N-boyutu kapalı, durağan evren için yeniden normalize edilmiş boşluk enerji yoğunluğu

(1)

T.C.

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

n-BOYUTLU KAPALI, DURAĞAN EVREN İÇİN YENİDEN NORMALİZE EDİLMİŞ BOŞLUK ENERJİ YOĞUNLUĞU

İSMAİL MESUT MÜJDE

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FİZİK ANABİLİM DALI

Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mustafa ÖZCAN

(2)

(3)

(4)

i Yüksek Lisans Tezi

İSMAİL MESUT MÜJDE T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı

ÖZET

n-boyutlu Einstein evreninde kütlesiz konformal skaler alanın Casimir enerjisi yeniden incelenecektir. [ M. Özcan Class. Q. Grav. 23, 5531-5546(2006) ] Kovaryant nokta-bölme yöntemi kullanılarak yeniden normalize edilmiş kuantum boşluk enerji yoğunluğu n-boyutlu Einstein evreni için yeniden elde edilecektir. Bu çalışmayı, Casimir etkisinin boyutsal bağımlılığını araştırmak için sunuyoruz. Bu çalışmanın ana sonucu; kapalı topolojideki farklı boyutların ve boyutlara karşı gelen enerji işareti arasındaki ilişkiyi anlamak olacaktır.

Yıl : 2016

Sayfa Sayısı : 127

Anahtar Kelimeler : Casimir Enerji ; Renormalizasyon ; Regularizasyon ; Nokta-Bölme Yöntemi ; Einstein Evreni ; Riemann Küresi

(5)

ii Master's Thesis

İSMAİL MESUT MÜJDE

Trakya University Institute of Natural Sciences Department of Physics

ABSTRACT

We reconsider the Casimir energy for the massless conformal scalar field in an n-dimensional Einstein universe. [ M. Özcan Class. Q. Grav. 23, 5531-5546(2006) ] We reobtain the renormalized vacuum energy density for the n-dimensional Einstein universe by using the covariant point-splitting method. In this work we purpose to investigate the dimensional dependence of the Casimir effect. The main result of this work is to understand the correspondence between the sign of the energy and the different dimensions of manifold in the closed topology.

Year : 2016

Number of Pages : 127

Keywords : Casimir Energy ; Renormalization ; Regularization; The Point-Splitting Method ; Einstein Universe ; Riemann Sphere

(6)

iii

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... İ ABSTRACT ... İİ İÇİNDEKİLER ...İİİ SİMGELER ... V TABLOLAR LİSTESİ ... Vİ TEŞEKKÜR ... Vİİ BÖLÜM 1... 1 GİRİŞ ... 1 BÖLÜM 2... 5

n-BOYUTLU EINSTEIN EVRENİNDE MOD FONKSİYONU ... 5

BÖLÜM 3...13

n-BOYUTLU EINSTEIN EVRENİNDE SKALER ALAN İÇİN GREEN FONKSİYONU .13 BÖLÜM 4...17

YENİDEN NORMALİZE EDİLMİŞ KUANTUM BOŞLUK ENERJİ YOĞUNLUĞU ...17

4.1. n=2, 4, 6, 8, 10, 12 Çift Uzay-Zaman Boyutlarındaki Enerji Yoğunlukları ...25

4.1.1. n=2 İçin Sonuçlar ...25

4.1.4. n=8, 10, 12 İçin Sonuçlar ...61

4.2. n=3, 5, 7, 9, 11 Tek Uzay-Zaman Boyutlarındaki Enerji Yoğunlukları...65

4.2.1. n=3 İçin Sonuçlar ...65 4.2.2. n=5 İçin Sonuçlar ...70 4.2.3. n=7, 9, 11 İçin Sonuçlar ...77 BÖLÜM 5...80 SONUÇLAR VE TARTIŞMA ...80 KAYNAKLAR ...83

