İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ Barış SALMAN
Anabilim Dalı : Makina Mühendisliği Programı : Konstrüksiyon
HAZİRAN 2009
SONSUZ VİDALAR ve SONSUZ VİDA KARŞILIK DİŞLİSİ HELİSEL DİŞLİ MATEMATİK MODELLEMESİ
HAZİRAN 2009
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ Barış SALMAN
(503071204)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 01 Haziran 2009
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Cevat Erdem İMRAK (İTÜ)
Diğer Jüri Üyeleri : Yrd. Doç. Dr. İsmail GERDEMELİ (İTÜ) Yrd. Doç. Dr. Cüneyt FETVACI (İÜ)
SONSUZ VİDALAR ve SONSUZ VİDA KARŞILIK DİŞLİSİ HELİSEL DİŞLİ MATEMATİK MODELLEMESİ
Desteğini hiçbir zaman esirgemeyen aileme ve aydın, ilerici, Atatürk aşığı öğretmenlerime armağan olsun…
ÖNSÖZ
Sonsuz vida fikri antik çağlara kadar dayanır. Milattan önce 4000’li yıllarda suyun taşınmasıyla başlayan bu kavram daha sonraları insanların hayatlarına birçok alanda nüfuz etmiştir. Günümüzde sonsuz vidalı mekanizmaların da gelişimi mühendislik alanındaki gelişmelere paralel olarak bilgisayar destekli tasarım öncülüğünde gerçekleşmektedir. Sayısal yöntemlerin bilgisayar bütünleşik tasarım ve imalatta kullanılması, elde var olan bilgilerin topluca ve sistemli bir şekilde değerlendirilmesine büyük katkılar sunar. Sonsuz vidalar hakkında hazırlanmış bu kaynağın okuyucuya katkı sunmasını diler, çalışmamda çok önemli katlıları olan sayın Prof. Dr. C. Erdem İMRAK ve Yrd. Doç. Dr. Cüneyt FETVACI’ ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Haziran 2009 Barış SALMAN
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ ... v İÇİNDEKİLER ... vii KISALTMALAR ... ix ÇİZELGE LİSTESİ ... xi
ŞEKİL LİSTESİ ... xiii
SEMBOL LİSTESİ ... xv
ÖZET ... xvii
SUMMARY ... xix
1. GİRİŞ ... 1
1.1 Sonsuz Vidaların Özellikleri ... 6
1.2 Sonsuz Vidanın Tarihsel Gelişimi ... 9
2. SONSUZ VİDA ve KARŞILIK DİŞLİSİ TEMEL KAVRAMLAR ve HESAPLAR ... 11
2.1 Silindirik Sonsuz Vidalı Sonsuz Vida Mekanizmalarının Boyutları ... 11
2.2 Silindirik Sonsuz Vidaların Profil Şekilleri ... 12
2.3 Kavrama Durumları ... 17
2.3.1 Profil kavrama oranı ... 17
2.3.2 Alttan kesilme sınır diş sayısı ... 20
2.3.3 Profil kaydırma ... 21
2.4 Diş Kuvvetlerin Hesabı ... 22
2.4.1 Dişlerdeki kuvvetler ... 22
2.4.2 Yatak kuvvetlerinin tayini ... 26
2.4.3 Güç kayıpları ... 28
2.4.4 Yarı sıvı sürtünme bölgesinde çalışan dişlilerin verimi ... 31
2.4.5 Sıvı sürtünme durumunda dişlilerin verimi ... 33
2.5 Sonsuz Vida Mekanizmasının Taşıma Kabiliyeti ... 35
2.5.1 İşletme şartları ve zorlanma şekilleri ... 35
2.5.2 Normal sonsuz vida mekanizması ... 36
2.5.2.1 Taşıma kabiliyetinin hesabı……….. 36
2.5.2.2 Sonsuz vida ve sonsuz vida çarkı için malzeme seçimi………..39
2.5.2.3 Yağlayıcı maddenin seçimi………. 42
2.6 Yüksek Performanslı Sonsuz Vida Mekanizmaları... 43
2.6.1 Konstrüksiyon prensipleri ... 43
2.6.2 Yükleme sınırları ... 45
2.7 Yeni Konstrüksiyonlarda Boyutların Tayini ... 55
2.7.1 Sonsuz vidanın diş sayısı ve çapı *1 ) ... 56
2.7.2 Modül ... 57
2.7.3 Sonsuz vida çarkının genişliği ... 58
2.7.4 Sonsuz vida uzunluğu ... 58
2.8 Sonsuz Vida Çarkının Konstrüktif Şekillendirilmesi ve Mukavemet Hesabı .. 59
2.8.1 Hesap örnekleri ... 60
3. SONSUZ VİDA ve KARŞILIK DİŞLİSİNİN İMALAT YÖNTEMLERİ ... 71
3.1 Dişli Çarkların İmalatı ... 71
3.1.1 Dökme dişliler ... 73
3.1.2 Form frezesi ile diş açma ... 73
3.1.3 Yuvarlanma metoduna göre diş açma ... 75
3.1.3.1 Kremayer şeklindeki bıçakla diş açma (MAAG sistemi)………... 75
3.1.3.2 Dişli çark şeklindeki bıçakla diş açma (Fellow sistemi)………...77
3.1.3.3 Sonsuz vida şeklindeki freze (azdırma frezesi) ile diş açma……….. 79
3.1.3.4 Şablona göre diş açan tezgahlar……….. 82
3.1.3.5 Haddeleme (ovalama) ile dişli çark imali………... 83
3.1.3.6 Diğer metotlarla dişli çark imali………. 85
3.2 Dişlilerin Sertleştirilmesi ... 86
3.3 Sonsuz Vida Diş Formunun Kopyalanması ... 88
3.3.1 Kopyalama metodun gerekliliği ... 88
3.3.2 Metodun uygulanışı ... 90
3.3.3 İşlemin diğer parametreleri ... 91
4. ZN PROFİLLİ SONSUZ VİDA DİŞLİ SETİNİN MATEMATİK MODELİ ve DİŞ KONTAK ANALİZİ ... 95
4.1 Giriş ... 95
4.2 Düz Köşeli Kesici Takımın Matematik Modeli ... 98
4.3 ZN Profilli Sonsuz Vida ve Azdırma Frezenin Matematik Modelleri ... 99
4.4 Sonsuz Vida Karşılık Dişlisinin Yüzey Matematik Modeli ... 102
4.5 Sonsuz Vida Dişli Seti Diş Kontak Analizi ... 107
4.6 Yüzey Ayrıştırma Topolojisi ... 109
4.7 ZN Tip Sonsuz Vida Matematik Modellemesi Sayısal Örneği ... 109
5. SONSUZ VİDA KARŞILIK DİŞLİSİ HELİSEL DİŞLİ MATEMATİK MODELLEMESİ ... 117
5.1 Kesici Takım Yüzeyi ... 118
5.2 Sonsuz Vida Karşılık Dişlisi Helisel Dişlinin Diş Yüzeylerinin Oluşturulması ... 121 5.3 Bilgisayar Uygulaması ... 122 6. SONUÇ ... 127 KAYNAKLAR ... 129 EKLER ... 133
KISALTMALAR
CAD : Computer Aided Design
CMM : Coordinate Measuring Machine CR : Contact Ratio
SEM : Sonlu Elemanlar Metodu TCA : Tooth Contact Analysis TE : Transmission Error
ÇİZELGE LİSTESİ
Sayfa
Çizelge 2.1 : Sonsuz vida mekanizmalarında hesaplanacak büyüklükler………….. 12
Çizelge 2.2 : ZA ve ZN Sonsuz vidaları için hesaplanacak büyüklükler…………... 17
Çizelge 2.3 : ZE Sonsuz vidaları için hesap büyüklükleri………..18
Çizelge 2.4 : Verim diş sayısı ilişkisi………. 29
Çizelge 2.5 : Ortalama helis açısına bağlı olarak kayıp değeri……….. 33
Çizelge 2.6 : Yatak kuvvetlerinin hesaplamasında kullanılan değerler………. 37
Çizelge 2.7 : C karakteristik yük değeri………. 38
Çizelge 2.8 : Sonsuz vida ve karşılık dişlisi malzemeler………... 41
Çizelge 2.9 : Sonsuz vidası mekanizmaları için yağ vizkoziteleri………. 42
Çizelge 2.10 : Yağlama basıncı ile iletilecek güç bağıntılarının sembolleri……….. 46
Çizelge 2.11 : Helis eğim açısına bağlı olarak, faydalanma katsayısı değerleri…… 47
Çizelge 2.12 : Çevrim oranı katsayısı……….47
Çizelge 2.13 : Profil taşıma kabiliyeti ve yüzey basıncı hesap faktörleri………….. 49
Çizelge 2.14 : Diş dibi taşıma kabiliyeti hesap faktörleri ve semboller………. 52
Çizelge 2.15 : Sonsuz vida ağız sayıları ve çevrim oranı ilişkisi………... 56
Çizelge 2.16 : Profil kavrama açısı ve helis eğim açısı……….. 59
Çizelge 2.17 : Helis eğim açısı ve diş yükseklikleri………...59
Çizelge 2.18 : Örnek 1 sonuçların gösterilmesi………..63
Çizelge 2.19 : Örnek 2 değerlerin gösterilmesi……….. 65
Çizelge 2.20 : Isınma sınırı I için değişen devir sayılarında güçler………... 66
Çizelge 2.21 : Isınma sınırı I için devir sayılarına göre ortaya çıkan güç değerleri... 67
Çizelge 2.22 : İletilebilecek sınır güç değerleri……….. 68
Çizelge 2.23 : Devir sayısına göre gücün değişimi……… 69
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa
Şekil 1.1 : Sonsuz vida profilleri. a) ZA, b) ZN, c) ZK, d) ZI, e) ZC ... 4
Şekil 1.2 : Sonsuz vida profil açıları ve işleme metotları ... 5
