Öklit uzayında hiperyüzeylerin asimptotiklerini koruyan dönüşümler

ÖKLİT UZAYINDA HİPERYÜZEYLERİN

ASİMPTOTİKLERİNİ KORUYAN DÖNÜŞÜMLER

Matematikçi Yasemin ALAGÖZ

FBE Matematik Anabilim Dalı Matematik Programında Hazırlanan

DOKTORA TEZİ

Tez Savunma Tarihi : 06 Mart 2009

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Ziya SOYUÇOK (YTÜ)

Jüri Üyeleri : Prof. Dr. A. Göksel AĞARGÜN (YTÜ)

: Doç. Dr. Uğur DURSUN (İTÜ) : Prof. Dr. Aynur UYSAL (DOĞUŞ Ü) : Doç. Dr. Ayşe KARA (İTÜ)

i

ÖNSÖZ ... iii

ÖZET ... vi

ABSTRACT ... v

1. GİRİŞ ... 1

2. BİR HİPERYÜZEYİN ASİMPTOTİK ÇİZGİLERİNİN DENKLEMİ... 2

3. BİR HİPERYÜZEYİN ASİMPTOTİK ÇİZGİLERİNİ KORUYAN DÖNÜŞÜMLER ... 7

4. PROJEKTİF DÖNÜŞÜMÜN BİR KARAKTERİZASYONU ... 25

5. (Uras, F 1995)’ DEKİ HATALAR VE DÜZELTMELER... 32

6. SONUÇLAR ... 41

KAYNAKLAR... 42

ii

II Hiperyüzeyin 2. temel formu

N Hiperyüzeyin birim normal vektörü r Hiperyüzeyin yer vektörü

S Hiperyüzey

iii

Ayrıca çalışmam sırasında yanımda olan ve bana varlıklarıyla güç veren eşim ve aileme teşekkür ediyorum.

iv

ilgilendik. Öncelikle bu dönüşümlerin sağlaması gereken bir denklem sistemi elde ettik ve buna bir örnek olarak da projektif dönüşümün bu denklem sistemini sağladığını gösterdik. Daha sonra bu denklem sistemini sağlayan dönüşümleri araştırdık ve bu denklem sistemini sağlayan, projektif dönüşümden başka bir dönüşüm olmadığını gösterdik ve böylece projektif dönüşümün bir karakterizasyonunu elde ettik: n-boyutlu Öklit uzayında bir dönüşümün hiperyüzeylerin asimptotiklerini koruyabilmesi için gerek ve yeter koşul dönüşümün projektif dönüşüm olmasıdır. (Uras, F 1995) de 3-boyutlu Öklit uzayında benzer sonuçlar elde edilmiş fakat bu sonuçlar uzun hesaplamalar ve bazı hatalar içermektedir. Bu hatalar düzeltilmiş ve hesaplamalar daha kısa bir şekilde yapılmıştır.

v

In this thesis, we consider the transformations that transform the asymptotic lines of a hypersurface to the asymptotic lines of other hypersurface preserving the asymptotic lines of hypersurfaces in n-dimensional Euclidean space. Firstly, we obtain a system of equations which must be satsfied by the transformation, and as an example we show that the projective transformation satisfies this system. After that we search the transformation which must sutisfy this system. We show that only the projective transformation satisfies this system of equations, and we obtain the following characterization of the projective transformation: In n-dimensional Euclidean space, a transformation preserves the asymptotic lines of hypersurfaces if and only if it is the projective transformation. The similar results in 3-dimensional Euclidean space was obtained in (Uras, F 1995). But that paper contains very long calculations and some errors. Using our method we correct the errors in a short calculation.

