Örgü kavramı ve minumum geçişli 3-örgüler

T.C.

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÖRGÜ KAVRAMI VE MİNİMUM GEÇİŞLİ 3-ÖRGÜLER

OSMAN KARTAL

HAZİRAN 2007

ÖZET

ÖRGÜ KAVRAMI VE MİNİMUM GEÇİŞLİ 3-ÖRGÜLER

KARTAL, Osman Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Yrd. Doç. Dr. Hakan Şimşek

Şubat 2007, 60 sayfa

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır. İkinci bölümde bazı temel tanımlar ve kavramlar ile örgünün tanımı hakkında kısa bilgi verildi. Artin örgü temsili ve Konfigürasyon uzayına bağlı tanımı verildi.

Konfigürasyon uzayı incelendi. Üçüncü bölümde ise, N =3 ifadesine yönelik bir algoritma irdelenecektir. n-bileşenli örgü verildiği zaman minimal uzunluğa sahip, B, Artin örgü temsilini bulan algoritma için bir örnek verildi. Minimal geçişli örgü elde etme problemi notasyon olarak çözümde ve çizimde ekonomik yollar vermektedir.

Artin örgü kelimesinin uzunluğu ile bahsedilen kavram örgü diyagramında verilen geçitlerin sayısıdır. Minimum geçit sayısı örgünün kompleksliğiyle ilgili bir ölçüt verir. Fiziksel anlamda ise toplam manyetik alanların büyüklüğünün tahmini için kullanılmaktadır. Dördüncü bölüm ise tartışma ve sonuç için ayrılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Örgü, Düğüm Teorisi, Artin Temsili, Wraplar

ABSTRACT

BRAID CONCEPT AND MINIMUM CROSSING WITH 3-BRAIDS

KARTAL, Osman Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Deparment of Mathematics, M. Sc. Thesis Supervisor : Asst. Prof. Dr. Hakan Şimşek

February 2007, 60 pages

This work (thesis work) is classified into four sections. The first section is allocated to foreword. In second section some basic definitions and concepts also definition of braid with it are mentioned in brief. Braid description of Artin is introduced and definition of this description in related to configuration space is also made. We researched on that configuration space in this section too. In third section a algorithm based on N =3 valve will be scrutinized. If a braid with component n is given, B braid description of Artin in minimal length sets an example for algorithm.

The problem of obtaining minimal crossing braid offers as notation economical ways in solution and diagram. The concept denoted by length of word of Artin braid is the number of crossing in braid diagram. Minimum number of crossing sets a criteria of complexity of braid. It is used in physical sense for estimation purpose of size of complete magnetic surfaces. Last section is allocated to discussion and conclusion.

Key Words: Braid, Knot Theory, Description of Artin, Wraps

TEŞEKKÜR

Hazırlamış olduğum bu tezde bana yol gösteren ve hiçbir yardımını esirgemeyen saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Hakan Şimşek Bey’e, tüm hayatım boyunca bana daima maddi ve manevi destek sağlayan aileme ve bu süreçte bana her konuda yardımcı olan Doç. Dr. Ahmet Kartal ve Levent Kartal’a teşekkürü bir borç bilirim.

ŞEKİL DİZİNİ

ŞEKİL

2.1 Düğüm Teorisi...5

2.2 Sağ-Sol El Trefoil Düğümü...7

2.3 Ω₀,Ω₁,Ω₂,Ω₃ Diyagramları...8

2.4 Homotop...11

2.5 B Örgüsünün Şekli...12

2.6 Örgü Çeşitleri...13

2.7 Eşit Değerde İki Örgü...13

2.8 αβ Örgünün Çarpımı...15

2.9 βα Örgünün Çarpımı...15

2.10 Örgünün Birleşme Özeliği...16

2.11 Örgünün Birim Eleman Özeliği...16

2.12 Örgünün Ters Eleman Özeliği...16

2.13 Sağ-Sol Örgü Bükümleri...17

2.14 n-örgünün Şekli ile σ ve σ⁻¹ nin Şekli...17

2.15 Örgü

(

3 1

)

1 2 1 2σ σ σ σ σ α = ⁻ ...18

2.16 σ₃⁻¹σ₁σ₂σ₃σ₂⁻¹...19

2.17 σ₁σ₃ =σ₃σ₁...20

2.18 σ₁σ₂σ₁ =σ₂σ₁σ₂...20

2.19 σ₂σ₃σ₂ =σ₃σ₂σ₃...21

2.20 σ_iσ_j =σ_jσ_i...21

2.21 σ_iσ_i+1σ_i =σ_i+1σ_iσ_i+1...22

2.22 a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂ in grafikleri...23

2.23 (1,1) Tangle...26

2.24 Geçit Noktalarında Durum...27

2.25 Düğümden Örgü Elde Edilmesi...28

2.26 Denk Olmayan Düğümlerin Örgüleri...28

2.27 Markov Hareketlerinin Etkisi...29

2.28 Örgü İndeksi 3 Olan Örgü...31

3.1 Örgü Β_min, Algoritmadan Faydalanarak Β₀ dan Elde Edilir...38

3.2 Faz Eğrisi...51

3.3 Aynı Değerdeki Örgüler İçin Faz Eğrileri...55

3.4 σ₁ Örgü Elemanı ve Onun Faz Eğrisi...55

3.5 σ₁⁻¹ Örgü Elemanı ve Onun Faz Eğrisi...56

İÇİNDEKİLER

ÖZET...i

ABSTRACT...ii

TEŞEKKÜR...iv

ŞEKİLLER DİZİNİ...v

İÇİNDEKİLER...vii

1. GİRİŞ...1

1.1. Kaynak Özetleri...2

1.2. Çalışmanın Amacı...3

2. MATERYAL VE YÖNTEM...4

2.1. Temel Tanım ve Kavramlar...4

2.2. Örgüler...11

2.3. Düğümden Örgünün Elde Edilmesi...24

2.4. Örgü İndeksi...30

2.5. Konfigürasyon Uzayları...31

3. ARAŞTIRMA BULGULARI...37

3.1. 3-örgüler İçin Minimum Geçiş Sayıları...37

3.1.1. Algoritma...38

3.1.2. 3-örgülerin Minimum Geçişli Hale Getirilmesi...47

3.1.3. Artin Örgüsünün Faz Eğrileri...54

3.2 Kelime Problemi...57

4. TARTIŞMA VE SONUÇ...59

KAYNAKLAR...60

1. GİRİŞ

Örgüler, insanlığın en eski buluşları arasında yer alır. Onlar pratik amaçlı olarak halat yapımında, saç örgüsünde, desen dokumaların dekorasyonunda hatta kutsal mekanlarda bile kullanılmıştır.

