2.14

(Kurt 2010) Katl¬yeni genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu

1

X

n=0

B

_n[m 1; ]

(x)

t

n

n!

=

0

B

B

@

t

m

e

t m 1

_P

h=0 th h!

1

C

C

A e

xt

, ( 2 C)

(2.30)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. m = 1,

= 1 için klasik Bernoulli polinomu elde edilir.

(2.30)’dan

B

_n[m 1; ]

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1; ] k

(x)y

n k

_,

B

_n[m 1; + ]

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1; ] k

(x)B

[m 1; ] n k

(y),

B

_n[m 1; ]

=

n

X

k=0

n

k

B

[m 1;l] k

B

[m 1; l] n k

e¸

sitlikleri elde edilmi¸

stir (Kurt 2010).

Tan¬m 2.15

(Trembly vd 2011) . mertebeden yeni genelle¸

stirilmi¸

s

Apostol-Bernoul-li poApostol-Bernoul-linomunu

1

X

n=0

B

_n[m 1; ]

(x; )

t

n

n!

=

0

B

B

@

t

m

e

t m 1

_P

h=0 th h!

1

C

C

A e

xt

, ( 2 C)

(2.31)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

Trembly vd 2011, Srivastava-Pinter toplama teoremine benzer a¸

sa¼

g¬daki

teorem-leri isptlam¬¸

slard¬r.

Teorem 2.16

(Trembly vd 2011) Apostol-Euler polinomu ile yeni genelle¸

stirilmi¸

s

Apostol-Bernoulli polinomu aras¬nda

B

_n[m 1; ]

(x + y; )

=

n

X

k=0

n

k

B

[m 1; ] k

(y; ) +

k

2

k 1

X

j=0

k

1

j

B

[m 1; ] j

(y; )B

[ 1] k 1 j

(0; )

!

E

n k

(x; )

ba¼g¬nt¬s¬vard¬r.

Teorem 2.17

(Trembly vd 2011) Yeni genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Bernoulli polinomu

için

B

_n[m 1; ]

(x + 1; )

B

_n[m 1; ]

(x; )

= n

n 1

X

k=0

n

1

k

B

[m 1; ] k

(x; )B

[ 1] n 1 k

(0; )

ba¼g¬nt¬s¬vard¬r.

2.5.

Parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi

Polinomlar¬

Bu bölümde Bernoulli polinomlar¬n¬n, Euler polinomlar¬n¬n ve Genocchi

polinom-lar¬n¬n farkl¬bir genelle¸

stirmesi ele al¬nacakt¬r.

Tan¬m 2.18

(Luo vd 2003) a, b ve c pozitif parametreli genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli

polinomu B

n

(x; a; b; c) ile gösterilerek

1

X

n=0

B

n

(x; a; b; c)

t

n

n!

=

t

b

t

_a

t

c

xt

_,

jtj <

2

jln b

ln a

_j

, x 2 R

(2.32)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. Burada a, b, c 2 R

+

, a 6= b dir.

Teorem 2.19

_{(Luo vd 2003) a, b, c 2 R}

+

, a 6= b, x 2 R ve n

0 için

B

n

(x; 1; e; e) = B

n

(x), B

n

(0; a; b; c) = B

n

(a; b),

B

n

(x; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(ln c)

n k

B

k

(a; b)x

n k

,

B

n

(x; a; b; c)

=

n

X

k=0

n

k

(ln c)

n k

(ln b

ln a)

k 1

B

k

ln a

ln a

ln b

x

n k

ve

B

n

(x + 1; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(ln c)

n k

B

k

(x; a; b; c)

e¸

sitlikleri vard¬r.

Tan¬m 2.20

_{(Luo vd 2003) a, b, c 2 R}

+

_{olsun. Genelle¸}

_stirilmi¸

_{s Euler polinomu}

E

n

(x; a; b; c)

1

X

n=0

E

n

(x; a; b; c)

t

n

n!

=

2

b

t

_{+ a}

t

c

xt

_(2.33)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

Teorem 2.21

_{(Luo vd 2003) a, b, c 2 R}

+

_{, x 2 R ve n}

0 olsun.

E

0

(a; b; c) = 1, E

k

(1; e; e) = E

k

, E

k

(a; b; c) = E

k

(b; a; c) ,

E

k

(a ; b ; c ) =

k

E

k

(a; b; c) ,

E

n

(x; a; b; c)

=

k

X

j=0

k

j

(ln c)

k j

ln

b

a

j

x

1

2

k j

E

j

ln c

2 ln a

2 (ln b

ln a)

,

2

n

E

n

(x; a; b; c) =

k

X

j=0

k

j

(ln c)

k j

(2x

1)

k j

E

j

(a; b; c)

e¸

sitlikleri vard¬r.

