Çizge Teorisi ve Uygulamaları

M.ü.i.i.B.F.

Dergisi

Prot'.Dr.Kenan ERKURAL'a Armağan Yıl: 1998, Cilt:XIV, Sayı:2, s. 113-121.

ÇİZGE TEORİSİ

VE UYGULAMALARI

Samim DÜNDAR. 1.GİRİŞ

Geometdde (x, y) ikilileri ile belirlenen noktalar bir koordinat sisteminde işaretlenebilir. (x, y) noktalarının değişme~i sonucu ortaya çıkan ya bir doğru yada bir eğridir. Kısaca Çizge (Graf) adı verilen bu doğru yada eğriler, Çizge teorisinin temel

öğeleridir. Ancak birçok tanım, teorem ve yeni kavramlarla donatılmış olan Çizge teorisi ile ilgili yöntemler başlangıçta sadece elektrik devrelerinde kullanılırken zaman içerisinde Uretim planlama, doğrusal programlama, transport ·vb. alanlarında etkili bir şekilde

kullanılmaya başlanmıştır.

· Basit olarak çizgilerle birleştirilmiş noktalar topluluğu olarak tanımlanan çizgeler daha sonra topolojik olarak da incelenmeye başlanmıştır. Çizgelerle ilgili ilk çalışmalar

Leonhard Euler (1707 - 1783) tarafından yapılmıştır.İkinci bölümde sunulan Könisberg Köprüsü Problemi Euler tarafından çizgeler .ile gösterilmiştir ·ve çözüme bu sayede daha kolay ulaşılmıştır.

Bu çalışmada amaç Çizge Teorisi'nin dar bir topluluğun değil, soyut dUşUnmeyi

seven daha geniş bir topluluğun. ilg.isini çekmek ve sevdirmektir. Aynı zamanda teorik problemlerin çözümlenmesinde, kavramlar arasındaki bağlantıları incelerken söz konusu bağlantıları çizgelerle yapmanın çok kullanışlı olduğunu da göstermektir.

2. KÖNİGSBERG KÖPRÜSÜ PROBLEMİ

18.ci yüzyılın ortalarında Königberg şehri Pregel nehrinin iki yakasına kurulmuştur

ve .nehirde iki ada bulunmaktadır. Bu adalardan biri şehrin iki yakasına ikişer .köprU,diğeri

birer köprü ile bağlanmıştır. Şekil 1.de görüldüğü gibi ayrıca adalar arasında da bir köprü

bulunmaktadır. · ·

ı 14 Samim DÜNDAR

A

B D

c

Şekil 1. Königsberg kentinin adalarla ilişkileri

Königsberg şehri sakinleri;herhangi bir noktadan harekete başlayıp, yedi köprünün hepsinden. sadece bir kez geçen sürekli bir yol biitiin noktaları dolaşıp tekrar başlangıç noktasına dönebilir mi ? sorusuna cevap aramaktadırlar. Euler 1736 yılında bu problemin çözümünün olamayacağıi11 yani bu koşullara uyan yolun bulunamayacağını göstermiştir.

Bunu gösterirken,problemi üzerinde daha kolay bir şekille temsil ederek işe başlamıştır.

Burada kıyılar A ve C, adalar ise B ve D noktaları ile gösterilmiştir. Bu noktalara düğüm noktaları, kıyılar ile adaları birleştiren yollara da kiriş ya da bağ adı verilir.

Bu

durumda probleme ait çizge şekil 2. de görülmektedir

A

c

P~of.Dr.Kenan ERKURAL'a Armağan ₁₁₅

Şimdi herhangi bir düğümden harekete başlayıp, bütün dİlğUmleri ziyaret edip, bütün kirişlerden

₁

de sadece birer kez geçerek başlangıçtaki düğüme dönülebilir mi ? sorusuna cevap bulmak için aşağıdaki temel tanıma ihtiyaç vardır.

Tanım 2.l:Bir düğümü uç kabul eden kirişlerin sayısına o düğümün derecesi

_,

adı verilir(Harary, 1969,3)

Buna göre şekil 2. deki çizgede A düğümünün derecesi 3, B düğümünün derecesi ise

5

dir.

