Diziler ve bazı özel matrislerin özellikleri

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DİZİLER VE BAZI ÖZEL MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

Mustafa BAHŞİ DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA - 2010

ÖZET

DOKTORA TEZİ

DİZİLER VE BAZI ÖZEL MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

Mustafa BAHŞİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Süleyman SOLAK 2010, 51 Sayfa

Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Eşref HATIR Doç. Dr. Süleyman SOLAK Doç. Dr. Naim TUĞLU Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Bu çalışmada, elemanları bir aritmetik dizinin veya geometrik dizinin terimleri olacak şekilde seçilen Toeplitz, Hankel ve circulant matrislerin normu, özdeğerleri, determinantı gibi özelliklerini inceledik. Sonuçları dizinin ilk terimine, ortak farkına ( ortak katına ) ve matrisin mertebesine bağlı olarak elde ettik. Ayrıca elde edilen sonuçlarla ilgili nümerik örnekler verdik.

Anahtar Kelimeler: Aritmetik Dizi, Geometrik Dizi, Toeplitz Matris, Hankel Matris, Circulant Matris, Özdeğer, Matris Normu.

ABSTRACT

PhD Thesis

Sequences and Properties of Some Special Matrices

Mustafa BAHŞİ

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK 2010, 51 Pages

Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Eşref HATIR

Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK Assoc. Prof. Dr. Naim TUĞLU Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

In this study, we have investigated the properties as eigenvalues, norm and determinant of Toeplitz, Hankel and circulant matrices which, entries are consist of arithmetic or geometric sequences. We have obtained the results which depend on the first term of sequence, the common difference ( or common multiplier) of sequence and dimension of matrix. Also, we have given numerical examples related to obtained results.

Key Words : Arithmetic Sequence, Geometric Sequence, Toeplitz Matrix, Hankel Matrix, Circulant Matrix, Eigenvalue, Matrix Norm.

ÖNSÖZ

Diziler ve Bazı Özel Matrislerin Özellikleri adlı bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı öğretim üyesi Doç. Dr. Süleyman SOLAK yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne doktora tezi olarak sunulmuştur.

Bu tezin hazırlanmasında bana yol gösteren ve her türlü desteği sağlayan danışmanım Sayın Doç. Dr. Süleyman SOLAK Bey’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Mustafa BAHŞİ KONYA - 2010

İÇİNDEKİLER ÖZET...iii ABSTRACT...iv ÖNSÖZ...v 1. GİRİŞ ...1 1.1. Problemin Tanıtımı ...1 1.2. Literatür Özeti...2 1.3. Tezin Yapısı...4 2. TEMEL BİLGİLER...5 2.1. Diziler ...5

2.2. Toeplitz, Hankel ve Circulant Matrisler ...6

2.3. Matris Normları...9

3. DİZİLER VE MATRİSLER...12

3.1. Diziler ve Circulant Matrisler...12

3.2. Diziler ve Toeplitz Matrisler...29

3.3. Diziler ve Hankel Matrisler ...38

4. NÜMERİK SONUÇLAR...45

5. SONUÇ VE ÖNERİLER ...49

1. GİRİŞ

Teknolojinin hızla ilerlediği günümüzde, matematik ile diğer bilimler arasında bir yakınlaşma doğmuştur. Bu yakınlaşmada matris teorisinin ayrı bir önemi vardır. Çünkü; mühendislik, istatistik ve diğer pek çok alanda matrislerle karşılaşılmaktadır.

Özdeğer, singüler değer ve norm gibi kavramlar matris teorisinin önemli konularındandır. Matrisin mertebesi büyüdükçe, bu kavramların sayısal değerlerini hesaplamak zorlaşmakta hatta imkansız hale gelmektedir. Örneğin 44 ve daha büyük mertebedeki matrislerin özdeğerlerini hesaplamak zor ve oldukça zaman alır. Ancak matrisi veya elemanlarını özel seçmek, bize hem kolaylık, hem de dikkate değer bulgular sunmaktadır.

Bizim bu çalışmadaki amacımız ise; elemanlarını özel olarak seçtiğimiz matrislerin özelliklerini araştırmaktır. Çalışmamızda ele alacağımız matrisler Circulant, Toeplitz ve Hankel matrisler olup elemanları ise bir aritmetik veya geometrik dizinin ardışık terimleri olacaktır.

Bu bölümde, problemin tanıtımı, literatür özeti ve tezin yapısı ele alınacaktır.

1.1. Problemin Tanıtımı

Toeplitz ve Hankel matrisleri 19. yüzyılın sonlarından bugüne kadar matematik literatüründe önemli bir yer tutmaktadır. Şöyle ki, Toeplitz ve Hankel matrisleri matematiğin çeşitli dallarında (cebir, fonksiyonel analiz, ihtimal teori, matris teori, harmonik analiz gibi) geniş bir uygulama sahasına sahiptir. Circulant matrislerden ise 4 ve daha az dereceli polinomların köklerini bulmada yararlanılmaktadır.