Tan¬m 2.22

(Srivastava vd 2010) Parametreli . mertebeden Apostol-Bernoulli

poli-nomu

t

b

t

_a

t

c

xt

₌

1

X

n=0

B

_n( )

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

t ln

b

a

+ ln

< 2 ; 1 = 1

(2.34)

e¸

_{sitli¼gi ile tan¬mlan¬r. Burada a, b, c 2 R}

+

_{, a 6= b,}

_{2 C dir.}

= a =

= 1, b = c = e al¬rsak klasik Bernoulli polinomu elde edilir.

Teorem 2.23

_{(Srivastava vd 2010) a, b, c 2 R}

+

, a 6= b, x 2 R olsun. Bu durumda

B

( )_n

(x + 1; ; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(ln c)

n k

B

_k( )

(x; ; a; b; c),

B

( )_n

(x + ; ; a; b; c) = B

_n( )

(x; ;

a

c

;

b

c

; c),

B

_n( + )

(x + y; ; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

B

( ) n k

(x; ; a; b; c)B

( ) k

(y; ; a; b; c),

B

( )_n

(x + y; ; a; b; c) =

k

X

r=0

k

r

(y ln c)

r

B

_{k r}( )

(x; ; a; b; c)

ba¼g¬nt¬lar¬gerçeklenir.

Tan¬m 2.24

(Srivastava vd 2011) Parametreli

. mertebeden Apostol-Euler

poli-nomu

2

b

t

_{+ a}

t

c

xt

₌

1

X

n=0

E

_n( )

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

t ln

b

a

+ ln

< ; 1 = 1

(2.35)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. Burada a, b, c 2 R

+

, a 6= b,

2 C dir.

= a =

= 1, b = c = e al¬rsak klasik Euler polinomu elde edilir.

Teorem 2.25

(Srivastava vd 2011) Parametreli

. mertebeden Apostol-Euler

poli-nomu E

n( )

(x; ; a; b; c) için

E

_n( )

(x + 1; ; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(ln c)

n k

E

_k( )

(x; ; a; b; c),

E

_n( )

(x + ; ; a; b; c) = E

_n( )

(x; ;

a

c

;

b

c

; c),

E

_n( + )

(x + y; ; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

E

( ) n k

(x; ; a; b; c)E

( ) k

(y; ; a; b; c)

e¸

sitlikleri sa¼glan¬r.

Tan¬m 2.26

(Srivastava vd 2011) Parametreli . mertebeden Apostol-Genocchi

poli-nomu

2t

b

t

_{+ a}

t

c

xt

₌

1

X

n=0

G

( )_n

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

t ln

b

a

+ ln

< ; 1 = 1

(2.36)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. Burada a, b, c 2 R

+

, a 6= b,

2 C dir.

= a =

= 1, b = c = e al¬rsak klasik Genocchi polinomu elde edilir.

2.6.

Çok De¼

gi¸

skenli Hermite Polinomlar¬

Tan¬m 2.27

(Rainville 1960) ·

Iki de¼gi¸

skenli klasik Hermite polinomu

1

X

n=0

H

n

(x; y)

t

n

n!

= exp(2xt

yt

2

₎

_(2.37)

ifadesiyle ya da denk olan

H

n

(x; y) = n!

[

n 2

]

X

m=0

( y)

m

_(2x)

n 2m

m!(n

2m)!

(2.38)

e¸

sitli¼gi ile tan¬mlan¬r (Dattoli vd 1997).

(2.37)’den iki de¼

gi¸

skenli Hermite polinomu ile tek de¼

gi¸

skenli H

n

(x)

polinomu

aras¬nda

H

n

(x; y) = n!

[

n 2

]

X

m=0

H

n 2m

(x)

(1

y)

m

m!(n

2m)!

(2.39)

ba¼

g¬nt¬s¬vard¬r. (2.37)’den

d

dx

H

n

(x; y) = 2nH

n 1

(x; y),

d

dy

H

n

(x; y) =

n (n

1) H

n 2

(x; y),

H

n

(x; y) = 2xH

n 1

(x; y)

2 (n

1) yH

n 2

(x; y)

e¸

sitlikleri yaz¬labilir (Dattoli vd 1997).

exp 2 (x + y) t

2t

2

= G(x; y; t)

(2.40)

olarak alal¬m.