Matematiğe konu olarak girmesi, ilk defa 1891 yılında Hurtwitz’in bir belgesinde üstü kapalı bir fikir olarak yer almıştır. Gerçek anlamda 1925 senesinde bir belgede Alman Matematikçi Emil Artin tarafından gerçekleştirilmiştir. [1930 yılları başında, düğümler çalışması olarak Emil Artin (matematiksel) örgüler kavramını ortaya attığını söyleyenlerde vardı.] Artin, örgüleri düğüm teorisi ve bağıntılarını araştırmak için kullanmıştır. Düğüm teorisindeki önemli problemlerden birisi düğümleri sınıflandırmaktır. En basit düğüm olan yonca düğümü, kendi içine bükülen bir dairedir ve üç geçişi vardır. Matematikçiler düğümleri, geçiş sayılarına -ipi bir yüzeye koyduğunuzda kendi üzerinden geçtiği yerlerin sayısı- göre sınıflandırırlar. Aynı zamanda 13 ya da daha az geçişi olan 13 bin kadar düğüm sınıflandırmışlardır. Eğer her düğüme farklı bir isim eşlenebilseydi, düğümleri birbirinden ayırmak kolay olurdu.

1950 yıllarında örgü kavramı diğer alanlarda kullanılmaya başlanarak örgü çalışmalarına yeni bir ivme kazandırdı. Mesela biyoloji de –DNA çalışmalarında- kullanılmaktadır. DNA sarmalları kopyalanırken ve yeniden birleştirilirken düğümler ve halkalar oluştururlar, daha sonra hücre bölünmesinde düzleşirler.

Düğüm teorisinin en soyut uygulamalarından biri de parçacık fiziği alanındadır. Diğer taraftan üstün bir başarıyla Artin’in orijinal amacını ve

örgünün kullanım alanını, teorisini sağlamlaştırmak için V. John uygulamaya koymuştur. 1980’lerin başında, Vaughaan Jones, değişmezlik polinomu denilen düğümleri isimlendirmekte kullanabilen bir çeşit cebir ifadesi ortaya çıkardı. Bu bir polinomun diğerinden farklı olduğunu göstermekteydi, yani bu şekilde matematikçiler bunu farklı düğümleri birbirinden ayırmak için kullandı. Böyle gelişmeler ve daha fazlası 13-26 Temmuz 1986 yılında, Santa Cruz’da gerçekleştirilen Artin’in örgü grupları üzerindeki bir toplantıya konu olmuştur ve konferansta (J.S. Birman ve A. Libgober tarafından düzenlenmiş) AMS Çağdaş Matematik serileri arasında yer alan 78 cilt olarak toplantı tutanakları ortaya çıkmıştır. Günümüzde ise, bazı matematiksel konularda örgülerin kullanılması mevcuttur: Topoloji (düğümler, bağlantılar, sabit nokta teorisi), geometri, dinamik sistemler gibi...

1.1. Kaynak Özetleri

Birinci ve ikinci bölümde temel kavramları verirken Knot theory and its application (K. Murasugi), Braids and Coverings (V. L. Hansen) adlı kitaplardan yararlanılmıştır.

Üçüncü bölümde ise, temel olarak Mimimum crossing numbers for 3-braids (M. Berger, J. Phys) adlı makalesinden ve Theory of braids (E. Martin), The third order braids invariants ve Energy-crossing number relations for magnetic fields (M.

Berger), Braids and Coverings (V. L. Hansen), Configuration spaces (E. Fadell ve L.

Neuwirth), Braids and links and mapping class groups (J. Birman) adlı kitaplardan yararlanılmıştır.

1.2. Çalışmanın Amacı

Biz burada bir 3-bileşenli bir örgüye yönelik Berger’in ortaya çıkardığı bir algoritmayı araştırdık. Bu algoritma bir 3-örgü verildiğinde bu örgüden, minimal geçişe sahip bir örgüyü elde etme işlemini gerçekleştirmektedir. Aynı zamanda düğümden örgünün elde edilmesi ile konfigürasyon uzayı incelendi. Örgülerin kelime problemi hakkında kısa bilgi verildi.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.1. Temel Tanım ve Kavramlar

Tanım 2.1.1 : Tanım kümesindeki her bir öğeyi değer kümesinde bir tek noktaya götüren kurala fonksiyon ya da dönüşüm denir. f :A→B bir fonksiyon olsun.

Küme olarak bu kural

f =

{

(x,y):y= f(x)

}

biçiminde verilir.

Tanım 2.1.2 :

(

X,τ

)

bir topolojik uzay, Ι=[a,b]⊂ R birim kapalı aralık öyle ki üzerinde R den indirgenen alışılmış topoloji olsun. x,y∈X olmak üzere f(a)= x ve f(b)= y olacak şekilde Ιdan X e sürekli bir f fonksiyonu varsa

(

^f :Ι→^X

)

,

f fonksiyonuna x den y ye bir eğri (veya yol) denir. x noktasına eğrinin başlangıç noktası, y noktasına da eğrinin bitim noktası denir.

Eğer f(a)=x = f(b)= y ise, eğriye kapalı eğri denir. Eğer f(a)=x= f(b) ve f fonksiyonu a,b noktaları hariç birebir (1-1) ise, f ye basit kapalı eğri (Jordan eğrisi) denir.

Tanım 2.1.3 : Permütasyonlar, nesnelerin sıralanışıdır. r,n∈N ve r≤nolmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r elemanlarının her bir sıralanışına (dizilişine) A kümesinin r-li permütasyonu veya herhangi bir A kümesinden A kümesine bire-bir ve örten bir fonksiyona A nın bir permütasyonu denir.

Tanım 2.1.4 : (
G, ) matematik yapısı aşağıdaki aksiyonları sağlarsa bu matematik yapıya grup denir.

G1) G kümesi ""
işlemine göre kapalıdır.

∀x,y∈G⇒x
y∈G G2) ""
işleminin birleşme özeliği vardır.

∀x,y,z∈G⇒x
(y
z)=(x
y)
z

G3) G kümesinin ""
işlemine göre etkisiz (birim) elemanı vardır.