Genel anlamdaki bir circulant, Toeplitz ve Hankel matrisin bilinen özellikleri vardır. Biz ise böyle matrislerin elemanlarını özel seçip özelliklerini inceleyeceğiz. Şöyle ki; a ve r birer reel sayı olmak üzere, bir

 

, 1 n ij _{i j} C c   circulant matrisin elemanlarını,

c_ij a





ji

 

modn r





(1.1) veya c_ij arj i  modn (1.2) şeklinde, bir

 

1 , 0 n ij _{i j} T t  

 Toeplitz matrisin elemanlarını,

t_ij a( j i)r (1.3) veya j i ij ar t _  _(1.4) şeklinde, bir

 

1 , 0 n ij _{i j} H h  

 Hankel matrisin elemanlarını,

h_ij a( i j)r (1.5) veya

h_ij arij (1.6)

şeklinde seçeceğiz. (1.1) de i1, (1.3) ve (1.5) de i0 için,

 

₁

1 n j _j c  ,

 

1 0 ₀ n j _j t   ve

 

0 1₀ n j _j h 

 dizilerinin aritmetik dizi, (1.2) de i1, (1.4) ve (1.6) da i0 için,

 

1 ₁ n j _j c  ,

 

1 0 ₀ n j _j t   ve

 

1 0 ₀ n j _j h 

 dizilerinin ise geometrik dizi olduğu açıktır.

Biz bu çalışmada, elemanları (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) ve (1.6) ile tanımlanan circulant, Toeplitz ve Hankel matrislerin özdeğer, singüler değer, determinant, norm gibi özelliklerini inceleyeceğiz.

1.2. Literatür Özeti

Circulant, Toeplitz ve Hankel matrisler, üzerinde çok sayıda araştırma yapılmış özel yapılı matrislerdir. Biz bunlardan bazılarını kısa kısa özetleyeceğiz.

Davis (1979), circulant matris çeşitlerini, onların özelliklerini ve bazı geometrik uygulamalarını ele almıştır.

Hladnik (1999), blokları circulant olan blok circulant matrislerin, Schur normunun hesaplanmasıyla ilgili bir formül vermiştir.

Zhang (1999), circulant matrisler ve polinomlar arasındaki ilişkiyi ve bir circulant matrisin köşegenleştirilmesini ele almıştır. Ayrıca bir circulant matrisin özdeğer, özvektör ve determinantını polinomlara bağlı olarak vermiştir.

Karner ve ark. (2003), sağ circulant matris, sol circulant matris, ters sağ circulant matris ve ters sol circulant matris olarak tanımlanan, circulant matrislerin dört tipi için singüler değer ayrışımını ve spektral ayrışımını incelemişlerdir.

Solak (2005), elemanları Fibonacci ve Lucas sayılarından oluşan circulant matrislerin spektral ve Euclidean normları için sınırlar elde etmiştir.

Szegö (1920), Toeplitz matrislerin özdeğerlerinin dağılımı ile ilgili bir temel teoremi ispat etmiştir.

Parter (1986) ve Tyrtyshnikov (1996), Szegö’nün bu temel teoreminden yola çıkarak Toeplitz matrislerin singüler değerlerinin dağılımı için bu temel teoremi genişletmişlerdir.

Tyrtyshnikov (1994), A Toeplitz matris ve _n C circulant matris olmak üzere, _n n

n C

A  matrisinin Euclidean normu için bir eşitlik vermiştir.

Tilli (1998), Toeplitz matrislerin özdeğerlerinin ve singüler değerlerinin dağılımı ile ilgili Szegö, Parter ve Tryrtyshnikov’un çalışmalarını kombine ederek, Toeplitz matrislerin oluşturduğu geniş bir sınıfın asimptotik spektral dağılımı ile ilgili yeni sonuçlar elde etmiştir.

Bozkurt (1998),

_

_

, 1 2 / (1 2( ) n n _{i j} T i j 

   olarak tanımladığı Cauchy-Toeplitz matrisinin _p (1 p) normu için bir alt ve üst sınır elde etmiştir

Bozkurt (1999),





, 1 2 / (1 2( ) n n _{i j} H i j     Cauchy-Hankel matrisi ve



2 / (1 2( )



_,n ₁ n _{i j} T i j 

   Cauchy-Toeplitz matrisi olmak üzere bu matrislerin Hadamard çarpımlarının _p normu için sınırlar tayin etmiştir.

Güngör ve Türkmen (2006), Cauchy-Toeplitz, Cauchy-Hankel ve Hilbert matrislerin singüler değerleri için bazı sınırlar elde etmişlerdir.

Tyrtyshnikov (1994), Hankel matrislerin spektral şart sayısı üzerinde çalışmıştır.

Luk ve Qiao (2000), kompleks Hankel matrislerin özdeğerlerinin bulunması ile ilgili bir algoritma üzerinde çalışmışlardır.

Peart ve Woan (2000), Hankel matrislerin ve Stieltjes matrislerin üreteç fonksiyonları arasındaki bağıntıları incelemişlerdir.

Solak ve Bozkurt (2003), k0,1,2,...,n1 ve i jk



modn



olmak üzere,













_{, 1} , 1 1 n 1 n n _{i j} i j H g h i j g kh      

_   _ _  _ şeklinde tanımlanan Cauchy – Hankel matrislerinin spektral ve _p normları için sınırlar elde etmişlerdir.

Varah (2003), 5 5 ve 7 7 mertebeli 0 ( sıfır ) alterneli persymmetric Hankel matrislerin özdeğerlerini elde etmiştir.

Zielke (1988) matris normları ve bu normlar arasındaki ilişkileri (denklik bakımından) bir tablo halinde sunmuştur.

1.3. Tezin Yapısı

Diziler ve bazı özel matrislerin özellikleri adlı bu tez çalışması 5 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde; amaç belirlendi, problem tanıtıldı ve bu problemle ilgili literatür kısa kısa özetlendi.

İkinci bölümde; Toeplitz, Hankel ve circulant matrisler ile bazı temel kavramlar tanıtıldı.