1. GİRİŞ

Öklit uzayında projektif dönüşüm bazı ilginç özelliklere sahiptir. Örneğin, Lovett (1895/96), projektif dönüşümün aşağıdaki karakterizasyonunu elde etmiştir: Bir dönüşümün projektif olması için gerek ve yeter koşul herhangi bir doğruyu diğer bir doğruya dönüştürmesidir. 3-boyutlu Öklit uzayında, projektif dönüşüm sonsuz rijit bir yüzeyi diğer bir sonsuz rijit yüzeye dönüştürür, yani projektif dönüşüm sonsuz rijitliği korur (Efimov; Özkan ve Soyuçok, 1987). Projektif dönüşüm bir yüzeyin asimptotik çizgilerini de korur (Eisenhart, 1960). Uras (1995) bu problemin tersi ile ilgilenmiş ve 3-boyutlu Öklit uzayında asimptotik çizgileri koruyan dönüşümün bir projektif dönüşüm olduğunu göstermiştir. Fakat gözden kaçan bazı hatalardan dolayı bulunan dönüşüm özel bir projektif dönüşümdür. Bunun yanı sıra, çok uzun hesaplamalar olduğu için bu metodu kullanarak n-boyutlu Öklit uzayı için genelleştirme yapabilmek çok zor görünmektedir. Bu çalışmada n-boyutlu Öklit uzayında, hiperyüzeylerin asimptotiklerini koruyan, yani bir hiperyüzeyin asimptotiğini diğer bir hiperyüzeyin asimptotiğine dönüştüren dönüşümlerle ilgilendik ve bir dönüşümün hiperyüzeylerin asimptotiklerini koruması için gerek ve yeter koşulun dönüşümün projektif dönüşüm olması gerektiğini gösterdik. Böylece projektif dönüşümün yeni bir karakterizasyonunu elde ettik.

2. BİR HİPERYÜZEYİN ASİMPTOTİK ÇİZGİLERİNİN DENKLEMİ n-boyutlu Öklit uzayında lokal olarak bir hiperyüzeyi, uzayın metriği

   

…

 

n ds2  dx1 2 dx2 2  dx 2 (2.1) olmak üzere,



, , n







, , n

 

, , , n



, , n



, , n





u1 u 1 x u1 1 u 1 x u2 1 u 1 x u1 u 1 r _  _{ }  _  _{ }  (2.2)

denklemiyle ifade edebiliriz.



, , , n



u u1 2 u 1

r  ’ nin 3. mertebeden diferansiyellenebilen bir fonksiyon olduğunu ve hiperyüzeyin r r_,1, ,_,2  teğet vektörlerinin lineer bağımsız vektörler olduğunu r_,n-1 varsayacağız. Burada





,i i, i 1, 2, ,n 1 u r r       (2.3) dır.

Hiperyüzeyin 1. ve 2. temel formu,





, , , 1, 2, , 1 ij r ri. j i j  n g (2.4) , . ij ij L r N (2.5) olmak üzere , i j i j ij ij Ig du du IIL du du (2.6) şeklindedir; r,ij ,ij i j u u 2_r r     (2.7) ile tanımlanmaktadır.

,i. 0,

r N (2.8)

1

N.N = (2.9)

dir.

Bir hiperyüzeyin asimptotiklerinin denklemi,





0 , 1,2, , 1

i j ij

L du du  i j  n (2.10)

ile verilir (Weatherburn, 1963). (2.2) hiperyüzeyi için , , , , , , , , , , , , ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n n x x x x x x x x x 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 r r r _{   }        (2.11) olduğundan (2.8) denklemi, , , , , , , , , , , , n n k k i i n n n n x x x x x x x x u x x x 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 A          _{  }    _ _{ } _ _{ }                (2.12) ve



N N1, 2, ,Nn



N  (2.13) olmak üzere, T AN _0 (2.14) şeklinde yazılabilir.





,i (x,i ,x,i , ,x,in), i 1,2, ,n 1 1 2

, , , , , , , , , det 0 n n n n n n n x x x x x x x x x 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1                 _{ }                (2.15)

dır. Buna göre (2.14) denkleminin açık şekli

, , , , , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1                                      (2.16) dır. Bu denklem sistemini de , , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1                                    (2.17)

şeklinde yazabiliriz. Bu sistemi Cramer yöntemiyle çözersek

 

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x N x x x x x x N x x x x x x N x x x x x N N x x x x x x x x x x x x 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1                                                 , , , , , , n n n n n x x x x x x 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1            (2.18) yani,

 

1n n n N N 1 1 1     _ (2.19)

bulunur. N N₂, ₃, , N_n1 değerleri de

 

 

1 1 n n n n n n n n n n N N N N N N 2 2 2 3 3 3 1 1        _    _      (2.20)

şeklinde yazılabilir. Burada i, Amatrisinin i. sütunun atılmasıyla elde edilen matrisin determinantı, yani, . . . . . . . . . . . . . . . det i i n i i n i i i n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1                      _{ }                      (2.21) dır. n k   2₁ 2₂ 2 (2.22)

olmak üzere (2.19) ve (2.20) den N birim normal vektörü

 





1 _{, , , 1} n n k 1 1 2 N_{    }  _ (2.23)

şeklinde elde edilir.





