E¸sanlı Denklem Modelleri

(1)

E¸sanlı Denklem Modelleri

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları

Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2011) E¸sanlı Denklem Modelleri (Sürüm 2,0)

(2)

Açık Lisans Bilgisi

˙I¸sbu belge, “Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported” (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur.

Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması ko¸sulu ile özgürce kullanılabilir, ço ˘galtılabilir ve de ˘gi¸stirilebilir.

Creative Commons örgütü ve “CC-BY-NC-SA” lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz.

A. Talha Yalta

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

(3)

Ders Planı

1 E¸sanlı Denklem Modellerinin Niteli ˘gi E¸sanlı Denklem Modelleri

Özde¸sleme Sorunu E¸sanlı Denklem Yanlılı ˘gı

2 Tek Denklemli Modellerde E¸sanlılık Araç De ˘gi¸skenler Yakla¸sımı E¸sanlılık Yanlılı ˘gını Saptamak

3 E¸sanlı Denklem Yöntemleri

˙Iki A¸samalı Enküçük Kareler Tahmini

(4)

Ders Planı

(5)

E¸sanlı Denklem Modelleri

¸

Simdiye kadar içinde yalnızca bir Y ba ˘gımlı de ˘gi¸skeni olan tek denklemli modelleri ele aldık.

Bir ya da birden fazla X açıklayıcı de ˘gi¸skeni içerebilen bu modellerde, nedenselli ˘gin yönü de tanımlı ve X ’ten Y ’ye do ˘gru idi.

Ancak, gerçek hayatta ço ˘gu zaman basit ve tek yönlü bir neden sonuç ili¸skisinden söz etmek do ˘gru de ˘gildir.

De ˘gi¸skenler arasındaki ili¸skinin iki yönlü oldu ˘gu bu gibi durumlarda açıklayıcı ve ba ˘gımlı de ˘gi¸sken ayrımı güçle¸sir.

˙I¸ste böyle durumlarda birden fazla Y ba ˘gımlı de˘gi¸skeninin farklı denklemler aracılı ˘gıyla tanımlandı ˘gı“e¸sanlı denklem”

(simultaneous equation) modellerinden yararlanılır.

(6)

E¸sanlı Denklem Modelleri

E¸sanlı denklem modellerinde birden fazla kar¸sılıklı ya da ortak ba ˘gımlı de ˘gi¸sken vardır ve bunlar arasındaki ili¸skiler birden fazla denklem kullanılarak anlatılır.

Önceki modellerin aksine, e¸sanlı denklem modellerindeki bir denkleme ait katsayıları do ˘gru tahmin etmek için di ˘ger denklemlerin verdi ˘gi bilgiyi de dikkate almak gereklidir.

Bu bölümde, e¸sanlı denklem modellerine örnekler verecek ve bu modellerin neden SEK yöntemi ile genellikle tahmin edilemeyece ˘gini gösterece ˘giz.

Tek denklemli modellerdeki e¸sanlılık sorununu çözmeye yönelik araç de ˘gi¸skenler yakla¸sımını inceleyecek ve buna ili¸skin sınama ve tahmin yöntemlerini de ele alaca ˘gız.

(7)

Gelir-Para Arzı Modeli Örne ˘gi

E¸sanlı denklemlere örnek olarak ¸su modeli gösterebiliriz:

Gelir i¸slevi: Yt = α₁+ α₂Mt + α₃Wt + α₄Πt +ut

Para arzı i¸slevi: Mt = β₁ + β₂Yt + β₃Et +vt

Burada

Y_t milli geliri, Mt para sto ˘gunu, Wt ücret ödemelerini, Π_t firma karlarını Et ise döviz kurunu göstermektedir.

Miktar kuramı ile toplam üretime gelir yakla¸sımının karı¸sımı olan modele göre, para arzı milli geliri belirleyicidir.

Di ˘ger yandan para arzı da merkez bankası tarafından gelir düzeyine ba ˘glı olarak belirlendi ˘gi için, Y ve M arasında iki yönlü bir ili¸ski bulunmaktadır.

(8)

Klein Model I Örne ˘gi

Daha kapsamlı bir örnek olarak, Lawrence Klein tarafından 1950 yılında geli¸stirilen Klein Model 1 sistemini ele alalım.

Tüketim i¸slevi: Ct = α₁ + α₂Π_t+ α₃Π_t−1+ α₄(Wt+St) +ut

Vergi i¸slevi: It = β₁ + β₂Π_t + β₃Π_t−1 + β₄Kt−1 +vt

Ücret i¸slevi: Wt = λ₁ + λ₂Yt + λ₃Yt−1 + λ₄t +_t Gelir tanımı: Yt = Ct + It + Gt

Kazanç tanımı: Π_t = Y_t − W_t − T_t Sermaye tanımı: K_t =K_t−1+ I_t

Bir makroekonominin nasıl i¸sledi ˘gini anlatan modeldeki ili¸skilerin çok yönlülü ˘gü dikkat çekicidir.