Üçüncü bölümde; elemanları bir aritmetik dizinin veya geometrik dizinin ardışık terimleri olacak şekilde tanımlanan, Toeplitz, Hankel ve circulant matrislerin özdeğerleri, singüler değerleri, normları ve determinantları gibi bazı özellikleri incelendi.

Dördüncü bölümde; üçüncü bölümde elde edilen bulgularla ilgili nümerik örnekler verildi.

2. TEMEL BİLGİLER

2.1. Diziler

Tanım 2.1.1. Tanım kümesi pozitif doğal sayılar kümesi ve görüntü kümesi reel sayılar kümesi olan

 

a_n :ℕ  _ℝ

şeklinde tanımlanan her fonksiyona bir reel sayı dizisi denir. Bir reel sayı dizisi,

  

a_n  a₁,a₂,...,a_n,...



şeklinde gösterilir. Burada a dizinin ilk terimi olarak, ₁ a ise dizinin genel terimi _n olarak adlandırılır.

Çalışmamız boyunca reel sayı dizisi yerine kısaca dizi ifadesini kullanacağız. Tanım 2.1.2. Ardışık terimleri arasındaki farkları eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani, bir

 

a dizisi, _n n ℕ

için r a a_n1 _n 

olacak biçimde bir r reel sayısına sahipse bu

 

a dizisine bir aritmetik dizi ve r _n sayısına da bu dizinin ortak farkı denir. Bir aritmetik dizinin genel terimi, ilk terime ve ortak farka bağlı olarak,



n



r a

a_n  ₁ 1 şeklinde yazılır.

Tanım 2.1.3. Ardışık terimleri arasındaki oranları eşit olan dizilere geometrik diziler denir. Yani, bir

 

a dizisi, _n n ℕ

için r a a n n1 _

olacak biçimde bir r reel sayısına sahipse, bu

 

a dizisine bir geometrik dizi ve r _n sayısına da dizinin ortak katı denir. Bir geometrik dizinin genel terimi, ilk terime ve ortak kata bağlı olarak,

1 1   n n ar a şeklinde yazılır.

2.2. Toeplitz, Hankel ve Circulant Matrisler

Tanım 2.2.1. T 

 

t_ij n  matrisinin elemanları, n i,j0,1,2,,n1 için t_ij t_ji

biçiminde tanımlanıyorsa, bu T 

 

t_ij matrisine Toeplitz matrisi denir (Iohvidov 1982). Bu şekilde tanımlanan bir Toeplitz matris açık olarak;

                             0 1 3 2 1 1 0 4 3 2 2 3 1 1 1 2 2 1 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T n n n n n n n n o n n          (2.1)

şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları, esas köşegene paralel köşegenler boyunca sabittir. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini, matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz. Eğer t_ji t_m,

1 ,..., 2 , 1 , 0   n

m    olmak üzere t_m t_m ise T Toeplitz matrisi hermityen olur. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Toeplitz matris de

   (t_{j i})_{i,j 0} T olarak tanımlanır.

Tanım 2.2.2. H 

 

h_ij n  matrisinin elemanları, n i,j0,1,2,,n1 için h_ij h_ij

biçiminde tanımlanıyorsa, bu H 

 

h_ij matrisine Hankel matris denir (Gantmacher 1960, Iohvidov 1982). Bu şekilde tanımlanan bir Hankel matris açık olarak;

                            2 2 3 2 1 1 3 2 4 2 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 0 n n n n n n n n n n n n n n h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h H          (2.2)

şeklinde yazılır. Buradan hemen görüleceği üzere Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Hankel matris de

   (h_{i j})_{i,j 0} H olarak tanımlanır.

Şimdi,                  1 0 1 1 0 1  P

matrisini göz önüne alalım. Herhangi bir T Toeplitz matrisi için PT matrisi bir Hankel matrisidir. Ayrıca herhangi bir H Hankel matrisi için de PH matrisi bir Toeplitz matrisidir. Yani, herhangi bir Toeplitz matrisi P ve H gibi simetrik iki matrisin çarpımı olarak yazılabilir (Horn ve Johnson 1985).

Tanım 2.2.3. C 

 

c_ij matrisinin elemanları, i,j1,2,,n için jik



modn



olmak üzere c _ij c_k biçiminde tanımlanıyorsa, bu C 

 

c_ij matrisine circulant matris denir (Dal ve ark. 1996, Solak 2005). Bu şekilde tanımlanan bir circulant matris açık olarak;

                       0 1 3 2 1 1 0 4 3 2 2 3 1 0 1 1 2 2 1 0 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C n n n n n n          (2.3)

şeklinde yazılır. Bir circulant matris ilk satır (veya ilk sütun) vektörü ile temsil edilir. Yani, (2.3) dekiC matrisi, Ccir(c₀,c₁,c₂,..,c_n1) şeklinde de gösterilir.

Circulant matrisler, Toeplitz matrisleri ile yakın benzerlik gösterirler. Toeplitz matrislerinde olduğu gibi circulant matrislerde de esas köşegene paralel köşegenler boyunca elamanlar eşittir. Dolayısıyla her circulant matris bir Toeplitz matris olup, fakat tersi doğru değildir. Örneğin T₃ (ji)_i3_,j1 ve

) 3 (mod k i

j  olacak şekilde C₃  k( )_33 matrislerini alırsak C circulant matrisi ₃ bir Toeplitz matris olduğu halde, T Toeplitz matrisi bir circulant matris değildir. ₃ Tanım 2.2.4. Pcir(0,1,0,..,0)_nn şeklindeki matrise temel (esas) permütasyon matris denir (Davis 1979, Zhang 1999). Bu şekildeki matris açık olarak;

                 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0         P (2.4) şeklinde yazılır.