(2.37) ve (2.40) ba¼

g¬nt¬lar¬ndan

H

n

(x + y; 2) =

n

X

r=0

n

r

H

n r

(x)H

r

(y)

(2.41)

elde edilir. Benzer ¸

sekilde

H

n

(x + y + z; 3) =

n

X

r=0

n

r

H

n r

(x + y)H

r

(z)

(2.42)

daha da genel olarak

H

n M

X

s=1

x

s

; M

!

=

n

X

r=0

n

r

H

n r M

_X

1 s=1

x

s

; M

1

!

H

r

(x

M

)

(2.43)

elde edilir (Dattoli vd 1994).

Tan¬m 2.28

(Dattoli vd 1994) ·

Iki de¼gi¸

skenli genelle¸

stirilmi¸

s Hermite polinomu

1

X

n=0 (2)

_H

n

(x; y)

t

n

n!

= exp(2xt

t

2

_{+ 2yt}

2

_t

4

₎

_(2.44)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

Bu polinomlar

(2)

_H

n

(x; y) = n!

[

n 2

]

X

r=0

H

n 2r

(x)H

r

(y)

r!(n

2r)!

seri ifadesiyle verilir (Dattoli vd 1994). Benzer olarak üç de¼

gi¸

skenli genelle¸

stirilmi¸

s

Hermite polinomu

1

X

n=0 (3;2)

_H

n

(x; y; z)

t

n

n!

= exp(2xt

t

2

_{+ 2yt}

2

_t

4

_{+ 2zt}

3

_t

6

₎

(3;2)

_H

n

(x; y; z) = n!

[

n 3

]

X

r=0 (2)

_H

n 3r

(x; y)H

r

(z)

r!(n

3r)!

e¸

sitlikleriyle ifade edilir (Dattoli vd 1994). Bu ¸

sekilde tan¬mlanan çok de¼

gi¸

skenli

Her-mite polinomlar¬na literatürde Bell tipli HerHer-mite polinomu denmektedir. (2.44)

den-klemindeki de¼

gi¸

sken say¬s¬say¬labilir say¬ya geni¸

sletilebilir. Hermite polinomlar¬n¬n

çe¸

sitli tan¬mlar¬kaynaklarda görülmektedir. Ayn¬ara¸

st¬rmac¬lar farkl¬yay¬nlar¬nda

farkl¬tan¬mlar kullanm¬¸

slard¬r. Bu tan¬mlar benzer tiptedir.

Tan¬m 2.29

(Dattoli vd 1997) ·

Iki de¼gi¸

skenli genelle¸

stirilmi¸

s Hermite polinomu

e

t(ax+by)+h(bx+cy) 12

(

at 2_+2bth+ch2

) =

X

1 m=0 1

X

n=0

t

m

m!

h

n

n!

H

m;n

(x; y)

a; c

_{2 R}

+

, ac

b

2

> 0

(2.45)

e¸

sitli¼giyle tan¬mlan¬r. Bu tip polinomlara Appell-Kampé de Fériet tipi polinomlar

denir.

(2.45) ba¼

g¬nt¬s¬ndan

H

m;n

(x; y)

=

min(m;n)

X

q=0

( 1)

q

q!

m

q

n

q

b

q

_H

m q

(ax + by;

a

2

)H

n q

(bx + cy;

c

2

)

e¸

sitli¼

gi yaz¬labilir.

(2.45) e¸

sitli¼

gi ile tan¬mlanan genelle¸

stirilmi¸

s Hermite polinomunun gerçekledi¼

gi

ve toplama formulü olarak isimlendirilen

H

m;n

(x + x

1

; y + y

1

)

=

1

2

m+n2 m

X

p=0 n

X

q=0

m

q

n

q

H

m p;n q

(

p

2x;

p

2y)H

p;q

(

p

2x

1

;

p

2y

1

)

e¸

sitli¼

gi (2.45)’den kolayca elde edilir.

(Dattoli vd 2008) a¸

sa¼

g¬daki dört de¼

gi¸

skenli tek parametreli Hermite polinomunun

üreteç fonksiyonunu tan¬mlam¬¸

slard¬r:

1

X

m=0 1

X

n=0

u

m

m!

v

n

n!

H

m;n

(x; ; y;

j ) = e

xu+ u2_{+yv+ v}2_{+ uv}

.

(2.46)

(2.46) ba¼

g¬nt¬s¬diferansiyel denklem çözümlemelerinde, di¼

ger matematik ve …zikte

bir çok uygulamas¬ vard¬r. (2.46) ba¼

g¬nt¬s¬ bu tezin bulgular k¬sm¬nda tekrar ele

al¬nacakt¬r. Bu ba¼

g¬nt¬yard¬m¬yla üstel fonksiyonlar¬n integralini hesaplamada

kul-lan¬lacakt¬r.