Probleme geri dönüldüğünde; harekete başlama düğümünün tek dereceli olmaması gerektiği görülür. Çünkü böyle bir düğüm il'e başlanırsa diğer düğüme geçebilmek için kirişlerden biri kullanılacağından geriye çift.ı;ayıda kiriş kalır ki bu düğümden bir daha geçmek için bir kiriş daha kullanılması sonucu geriye tek sayıda kiriş kalır. Bu kiriş en az bir tane olacaktır. Yani b.u durumda en az bir tane kiriş kullanılamayacaktır. Demek ki . böyle tek dereceli bir düğüm ile bitiş düğümü olamayacaktır. Aynı zaırıanda tek dereceli bir

düğüm ara düğüm de olamayacaktır. Sonuç olarak bu problemde harekete başlanacak düğüm ve ara düğümler de çift dereceli olmalıdır. Oysa şekil 2. deki çizgede bütün düğümler tek ~erecelidir. O zaman problemin çözümü yoktur.

3.TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu böli.jmde çizge teorisinin temel tanım ve teoremlerine yer verilmiştir

Tanım 3.1 :Bütün düğüm !erin kümesi V ile ve bütün kirişlerin kümesi E ile gösterildiğinde, G=(V,E) ikilisine bir çizge denir. Gerek V ve gerekse E kü.meleri sonlu ya da sonsuz elamanlı olabilir. Burada her iki küme de sonlu kabul edilmiştir. Öte yandan Y nin boş küme olması anlamsız iken E nin boş küme olması olasıdır(Borıdy-Murty, 1976,4-5).

Tanım 3.2:İki düğüm arasında en az bir kiriş varsa bu düğümlere komşu düğümler, o1rtak

düğümü

olan

kirişlere

de

komşu kirişler

denir. Bir

düğümü

kendi kendisine

ba

ğ

l

ayan

bir kiriş varsa bu düğüm kendi kendisiyle komşudur.Bir düğümü kendisine bağlayan kirişe bukle adı verilir(Tulunay, 1982,337).

Tanım 3.3: Bir çizgenin iki düğümü arasında birden fazla kiriş olabilir. Böyle

kirişlere katlı kiriş adı verÜir. Buklesiz ve katlı kirişsiz çizgelere doğrusal çizge,aksi halde doğrusal olmayan çizge denir(Harary, J 969,6).

Tanım 3.4:Bir düğüm kendisi de dahil hiçbir düğüme komşu değilse ayrık düğüm adını alır(Tulunay, 1982,338).

116 Samim DÜNDAR

Şekil 3. de e1 bir bukledir,v1 kendi kendine konışudur.v1 ile v2,v2 ile v> komşu dliğüın !erdir. v ~ ayrık düğümdür.

•

Şekil 3. Bukleli ve katlı kirişli bir G çizgesi

Bir G çizgesinde u bir ayrık düğüm ise derecesi O dır. Bir düğümün derecesi deg(v) ile gösterilir.

Teorem 3. 1: Bir çizgede düğüm !erin dereceleri toplamı kiriş sayısının iki katına eşittir( Buk ley-Harary, 1990,3-4 ).Kısaca

il

21EI=

L

deg(

v

k)

ile gösterilir k -ı

İspat:Her kirişin iki uç düğümü olduğundan,her düğümün derecesi yazılıp

toplandığında bir kiriş iki kez kullanılmış olur. Eğer ayrık düğümler varsa,bunların kirişleri

olmadığından dereceleri de sıfır olup toplamı etkilemez. Sonuç olarak çizgedeki kiriş sayısının iki katı düğümlerin dereceleri ~oplamıııa eşit olur.

Bir çizgede düğümleri saymak kolaydır. Ancak kirişleri saymak her zaman kolay olmayabilir. Şekil 4. deki çizgede on tane düğüm vardır.

Prof.Dr.Kenan ERKURAL'a Armağan 117

Yıo

Şekil 4. Kiriş sayısı fazla bir çizge Bu düğümlerin dereceleri sırasıyla

deg(v₁)=8, deg(v₂)=3, deg(v,)=5, deg(v~)=5, deg(v~)=IO, deg(vı,)=8, deg(v7)==4,

deg(v8)=5, deg(v9)=7 ve deg(v10)=5 dır

Teorem 3. 1 kullanılarak bu çizgenin kiriş sayısı; ıo

2IEJ=

L

deg(vk)

=8,+ 3+5+5+

ı

0+8+4+5+7+5=60 k 1

IEJ=30 elde edilir. Buradan çizgenin kiriş sayısı 30 dur.

Teorem 3.2: Bir çizgede derecesi tek olan düğüm !erin say ısı çifttir(Buckl

ey-1-iarary, 1990,5-6).

İspat:Yç ile derecesi çift olan düğümlerin kümesini Y, ile derecesi tek olan düğümlerin kümesi gösterilsin.

113

Samim DÜNDAR

L

deg(

v)

+

L

deg(

v)

=

L

deg(

v)

ol

acak

tır.