Şimdi, C ve P sırasıyla (2.3) ve (2.4) deki matrisler, w birimin n. ilkel kökü ve

 

_

   1 0 n k k k c

f   polinomu katsayıları C matrisinin ilk satır elemanlarından oluşan bir polinom olmak üzere, circulant matrislerle ilgili olarak aşağıdaki ifadeler geçerlidir (Davis 1979, Zhang 1999).

1. C  f

 

P dir.

2 . C matrisi normal matristir. Yani, CC* C*C dir.

3. C matrisinin özdeğerleri m0,1,2,,n1 için _f

 

_wm _{şeklindedir.} 4. det

_

 

   1 0 C n m m w f dir.

5. C matrisinin adjoint (ek) matrisi, transpozu, pozitif kuvvetleri ve varsa tersi circulanttır.

6. Çarpılabilen A ve B circulant matrisleri için AB circulanttır. Ayrıca bir circulant matrisin özdeğerleri m0,1,2,...,n1 için, 2 1 0 imk n n m k k c e      

_

(2.5) şeklinde de karakterize edilebilir.

Polinomlarla circulant matrisler arasında bir ilişki vardır. 4 ve daha az dereceli polinomların köklerini bulmada circulant matrislerden yararlanılabilir.

Örnek 2.2.1. p

 

 2 23 polinomunun köklerini circulant matrisleri kullanarak bulalım.

Çözüm: Önce karakteristik polinomu p

 

 2 23 olan 22 mertebeli C

       a b b a C olsun. 2 2 2 _{2a a b} C I      olup,

 

_{ }2 _2_3 p =IC 22aa2b2 eşitliğinden, 1  a ve b2 elde edilir. a1 ve b2 için,

       1 2 2 1 C

olup, katsayıları C matrisinin ilk satır elemanlarından oluşan

 

t t

q 12

polinomunu tanımlayalım. _w2 _1 _{denkleminin ilkel kökü -1 olduğundan,}

 

1 12.11 q

q



 

12



12.13

elde edilir ki, p

 

 2 23 polinomunun kökleri -1 ve 3 olarak bulunur.

2.3. Matris Normları

Tanım 2.3.1. M_mn(F), elemanları F cisminden alınan m  matrislerin kümesi ve n  B A, M_mn(F), F olmak üzere, N1) A 0 ve A 0A0 N2) A  A N3) AB  A  B N4) AB  A B aksiyomlarını sağlayan . :M_mn(F)ℝ _

_{ }

₀

dönüşümüne matris normu denir (Horn ve Johnson 1985). Bir A matrisinin normu genel anlamda A ile gösterilir.

Eğer bu aksiyomlardan N1, N2 ve N3 sağlanıyorsa norma genelleştirilmiş matris normu denir. O halde her matris normu, genelleştirilmiş matris normudur diyebiliriz. Aynı zamanda matris normları, vektör normlarının geliştirilmişidir.

Şimdi yukarıdaki norm aksiyomlarını sağlayan bazı matris normlarını şu şekilde verebiliriz (Horn ve Johnson 1985, Zielke 1988):

A, m  tipinde bir matris olmak üzere; n

_

    m i ij n j a A 1 1

1 max , sütun normu,

_

     n j ij m i a A 1 1

max , satır normu,

_       

_

  m i n j ij E a A 1 1 2

, Euclidean (veya Frobenius veya Schur) normu,

_max( * ) _max( )

2 A A A

A    , spektral norm (veya 2 norm).

Burada _max(A*A), A A (veya AA* *) nın maksimum özdeğeri ve _max(A) da A matrisinin maksimum singüler değeridir.

Şimdi de bir A matrisinin _p normu, _pq karma (veya Hölder) normu ile _op operatör normlarının tanımlarını verelim.

Tanım 2.3.2. A(a_ij)_mn matrisinin _p normu, p m i n j p ij p a A / 1 1 1         

_

  (1 p)

şeklinde tanımlanır. Şayet p= ise

ij j i p n A a A , max lim      dir.

Tanım 2.3.3. A(a_ij)_mn matrisinin _pq karma normu, q p q n j m i p ij pq a A / 1 / 1 1               

_{ }

  ) , 1 (  p q

Tanım 2.3.4. A(a_ij)_mn matrisi ve x (x₁,x₂,...,x_n) vektörü için _op operatör normu, 1 polmak üzere

max  op A { : 1 p p x Ax } şeklinde tanımlanır.

Tanım 2.3.5. Herhangi bir A matrisi ile x vektörü için, Ax  A x

eşitsizliği mevcut ise bu durumda A matris normu x vektör normu ile uyumludur denir.

3. DİZİLER VE MATRİSLER

Bu bölümde, Toeplitz, Hankel ve circulant matrislerin elemanlarını bir aritmetik dizinin veya geometrik dizinin ardışık terimleri olacak biçimde seçip, elde edilen matrislerin bazı özelliklerinin inceleyeceğiz. Çalışmamız;

1. Reel sayılar cismi üzerinde,

2. Dizilerin ilk terimi 0 (sıfır) dan farklı ( a 0),

3. Geometrik dizilerde ortak kat mutlak değerce 1 (bir) den farklı (r 1), 4. Aritmetik dizilerde ortak fark 0 (sıfır) dan farklı ( r 0)

şartları altında yürütüleceğinden, bu şartlar her defasında dile getirilmeyecektir. Dolayısıyla çalışmamız boyunca, teoremlerimiz bu şartların varlığı altında ifade ve ispat edileceklerdir.

