d-BOYUTLU HĠPERKÜBĠK ÖRGÜ GREEN FONKSĠYONLARININ HESAPLANMASI
Elif ÇĠFTÇĠ Y.Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
2008 Her hakkı saklıdır
T.C
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
Y. LĠSANS TEZĠ
d-BOYUTLU HĠPERKÜBĠK ÖRGÜ GREEN FONKSĠYONLARININ HESAPLANMASI
Elif ÇĠFTÇĠ
TOKAT 2008
BaĢkan: Prof. Dr. Hasan MAMMADOV İmza : Üye: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU İmza : Üye: Yrd.Doç. Dr. Ġbrahim YĠĞĠTOĞLU İmza :
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof.Dr.MetinYILDIRIM Enstitü Müdürü
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herh an gi b i r kı s m ı n ı n bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
ÖZET Y. Lisans Tezi
d-BOYUTLU ÖRGÜ GREEN FONKSĠYONLARININ HESAPLANMASI Elif ÇĠFTÇĠ
GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman : Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
d-Boyutlu Hiperkübik örgü Green fonksiyonu yakın zamandan günümüze kadar olan bir süredir çalıĢılmaktadır. Katıhal fiziğinde birçok ilgi çekici nicelik örgü Green fonksiyonlarınca ifade edilebilir. Bu çalıĢmada d-Boyutlu Hiperkübik örgü Green fonksiyonunun temel özellikleri ve katıhal fiziğindeki çeĢitli uygulamaları verilmiĢtir. Bu çalıĢma, d-Boyutlu Hiperkübik örgü Green fonksiyonlarının değerlendirilmesi için etkin ve güvenilir bir plan içinde verildi. ÇalıĢmada kullanılan metodun doğruluk ve etkinliğini göstermek için birkaç nümerik sonuç sunuldu. Bu çalıĢmada bazı kristallerin dirençlerini hesaplayabilmek için elde edilen formüller, “Mathematica 5.0” programı kullanılarak hesaplandı. Alınan sonuçların literatürde bulunan deneysel sonuçlarla bir karĢılaĢtırılması yapıldı. Sonuçta d-boyutlu Hiperkübik örgü Green fonksiyonlarının genel ifadesi için basit ve yeni bir ifade türetilmiĢtir.
2008, 58 sayfa
ii
ii ABSTRACT
Ms Thesis
THE CALCULATION OF THE d-DIMENSIONAL HYPERCUBIC LATTICE GREEN FUNCTIONS
Elif ÇĠFTÇĠ
GaziosmanpaĢa University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics
Supervisor : Prof.Dr. Ġskender ASKEROĞLU
The Green functions of d-dimensional hypercubic lattice have been studied for last few years. A lot of important properties in the solid state physics can be explained by Green functions. In this study, it has been given the basic properties of d-dimensional hypercubic lattice Green functions and some applications in solid state physics. It has been presented an efficient and reliably accurate scheme for the direct evaluation of d-dimensional hypercubic lattice Green functions. To demonstrate the accuracy and efficiency of the methods used in this study we present several numerical results. By taking consideration of formulas obtained in this study to calculations of resistances for solids we constructed a program for computation of the lattice Green functions in Mathematica 5.0 international mathematical software. The calculation results have been compared with experimental results in the literature. In conclusion, it has been obtained the simple and new formulas for the general expressions of lattice Green functions. 2008, 58 pages
TEġEKKÜR
Yüksek lisans eğitimim boyunca bilgilerini ve tecrübelerini benden esirgemeyen sayın hocam Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU’na teĢekkürü bir borç bilirim. Bilgi ve deneyimlerini benimle paylaĢan ve yardımlarını esirgemeyen her konuda bana destek olan değerli hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMEDOĞLU’na çok teĢekkür ederim. Hocalarım Doç. Dr. Orhan UZUN ve Yrd. Doç. Dr. Uğur KÖLEMEN’e verdikleri destek için teĢekkür ederim. Yüksek lisans eğitimim sırasında bana yardımcı olan değerli arkadaĢım ArĢ. Gör. Fikret YILMAZ’a ve çok sevdiğim canım arkadaĢım Semra Ergen’e teĢekkürlerimi sunarım. Ayrıca her zaman yanımda olan maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen ailemin tüm bireylerine ve niĢanlım Serkan YELLĠ’ye teĢekkürlerimi sunarım.
iv iv ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET ……... i ABSTRACT... ii TEġEKKÜR………..…... iii SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ ……….. vi ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ……….. vii ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ ... viii 1. GĠRĠġ………... 1 2. KAYNAK ÖZETLERĠ ………. 3 3. MATERYAL ve YÖNTEM………... 6 3.1. Materyal………... 6 3.1.1. Örgü Green Fonksiyonları...………...………… 6
3.1.2. Üç-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu……..………...………. 6
3.1.3. d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu……….………... 10
3.1.3.1 d’ nin tek olması durumunda A dn( )ve B dn( )Katsayılarının Hesaplanması…... 16
3.1.3.2 d’ nin çift olması durumunda C dn( )ve D dn( )Katsayılarının Hesaplanması…... 17
3.1.4. d-Boyutlu Watson Fonksiyonu ve Logaritmik Fonksiyonun Hesaplanması…….. 18
3.1.5. d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Analitik Hesaplanması………... 22
3.1.6. d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Bazı Kristallerin Elektriksel Özelliklerine Uygulanması………... 26
3.1.7. Örgü Green Fonksiyonlarının Bazı Katıların Sığalarının Hesaplanmasına Uygulanması……....………... 26
3.1.8. Örgü Green Fonksiyonlarının Bazı Katıların Dirençlerinin Hesaplanmasına Uygulanması………... 35
3.1.10. Hiperkübik Örgü Ġçin Direnç Değerinin Hesaplanması……… 39
3.1.11. Ġdeal Basit Kübik Örgü Ġçin Direnç Değerinin Hesaplanması……….. 43
3.1.12. Kusurlu Basit Kübik Örgü Ġçin Direnç Değerinin Hesaplanması………. 46
3.2. Yöntem………... 50
4. BULGULAR ve TARTIġMA…….……….……. 53
5. SONUÇ...……… ……….. 56
KAYNAKLAR... 57 ÖZGEÇMĠġ
vi
vi
SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ
Simgeler Açıklama
a d-boyutlu Hiperküp için Örgü Sabiti
( )a n Pochhammer Sembolü C Sığa ii C Sığa Katsayısı E Enerji ( , ) G d w Örgü Green Fonksiyonu ( , ; ) sq
G l m w Kare Örgü için Green Fonksiyonu
nm
G Green Fonksiyonunun Matris Elemanı
( )
I r r Örgü Noktasından Geçen Akım
( )
n
J t n. Dereceden Bessel Fonksiyonu
( )
K k k Modülünde Eliptik Ġntegral
L Örgü Laplasyon Operatörü d L Logaritmik Fonksiyon R Direnç r Konum Vektörü u Pozitif Tamsayı ( )
V r r Bölgesindeki Potansiyel Fark
q Elektriksel Yük i Q Toplam Yük w ( , )u v Düzleminde Nokta d W Watson Fonksiyonu ( )z ( , )d u , n m Digama Fonksiyonu
Durum Yoğunluğu Fonksiyonu Kronocker Delta Fonksiyonu
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Şekil Sayfa
ġekil 4.1. Ġdeal basit kübik örgüde jx’in bir fonksiyonu olarak
100 doğrultusunda, i(0, 0, 0)ve j( , 0, 0)jx arasında deneysel olarak ölçülen ve teorik olarak hesaplanan direnç değerleri ……….. 54 ġekil 4.2. i0 (0, 0, 0) ve j0 (1, 0, 0) arasındaki bağın kaldırılmasıyla oluĢan kusurlu örgüde jx’in bir fonksiyonu olarak
100 doğrultusunda, i(0, 0, 0) ve j( , 0, 0)jx arasında deneysel olarak ölçülen ve hesaplanan direnç değerleri .. 55viii
viii
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ
Çizelge Sayfa
Çizelge 4.1. Ġdeal SC örgüde, herhangi bir örgü bölgesi ve orijin arasındaki direncin deneysel olarak ölçülen ve teorik olarak hesaplanan değerleri………….. 54
Çizelge 4.2. i0 (0, 0, 0) ve j0 (1, 0, 0) arasındaki bağ kaldırıldığında oluĢan kusurlu basit kübik örgünün i(0, 0, 0) ve
j
( ,
j j
x y, )
j
z bölgeleri arasındaki direncin deneysel olarak ölçülen ve teorik olarak hesaplanan değerleri…... 55özelliklerini açıklamada oldukça kullanıĢlıdır. Potansiyel Green Fonksiyonları teorisi; kaynak yetersizliği ile ortaya çıkan yani yük ve akım kaybı ile üretilen elektromanyetik alanları belirlemek için ortaya çıkmıĢtır.