Şekil 1.3 : a-) Silindirik sonsuz vida-globoid çark, b) globoid sonsuz vida- silindirik çark, c) globoid sonsuz vida-globoid çark ... 6
Şekil 1.4 : Sonsuz vida ve karşılık dişlisi ... 6
Şekil 1.5 : Sonsuz vida gösterimi ... 6
Şekil 1.6 : Globoid sonsuz vida ve karşılık dişlisi helisel dişli. ... 8
Şekil 1.7 : Sonsuz vida ve karşılık dişlisi helisel dişli yataklaması ... 9
Şekil 1.8 : Hiperbolik sonsuz vida (wormoid) ... 9
Şekil 2.1 : Silindirik sonsuz vidalı sonsuz vida mekanizmaları ölçüleri ... 11
Şekil 2.2 : Diş genişliğinin bulunması ... 14
Şekil 2.3 : Sonsuz vida uzunluğunun bulunması ... 14
Şekil 2.4 : Spiral sonsuz vida ... 15
Şekil 2.5 : Evolvent sonsuz vida ... 16
Şekil 2.6 : Orta kesitte bir trapez sonsuz vidanın kavrama durumu ... 20
Şekil 2.7 : Sınır durumda, sonsuz vida veya freze ile çarkın kavraması ... 21
Şekil 2.8 : Pozitif profil kaydırmalı, sonsuz vida çarkı (orta kesitte gösterilmiştir) .. 22
Şekil 2.9 : Sonsuz vidadaki kuvvetlerin dağılımı ... 24
Şekil 2.10 : Kuvvetlerin yatak yerlerindeki dağılımı... 26
Şekil 2.11 : Sağ helisli sonsuz vidada kuvvetlerin yönleri ... 27
Şekil 2.12 : Sol helisli sonsuz vidada kuvvetlerin yönleri ... 28
Şekil 2.13 : Verim, diş sayısı arasındaki ilişki... 30
Şekil 2.14 : Döndüren sonsuz vida için dişlilerin verimi ve sürtünme kayıpları ... 31
Şekil 2.15 : Kalkış verimi ... 32
Şekil 2.16 : Otoblokaj, verim, helis açısı ilişkisi ... 33
Şekil 2.17 : Diş kayma hızları ve sürtünme katsayısı ... 34
Şekil 2.18 : : Verim, çevrim oranı, çıkış moment ilişkisi ... 34
Şekil 2.19 : Çeşitli sonsuz vida çarkı malzemeleri için karakteristik yük değeri ... 38
Şekil 2.20 : Sonsuz vida çarkı çemberleri. Solda bronz, sağda hafif maden ... 40
Şekil 2.21 : Çeşitli yağların sıcaklığa bağlı olarak viskoziteleri ... 42
Şekil 2.22 : Yüksek performanslı sonsuz vida mekanizması tertibatı ... 43
Şekil 2.23 : : Yağlama tipleri, devir ve redüktör büyüklükleri ... 44
Şekil 2.24 : ZA ve ZN profilli sonsuz vida kesit görünüşleri ... 48
Şekil 2.25 : Kayma hızı ve profil basınç değişimi ... 51
Şekil 2.26 : Diş kökü yay uzunluğunun bulunması için bağıntıların gösterilmesi .... 53
Şekil 2.27 : : 2 No.lu örnekte hesaplanan sonsuz vida seti zorlanma durumu ... 55
Şekil 2.28 : Çevrim oranı, verim, güç kaybı ilişkisi ... 56
Şekil 2.29 : Presli veya cıvata ile bağlanmış olan sonsuz vida çarkları ... 60
Şekil 2.30 : Çeşitli kol kesitleri olan yekpare sonsuz vida çarkı ... 60
Şekil 3.1 : Dökme dişleri forma eden makina ... 73
Şekil 3.2 : Modül frezesiyle diş açımı ... 74
Şekil 3.4 : Motorlu taşıtların direksiyon sonsuz vidasının form frezesiyle imali ... 75
Şekil 3.5 : Yuvarlanma metodu ile evolvent dişlisinin açılması prensibi ... 76
Şekil 3.6 : Kremayer şeklindeki kesici bıçak ile evolvent dişlisinin açılması ... 77
Şekil 3.7 : Kremayer şeklindeki kesici bıçak ile evolvent dişlisinin açılması ... 77
Şekil 3.8 : Fellow sistemi ile dişlinin kesilmesi ... 78
Şekil 3.9 : Fellow sisteminde pinyon dişli ile bir dişlinin kesilmesi ... 79
Şekil 3.10 : Sonsuz vida şeklindeki azdırma frezesiyle dişli açılması ... 79
Şekil 3.11 : Sonsuz vida şeklindeki azdırma frezesi diş açılması ... 80
Şekil 3.12 : Sonsuz vida frezesiyle sonsuz vida dişli çarkı açma işlemi ... 81
Şekil 3.13 : Sonsuz vida frezesiyle diş açımında talaş kaldırma; ... 82
Şekil 3.14 : Şablona göre konik dişli açımı ... 83
Şekil 3.15 : Konik dişlilerin gerekli kesitleri ... 83
Şekil 3.16 : Üç haddeli dişli haddeleme tezgahı ... 84
Şekil 3.17 : Dişli imal haddeleri ... 85
Şekil 3.18 : Sonsuz vida dişlerinin kalıbının çıkarılması ... 90
Şekil 3.19 : Sonsuz vida diş profiline ait dolgu kalıbı ve hamuru ... 91
Şekil 3.20 : Sonsuz vida diş profiline ait ölçüm ekranı ... 91
Şekil 3.21 : Sonsuz vida diş genişliğinin ölçülmesi ... 92
Şekil 3.22 : Koordinat ölçme makinesiyle sonsuz vida ölçümü. ... 93
Şekil 4.1 : Kesici uç ve sonsuz vida arasındaki ilişki ... 98
Şekil 4.2 : Sonsuz vida ve kesici uç koordinat sistemleri arasındaki ilişki ... 100
Şekil 4.3 : Düz köşeli kesme ucunun geometrisi ... 101
Şekil 4.4 : Sonsuz vida, karşılık dişlisi ve azdırma freze koordinat sistemleri ... 104
Şekil 4.5 : ZN tip sonsuz vidanın grafik çizimi [25] ... 110
Şekil 4.6 : Takım çapları farklı olan freze takımla işlenmiş ZN profilli sonsuz vida dişli seti için kontak noktalarının dağılımı [25] ... 111
Şekil 4.7 : Farklı diş dairesi çaplarına sahip kesici uçlar için kinematik hataların dağılımı [25] ... 112
Şekil 4.8 : Farklı montaj ofset uzaklıklarına sahip dişli setleri için kontak yerlerinin değişimi [25] ... 112
Şekil 4.9 : Farklı montaj ofset uzaklıklarına sahip dişli setleri için kinematik hataların değişimi [25] ... 113
Şekil 4.10 : Farklı montaj ofset açılarında dişli setleri için kontak noktalarının değişimi [25]………..114
Şekil 4.11 : Farklı eksen yerleştirme açılarına (eksenel eğiklik) sahip dişli setleri için kinematik hataların değişimi [25] ... 115
Şekil 4.12 : Farklı diş (ağız) sayılarınsa sahip dişli setleri için kontak noktalarının değişimi……….……….115
Şekil 4.13 : Farklı diş (ağız) sayılarına sahip dişli setleri için kinematik hataların değişimi [25] ... 116
Şekil 5.1 : Kramayer kesici takım normal kesiti ... 119
Şekil 5.2 : Eksen takımları ... 119
Şekil 5.3 : Helisel dişli ile onu oluşturan kramayer arasındaki kinematik ilişki ... 122
Şekil 5.4 : Kramayer kesici takım ile elde edilmiş olan keskin köşeli helisel dişlinin diş profili bilgisayar simülasyonu. ... 123
SEMBOL LİSTESİ : Sonsuz vida diş sayısı
: Sonsuz vida çarkı (karşılık dişlisi) diş sayısı : Sonsuz vida form sayısı
: Modül
: Normal modül
: Sonsuz vida eksenel taksimatı, çarkın taksimat dairesindeki taksimatı : Normal taksimat
: Hatve
: Helis eğim açısı : Çevirim oranı
: Sonsuz vida orta dairesi çapı
: Sonsuz vida çarkının orta dairesi çapı : Sonsuz vida çarkı taksimat dairesi çapı : Diş başı dairesi çapı
: Diş kalınlıkları : Diş başı boşluğu : Diş başı yüksekliği : Diş dibi yüksekliği : Diş yüksekliği
: Sonsuz vida çarkının taksimat dairesinde eğim açısı : Eksenler arası mesafe
: Çarkın (karşılık dişlisi) diş genişliği : Sonsuz vidanın uzunluğu
: Sonsuz vida çarkının genişliği : Yarı profil kavrama açısı : Kavrama oranı
SONSUZ VİDALAR ve SONSUZ VİDA KARŞILIK DİŞLİSİ HELİSEL DİŞLİ MATEMATİK MODELLEMESİ
ÖZET
Bu çalışmada sonsuz vida karşılık dişlisi helisel dişli matematik modellemesi yapılmıştır. Verilen matematik modele ek olarak, oluşturulan diş yüzeyini ifade eden kramayer kesici takım hareket yörüngeleri gösterilmiştir. Bu grafik çizimler oluşturulan diş profili için hızlı ve kesin sonuçları görmemize olanak sağlar. Bu modellemeye geçilmeden önce sonsuz vidaların tarihçesinden, tiplerine, modelleme esaslarına, üretimine ve tasarım parametrelerine kadar birçok konuya detaylı olarak değinilmiştir.