3.1. Diziler ve Circulant Matrisler

Bu bölümde (2.3) ile verilen C circulant matrisinin elemanlarını bir aritmetik dizinin veya geometrik dizinin ardışık terimleri olacak şekilde seçip, elde edilen matrislerin özdeğerlerini, bazı normlarını, tersini ve tersinin bazı özelliklerini inceleyeceğiz.

Şimdi, (2.3) ile verilen C circulant matrisinin elemanlarını bir aritmetik dizinin ardışık terimleri olacak biçimde, yani, i,j1,2,,n için jik



modn



olmak üzere c_ij a





ji



modn





rakr şeklinde tanımlayalım ve bu matrise

. .d

a

C diyelim. O halde C_a.d. matrisi açık olarak;

























                                   a r n a r a r a r a a r a r a r n a r n a a r n a r n a r n a r a a C_ad 1 2 3 2 2 3 1 1 2 . .         (3.1) şeklinde yazılır.

Şimdi de, yine (2.3) ile verilen C circulant matrisinin elemanlarını bir geometrik dizinin ardışık terimleri olacak biçimde, yani, i,j1,2,,n için



n



k i

j  mod olmak üzere j i  n k

ij ar ar

c   mod  _{şeklinde tanımlayalım ve bu} matrise C_g.d. diyelim. O halde C_g.d. matrisi açık olarak;

                       a ar ar ar ar a ar ar ar ar a ar ar ar ar a C n n n n n n d g 1 2 3 2 2 3 1 1 2 . .         (3.2) şeklinde yazılır.

Buradan itibaren C_a.d. notasyonu (3.1) deki matrisi, C_g.d. notasyonu da (3.2) deki matrisi temsil edecektir.

Lemma 3.1.1. x R ve x1 olmak üzere, i) x x x n n s s   



  1 1 1 0 ii) x x x x n n s s   



  1 1 1 iii)





2 1 1 1 1 1 x x nx nx x sx n n n n s s         



ifadeleri geçerlidir.

Teorem 3.1.1. C_a.d. n  circulant matrisinin özdeğerleri, n na n



n



r 2 1 0     , r e n n m i m           _ 1 2  , m1,2,...,n1 şeklindedir.

İspat: (2.5) ifadesinden C_a.d. matrisinin özdeğerleri, m0,1,...,n1 için,

_





     1 0 2 n k n mk i m a kr e   (3.3) şeklinde yazılır. m0 için,



a kr



a a r a r a



n



r na n



n



r n k 2 1 1 2 1 0 0              

_

    (3.4)

elde edilir. Yani;  , ₀ C_a.d. matrisinin ilk satır elemanları toplamına eşittir. 1 ,..., 2 , 1   n m için, (3.3) ifadesinden,

















n  n m i n m i n m i m a a r e a r e a n r e 1 2 2 2 2 1 2                   yazılır. Buradan,  





                                    n n m i n m i n m i n n m i n m i n m i m a a e e e r e e n e 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2         

elde edilir. Son eşitlikte n m i e x 2 

 alınırsa x1 olur ve son eşitlik,

_{m aa}



_xx2_xn1



_r



_x2x2_3x3_



_n1



_xn1



_(3.5)

şeklinde yazılır. Lemma 3.1.1. (ii-iii) ve (3.5) ten

_m





                       2 1 1 1 1 x x nx nx x r x x x a a n n n n (3.6) elde edilir. 2 1 2              m i n n m i n _{e e} x   olduğundan ve (3.6) ifadesinden, _m





                    ₂ 1 1 1 x x nx n x r x x a a yazılır. Buradan, m 









          ₂ 1 1 x x n r a a 1   x n r (3.7)

elde edilir. (3.7) ifadesinde x yerine n m i e 2  yazılırsa, _m 1 2    n m i e nr  (3.8) elde edilir ki, bu da istenendir.

Teorem 3.1.2. C_a.d.nn circulant matrisinin spektral normu için,





               n nr r n n na C_ad  sin 2 , 2 1 max 2 . . eşitliği geçerlidir.

İspat: Circulant matrisler aynı zamanda normal matrisler olduğundan,  ler _m C_a.d. matrisinin özdeğerleri olmak üzere;

 2 . .d a C



_m



n m m n m 1 0 1 1

0max   max ,max  (3.9)

yazılır. m1,2,...,n1 için (3.8) den,

1 2 sin 2 cos    n m i n m nr m _{ }          n m nr  2 cos 1 2                          2 sin 2 1 1 2 n m nr  n m nr  sin 2 

elde edilir.  değerinin maksimum olması için _m

n m  sin

2 değerinin en küçük olması gerekir. Bu durum, m1 veya m n1 olması ile sağlanır. O halde,

n nr m n m   sin 2 max 1 1    (3.10) olur. (3.4), (3.9) ve (3.10) ifadelerinden, 2 . .d a C





               n nr r n n na  sin 2 , 2 1 max

Teorem 3.1.3. C_a.d.nn circulant matrisinin Euclidean normu için, _{. .} 2











2 6 1 2 1 1 a n ar n n r n C E d a       eşitliği geçerlidir.

İspat: Euclidean norm tanımından,

_





    1 0 2 2 . . n s E d a n a sr C yazılır. Buradan, _{. .} 2 E d a C

_





     1 0 2 2 2 2 n s r s asr a n         

_

_

_

      1 0 2 2 1 0 1 0 2 2 n s n s n s s r s ar a n







 



            2 2 6 1 2 1 1 ar n n n r n n na n











            2 2 2 6 1 2 1 1 ar n n r n a n elde edilir. Buradan da,

_{. .} 2











2 6 1 2 1 1 ar n n r n a n C E d a       yazılır.