En üstteki üç denkleme“davranı¸ssal denklem”(behavioral equation) adı verilir. Bunlar, firma ve tüketiciler gibi iktisadi oyuncuların davranı¸slarının sonucunu gösterir.

Daha alttaki üç denklem ise hesaplamasal ili¸skileri anlatan tanımlardır.

(9)

Klein Model I De ˘gi¸skenleri

Altı e¸sanlı denklemden olu¸san Klein Model I sisteminde toplam 10 de ˘gi¸sken bulunmaktadır. Bunlar

Ct tüketim harcamaları, I_t yatırım harcamaları,

W_t özel sektör ücret ödemeleri, Yt toplam üretim,

Π_t firma karları, K_t sermaye sto ˘gu,

Gt kamu mal ve hizmet harcamaları, S_t kamu ücret ödemeleri,

T_t dolaylı vergiler ve

t zaman

¸seklindedir.

Günümüzde artık ça ˘gdı¸sı kalan bu do ˘grusal model, ABD makroekonomisinin ilk modeli olması açısından önemlidir.

(10)

E¸sanlı Denklem Modelinin Genel Gösterimi

E¸sanlı denklem modelinin genel gösterimi ¸söyledir:

Y_1i = α₁₁ + α₁₂Y_2i + · · · + α_1rY_ri+ β₁₁X_1i + · · · + β_1kX_ki+u_1i Y_2i = α₂₁Y_1i + α₂₂ + · · · + α_2rY_ri+ β₂₁X_1i + · · · + β_2kX_ki+u_2i

... ... ... ... ... ... ...

Y_ri = α_{r 1}Y_1i + α_{r 2}Y_2i + · · · + α_rr + β_{r 1}X_1i + · · · + β_rkX_ki +u_ri Burada

Y₁, . . . ,Yr ortak ba ˘gımlı de ˘gi¸skenleri, X₁, . . . ,X_k ba ˘gımsız açıklayıcı de ˘gi¸skenleri, u₁, . . . ,ur olasılıksal hata terimlerini

göstermektedir.

Y ve X ’lerin katsayıları sırasıyla α ve β ile gösterilmi¸stir.

(11)

˙Içtürel ve Dı¸stürel De˘gi¸skenler

E¸sanlı denklem modellerindeki X de ˘gi¸skenleri olasılıksal de ˘gildir. Bu de ˘gi¸skenler modelin dı¸sından geldikleri için bunlara“dı¸stürel”(exogenous) de ˘gi¸sken denir.

De ˘gerleri önceden belirlenmi¸s olmadı ˘gı için, ortak ba ˘gımlı de ˘gi¸sken Y ’ler olasılıksaldır. Model içinde tanımlanan bu de ˘gi¸skenlere“içtürel”(endogenous) de ˘gi¸sken adı verilir.

Model gelece ˘gi tahmin için kullanıldı ˘gında yalnızca içtürel de ˘gi¸skenler için de ˘ger üretir. Dı¸stürel de ˘gi¸skenler ise verili olmalıdır.

Bir de ˘gi¸skenin içtürel mi yoksa dı¸stürel mi olaca ˘gına karar vermek modeli belirten ki¸siye kalmı¸stır.

Bu noktada dikkatli davranılmalı, yapılan ayrım önsel ya da iktisat kuramı temelinde savunulabilmelidir.

(12)

Özde¸sleme Sorunu

E¸sanlı denklem modellerindeki de ˘gi¸skenlerin birden fazla denklemde yer aldıkları yetmezmi¸s gibi, ba¸slarındaki katsayılar farklı denklemlerde farklıdır.

Böyle karma¸sık bir yapı altında tahmin edilen denklemin hangi denklem, katsayının ise hangi katsayı oldu ˘gunu bilmek güçtür.

Bir denkleme ait katsayıların hesaplanıp hesaplanamayaca ˘gına ili¸skin olarak üç olasılık söz konusudur:

1 “Eksik özde¸sleme”(under identification): Bazı katsayıların de ˘geri hesaplanamamaktadır.

2 “Tam özde¸sleme”(exact identification): Her bir katsayı için tekil bir de ˘ger hesaplanabilmektedir.

3 “A¸sırı özde¸sleme”(over identification): Katsayıların biri ya da daha fazlası için birden çok de ˘ger söz konusudur.

(13)

Özde¸sleme Kuralları

Karma¸sık bir modelde katsayıları bulabilmek için yeterli bilgi olup olmadı ˘gını anlamak zor bir sürece dönü¸sebilir.

Bu i¸slemi kolayla¸stıran çe¸sitli özde¸sleme kuralları vardır.

Uygulamada, özde¸sleme de ˘gerlendirilirken genellikle“sıra ko¸sulu”(order condition) kuralına ba¸svurulmaktadır.