(2.46)’dan

H

m;n

(x; ; y;

j ) = m!n!

min(m;n)

_X

s=0 s

s! (m

s)! (n

s)!

H

m s

(x; )H

n s

(y; )

e¸

sitli¼

gi elde edilir (Dattoli vd 2008).

2.7.

Hermite Tabanl¬ Bernoulli, Euler Polinomlar¬ ve Hermite Tabanl¬

Apostol-Bernoulli Polinomlar¬

Klasik Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlar¬n¬(2.1)-(2.3) ba¼

g¬nt¬lar¬nda

tan¬m-lam¬¸

st¬k. Di¼

ger taraftan Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi

poli-nomlar¬da (2.19)-(2.21) e¸

sitliklerinde ifade edilmi¸

stir. Burada

Hermite-tabanl¬poli-nomlar verilecektir. Bu poliHermite-tabanl¬poli-nomlar¬n temel özellikleri incelenecektir.

Tan¬m 2.30

(Dattoli vd 1999) Hermite tabanl¬Bernoulli polinomu

1

X

n=0

(

H

B

n

(x; y))

t

n

n!

=

t

e

t

₁

e

xt+yt2

(2.47)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

(2.47)’den

H

B

n

(x; y) =

n

X

s=0

n

s

B

n s

H

s

(x; y)

e¸

sitli¼

gi kolayca elde edilir (Dattoli vd 1999). Burada H

s

(x; y)

iki de¼

gi¸

skenli Hermite

polinomudur.

Ayr¬ca

H

B

n

(x; 0) = B

n

(x),

d

dx

(

H

B

n

(x; y)) = n (

H

B

n 1

(x; y))

,

d

dy

(

H

B

n

(x; y)) = n (n

1) (

H

B

n 2

(x; y))

,

d

dy

(

H

B

n

(x; y)) =

d

2

dx

2

(

H

B

n

(x; y))

e¸

sitlikleri yaz¬labilir (Dattoli vd 1999).

Tan¬m 2.31

(Khan vd 2009) Hermite tabanl¬Euler polinomu

1

X

n=0

(

H

E

n

(x; y))

t

n

n!

=

2

e

t

_{+ 1}

e

xt+yt2

(2.48)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

(2.48) den

H

E

n

(x; y) =

n

X

k=0

2

k

n

k

E

n k

H

k

(x; y),

H

E

n

(x + 1; y) +

H

E

n

(x; y) = 2H

n

(x; y)

ve

H

B

n

(x; y) = 2

n n

X

m=0

(

H

E

m

(2x; 4y)) B

n m

e¸

sitlikleri yaz¬labilir (Khan vd 2009).

Tan¬m 2.32

(Lu 2011) Hermite tabanl¬ . mertebeden Apostol-Bernoulli polinomu

1

X

n=0 H

B

( )n

(x; y; )

t

n

n!

=

t

e

t

₁

e

xt+yt2

,

_{2 C}

(2.49)

e¸

sitli¼gi tan¬mlan¬r.

(2.49)’dan

H

B

n

(x; y; ) =

H

B

(1)n

(x; y; ),

H

B

n

(x; y) =

H

B

(1)n

(x; y; 1)

yaz¬labilir (Lu 2011). (2.49) do¼

guray fonksiyonu tan¬m¬ndan

d

dx

H

B

( ) n

(x; y; ) = n

H

B

( ) n 1

(x; y; )

,

d

dy

H

B

( ) n

(x; y; )

= n (n

1)

H

B

( ) n 2

(x; y; )

,

d

dy

H

B

( ) n

(x; y; )

=

d

2

dx

2 H

B

( ) n

(x; y; )

elde edilir (Lu 2011).

Hermite tabanl¬ . mertebeden Apostol-Bernoulli polinomlar¬n¬n gerçekledi¼

gi

rekürans ba¼

g¬nt¬lar¬ndan baz¬lar¬

H

B

( )n

(x; y; ) =

n

X

m=0

n

m

B

( ) n m

( )H

m

(x; y),

H

B

n( )

(x; y; ) =

n

X

m=0

n

m

B

( 1) n m

( ) (

H

B

m

(x; y; ))

,

H

n

(x; y) =

1

m + 1

n

X

m=0

n + 1

m

(

H

B

n

(x; y))

¸

seklindedir (Lu 2011).

2.8.

Genelle¸

stirilmi¸

s Frobenius-Euler Polinomlar¬

Tan¬m 2.33

(Carlitz 1959) Eulerian polinomu

1

X

n=0

H

n

(x

ju)

t

n

n!