Çok elektronlu sistemlerin fiziksel özelliklerini incelenmesi için Schrödinger denkleminin çözülerek sistemin dalga fonksiyonunun bulunması gerekir. Bilindiği gibi günümüzde bu denklemin çözümü çok basit mikro sistemler için mümkündür. Bu durumda çok boyutlu kristalik yapıya sahip olan katıların fiziksel özelliklerinin incelenmesi için Poisson denkleminin çözülmesi gerekir. Green fonksiyon yöntemi, sistemin tüm enerji seviyelerinin ve dalga fonksiyonlarının hesaplanmasının gerekli olmadığı durumlar da kullanılır. Ayrıca dıĢ bir alan uygulama veya sisteme parçacık ekleyip çıkartmak gibi durumlarda kristalin fiziksel özelliklerinin incelenmesi önerilen yöntem ile daha kolay olur.
Green Fonksiyonlarının 1,2…..n parçacıklı sistemler için farklı çeĢitleri vardır. Çok parçacıklı sistemlerin termodinamik özellikleri ve basit uyarılma spektrumu çalıĢmalarındaki iĢlemler, sıcaklığa bağlı Green fonksiyon metodlarının geliĢimi sayesinde olur.
George Green; elektromanyetik diferansiyel denklemleri, Green fonksiyonları olarak adlandırdığı temel fonksiyonları kullanarak bunları integral denklemlerine çevirdi.
Bunlardan birisi Green fonksiyonu çözümü olan Poisson denklemidir. Özellikle Born tipi dalga fonksiyonu yaklaĢımının kullanıldığı çok parçacıklı
sistemlerin saçılma teorisinde Green Fonksiyonları önemli yer tutar.
Termodinamik ve hidrodinamik gibi yoğun madde bilim dalları birçok açıdan atomik yapıların incelenmesinden daha önce ortaya çıkmıĢtır. Ancak son otuz yıldır çok
2
2
basit özelliklerinin, kristalik yapıyı oluĢturan atomların özellikleriyle nicel olarak iliĢkilendirilebilmesi için geliĢtirilmektedir.
Gerçekte çok parçacıklı sistemlerde yoğun maddelerde geliĢen fiziksel özelliklerin temel iki sınıfı vardır. Bunlardan birincisi yalıtkanlardaki ıĢığın yayılması, metallerdeki elektrik yükünün taĢınması, ses dalgalarının yayılmasıdır. Diğeri ise süperiletkenlik, süperakıĢkanlık, manyetizma gibi kuantum sistemi olayları, klasik sistemlerde oluĢan donma ve erime olaylarında maddeyi temel simetrisine döndüren faz geçiĢleridir.
Bu olayların her ikisi de temel atomik etkileĢimlerin etki alanından daha uzak mesafede gerçekleĢen fiziksel olayları içerir. Bu matematiksel ifadelerin birçok formülü mevcuttur. Bu ifadelerin ortak özellikleri aĢağıda verilmiĢtir:
Atomlar arasında ki etkileĢimler zayıf olduğunda, katıları oluĢturan parçacıkların serbest olduğu düĢünülebilir. Atomun uyarılmıĢ duruma geçiĢi enerjinin taĢınması yoluyla olur. Bu enerji taĢınması Green fonksiyonu yaklaĢımı ile incelenir.
Green fonksiyonları kompleks enerji düzleminde analitik yaklaĢım yoluyla uyarılma spektrumlarının özelliklerinin incelenmesinde de kullanılır. Katıların manyetik alınganlığı, elektriksel iletkenliği ve uygulanan dıĢ alanla oluĢan etkileĢimleri de Green fonksiyonları ile ifade edilebilir.
Green fonksiyonlarının en önemli özelliği zamana bağlı fonksiyonlar olmalarıdır. Bu fonksiyonlar vasıtası ile katıların izotropik ve anizotropik özellikleri zamana bağlı olarak incelenebilir.
fonksiyonuna benzer fonksiyonlardır. Örgü Green fonksiyonlarının tanıtımı için kısa bir giriĢ Hollos (2005) tarafından verilmiĢtir.
Green fonksiyonlarının daha kapsamlı bir açıklaması Economou (1983) tarafından yapılmıĢtır. LGF çoğunlukla yoğun madde ve istatistik fiziğinde kullanılır. LGF’nin bazı kullanımlarının iyi bir yaklaĢımı Cserti (2000) tarafından verildi. Aynı zamanda Örgü Green Fonksiyonu isim olarak görünmese de kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılır. Özellikle Örgü Green Fonksiyonu üç boyutlu kübik ve iki boyutlu kare örgüde Poisson denklemlerinin çözümünde kullanılır. AraĢtırmaların büyük bir kısmı son elli yıldan beri örgü Green fonksiyonları için yapılmaktadır.
Joyce ve Zucher (2001) tarafından d-boyutlu hiperkübik örgüler için Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonu sırası ile EĢitlik 2.1 ve EĢitlik 2.2’ de olduğu gibi ifade edilmiĢtir.
0 0 (cos 11 ... cos ) ... ... 1 d d d d d d d W (2.1)
0...0ln (cos 1 ... cos ) 1... 1 d d d d d d d L (2.2)Özellikle
Ld:d1, 2,...
ve
Wd:d3, 4,...
’ün sayısal değerlerinin yüksek hassasiyette hesaplanmasını sağlayan yeni bir metot geliĢtirildi. Ld ve Wd ’nin d olduğu durumunda asimtotik davranıĢı belirlendi. Elde edilen sonuçların bazı genelleĢtirilmeleri tartıĢıldı. Joyce (2002) tarafından d-boyutlu hiperkübik örgü Green fonksiyonlarının analitik özellikleri araĢtırıldı.4 4
0 0 (cos 11 cos ) 1 ) , ( d d d w d d w d G (2.3)w u iv ’ye eĢit olup ( , )u v düzleminde kompleks değiĢkendir. Özellikle wd dallanma noktası tekilliğinde G(d,w)’nin durumları ayrıntılı olarak
belirlendi. Sonuçlar ikinci adımdan sonra baĢlangıç noktasına dönen hiperkübik örgü için 1/n’nin katlarındaki asimtotik geniĢlemede kullanılır. Sonuç olarak bu asimtotik geniĢleme genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu için son derece doğru değerler verir.