Sonsuz vida kavramı antik çağlara kadar dayanır. İnsanoğlunun suya olan büyük ihtiyacından ötürü milattan önce suyun taşınmasında kullanılmış ve günümüzde güç iletiminden üretim araçlarına kadar birçok alanda kendine yer bulmuştur. Bu çalışma, konuyu çeşitli açılardan ele almaktadır.
Kapsamlı mühendislik yaklaşımı, yanlıca tasarım ve üretim faaliyetlerini değil; verimlilik, hata analizi, bakım ve uygulama faaliyetlerinin tümünü kapsar. Sonsuz vida dişli seti bir sonsuz vida ve karşılık dişlisinden oluşan ve eksenleri dik olan fakat kesişmeyen önemli güç iletim araçlarıdır. Sahip oldukları yüksek çevrim oranı, sessiz çalışma ve ufak yapılarından ötürü redüksiyon mekanizmalarında yaygın olarak kullanılırlar.
Tez çalışmasının birinci bölümde sonsuz vidanın tarihi gelişimi ve uygulama alanları verilerek okuyucuya sonsuz vida mekanizmalarının önemi anlatılmaya çalışılmıştır. Buna ek olarak standart sonsuz vida profilleri ve bazı standart harici sonsuz vida tiplerinin neler olduğu aktarılmıştır. İkinci bölümde, sonsuz vidaya ait tasarım parametreleri detaylı olarak aktarılmıştır ve böylece matematik modellemelerde kullanılacak olan tasarım parametreleri ortaya konmuş olur. Üçüncü bölümde, imalatta kullanılabilecek uygun malzemeler ve imalat yöntemlerinin neler olduğu belirtilmiştir. Tüm bu bilgilendirmelerden sonra dördüncü bölümde sonsuz vidaların bir tipi olan ZN yüzey profiline sahip sonsuz vida ve karşılık dişlisi için matematik modellemesi literatür araştırmaların ışığı altında ortaya konmuştur. Beşinci bölümde sonsuz vida karşılık dişlisi helisel dişli matematik modellemesi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu matematik model Basic programlama dilinde kodlanıp, Grapher çizim yazılımına aktarılarak, kramayer kesici takım ile oluşturulmuş bu evolvent helisel dişlinin kesme simülasyonu yapılmıştır. Son bölüm olan altıncı bölümde çalışmanın sonuçları ve ileri çalışmalar verilmiştir.
Matematik modellemeler, gerçek hayatta kullandığımız sistemlerinin eksiklerinin, mahsurlarının görülmesi adına büyük önem taşımaktadır. Bu tez çalışmasının ilk üç bölümünde sonsuz vidalar detaylı olarak tanıtılmış ve böylece; tasarım, verim, malzeme, üretim ve çalışma koşulları gibi konularda oluşabilecek aksaklıklar ve önlemek için yapılabilecekler ortaya konulmuştur. Bu kısımlarda verilen bilgilerden sonra evolvent helisel dişli modellemesi yapılarak, bu modellemeyle varılmak istenen amaç işaretlenmiş oldu.
Kuşkusuz, dördüncü bölümde anlatılan ZN profilli sonsuz vida matematik modellemesi bilgilerinin, diğer yüzey profiline sahip sonsuz vida profilleri için de fikir verici olduğunu söyleyebiliriz. Buradaki modelleme aşamaları olarak; ZN profilli sonsuz vida ile eşlenik yapıda olan azdırma freze ile diş açılmış sonsuz vida dişlisi ve düz köşeli kesici takım ile diş açılmış sonsuz vidanın matematik modellemesi sıralanabilir. Literatürdeki çalışmaların da ışığı altında; diş sayıları, montaj açıları, temas noktaları ve iletim oranları gibi etkiler bu bölümde incelenmiştir. Tüm bu çalışmalar sonsuz vida dişli setinin verim ve ömrünü attırmaya yöneliktir ve sonuçta optimum tasarıma ulaşılır. Eldeki matematik modele istinaden tasarım parametrelerinde yapılan değişikliklerin kontak elipsleri ve kinematik hatalar üzerindeki etkileri incelenmeye çalışılmıştır. Yüzey profilini oluşturan kesici takımların diş çapları, merkezler arası mesafe, eksenler arası açı kaçıklığı ve diş sayısı gibi parametrelerin diş temas noktalarını önemli ölçüde etkilediği görülür. Tez çalışması kapsamında, beşinci bölümde yapılan evolvent profilli helisel vida matematik modellemesi bu dişlilerin yan yüzey profil açısı, helis açısı, diş başı yüksekliği gibi özelliklerinin; tasarım parametreleri, kesici takım hareket yörüngesi, dönme açıcı gibi özelliklerinden nasıl etkilendiğini ortaya koyması adına önem taşımaktadır. Elde edilen bilgisayar yazılımında tasarım parametreleri değiştirilerek elde edilen bilgisayar grafikleri, kesilen dişlinin profillerini, profil kaydırma ve alt kesme de dahil olmak üzere nasıl etkilediğini gösterir.
İleri çalışmalar olarak tasarım parametrelerinin çeşitlendirilmesi ve farklı profilli sonsuz vida dişli setleri için uygulamalar yapılması gösterilebilir. Ayrıca bu modelleme çeşitli analizlerde kullanılabilir hale getirilebilir.
WORM AND MATHEMATICAL MODEL OF THE HELICAL GEAR AS WORM GEAR
SUMMARY
In this study, mathematical model of the helical gear, which is used as worm gear, is established. In addition to the given mathematical model for defining generated gear flank, a cutting path of the rack cutter is illustrated. These illustrations provide quick and decisive results about generated gear. Before the modeling, various subjects about the worm and worm gears are mentioned in detail from many aspects, such as historical development, types, manufacturing, modeling fundamentals and design parameters.
The concept of the worm gear dates back to ancient times. Due to the great human demand towards water, the worm gears are used for the transporting of water in the ancient ages. At the present, it takes place in many fields, from power transmission to manufacturing facilities and this study deals with the topic from many aspects.
The comprehensive professional reference on the subject covers not only the design and manufacturing of the worm gears, but also issues regarding to performance, maintenance, failure analysis as well as applications. The worm gear set consists of a worm and worm gear. It is one of the most important devices for transmitting torque between spatial crossed axes. Due to its high transmission ratio, low noise and compact structure, worm gear set is widely used in gear reduction mechanisms. At the first section of this study, it is aimed to explain the importance of the worm gear set by giving historical evolution and application area. In addition to this, the standardized and some non-standard types of worms are taken into consideration. At the second part, the design parameters are explained and consequently, the parameters that shall be used for mathematical modeling is obtained. At the third section, acceptable materials of worm and worm gear are described with its manufacturing methods. After all of these explanations, in the forth section, with the help of the literature studies, the mathematical model of the ZN type worm gear set, which is a type of worm, is explained. In the fifth part, the mathematical model of the helical gear, which is used as worm gear, is established. This mathematical model is coded into Basic computer programming language and is transferred to Grapher drawing software to simulate the cutting mechanism of involute teeth profile of helical gear, which is generated with the rack cutter. In the sixth and the last section, the conclusion and advanced studies are given.
Mathematical modeling is essential to see inadequate and deficient sides of systems that we used in real life. Hence, in this thesis, the first three sections give the detailed information, which helps us to bring out solutions about design, efficiency, material, manufacturing and working environment topics of the worm and worm gear systems. After that, the mathematical modeling and cutting simulation of involvent helical gear is established. Therefore, the aim that wants to be reached up is pointed.