Teorem 3.1.4. C_a.d.nn circulant matrisinin determinantı,





          nr  a n r C_ad n 2 1 1 . . şeklindedir. İspat:

























1 3 2 4 3 2 2 3 1 1 2 2 . . a r n a r a r a r a r a a r a r a r a r n a r n a r a a r n a r n a r n a r a r a a C_ad                                

olup, bu determinanta satır ve sütun işlemleri uygulayalım. İlk olarak 2. satırdan itibaren her satırdan ilk satır çıkarılırsa,

) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( 3 2 . . r n r r r r r r r n r n r r r r r r r r r r r n r n r r r r r r r n r n a r n a r n a r a r a r a a C_ad                                       

elde edilir. Elde edilen bu determinantta 2. sütundan itibaren her sütundan ilk sütun çıkarılırsa, 0 0 0 0 0 0 0 2 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( 3 2 . . nr r nr nr r nr nr nr nr r n nr nr nr nr nr r n r n r n r r r a C_ad                            

elde edilir. Elde edilen bu yeni determinantta 2. satırdan itibaren her satırdan, bir sonraki satır çıkarılırsa,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 ( ) 2 ( 3 2 . . nr r nr r nr r nr r r n r n r r r a Cad                   (3.11)

olup, (3.11) determinantı da, 1. sütuna göre açılırsa,





1 2 2 2 2 2 2 . . ( ) 2 ( ) ( 1) ( )               n n n n d a a nr r nr r nr n r nr C 

elde edilir. Buradan da,





2





2 2 2 2





. . nr anr r 2r 3r (n 1)r C_ad   n      

   

_          1 2 2 2 ) 1 ( 1 n nr n anr n n r





          nr n a n r 2 1 1 elde edilir.

Sonuç 3.1.1. C_a.d.nn circulant matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter şart a n r 2 1    olmasıdır.

Buradan itibaren, C_a.d.nn circulant matrisinin tersi ile ilgili teoremlerimiz, n

n

C_a.d.  circulant matrisinin tersinin varlığı yani a n r 2

1  

 şartı altında ifade ve ispat edileceklerdir.

Teorem 3.1.5. C_a.d.nn circulant matrisinin adjoint matrisi,



  

_                  n r cir na n n r na n n r r r r C Adj ad n n n , , ,..., 2 2 , 2 2 1 2 2 2 3 . . şeklindedir.

İspat: C_a.d. matrisinin a konumundaki elemanının işaretli minörü ₁₁ A olsun. ₁₁

























1 4 3 2 5 4 3 3 4 1 2 3 2 11 a r n a r a r a r a r a a r a r a r a r n a r n a r a a r n a r n a r n a r a r a a A                                 (3.12)

olup, (3.12) determinantına satır ve sütun işlemleri uygulanırsa,

A₁₁ 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 2 ( ) 3 ( 3 2 nr r nr r nr r nr r r n r n r r r a                   (3.13)

elde edilir. (3.13) determinantı da 1. sütuna göre açılırsa,

A₁₁





2 2 3 2 3 2 3 ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) (              a nr n r nr n r nr n  n r nr n

elde edilir. Buradan da,





3





2 2 2 2 2





11 nr anr r 2r 3r (n 2)r (n 2)r A   n        

   

_                   2 3 2 ) 2 ( 2 ) 1 )( 2 ( 1 n nr n anr n n n r

 

_               2 2 1 2 1 3 2 2 n n r n a r nn n n n n elde edilir. Benzer işlemlerle, a konumundaki elemanın işaretli minörünün ₂₁

_               2 2 ) 1 ( 2 1 3 2 2 n n r n a r nn n n n n

 

1 n



nn3rn1



şeklinde olduğu görülür. C_a.d. matrisinin ilk sütun elemanlarının işaretli minörleri, adjointinin ilk satırını oluşturacağından ve circulant matrisin adjointi de circulant matris olacağından, C_a.d. matrisinin adjoint matrisi;

_

_{  }

_                  n r cir na n n r na n n r r r r C Adj ad n n n , , ,..., 2 2 , 2 2 1 2 2 2 3 . .

şeklinde elde edilir.

Sonuç 3.1.2. C_a.d.nn circulant matrisinin tersi,

                             1 , . . . , 1 , 1 , 2 2 , 2 2 2 1 1 2 2 2 1 . . r r n n na r r n n na cir r n a n C_ad (3.14) şeklindedir.

Teorem 3.1.6. C_a.d.nn circulant matrisinin tersinin spektral normu için,









                                           ise tek , 2 cos 2 , 2 1 1 max ise çift , 2 , 2 1 1 max 2 1 . . n nr n r n n na n nr r n n na C_ad  yazılır.