(

∀^x∈^{G ve} ∃^e∈^G

)

⇒^x
e=^e
x=^x G4) G nin her elemanının ""
işlemine göre bir tersi vardır.

(

∀x∈G ve ∃y∈G

)

⇒x
y= y
x=e

Tanım 2.1.5 : Bir örgü verildiğinde bu örgüden bir düğüm elde edilebilir. Bir α - örgüsünün bir dikdörtgen şeklindeki diyagramının tepesinde yer alan Α₁,Α₂,…,Α_n noktalarını aynı diyagramın tabanında yer alan her biri ayrı ayrı Α^'₁,Α^'₂,…,Α^'_n noktalarına bağlayalım. Bu noktaları kare dışında uzanan eğrilerin grubuyla bağlar isek,

Şekil 2.1 Düğüm Teorisi

bu takdirde doğal yolla bir örgüden düğümü veya düğümün düzenli diyagramını oluştururuz. Bu yolla elde edilmiş bir düğüme, düğümün regüler diyagramı denir.

Tanım 2.1.6 : Bir düğüm, S¹ eğrisinin öklidyen üç uzaya (R veya ³ S³ yuvarına) gömülmesidir. Daha genel manada S^k nın S^n+k ya gömülmesi işlemidir. Bu, yüksek mertebeden düğüm teorisinin çalışma alanıdır.

Genel manada, bir düğüm i:S¹→S³ olmak üzere i(S¹)=k dönüşümünün görüntüsüdür. Kısaca, bir düğüm basit kapalı bir eğri ya da bu tipteki eğrilerin sınıfı olarak göz önüne alınır.

Tanım 2.1.7 : A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı β (β bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişli) olsun. ( yx, )∈β ise, y elemanına, β bağıntısı ile x elemanına denk eleman denir. A kümesinde x elemanına denk olan tüm elemanlarının kümesine x in denklik sınıfı denir. x elemanının denklik sınıfı x veya [x ] biçiminde gösterilir.

[x]=x=

{

y| y∈A∧(x,y)∈β

}

dır.

Tanım 2.1.8 : Bu kapalı eğrilere bir ok işareti ile bir yönlendirme yapılabilir. Bu yönlendirme aşağıdaki örnekteki gibi iki farklı şekilde yapılabilir. Şekil 2.2(a) da sağ el trefoil düğümü ve Şekil 2.2(b) de sol el treofil düğümü (yonca yaprağı) gösterilmiştir.

Tanım 2.1.9 : p K K

= )

( ya K düğümünün izdüşümü denir. Ayrıca K

nın yönü de K ya bağlıdır. Bununla birlikte, K

, çeşitli kesişim noktalara sahip olduğundan, düzlemde basit kapalı bir eğri olmadığına dikkat etmeliyiz.

(a) (b) Şekil 2.2

Tanım 2.1.10 : Kabul edelim ki, D, iki bileşenli yönlü bir L=

{

K1, K2

}

halkasının düzenli diyagramı olsun. D nin geçişli noktaları, K ve ₁ K nın ₂ kesişimlerinin yansımaları olan c₁,c₂,…,c_m dir. Bu durumda,

( ) {

( ) ( ) ( )

}

2 , 1

1k K₁ K₂ = sign c₁ +sign c₂ +…+sign c_m

ifadelerine, K ve ₁ K nin halkalanma sayısı denir. ₂

Halkalanma sayısı K₁ e K₂ nin sıralamasından bağımsızdır.

1k =

(

K1,K2

)

=1k

(

K2,K1

)

Tanım 2.1.11 : K ve K^' düğümlerinin düzenli diyagramları sırasıyla D ve D^' olsun.

Eğer D düzenli diyagramını Şekil 2.3 deki Ω₁,Ω₂,Ω₃ veya onların tersleri olan

hareketlerin sonlu kez uygulanması yoluyla D^' düzenli diyagramına dönüştürülebilirse, bu durumda D veD^' diyagramlarına denktir denir ve D~ D− ^' ile gösterilir.

Tanım 2.1.12 : Β ün yüzeyi olan ³ S² de 2n tane nokta alalım. (n,n) Tangles dediğimiz ifade; Β de bu 2n noktayı birbirini kesmeyecek şekilde birleştiren n tane ³

eğrinin oluşturduğu yapıdır. (Bakınız Şekil 2.23)

Ω ₀

Ω ₁

Ω ₂

Ω ₃

Şekil 2.3

Tanım 2.1.13 : Algoritma, bir işlemin insanlar veya makineler tarafından basamak basamak yapılmasıdır.

Tanım 2.1.14 : X boştan farklı bir küme ve τ , X in kuvvet kümesi olan P(X) in bir altkümesi olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan τ ailesine X üzerinde bir topoloji

(veya topolojik yapı) denir.

i) ∅ X, ∈τ,

ii) τ ya ait sonlu sayıdaki elemanların arakesiti yine τ ya aittir; yani

Α₁,Α₂,Α₃,…,Α_n∈τ için

∩

ⁿ

i i 1

,

=

∈ Α τ

iii) τ ya ait keyfi sayıdaki elemanların birleşimi yine τ ya aittir; yani ∀

{ }

Α_{i i∈I} ⊂τ için

∪

I i

i

∈

∈ Α τ

dır.

Tanım 2.1.15 : M bir topolojik uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler doğru ise M bir n-boyutlu topolojik manifold (veya kısaca topolojik n-manifold) dur denir:

(M1) M bir Hausdorff uzayıdır.

(M2) M nin her bir açık alt cümlesi Eⁿe veya Eⁿin bir açık alt cümlesine homeomorftur.

(M3) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir.

Tanım 2.1.16 : M bir topolojik n-manifold olsun. M üzerinde C sınıfından bir ^k diferensiyellenebilir yapı tanımlanabilirse M ye C^k sınıfından diferensiyellenebilir manifold denir.

Tanım 2.1.17 : M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer (M,Z_C)uzayı irtibatlı (bağlantılı) ise M ye bir irtibatlı manifold adı verilir.

Tanım 2.1.18 : X ve Y Hausdorff uzaylar ve f :X → f(X) bir homeomorfizm ise Y

X

f : → dönüşümüne gömülme (embedding) dönüşümü denir.

Tanım 2.1.19 : M bir n-boyutlu topolojik manifold ve U da E in bir açık alt kümesi ⁿ olsun. O zaman Tanım 2.1.3 gereğince U bir ψ homeomorfizmi ile M nin bir W açık alt kümesine eşlenebilir.