, , , , , , , n ij xij xij xij 1 2 r _{ } (2.24)

yi ve bulduğumuz N birim normal vektörünü (2.5) denkleminde yerine yazarsak





 

, , , 1 _{… n 1} n ij ij ij ij n L x x x k 1 1 2 1 2     _        _ (2.25)

, k k ij i j x x u u 2     (2.26) dır. Buna göre, , , , , , , , , , , , , det n ij ij ij ij n ij n n n n n x x x x x x x x kL x x x x 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1              _{ }                 (2.27) yazabiliriz.

Şimdi bir

S

hiperyüzeyi için parametreleri

, , , n n

u1x u1 2x2  u 1x1 (2.28)

şeklinde seçelim. Buna göre

S

hiperyüzeyinin denklemi



, , , n



_

, , , n , n



, , , n



_

x x1 2 x 1 x x1 2 x 1 x x x1 2 x 1

r _  _{ }  _  (2.29)

olur ve

S

hiperyüzeyi için (2.27) denklemi

 

, , 1 , , , 0 0 0 0 1 0 0 0 det 0 1 0 0 1 0 0 0 1 n ij n n n n ij ij n n x x kL x x x 1 2 1              _{ }                      (2.30) halini alır.

Buna göre

S

hiperyüzeyinin asimptotiklerinin diferansiyel denklemi (2.10) denkleminden

, 0

n i j ij

x dx dx  (2.31)

3. BİR HİPERYÜZEYİN ASİMPTOTİK ÇİZGİLERİNİ KORUYAN DÖNÜŞÜMLER

Şimdi n- boyutlu Öklit uzayında



1 2







:_ya _ya _{x x}, , ,_xn , _a1, 2, ,_n

T   (3.1)

koordinat dönüşümünü ele alalım. T ’ nin bir koordinat dönüşümü olması için 1 , 2 , , , , , , 1, 2, , ; b a b a b b b n b y y y a b n y x y     _{ }    _{  }   _          T _  (3.2)

nin elemanları sürekli ve

1 1 1 1 ,1 ,2 ,3 , 2 2 2 2 ,1 ,2 ,3 , ,1 ,2 , ,1 ,2 , ,1 ,2 ,3 , det n n n n n n n n n y y y y y y y y y y y y      _T T T _ T T T   _{ }       (3.3)

olmak üzere   olmalıdır. T ’nin 3. mertebeden diferansiyellenebilir olduğunu 0 varsayacağız.

Eğer T dönüşümü (2.29) denklemi ile verilen S hiperyüzeyine uygulanırsa







1 2 1 1 2 1







: a a , , n , n , , n , 1, 2, , y y x x x  x x x x  a n    T    (3.4)

elde edilir. O halde T dönüşümü S hiperyüzeyini *

S hiperyüzeyine dönüştürür ve S* hiperyüzeyinin denklemi,





* 1_{, ,}2 n1 _{( ( , ,}1 1 2 n 1_{, ( , ,}n 1 2 n 1_{)), ,} n_{( , ,}1 2 n 1_{, ( , ,}n 1 2 n1₎₎₎ x x x   y x x x  x x x x  y x x x  x x x x  r       (3.5) olur.

Bunun için _{S hiperyüzeyinin asimptotiklerinin denklemini bulalım.}* *

S hiperyüzeyi için öncelikle r_i*ver değerlerini bulalım:_ij*





* 1 1 2 2 , , , , , , , , , , , , n n n n n i  yiy xn i yiy xn i yiy xn i r _ (3.6) * 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( n n n n n, , n n n n n n n n n n) ij  yijy xin jy xnj i y x xnn i jy xn ij yij y xin jy xnj i y x xnn i jy xn ij r _ (3.7) dır. Bu değerlerle, (3.4) ten



1 1 2 2 3 3



, , , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n n i yi y xn i yi y xn i yi y xn i yi y xn i       T _ (3.8)



1 1 1 1 1



, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n n n n n n n n n n n ij yij y xin j y xnj i y x xnn i j y xn ij yij y xin j y xnj i y x xnn i j y xn ij           T _ (3.9)

elde edilir. Şimdi * * ,ij

k L değerini hesaplayabiliriz. Buna göre S hiperyüzeyi için, (2.27) *

denkleminden 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 1 ,1 , ,1 ,1 , ,1 * * 1 1 , ,2 , ,2 ,2 , ,2 1 1 , 1 , , 1 , 1 , , 1 n n n n n n n n n n n n n n n ij in j nj i nn i j n ij ij in j nj i nn i j n ij n n n n n n n n n n ij n n n n n n n n n n n n y y x y x y x x y x y y x y x y x x y x y y x y y x k L y y x y y x y _ y x _ y _ y x _                       (3.10)

bulunur. (3.10) un sağ yanını

1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 1 ,1 , ,1 ,1 , ,1 1 1 ,2 , ,2 ,2 , ,2 1 1 , 1 , , 1 , 1 , , 1 n n n n n n n n n n n n n n n ij in j nj i nn i j n ij ij in j nj i nn i j n ij n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y y x y x y x x y x y y x y x y x x y x y y x y y x y y x y y x y _ y x _ y _ y x _                B        (3.11) ile gösterirsek  T B B (3.12) olduğundan, (3.10)