We can exactly affirm the ZN type worm gear set mathematical modeling, which is given in the forth section of this study, is suggestive about the other types of worm gear sets. As modeling steps, the ZN type hob cutter for the cutting of equivalent worm gear and straight-edged cutting blade for the cutting worm mathematical models can be specified. In the light of the literature studies about mathematical modeling, the thread numbers, different center distance offset assemblies, contact points and contact rates are examined in this section. All of these efforts are for efficient and long lasting worm gear sets and as a result of these, an optimum design comes out. Concerning with mathematical model, the influence and limitation of the design parameters on the contact ellipses, kinematic error is examined. It is obviously seen that the tooth number of cutters, which is used to generate worm-worm gear surface, center-distance offset, axes misalignment and pitch diameter, affects the contact points, remarkably.
The scope of thesis study, in the section five, the mathematical modeling of the helical gear with involvent teeth profile is important about how the rack cutter-cutting path and turning angle affect the pressure angle, lead angle and addendum of generated helical gear. The computer program and the simulations show the effect of changing the design parameters about generated teeth profile, even under-cutting and profile-shifting situations.
As an advanced study, it might be advised to diversify the design parameters. Undoubtedly, this mathematical model can be useful for other types of the worm gear sets and suggestive for further engineering analysis.
1. GİRİŞ
Sonsuz vida fikri antik çağlara dayanmaktadır. Yüzyıllar boyunca sonsuz vida tasarımları farklılaşmış gelişmiş ve günümüzdeki şeklini almıştır. Bu tarihi gelişim Bölüm 1.2’de açıklanmıştır. Antik çağlarda suyun taşınmasında kullanılan sonsuz vida profili günümüzde birçok alanda kendini göstermektedir.
Eksenleri birbirini dik olan fakat kesişmeyen millerde güç ve hareket ileten sonsuz vidalar [1], birçok alanda kullanılmaktadırlar. Bunlar arasında; saat dişli mekanizmaları, uçak sanayi, asansör tahrik devreleri, işleme tezgâhlarının yatay ve düşey eksende kızak hareketini sağlayan miller, redüktörler, pompalar, dökümhane konveyörleri, tren makara sistemleri, krikolar, silah tabyaları vb… sayılabilir [2]. Sahip oldukları yüksek çevrim oranları (4-400), kompakt yapıları, sessiz ve sürekli çalışmaları gibi üstün özellikleri nedeniyle sanayide yaygın şekilde kullanılırlar [3]. Günümüzde yapılan modern çalışmalar daha çok sonsuz vida ve karşılık dişlisine ait yüzey profillerinin geliştirilmesi üzerine odaklanmıştır. Yüzeyin matematik modeline ait denklemler elde edildikten sonra bunlar çeşitli bilgisayar yazılımlarıyla (AutoCad ADS, Lisp, V. Basic) grafik olarak modellenmekte ve elde edilen bilgisayar modelleri çeşitli sonlu elemanlar, sınır elemanlar yöntemleriyle istenilen analizlere tabi tutulmaktadırlar.
Sonsuz vida yüzey profillerinin modellenmesi için geçmiş yıllarda araştırmacılar birçok kıymetli çalışma gerçekleştirmiştir. Bu çalışmalar sonsuz vida dişli sistemlerinin çalışma verimlerini ve ömürlerini arttırmayı sağlamıştır. Wildhaber, [4] ilk olarak, yüzey eğrilerini kullanıp azdırma freze ucu ile diş açılmış bir sonsuz vida dişlisinin yaklaşık kontak noktalarının (etki noktaları) diyagramlarını oluşturan kişidir. Winter ve Wilkesmann [5], Simon [6], ve Bosch [7] farklı metotlar kullanarak sonsuz vida yüzeylerini yüksek doğrulukta elde etmişlerdir. Philips [8] vida dişlisinin kinematiğini “vida teorisine” dayandırarak açıklamıştır. Kin [9] alt kesmenin önüne geçmek için gerekli çalışmalar ile, kontak hatlarındaki temas noktalarının çizdiği alanlar (envelope) üzerine çalışmıştır. Colbourne [10] ZK profilli sonsuz vida dişli seti için alt kesme ve eş-eş olmayan çalışma durumları için kontak
noktaları üzerinde çalışmıştır. Janninck [11] kontak başlangıç noktaların tahmini için çalışmalar yapmış ve bunları tüm bir sonsuz vida yüzeyi için bir topolojik yüzey ayırıma diyagramında göstermiştir. Colbourne [12] sonsuz vida dişlisi yapmakta kullanılan bir azdırma freze takımı (oversize hob cutter) oluşturma metodu geliştirmiştir. Kontak yüzeyi ayrıştırma topolojisi fikri bu metoda adapte edilmiştir. Litvin ve Kin [13] genel bir diş kontak analiz (tooth contact analysis; TCA) algoritması geliştirmiş ve bunu ideal kontak noktalarından gerçek kontak noktalarının bulunmasında kullanılmak üzere transfer noktalarının pozisyonlarını hesaplamakta kullanmışlardır. Kin [14] freze kesme uçlarının sapmalarının neden olduğu sonsuz vida dişlisi yüzey sapmaları üzerinde çalışmıştır. Litvin [15], tek ağızlı sonsuz vida dişli seti için kontak noktaları ve kavrama durumları için çalışmalar yapmıştır. Simon [16], çift ağızlı sonsuz vida dişli seti için bu çalışmaları ilerletmiştir. Tsay [17] Eksenleri 90 kesişmeyen sonsuz vida dişli takımı için çalışmalar yapmış ve sonuçta bu dişli seti için daha yüksek bir kontak oranının olduğunu görmüştür.
Bu tez çalışmasında sonsuz vida karşılık dişlisi olarak kullanılan evolvent profilli helisel dişli oluşturan kramayer kesici takıma ait denklemler elde edilmiştir. Sonsuz vidalar bir helisel dişli ile karşılık (set) oluştururlar [19]. Sonsuz vida dişli setlerinin verimli, düşük iletim hatalarında ve makul olabilecek aşınma değerlerinde çalışabilmesi için uygun tasarım parametrelerinin bulunması büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada kesici takıma ait yüzey denklemleri, koordinat dönüşümleri, diferansiyel geometri teorisi ve dişli teorileri gibi prensipleri kullanılarak, helisel evolvent dişlinin matematik modeli oluşturulmuştur. Buna ek olarak evolvent dişlilere ait diş profilinin oluşturulduğu bir bilgisayar simülasyonu elde edilmiş ve takım geometrisinin etkileri incelenmiştir.
Buradaki helisel dişlinin profili evolvent yapıdadır. Evolvent profilli dişliler sanayinin birçok alanında kolay üretilebilme özelliklerinden ötürü yaygın olarak kullanılırlar. Düz köşeli kesici takımlar ile üretilirler ve merkezler arası mesafe toleransları sebebiyle sabit iletim oranına sahiptirler . Evolvent diş profili ve diş dibi eğrilerini tanımlayan parametrik denklemler dişlilerin analitik mekaniği kullanarak
bir bilgisayar simülasyonuna uygulanarak kesici takım hareketine ait grafikler elde edilmiştir.
Yüzey profilleri, diş sayıları, yağlayıcılar, kesici takım parametreleri, kontak oranları, montaj durumları, imalat malzemeleri gibi etmenler için sonsuz vida dişli setleri araştırılmakta ve bu araştırmalarda matematik model oluşturmak büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada sonsuz vidalar önce tüm detaylarıyla (tarihsel gelişim, çeşitleri, imalat yöntemleri, malzemeler, revizyonlar) anlatılmış, devamında ZN profilli sonsuz vidanın bu bilgiler ışığında matematik modellemesi hakkında önemli bilgiler verilerek bir örnek modelleme tanıtılmış, daha sonra sonsuz vida karşılık dişlisi olarak kullanılabilen helisel dişli matematik modellemesi yapılmıştır.
Üçüncü bölümde anlatılan modellemede ZN tip sonsuz vida dişli seti için diş kontak durumları ve iletim hataları açısından incelenmiştir. Literatürdeki çalışmalar detaylarıyla verilmiş ve ileri çalışmalar için okuyucuya fikri açılımlar sağlanmıştır. Düz dişli çarklardan farklı olarak sonsuz vidalar bir silindir üzerine helis giydirilmeyle elde edilmiş silindirik dişli çarklar sınıfına girerler [18]. Sessiz çalışma ve yüksek çevrim oranlarının yanı sıra otoblokaj sağlama konusunda zayıftırlar. 8’den büyük çevrim oranları için sonsuz vida dişli setleri diğer dişlilerden daha az yer kaplarlar. Ayrıca bir dişli kutusu içerisinde sonsuz vida ekseni ile karşılık dişlisi farklı açılarda yerleştirilebilirler. Titreşim sönümleme özellikleri yüksek olup bu özellik diş yüzeylerindeki geniş kayma alanından kaynaklanır. Büyük moment değerlerinin iletiminde oldukça iyi sonuçlar verirler, çünkü iletim anında birden fazla diş kontak halindedir. Büyük şok yükleme kapasitelerine sahiptirler. Tüm bu özellikler sağlanırken tasarımda dikkat edilmesi gereken faktörler olarak; malzeme seçimi, yağlayıcı seçimi, pürüzsüz yüzey yapısı, doğru kontak noktasının tayini, doğru montaj gibi faktörler sayılabilir [2].