0...0 (cos 1 ... cos ) 1 1 ) ( d s d d d s d d d W (2.4) Burada s d/ 2 ve s1, 2,Katlı terim geniĢleme teoremleri kullanılarak d-boyutlu hiperkübik örgülerde, örgü Green fonksiyonu, Logaritmik fonksiyon ve Watson fonksiyonu için tek bir yaklaĢım Guseınov ve Mamedov (2006) tarafından sunuldu. Bu yaklaĢımın doğruluğu ve geçerliliği diğer hesaplama yöntemleriyle test edildi. Elde edilen yaklaĢıklık formülleri, tüm yaklaĢımlar için geçerli ve katılarla ilgili fiziksel özelliklerinin çalıĢılmasında uygun bir çözüm yolu olduğu bulunmuĢtur.
ÇeĢitli örgü yapılarına sahip katıların rasgele seçilmiĢ örgü noktaları arasındaki direnç değerleri örgü Green fonksiyonları kullanılarak Cserti (2000) tarafından hesaplandı. d-boyutlu hiperkübik örgü, üçgensel ve petek örgülerin dirençleri detaylı olarak ele alındı. Kare örgünün rasgele seçilen örgü noktaları arasındaki direnci için yineleme formülleri verildi.
Ġdeal örgüden bir sınırın kaldırılmasıyla oluĢan kusurlu örgüde sonsuz direnç ağının rasgele seçilen iki noktası arasındaki direnç değerinin hesaplanması yapıldı (Cserti ve ark.,2001). Kusurlu direnç ağında; örgü Green fonksiyonu ve direnç arasındaki iliĢki verildi. Dyson denkleminin çözülmesiyle ideal örgü terimlerinde örgü Green fonksiyonu ve kusurlu örgü ağındaki direnç ifadesi verildi. Kare örgü için sayısal hesaplamalar yapıldı. Sonlu basit kübik örgüde herhangi bir nokta ile orijin arasındaki
direnç G (0,0,0)0 ’ ın bilinen değerlerinin terimlerinde rasyonel bir Ģekilde ifade edilebilir olduğu gösterildi. Ġdeal örgüdeki dirençlerin birinin örgüden uzaklaĢtırılmasıyla oluĢan sonlu basit kübik bir örgüde rasgele seçilen bölgeler arasındaki direnç hesaplandı. Sonsuz sınır Ģartlarıyla iki boyutta sığa hesabı yapılırken örgü Green fonksiyonlarının nasıl kullanıldığı, örgü Green fonksiyonlarından nasıl sonuç çıkarıldığı ve sığa katsayılarının nasıl hesaplandığı S. Hollos ve R. Hollos (2005) tarafından gösterildi. Rasgele seçilen iki iletkenin genel analizleri üzerinde çalıĢıldı. Belli simetri Ģartları sağlandığında iletkenlerin özdeĢ olma durumunda hesaplamaların basitleĢtiği gösterildi. Bir paralel ve eĢ düzlemli Ģerit için örnek hesaplamalar yapıldı. Üç ya da daha fazla iletken için iki iletken formülünün kullanımı tartıĢıldı.
3.MATERYAL ve YÖNTEM 3.1 Materyal
Örgü Green fonksiyonlarını konu alan çok sayıda kitap ve makale bulunmaktadır. Green fonksiyonlarının katıhal fiziğindeki uygulamaları ve bu konudaki çalıĢmalar son elli yıl ve öncesinden bu günümüze kadar hız kazanarak gelmiĢtir. Bu çalıĢmaların konumuzla ilgili olanları gerekli olan yerlerde kullanılmıĢ ve kaynaklar bölümünde gösterilmiĢtir. Bu kaynaklardan ve bu alandaki çalıĢmalardan faydalanarak örgü Green fonksiyonları yardımıyla ideal ve kusurlu örgüler için direnç değerinin hesaplamaları yapıldı.
3.1.1 Örgü Green Fonksiyonları
Bu bölümde üç-boyutlu ve d-boyutlu Örgü Green Fonksiyonları incelenecek ve Green Fonksiyonlarının temel özellikleri verilecektir
3.1.2 Üç-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu
Örgü Green fonksiyonu EĢitlik 3.1’ de olduğu gibi kısmen anizotropik yakın çevre etkileĢimleri ile basit kübik örgü içeren çok sayıda örgü statik problemlerinde önemli rol oynar (Delves ve ark.,2001).
cos cos cos
1 1 2 3
( , , ,; , )
1 2 3
3 0 0 0 cos cos cos
1 2 3 m n G l m n w d d d w (3.1) ( , , ; , ) ( , ; ) ,0 G m n o w Gsq m w n (3.2) , n m
Kronocker delta fonksiyonu ve Gsq ( , ; )m w izotropik yakın çevre etkileĢimli iki boyutlu kare örgü için Green fonksiyonudur. Ayrıca EĢitlik 3.1’ ten;
( , , ; , ) ( 1)n ( , , ; , )
olduğu görülür. Böylece yapılacak olan inceleme 0 aralığı için sınırlanabilir.
0
l m n durumu için daha kompakt bir notasyon kullanılabilir.
( , ) (0, 0, 0; , )
G w G w (3.4)
EĢitlik 3.1 üçlü integrali, reel eksen boyunca w 2 ’ dan w 2 ’ ya, 0
durumunda, kompleks (u,v) düzleminde bir G( , , ; , ) m n w tek değerli analitik fonksiyonunu tanımlar. Ayrıca EĢitlik 3.1’den G( , , ; , ) m n w ’nın simetri bağıntı
koĢulunu sağladığı bulur.
1
( , , ; , ) ( 1) m n ( , , ; , )
G m n w G m n w (3.5)
Pek çok uygulama, G( , , ; , ) m n w da w’nin reel u eksenine yaklaĢacağı Ģekilde limitinin alınmasının gerektirir. Bu durumda daha ileri tanımlamalar yapmak uygun olacaktır. ( , , ; , ) lim ( , , ; ) ( , , ; , ) ( , , ; , ) 0 G m n u G m n u i G m n u G m n u R I (3.6)
Burada u ve sonsuz küçük pozitif bir sayıdır. Özel bir durum olarak,l m n 0 durumunda EĢitlik 3.6’ yı daha basit formda yazabiliriz.
( , ) lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 G u G u i G u iG u R I (3.7)
EĢitlik 3.5 kullanılarak, l m n’ nin tek veya çift oluĢuna göre, reel kısmı GR’nin, u’nun tek veya çift fonksiyonu ve imajener kısım GI’nın da bir tek veya çift fonksiyon olduğunu bulunur. u 2 olduğunda G( , , ; , ) m n u ’nin imajener kısmı her zaman
sıfıra eĢit olur. Ayrıca, G( , , ; , ) m n u fonksiyonunun u , 2 ve 2’da dallanma noktası özelliği sergileyeceği de gösterilebilir.
8 8
1 exp ( ) ( ) 0 i i i t dt i (3.8)EĢitlik 3.1 integralinin paydasına, EĢitlik 3.8 ifadesi w u i ile uygulanırsa; EĢitlik 3.6’ dan Green fonksiyonu için basit bir integral gösterimi türetilebilir. Burada reeldir ve 0 dır. Bu katlı integral, standart sonuç kullanılarak basitleĢtirilebilir.
1
cos( ) exp( cos ) ( )
0 n n it d i Jn t (3.9)
Burada,J tn( ); n. dereceden birinci tür Bessel fonksiyonunu ifade eder. Bu yolla EĢitlik 3.10 elde edilir.
1
( , , ; , ) ( ) exp( ) ( ) ( ) ( )
0 m n
G m n u i iut J t Jm t Jn t dt (3.10)
Burada u -dur. Ayrıca Wolfram ve ark..,(1963) tarafından EĢitlik 3.11’ deki ifade bulunmuĢtur.