* * ,ij k L  BT (3.13) yani, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , ,1 , ,1 , 1 , , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , 1 , ,1 , 1 , , 1 * * , , , , , , , n n n n n n n ij in j nj i nn i j n ij n n n n n n n n n n n ij in j nj i nn i j n ij n n n n ij n n n n n ij in j nj i n y y x y x y x x y x y y x y y x y y x y x y x x y x y y x y y x k L y y x y x y                           , , , , ,1 , ,1 , 1 , , 1 n n n n n n n n n n n nx xi jy xn ij y y xn  yn y xn n (3.14)

şeklinde yazabiliriz. Bunu da,

1 1 1 1 1 1 ,1 , ,1 ,2 , ,2 , 1 , , 1 2 2 2 2 2 2 ,1 , ,1 ,2 , ,2 , 1 , , 1 ,1 ,2 , 1 1 1 1 1 ,1 , ,1 ,2 , ,2 ,1 , ,1 ,2 , ,2 , , , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x y y x                  _   _  _                          _   _      T  T   T 1 1 , 1 , , 1 , 1 , , 1 n n n n n n n n n n n n n y y x y y x                     _     (3.15) ve 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n ij in j nj i nn i j n ij n n n n n ij in j nj i nn i j n ij ij n n n n n n n n n n ij in j nj i nn i j n ij n n n n n n n ij in j nj i nn i y y x y x y x x y x y y x y x y x x y x y y x y x y x x y x y y x y x y x x                       T  , , , n n n j y xn ij              _    (3.16)

olmak üzere, kısaca





* *

,ij ,1 ,2 ,n 1 ,ij , , 1, 2, , 1

k L  T T  T_ T i j  n (3.17)

şeklinde yazabiliriz. Burada

, , , ,, , , , , , , , , , , , n n n n n n i i nxi ij ij inxj njxi nnx xi j nxij          T T T T T T T T T (3.18) ve

1 , 2 2 , , , , , ij a ij a ij ij i j n ij y y y y x x y     _{ }    _{  }  _           T  (3.19) dır.

(3.17) denklem sistemini i için aşağıdaki şekilde yazabiliriz:j

1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , * * , ,1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 1 1 1 1 ,1 , , 1 , 2 2 2 2 ,1 , , 1 , ,1 , , n ii n n ii n ii n n ii n ii n n n n n n n n n ii n n ii n n ii n n ii n n n y y y y y y y y y y y y y y y y k L x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y                                    1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , ,2 , 2 1 , ,1 ,2 , , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 2 , , ,1 ,2 , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 2 , , , 1 ,1 ,2 , 2 , , 2 n n ii n n ii n n n n n n n n n n n ii n n ii n n ii n n n ii n n n n n n n n n ii y y y y y y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y                  _{     }            1 1 1 , 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,1 ,2 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , , ,1 , , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , 2 2 in n in n i n n n n n in n n in n n in n n in n n n n in i n n n n n n n n n n in n n in y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y                                  ,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , , , 2 , , 1 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , 2 2 n n i n n in n n in n n in n n n n in n n i n i n n n n n n n n n n n n n in n n in x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y y y y y y y y y y                               

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , , , ,1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 1 1 1 1 ,1 , , 1 , 2 2 2 2 ,1 , , 1 , ,1 , n nn n n nn n nn n n n nn n n i i n n n n n n n n n nn n n nn n n nn n n nn n n n y y y y y y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y                                  

 

 

 