(7)

iv

EK A ...85

A.1. S1_{( Uzayzaman Boyutu n=2 ) İçin Mod Fonksiyonunun Hesaplanması ...85}

A.4. S4_{( Uzayzaman Boyutu n=5 ) İçin Mod Fonksiyonunun Hesaplanması ... 106}

A.5. S5_{( Uzayzaman Boyutu n=6 ) İçin Mod Fonksiyonunun Hesaplanması ... 113}

A.6. S6_{, S}7_{, S}8_{, S}9_{, S}10_{, S}11 _{( Uzayzaman Boyutları n=7, 8, 9, 10, 11, 12 ) İçin Mod} Fonksiyonunun Hesaplanması ... 122

(8)

v

SİMGELER

□ D’Alembert İşlemcisi

( ) Gegenbauer Polinomu

( )_{( , )} _{n-Boyutlu Green Fonksiyonu}

( )

( , ) n-Boyutlu Yeniden Normalize Edilmiş Green Fonksiyonu

Metrik Tensör

( )_{( , )} _{Hadamard Green Fonksiyonu}

( )_{( , )} _{Pozitif Wightmann Fonksiyonu}

ℒ Lagrange Yoğunluğu

Uzay-Zaman Boyutu

( ) n-Boyutlu Konformal Faktör ( )

n-Boyutlu Boşluk Enerji Yoğunluğu

( )

( ) Yeniden Normalize Edilmiş n-Boyutlu Boşluk Enerji Yoğunluğu

Ricci Skaleri Ricci Tensörü Evrenin Yarıçapı Hareket Fonksiyoneli Riemann Yüzeyi Enerji-Momentum Tensörü

〈 〉 Enerji-Momentum Tensörünün Kuantum Boşluk Beklenen Değeri

〈 〉 Yeniden Normalize Edilmiş Enerji- Momentum Tensörünün Kuantum

Boşluk Beklenen Değeri Φ( ) Skaler Alan

( , ) Küresel Harmonik Fonksiyon ( , ) Hurwitz Zeta Fonksiyonu ( ) Riemann Zeta Fonksiyonu

(9)

vi

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 2.1 ( , ) ’nin alabildiği dejenere değerler………..………..9 Tablo 5.1 n-boyutlu Einstein evrenleri için yeniden normalize edilmiş kuantum

boşluk enerji yoğunlukları………...………...………81 Tablo A.1 ( , ) ’nin alabildiği dejenere değerler………102

(10)

vii

TEŞEKKÜR

Tez konumun belirlenmesinde, araştırma aşamasında, sonuçların değerlendirilmesi ve tamamlanmasında hem lisans hem de lisansüstü eğitimim boyunca bilgi ve deneyimlerini paylaşarak yardımlarını esirgemeyen değerli danışman hocam Prof. Dr. Mustafa ÖZCAN’a teşekkürlerimi sunarım.

Bugünlere gelmemde kuşkusuz en büyük paya sahip olan ve bana her konuda sonuna kadar destek veren aileme en içten teşekkürlerimi ve sevgilerimi sunarım.

(11)

1

BÖLÜM 1

GİRİŞ

Bu tez çalışmasında; geri planda kapalı n-boyutlu (n uzay-zaman boyutu) Einstein evreninde bulunan kuantize edilmiş kütlesiz konformal skaler alanın hiçbir şeyin olmadığı mutlak sıfırdaki kuantum mekaniksel enerji yoğunluğu kovaryant nokta-bölme (the covariant point-splitting) yöntemi ile yeniden elde edilmiştir. Mutlak sıfırdaki alanın kuantum mekaniksel etkisi literatürde Casimir etki olarak bilinir. Bu etki ilk defa 1948’de Casimir [1] tarafından iki iletken ve yüksüz paralel plaka arasındaki çekici kuvvetin, mutlak sıfır noktasındaki kuantumlanmış alanın bir sonucu olduğu önerilmiş, konu fizik literatüründe çok geniş yelpazeye dahil olduğundan disiplinler arası bir çalışma konusu olarak araştırmalarda yerini bulmuştur. Bu etki deneysel olarak gözlemlenmiştir [2,3]. Böylece Casimir etki gerçek bir etkidir; kuantum alan teorisinin ölçülebilir diğer bir deyişle gözlemlenebilir fiziksel bir olgusudur.