( , , ; , ) exp( ) ( ) ( ) ( )
0
G m n w wt I t Im t In t dt (3.11)
Burada I tn( ); 1.tür değiĢtirilmiĢ Bessel fonksiyonudur ve w 2 ve 0 dır. 0
l m n olduğunda, EĢitlik 3.7 ve EĢitlik 3.8 ifadelerinden EĢitlik 3.12 ve EĢitlik 3.13 ifadeleri elde edilir.
2 0 0 0 ( , ) sin( ) ( ) ( ) GR a u ut j t j at dt
(3.12) 2 0 0 0 ( , ) cos( ) ( ) ( ) GI a u ut j t j at dt
(3.13)Burada u ’dur. Daha genel olarak Green fonksiyonu G( , ) w , aĢağıdaki formda ifade edilebilir: 2 2 ( , ) ( , ) a u G w du w u
(3.14) Burada w; (u,v) düzleminde herhangi bir noktadır.1
( , )u GI a u( , )
(3.15)
EĢitlik 3.15, durum yoğunluğu fonksiyonudur (Katsura ve ark., 1971). Buradan G( , ) w
için seri temsili EĢitlik 3.14’ deki integralin 1/w ile geniĢletilmesiyle elde edilebilir.
2 2 0 1 1 ( , ) n( ) n n G w w w
(3.16) Burada w 2 ve 2 2 0 ( ) 2 ( , ) 2 n u u du n
(3.17) ( , )u yoğunluk fonksiyonunun çift momentleri sıfırdır; çünkü ( , )u , u’nun tek
fonksiyonudur. EĢitlik 3.1’deki Green fonksiyonunun kapalı-form hesaplama çalıĢmalarının çoğu 1 izotropik durumu için uygulanmıĢtır. Bu özel durum 1ve
3
w için Watson (1939) hesaplama yapmıĢtır.
2 2 (0, 0, 0;1,3) (1,3) (18 12 2 10 3 7 6) ( ) G G K k (3.18) (2 3)( 3 2) k (3.19) K(k); k modülünde 1. tür tam eliptik integrali ifade eder. EĢitlik 3.19’ deki k modülünün tekil bir k değerine eĢit olduğunu belirtmek gerekir (Maradudin ve ark., 1960). Herhangi bir N pozitif tamsayı için tekil değer k N aĢağıdaki özelliğe sahiptir:
10 10
( ) ( ) K k N N K k N (3.20)Burada K k( ); 1.tür tam eliptik tümler integraldir. Daha genel Green fonksiyonu
G(1,w) için tam bir formül ilk olarak Joyce (1972) tarafından geliĢtirilmiĢtir.
1/ 2 1 1/ 2 2 2 (1, ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) 4 G w n K k K k (3.21)
Burada k2 , ve zifadeleri sırasıyla aĢağıdaki gibi ifade edilir.
2 1 1 1 1 1 (1 ) 1 2 4 2
k
(3.22) 2 16 ( 1z z 1 9 )z (3.23) 2 1/ z w (3.24)Bu sonuçlar reel eksen boyunca w 3’ten w3’e kadar ki bütün noktalarda G(1,w)’yi hesaplamak için kullanılabilir.
3.1.3 d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu Green fonksiyonu;
0 0 (cos 11 cos ) 1 ) , ( d d d w d d w d G (3.25)w u iv ve ( , )u v düzleminde kompleks değerlerdir. Örgü Green fonksiyonu d-boyutlu hiperkübik örgüde en yakın komĢu etkileĢimi gerektiren bir çok örgü modelinde önemli rol oynar. EĢitlik 3.25’un d-katlı integralinin tek değerli analitik fonksiyonu wd’den wd’ye uzanan gerçek eksende de bir kesme yapılması
Ģartıyla (u,v)kompleks düzleminde belirlendiği bulunmuĢtur. Bir çok uygulamada w’nın gerçek u eksenine yaklaĢtığı durumda G(d,w)’nin sınırlı davranıĢının bilinmesi
gereklidir. Bu yüzden EĢitlik 3.26’nın verilmesi uygun olacaktır.
) , ( ) , ( ) ( lim ) , ( 0 G u i G d u iG d u u d G R I (3.26)
Burada u; u aralığında pozitif bir sayıdır. Alternatif bir form olarak EĢitlik 3.25’i ifade etmek için G(d,u)fonksiyonunu kullanılabilir.
d d du u w u d w d G( , ) ( , ) (3.27)Burada w;(u,v)düzleminde herhangi bir noktadır.
) , ( 1 ) , (d u G1 d u (3.28) ( , )d u
; durum yoğunluğu fonksiyonudur.G(d,w)’nin seri temsili 1/w’nın katlarında
EĢitlik 3.27 integrali geniĢletilerek elde edilebilir. Böylece EĢitlik 3.29 elde edilir.
0 2 2 1 ) ( 1 ) , ( n n n w d w w d G (3.29) Burada w d’dir.
d n n d u d u du 0 2 2 ( ) 2 ( , ) (3.30)12
12
Durum yoğunluk fonksiyonu (d,u)’nun tek momentleri sıfırdır. Çünkü (d,u);
u’nun bir çift fonksiyonudur. 2n(d)için daha kullanıĢlı alternatif formül 1/w’nın
katlarında EĢitlik 3.25’ deki integralin geniĢletilmesiyle elde edilebilir.
0 0 1 2 1 2 (cos cos ) 1 ) ( d d n d n d d d (3.31)Rondom walk teorisi göz önüne alınarak 2n(d) ifadesi daha ileri bir formda yazılabilir. ) ( ) ( 2 2 2 d d p n d n n (3.32)
Burada p2n(d); basit hiperküp üzerinde 2n. adımdan sonra baĢlangıç noktasına
dönebilecek olan rast gele adım olasılığıdır.
) , (d w
G ; wdnoktalarında moment serilerinin EĢitlik 3.29 da yakınsamaları,
serilerin dallanma noktalarıdır. d tek olduğunda G(d,w)’nin tekil davranıĢı, d
w noktasının analitik devam formülü ile tanımlanır.
0 0 1 2 1 ) )( ( ) ( ) )( ( ) , ( n n n n d n n d w d w d B d w d A w d G (3.33) d çift ise;
0 0 1 2 1 ) )( ( ) ln( ) ( ) )( ( ) , ( n n n n d n n d w d w d w d D d w d C w d G (3.34)Burada
An(d),Bn(d),Cn(d),Dn(d):n0,1,2,
d’ye bağlı olan sabitlerdir. EĢitlik3.32ve EĢitlik 3.34’ de üst sınırlar wdtekil noktası komĢuluğunda; alt sınırlar d
d = 1 için; 2 / 1 2 1 1 1 ) , 1 ( w w w G (3.35)
An(1)0:n0,1,2,...
! ) 2 / 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( n B n n n n (3.36)Burada (a)n; Pochhammer sembolü ve n = 0,1,2,… d = 2 olduğunda aĢağıdaki sonuç kullanılabilir. 2 1 ;1; 42 2 1 , 2 1 1 ) , 2 ( w F w w G (3.37)
Ġkinci dereceden differansiyel denklem Cn(2),Dn(2) katsayılarını bulmak için 2F1 hipergeometrik fonksiyonu ile birleĢtirildi. Bu katsayılar aĢağıdaki bağıntılar ile iliĢkilendirilebilir. 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 3 3 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 8 1 2 2 1 2 Dn n n Dn n Dn n (3.38) 0 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2 ( 6 ) 2 ( ) 1 ( 16 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 3 3 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 8 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n n nD D n D n C n C n n C n (3.39) ,... 2 , 1 , 0
n C0(2) ve D0(2)’nın birincil değerleri EĢitlik 41’ deki 2F1 fonksiyonunun standart analitik özelliklerinden belirlenebilir.