1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , 2 2 2 2 2 2 _{,1 ,2 , , 1 ,} 2 , ,2 , , 2 , 1 , ,1 ,2 , , 1 , 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 2 , , 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 2 , , , , ,1 ,2 , 2 , , n n nn n n nn n n n n i i n n n n n n n n n nn n n nn n n nn n n nn n i n n n n n n n n nn y y y y y y y y y y x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y y y y y                _{     }           1 1 1 1 ,1 ,2 , 1 , 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , 1 , ,1 ,2 , 1 , n n n n n n ii n n n n n n y y y y y y y y x y y y y             (3.20) veya * , ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , ,1 ,1 , , 1 , ,2 ,1 ,2 , , 1 , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , 1 ,1 ,2 , 1 , , , ,2 , 1 , , ,1 ,1 , , 1 , , ,2 ,1 2 2 2 2 n ii n ii n n ii n n n n ii n n ii n n n n n ii n n in i n n n n n n in i n n in i k L x x x x x x x x x                      T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T          

 

 

 

 

 

,2 , , 1 , , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , , 1 2 2 ,1 ,2 , 1 , , , ,2 , 1 , , ,1 2 2 ,1 , , 1 , , ,2 ,1 ,2 , , 1 , , , 2 2 ,1 ,2 , 2 , , , , 1 , 2 n n n n n n in i n n n in i n n n n n nn i n n nn i n n n n n n nn i n n nn i n n n n n nn i n i x x x x x x x x x x x x x x                     T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T         n i (3.21) şeklinde gösterebiliriz. Aynı işlemleri i için yaparsak, yani j k L yi hesaplarsak, * *_,ij

1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , * * , ,1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 1 1 1 1 ,1 , , 1 , 2 2 2 2 ,1 , , 1 , ,1 , , n ij n n ij n ij n n ij n ij n n n n n n n n n ij n n ij n n ij n n ij n n n y y y y y y y y y y y y y y y y k L x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y                                    1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , ,2 , 2 1 , ,1 ,2 , , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 2 , , ,1 ,2 , 1 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 2 , , , 1 ,1 ,2 , 2 , , n n ij n n ij n n n n n n n n n n n ij n n ij n n ij n n n ij n n n n n n n n n ij y y y y y y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y                  _{     }            1 1 , 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,1 ,2 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , , ,1 , , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , nj n nj n i n n n n n nj n n nj n n nj n n nj n n n n nj n i i n n n n n n n n n n nj n n nj y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y y y y y y y y                                  ,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , , , 2 , , 1 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , 2 , , 1 1 1 ,1 ,2 , 1 n n n nj n n nj n n nj n n n n nj n n i n i n n n n n n n n n n n n n nj n n nj n y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y y y y y y y y y y y y y y                                  1 1 1 1 1 , , ,2 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , , , ,1 ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , 1 1 1 1 ,1 , , 1 , 2 2 2 2 ,1 , , 1 , , ,2 ,1 , , 1 , in n n in n in n n n in n n j j n n n n n n n n n in n n in n n in n n in n j n n n n n n in y y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y y y y y y y y x x y y y y                                  1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , , , 2 ,1 ,2 , , 1 , n n in n n in n n n j n n n n n n n n in y y y y y y y y y y x x y y y y y          _{     } 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 2 , , ,1 ,2 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 2 , , ,1 ,2 , 1 , , , 1 , , ,1 ,2 , 2 , , ,1 ,2 , 1 , 1 1 1 1 , ,2 , 1 , 2 2 2 , ,2 , 1 , n n in n nn n n in n n n nn n n j n i j n n n n n n n n n n n in n nn n n nn n n y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y                               1 1 1 1 ,1 , , 1 , 2 2 2 2 2 ,1 , , 1 , , , ,1 , , ,2 , ,2 , 1 , ,1 , , 1 , 1 1 1 1 1 ,1 ,2 , , 1 , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 , , 1 , n n nn nn n n n n n nn n n n i j i j n n n n n n n n n n nn n n nn n n nn n n nn n n n n n n n nn y y y y y y y y x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y             _                      1 1 1 1 1 ,1 ,2 , 2 , , 2 2 2 2 2 ,1 ,2 , 2 , , , , , 2 , , , 1 ,1 ,2 , 2 , , 1 1 1 1 ,1 ,2 , 1 , 2 2 2 2 ,1 ,2 , 1 , , ,1 ,2 , 1 , n n nn n n nn n n n n n n i j n i j n n n n n n n n nn n n n n n ij n n n n n n y y y y y y y y y y x x x x x y y y y y y y y y y y y y x y y y y                            (3.22) de ederiz. Bu sistemi de kısaca