Sıra ko¸sulu

Toplam r denklemli modeldeki bir denklemin özde¸slenebilmesi için, denklemin bu modeldeki en az r − 1 de ˘gi¸skeni dı¸slaması gereklidir. Denklem e ˘ger tam olarak r − 1 de ˘gi¸skeni dı¸slıyorsa tam özde¸slemeli, r − 1’den fazla de ˘gi¸skeni dı¸slıyorsa da a¸sırı özde¸slemelidir.

Örnek olarak, ba¸staki gelir-para arzı modelinde iki denklem oldu ˘gu için her denklem bir de ˘gi¸sken dı¸slamalıdır. Demek ki gelir i¸slevi tam, para arzı i¸slevi ise a¸sırı özde¸slemelidir.

(14)

E¸sanlı Denklem Yanlılı ˘gı

E¸sanlı denklem modellerinin temel özelli ˘gi, bir denklemde ba ˘gımlı olan de ˘gi¸skenin di ˘ger bir denklemde açıklayıcı de ˘gi¸sken olabilmesidir.

Böyle içtürel açıklayıcı de ˘gi¸skenlerin en büyük sakıncası ise ba ˘glanım hata terimi ile genellikle ili¸skili çıkmalarıdır.

X ’lerin olasılıksal olmadı ˘gı varsayımının çi ˘gnenmesi anlamına gelen bu durumda SEK tahmincileri tutarsızdır.

Di ˘ger bir deyi¸sle, SEK tahmincileri yanlıdır ve bu yanlılık örneklem büyüklü ˘gü artsa bile ortadan kalkmaz.

(15)

Keynesçi Gelir Modeli Örne ˘gi

E¸sanlı denklem yanlılı ˘gını cebirsel olarak göstermek için a¸sa ˘gıdaki basit Keynesçi gelir modelini ele alalım.

Tüketim i¸slevi: C_t = β₁+ β₂Y_t +u_t Gelir tanımı: Y_t =C_t +S_t Burada

C_t tüketim harcamasını, Y_t geliri,

St de tasarrufu göstermektedir.

β₁>0 ve 0 < β₂<1 ise otonom tüketimi ve marjinal tüketim e ˘gilimini anlatan anakütle de ˘gi¸stirgeleridir.

C_t ve Y_t’nin kar¸sılıklı ba ˘gımlı oldukları görülmektedir.

(16)

Hata Teriminin Y ile ˙Ilintili Olması

˙Ilk olarak elimizdeki modelde Yt’nin hata terimi ile ilintili oldu ˘gunu gösterelim.

Tüketim i¸slevini gelir özde¸sli ˘ginde yerine koyarsak ¸sunu buluruz:

Y_t = β₁+ β₂Y_t +u_t +I_t Yt = β₁

1 − β₂ + 1

1 − β₂It + 1 1 − β₂ut

E (u_t) =0 varsayımından ve I_t’nin önceden belirli oldu ˘gu için beklenen de ˘gerinin kendisine e¸sit olma özelli ˘ginden yararlanarak ¸sunu elde ederiz:

E (Yt) = β₁

1 − β₂ + 1 1 − β₂It

(. . . devam)

(17)

Hata Teriminin Y ile ˙Ilintili Olması

Yukarıdaki üçüncü denklemi ikinciden çıkartalım.

Y_t − E(Y_t) = ut

1 − β₂

E (ut) =0 oldu ˘guna göre ut − E(ut) =ut diyebiliriz.

Buna göre Y_t ve u_t arasındaki kovaryans ¸söyledir:

cov(Y_t,u_t) = E ([Y_t − E(Yt)][u_t − E(ut)])

= E (u²_t) 1 − β₂

= σ²

1 − β₂

0 < β₂<1 ve σ²>0 oldu ˘gu için cov(Y_t,u_t)sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda hata teriminin ba ˘gımlı de ˘gi¸sken ile ilintisiz oldu ˘gu yönündeki SEK varsayımı çi ˘gnenmi¸s olur.

(18)

De ˘gi¸stirge Tahminlerinin Yanlı Olması

˙Ikinci olarak Y_t ve ut arasındaki ilinti nedeniyle de ˘gi¸stirge tahminlerinin yanlı oldu ˘gunu göstermek istiyoruz.

Bunun için ˆβ₂formülünü anımsayalım:

βˆ₂ = P c_tyt

P y_t²

= P C_ty_t P y_t²

Alı¸sık oldu ˘gumuz gibi, küçük harfler burada ortalamadan sapmaları göstermektedir.

Formül ikili ba ˘glanım konusunda gördü ˘gümüz ile aynıdır.

Tahmin edilen ¸sey tüketim i¸slevi oldu ˘gu için Ct’nin ba ˘gımlı, Yt’nin ise açıklayıcı de ˘gi¸sken oldu ˘guna dikkat ediniz.