ψ :U ⊂ Eⁿ →W ⊂M

(

ψ,^W

)

ikilisine M de bir harita (veya koordinat komşuluğu) denir. u∈ için U M

u)∈

ψ( dir ve

ψ(u)=

(

x₁(u),x₂(u),…,x_n(u)

)

, x_i(u)∈R, 1≤i≤n

dır. Burada x_i(u) reel (gerçel) sayısına ψ(u)∈M noktasının i-yinci koordinatı ve u_i :U →R

fonksiyonuna da u nun i-yinci Öklid koordinat fonksiyonu denir.

x_i =u_i
ψ⁻¹:W →R

fonksiyonuna W nin i-yinci Öklid koordinat fonksiyonu denir.

Tanım 2.1.20 : X bir topolojik uzay olsun. Bu takdirde eğer 1) x~ yay bağlantılı (veya irtibatlı) topolojik uzay,

2) p:x~→x sürekli,

3) ∀x∈X için x in bir U -komşuluğu vardır. _x

Şartları sağlanıyorsa (~x,p) sıralı ikilisine örtü uzayı denir. p ye örtü dönüşümü adı verilir.

Tanım 2.1.21 :

(

X,τ1

)

ve

(

Y,τ2

)

iki topolojik uzay ve f :

(

X,τ1

) (

→ Y,τ2

)

bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa, f fonksiyonuna homeomorfizm (topolojik eş yapı resmi veya topolojik dönüşüm) denir.

i) f fonksiyonu birebir (1-1) ve örtendir.

ii) f ve f⁻¹ fonksiyonları süreklidir.

Buna denk olarak eğer f :X →Y fonksiyonu birebir (1-1) ve örten olup, U ⊂ X açıktır ⇔ f(U), Y de açıktır,

şartını sağlıyorsa, f e bir homeomorfizmdir denir.

f f⁻¹)⁻¹=

( olduğundan f⁻¹ fonksiyonunun sürekli olması için X in her açık kümesinin resminin Y uzayında açık olması gerekmektedir.

Tanım 2.1.22 : Eğer X ve Y uzayları arasında bir homeomorfizm varsa, X ve Y topolojik uzaylarına homeomorf (topolojik denk) uzaylar denir.

Tanım 2.1.23 : Y bir topolojik uzay olsun. Kabaca Y nin iki alt uzayı homotoptur denir. Şayet; birinden diğerine sürekli bir deformasyonla geçilebiliyorsa, olayı daha kolay anlatabilmek için Y ye ait basit eğrilerin örneğini ele alalım.

Ι=

[ ]

0,1 =

{

x∈R:0≤x≤1

}

kapalı aralığını göstersin. Ι da ki topoloji bildiğimiz topolojidir. Yani x,y∈R olmak üzere x−y =d( yx, ) metrik uzayı ile basit eğri diye; f :Ι→Y sürekli fonksiyonlarının Y topolojik uzayındaki görüntüsüne denir.

Şekil 2.4

α ve β iki basit eğri iseler α, β ya homotoptur denir.(Bakınız Şekil 2.4)

Tanım 2.1.24 :

(

Α,α₁,α₂,α₃,…,α_n

)

ve

(

Β,β₁,β₂,β₃,…,β_n

)

aynı türden iki

matematik yapı, f :Α→Β bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu

{

1,2,3,…,ⁿ

}

kümesinin her i elemanı için α_i bağıntısını β_i bağıntısına dönüştürüyorsa, f fonksiyonuna denk yapı dönüşümü (veya homomorfizm) denir. Birebir (1-1) ve örten bir denk yapı dönüşümüne eş yapı dönüşümü (veya izomorfizm) denir.

2.2. Örgüler

Tanım 2.2.1 : Bir küpün üst yüzeyinde n tane nokta Α₁,Α₂,…,Α_n ve alt

yüzeyindeki n tane noktayı da Α₁^',Α^'₂,…,Α^'_n ile işaretleyelim. Bu noktalar tamamen keyfi yerleştirilmiş olup bunları özel koordinatlar olarak isimlendireceğiz.R³de B nin koordinatları

Β=

{

(x,y,z)|0≤ x,y,z≤1

}

şeklindedir. Α₁,Α₂,…,Α_n ve Α₁^',Α^'₂,…,Α^'_n noktalarını aşağıdaki şekilde seçelim:





 





= + Α



 





= +

Α ,1

, 1 2 , 1

, 1 1, , 1 2 1

1 n

n

n … ⁿ





 





= + Α



 





= +

Α ,0

, 1 2 , 1

, 0 1, , 1 2

1 '

'

1 n

n

n … ⁿ

'

Α nin inşasından dolayı i Α nin altında kalır. _i z

•

•

•

Α Α

Α_{1 2} _n

0 y

•

•

•

Α Α

Α^'₁ ^'₂ ^'_n

x

Şekil 2.5 B nin şekli

Şimdi de B de Α₁,Α₂,…,Α_n ve Α₁^',Α^'₂,…,Α^'_n yi n tane eğri (poligonal eğri) yoluyla birleştirelim. Bu n eğri birbirini kesmez. Α yi _i Α ye birleştirilmesi ^'_i gerekmez fakat Α yi _i Α ile (i ve j ayrık indislerdir) birleştirmemeliyiz. Bu _j poligonal eğrileri sicim olarak adlandıracağız. Şimdi B yi ikiye bölen ve B nin tabanına paralel olan keyfi bir E düzlemini düşünelim. Eğer E her bir sicimi en çok

bir kez keserse B deki n eğriye n-örgü denir.^[3]

Örnek 2.2.1 : Şekil 2.6(a) ve (b), her ikisi de 1-örgülerinin örnekleri fakat burada c ise 1-örgü değildir. Şekil 2.6(d) ve (e) 2-örgülerinin ayrıca (f) de 3-örgülerinin en tipik örnekleridir.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Şekil 2.6

Eğer, bir küp içerisinde iki tane n-örgüsü verilmişse, bu sicimlerden birisini basit hareketi yoluyla diğerine çevirebiliyor isek, o zaman, bu iki n-örgünün eş değer olduklarını söyleyebiliriz.

Örnek 2.2.2 : Şekil 2.7 de görülen iki örgü eşit değerde olduğunu gösterir.