* , ,1 ,2 , 1 , , ,2 , 1 , ,1 ,1 , , 1 , ,2 ,1 ,2 , , 1 , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , 1 ,1 ,2 , 1 , , , ,2 , 1 , , ,1 ,1 , , 1 , , ,2 ,1 ,2 n ij n ij n n ij n n n n ij n n ij n n n n n ij n n nj i n n n n n n nj i n n nj i k L x x x x x x x x x                      T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T            , , 1 , , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , , 1 ,1 ,2 , 1 , , , ,2 , 1 , , ,1 ,1 , , 1 , , ,2 ,1 ,2 , , 1 , , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , , 1 ,1 ,2 , 1 , n n n n n n nj i n n n nj i n n n n n in j n n in j n n n n n n in j n n in j n n n n n in j n n x x x x x x x x x x x x x                     T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T         , , , ,2 , 1 , , , ,1 ,1 , , 1 , , , ,2 n n nn i j n n n n n n n n nn i j n n nn i j x x x x x x x x       T T _ T T T T _ T T _

,1 ,2 , , 1 , , , , 2 ,1 ,2 , 2 , , , , , 1 , n n n n n n n n nn i j n n n nn i j n n ij x x x x x x x        T T  T T T T T  T T T (3.23) şeklinde yazabiliriz. (3.21) denklemini,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* * , 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 , 2 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 , , 2 n n n ii n n n n n n n n i n n n n n n i n ii k L ii ii x ii x ii x in in x in x in x x nn nn x nn x nn x x x                                             (3.24) ve (3.23) denklemini de

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* * , 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 , 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 , 0 1 ,1 2 ,2 1 , 1 , , , n n n ij n n n n n n n n j n n n n n n i n n n n n n n i j n ij k L ij ij x ij x ij x in in x in x in x x jn jn x jn x jn x x nn nn x nn x nn x x x x                                                           (3.25)

şeklinde yazabiliriz. Burada ₀

 

ab ,  determinantının n. sütununun yerine T nin _,ab

konulmasıyla elde edilen determinanttır. _k

 

ab ise  determinantının n. sütununun yerine

,ab

T ve k. sütununun yerine T nin konulmasıyla elde edilen determinanttır.,n Örneğin,

 

2 44 ,1 ,n ,3 ,n1 ,44   T T T _ T T (3.26) dır. *

S hiperyüzeyinin asimptotik çizgilerinin denklemi, (2.10) denklemine göre

*

, 0

i j ij

şeklindedir.

T dönüşümü ile S hiperyüzeyinin asimptotik çizgilerine *

S hiperyüzeyinin asimptotik

çizgilerinin karşı gelmesini istiyoruz. O halde *

,ij ,ij

L tL (3.28)

olmalıdır. Bu takdirde (3.27) denklemi (2.31) denklemine dönüşür ve koşulumuz, t 1_{, , ,}2 n1

x x  x değişkenlerinin bir keyfi fonksiyonu olmak üzere





* , , , , 1, 2, , 1 n ij ij L tx i j  n (3.29)

şeklini alır. Buna göre * , , n ii ii L tx (3.30) ve





* , , , n ij ij L tx i j (3.31) dır.

(3.29) denklemi ile verdiğimiz koşulumuzun sağlanabilmesi için (3.24) ve (3.25) denklemlerinde , , . ,n . n ii ij x x   (3.32)

ler hariç diğer katsayıların sıfır olması gerekir yani,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, , 0, 2 0, 2 0, n i i n i i n i i nn nn nn ii ii ii ii ii in in in in in ii in nn in                                               (3.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, i i j j n i i n j j n n i j ij ij ij ij ij ij ij in in in in in jn jn jn jn jn nn nn nn ij jn ij i                                                                   

 

 

 

 

0 0, 0, i j n nn in jn        (3.34) olmalıdır. Yukarıda görüldüğü gibi (3.33) ve (3.34) de tekrarlanan denklem sistemleri vardır. Bunları ayıklarsak (3.33) ve (3.34) ü aşağıdaki gibi yazabiliriz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1) 0, 0, , 0, 2) 0, 0, , 0, 0, , 0, 3) 0, 0, , 0, 0, , 0, 4) 0, 0, , 0, 0, , 0, 0, , 0, 5) 2 n i i n i i n i i j j n i nn nn nn ii ii ii ii ii in in in in in ij ij ij ij ij ij ij ii in                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0, 6) 2 0, 7) 0, 8) 0, 9) 0. i i j i j nn in ij jn ij in nn in jn                    (3.35) Burada, önce

 

 

 

1 2 1 1) nn  0, nn 0, , n nn 0, (3.36)

denklem sistemini çözelim. Bu sistemi

, ,2 ,3 , 1 , ,1 , ,3 , 1 , ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , 0 0 0 0 n n nn n n nn n n nn n nn        T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T      (3.37)