(. . . devam)

(19)

De ˘gi¸stirge Tahminlerinin Yanlı Olması

¸

Simdi, ˆβ2formülündeki C_t yerine bunun tüketim i¸slevindeki e¸sitini koyalım:

βˆ2 = P(β₁+ β2Y_t+u_t)y_t P y_t²

= β2+P y_tu_t P y_t²

Dikkat:Yukarıdaki ikinci adımdaP Y_ty_t/P y_t²=1 ve P y_t =0 özelliklerinden yararlanılmı¸stır.

Her iki yanının beklenen de ˘gerini alırsak ¸sunu buluruz:

E ( ˆβ2) = β2+E P y_tu_t P y_t²

Beklenen de ˘ger i¸slemcisi do ˘grusal oldu ˘gu için en sa ˘gdaki terimi de ˘gerlendiremiyoruz. Ancak açıkça görülüyor ki P y_tu_t terimi sıfır olmadıkça ˆβ₂yanlı bir tahmin edicidir.

(20)

De ˘gi¸stirge Tahminlerinin Tutarsız Olması

E¸sanlılık altında tahminlerin tutarsız oldu ˘gunu göstermek için, bulmu¸s oldu ˘gumuz E (β₂)formülünden yola çıkıyoruz:

E ( ˆβ₂) = β₂+E P y_tu_t P y_t²

Yukarıda görülenP y_tu_t bir örneklem kavramıdır. Bu terim bir anakütle kavramı olan cov(Y_t,u_t)ile yakından ili¸skilidir ancak ona e¸sit de ˘gildir.

Bu nedenle Yt ile ut’nin ilintili oldu ˘gunu, di ˘ger bir deyi¸sle cov(Y_t,u_t) 6=0 e¸sitsizli ˘gini göstermi¸s olsak daP y_tu_t 6= 0 diyemiyoruz.

Bir tahmincinin beklenen de ˘geri kesin olarak bilinemedi ˘gi zaman dikkatler bunun kavu¸smazsal de ˘gerine yöneltilir.

Bunun için ise“olasılık sınırı”(probability limit), kısaca

“plim”kavramından yararlanılır. (. . . devam)

(21)

De ˘gi¸stirge Tahminlerinin Tutarsız Olması

E ( ˆβ2)formülünün her iki yanının olasılık sınırını alalım.

plim( ˆβ₂) =plim(β₂) +plim P ytut

P y_t²

Örneklem büyüklü ˘gü sonsuza giderkenP y_t²/n = var(y_t) olur. Benzer ¸sekildeP y_tut/n = cov(yt,ut)olur.

var(y_t) = σ²_Y ve daha önce buldu ˘gumuz cov(y_t,u_t) = _1−β^σ² e¸sitliklerini kullanarak ¸sunu yazabiliriz: 2

plim( ˆβ₂) = plim(β₂) +plim(P ytut/n) plim(P y_t²/n)

= β₂+ σ²/(1 − β₂) σ_Y²

0 < β₂<1 ve σ², σ²_Y >0 oldu ˘guna göre, ˆβ2gerçek β₂’yi oldu ˘gundan büyük tahmin etmektedir. Demek ki ˆβ2yanlıdır ve örneklem büyüse de yanlılık ortadan kalkmamaktadır.

(22)

Ders Planı

(23)

Tek Denklemli Modellerde E¸sanlılık

E¸sanlı denklem modellerinin temel özelli ˘ginin birden fazla nedensel ba ˘glantıyı anlatan birden fazla denklemden olu¸smaları oldu ˘gunu biliyoruz.

Uygulamada ise sistemi bütün olarak ele almak yerine yalnızca bir denkleme odaklanan tek denklem yöntemleri sıkça kullanılır.

Denklem sisteminin sakıncası, bir denklemde yanlı¸s i¸slev biçimi kullanıldı ˘gında bunun di ˘ger denklemlere ta¸sınarak ciddi model belirtim hatalarına yol açabilmesidir.

Tek denklem yakla¸sımı bu zorluktan kaçınmakla kalmaz, aynı zamanda uygulama kolaylı ˘gı da sa ˘glar.

(24)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

Tek denklem yakla¸sımında di ˘ger denklemler için açıkça belirtim yapılmaz ama bunları göz ardı etmenin e¸sanlılık yanlılı ˘gına yol açaca ˘gı da unutulmaz.

Örnek olarak, bir ürüne olan talebi tahmin etmek istiyor olalım. Bunun için a¸sa ˘gıdaki gibi bir model belirtebiliriz.

Q_t = β₁+ β₂P_t +u_t Burada

P_t malın fiyatını, Qt ise tüketilen miktarı göstermektedir.

Talep ile fiyat arasındaki ili¸ski ters yönlü oldu ˘gu için β₂’nin eksi de ˘gerli olmasını bekleriz.

(25)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

Elimizdeki modelde Qt ile Pt’nin ortak ba ˘gımlı de ˘gi¸skenler oldu ˘gunu görmek güç de ˘gildir.