İspat: Bir circulant matrisin tersi de circulant matris olup, aynı zamanda normal matris olduğundan,  ler _m 1

. . 

d a

C matrisinin özdeğerleri olmak üzere;   2 1 . .d a C



_m



n m m n m 1 0 1 1

0max   max ,max  (3.15)

yazılır. C_a.d. circulant matrisinin tersinin özdeğerleri,





r n n na 2 1 1 0 _    (3.16) ve m1,2,...,n1 için,

nr e n m i m 1 2      (3.17) olacağından, m1,2,...,n1 için (3.17) den,

_m nr n m i n m 1 2 sin 2 cos      nr n m          2 cos 1 2 nr n m  sin 2 

elde edilir.  değerinin maksimum olması için _m

n m  sin

2 değerinin en büyük olması gerekir. Bu durum,

         ise tek , 2 1 ise çift , 2 n n n n m

olması ile sağlanır. O halde,

             ise tek , 2 cos 2 ise çift , 2 max 1 1 n nr n n nr n m m   (3.18) olur. (3.15), (3.16) ve (3.18) ifadelerinden,









                                           ise tek , 2 cos 2 , 2 1 1 max ise çift , 2 , 2 1 1 max 2 1 . . n nr n r n n na n nr r n n na C_ad 

Teorem 3.1.7. C_a.d.nn circulant matrisinin tersinin Euclidean normu için, _.1_{. 2 2} 2 1 1 2 1            r n a n r n C E d a yazılır.

İspat: Euclidean norm tanımından,

                                             2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2 1 . . n r r n n na r n n na r n a n n C E d a yazılır. Buradan,                          ar anr r n n a n n ar nar r n n a r n C E d a 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 . . 4 1 2 4 1 2 2                          ar anr r n n a n n r n n 2 2 2 3 2 3 2 4 1 2 2                       _{2 2} 2 1 1 2 1 r n a n r n

elde edilir ki, buradan da,

_.1_{. 2 2} 2 1 1 2 1            r n a n r n C E d a yazılır.

Teorem 3.1.8. C_g.d. n  circulant matrisinin özdeğerleri, n r r a n    1 1 0  , n m i n m re r a ₂ 1 1       , m1,2,...,n1 şeklindedir.

İspat: (2.5) ifadesinden C_g.d. matrisinin özdeğerleri, m0,1,...,n1 için,

_

 

    1 0 2 n k n mk i k m ar e   (3.19) şeklinde yazılır. m0 için,





r r a r r r r a ar n n k n k          

_

   1 1 1 1 0 1 3 2 0   (3.20)

şeklinde elde edilir. Yani;  , ₀ C_g.d. matrisinin ilk satır elemanları toplamına eşittir. 1 ,..., 2 , 1   n m için (3.19) ifadesinden,   n n m i n n m i n m i m a are ar e ar e 1 2 1 2 2 2 2                yazılır. Buradan,                                           2 2 2 2 3 2 1 1 n n m i n m i n m i n m i m a re re re re       elde edilir. r 1 ve 1 2   n m i re 

olacağından Lemma 3.1.1. (i)’ den,

n m i n n m i m re re a ₂ 2 1 1    _             yazılır. 1 2           n n m i e  olduğundan, n m i n m re r a ₂ 1 1   _    (3.21)

Teorem 3.1.9. C_g.d.nn circulant matrisinin spektral normu için, ise tek ve 0 , cos 2 1 1 ise çift ve 0 , 1 1 ise 0 , 1 1 2 2 . .                           n r r n r r a n r r r a r r r a C n n n d g  eşitliği geçerlidir.

İspat: Circulant matrisler aynı zamanda normal matrisler olduğundan, ler _m C_g.d.

matrisinin özdeğerleri olmak üzere;

 2 . .d g C



_m



n m m n m 1 0 1 1

0max   max , max  (3.22)

yazılır. m1,2,...,n1 için (3.21) den,

n m ir n m r r a n m    2 sin 2 cos 1 1     2 2 cos 2 1 1 r n m r r a n      (3.23)

elde edilir. Buradan r 0 ise;

₀ 1 1 2 1 1 max 2 cos 2 1 1               _r r a r n m r r a n m n m n , (3.24) 0  r ise;

2 cos 2 1 1 1 1 2 0 r n m r r a r r a n n                             _{, tek ise} cos 2 1 1 ise çift , 1 1 max 2 1 1 _n r n r r a n r r a n n n m m   (3.25)

elde edilir. (3.22), (3.24) ve (3.25) ifadelerinden,

ise tek ve 0 , cos 2 1 1 ise çift ve 0 , 1 1 ise 0 , 1 1 2 2 . .                           n r r n r r a n r r r a r r r a C n n n d g  elde edilir.

Teorem 3.1.10. C_g.d.nn circulant matrisinin _p

_

1 p 

_

normu için,

                     ise çift veya 0 , 1 1 ise 0 çift ve tek ve , 1 1 ise 0 tek ve tek ve , 1 1 . . p r r r a n r n p r r a n r n p r r a n C p pn p p pn p p pn p p p d g yazılır.

İspat:_p normu tanımından,





      1 0 1 0 . . n s s p p n s p s p p d g n ar na r C

p n p p p p d g r r a n C    1 1 . .

elde edilir ki, buradan da,

                     ise çift veya 0 , 1 1 ise 0 çift ve tek ve , 1 1 ise 0 tek ve tek ve , 1 1 . . p r r r a n r n p r r a n r n p r r a n C p pn p p pn p p pn p p p d g elde edilir.

Sonuç 3.1.3. p2 için _p normu Euclidean norm olacağından, Teorem 3.1.10.’ da 2



p seçilirse, C_g.d.nn circulant matrisinin Euclidean normu için,

2 2 . . 1 1 r r n a C n E d g    yazılır.

Teorem 3.1.11. C_g.d.nn circulant matrisinin determinantı,





1 . . 1    n n n d g a r C şeklindedir. İspat: a ar ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar ar a C n n n n n n n n n n d g 1 2 3 2 1 4 3 2 2 3 4 1 1 2 3 2 . .                      (3.26)

olup, (3.26) determinantında son sütundan başlayarak her sütuna bir önceki sütunun –r katı eklenirse, n n n n n n d g ar a ar ar a ar ar a ar ar a ar a C        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 . .           (3.27)

elde edilir. (3.27) determinantı ilk satıra göre açılırsa,





1





1 . . 1       n n n n n d g a a ar a r C elde edilir.