DIN Standartları 3975’e göre tanımlı olan sonsuz vida profilleri Şekil 1.1’de gösterilmiştir. Profilleri birbirinden farklı kılan işleme açıları ve sonucunda oluşan yüzey profil açıları, helis açıları ve kullanılan diş açıcı takımın tipidir. DIN standartlarında 4 tip; ZA, ZN, ZK, ZI (ZE) vardır. Bu standart profiller haricinde üreticiden üreticiye değişen profillerde mevcuttur. Bunlar arasında en sık rastlanan Cavex olarak adlandırılan tiptir. Bu Cavex profili ZC sonsuz vidası olarak ifade edilir. Yan yüzeyleri dış bükey olan taşlama taşı ile üretilirler. İlk defa 1940 yılında
Alman Prof. G. Niemann tarafından patenti alınmıştır ve Flender firması tarafından ticari üretimi yapılmıştır [19]. Yağlama, aşınma ve moment taşıma yönünden çok iyi sonuçlar elde edilmiştir [2].
Şekil 1.1 : Sonsuz vida profilleri. a) ZA, b) ZN, c) ZK, d) ZI, e) ZC
Bu profillere yan yüzey basınç açıları, işleme biçimleri ve diş yüzeyleri Şekil 1.2 ile gösterilmiştir.
Sonsuz vida bir karşılık dişlisi ile birlikte set oluşturur. Bu sette sonsuz vida silindirik yada globoid tipte olabildiği gibi karşılık dişlisi (çark) da silindirik veya globoid olabilir. İşte bu tez çalışmasında sonsuz vida karşılık dişlisi helisel dişli seçilmiş ve bu helisel dişli matematiksel olarak modellenmiştir. Bu duruma ait bir Şekil 1.3’de gösterilmiştir.
Mühendislik teknolojisindeki gelişmelere paralel olarak yüksek hızlarda çalışan, daha fazla yük taşıyan uzun ömürlü dişlilere ihtiyaç artmaktadır. Diş dibinde meydana gelen eğilme gerilmeleri, bu ihtiyacın karşılanmasında engel teşkil eden bir faktördür [20]. Bu çalışmada bahsedilen sonsuz vida ve karşılık dişlisi yüzey matematik modelleri dişli tasarımlaması süresince şüphesiz önemli faydalar sağlayacaktır. Matematik modeli elde edilen dişli seti için ileri çalışmalar niteliğinde daha farklı parametrelerin incelenmesine olanak sağlayabilir. Bu çalışmada,
dişli matematik modellemesi yapılmıştır. Bu modelleme ile alakalı bilgisayar programı Ekler A.1’de gösterilmiştir.
Şekil 1.3 : a-) Silindirik sonsuz vida-globoid çark, b) globoid sonsuz vida- silindirik çark, c) globoid sonsuz vida-globoid çark
Sonsuz vida ve karşılık dişlisine ait bir gösterim Şekil 1.4 ve 1.5’de gösterilmiştir.
Şekil 1.4 : Sonsuz vida ve karşılık dişlisi
Şekil 1.5 : Sonsuz vida gösterimi 1.1 Sonsuz Vidaların Özellikleri
• Sonsuz vidanın ağız sayısının uygun seçilmesi ile aynı sonsuz vida ve sonsuz vida çarkı çaplarıyla, eksenler arası mesafe muhafaza edilerek çevrim oranı geniş
• i çevrim oranı tek kademede 400’e kadar ulaşabilir.
• Ağız sayısı fazla olan sonsuz vidalar daha büyük çevrim oranı üretebilirler. • Ağız sayısı 8’e kadar artabilir.
• Yan yüzey profil açısı azaldıkça minimum diş sayısı artar. Yüksek hassasiyet ile düşük iletim hataları ve kontak oranı sağlanır.
• Geniş diş yüzeyi buyunca yuvarlanma (kavrama) olduğundan titreşim sönümleme özellikleri daha iyidir.
• Birden fazla diş sürekli kavrama içerisinde olduğundan yüksek tork iletirler. • Redüktörlerde farklı açılarla bağlanabilme özelliğine sahiptirler.
• Diğer dişlilere göre sürtünme fazladır, aşınma fazladır (tiplere göre değişmektedir)
• Eksenel kuvvetler büyüktür, iyi yataklama gerektirirler.
• Çizgisel temas mevcuttur (elastisite nedeniyle yüzeye yayılır zaman zaman noktasal temas görülebilir).
• Özellikle globoidal tiplerde aynı anda devrede olan diş sayısı fazladır (1/8x pinyon).
• Globoidal (Double Enveloping Worm veya Hour Glass) sonsuz vida silindirik sonsuz vidaya göre % 6-10 daha yüksek verim (i:25), %30 daha yüksek taşıma kapasitesine sahiptir.
• Globoidal sonsuz vida üretimi daha zor ve maliyetlidir. Eksenel montaj hassasiyeti ister. Şekil 1.6 globoidal sonsuz vida dişli setini göstermektedir.
Sonsuz vidaların ortak olan olumsuz yönü kontak hattının düzensiz dağılışı ve böylece eksen montaj yeri hassasiyeti taşımasıdır. Bir çok tipteki sonsuz vida profili için çeşitli araştırmacılar yük taşıma, yağlama, kontak noktalarının dağılımı, iletim hataları, montaj ve profil kaydırma yönünden incelenmiştir. Bu bakımdan her tipin kendine göre artı yönleri olmakla birlikte V. Simon’un yaptığı araştırmalarda ZC tip Cavex sonsuz vidası oldukça iyi sonuçlar vermiştir.
Eşleşen sonsuz vida dişli seti teorik olarak çizgisel kontak meydana getirir. Böylece izafi olarak geometrik yüzey ayrıştırması yapıldığında sonsuz vida ve karşılık dişlisi eşlenik hızlara aittir, yüzeyler birbirine teğet olduğu görülür. Fakat eş olmayan sonsuz vida setlerinde ki bu durum imalatta büyük çaplı azdırma veya kesici takım (hob cutter) kullanılması (alt kesmeyi engellemek için) durumlarında görülür, yüzeyler eşleşmez ve çizgisel kontak noktasal kontağa dönüşür. Araştırmalar
göstermektedir ki yükleme altında bu noktasal kuvvetler çizgisel kontağa dönüşebilmektedir fakat bu tüm diş yüzeyi boyunca olmayabilir. Bu nedenle eşleşmeyen sonsuz vida dişli setlerinde kuvvet dağılımının bulunması için kontak yüzeylerinin geometrik ayrıştırması yapılabilmelidir [21].
Sonsuz vidalar montaj hatalarına (merkez mesafeleri, şaft açısı, eksenel sehim bunu etkiler) karşı oldukça hassas cihazlardır ve kontak noktaları diş uçlarına doğru kayar, iletim hatalarının frekansını etkilemektedir (bir dişli çiftinin kavrama döngüsünün zamanla değişimi sırasında ortaya çıkan iletim hatası) [22].
V. Simon’un yaptığı çalışmalarda ZC tip sonsuz vida dişli setinin en büyük çizgisel kuvvetinin Arşimet vidası profilli ZA tipinden oldukça düşük olduğu görülür. Ayrıca kuvvet dağılımı daha homojendir. ZC (Cavex) sonsuz vidası yağlama özellikleri bakımından da çok iyi sonuçlar verir böylece daha düşük sürtünme, düşük güç kaybı ortaya çıkmaktadır [21].
Şekil 1.6 : Globoid sonsuz vida ve karşılık dişlisi helisel dişli.
Şekil 1.7’de sosuz vida kullanılan bir redüktörde yataklamalar gösterilmiştir. Görüldüğü gibi sonsuz vidadaki eksenel kuvvetlerin büyük oluşu yataklamayı kuvvetli yapamamayı gerektirir.
Şekil 1.7 : Sonsuz vida ve karşılık dişlisi helisel dişli yataklaması
Şekil 1.8 hiperbolik (wormoid) sonsuz vidayı göstermektedir. Direksiyon millerinde sıklıkla kullanılırlar. Farklı açılarda kuvvet ve hareket iletilmiş olur.
Şekil 1.8 : Hiperbolik sonsuz vida (wormoid) 1.2 Sonsuz Vidanın Tarihsel Gelişimi
M.Ö. 4000’li yıllarda tekerleğin bulunması ile kayma sürtünmesi yuvarlanma sürtünmesine dönüşmüş ve böylece dişli sistemlerinin de fikri temelleri atılmıştır diyebiliriz. Mısır piramitlerinde (M.Ö. 2600) çeşitli kaldırma makineleri ve dolayısıyla çark sistemleri kullanıldığı düşünülmektedir.