˙Iktisat kuramından, fiyat ve miktarın arz ve talep e˘grileri tarafından ortakla¸sa belirlendi ˘gini biliyoruz.

Dolayısıyla, fiyattaki bir de ˘gi¸sim ürün miktarını etkilerken üretim maliyetlerinin artması gibi bir nedenden dolayı miktardaki bir de ˘gi¸siklik de fiyatı etkileyecektir.

Demek ki elimizdeki model, daha önce gördü ˘gümüz tek denklemli modellerden farklı olarak çözülmesi gereken bir e¸sanlılık sorunu içermektedir.

Sorunun niteli ˘gini net bir ¸sekilde görmek için varsayımsal fiyat-miktar verilerini serpilim çizimi üzerinde gösterebiliriz.

(26)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

0 2 4 6 8 10

Fiyat

Tüketilen miktar

VARSAYIMSAL BİR ÜRÜNE AİT FİYAT VE MİKTAR İLİŞKİSİ

(27)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

0 2 4 6 8 10

Fiyat

Tüketilen miktar

S1 S2

S3

D2 D1

D3

(28)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

Çizitlerden anla¸sıldı ˘gı gibi, elimizdeki fiyat-miktar verileri gerçekte farklı arz ve talep e ˘grilerinin kesi¸smesi sonucu ortaya çıkan denge noktalarından ba¸ska bir¸sey de ˘gildir.

Dolayısıyla, bu verilere bir do ˘gru yakı¸stırarak ne talep ne de arz i¸slevini tahmin etmi¸s oluruz.

Ba¸sta da göstermi¸s oldu ˘gumuz gibi SEK yöntemi burada yanlı ve tutarsız katsayı tahminleri üretecektir.

Sorununun farklı bir yakla¸sım gerektirdi ˘gi açıktır. Bize gereken ¸sey talep sabitken arzın de ˘gi¸smesi sonucu ortaya çıkan fiyat-miktar çiftleridir.

Sabit bir talep e ˘grisi üzerindeki noktalardan yararlanarak talep e ˘grisinin e ˘gimini do ˘gru bir ¸sekilde tahmin edebiliriz.

(29)

Talep ˙I¸slevi Örne ˘gi

0 2 4 6 8 10

Fiyat

Tüketilen miktar

S1 S2

S3

D1

(30)

Araç De ˘gi¸skenler Modeli

P_t ve Q_t arasındaki e¸sanlılık sorununu çözebilmek için“araç de ˘gi¸skenler modeli”(instrumental variables model, kısaca IV model) adı verilen yakla¸sımı izleriz.

IV modelinde bilindik ba ˘gımlı ve açıklayıcı de ˘gi¸skenlerin yanı sıra yeni bir de ˘gi¸sken türü olarak Zt araç de ˘gi¸skenleri bulunur.

Z_t, geçerli bir araç olmak için iki ko¸sulu sa ˘glamalıdır:

1 “˙Ilgililik”(relevance): corr(Zt,Pt) 6=0.

2 “Dı¸stürellik”(exogeneity): corr(Z_t,u_t) =0.

Kısaca, bu de ˘gi¸sken fiyattaki arz e ˘grisinden kaynaklı de ˘gi¸simi yakalayabilmeli ancak talep tarafından etkilenmeyerek hata terimi ile ilintisiz de kalabilmelidir.

Elimizdeki talep i¸slevi modeli örne ˘ginde üretim maliyetlerini ya da tarımsal bir ürün için hava ko¸sullarını uygun bir araç olarak dü¸sünebiliriz.

(31)

Araç De ˘gi¸skenler Modelinin Genel Gösterimi

Araç de ˘gi¸skenler modelinin genel gösterimi ¸söyledir:

Araç de ˘gi¸skenler modeli

Y_i = β₀+ β₁Y_1i⁰ + · · · + βrY_ri⁰ + β_{r +1}X_1i + · · · + β_{r +k}X_ki+u_i Burada

Y_i ba ˘gımlı de ˘gi¸skeni,

Y_1i⁰, . . . ,Y_ri⁰ içtürel açıklayıcı de ˘gi¸skenleri X_1i, . . . ,X_ki dı¸stürel açıklayıcı de ˘gi¸skenleri, göstermektedir.

Dı¸stürel de ˘gi¸skenler u_i ile ilintisizdir. ˙Içtürel de ˘gi¸skenler ise u_i ile ilintilidir ve e¸sanlılık yanlılı ˘gına yol açmaktadır.

Ayrıca Z_1i, . . . ,Z_si biçiminde s sayıda araç de ˘gi¸sken vardır.

Z_i’ler Y_i⁰’leri açıklayıcıdır ama hata terimi ile de ilintisizdir.

Araç de ˘gi¸sken sayısı içtürel de ˘gi¸sken sayısından azsa, model eksik özde¸slemeli demektir. Araç sayısı e¸sitse tam özde¸slemeli, fazlaysa da a¸sırı özde¸slemeli model olur.