=

1

u

e

t

_u

e

xt

e¸

_{sitli¼gi ile tan¬mlan¬r. Burada u 2 Cn f1g d¬r. x = 0 için H}

n( )

(0; u) Frobenius-Euler

say¬s¬elde edilir. Klasik Frobenius-Euler polinomu

m

n m 1

X

n=0

u

m 1 r

H

n

x +

r

m

ju

m

=

1

u

m

1

u

H

n

(mu

ju)

çarpma ba¼g¬nt¬s¬n¬ve

(2u

1)

n

X

r=0

n

r

H

n r

(u

j1

u) = uH

n

(u + v

ju)

(1

u) H

n

(u + v

j1

u)

rekürsiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar (Carlitz 1959).

Tan¬m 2.34

(Kurt ve ¸

Sim¸

sek 2011) H

n

(x

ju; b; c) genelle¸stirilmi¸s Frobenius-Euler

polinomu

1

X

n=0

H

n

(x

ju; b; c)

t

n

n!

=

1

u

b

t

_u

c

xt

_(2.50)

üreteç fonksiyonu ile tan¬mlan¬r. Burada b, c 2 R

+

, u 2 C ve juj > 1 dir.

b = c = e

al¬rsak klasik Frobenius-Euler polinomu elde edilir.

x = 0

için

1

X

n=0

H

n

(u; b)

t

n

n!

=

1

u

b

t

_u

Frobenius-Euler say¬s¬elde edilir (Kurt ve ¸

Sim¸

sek 2011).

(2.50) den

H

n

(x; u; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(x ln c)

n k

H

k

(u; b; c)

ve

d

dx

H

n

(x; u; b; c) = (ln c)

n

H

n 1

(x; u; b; c)

elde edilir (Kurt ve ¸

Sim¸

sek 2011).

Son y¬llarda üzerinde çok çal¬¸

sma yap¬lan genelle¸

stirilmi¸

s Hurwitz-Lerch zeta

fonksiyonu

( ; )_{( ; )}

(z; s; a)

( ; ) ( ; )

(z; s; a) :=

1

X

n=0

( )

_n

( )

_n

z

n

(n + a)

s

(2.51)

ifadesiyle tan¬mlan¬r (Srivastava vd 2010). Burada

s

_{, z 2 C ( jzj < 1) için}

_{2 C, a,}

_{2 CnZ}

₀

,

,

_{2 R}

+

;

<

;

jzj = 1 için =

ve Re(s

+ ) > 0

d¬r.

(2.51) denkleminden

(1;1) ( ;1)

(z; s; a) =

( )

(z; s; a) =

1

X

n=0

( )

_n

n!

z

n

(n + a)

s

yaz¬labilir (Srivastava vd 2010).

(1;1) (1;1)

(z; s; a) =

1

X

n=0

z

n

(n + a)

s

jzj < 1 iken a 2 CnZ

0

, s 2 C; jzj = 1 iken Re s > 1

oldu¼

gunda Lerch-zeta fonksiyonu,

(1;1)

(1;1)

(1; s; a) = (s; a)

, Re s > 1, a 2 CnZ

0

oldu¼

gunda Hurwitz zeta fonksiyonu,

(1;1)

(1;1)

(1; s; 1) = (s), Re s > 1,

Riemann zeta fonksiyonu elde edilir.

3.

BULGULAR

3.1.

2D-Hermite Bernoulli Polinomu ·

Için Baz¬Genelle¸

stirmeler

Bu bölümde (2.29) ba¼

g¬nt¬s¬ yard¬m¬yla Natalini anlam¬nda 2D-Hermite Bernoulli

polinomlar¬tan¬mlanm¬¸

st¬. Bu polinomlar¬n baz¬temel özellikleri verilecektir.

(2.29) ba¼

g¬nt¬s¬yard¬m¬yla a¸

sa¼

g¬daki önerme elde edilir.

Önerme 3.1

a

_{2 R}

+

_{olsun. Genelle¸}

_stirilmi¸

_{s Bernoulli polinomu B}

[m 1]

n

(x), a¸

sa¼g¬-daki ba¼g¬nt¬lar¬sa¼glar:

B

_n[m 1]

(x) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

x

n k

_,

B

_n[m 1]

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

(x)y

n k

=

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

(y)x

n k

ve

B

[m 1]_n

(ax) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1] k

(x)(a

1)

n k

_x

n k

_.

¸

Simdi Tan¬m 2.14’ü kullanarak a¸

sa¼

g¬daki teoremi ifade edelim.