2 ln 2 ) 2 ( 0 C (3.40)
14 14 2 1 ) 2 ( 0 D (3.41) Bu sonuçlar EĢitlik 3.38 ve EĢitlik 3.39’daki yineleme bağıntıları
Cn(2),Dn(2):n0,1,2,
katsayıları için kesin değerler elde etmede kullanılır.Joyce (2002)
An(3),Bn(3):n0,1,2,
katsayıları için benzer yenilemebağıntılarından kesin sonuçlar bulunabileceğini gösterdi.An(d),Bn(d),Cn(d),Dn(d ) katsayıları ve genel formüllerin türetilmesinden ortaya çıkan sonuçlar 1/n’nin katlarında
) (
2 d
p n rondom walk olasılığı için bir asimtotik geniĢleme oluĢturulmasında kullanılır. Sonuç olarak bulunan bu geniĢleme, genelleĢtirilmiĢ d-boyutlu Watson integrali için tam ve doğru sonuçlar hesaplamaya olanak verir.
0 ) exp( 1 dt t (3.42)EĢitlik 3.42 integralinde Re()0dır. Çoklu integral sonuçları, standart sonuçlar
kullanılarak bir tek integralle indirgenebilir.
0exp( cos ) 0( ) 1 t I d t (3.43) ) ( 0 tI ;birinci tür Bessel fonksiyonudur. Bu durumda EĢitlik 3.44 elde edilir.
0 0 ( ) ) exp( ) , (d w wt I t dt G d (3.44)Burada Re(w)0dır. d = 3 için ilk kez Maradutin tarafından geliĢtirilen ifade izlenerek
EĢitlik 3.44 [0,T] ve [T,) ;T 0interval aralığına ayrılabilir.
) , , ( ) , , ( ) , (d w J1 d T w J2 d T w G (3.45)
dt t I wt w T d J d T ) ( ) exp( ) , , ( 0 0 1
(3.46) dt t I wt w T d J d T ) ( ) exp( ) , , ( 0 2
(3.47) ) , , ( 1 d T wJ ’nın w = d noktasının en yakın komĢuluğundaki davranıĢının belirlenmesi
yerine Taylor serisi W = d olduğunda EĢitlik 3.47 üstel faktörüne geniĢletilebilir. Bu yöntem EĢitlik 3.48’yi verir.
dt t I dt t d w n w T d J d T n n n n ) ( ) exp( ) ( ! ) 1 ( ) , , ( 0 0 0 1
(3.48) ) , , ( 1 d T wJ , w = d noktasında analitik bir fonksiyondur. Standart asimtotik formülü
uygulanırsa EĢitlik 3.49 elde edilir.
) ( 0 t I t F t t 2 1 ; ; 2 1 , 2 1 ) 2 ( ) exp( 0 2 2 / 1 (3.49)
t olduğu durumda EĢitlik 3.49’ deki 2F0; genelleĢtirilmiĢ hipergeometrik seridir. Böylece aĢağıdaki asimtotik formül elde edilir.
) , , ( 2 d T w J j j j d d d w d w T j d d a d w ) ( ) ( , 1 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( 0 2 / 1 2 1
(3.50) T dur. ;(a,z) tamamlanmıĢ gama fonksiyonudur. EĢitlik 3.50’de
aj(d): j0,1,2,...
katsayıları aĢağıdaki fonksiyon ile belirlenir.
0 0 2 ( ) 2 1 ; ; 2 1 , 2 1 j j j d z d a t F (3.51)16
16
3.1.3.1 d’nin Tek Olması Durumunda An(d)ve Bn(d) Katsayıları
d = 1,2,3,…olduğunda wd’nin katlarında J2(d,T,w)için geniĢleme ifadesi
Davis(1960)’in formülü uygulanarak elde edebilir.
0( ) ! ) ( ) ( ) , ( n n a n a n z z a z a (3.52) z ve arg(z) dir. J2(d,T,w) ve J1(d,T,w) için EĢitlik 3.48, EĢitlik 3.46’ da yerine yazılırsa elde edilen sonuç Tdurumunda G(d,w)’nin asimtotik formülünde
kullanılır. ) 2 / 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( /2 2 / ) 1 ( d n d a d B n n d d n (3.53)
M j j j d n n n T n T n d j d a n T T T d U d A 0 2 / 1 1 2 / 1 ) ( ! ) 2 ( ) 1 ( ) , ( lim ) ( (3.54)
1 0 0 1 ) ( ) exp( ! ) 1 ( ) , ( T u dTu I Tu du n T d U n n d n n (3.55) ]) 2 / [ 1 , 0 max( n dM ve [a]; a’ ya eĢit veya küçük olan en büyük tam sayıdır.
EĢitlik 3.54, d herhangi bir tek tam sayı olduğu durumda
Bn(d):n0,1,2,...
için kesinifadeler elde etmeye olanak sağlar.
EĢitlik3.54’ün sağ tarafındaki ifade d1’in tek değerleri için
An(d):n0,1,2,...
’nin3.1.3.2 d’nin Çift Olması Durumunda Cn(d)ve Dn(d) Katsayıları ,... 6 , 4 , 2
d olduğunda EĢitlik 3.34’ deki Cn(d)ve Dn(d) katsayıları için elde edilecek olan ifade “Bölüm 3.1.3.1” de tanımlanan iĢlemler takip edilerek bulunabilir. Ancak EĢitlik 3.54; aN N0,1,2,... olmasından dolayı kullanılamaz. Bunun için alternatif bir formül olan EĢitlik 3.56’yı kullanmak gerekir.
0( ) ! ) ( ln ) 1 ( ! ) 1 ( ) , ( m m N N m M n x x x N N x N (3.56)Burada (z)digama fonksiyonudur. Dn(d)için nihai sonuç EĢitlik 61’deki gibidir.
) 2 / 1 ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( 2 / d n d a d D n n d n (3.57) ) (d Cn katsayısı için;
1 / 2 0 1/ 2 1 / 2 ( ) ( 1) ( , ) (2 ) ! ( 1/ 2 1) ( ) lim ( 1) ( ) ( 1) ln (2 ) ! n n M j n d j j n n T n d d a d T U d T T n j d n T C d a d n T n
(3.58) d n M max(0, 21/2 ) , 1 2 1 d n olduğu durumda 1 2 1 n dj terimini ayrı ele
almak gerekecektir. Aynı zamanda EĢitlik 3.58’den
ak(d)0:k 1,2,..
bulunabilir. EĢitlik 5.58’in sağ tarafındaki ifade d2’nin çift sayı değerleri için
Cn(d):n0,1,2,...
’nin sayısal ifadesinin bir önceki bölümdeki iĢlemler takip edilerek18
18
3.1.4 d-boyutlu Watson Fonksiyonu ve Logaritmik Fonksiyonun Hesaplanması d-katlı Watson fonksiyon;
11
0 0 ... 1 ... cos ... cos d d d d d d W d
(3.59)BirleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon;
1
1 0 0 1 ... ln (cos ... cos ) ... d d d d L d d d
(3.60) EĢitlik 3.59 ve EĢitlik 3.60 ile verilen ifadeler, d-boyutlu hiperkübik örgüler için ferromanyetizmin Küresel modeli ve Gaussian teorisinden ortaya çıkar.Wd integrali aynı zamanda d-boyutlu hiperkübik örgülerde rondom walk teorisinde önemli bir rol oynar. Ld fonksiyonu hiperkübik örgüdeki toplam sayının hesaplanmasında ve dallanan polimer yılması teorisinde yer alır. Watson (1953) tarafından W3 ifadesi oluĢturuldu.