(32)

Tek Denklem ile E¸sanlı Denklemler ˙Ili¸skisi

Elimizdeki talep i¸slevi modelinin ve bu modeli do ˘gru tahmin edebilmek için önerdi ˘gimiz araç de ˘gi¸skenler yakla¸sımının temelinde e¸sanlı denklemler oldu ˘guna dikkat edelim.

P_t ve Q_t arasında iki yönlü bir ba ˘glantı oldu ˘gunu biliyoruz.

Bu durum aslında iki denklemli bir modeli göstermektedir.

Tek denklem yakla¸sımını benimsemek yerine ili¸skiyi bütün olarak ele alsaydık, a¸sa ˘gıdakine benzer bir e¸sanlı denklem modelimiz olacaktı:

Talep i¸slevi: Q_t^d = β1+ β2P_t +u_2t

Arz i¸slevi: Q_t^s = α₁+ α₂Pt+ α₃Zt+u_1t

Öyleyse Zt gerçekte açıkça belirtmedi ˘gimiz arz i¸slevindeki ba ˘gımsız bir açıklayıcı de ˘gi¸skenden ba¸ska bir¸sey de ˘gildir.

(33)

Tek Denklem ile E¸sanlı Denklemler ˙Ili¸skisi

E¸sanlı denklemlerde bir denklemi di ˘gerlerinden ayırt ederek tahmin edebilmek için özde¸sleme kurallarından yararlandı ˘gımızdan söz etmi¸stik.

Sıra ko¸suluna göre bu iki denklemli örnekte talep i¸slevi bir de ˘gi¸skeni dı¸sladı ˘gı için tam özde¸slemeli, arz i¸slevi ise en az bir de ˘gi¸skeni dı¸slayamadı ˘gı için eksik özde¸slemelidir.

Di ˘ger bir deyi¸sle, Z_t de ˘gi¸skeni arz i¸slevini denetim altında tutarak talep i¸slevini özde¸slemekte ve böylece tahmin edilebilir olmasını sa ˘glamaktadır.

Sonuç olarak, araç de ˘gi¸skenler e¸sanlı denklemlerdeki tek bir denkleme odaklanan kestirme bir yoldur diyebiliriz.

Tek denklemli modellerde tüm ili¸skileri açıkça modellemek gerekmiyor. Ancak, di ˘ger denklemlerdeki de ˘gi¸skenlerden araç de ˘gi¸sken olarak yararlanıyoruz.

(34)

E¸sanlılık Yanlılı ˘gını Saptama Gere ˘gi

E¸sanlı denklemler ya da e¸sanlılık sorunu yokken SEK tahmincileri yansız ve enaz varyanslıdır.

E¸sanlılık altında ise SEK tahmincileri tutarlı bile de ˘gildirler ve bu nedenle yerlerini alma¸sık tahmincilere bırakırlar.

Ancak bu alma¸sık tahminciler e ˘ger e¸sanlılık sorunu yokken kullanılacak olurlarsa enaz varyanslı olmayan tahminler üretmektedirler.

Bu nedenle, alma¸sık yöntemleri kullanmak üzere SEK’ten vazgeçmeden önce örneklemde e¸sanlılık sorununun olup olmadı ˘gı sınanmalıdır.

Bu do ˘grultuda sıklıkla kullanılan sınama ise 1978 yılında Jerry A. Hausman tarafından geli¸stirilen ve bir tahminciyi bir di ˘gerine göre de ˘gerlendiren Hausman sınamasıdır.

(35)

Hausman Sınaması

Bir içtürel ve bir dı¸stürel de ˘gi¸skeni olan ¸su modeli ele alalım:

Y_i = β₀+ β₁Y_i⁰+ β₂X_1i+u_i

Z_1i, . . . ,Z_si ise araç de ˘gi¸skenler olsun. Hausman sınamasının e¸sanlılı ˘ga bakmak için kullanılabilecek basit bir ¸sekli ¸söyledir:

1 Y_i⁰’nin birtek araç de ˘gi¸skenlere göre a¸sa ˘gıdaki ba ˘glanımı hesaplanır ve kalıntılar kaydedilir:

Y_i⁰ = ˆα₀+ ˆα₁Z_1i+ · · · + ˆαsZ_si+ ˆv_i

2 Kalıntılar özgün modele eklenir ve SEK tahmini yapılır:

Y_i = β₀+ β₁Y_i⁰+ β₂X_1i + β₃vˆ_i+u_i

3 E¸sanlılık yoksa, ˆv_i ve u_i arasındaki ilinti de kavu¸smazsal olarak sıfır olmalıdır. Bu nedenle ˆv_i’nın katsayısına bakılır.

β3e ˘ger t sınamasına göre anlamlı bulunursa, e¸sanlılık olmadı ˘gını söyleyen sıfır önsavı reddedilir.