Casimir etki, arka zeminde eğri uzay-zamanda kuantize edilmiş alanın kuantum boşluk enerjisinin hesaplanması için oldukça öğretici olan ve göz önüne alınması gereken gerçek bir problemdir. Ford tarafından eğri uzay-zaman kuantum alan teorisi için yapılmış önemli bir çalışma ile literatüre girmiştir. 1975’te Ford [4] bu çalışmasında Einstein evrenine (n=4 boyutlu) yerleştirilmiş kütlesiz konformal skaler alanın kuantum boşluk enerji yoğunluğunu mod toplama yöntemi ile

= ħ

480 (1.1)

olarak hesapladı. Yeniden normalize edilmiş kuantum boşluk enerji yoğunluğunu pozitif işaretli olarak elde etti. Enerji yoğunluğunun pozitif olarak elde edilmesi bize buradaki

(12)

2

kuvvetin “itici” bir kuvvet olduğunu gösterir. Burada evrenin yarıçapıdır ve basınç [4] = ile verilir.

Böylece alanın enerji-momentum tensörü, klasik ışıma için aynı yapıda olur [4]. Ford çalışmasında Einstein evrenindeki Casimir etkisinin, enerjinin kapalı uzay topolojisi ile ilişkili olduğunu göstermiştir. Ford hesaplamalarında, üstel kesme fonksiyonu ile mod toplama yöntemini kullanmıştır [5,6]. Daha sonra Dowker ve Critchley [7], kovaryant nokta-bölme yöntemi ile Ford’un elde ettiği genel sonucu yerel özelliklerden hareketle doğruladılar. Dowker ve Critchley kovaryant nokta-bölme yöntemi gereği olan Green fonksiyonunu oluşturmak için, evrenin küresel topolojisini kullanarak yerel yeniden normalize edilmiş enerji yoğunluğunu ve basıncı,

(〈 〉 =) = ħ

480 , (−〈 〉 = −〈 〉 = −〈 〉 =) = 1

3 (1.2)

olarak hesaplamışlardır [7].

Eğri uzay-zamanda kuantum boşluk enerjisinin hesaplamasında sonsuzlukların üstesinden gelmek için genelde üç regularizasyon tekniği vardır. Bunlar; mod toplama yöntemi [4], zeta fonksiyon regularizasyon tekniği [8] ve nokta-bölme yöntemidir [9-12]. Bunlardan biri, mevcut en güçlü yöntem olan nokta-bölme regularizasyon tekniğidir [13,14]. Nokta-bölme regularizasyon yöntemi kovaryant olmasının yanısıra kesilim fonksiyonlarından da bağımsızdır [7,9-14]. Bu yöntem ayrılmış nokta fonksiyonları ile çalışır. Enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin hesaplanma işlemi, alan işlemcisinin karesinin kuantum boşluk beklenen değerinin hesaplanmasıyla elde edilir. Burada, Hamilton işlemcisindeki Φ( ) skaler alanı, ikinci kanonik kuantumlama nedeniyle bir alan işlemcisi gibi davranır. Temelde, enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değeri, aynı uzay-zaman noktasında alan işlemcilerinin çarpanları ve kovaryant türevlerinden inşa edilirler. Bu durum, enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin ıraksamasına neden olur. Dolayısıyla bu ıraksak nicelikleri ortadan kaldırmak için Hamilton işlemcisinde, her bir çarpandaki Φ( ) alan işlemcilerinden biri Φ( ) ile değiştirilir. Burada , ’e sonsuz küçük aralıkta yakın bir noktadır. Böylece ⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ ayrılmış fonksiyonu, biri

(13)

3

’de diğeri ’de olmak üzere iki fonksiyonun çarpımı şekline dönüştürülür. ⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ iki nokta fonksiyonuna, pozitif Wightmann fonksiyonu denir ve

( )_{( , ) = ⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ (1.3)}

ile gösterilir.