Teorem 3.1.12. C_g.d.nn circulant matrisinin adjoint matrisi, Adj



C_g.d.



an1



1rn



n2cir



1,r,0,0,...,0



şeklindedir.

İspat: C_g.d. matrisinin a konumundaki elemanının işaretli minörü ₁₁ A olsun. ₁₁

a ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar a A n n n n n n 1 4 3 2 5 4 3 3 4 1 2 3 2 11                 (3.28)

olup, (3.28) determinantında son sütundan başlayarak her sütuna bir önceki sütunun –r katı eklenirse, n n n n n n ar a ar ar a ar ar a ar ar a ar a A        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1 11           (3.29)

elde edilir. (3.29) determinantı ilk satıra göre açılırsa, 1





2 11 1    an rn n A

elde edilir. Benzer işlemlerle, a konumundaki elemanın işaretli minörünün ₂₁





2 1 1    an r rn n

şeklinde, ilk sütundaki diğer elemanların işaretli minörlerinin ise eşit ve 0 (sıfır) olduğu görülür. C_g.d. matrisinin ilk sütun elemanlarının işaretli minörleri, adjointinin ilk satırını oluşturacağından ve Circulant matrisin adjointi de circulant olacağından,

n n

C_g.d.  circulant matrisinin adjoint matrisi;

Adj



C_g.d.



an1



1rn



n2cir



1,r,0,0,...,0



şeklinde elde edilir.

Sonuç 3.1.4. C_g.d.nn circulant matrisinin tersi,



1





1, ,0,0, . . .,0



1 1 . . cir r r a Cgd _n     şeklindedir.

Teorem 3.1.13. C_g.d.nn circulant matrisinin tersinin spektral normu için,

ise tek ve 0 , 1 cos 2 1 1 ise çift ve 0 , 1 1 1 ise 0 , 1 1 1 2 2 1 . .                            n r r r n r a n r r r a r r r a C n n n d g  eşitliği geçerlidir.

İspat: Circulant matrisler aynı zamanda normal matrisler olduğundan, ler _m C_g.d.

matrisinin tersinin özdeğerleri olmak üzere;   2 1 . .d g C



_m



n m m n m 1 0 1 1

0max   max , max   (3.30)

yazılır. C_g.d. circulant matrisinin tersinin özdeğerleri,



n



r a r    1 1 0  (3.31) ve m1,2,...,n1 için,



n



n m i m r a re     1 1 2  (3.32)

şeklinde olacağından, m1,2,...,n1 için (3.32) den,

n m r n m ir n m r a     1 2 sin 2 cos 1 1    n r r n m r a     1 2 cos 2 1 1 2  (3.33)

elde edilir. Buradan r 0 ise; n n r r n m r a r r a        1 2 cos 2 1 1 1 1 1 2 0                      ise tek , 1 cos 2 1 ise çift , 1 1 max 2 1 1 n r r n r a n r r a n n n m m _  (3.34) 0  r ise; ₀ 1 1 2 1 1 1 max 1 2 cos 2 1 1              m n m n n _r r a r r n m r a (3.35)

elde edilir. (3.30), (3.34) ve (3.35) ifadelerinden,

ise tek ve 0 , 1 cos 2 1 1 ise çift ve 0 , 1 1 1 ise 0 , 1 1 1 2 2 1 . .                            n r r r n r a n r r r a r r r a C n n n d g  elde edilir.

Teorem 3.1.14. C_g.d.nn circulant matrisinin tersinin _p

_

1 p 

_

normu için, _p n p p p p d g r a r n C 1 1 1 . .     yazılır.

Sonuç 3.1.5. C n n d

g 

1 .

. circulant matrisinin Euclidean normu için,







1



1 2 1 . .     n E d g r a r n C yazılır.

3.2. Diziler ve Toeplitz Matrisleri

Bu bölümde (2.1) ile verilen T Toeplitz matrisinin elemanlarını bir aritmetik dizinin veya geometrik dizinin ardışık terimleri olacak şekilde seçip, elde edilen matrislerin özdeğerlerini, bazı normlarını ve tersinin olup olmadığını inceleyeceğiz.

Şimdi, (2.1) ile verilen T Toeplitz matrisinin elemanlarını bir aritmetik dizinin ardışık terimleri olacak biçimde, yani, i,j0,1,2,,n1 için

r i j a

t_ij  (  ) şeklinde tanımlayalım ve bu matrise T_a.d. diyelim. O halde T_a.d. matrisi açık olarak;

































                                     a r a r n a r n a r a a r n a r n a r n a r n a a r a r n a r n a r a a T_ad         2 1 3 2 2 3 1 2 . . (3.36) şeklinde yazılır.

Şimdi de, yine (2.1) ile verilen T Toeplitz matrisinin elemanlarını bir geometrik dizinin ardışık terimleri olacak biçimde, yani, i,j0,1,2,,n1 için

i j ij ar

t   şeklinde tanımlayalım ve bu matrise T_g.d. diyelim. O halde T_g.d. matrisi açık olarak;                              a ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar ar a ar ar ar ar ar a T n n n n n n n n n n d g 1 3 2 1 4 3 2 2 3 1 1 2 2 . .          (3.37) şeklinde yazılır.