Teorem 3.2

mertebeli genelle¸

stirilmi¸

s Bernoulli polinomu B

n[m 1; ]

(x)

B

_n[m 1; + ]

(x + y) =

n

X

k=0

n

k

B

[m 1; ] k

(x)B

[m 1; ] n k

(y)

(3.1)

toplam¬n da¼g¬lma ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar.

·

Ispat.

(2.30) ba¼

g¬nt¬s¬ndan

1

X

n=0

B

_n[m 1; + ]

(x + y)

t

n

n!

=

0

B

B

@

t

m

e

t m 1

_P

h=0 th h!

1

C

C

A

( + )

e

(x+y)t

=

1

X

n=0

B

_n[m 1; ]

(x)

t

n

n!

!

₁

X

n=0

B

_n[m 1; ]

(y)

t

n

n!

!

=

1

X

n=0 n

X

k=0

n

k

B

[m 1; ] k

(x)B

[m 1; ] n k

(y)

!

t

n

n!

bulunur. Yukar¬daki denklemde

t_n!n

in katsay¬lar¬kar¸

s¬la¸

st¬r¬l¬rsa istenilen sonuç

bu-lunur.

Bir önceki bölümde Hermite polinomlar¬n¬n baz¬ genelle¸

stirilmeleri verilmi¸

stir.

Bunlardan 2001 y¬ll¬nda Bretti vd taraf¬ndan

1

X

n=0

H

_n(2)

(x; y)

t

n

n!

= e

xt+yt2

(3.2)

baz iki de¼

gi¸

skenli Hermite polinomlar¬n¬n üreteç fonksiyonu tan¬mlanm¬¸

st¬r. Bu

poli-nomlar için sa¼

glad¬¼

g¬baz¬özellikler verilmi¸

stir.

Bu bölümde bu polinomlar ile ilgili baz¬özde¸

slikler ve ba¼

g¬nt¬lar verilecektir.

Tan¬m 3.3

(Bretti vd 2004) 2D Bernoulli polinomu B

n(2)

(x; y)

t

e

t

₁

e

xt+yt2

=

1

X

n=0

B

_n(2)

(x; y)

t

n

n!

(3.3)

ifadesiyle tan¬mlan¬r.

(2.47)’de verilen tan¬mdaki Hermite-tabanl¬ Bernoulli polinomu

H

B

n

(x; y)

ile

(3.3) de verilen 2D-Bernoulli polinomu B

n(2)

(x; y)

ayn¬ anlamdad¬r. Ayn¬ yazarlar

farkl¬yay¬nlar¬nda her iki tan¬m¬da kullanm¬¸

slard¬r.

Tan¬mdan B

n(2)

(x; y), 2D Bernoulli polinomu ile H

n(2)

(x; y), iki de¼

gi¸

skenli Hermite

polinomu aras¬nda

B

_n(2)

(x; y) =

n

X

k=0

n

k

B

n k

H

(2) k

(x; y)

= n!

n

X

k=0

B

n k

(n

k)!

[

k 2

]

X

s=0

x

k 2s

_y

s

s!(k

2s)!

,

H

_n(2)

(x; y) =

n

X

h=0

n

h

1

n

h + 1

B

(2) h

(x; y)

ba¼

g¬nt¬lar vard¬r.

Teorem 3.4

2D Bernoulli polinomu

B

_n(2)

(x + 1; y)

B

_n(2)

(x; y) = nH

_{n 1}(2)

(x; y)

(3.4)

ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar.

·

Ispat.

(3.3) denkleminden

1

X

n=0

B

(2)_n

(x + 1; y)

t

n

n!

1

X

n=0

B

(2)_n

(x; y)

t

n

n!

= te

xt+yt2

= t

1

X

n=0

H

_n(2)

(x; y)

t

n

n!

yaz¬labilir.

1

X

n=0

B

_n(2)

(x + 1; y)

B

_n(2)

(x; y)

t

n

n!

=

1

X

n=0

nH

_{n 1}(2)

(x; y)

t

n

n!

elde edilir.

t_n!n

nin katsay¬lar¬kar¸

s¬la¸

st¬r¬larak istenen bulunur.

3.2.

Genelle¸

stirilmi¸

s Parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve

Apostol-Genocchi Polinomlar¬ ·

Için Baz¬Genelle¸

stirmeler

Bu kesimde ilk olarak Genocchi tipli say¬lar ve Genocchi tipli polinomlar ele al¬narak,

sa¼

glad¬klar¬rekürans ba¼

g¬nt¬lar¬ispatlanacakt¬r.