Şekil 2.7

Bir α n-örgüsünün aşağıdaki gibi bağlanmış iplikçiklerinin var olduğunu

kabul edelim: Α den ₁ Α ye ,..., ^'_i1 Α den _n ^'

in

Α e iplikçikler bağlanmış olsun. Bu takdirde α ya bir permütasyon tayin edebiliriz.











in

i i

n





2 1

2 1

Bu permütasyona örgü permütasyonu denir. Örneğin birim örgü, eşitlik permütasyonuna denk gelir.











n n



 2 1

2 1

Örnek 2.2.3 : Şekil 2.6(d) için örgü permütasyonu

(

^{1 2}

)

1 2

2 1 =







 ,

Şekil 2.7 için örgü permütasyonu ise

(

1 3

)

1 2 3

3 2

1 =







 .

İki örgü aynı değerde ise, yani denk ise onlara karşılık gelen örgü permütasyonları da eşit olur; bu nedenle örgü permütasyonu ise bir örgü invaryantıdır.

Tanım 2.2.2 : Kabul edelim ki Β tüm n-örgülerin bir sınıfı olsun (tam olarak _n

örgülerin denklik sınıflarının kümesi olsun). Β nin iki n-örgüsü _n α ve β olmak üzere α ve β nın çarpımı olan örgü tanımlanabilir. İlk olarak α yı içeren küp β yı içeren küple yapıştırılır. Bu küp α ve β nın dik olarak yapıştırılmasıyla elde edilir.

Şekil 2.8 (açık olarak bu karesel katı cismi küp olarak düşünebiliriz)

Şekil 2.8 αβ Örgünün Çarpımı

Bu örgüye α ve β örgülerinin çarpımı denir ve αβ olarak ifade edilir. Benzer olarak βα çarpımı da tanımlanır. (Bakınız Şekil 2.9). Genel olarak αβ = βα yazılamaz. Yani αβ ve βα nın denk örgüler olması gerekmez. Bu nedenle örgüler grubu değişmeli değildir.

Şekil 2.9 βα Örgünün Çarpımı

Tanım 2.2.3 : Kabul edelim ki Β nin tüm n-örgülerin denklik sınıflarının kümesi _n

olsun. Β nin iki n-örgüsü _n α ve β olmak üzere α ve β nın çarpımı olan αβ yı bir önceki tanımda ifade ettik. Şimdi Β nin grup olduğunu gösterelim. _n

(i) Örgülerin kapalı özeliğine sahip olduğu açıktır.

(ii) Örgüler değişmeli olmamasına rağmen birleşme özeliğine sahiptir. Yani (αβ)γ =α(βγ)

olur. (Şekil 2.10)

(iii) Birim eleman e basit olarak aşikar örgüye denk gelir ve αe= eα=α

dır. (Şekil 2.11)

Şekil 2.10 Şekil 2.11

(iv) Şimdi ters elemanı bulalım. Herhangi bir α nın tersini bulmak için α nın ayna görüntüsü olan α^∗ ya bakalım. Eğer küpün ayna görüntüsünü düşünürsek α nın görüntüsü de ayna görüntüsü olarak bu aynada yansıtılır.

α^∗α=αα^∗ =e

yazarız. α nın ters elemanı olan α^∗ yı α⁻¹ ile gösteririz. Yani α⁻¹α =αα⁻¹=e

dır. (Şekil 2.12)

Şekil 2.12

Bunların hepsi n-örgülerin grup olması için temel teşkil eder. Bu durumda bu gruba n-örgü grubu denir ve Β_n ile gösterilir.

Bu grupların yapısını biraz daha açalım. İlk öncelikle Β₁ ={e}(1-örgü) grubu, sadece bir eleman içeren aşikar örgüdür. Β elemanları Şekil 2.13 de [(a) sol ₂ kıvrım, (b) de sağ kıvrım] gösterildiği gibi örgülerin iki türüne eş değerdedir.

(a) (b) Şekil 2.13

Önerme 2.2.1 : Eğer iki tane 2-örgü grubunun sicimleri aynı kıvrım sayısına sahip ve aynı yönde kıvrılmışsa bu örgü grupları eş değerdedir (veya denktir).

Şimdi n-örgüleri arasında, Α_i i Α^'_i+1 e ve Α_i+1 i Α^'_i ye ve geriye kalan Α_i ve

Αj (i≠ j,i+1)sicimlerini birbirlerine bağlayarak, n-örgüleri oluştururuz. Bakınız Şekil 2.14(a)

Α₁ Α₂ Α_i Α_i+1 Α_n Α₁ Α₂ Α_i Α_i+1 Α_n

. . . . . . σ . . . . . . _i σ _i⁻¹

Α₁^' Α^'₂ Α^'_i Α^'_i+1 Α^'_n Α₁^' Α^'₂ Α^'_i Α^'_i+1 Α^'_n (a) (b)

Şekil 2.14

Biz, bu bağlantıları σ ile ifade edebiliriz. Bu yolla 1 den n-1 e kadar özel n-_i örgülerini σ₁,σ₂,…,σ_n−1 yardımıyla yazabiliriz. Şekil 2.14(b) de σ nin tersini yani _i n-örgülerin σ ini çizebiliriz. _i⁻¹ Şimdi de biz bu örgü grubundan herhangi bir elemanı ifade etmek için, bu temsili kullanabiliriz. Örneğin, Şekil 2.15 de örgü temsilini

1 3 1 2 1

2σ σ σ σ

σ

α = ⁻ yazabiliriz.

α Şekil 2.15

Bnden σ ve _i σ lerin halkalanmaları yoluyla bir temsil elde edebiliriz. _i⁻¹ Bunun için her bir geçiti bir karesel bölge içine almalıyız. Her bir seviyede bir geçit olacak şekilde örgü alt bölgelere bölünür. [Eğer aynı seviyede iki geçit nokta varsa, o zaman birini hafifçe yukarı, diğerini hafifçe aşağı doğru çekerek (yerini değiştirerek), aynı seviyede iki geçit nokta bulunması problemini ortadan kaldırabiliriz.]

Bu dikdörtgenlerin her birinde, yapısal olarak, σ veya _i σ _i⁻¹ şeklinde bir bağıntı temsiline sahip oluruz. β örgülerini bu yolla σ ve _i σ gerenlerine _i⁻¹ ayrıştırabiliriz. Örnek olarak, Şekil 2.16 deki örgü temsili, σ₃⁻¹σ₁σ₂σ₃σ₂⁻¹ dir.