2 3 2 3 3 2 2 6 7 3 10 2 12 18 K W (3.61)K(k); k modülü ile tek katlı eliptik integrali ifade eder. K(k) ifadesi aynı zamandaW3’ü
Borwein ve Zucker (1992)’in çalıĢmalarında kullandığı gama fonksiyonunu ifadelerinde yazmanın mümkün olduğunu gösterir.
2 3 3 24 11 24 1 1 3 96 1 W (3.62)d
W integrali d=1 ve d=2 olduğu durumlar için mevcut değildir. Watson’nun W3 ifadesi4dolduğu durumlar için hesaplama yapamamaktadır. Ancak Maradudin ve ark.., (1960) EĢitlik 3.63 ifadesi ile 4ddurumları için hesaplama yapılabileceğini gösterdi.
0 ) exp( 1 dt t (3.63)Burada EĢitlik 3.59’daki integral için ()0dır. Standart sonuç olan EĢitlik 3.64
kullanılarak çoklu integral sonuçları tek bir integrale indirgenebilir.
0exp( cos ) 0( ) 1 t I d t (3.64)Burada I0(t)birinci tür Bessel fonksiyonudur. Bu Ģekilde EĢitlik 3.65 elde edilir.
dt t I dt Wd
d 0 0 ( ) ) exp( (3.65)Burada d 3’ tür. Ld logaritmik fonksiyonu d=1 ve d=2 için aĢağıdaki ifadelerde olduğu gibidir. 2 ln 1 L (3.66) 2 ln 4 2 G L (3.67)
Burada G; Catalan sabitidir. d 3 olduğunda Ld logaritmik fonksiyonu için literatürde daha ileri kesin formüller yoktur. EĢitlik 3.59 ’un EĢitlik 3.65’ deki tek bir integrale indirgenmesi daha önceden çalıĢılmamıĢtır. Son zamanlarda Joyce (2002), L3 ifadesini hesapladı.
20
20
Temel amaç Ld için bir tek integral temsilinin oluĢturulmasıdır. Elde edilecek olan ifade tüm d1 için geçerli olacaktır. Bu yeni formül
Ld :d 2,3,..
için tam doğrusayısal değerleri bulmak için kullanılacak ve dolduğu durumlarda Ld’ nin asimtotik davranıĢı belirlenecektir. Hesaplamalara EĢitlik 3.68 kullanılarak baĢlanacaktır.
z t dt zt t) exp( ) ln exp( 0
(3.68) 0 ) ( z dır. EĢitlik 3.68, EĢitlik 3.58’ de kullanılırsa EĢitlik 3.64’ü aĢağıdaki forma
indirgeyebiliriz.
0 0 ( ) ) exp( ) exp( t dt t I dt t Ld d (3.69)Burada d1dir. Ld’nin bu yeni ifadesi, Wd’nin EĢitlik 3.65 ile yapılan gösteriminde
yer alan integrale çok yakın olduğu görülmektedir.Ld’nin sayısal değerlerini hesaplamak yerine EĢitlik 3.69 integralini (0,T] ve [T,)olarak iki kısma ayırmak gerekir. Burada T>0 dır.
0 0 ( ) (0, ) ) exp( ) ( T t dt t I dt T J Ld d d (3.70) u du Tu I dTu Tu T Jd
d 1 0 0 ( )] ) exp( ) [exp( ) ( (3.71) ) , 0 ( T ; tam olmayan gama fonksiyonudur.
) ( ) exp(dt I0d t
M j j j d t d c t 0 2 / ) ( ) 2 ( 1 (3.72)Burada t, M = 0,1,2,…dır. Katsayılar
cj(d): j 0,1,2,...
ise EĢitlik 3.73’ dekifonksiyon ile ifade edilir.
0 0 2 ( ) 2 ; ; 2 1 , 2 1 j j j d z d c z F (3.73) 02F ; genelleĢtirilmiĢ hipergeometrik fonksiyondur. EĢitlik 3.73’ün sol tarafı z’nin katlarına geniĢletilirse; c0(d)1 ve c1(d)d/8’ dir.
) 8 ( 128 ) ( 2 d d d c (3.74) ) 24 200 ( 3072 ) ( 2 3 d d d d c (3.75) ) 24 416 )( 24 ( 3072 ) ( 2 4 d d d d d c (3.76) ) 80 2960 65920 824064 ( 3932160 ) ( 2 3 4 5 d d d d d d c (3.77)
EĢitlik 3.72’yi EĢitlik 3.69 da yerine yazarsak aĢağıdaki temel formül ortaya çıkar.
M J j j d d T d T T d j d c T T J L 0 2 / /2 (0, ) ) ( ) 2 ( 1 ) ( lim (3.78) ) , 0 ( T ; tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu, M herhangi bir pozitif tamsayı ve d1 dir.
Ldd:d 1,2,...,10
’nun sayısal değerlerini belirlemek için EĢitlik 3.78 ’in sağtarafındaki ifadeler kullanılır.Benzer metotlar EĢitlik 3.59’daki Watson integraline uygulanabilir.
22 22
M J j j d d T d T d j d c T T W W 0 2 / 1 2 / ) ( ) 2 ( 1 ) ( lim (3.79)M; sabit pozitif tam sayıdır.
du Tu I dTu T T Wd( ) exp( ) d( ) 1 0 0
(3.80)3.1.5 d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Analitik Hesaplanması
Örgü Green fonksiyonun, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonunun ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonun hesaplanmasını geliĢtirmek için literatürde çeĢitli metotlar önerilmiĢtir. Aynı zamanda Green fonksiyon teknikleri geliĢtirilmiĢtir. Son zamanlarda genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için birkaç etkili teknik ve görüĢ ileri sürülmüĢtür. Örgü Green fonksiyonu ile ilgili literatürdeki çalıĢmaların çoğunun eliptik integral yaklaĢımına dayandığını belirtmek gerekir. Bu düĢünceyle çokterimli geniĢleme katsayıları yoluyla örgü Green fonksiyonu, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için bu bölümde genel analitiksel ifadeleri elde etmek için bir ilave yapılacaktır ve yeni bir alternatif yaklaĢım, yoğun madde problemlerinin çeĢitli çalıĢmalarında oluĢan çok boyutlu integrallerin sayısal hesaplamalarına yönelik var olan metotlara ilave olarak verilecektir. Bu yaklaĢım içerik olarak literatürdeki yaklaĢımlardan daha basittir. Bu yaklaĢımla oluĢturulan serilerde yeterli terim elde edilirse, fonksiyonların üç tipi için de sonuçlar büyük doğrulukla elde edilebilir.
Örgü Green fonksiyonu, Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için verilecek olan formüllerin uygulaması, katıhal fiziğinde yer alan bazı problemlerin çözülmesi için bilgisayar kullanımında kolaylık sağlar. Yani formüller kolaylıkla cebirsel bilgisayar diliyle hesaplamalarda kullanılabilir.
d-boyutlu hiperkübik örgü Green fonksiyonu, geneleĢtirilmiĢ d-boyutlu Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon sırasıyla aĢağıda ki gibi ifade edilir.
0 1 1 0 (cos ...cos ) ... ... 1 ) , ( d d d w d d w d G wd (3.81)
0 ...0 ( (cos 1 ... cos )) 1... 1 ) ( s d d d d s d d d W (3.82) d d d d d d d L ... )) cos ... (cos ln( ... 1 1 0 1 0
(3.83)Burada d 1, 2,...,s d/ 2(s1, 2,...)’dir. w; reeldir. EĢitlik 3.81’ deki w ifadesi çok
sayıda örgü modelinde önemli rol oynar. Sonuç olarak s 1 ile EĢitlik 3.82’ nin özel, yani Wd Wd( 1) belirli bir durumunu hesaba katarak d-katlı Watson fonksiyonu elde edilebilir. Örgü Green fonksiyonu, Watson fonksiyonu için yeni ifadeler elde etmek için ilk olarak, iyi bilinen çok katlı geniĢleme teoremleri hesaba katılacaktır.