Alan anti değişme (anti commutator) kuantum boşluk beklenen değeri,

( )_{( , ) = ⟨0|{Φ( )Φ( ) + Φ( )Φ( )}|0⟩ (1.4)}

ile tanımlanan Hadamard Green fonksiyonudur [13,14]. Burada ile arasındaki simetriden dolayı ( )( , ) ve ( )( , ) arasındaki ilişki,

( )_{( , ) = 2Re} ( )_{( , ) (1.5)}

bağıntısı ile verilir.

Enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin hesaplanması sonunda → (çakışma limiti olarak bilinen) limiti alınır. Yeniden normalize edilmiş kuantum boşluk enerjileri için sonsuzlukların çıkarılmasından sonra sonlu sonuçlar bulunur.

Hesaplanması istenilen nicelik, n-boyutlu uzay-zaman için kütlesiz konformal skaler alanın enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değeridir. Bu aşağıdaki çakışma limiti ile verilir [7,13-16]:

〈 ( )〉 = lim → (1 − 2 ) ∇ ∇ + 2 − 1 2 ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ −1 2 + + 1 2 ( )_{( , ) .} (1.6) Kütlesiz limitte Green fonksiyonları, ( , ) yerine ( , ) ile gösterilir. Böylece, ( )( , ) = ( )( , ) olur ( ( )( , ) Hadamard Green fonksiyonu ile

(14)

4

zamandaki Green fonksiyonunu gösterir. Burada = ( ) = ( )

( ) , konformal

bağlantı sabitini belirleyen parametredir.

Bu çalışmada, n-boyutlu Einstein evrenine yerleştirilmiş kütlesiz konformal skaler alan için yukarıdaki fiziksel motivasyon kullanılarak yeniden normalize edilmiş kuantum boşluk enerji yoğunluğu hesaplanacaktır. Çünkü kütle çekim teorisi ve kuantum mekanik yasalarının aynı anda geçerli olduğu bir fiziksel sistem göz önüne alındığında, sistemi tanımlayacak ve sistem ile ilgili bilgi verecek bir yasaya sahip değiliz. Bu durum fizik literatürünün en temel problemi olarak güncelliğini korumaktadır. Ayrıca kütle çekim ile kuantum mekanik birlikte göz önüne alındığında ortaya çıkan sonsuzlukları, matematiksel ve fiziksel olarak tanımlamaların nasıl üstesinden gelineceğinin tartışması yapılacaktır. Bu konuda tek bir yöntem olmadığından sonsuzlukların üstesinden gelme amacına yönelik kovaryant nokta-bölme yöntemi kullanılacaktır.

Öncelikle yeniden geliştirilecek olan regularizasyon ve renormalizasyon yöntemleri bu tezin konuya bakış açısını daha detaylandırması açısından oldukça önemli bir noktasıdır. Fiziksel olarak mutlak sıfırdaki enerji yoğunluğunun işareti mutlak sıfırda yeniden ölçeklendirilmiş enerjinin ne tür ( çekici mi? itici mi? ) bir kuvvet ürettiğinin tanımlamasını verecektir. Aynı topolojik özelliğe sahip farklı boyuttaki geometrinin mutlak sıfırdaki kuantum enerji yoğunluğu işaretinin boyuttan boyuta ve geometriden geometriye nasıl değişim gösterdiğinin önemi detaylandırılacaktır.