Sonsuz vida profilinin ilk mucidi olarak Arşimet (M.Ö. 300) gösterilmektedir. Arşimet’in yaptığı ve kendi adıyla anılan Arşimet Vidası sıvı maddeleri taşımada kullanılan bir çeşit pompa görevi görmektedir. Yine Arşimet daha sonraları ağır gemileri denize indirmeyi sağlayan bir vinç tasarlamış ve burada sonsuz vida
mekanizmaları kullanmıştır. Daha sonraları milattan sonra ilk yüzyıllarda Vitruvius, Heron gibi isimler dişliler üzerine yazılar yazmıştır. Bu tarihin ilk mucitlerinden bahsettikten sonra 1439-1451 yılları arasında yaşamış olan Francesso di Giorgio’dan bahsedersek onun çok büyük kule yapıları sonsuz vida mekanizmaları kullanarak taşıdığını görürüz. Yine yakın yıllarda ünlü mucit, tasarımcı, sanatçı Leanardo da Vinci (1452-1519) dişliler üzerinde de bir çok çalışma yaptığı gerçeğine kendi çizimlerinden ulaşılır. Dişli çark yapma amaçlı ilk makinelere ise 1600’lü yıllarda rastlanır. Maudslay ve Nasmyth ise 1810 yılında ilk vida üreten torna tezgâhını tasarlamışlardır. 1867-1939 yılları arasında ABD’de 2344 adet dişli kesim işi yapıldığı patent enstitüsü tarafından kaydedilmiştir.
İlk diş formunu elde eden bilim adamı olarak Desargues gösterilir. Bu dişli 17. yy’da bulunmuş olup, siklon eğri tipinde diş formuna sahiptir. Desargues’in çalışmalarının temelini Fransız Nicholas (1451) oluşturur. Philipe de Lahire dişli dizaynı için ilk geometrik prensipleri bulan kişidir. Dişli hareketi sırasınca diş yüzeylerinde üniform basınç dağılımını elde etmiştir.
1751’de evolvent dişlinin babası olarak adlandırılan İsveçli bilim adamı Leonard Euler eş çalışma kurallarını bulmuştur. Bir saat yapımcısı olan İngiliz Henry Hindley ise globoid sonsuz vida diş formunu bulmuştur (1765).
1915 yılında İngiliz David Brown evolvent helisel dişli için patent almıştır. Bu dişli tipi halen otomobillerin teker millerinde kullanılmaktadır ve çok popülerdir. Düşük çevrim oranları için %97’lere varan verimleri elde etmiş ve bunu tescillendirmişlerdir.
Sonsuz vidaların kullanıldığı redüktör kutuları artık çok daha ufalmıştır. 12 beygir gücünde, 1450 dev/dak hızda, 35/1 çevrim oranına sahip bir redüktörün dişli merkezleri arası uzaklık 1903’de 356 mm. iken günümüzde 100 mm. değerine düşmüştür[2].
2. SONSUZ VİDA ve KARŞILIK DİŞLİSİ TEMEL KAVRAMLAR ve HESAPLAR
Bu bölümde sonsuz vida ve sonsuz vida dişlisinin temel parametreleri detaylı şekilde anlatılacak, modellemede de kullanılacak bu ölçüler ve tipleri hakkında bilgi verilecektir
2.1 Silindirik Sonsuz Vidalı Sonsuz Vida Mekanizmalarının Boyutları
Şekil 2.1 : Silindirik sonsuz vidalı sonsuz vida mekanizmaları ölçüleri
Sonsuz vida mekanizması birbiri ile kesişmeyen ve paralel olmayan iki mil arasında güç ve hareket ileten özel spiral dişli mekanizmalarıdır. Sonsuz vida mekanizması silindirik sonsuz vida ve sonsuz vida çarkından meydana gelir (Şekil 2.1) Sonsuz vidanın ağız sayısının uygun seçilmesi ile aynı sonsuz vida ve sonsuz vida çarkı çaplarıyla, eksenler arası mesafe muhafaza edilerek çevrim oranı geniş sınırlar içerisinde değiştirilebilir [18].
2.2 Silindirik Sonsuz Vidaların Profil Şekilleri
Profil şekli, yüzeyi meydana getiren doğrunun sonsuz vidanın diş profili üzerindeki konumu ile yani imalât sırasında takımın kesici ağzının sonsuz vida silindirine göre olan geometrik durumu ile belirir. Yüzeyi meydana getiren şekil genel olarak bir doğrudur. Pratik imalât metoduna bağlı olarak aşağıdaki sayfalarda bahsedilen
A-N-K-E profil şekilleri kullanılır.
Çizelge 2.1 : Sonsuz vida mekanizmalarında hesaplanacak büyüklükler.
İSİM SEMBOL ve FORMÜL AÇIKLAMA
Sonsuz vidanın diş adedi
1
z =H t/ a Bkz. 2.7.1 Sonsuz vida çarkının
diş adedi z2 =d02/m
Sonsuz vidanın form sayısı
f
z =dm1/m=z1/ tanγm
Modül (Eksenel modül) m /
a
t π
= Bkz. 2.7.1
Normal modül .cos
n m
m =m γ
Sonsuz vidanın eksenel
taksimatı = Sonsuz vida çarkının taksimat dairesindeki taksimat
02 .
a
t =t =mπ 90 '° lik eksenler arası açı için
Normal taksimat cos
nm n a m
t =m π =t γ
Hatve
1. a
H =z t Sağ veya sol helis
Helis eğim açısı •Orta dairede
•Baş dairesinde
•Diş dibi dairesinde
1 1 1 1 1 1 1 . tan . tan tan tan tan m m m m m k k m m f f z m H d d d d d d γ π γ γ γ γ = = = = = =
Sonsuz vidanın orta dairesi çapı
1 1 . . sin n m F m z m d z m γ = = Bkz. 2.7.1
Sonsuz vida çarkının orta dairesi
çapı dm2 =2a −dm1 Profil kaydırması
Yapılmamış mekanizmalar İçin; dm2 =d02
Sonsuz vida çarkının taksimat
dairesi çapı d02 =z m2.
Diş kalınlığı=Diş Boşluğu • Normal kesitte • Eksenel kesitte .cos 2 a m nm nm t s l t γ
= = Profil boşluğu=0 için (dönme profil boşluğu
Çizelge 2.1 (devam): Sonsuz vida mekanizmalarında hesaplanacak büyüklükler.
Not: İndis 1 sonsuz vida, indis 2 sonsuz vida çarkı içindir.
Bu profiller DIN normlarında tanımlanmıştır. Çizelge 2.1 sonsuz vida ve karşılık dişlisi için tasarım parametrelerini ve sembollerini göstermektedir. Şekil 2.2’de diş sayısına göre diş genişliğinin bulunması, Şekil 2.3’de sonsuz vida uzunluğunun bulunması anlatılmaktadır.
İSİM SEMBOL ve FORMÜL AÇIKLAMA
Diş başı yüksekliği 1. ( 15 )
1. ( 15 ) k m k n m h m h m γ γ = < = > Bkz. 2.7.5.
Diş dibi yüksekliği 1, 2. ( 15 )
1, 2. ( 15 ) m m m n m h m h m γ γ = < = > Bkz. 2.7.5 Diş yüksekliği z k f h =h +h Bkz. 2.7.5
Diş başı boşluğu 0,167...0, 3
k
S = m Ortalama 0,2m
Diş başı dairesi çapı 2
k m k
d =d + h
Diş dibi dairesi çapı 2
f m f
d =d − h
Sonsuz vida çarkının diş çapı
2
A k
d ≈d +m
Sonsuz vida çarkının taksimat
dairesinde eğim açısı β02 =γm (sonsuz vida) 90 ' °
lik eksenler arası açı için Çevrim oranı 1 2 2 1 n z i n z = =
Eksenler arası uzaklık
1 02 2 ( ) 2 2 m F d d m a= + = z +z
Sonsuz vida çarkının yiv yarı
çapı rk = −a dk2/ 2
Çarkın diş genişliği 2 2
1 1 Pr : 2 1 k m F b d d
ofil kaydırma yoksa
b m z
= −
≈ +
Şekil 2.2 ve 2.3’e bak
Sonsuz vida çarkının genişliği
2 0,8 m1
b ≈ d Şekil 2.2’ye bak
Sonsuz vidanın uzunluğu 2 2
1 2 02 1 2 1 Pr : 2 1 min 10 k b d d
ofil kaydırma yoksa
b m z b m = − ≈ + ≥ Şekil 2.2 ve 2.3’e bak
Şekil 2.2 : Diş genişliğinin bulunması
Şekil 2.3 : Sonsuz vida uzunluğunun bulunması A Profil Şekli (ZA-Sonsuz vidası)
Yüzeyi meydana getiren doğru, meselâ trapez şekilli torna kalemi, sonsuz vida eksenini keser ve bu nedenle A-A eksenel kesidi doğru yüzeyli bir profil verir. Alın kesidinde diş yüzeyi arşimet spirali (Arşimet spirali sonsuz vidası) şeklindedir. Yaklaşık olarak bu profil şekli eksenel kesitte evolvent kesici çarkla yuvarlanma metoduna göre diş açmada elde edilir.
ile tornalamada meydana gelir. Bu diş profili yaklaşık olarak, trapez profilli küçük bir dairesel freze ile frezelemede de elde edilir. Ortalama helis eğim açısı ne kadar büyük olursa, eksenel kesit A-A da yüzey profili o kadar bombeli olur (Şekil 2.4). K Profil Şekli (ZK-Sonsuz vidası)
İmalat metodunun sonucu olarak, doğru kenarlı takıma rağmen profili meydana getiren şekil artık bir doğru değil, bir uzay eğrisidir. Bu durum, dönme ekseni diş boşluğunun ortasında sonsuz vida eksenine göre γ helis açısı kadar dönük trapez m
kesitli dönel takımlarda (büyük dairesel freze, taşlama diski gibi) ortaya çıkar. Diş profillerindeki farklı eğrilik, takımın ilk ve son pasosunda meydana gelir ve bu sebepten takım çapına bağlıdır. Şekil 2.4 spiral sonsuz vidayı göstermektedir. N-N Normal kesit, A-A Eksenel kesit yaklaşık spiral sonsuz vidanın çizimi, alın kesidinde doğru spiral sonsuz vidanın çizimidir.