β

Şekil 2.16

Bu yüzden, verilmiş herhangi bir örgüyü, σ ve _i σ nin sınırlı gerenleri _i⁻¹ olarak açıklayabiliriz. Bu sebeple, σ₁,σ₂,σ₃,…,σ_n−1 alt örgü gerenleri B_n grubunu oluşturur. Aynı zamanda bu σ₁,σ₂,σ₃,…,σ_n−1 örgülere B_n grubunu oluşturan gerenler denir. Örneğin, herhangi bir 2-örgü, m≥0 ve

_{  }…_

e m m

tan 1 1 1 1 1

−

=σ σ σ σ

σ

ve

_{   }…_

e m m

tan 1 1 1 1 1 1 1 1 1

−

−

−

−

−

− =σ σ σ σ

σ

olan yerde σ veya ₁^m σ₁^−m olarak yazılır. B , bir tek eleman ₂ σ tarafından üretilir. ₁

Bu yolla örgü cebirsel olarak ifade edilmiş olur. Üstelik, bu cebirsel ifadeler tek değildir. Örneğin, σ₁σ₃ ve σ₃σ₁ iki örgüleri, Şekil 2.17 da 4-örgülerine eş değerdedir.

σ₁σ₃ =σ₃σ₁ Şekil 2.17

Bu yüzden, B (4-örgü grupları), ₄ σ₁σ₃ =σ₃σ₁ eşitliğini içerir. Bunun yanında, σ₁σ₂σ₁ ve σ₂σ₁σ₂ 3-örgülere eşit değerde olduğu için (bakınız Şekil 2.7), aşağıdaki bağıntıya sahiptir.

σ₁σ₂σ₁=σ₂σ₁σ₂

Bu genel n-örgü (n≥3) olduğunda da korunur. Düzenli diyagram birkaç ekstra ilave edilmiş kesişmeyen iplikçiklere de sahip olabilir. Bakınız Şekil 2.18 ve Şekil 2.19.

σ₁σ₂σ₁ =σ₂σ₁σ₂ Şekil 2.18

σ₂σ₃σ₂ =σ₃σ₂σ₃ Şekil 2.19

Bu eşitlikler, örgü grubunun (örgü) ilişkileri adı verilir. Gerçekte, eğer iki n- örgüleri eşit değerde olursa, o zaman bu eşitlikler yardımıyla birini diğerine dönüştürebiliriz. Bakınız Örnek, (1) ifadesinde olduğu gibi.

Bn örgü grubunda temel bağıntılar aşağıda verilmiştir.

( )

(

1,2,3, , 2

)

) 2

2 )

1

1 1

1 = = −

≥

−

=

+ +

+ i n

j i

i i i i i i

i j j i

σ … σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ (1)

Yukarıda (1) ifadesinde verdiğimiz σ_iσ_j =σ_jσ_i ifadesinin şekli aşağıdadır.

(Bakınız Şekil 2.20)

Şekil 2.20

Aynı şekilde (1) ifadesinde verdiğimiz σ_iσ_i+1σ_i =σ_i+1σ_iσ_i+1 ifadenin şeklide aşağıdaki gibidir. (Bakınız Şekil 2.21)

Şekil 2.21

Örgülerde σ_iσ_i⁻¹ =e gibi, değersiz ilişkilerde mevcuttur ve σ_iσ_j =σ_iσ_j; bu tip bağıntıları dikkate almayacağız.

Şimdiye kadar tartışma konusu yaptığımız değişik ilişkileri toparlayacak olursak, onun gerenleri olan σ₁,σ₂,σ₃,…,σ_n−1 nin terimlerinden B ni yazabilir ve _n bu temel ilişkiler,

( )

( )

^







−

=

=

≥

−

= = Β

+ + +

− 1,2, , 2

| 2 , , ,

1 1 1

1 2

1 i n

j i

i i i i i i

ji ij n

n … …

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ

şeklinde verilebilir. Bu temsile Β_n nin Artin temsili denir.^[4]

Örneğin,

(

₁|_

)

1= σ

Β ,

(

1 2 1 2 1 2 1 2

)

2 = σ ,σ |σ σ σ =σ σ σ

Β ,

(

1 2 3 1 3 3 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3

)

3 = σ ,σ ,σ |σ σ =σ σ ,σ σ σ =σ σ σ ,σ σ σ =σ σ σ

Β .

Burada, değersiz (birim) ilişkiler σ₁σ₁⁻¹ =eharicinde, Β₁ in hiçbir ilişkileri yoktur ve bu ilişki eksikliğini “_” ile ifade ediyoruz.

Şimdi kısaca bir B₄ örgü grubundan da bahsedelim. Artin’in B₄ ün^[4] temsili,

yukarda verdiğimiz (1) ifadesinde olduğu gibi gerenleri σ₁,σ₂,σ₃ olan ifadeye sahiptir. Bu B 4-örgü grubuna band-gerenler temsili adı verilir. Çünkü, 4 disk ₄ çiftlerinin bağlantılarını kurma görevini üstlenen 6 band kullanır. B₄ için band gerenler 1≤ j<i≤4 için, aşağıda verilen ifadelerle tanımlanır:

a_ij =σ_i−1σ_i−2…σ_j+1σ_jσ⁻_j+¹₁…σ_i⁻₋¹₂σ_i⁻₋¹₁,

buradaki ifadeler, i ve j bağlantısını sağlayan yarı-bükümlü band’a benzerlik göstermektedirler.

Eğer n-örgü grubu B için band gerenleri genelle_n ştirilecek olunursa, bunları çift-indekslenmiş işaretle göstermek daha iyi olur. Biz 6 gerenler için, kolaylık olması için aşağıdaki işaret ifadelerini vereceğiz:

. ,

,

, ,

,

2 42 1

31 4

41

3 43 2

32 1

21

b a b

a a

a

a a a

a a

a

=

=

=

=

=

=

Böylece, B ün 6 band-gerenleri ₄ a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂ olur ve bunlar aşağıda verildiği gibi standart gerenler arasında yer alırlar.