Genelle¸

stirilmi¸

s parametreli Apostol-Genocchi polinomlar¬n¬(2.36) da

2t

b

t

_{+ a}

t

c

xt

₌

1

X

n=0

G

n( )

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

t ln

b

a

+ ln

< ; 1 = 1

ba¼

g¬nt¬s¬yla verilmi¸

_{sti. Burada a, b, c 2 R}

+

_{, a 6= b,}

_{2 C dir.}

(2.36) denkleminde

=

= 1

ve x = 0 al¬nd¬¼

_{g¬nda Genocchi tipli G}

n

(a; b)

say¬s¬

1

X

n=0

G

n

(a; b)

t

n

n!

=

2t

b

t

_{+ a}

t

;

jtj <

_{jln b}

_{ln a}

_j

(3.5)

e¸

sitli¼

gi ile tan¬mlan¬r (Luo ve Srivastava 2011).

Bu bölüm boyunca

_{2 Z}

+

_{olarak al¬nm¬¸}

_st¬r.

G

n

(1; e) = G

n

, klasik Genocchi say¬s¬d¬r. (3.5) den

e

G(a;b)t

=

2t

e

t(ln b ln a)

_{+ 1}

e

t ln a

yaz¬labilir. Baz¬hesaplamalardan sonra

G

0

(a; b) = 0

, G

1

(a; b) = 1

G

n

(a; b) +

n

X

k=0

n

k

(ln b

ln a)

k n

G

k

(a; b) = 2n ln

1

a

n 1

rekürans ba¼

g¬nt¬lar¬elde edilir. Buradan bir kaç Genocchi say¬s¬

G

2

(a; b) =

ln a

ln b,

G

3

(a; b) =

6(ln a)

3

+ 3 ln a ln b

elde edilir.

Önerme 3.5

a

_{, b 2 R}

+

_{olsun. A¸}

_{sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar¬n herbiri do¼grudur:}

G

n

(a; b) = (ln b

ln a)

n 1

G

n

ln a

ln a

ln b

,

G

n

(a; b) =

n

X

k=0

n

k

(

ln a)

n k

(ln b

ln a)

k 1

_G

k

.

·

Ispat.

(3.5)’den

1

X

n=0

G

n

(a; b)

t

n

n!

=

1

X

n=0

(ln b

ln a)

n 1

G

n

ln a

ln a

ln b

t

n

n!

yaz¬l¬r.

t_n!n

nin katsay¬lar¬e¸

sitlenerek Önerme 3.7 nin ilk k¬sm¬ispatlanm¬¸

s olur.

·

Ikinci e¸

sitlik için

1

X

n=0

G

n

(a; b)

t

n

n!

=

1

ln b

ln a

1

X

n=0

(ln b

ln a)

n

_G

n

t

n

n!

1

X

n=0

(

ln a)

n

t

n

n!

yaz¬l¬r. Sa¼

g taraf da Cauchy çarp¬m¬ uygulanarak ve

t_n!n

in katsay¬lar¬ e¸

sitlenerek

istenen sonuç elde edilir.

(2.36) denkleminde

= 1

_{alarak Genocchi tipli G}

n

(x; a; b; c)

polinomu

1

X

n=0

G

n

(x; a; b; c)

t

n

n!

=

2t

b

t

_{+ a}

t

c

xt

_;

jtj <

jln b

ln a

_j

(3.6)

ifadesiyle tan¬mlan¬r. Burada a, b, c 2 R

+

(2.36) ve (3.6)’dan

G

n

(0; a; b; c) =

G

n

(1; a; b; c)

ve

G

n

(x) =

G

n

(x; 1; e; e),

G

n

= G

n

(0) =

G

n

(0; 1; e; e) =

G

n

(x; 1; e; 1)

elde edilir.

Ayr¬ca (2.34) ile verilen B

(l)n

(x; ; a; b; c)

genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Bernoulli

poli-nomlarda, (2.35) E

n(l)

(x; ; a; b; c)

genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Euler polinomu ve (2.36)

G

n(l)

(x; ; a; b; c)

genelle¸

stirilmi¸

s Apostol-Genocchi polinomu

G

n

(x; a; b; c) =

2

B

(1)n

(x;

1; a; b; c) = n

E

(1)

n 1

(x; 1; a; b; c)

yaz¬l¬r.

Önerme 3.6

a

_{, b, c 2 R}

+

, a 6= b olmak üzere a¸sa¼g¬daki ifadeler vard¬r:

G

n

(x; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(x ln c)

n k

G

k

(a; b)

ve

G

n

(x; a; b; c) =

n

X

k=0

n

k

(x ln c)

n k

(ln b

ln a)

n 1

G

k

ln a

ln a

ln b

.