Şekil 2.4 : Spiral sonsuz vida
ZE Profil Şekli (ZE-Sonsuz vidası, Evolvent sonsuz vida, Şekil 2.5)
Bu profil şeklinde yüzeyi meydana getiren doğru, sonsuz vida ekseni etrafındaki bir temel silindire γ eğim açısı altında teğet olur. Gerek alın kesitte ve gerekse normal g
kesitteki dişlerin profili, referans profili doğru kenarlı bir kremayer tarafından belirlenen bir evolventtir. Diş profilleri, bu nedenle evolvent profili helisel dişli alın çarkına uyar. N-N Normal profilindeki diş şekli, diş sayısı aşağıda belirtilen teorik alın çarkının profiline özdeştir.
1 3 0 cos v z z β =
Şekil 2.5 : Evolvent sonsuz vida
Eksenel kesitte profiller, benzer şekilde eğriseldir. İmalat, bağıntısına uygun olarak eksenden geçen kesit düzlemine;
1 . .cot 2 g g m r = z γ (2.1) uzaklığında ayar edilmiş, dönme eksenine göre, 90°-γg eğimindeki bir torna kalemi
kadar döndürülmesi ve αw imalat açısı kadar da eğik tutulması gerekir [18]. Çizelge 2.2, ZA ve ZN sonsuz vidaları için hesaplanacak büyüklükleri vermektedir.
Çizelge 2.2 : ZA ve ZN Sonsuz vidaları için hesaplanacak büyüklükler
2.3 Kavrama Durumları 2.3.1 Profil kavrama oranı
Bir sonsuz vida mekanizmasının kavrama durumu hakkında yaklaşık bir fikir edinebilmek için dişlerin kavrama durumu çarkın orta kesidinde (bkz. Şekil 2.6) incelenir; bu halde sonsuz vidanın kavrama durumu, bir kremayerle bir alın çarkının kavrama durumu gibi göz önüne alınabilir. Orta kesitte kavrama doğrusu, αam =αa0 eğiminde bir doğrudur.
2 g
z ≥ olan alttan kesilmesiz dişlilerde (Bölüm 2.3.2.’ye bak.) kavrama alanı için z
esas olan;
0 . cos
A a
EE =e α
bölümü, ortalama kavrama doğruları üzerinde, sınır durumlarda, EA noktasında
çarkın dış yarıçapı rA veya baş dairesi yarıçapı r ve E noktak2 sında sonsuz vidanın baş kenarı ile sınırlanır.
İSİM SEMBOL ve FORMÜL AÇIKLAMA
Normal kesitte yarı profil açısı
0
w n
ZN Sonsuz vidası
ZN Sonsuz vida çarkı
α α = − = − nm α 15 20 15 ...25 22, 5 25 ...35 25 35 30 m m m m için için için için γ γ γ γ < ° = ° = ° ° = ° = ° ° = ° > ° = ° Bkz. 2.7.5
Eksenel kesitte yarı profil açısı
w ZA Sonsuz vidası α = − tan tan cos nm am m α α γ = Ara mekanizmalarda 10 ...15 am α = ° °
İmalat açısı (Takım açısı)
w
α Alın kesitte ZA-diş formunun
açınımı için hesap büyüklükleri
. tan am.2 arc arc H λ ν ψ λ α π ψ = = Bkz. Şekil 2.4
Sonsuz vida kavrama bölgesi (helisine dik doğrultuda ölçülmek üzere) aşağıdaki uzunluktadır. Çizelge 2.3 ZE evolvent sonsuz vidası için hesap büyüklüklerini göstermektedir.
0 0
0
.cos .cos
cos .cos cos
A n n
a m m
EE α e α
α γ γ
≈ =
Çizelge 2.3 : ZE Sonsuz vidaları için hesap büyüklükleri
İSİM SEMBOL ve FORMÜL AÇIKLAMA
Diş başı yüksekliği
k n
h =m Bkz. 2.7.5
Diş dibi yüksekliği 1, 2
f n h = m Alın taksimatı 1 1 . . m sm s d t m z π π = = Alın modülü 1 sin n s m m m m d γ = =
Sonsuz vidanın eksenel
taksimatı = Sonsuz vida çarkının taksimat dairesindeki taksimat
.
. tan
a sm mt
=
m
π
=
t
γ
90 '° lik eksenler arası açı içinNormal taksimat
cos
nm n a m
t
=
m
π
=
t
γ
Normal modül .cos .sin
n m s m m =m γ =m γ Eksenel modülü . tan cos n s m m m m m γ γ = = Bkz. 2.7.2
Kavrama taksimatı te =tnm.cosαnm =tg Sonsuz vidanın orta dairesi çapı
1 . 1 .
m s F
d =m z =m z
Temel silindirin çapı
1 1 1 1 .cot tan . tan .cos g m g m g g m sm H d d d d γ γ γ π α = = =
Temel silindirlerde eğim açısı tan tan
. cos
cos cos .cos
g g sm g nm m H m d γ γ π α γ α γ = = = Temel silindirde taksimat . .cos
g g e
Çizelge 2.3 (devam): ZE Sonsuz vidaları için hesap büyüklükleri
Ortalama kavrama oranı ε aşağıdaki bağıntıdan bulunur: m
2
m 0 0
Kavrama kıtası e =
Normal taksimat cos . cos .cos . A n a m a EE t t γ = α γ Bu bağıntıdan da : 2 2 2 2 2 02 0 02 02 0 0 2 0 ( .cos ) ( .cos ) sin cos .cos . k k a a a m a m a h r r r r t α α α ε γ − − − + = (2.2) elde edilir.
Evolvent sonsuz vida mekanizmasının ortalama kavrama oranının tayini, teorik diş sayısı 3
2/ cos
v m
z =z γ esas alınarak bir kremayerle eş çalışan bir
helisel alın dişli çarkta olduğu gibi yapılabilir. Şekil 2.6 orta kesitte olmak üzere trapez sonsuz vida (ZA) kavrama durumunu göstermektedir.
İSİM SEMBOL ve FORMÜL AÇIKLAMA
İmalat açısı= Normal kesitte referans profilin yarı profil açısı= Çarkın αn0 açısı w nm α =α = 15 20 15 ...25 22, 5 25 ...35 25 35 30 m m m m için için için için γ γ γ γ < ° = ° = ° ° = ° = ° ° = ° > ° = ° Bkz. 2.7.5
Eksenel kesitte ortalama imalat
açısı tan tan
cos w am am m α α γ = =
Alın kesitinde ortalama imalat
açısı tan tan
sin w sm sm m α α γ = =
Şekil 2.6 : Orta kesitte bir trapez sonsuz vidanın kavrama durumu 2.3.2 Alttan kesilme sınır diş sayısı
Küçük diş sayılarında, bazı durumlarda sonsuz vida çarkı frezesinin (azdırma freze) baş kenarı çark dişlerinde bir alttan kesilme, meydana getirebilir, bunun sonucu diş dibi zayıflar ve kavrama oranı küçülür. A l t t an kesilmenin ancak önlenebildiği diş sayısı sınır diş sayısı zg olup, diş başı keskin kenarlı olan azdırma frezede
aşağıdaki bağıntıdan elde edilir:
0 0 . .sin sin . 2 g a kw a z m h CN m α α = = 2 0 .2 sin . kw g a h z m α = (2.3) Bu sonuç aşağıdaki Şekil 2.7 ile anlatılmaya çalışılmıştır.
Şekil 2.7 : Sınır durumda, sonsuz vida veya freze ile çarkın kavraması Şekil 2.7’de, zg =z2 ve şekil, orta kesitte gösterilmiştir,
k
h = sonsuz vidanın baş yüksekliği,
kw
h = azdırma frezenin baş yüksekliği ,
2 50
z > için, kavrama alanına uygun bir şekilde yer değiştirme amacıyla x= -1’e
kadar eksi bir profil kaydırma tavsiye edilir. 2.3.3 Profil kaydırma
Azdırma frezede herhangi bir değişiklik yapmadan, alın çarklarında olduğu gibi profil kaydırma yolu ile sonsuz vida çarkı düzeltilebilir [18].