(36)

Ders Planı

(37)

˙Iki A¸samalı Enküçük Kareler

Modelde e¸sanlılık yanlılı ˘gı söz konusu oldu ˘gu zaman, SEK tahminleri tutarsızdır ve bu nedenle kullanılmamalıdır.

E¸sanlı denklemleri tahmin etmeye yönelik en temel yol ise

“iki a¸samalı en küçük kareler”(two stage least squares) ya da kısaca“2AEK”(2SLS) yöntemidir.

2AEK yöntemi ile bulunan tahminler her zaman yansızlık ve enaz varyanslılık özelliklerini sa ˘glayamayabilseler de tutarlıdırlar.

Di ˘ger bir deyi¸sle, örneklem büyüdükçe yanlılık azalır ve tahminler giderek anakütledeki gerçek de ˘gere yakla¸sırlar.

Bu nedenle küçük örneklemlerde dikkatli olunmalı, 2AEK kullanılmadan önce Hausman sınaması yapılıp açıklayıcı de ˘gi¸skenlerin hata terimi ile ilintili oldu ˘gu do ˘grulanmalıdır.

(38)

˙Iki A¸samalı Enküçük Kareler

2AEK bir tek denklem yöntemidir. Araç de ˘gi¸skenler modeli tahmininde kullanıldı ˘gı gibi, bir denklem sistemindeki tüm denklemlere ayrı ayrı da uygulanabilir.

2AEK yöntemini kullanabilmek için tek gerekli ko¸sul tahmin edilecek denklemin eksik özde¸slemeli olmamasıdır.

Ba¸staki gelir-para arzı modelimize geri dönelim.

Gelir i¸slevi: Y_t = α₁+ α₂M_t + α₃W_t + α₄Π_t +u_t Para arzı i¸slevi: M_t = β1 + β2Y_t + β3E_t +v_t

Y_t’nin gelir, M_t’nin para arzı, W_t’nin ücretler, Π_t’nin karlar, E_t’nin ise döviz kuru oldu ˘gunu anımsayalım.

Özde¸slemede sıra kuralına göre gelir i¸slevinin tam, para arzı i¸slevinin ise a¸sırı özde¸slemeli oldu ˘gunu görüyoruz.

Dolayısıyla her iki denklemi de 2AEK ile tahmin edebiliriz.

(39)

2AEK Birinci A¸saması

Adından anla¸sılabilece ˘gi gibi, 2AEK iki ayrı SEK tahmini içeren do ˘grusal bir yöntemdir.

Öncelikle para arzı i¸slevini tahmin edelim. Süreç ¸su ¸sekildedir:

1 Birinci a¸sama:˙Içsel açıklayıcı de˘gi¸sken Y_t ile hata terimi v_t arasındaki ili¸skiyi yok etmek için, Y_t’nin araç de ˘gi¸skenler ve denklemdeki dı¸ssal de ˘gi¸skenlere göre ba ˘glanımı bulunur.

Örne ˘gimizde, E_t para arzı i¸slevindeki dı¸ssal de ˘gi¸skendir.

Wt ve Πt ise geliri açıklayan ama para arzı ile ilintisiz kabul edilen araçlardır. Buna göre a¸sa ˘gıdaki model hesaplanır.

Y_t = λ₁+ λ₂W_t + λ₃Π_t + λ₄E_t +e_t

Yukarıdaki i¸slem sonrasında ¸su iki parça ayrı¸stırılmı¸s olur:

Y_t = ˆY_t +e_t

Yˆ_t burada Y_t’nin önceden belirli dı¸ssal de ˘gi¸skenler olan W_t, Πt ve E_t’ye göre ko¸sullu ortalamasıdır. Modelde içsellik sorunu olmadı ˘gı için, et terimi SEK varsayımlarını sa ˘glar.

(40)

2AEK ˙Ikinci A¸saması

2 ˙Ikinci a¸sama:Para arzı denklemi artık a¸sa ˘gıdaki biçimde yazılabilir.

M_t = γ₁+ γ₂( ˆY_t+e_t) + γ₃E_t +w_t

= γ₁+ γ₂Yˆ_t + γ₃E_t + (w_t + γ₂e_t)

= γ₁+ γ₂Yˆt + γ₃Et +w_t^∗

Yukarıdaki modelin ba¸staki para arzı i¸slevinden tek farkı Y_t yerine ˆY_t’yı kulanmasıdır.

Yt ilk modeldeki hata terimi vt ile ilintiliyken, ˆYt ise w_t^∗ ile kavu¸smazda ilintisizdir.

Bu ikinci a¸sama ba ˘glanımı SEK yöntemi ile bulunabilir.

Elde edilecek tahminler tutarlıdır ve örneklem da ˘gılımları da büyük örneklemlerde normal da ˘gılıma yakınsamaktadır.

(41)

Gelir ˙I¸slevinin 2AEK Tahmini

Yöntemi biraz daha açıklamak için di ˘ger denkleme de bakalım.