ı·el'r veV

Teorem

3.1 e göre

'L<leg(v)

toplamı çifttir.Diğer

taraftan

'L:<leg(v)

toplamı

ı•eV ı·eVç

çifı

olmak

zorundadır.

Çünkü dereces

i

ç

ift

olan

düğümlerin s.ayısı

ne

olursa ols

un,

bu

düğümlerin

d

e

receleri

toplamı

hep

çift

olacaktır.

Sonuç olarak d

ereces

i tek

ola

n

dÜğümlerin

sayısı

d

a çifttir.

' 4. ÇİZGE TEORİSiNİN UYGULAMALARI

Çiz

g

e teorisi

kendine özgü

tanım

ve

teoremler

i

kullanarak

fen

bilimleri

ve sosyal

bi

li

m

l

erin

pek

çok

problemlerini çözmede

yaygın

olarak

kullanılmaktadır.

Bu

bölümde

ç

i

zg

e

t

e

orisiyle çözüleb

ilen

bazı

problemlerden

sözedilmiştir.

4.

1. Eşleme

problem 1: Bir

işletme

ge

n

işlemeyi

ve

yeni

bölüml

er

açmayı planlıyor.

Y

e

ni

bölümler

i

çin

bir desinatör, bir mühendis,

bir

bilgis~yar programcısı,

bir

veri analisti

ve

bir yönet

i

c

i

asistanı almayı amaçlıyor.

Bu yedi

iş

için herbiri iki

ya

da

daha

fazla

işe

uyg

un

,

beş başvuru yapıldığında nasıl

bir personel

ataması yapmalıdır?Adaylar

ve

işler

bir

çi

zge

nin

düğümleri

olarak

alınıp,

bir

a

day

bir

işe

uygun

sa

bu iki

düğüm

bir

kirişle

birleştirilerek

problemin çizgesi

e

ld

e ed

ilir

.

Bu çizgede

işlerin

küme

si

adayların

küm

e

sine

eşlenerek prob

l

e

m

çözü

lü

r.

Bu tip problemlere çizge teorisinde

eşleme

(matching)

probl

e

mi

d

e

nir

.

Çeşitli

çözüm

algoritmaları vardır (Christofıdes,

1986, 339-373).

4.2.Gezgin

Satıcı

Problemi:B

ir

boya

firması aynı

kazan

içinde dört

farklı

renkte

boya üretmekte

ve bir

renk

üretildikten

sonra

diğer

r

e

nk

boyayı

üretebilmek

için

kazanın

t

e

miz

l

enmesini bek

l

e

m

ek ge

r

ekmekted

ir

. Bir g

ün

içinde dö

rt

boyanın

ür

et

imi

sırasında nasıl

bir p an

izlenmeli

k

i bekleme

süres

i minim um

olsun?Boya

r

e

nkleri bir çizgenin

düğümleri

o

l

a

rak

alınır,

.

ardarda

üreti

l

e

n iki

renk

varsa

bu

düğümler

bir

kirişle birleştirilir

ve

kirişe

bekleme sü

r

es

i

ağırlık

olarak

işaretlenirse; ağırlıklandıİ·ılmış

bir

çizge

e

lde

edi

li

r.

Bu

prnb

l

emd

e

amaç,

bir

dü

ğüm

d

en

başlayarak

~

i

zge

nin

tüm

düğümlerini

tam

bir kez

geçerek

başlangıç düğümüne

mümkün

o

l

an en

kısa

s

ürede

varan bir

çevr

e

nin

bulunmasıdır.

Böyle

prob

l

em

l

er ç

i

zge

teorisinde gezgin

satıcı

(travelling

sa

lesman problem)problemi

o

l

arak

bilinmektedir Gez

g

i

n

satıcı

probleminin çözümü

için p

e

k

çok çizge

algoritması

llr

e

tilm iştir(Taha

,

1997

,

373-3 76, Bal

as,

1

986

,

425-452

,

Dündar-Dündar-Şen,

1998)

.

4.3.En

Geniş Bağımsız

Küme Problemi:Yürütülmek

ist

e

nen n tane proje

dilşüıılilsün.

Her

bır x;

projesini

geliştirmek

için

p tane

kaynağın

bir

R; ç{

1

,2,

..