1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 0 0 0 ( ... ) ... n n n n n n n n n n x x x x
1 2 1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 ... , ,... 1 2 3 ... ( ) ... i i n n n n n n n n n n n i n n n n n F n x x x x
(3.84) Burada , ,...,(
)
2 1n
F
i n nn , EĢitlik 3.85 ile ifade edilen çok terimli geniĢleme katsayılarıdır. 1,2,3,... 1 2 3 1 ! ( ) . ( )!( )!( )!...( )! i n n n n n F n n n n n (3.85)
Çok terimli geniĢleme katsayıları iki terimli katsayılar yoluyla ifade edilebilir:
1,2 3,...1( ) 1( ) 2( 1) 3( 1 2)... n n n n n n n F n F n F nn F n n n 1( 1 2 1) n l F n n n n (3.86) ( ) !/[ !( )!] 0 0 0 m n m n m m n F n m ve m n (3.87)
24 24 1 ( ) ( 1) ( 1) m m m F n F n F n
(3.88) Çoklu geniĢleme katsayıları ve temel integral terimlerinde örgü Green fonksiyonu ve Watson fonksiyonu için bir ifade oluĢturulacak. EĢitlik 3.81 ve EĢitlik 3.82’ de EĢitlik 3.84’ ü dikkate alarak örgü Green fonksiyonu ve genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu için çoklu geniĢleme katsayılarının terimlerinde aĢağıdaki formüller elde edilir. id i i N i i N d F w K w d G 1 0 ) 1 ( ) 1 ( lim 1 ) , (
(3.89) id s i i N i i N d d s F s d K W
1 lim ( 1) ( ) ) ( 0 . (3.90)BirleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için yeni bir yaklaĢımın oluĢturulması EĢitlik 3.91’de verilen belirsiz integral ve örgü Green fonksiyonunda EĢitlik 3.82 ve EĢitlik 3.89 kullanılarak kolaylıkla oluĢturulabilir.
( ) ( , ) ( ) d L w
G d w dw C d (3.91) 1 1 0 0 1 ( ) ln( cos cos )) ... ( ) d d d d L w w d d C d
(3.92) ( ) d dL L d özdeĢliği, EĢitlik 3.83 ve EĢitlik 3.92’ den görüldüğü gibi integrasyon sabiti sıfıra eĢittir; yani C(d) = 0 dır. ġimdi EĢitlik 3.89’u EĢitlik 3.91’de dikkate alıp, birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için yeni bir ifade elde edilecektir.
N i i id i i N d d d id K F d K F L 1 0 0( 1) ln( ) lim ( 1) ( 1) 1 .(3.93)
EĢitlik 3.89, EĢitlik 3.90 ve EĢitlik 3.93’ de N indeksi toplamın en üst limitidir. Bu denklemlerden ortaya çıkan temel Knd integrali aĢağıdaki gibi ifade edilir.
0 0 1 1 d n d nd ... cos ...cos d ...d K (3.94) 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 ... , , ,... 0 0 0 ... ... ( ) ... d d d t d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n F n I I I
(3.95) Burada n0’dır. 0 cosn n I d
(3.96)I n integralinin hesaplanabilmesi için aĢağıdaki formül kullanılacaktır.
0, ; 1/ 2 , ; / 2 1 n n tek n I n çift n (3.97)Bu bölümde örgü Green fonksiyonu, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonun çözümü için yeni bir çözüm yolu sunuldu. Bu ifadeler çoklu geniĢleme serilerine dönüĢtürülebilir. Elde edilen bu Basit integraller, çok terimli geniĢleme katsayılarını içeren çok katlı seri geniĢlemelerine dönüĢtürülebilir. Hesaplanan bu yeni ifadeler yardımıyla katıhal fiziği ile iliĢkili birçok problemin detaylı bir Ģekilde hesaplanması mümkündür.
3.1.6 d-boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Bazı kristallerin Elektriksel Özelliklerine Uygulanması
Bu bölümde, d-boyutlu hiperkübik ve üç-boyutlu basit kübik örgü yapılı kristallerde rasgele seçilmiĢ iki örgü noktası arasındaki direnç değerinin örgü Green fonksiyonları kullanılarak nasıl hesaplandığı detaylı olarak ele alınacaktır.
26
26
Bu çalıĢmalarda kullanılan örgü Green fonksiyon metodu farklı örgü yapılarına da uygulanabilir ve yoğun madde fiziğinde kullanılan birçok içeriğin açıklanması için yararlı olabilir.
Ġdeal örgüden bir bağın kaldırılmasıyla oluĢan kusurlu örgüde, rasgele seçilen noktalar arasındaki direnç değerinin hesaplanmasına değinilecek, Dyson denkleminin çözülmesiyle ideal örgüde Green fonksiyonu ve kusurlu örgü ağının direnci ifade edilecektir.
Ayrıca iki boyutta kapasitans hesabı yapılırken örgü Green fonksiyonlarının nasıl kullanıldığı, bu fonksiyonlar kullanılarak sığa katsayılarının nasıl hesaplandığı gösterilecek. Rasgele seçilen iki iletkenin genel analizleri verilecektir. Belli simetri Ģartları sağlandığında ve iletkenlerin özdeĢ olma durumunda hesaplamaların nasıl basitleĢtiğini gösterilecektir. Üç ya da daha fazla iletken için iki iletken formülünün kullanımını tartıĢılacaktır.
3.1.7
Örgü Green Fonksiyonlarının Bazı Katıların Sığalarının Hesaplanmasına UygulanmasıĠki boyutta ve sonsuz uzayda, Poisson denklemi ve çözümü EĢitlik 3.98 ve EĢitlik 3.99 olduğu gibi ifade edilir.
( ) ( ) 2 P r r (3.98)
' ' ' ln 2 1 0 0 r d r r r r r (3.99)Yük yoğunluğu bilindiğinde EĢitlik 3.98, uzayda herhangi bir noktadaki potansiyelin bulunması problemini basit integrasyona indirger. Yük yoğunluğu bilinmediğinde çok ilginç ve zor bir problem meydana gelir. Böyle bir probleme örnek olarak aynı potansiyelde tutulan iki iletkenin durumu verilebilir. EĢitlik 3.99, iletkendeki yük yoğunluğu için bir integral denklemidir ve birkaç basit durum haricinde analitik olarak
çözmek zordur. Bu problemi çözmek için çok sayıda yaklaĢım ortaya koyulmuĢtur. Yaygın olarak kullanılan yaklaĢım EĢitlik 3.99’u matris denklemlerine çevirerek iki parçaya ayırmaktır. Bu yaklaĢımın dezavantajı hem sürekli uzayda hemde farklı uzayda bir yaklaĢım olmasıdır.
BaĢka bir alternatif yaklaĢım ise ayrı uzayda tüm problemi formüle etmektir. Fiziksel olarak model düğüm noktalarını sığalar ile birleĢtiren sonsuz bir kare örgüdür. Ġletkenlerin farklı versiyonlarına karĢılık gelen yakın düğüm noktaları grubu sabit bir potansiyelde tutularak bu noktalarlardaki yükler hesaplanır. Matematiksel olarak bu yaklaĢım EĢitlik 3.98’deki laplasyonun yer değiĢtirmesine eĢittir. EĢitlik 3.98’in ayrı uzay Ģekli EĢitlik 3.100’de olduğu gibidir.