. ,

,

, ,

,

2 3 1 2 2 1

2 1 1 1 1

2 3 1 2 1 1 4

3 3 2

2 1

1

σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ

−

−

−

− = =

=

=

=

=

b b

a

a a

a (2)

Bunları grafik olarak şöyle gösterebiliriz. Şekil 2.22.

a₁ a₂ a₃ a₄ b₁ b₂ Şekil 2.22

Teorem 2.2.1 (B için Band-Geren temsili) :₄ B ₄ ifadesi, a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂ gerenlerine sahip olan bir temsiline sahiptir ve bağlantıları aşağıdaki gibi tanımlanır:

. 4 1

, 2 , 1

1 1

2 2

≤

≤

=

=

=

=

+ +

+ +

i a

b b a a a

i a

a a a

i i i i i i

i i i

i (3)

İspat : (1) ifadesindeki gerenleri, (2) de yer alan bağlantıları kullanarak yerlerini değiştirirsek, B₄ ifadesi, a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂ gerenlerine sahip olan bir temsili olur ve bağlantıları aşağıdaki gibi tanımlanır:

. ,

,

, ,

,

2 3 2 2 1

2 1 1 1

2 3 4 1 2

3 2 3 2 3 2 2

1 2 1 2 1 1

3 3 1

a a b a a

a b a a

a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a

a a a

=

=

=

=

=

= (4)

Aşağıdaki bağıntıları göz önüne alalım:

, ,

)

(i a₁b₁ =a₂a₁ a₁a₂a₁ =a₂a₁a₂ ⇔ a₂a₁=b₁a₂ , ,

)

(ii a₂b₂ =a₃a₂ a₂a₃a₂ =a₃a₂a₃ ⇔ a₃a₂ =b₂a₃ . ,

)

(iii a₂b₂ =a₃a₂ a₂a₁a₄ =a₃a₂a₁ ⇔ a₁a₄ =b₂a₁ Bu nedenle (4) deki ifade aşağıdaki ifadelere dönüşür:

. ,

, ,

2 3 3 2 2 2 1 2 4 1

1 2 2 1 1 1 1 3 3 1

a a a b b a a b a a

a a a b b a a a a a

=

=

=

=

=

= (5)

(3) deki diğer bağıntılar, (5) deki bağıntılardan elde edildiği için, ispatımız burada tamamlanmıştır.^[10]

Yukarıda verdiğimiz bilgilere dayanarak B₄ ifadesini aşağıda ifade edildiği gibi yazabiliriz.

















=

=

=

=

=

=

=

+ +

+1 1 1

2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3

2 4 4 2 1 3 3 1

4 3 2 1 4

,

| , , ,

i i i i i

ia a a aa

a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a B

2.3. Düğümden Örgünün Elde Edilmesi

Herhangi bir düğüm verildiğinde bu düğümden bir örgünün nasıl elde edileceğini vereceğiz. Örgüyü bir küp içerisinde verilen iplikçiler olarak düşünelim.

Bu iplikçilerin küpün üst yüzeyini kestikleri noktaları Α₁,Α₂,…,Α_n ve alt yüzeyini kestiği noktaları da Α₁^',Α^'₂,…,Α^'_n ile gösterelim. Küpün üst yüzeyinde bulunan

Αn

Α

Α₁, ₂,…, noktalarını paralel yaylarla küpün dışında Α₁^',Α^'₂,…,Α^'_n noktalarıyla birleştirelim. (Bakınız Şekil 2.1). Bu doğal yolla örgüden bir düğüm veya bir halkanın regüler diyagramını elde ederiz. Bu yolla elde edilen düğüme α örgüsünden elde edilen K düğümü (halkası) denir. Aksine olarak K ya kapalı örgü (α nın kapanışı) denir. Alışılmış olarak her bir iplikçiğin yönlendirilmesini Α den _i Α ye ^'_i doğru veririz. Böylece yönlendirilmiş bir düğüm (halka) elde ederiz. Tersine olarak yönlendirilmiş bir düğümden (halkadan da) uygun değişiklikleri yaparak yönlendirilmiş kapalı örgüler elde ederiz. Örnek 2.3.1 de ve onun diyagramında bir düğümden nasıl örgü elde edileceği verilmiştir. Aşağıdaki Alexander Teoremi bununla ilgilidir.

Teorem 2.3.1 (Alexander Teoremi) : Bir yönlendirilmiş düğüm (halka) verildiği zaman, ona yönlendirilmesiyle birlikte denk olan ve bir örgü tarafından oluşturulmuş bir düğüm (halka) vardır.

İspat : Kabul edelim ki K düğümünün regüler diyagramı D olsun. İlk olarak düğümü bir geçit noktası olmayan Ρ noktasından keselim. Daha sonra o noktadan asalım. ₀ Böylece Şekil 2.23 de gösterilen bir (1,1)-tangles elde etmiş oluruz. Bu tanglesin bir α örgüsü verdiğini göstermek istiyoruz. Daha önce ifade edildiği gibi örgüden elde edilen düğüm K ya denktir.

Eğer T tanglesi m tane lokal maksimuma sahipse m tanede lokal minimuma sahiptir. m=0 olması durumunda T, 1-örgü olup ispata gerek yoktur.

Şekil 2.23 (1,1) Tangles

Kabul edelim ki m>0 olsun. Bu durumda Şekil 2.24(a) da gösterilen T de a lokal minimumunu b lokal maksimumuna götüren bir ab yayını düşünelim. Üstelik kabul edelim ki ab diğer tanglesleri n tane noktada kessin. ab de n+1 noktayı

b a a a a a

a = ₀, ₁, ₂,…, _n−1, _n = ile gösterelim ve her bir a_ia_i+1 yayı diğer tangleslerin sadece bir noktasını ihtiva etsin Şekil 2.24(a). Daha sonra a₀a₁ yayını daha büyük olan a₀P₁^'P₁a₁ yayıyla yer değiştirelim. T tanglesi dışında daha büyük P₁P₁^' yayı vardır ve a₀P₁^' yayı ve a₁P₁ yayını eğer a₀a₁ yayı diğer kısımların üzerinden (veya altından) geçiyorsa bu durumda a₀P₁^' ve a₁P₁ yayları da diğer kısımlarından her birinin üzerinden (veya altından) geçecek şekilde seçelim. Bu işlemin sonucundan (2,2)-tangles elde edilir. Bakınız Şekil 2.24(b).

(a) (b) Şekil 2.24 Geçit Noktalarında Durum

Bu (2,2)-tanglesin dört bitim noktasından eğrilerle birleştirirsek orijinal düğüme denk olan bir düğüm elde ederiz (bu tangle de a=a₀ artık bir lokal minimum değildir ve a ₁ yeni lokal minimumdur). Benzer olarak

n

n a

a a a a

a_{1 2}, _{2 3},…, ₋₁ yaylarından hareketle (n+ n1, +1)-tangles elde edilir ki burada a ve b de lokal maksimum veya lokal minimum yoktur ve en fazla n−1 lokal maksimum veya lokal minimum vardır. Bu şekilde devam ederek hiçbir lokal maksimum veya lokal minimumun olmadığı duruma ulaşılır. Bu tangles bizim istediğimiz örgüdür.