şeklinde yazabiliriz. Bu denklemlerin her birinden T , lineer bağımsız _,nn T T,1, ,2, , T,n vektörleri cinsinden 1 1 1 1 , 1 , 2 ,2 3 ,3 1 , 1 2 2 2 2 , 1 ,1 2 , 3 ,3 1 , 1 3 3 3 3 , 1 ,1 2 ,2 3 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , nn n n n nn n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a                                T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T      (3.38) şeklinde yazılabilir. Buradan da 1 ,nna1 ,n T T (3.39) elde edilir. 1 1 2 n a  A (3.40) denirse ,nn2An ,n T T (3.41) olur.

 

 

 

 

 

0 1 1 1 1 2) ii  0, ii 0, , _i ii  0, _i ii 0, , _n ii 0, (3.42) denklem sistemini de ,1 ,2 ,3 , 1 , , ,2 ,3 , 1 , ,1 , ,3 , 1 , ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , , 1 , 1 , 0 0 0 0 0 n ii n n ii n n ii n n ii n i i n ii            T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T       

,1 ,2 ,3 , 1 , , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , 2 , , 0 0 0 i i n n ii n n ii n n ii        T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T      (3.43) şeklinde yazabiliriz.

Yine T T_,1, _,2, , T_,n’ler lineer bağımsız T lineer bağımlı olduğu için (3.43) deki her bir _,ii denklemde T , lineer bağımsız _,ii T T_,1, _,2, ,_ T_,n vektörleri cinsinden

0 0 0 0 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , 1 1 1 1 1 , 1 , 2 ,2 3 ,3 1 , 1 2 2 2 2 , 1 ,1 2 , 3 ,3 1 , 1 3 3 3 3 , 1 ,1 2 ,2 3 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , ii n n ii n n n ii n n n ii n n n i i i i ii i n i b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b                                        T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T       1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , i i i i i i n n i i i i i i i ii i i i i i n n n n n n n ii n n b b b b b b b b b b b b b                                          T T T T T T T T T T T T T T T T      (3.44)

şeklinde yazılabilir. Bu sistemin de çözümü 0 ,ii bi ,i T T (3.45) şeklindedir. Burada da 0 ₂ i i b  A (3.46) dersek ,ii 2Ai ,i T T (3.47) yazılabilir.

 

 

 

 

 

1 2 1 1 1 3) in  0, in 0, , _i in  0, _i in 0, , _n in 0, (3.48) denklem sistemini açık olarak

, ,2 ,3 , 1 , ,1 , ,3 , 1 , ,1 ,2 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , , 1 , 1 , ,1 ,2 ,3 , 1 , , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , 2 , , 0 0 0 0 0 0 0 n n in n n in n n in n i i n in i i n n in n n in n n in                 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T            (3.49)

şeklinde yazabiliriz. Bu denklemlerin her birinde T , lineer bağımsız _,in T T_,1, _,2, ,_ T_,n vektörleri cinsinden 1 1 1 1 , 1 , 2 ,2 3 ,3 1 , 1 2 2 2 2 , 1 ,1 2 , 3 ,3 1 , 1 3 3 3 3 , 1 ,1 2 ,2 3 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , , 1 , 1 1 , 1 , in n n n in n n n in n n n i i i i i i i in i n i i i i n n in c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                           T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T       1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , i i i i i i i i i i i i n n n n n n n in n n c c c c c c c c c c c                                T T T T T T T T T T T T     (3.50)

şeklinde yazılabilir. Bu sistemden de

1 1 ,inc1 ,nci ,i T T T (3.51) elde edilir.

 

0

 

5)_i ii  2 in 0 (3.52) denklemini ,1 ,2 ,3 , 1i ,n , 1i ,n1 ,ii 2 ,1 ,2 ,3 ,n1 ,in 0 T T T  T T T  T T T T T  T T (3.53)

şeklinde ifade edebiliriz ve bu denklemde (3.47) yi ve (3.51) i kullanırsak, yani ,ii 2Ai ,i T T (3.54) ve 1 1 ,inc1 ,nci ,i T T T (3.55)

değerlerini yerine yazarsak 1 1 i c  A (3.56) elde edilir.