. ,

p}

alt

Prof.Dr.Kenan ERKURAL'a Armağan 119

kümesine ihtiyaç olsun. Aynı zaman peryodu iÇinde kaynakları en çok kullanarak,

maksimum sayıdaki hangi projeler bitirilebilir? Her bir proje bir çizgenin düğümleri olarak

ahnır, iki proje aynı bir kaynağı ortak olarak kullanıyorlarsa bu iki düğüm bir kirişle

birleştirihr. .Si.ı durumda problem, bu çizge içinde maksimum sayıda birbirine komşu

olmayan düğümlerin bulunması problemidir. Böyle problemler çizge teorisinde en geniş

bağımsız küme(maximum independent set problem) problemi olarak bilinir ve çözüm için

pek çok algoritma vardır(Christofıdes, 1986,31-39).

4.-4.

Örten

Küme Problemi:Bir üniversite kampüsünde öğrencilerin güvenliğini

sağlamak için "ampüs içinde seçilmiş yerlere acil telefonları koyarak bir güvenlik merkezi

oluşturmak isteniyor. Kampüs içindeki herbir yola enaz bir telefonla hizmet götüren

minimum sayıda telefonla bu güvenli~ merkezi nasıl kurulabilir? Sokakların kesişimine bir

telefon konarak, her ~elefönun en az rki sokağa hizmet etmesi sağlanabilir. Sokakların kesim

nokta.Wı bir ç,fzgenin düğümleri ve kesişen sokaklar da çizgenin kirişleri olarak alınırsa,

problemin çizgesi oluşturulur. Bu problem, bir çizgede tüm kirişleri örten minimum

sayıdaki dliğümlerin bulunmasıdır. Çizge teorisinde bu tip· problemler minimum örten

kUme(set covering problem) problemi olarak · bilinir. Çeşitli çözüm yöntemleri

biltnmeiqedir(Christofides, 1986,39-57, Taha.1997,376-379).

4.5.Dağıtım Problemi: Stokları bilinen n tane depodan, taleplı.!ri bilinen m tane

pazara. i: qepon~n j. pazara cü maliyeti ile nakliyat yaptığı bilindiğinde; minimum maliyetle

arz ve talebi. ·karşılayacak bir dağıtım yapılması problemi, dağıtım problemi olarak

bilinir.Pazarlar ve depolar bir çizgenin. düğümleri ola'fak alınır ve bir pazar bir depodan mal

alıyorsa bu iki düğüm bir kirişle birleştirilir. Bu problem çizge teorisinde. bir çizgede

düğümlerin ; her kümedeki dUğümler birbirine komşu olmayacak şekilde en geniş iki

kümeye ayrı1ması (bipartition se~) problemi olarak bilinir (Christofıdes, 1986, 380-389,

Taha, 1997, 165-.194).

4.6.Merkez. Yerleştirme Problemi.Hastahane, polis karakolu, itfaiye merkezi gıbi

acil servisl~rin bir şehirdçki yerleşiminde amaç, bu merkezlerin şehrin her yerine

o\abildiğ.ince en kısa sürede (en kısa uzaklıkla) erişilebilecek şekilde yerle~tirilmesidir.

Yerleşim alanlan,bir çizgenin dliğümleri, bir yerleşim alanından diğerine bir yol varsa bu

iki düğüm· bir kirişle birleştirilerek bir çizge oluşturulur. Problem, bir çizgede en uzak :düğüme en. kısa sürede( en kısa, uzunlukla) ulaşacak şekilde acil merkezlerin · yedeştirilrµesidir. Bu problem çizge teorisinde.bir çizgenin merkezlerinin bulunması olarak

bilinir.

Çeşitli İ;:özilqı

aigor.itaları

ge

liştirilm iştir(

C

hristofides

,

1986,79-105).

4.7.En Kısa Yol Problemi: Bir lıavayollarf işletmesinin uçuş haritası ele alındığında.

belirlenmiş iki şel),ir arasında bir uçuş var mıdır? birden fazla uçış hattı varsa en kısa sürede

ufaşITT.1 yapnıak için hang! uçuş yolu seçilmelidir?Şehirler bir çizgenin düğümleri. iki şehir

arasında bir UÇl!lŞ

Vars.a

bu iki düğl)m bit: kirişle birleştirilerek VC iki şehir arası ulaşım süresi

120

Samim

DÜNDAR

1

kirişe ağırlık

olarak

bağlanarak

bir çizge

oluşturulur.Bu

çizgede,

beli.rlenmiş

iki

düğüm

arasında

en

kısa

zamanda

ulaşım

problemi

çözülür.Bu

tip problemler

çizge

teorisinde

en

kısa

yol problemi(shortest

route

problem)

olarak

biliniı:.Bu

problemin çözümü ile ilgili

birçok çözüm

algoritnı ası üretilmiştir (Christofıdeı;,

1986, 151

.

-188).