Alttan kesilmeyi önlemek için gerekli profil kaydırma aşağıdaki değerde olmalıdır: 2 0 2 sin . . . 2 a kw z m x m=h − α (2.4) Verilen bir sonsuz vida çapı için belirli bir eksen uzaklığının elde edilmesi de benzer şekilde profil kaydırma ile sağlanabilir.
Eksen uzaklığının büyütülmesi artı profil kaydırma ile sağlanır, bunun için azdırma freze çark ortasından +x . m değeri kadar dışa kaydırılır (sivri tepeli diş teşekkülü ile sınırlı).
Eksen uzaklığının küçültülmesi için freze, çark ortasına doğru yaklaştırılır = - x . m kadar eksi profil kaydırma (alttan kesilmeye dikkat edilmelidir).
Eksenler arası uzaklık:
2. 1 . 2 m z m d a= + +x m (2.5) x değeri yerine konulurken (+ veya —) işaretine dikkat edilmelidir.
Diş başı dairesi çapı:
2 ( 2 2 ). 2 2
k k
d = z + x m+ h
(2.6) Bu olayı Şekil 2.8’de inceleyebiliriz.
Şekil 2.8 : Pozitif profil kaydırmalı, sonsuz vida çarkı (orta kesitte gösterilmiştir) 2.4 Diş Kuvvetlerin Hesabı
Sonsuz vidaya etkiyen kuvvetler detaylı olarak şekillerin yardımıyla da gösterilecektir.
Semboller ve kullanılan birimler şöyledir:
N
F = Diş kuvveti = normal kuvvet [daN], u1
F = Sonsuz vidanın ortalama dairesindeki çevre kuvveti = sonsuz vida çarkının eksenel kuvveti [daN],
u2
F = Sonsuz vida çarkının- taksimat dairesindeki çevre kuvveti = sonsuz vidanın eksenel kuvveti [daN],
a
F = Sonsuz vidanın eksenel kuvveti [daN], r
F = Radyal kuvvet [daN], 1
n = Sonsuz vidanın devir sayıları, [d/dak], 2
n = Çarkın devir sayıları [d/dak], u1
V = Sonsuz vidanın taksimat dairesi üzerindeki çevre hızı [m/s], u2
V = Sonsuz vidanın çarkının taksimat dairesi üzerindeki çevre hızı [m/s], W= Kayma hızı [m/s],
µ =Sürtünme kat sayısı, ρ =Sürtünme açısı (derece], η =Verim-genel,
d
M =Döndürme momenti [daNcm].
Sonsuz vida mekanizmalarında güç ileten profil olarak, C noktasında diş profiline dik αnm =αn0 normal kavrama açısı altında etkiye diş normal kuvveti F N alınabilir.
N
F diş kuvveti birbiri üzerinde kayan diş yüzeyleri arasındaki normal kuvvet olarak
bir sürtünme direnci oluşturduğundan bir güç kayı doğurur.
Sürtünme direnci, sonsuz vidanın ortalama taksimat dairesi üzerinde C noktasında,
m
γ helis eğim açısı altında etkiyen .µ FN sürtünme kuvveti yardımıyla hesaplanır.
0
cosαn ≈1ve µ =tanρ olarak alınarak, döndüren bir sonsuz vidanın ortalama dairesi üzerindeki çevre kuvveti aşağıdaki bağıntı ile elde edilir:
1 sin .cos . . tan ( ) cos .sin m m u a a m m m F F γ µ γ F γ ρ γ µ γ + = = + − (2.8)
Şekil 2.9 : Sonsuz vidadaki kuvvetlerin dağılımı
Döndüren sonsuz vida çarkı olması halinde, bir sonsuz vida döndürme momentinin elde edilmesi için, aşağıdaki çark çevre kuvveti gereklidir:
2 1.cot ( ); 1 cot ( ) a u a u m u m F F F F γ ρ F γ ρ = = − = − (2.9) Sonsuz vida çarkının taksimat dairesindeki F u2 çevre kuvveti, sonsuz vidanın
a
F eksenel kuvvetine eşit büyüklükte ve zıt yöndedir.
Genel bağıntılar:
Döndüren sonsuz vida ise;
2 1 1 2 02 02 2. d 2. d . . 2 . d . u M M i M F d d H η π η = = =
Verilen döndürme momentleri veya güçler için, verim değeri göz önüne alınarak; dişlilere etkiyen sonsuz vida çarkının çevre kuvveti F u2 çeşitli durumlar için hesaplanabilir.
Döndüren sonsuz vida ise: η η η1= F. L1 4 1 1 1 1 2 02 02 1 2. . . 19, 5.10 . . . . d u M i P i daN cm F d d n kW dak η η = = (2.10) 4 2 2 2 02 2 02 2 2 2. 19, 5.10 . . . . . . d u L L M P daN cm F d η d n η kW dak = = (2.11) Döndüren sonsuz vida çarkı ise;
4 2 2 2 2 2 02 02 2 2. . . 19, 5.10 . . . . d L L u M P daN cm F d d n kW dak η η ′ ′ = = (2.12) 4 1 1 2 02 2 2 02 1 2 1 2. . . 19, 5.10 . . . . . . d u F L F L M i P i daN cm F d η η d n η η kW dak ′ ′ = = (2.13) Burada; döndüren sonsuz vida, sağ helis, dönme yönü soldan bakıldığında saat ibresi yönündedir.
Sonsuz vidanın, ortalama dairesi üzerindeki çevre hızı:
1 1 1 1 . . . / 1910 m u d n m V cm d dak s = (2.14) Diş yüzeylerinin kayma hızı:
1 cos u m V W γ = (2.15)
Şekil 2.10 : Kuvvetlerin yatak yerlerindeki dağılımı 2.4.2 Yatak kuvvetlerinin tayini
Helis yönüne, dönme yönüne, tahrik şekline (döndüren veya döndürülen sonsuz vida) ve yatakların tertip şekline göre C noktasını etkileyen; F Fa, u1,Fr kuvvetleri, farklı
büyüklük ve doğrularda yatak yerlerine dağılır.
Sonsuz vidanın eksenel yatak yükü için; Eksenel kuvvet F a ve sonsuz vida çarkının
eksenel yatak yükü için, sonsuz vida çevre kuvveti F u1 esas alınır.
Radyal yatak yükü FL‘nin büyüklüğü ve yönü ise aşağıdaki durumlarda gösterildiği
üzere helis yönü, dönme yönleri ve yatak konumlarına göre tayin edilir.
Şekil 2.11 : Sağ helisli sonsuz vidada kuvvetlerin yönleri Şekil 2.11, 2.12 ’de gösterilen durumlar için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir : Parantez içlerindeki işaretler, helis yönüne, dönme yönüne ve tahrik şekline (döndüren veya döndürülen sonsuz vida) bağlıdır.
01 01 1 02 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 . . . . ; ; ; ; . . . . ; ; ; ; . . . . ; ; ; ( ) a a u u
Ia IIa IIIa IVa
r IV
r II r I r III
Ir IIr IIIr IVr
u II u I u IV u III
Iu IIu IIIu IVu
L Iu Ia Ir LII II F r F r F r F r F F F F l l l l F l F l F l F l F F F F l l l l F l F l F l F l F F F F l l l l F F F F F F = = = = = = = = = = = = = + ± = 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) u IIa IIr
LIII IIIu IIIa IIIr LIV IVu IVa IVr
F F
F F F F F F F F
+ ±
= + ± = + ±
(2.16) Şekil 2.11-2.12 yatak kuvvetlerinin yönünü helis yönüne, dönme yönüne ve tahrik şekline (döndüren veya döndürülen sonsuz vida) bağlı olarak tayini.
Dolu çizgi şeklindeki ok: Döndüren sonsuz vidayı,
Şekil 2.12 : Sol helisli sonsuz vidada kuvvetlerin yönleri
Sonuz vida sol helisli, dönme yönü soldan bakılınca saat ibresi yönünde, Sonuz vida sol helisli, dönme yönü soldan bakılınca saat ibresi tersi yönünde
2.4.3 Güç kayıpları
Semboller:
İndis: 1: sonsuz vida için, 2: sonsuz vida çarkı için
′: Döndüren çark için V: kayıp güç için
L: sonsuz vida mekanizmasının diğer kayıpları için (Yatak ve çalkalama kayıpları, mil sızdırmazlıklarının sürtünmesi v.b. gibi)
P Dişliler tarafından iletilen güç
1
P Sonsuz vida milindeki toplam tahrik gücü (döndüren sonsuz vida)
2
P Çark milindeki faydalı güç (döndüren sonsuz vida)
2
P ′ Çark milindeki toplam tahrik gücü (döndüren çark), 1
P′ Sonsuz vida milindeki faydalı güç (döndüren çark)
V