Bu önermenin ispat¬Tan¬m 3.8 kullanarak hemen elde edilir.

Di¼

ger taraftan Tan¬m 3.8 den

1

X

n=0

G

n

(x + y; a; b; c)

t

n

n!

= 2tc

xt

+ 2tc

xt

c

yt

_a

t

_b

t

b

t

_{+ a}

t

= 2

1

X

n=0

(x ln c)

n

t

n+1

n!

+

1

X

n=0

G

n

(x; a; b; c)

t

n

n!

!

1

X

n=0

((y ln c)

n

(ln a)

n

(ln b)

n

)

t

n

n!

!

yaz¬l¬r. Bu seri özde¸

sli¼

ginden

G

n

(x + y; a; b; c) = 2n (x ln c)

n 1

+

n

X

k=0

n

k

(y ln c)

n k

(ln a)

n k

(ln b)

n k

_G

k

(x; a; b; c)

elde edilir.

Genelle¸

stirilmi¸

s parametreli Apostol-Bernoulli ve Apostol-Euler polinomu (2.34)

ve (2.35)’de s¬ras¬yla a¸

sa¼

g¬daki ifadeler ile tan¬mlan¬r:

t

b

t

_a

t

c

xt

₌

1

X

n=0

B

( )n

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

burada t ln

b

a

+ ln

< 2 ; 1 = 1

ve

2

b

t

_{+ a}

t

c

xt

₌

1

X

n=0

E

n( )

(x; ; a; b; c)

t

n

n!

;

burada t ln

b

a

+ ln

< ; 1 = 1

d¬r.

Teorem 3.7

a

_{, b 2 R}

+

, a 6= b, x, y 2 R ise

B

m( )

x + y

2

;

2

; a; b; c

= 2

m m

X

k=0

m

k

E

( ) k

(y; ; a; b; c)

B

( ) m k

(x; ; a; b; c)

ba¼g¬nt¬s¬vard¬r.

·

Ispat.

(2.34) ve (2.35) den

1

X

m=0

B

( )m

x + y

2

;

2

_{; a; b; c}

(2t)

m

m!

=

2

b

t

_{+ a}

t

t

b

t

_a

t

c(

x+y 2

)

2t

=

1

X

m=0 m

X

k=0

m

k

E

( ) k

(y; ; a; b; c)

B

( ) m k

(x; ; a; b; c)

!

t

m

m!

yaz¬l¬r.

t_m!m

in katsay¬lar¬n¬kar¸

s¬la¸

st¬rarak istenen bulunur.

Önteorem 3.8

x

1

, x

2

,

,x

n

bir halkan¬n de¼gi¸

smeli elemanlar¬ise her

2 C için

(1 + x

1

+ x

2

+

+ x

n

) =

X

v1;v2; ;vm 0

v

1

; v

2

;

; v

m

x

v1₁

x

vm_m

(3.7)

dir. Burada toplam v

i

0 bütün tan¬msay¬lar üzerinde al¬n¬p

v

1

; v

2

;

; v

m

=

(

1)

(

v

1

v

2

v

m

+ 1)

v

1

!v

2

!

v

m

!

(3.8)

dir (Luo 2009).

Bu önerme daha sonra ki bölümler de kullan¬lacakt¬r.

Teorem 3.9

m

_{2 N,}

_{2 C olsun. Bu durumda}

B

n( )

(mx; ; a; b; c)

m

n

=

X

v1;v2; ;vm 1 0

v

1

; v

2

;

; v

m 1 r

B

n

x +

r(ln b

ln a) +

ln a(m

1)

m ln c

;

m

_{; a; b; c}

dir. Burada

r = v

1

+ 2v

2

+

+ (m

1) v

m 1

,

v

1

;

; v

m 1

=

(

1)

(

v

1

v

2

v

m

+ 1)

v

1

!v

2

!

v

m

!

dir.

·

Ispat.

t

b

t

_a

t

=

te

t ln a

0

B

B

@

m 1

_P

k=0 k

_e

kt(ln b ln a)

1

m

e

mt(ln b ln a)

1

C

C

A

alarak ve (2.34) kullanarak

1

X

n=0

B

_n( )

(mx; ; a; b; c)

t

n

n!

=

te

t ln a

1

m

e

mt(ln b ln a) m 1

X

k=0 k

e

kt(ln b ln a)

!

e

mxt(ln c)

=

X

v1;v2; ;vm 1 0

v

1

; v

2

;

; v

m 1 r

te

t ln a

1

m

e

mt(ln b ln a)

e

mt ln c

(

x+r(ln b_{m ln c}ln a)

)