·

4.8.Algoritma

Tasarımı

ve Paralel Hesaplama:Belirli

bir programlama dilinde

yazılarak,

pek çok

karmaşık işlemi yapıp

problemlerin

çözümünü

sağlayan

bilgisayar

pro

g

ram

!arının, akış diyagramları

birer

çizgedir.

Mühendislik

ve

istatistiğin çeşitli

uygulamalarında oıtaya çıkan

büyük boyutlu

doğrusal

denklem

sistem

!erinin

parçalarına

ayrılarak

çözümünün

bulunmasında

çizgelerden

yararlanılmaktadır

(Karpis-Kumar,

ı

994

,

30-60

,

Lovazs-Winkler,

1996,593-596,Dündar-Dündar, 1998)

.

4.9.Ağ Akışı Problemi:Başta İnternet

olmak üzere

günlük

hayatta

kullanılan

her tür

ağda ki başta

bilgisayar

ağları,telefon ağları, kanalizasyon ağları, su ağları

gelir;.

bu

ağlar

bir

e

r çiz

g

e

ile

se

mbolize edilip,

bunlara

ait

sorunların çoğu çizge

teorisi

yöntemleri

ile

k

o

la

y

ca

çözülebilir(Christofıdes.

1986,283

-33

7

,

Tulunay.

1982

.

365-368.Dündar

,

1998,240-245).

5. SONUÇ

Ekonomi

,

işletme.

istatistik,

kimya,

tasarım,

bilgisayar bilimleri, mühendislik,

bi

yo

loji

g

ibi pekçok bilim

alanındaki çeşitli

problemlerde; problemin

elemanları

ve

bunların

birbirl

e

ri

y

l

e

olan

ilişkileri

bir çizgeyle

ifade

edildiğinde;

çözüm çizge

teorisi

yardımıyla çoğu

k

ez

daha kolay

bulunabilmektedir.

SUMMARY

A

g

raph G consists

of

afınite

nonempty

set

V of p

vertices

together

with a set E

of q

unorder

e

d (ordered)

pairs of distinct vertices

of

V.It is

say

that G has order p

and size

q.A

g

raph

i

s

conıpletely determinet~d

by

spec.i'fıying

its vertex

and edge·sets.

·

Graph

theory is

a

branch

of

mathematics

which

has applications

·

in many

a

r

eas

:statistic. computer science, economics

,

environmental conservation,

managenıent, teleconıiınications,

biology,architecture,

to

name

a few.

in this work are given some

basic

defınitions and theorenıs of graph theory.Also.

its

Prof.Dr.Kenan ERKURAL'a Armağan

KAYNAKLAR

BALAS, E. ( 1989): "The Assimetric Assignment Problem and Some New Facets of The Travelling Salesman Polytope _ona Directed Graph" Siam Journal Discrete Math 2, 425-452.

'BONDY, J.A., Murty, U.S.R.(1976): Graph Theory with Applications, Nort-Holland. 121

BUCKLEY, F., Harary, F. ( 1990): Distance in Graphs,Addison-Wesley Pub. California. CHRİSTOFİDES, N. ( 1986): Graph Theory An Algorithmic Approach, Acadeınic

Press,London.

DÜNDAR, P., Dündar, S, Şen, O. (1998): "Zincir Yapılı Gezgin Satıcı Probleminin Çözümü İçin Dinamik Bir Algoritma", Yöneylem Araştırmsı /Endüstri

Mühendisliği Kongresi Bildirisi,Ankara.

DÜNDAR, P. ( 1998) : "Stability Measures of Static İnterconnection Network and · Trees", Proceeding of 111.Computer Networks Symposium.

Binary İzmir.

DÜNDAR, S., Dündar, P. ( 199,8): "Marka Tercihi Problemine Hiperküble Çözi,lm", Dokuz Eylül Üniversitesi,

i. i.

B. Fakültesi Dergisi.Cilt 13,sayı 2 ..

HARARY, F. (1969): Graph Theory,Addison-Wesley Pub.Mass.

KUMAR,V., Karpis,G. (1994): lntroduction to Parellel Computing,The Benjamin

Cuınming Pub. Comp.,California.

LOVAZS,L., Winkler,P. ( 1996): "A Note on the ~ast New VertexVisited Random Walk"Journal of Graph Theory,vol. 17,no.5,593-596.

, TAHA, A.H. ( 1997): Operations Research An lntroductio·n, Printice-Hall,

· Fayetteville.

TULUNAY, Y. (1982): İşletme Matematiği,İstanbul Üniversitesi,İşletıne Fakültesi, Yayın no:233, İşletme İktisadı Enstitüsü, Yayın no: 126, İstanbul.