( n) m m nm r r L (3.100) Burada n r ; n1a1 n2a2rn ’nin örgü vektörüdür. ni tam sayı ve
^ i i ax a ve a örgü uzayıdır. ( ) n r ; n
r noktasında lineer yük yoğunluğudur.Lm; örgü laplasyonunun matris elemanıdır.
2 1 ) , ( ) , ( ) , ( 4 i m i n m i n m n nm r r r a r r a r L (3.101)EĢitlik 3.101 ifadesini basitleĢtirmek için EĢitlik 3.100 aĢağıdaki formda yazabilir.
) ( ) (
m n m nm r q r L (3.102)Burada Lnm sığa birimlerine sahiptir ve ( )
n r q ; n
r noktasında bir yüktür. Bu denklemin
(
n
28 28
m nm n) G ( ) r ( q rm (3.103)Gnm; Green fonksiyonunun matris elemanıdır. Burada Green fonksiyonu GL1
olarak belirlenir. L; örgü laplasyon operatörüdür. EĢitlik 3.103, EĢitlik 3.98’in ayrı uzay versiyonudur. Gnm; m n r
r ’nin bir fonksiyonudur. Bu yüzden EĢitlik 3.103 için daha uygun bir
gösterim aĢağıdaki gibidir.
2 1, 2 1 2 1 2 1, ) ( , ) ( , ) ( m m m m q p p G n n (3.104)Burada p1 n1m1 ve p2 n2m2 dir. Ancak buradaki problem denklemde 1 2
( , )
G p p ’nin p1ve p2 tüm değerleri için sonsuz olmasıdır. Bu problem, potansiyel için alınan referans noktası sonsuz seçildiğinde meydana geliyor. Bu problemi çözmenin yolu, p1 ve p2’nin tüm değerleri için sonlu olan
) , ( ) 0 , 0 ( ) , (p1 p2 G G p1 p2
g ’yi kullanmaktır. Böylece EĢitlik 3.104 aĢağıdaki formu
alır.
2 1, 2 1 2 1 2 1, ) ( , ) ( , ) ( m m m m q p p g n n (3.105)Bu denklem yüklerin toplamının sıfır olduğu durumlarda problemi çözecektir. ġimdi iki boyutta iletkenler arasındaki sığa hesaplanmasında bu formüllerin nasıl kullanıldığı gösterilecektir.
Birinci iletkende n1 yükü, ikinci iletkende n2 yükünün olduğunu düĢünülsün. Ġletkenler sabit potansiyel 1 ve 2 altında tutulursa bu sistemin denklemi EĢitlik 3.106’ da
2 2 1 1 2 1 22 21 12 11 e e q q G G G G (3.106) i
q ; i iletkeni üzerindeki yüklerin ni boyutlu vektörüdür. ei; tüm elemanlarının toplamı
1’e eĢit olan ni boyutlu vektördür. Gij; iletkenin potansiyeline i iletkeni üzerindeki yüklerin katkısını veren nini matrisidir. Gij; i iletkeninin potansiyeline j iletkeni üzerindeki yüklerin katkısını veren ninj matrisidir. Gij’nin elemanları sadece iki yükün mutlak dağılımına bağlıdır. Bu yüzden T
ji ij G
G daima doğrudur.
Örnek olarak üzerinde iki yükün olduğu iki ayrı iletken alalım. Birinci iletken üzerindeki yükler (0,0) ve (0,1) de; ikinci iletken üzerindeki yükler (2,0) ve(3,0) da olsun. EĢitlik 3.106’ daki toplam matris aĢağıdaki formu alır.
0 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 ( 0 22 11 g g G G (3.107) ) 1 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) 0 , 3 ( ) 0 , 2 ( 21 12 g g g g G G T (3.108)
Genelde iki iletken arasındaki sığanın hesaplanması ve q1,q2yüklerinin bulunması için EĢitlik 3.106’ daki matris ters çevrilmelidir. Eğer matris daha üst ve daha alt triangular matris elemanı ile çarpılırsa kolaylıkla tersine çevrilebilir. Bu iki yolla yapılabilir.
12 1 11 21 22 12 11 1 11 21 22 21 12 11 0 0 G G G G G G I G G I G G G G (3.109) veya; 22 21 21 1 22 12 11 1 22 12 22 21 12 11 0 0 G G G G G G I G G I G G G G (3.110)
30
30
Daha üst ve alt triangular matrisi tersine çevirme toplam ters matris için iki denklem grubuna neden olur. EĢitlik 3.109’ dan EĢitlik 3.111 elde edilir.
1 11 21 1 12 1 11 21 22 12 1 11 1 11 11 1 ) ( ) (G G G G G G G G G G 1 12 1 11 21 22 12 1 11 12 1 ) ( ) (G G G G G G G (3.111) 1 11 21 1 12 1 11 21 22 21 1 ) ( ) (G G G G G G G 1 12 1 11 21 22 22 1 ) ( ) (G G G G G
EĢitlik 3.110’dan EĢitlik 3.112 elde edilir.
1 21 1 22 12 11 11 1 ) ( ) (G G G G G 1 22 12 1 21 1 22 12 11 12 1 ) ( ) (G G G G G G G (3.112) 1 21 1 22 12 11 21 1 22 21 1 ) ( ) (G G G G G G G 1 22 12 1 21 1 22 12 11 21 1 22 1 22 22 1 ) ( ) (G G G G G G G G G G
Bu toplam matris ifadelerindeki iki iletken üzerindeki yükler aĢağıdaki gibi verilir.
2 12 1 2 1 11 1 1 1 (G ) e (G ) e q 2 22 1 2 1 21 1 1 2 (G ) e (G ) e q (3.113)
i iletkeni üzerindeki toplam yük Qi eiTqi’ dir. Böylece ilk denklem e1T
ile ve ikinci denklem e2T
ile çarpılırsa, potansiyeller için her bir iletken üzerindeki toplam yükle iliĢkili olan denklemleri elde ederiz.
2 12 1 11 1 c c Q 2 22 1 12 2 c c Q (3.114) ii
c ; sığa katsayısı, c12; indüksiyon katsayısı olarak bilinir. cijkatsayısı (G )1 ij matrisindeki tüm elemanların toplamının negatifine eĢittir.
j ij T i ij e G e c ( 1) (3.115)
EĢitlik 3.111 ve EĢitlik 3.112’ den T ji ij G G ) ( )
( 1 1 ve cij cji olduğu görülmektedir. Ġletkenin yük ve potansiyeli aynı iĢaretli olacağından dolayı cij 0 olacaktır. Aynı zamanda iletken tarafından indüklenen yük, iletkenin potansiyeli ile zıt iĢarete sahip olacağından c12 0 olacaktır.
EĢitlik 3.114’e ilave olarak tüm yüklerin toplamının sıfıra eĢit olması gerekir.
0
2 1 Q
Q ’dır. Q1 Q ve Q2 Qifadesi EĢitlik 3.114 kullanılarak potansiyeller
için çözüm elde edilebilir.
Q c c c c c 2 12 22 11 12 22 1 Q c c c c c 2 12 22 11 12 11 2 (3.116)
Bu iki potansiyel oranlanırsa;
12 11 12 22 2 1 c c c c (3.117)
Ġki iletken arasındaki sığa, cijkatsayıları ile ifade edilebilir.
12 22 11 2 12 22 11 2 1 c c 2c c c c Q C (3.118)
Payda c11c222c12; EĢitlik 3.106’ daki Green fonksiyon matrisinin tersinin tüm
elemanlarının toplamının negatifine eĢittir ve cij’ler iki iletkenin geometri fonksiyonlarıdır. EĢitlik 3.118; doğrultusu, Ģekli, büyüklüğü keyfi olan iki iletken