Modelimizdeki gelir i¸slevi tam özde¸slemelidir. Dolayısıyla bunu da 2AEK yöntemi ile tahmin edilebiliriz:

1 Birinci a¸sama:Bu denklemde E_t, para arzını açıkladı ˘gı ama gelir ile do ˘grudan ilintili olmadı ˘gı dü¸sünülen araç de ˘gi¸skendir. W_t ve Π_t ise dı¸ssal de ˘gi¸skenlerdir.

Bu durumda birinci a¸sama ba ˘glanımı a¸sa ˘gıdaki gibidir:

M_t = θ₁+ θ₂E_t + θ₃W_t + θ₄Π_t+ _t

2 ˙Ikinci a¸sama:Yukarıdaki tahminden elde edilen ˆM_t’ler kullanılarak ikinci a¸sama ba ˘glanımı da ¸söyle yazılır:

Yt = θ₁+ θ₂( ˆMt + t) + θ₃Wt + θ₄Πt + ωt

= θ1+ θ2Mˆ_t + θ3W_t + θ4Πt + (ωt + θ2t)

= θ1+ θ2Mˆ_t + θ3W_t + θ4Πt + ω_t^∗

˙Ikinci a¸samadaki θ tahminleri kavu¸smazsal olarak tutarlıdır.

(42)

2AEK Çıkarsama Sorunu

2AEK tahminindeki önemli bir nokta çıkarsamaya ili¸skindir.

Hata terimi ω_t^∗’nin gerçekte (ω_t + θ₂t)oldu ˘guna ve bunun varyansının da özgün modeldeki t’nin varyansından farklı oldu ˘guna dikkat edelim.

Bu nedenle ikinci a¸samada hesaplanan ölçünlü hatalar ve bunlara dayalı güven aralıkları, t ve F de ˘gerleri yanıltıcıdır.

Gerekli düzeltmeyi yapmaya yönelik bir ayarlama formülü bulunmakla birlikte, bilgisayar yazılımlarındaki ilerleme bu ek i¸slemi ortadan kaldırmı¸stır.

Gretl, 2AEK yöntemini tek bir adımda uygulamakta ve tüm istatistikleri ayarlama gerektirmeksizin bulabilmektedir.

2AEK terimi ise modelin gerçekten iki ayrı SEK ba ˘glanımı ile hesaplandı ˘gı zamanlardan kalma yerle¸smi¸s bir sözcük olarak kullanılmayı sürdürmektedir.

(43)

Sayısal Bir Örnek

Sayısal bir örnek olarak, 1987-2006 arası Türkiye verilerini kullanalım ve para arzı i¸slevini 2AEK ile tahmin edelim:

Mˆ_t= −82,8752 + 2,8635 ˆY_t +49,4770 E_t öh (80,6982) (0,9123) (17,7648)

z (−1,0270) (3,1386) (2,7851) R²=0,7429 Modelin SEK tahminleri ise a¸sa ˘gıdaki gibidir:

Mˆ_t= −96,5514 + 3,0196 Y_t +47,5508 E_t öh (80,4139) (0,9091) (17,7301)

t (−1,2007) (3,3215) (2,6819) R²=0,7433 Sonuçlar arasında dikkate de ˘ger farklılıklar bulunmaktadır.

Hausman sınama istatisti ˘gine bakıldı ˘gında ise p-de ˘gerinin 0,0022 oldu ˘gu görülür.

SEK tahminlerinin tutarlı oldu ˘gu sıfır önsavı reddedildi ˘gine göre, 2AEK yönteminin kullanılması do ˘grudur.

Son olarak, 2AEK tahmincisi büyük örneklemlerde normal da ˘gıldı ˘gı için t yerine z de ˘gerleri verildi ˘gine dikkat ediniz.

(44)

Di ˘ger E¸sanlı Denklem Tahmin Yöntemleri

Uygulamada e¸sanlı denklem modellerini tahmin etmek çe¸sitli durumlara dikkat gerektiren bir sürece dönü¸sebilmektedir.

Farklı özellikler ta¸sıyan alma¸sık tahmin yöntemlerinden birkaçı ise ¸sunlardır:

“Üç a¸samalı enküçük kareler”(three stage least squares)

“Sınırlı bilgi ençok olabilirlik”(limited information maximum likelihood)

“Tam bilgi ençok olabilirlik”(Full information maximum likelihood)

“Görünürde ili¸skisiz ba ˘glanımlar”(seemingly unrelated regressions)

“Genellemeli Beklemler Yöntemi”(generalized method of moments)

Bu ileri yöntemler burada ele alınmayacaktır.

(45)

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

KitaptanBölüm 18“Simultaneous-Equation Models,”

Bölüm 19“The Identification Problem” ve

Bölüm 20“Simultaneous-Equation Methods”okunacak.

Önümüzdeki Ders

Zaman Serileri Ekonometrisinin Temelleri