 

 

0 6) nn  2 _i in 0 (3.57)

denklemini de açık olarak

,1 ,2 ,3 ,n1 ,nn 2 ,1 ,2 ,3 , 1i ,n , 1i ,n1 ,in 0

T T T  T T T T T  T T T  T T

(3.58) şeklinde yazabiliriz. Bu denklemde (3.41) ve (3.51) i yani,

,nn2An ,n T T (3.59) ve 1 1 ,inc1 ,nci ,i T T T (3.60)

değerlerini yerine yazarsak. 1

i n

c  A (3.61)

elde edilir. O halde

1 1

,inc1 ,nci ,i

T T T (3.62)

,in Ai ,nAn ,i T T T (3.63) şeklindedir.

 

 

 

 

 

 

 

0 1 1 1 1 1 1 4) ij  0, ij 0, , i ij  0, i ij 0, , j ij  0, j ij 0, , n ij 0, (3.64) denklem sistemini ,1 ,2 ,3 , 1 , , ,2 ,3 , 1 , ,1 , ,3 , 1 , ,1 ,2 ,3 , , , 1 , 1 , ,1 ,2 ,3 , 1 , , , 1 , ,1 ,2 ,3 , , , 1 , 1 , ,1 ,2 ,3 , 1 , , , 1 , , 0 0 0 0 0 0 0 n ij n n ij n n ij n i i n ij i i n n ij n j j n ij j j n n ij                   T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T               1 ,2 ,3 , , 1 , ,1 ,2 ,3 , 2 , , 0 0 n n ij n n ij     T T T T T T T T T T T   (3.65)

şeklinde açık olarak yazabiliriz.

,1, ,2, , ,n

T T _ T ’ler lineer bağımsız T_,ij lineer bağımlı olduğu için bu denklemlerin her birinde ,ij

T lineer bağımsız T T,1, ,2, , T,n vektörleri cinsinden

0 0 0 0 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , 1 1 1 1 1 , 1 , 2 ,2 3 ,3 1 , 1 2 2 2 2 , 1 ,1 2 , 3 ,3 1 , 1 3 3 3 3 , 1 ,1 2 ,2 3 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , ij n n ij n n n ij n n n ij n n n i i i i ij i n i d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d                                        T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T       1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 i i i i di i dn n           T T  T

1 1 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , , 1 , 1 1 , 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 i i i i i i i ij i i i i i n n n j j j j j j j ij j n j j j j n n j j j ij j d d d d d d d d d d d d d d d d d d                                                    T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T       1 1 1 1 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 1 1 1 , 1 ,1 2 ,2 3 ,3 1 , j j j j j i j j n n n n n n n ij n n d d d d d d d                       T T T T T T T T T    (3.66) şeklinde yazılabilir. Bu sistemden de 0 0 ,ij di ,idj ,j T T T (3.67) elde edilir.

 

0

 

7)_i ij   jn 0 (3.68) yani, ,1 ,2 ,3 , 1i ,n , 1i ,n1 ,ij  ,1 ,2 ,3 ,n1 ,jn 0 T T T _ T T T _ T T T T T _ T T (3.69) denkleminde ,jn Aj ,nAn ,j T T T (3.70) ve 0 0 ,ij di ,idj ,j T T T (3.71)

değerlerini yerine yazarsak 0

i j

d A (3.72)

 

0

 

8)_j ij   in 0 (3.73)

denkleminin açık ifadesi

,1 ,2 ,3 ,j1 ,n ,j1 ,n1 ,ij  ,1 ,2 ,3 ,n1 ,in 0 T T T  T T T  T T T T T  T T (3.74) yazılıp ,in Ai ,nAn ,i T T T (3.75) ve 0 0 ,ij di ,idj ,j T T T (3.76)

değerleri bu denklemde yerine yazılırsa 0

j i

d A (3.77)

elde edilir. Yani,

0 0 ,ij di ,idj ,j T T T (3.78) denklemi ,ij Aj ,iAi ,j T T T (3.79) olarak bulunur.

Böylece (3.33) ve (3.34) denklemlerinden A keyfi fonksiyonlar olmak üzere,_i

,ii 2Ai ,i T T (3.80) ,nn2An ,n T T (3.81) ,ij Aj ,iAi ,j T T T (3.82)

,ab Ab ,aAa ,b

T T T (3.83)

şeklinde gösterebiliriz.

Böylece aşağıdaki teoremi elde etmiş oluyoruz.

3.1. Teorem: Bir T dönüşümünün, Öklit uzayında yerel olarak verilen bir hiperyüzeyin asimptotiklerini koruması için, dönüşümün A A₁, ₂, , A_,n’ler keyfi fonksiyonlar olmak üzere,

,ab Ab ,aAa ,b

T T T (3.84)