Örnek 2.3.1 : Şekil 2.25(a)-(d) de yukarıdaki ispatın bir düğüm için pratikte işleyişi verilmiştir. Bu örgüden oluşturulan düğüm yukarıdaki düğüme denktir.

(a) (b) (c) (d) Şekil 2.25 Düğümden Örgü Elde Edilmesi

Şimdi eğer iki örgü denk ise bu durumda onların düğümlerinin de (örgünün kapanışı olan) denk olduğu hemen söylenebilir. Uyarmalıyız ki denk olmayan örgülerin kapanışlarından denk düğümlerde elde etmek mümkündür. Örneğin Şekil 2.26 de verilen denk olmayan düğümlerin kapanışları aşikar düğüme denktir.

Şekil 2.26 Denk Olmayan Düğümlerin Örgüleri

Ayrıca eğer örgü teorisini düğüm teorisine uygulamak istersek denk düğümleri elde etmek için örgüleri nasıl kısıtlayacağımızı öncelikle açıklamalıyız.

Bunun için örgülerin M-denkliği kavramını verelim.

Tanım 2.3.1 : B_∞ =U_k≥1B_k olsun. Yani B , tüm _∞ B₁,B₂,…B_n gruplarının birleşimi olsun.B da aşağıdaki işlemleri tanımlayalım. Bunlara Markov hareketleri de denir. _∞

(1) Eğer β, B_n grubunun elemanı ise (yaniβ bir n-örgüyse) M operasyonu ₁ β yi

−1

γβγ n-örgüsüne dönüştürür. Burada γβγ⁻¹ yeβ nin konjugesi denir. γ ise B de _n herhangi bir n-örgüdür. Bakınız Şekil 2.27(a).

(2) M operasyonu₂ β yi ya iki tane (n+1)-örgü olan βσ_n veya βσ_n⁻¹ ye dönüştürür. Burada σ_n, (n+1)-örgü olan B_n+1 in bir gerenidir. Bakınız Şekil 2.27(b).

(a) (b)

Şekil 2.27 Markov Hareketlerinin Etkisi

Örnek 2.3.2 : Şekil 2.27(a) da B₃ ün bir β =σ₂σ₁⁻¹σ₂ elemanın M operasyonu ₁ altında nasıl değiştiğini göstermektedir. Kısaca, β,γβγ⁻¹ olmaktadır. Burada

1 1 2

=σ σ−

γ olmaktadır. Şekil 2.27(b) de B₃ ün bir β =σ₂σ₁⁻¹σ₂σ₁⁻¹ elemanın M₂ operasyonu altında nasıl değiştiğini göstermektedir. Yani, B ün ₄ βσ₃ veya βσ₃⁻¹ elemanı olmaktadır.

Tanım 2.3.2 : B_∞ in iki elemanı α ve β olsun. Eğer α ya Markov hareketleri M₁ ve

M yi ve onların tersleri olan 2 M₁⁻¹ ve M₂⁻¹ yi sonlu kez uygulayarak α dan β ya dönüştürebiliyorsak bu takdirde α yı β ya Markov denktir (M-denk) deriz ve α ∼ Mβ

yazarız. Eğer α ∼ Mβ ise ve β ∼ Mα ise bu durumda α ve β ya Markov denktir denir.

Aşağıdaki teorem Markov denkliğin Örgü ve Düğüm arasında temel kavram olduğunu gösterir.

Teorem 2.3.2 (Markov Teoremi) :β₁ veβ₂ örgülerinden türeyen iki yönlendirilmiş düğüm K₁, K₂ olsun. Bu takdirde

K₁ ≡K₂ ⇔B₁∼MB₁

dır.

2.4. Örgü İndeksi

Tanım 2.4.1 : Bir K düğümü (halkası) sonsuz sayıda örgüden oluşturulabilir.

Böylece örgülerin cümlesinde (K yı oluşturan) en küçük bileşen sayısına sahip α ile gösterilen örgü vardır. Bu α örgüsünde K nın minimum örgüsü (temsili) ve K nın sicimlerinin sayısına K nın örgü indeksi denir ve b(K) ile gösterilir (K nın minimum örgü temsili tek değildir). Örneğin örgü indeksi 1 olan tek düğüm aşikar düğümdür.

Önerme 2.4.1 : K nın örgü indeksi b(K) bir invaryanttır.

Örgü indeksi 2 olan düğümler genelde listelemek zordur. Yani n≠0, 1∓ için sadece (n,2) tipindeki tor düğümleridir.

Örgü indeksi 3 olan düğümleri genelde listelemek zordur. (Bakınız Şekil 2.28). Örgü indeksini belirleyen genel bir algoritma şu ana kadar verilmemiştir.

Henüz örgü indeksini belirleyen genel bir algoritma yoktur.^[3]

Şekil 2.28 Örgü İndeksi 3 Olan Örgü

2.5. Konfigürasyon Uzayları

M boyutu 2 veya daha fazla olan bir bağlantılı manifold olsun. n≥1 tamsayısı için F_n(M) ile ikişer ikişer ayrık olan n-lileri içeren

M M

M× ×…× çarpımını gösterelim. Yani

^Fn(^M)=

{

(^x₁,^x₂,…,^xn)∈^M×^M×…×^M :^xi ≠^xj,ⁱ≠ ^j

}

M deki n tane sıralı nokta kümesi üzerinde tanımlı F_n(M) nin konfigürasyon uzayı olduğunu düşünebiliriz. Manifoldların boyutu 2 ya da daha fazla olduğu için

M M

M× ×…× nin herhangi iki koordinatı aynı olan sonlu adetteki alt manifoldlarının ayrılmasıyla oluşan bu yapı bağlantılıdır. m≥0 bir tamsayı olsun.

} , , ,

{ _{1 2 m}

m q q q

Q = … ile M nin m tane ayrık çiftlerinden oluşan (q_i∈M)alt kümesini gösterelim. m=0 ise Q₀ boş kümedir.

F_m,n(M)=F_n(M /Q_m)

ile tanımlayalım. {1,2,…,n}üzerindeki tüm permütasyonların grubu Σ olsun. _n )

(M

F_n üzerinde Σ nin bir doğal sağ işlemi vardır. Bu işlem, _n µ:F_n(M)×Σ_n →F_n(M)