Bu tez çalışmasının altyapısı, (M. Özcan, arXiv:gr-qc/0106082v1) referanslı “Green’s Function for a n-Dimensional Closed, Static Universe and with a Spherical Boundary” [17] ve (M. Özcan, Class. Quantum Grav. 23 5531-5546 (2006)) referanslı “Casimir Energy Density for Spherical Universes in n-Dimensional Spacetime” [18] konulu makaleler temel alınarak oluşturulmuştur.

Bölüm 2’de, n-boyutlu kapalı durağan bir evrende kütlesiz konformal skaler alan için mod fonksiyonu hesaplandı. Bölüm 3’de, ’de ( ≥ 4 ; , uzay-zaman boyutudur) kütlesiz konformal skaler alan için dalga denkleminin çözülmesi ile elde edilen özfonksiyon kullanarak Hadamard Green fonksiyonu yeniden inşa edildi. Daha sonra Bölüm 4’de, yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu kullanılarak yeniden normalize edilmiş kuantum boşluk enerji yoğunluğu hesaplandı. Burada yapılan hesaplamalar = 2 ’den = 12 ’ye kadar olan uzay-zaman boyutu için ayrıntılı olarak hesaplanmıştır. Son olarak elde edilen verilerin tartışılması yapıldı.

(15)

5

BÖLÜM 2

n-BOYUTLU EINSTEIN EVRENİNDE MOD FONKSİYONU

Öncelikle n-boyutlu Einstein evreninde mod fonksiyonunu bulmak için geometrik yapıyı tanımlayalım:

( , , ) = , , , , … , , ; = 1,2,3, … , − 3 (2.1)

olmak üzere hiperküresel koordinatlar kullanılır. Burada uzayzaman boyutudur. Uzay zamanda iki nokta arasındaki uzaklığın karesi

= − (2.2) dir. Burada evrenin yarıçapıdır ve bir sabittir. Bu uzay için küresel koordinatlar,

= sin sin sin … sin cos = sin sin sin … sin sin = sin sin sin … cos ⋮ = sin cos = cos ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.3) dır. Burada ∈ [0, ] , ∈ [0, ] , = 1, 2, 3, … , − 3 ve ∈ [0, ] aralığındadır. Böylece statik kapalı n-boyutlu bir uzay-zaman için metriğimiz,

= − [ + sin + sin sin + ⋯

+ sin sin sin … … sin

+ sin sin sin … … sin sin ] (2.4) şeklindedir.

(16)

6

Bu eğri uzay-zaman geometrisinde konformal kütlesiz Φ( ) skaler alanı için

□Φ( ) + ( ) Φ( ) = 0 (2.5)

alan denklemi göz önüne alınarak çözümlerini üreteceğiz. Burada ( )= (₍ )₎ , konformal bağlantı sabitini belirleyen parametre ifadesidir ( uzay-zaman boyutu) ve

’de Ricci skaleridir. Ayrıca □, D’Alembert işlemcisidir ve

□ = 1

(−1) (−1) (2.6)

denklemi ile verilir. (2.4) denklemindeki metrik için Ricci skaleri,

≥ 2 ç = 1 ( − 2)( − 1) (2.7)

olarak ifade edilir. Değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak (2.5) denkleminin ≥ 5 için çözümlerini tartışalım. Çözüm;

Φ( ) = ( )Θ ( )Θ ( ) … … Θ ( ) ( , ) (2.8) = (2.9)

olarak yazılabilir. Burada küresel harmonik fonksiyondur ve c ’de uygun normalizasyon sabiti ve

( =) = 0,1,2,3, … ve = − , − + 1, … ,0,1, … , − 1, (2.10)

≥ 5 ç n mod fonks yonunu hesaplayalım. ( ) ve Θ ( = 1,2,3, … , − 4) fonks yonları,

(17)

7 1 sin sin ( ) + − ( − 2) 4 sin − ( + − 3) ( ) = 0 (2.11) ve = 1,2,3, … , − 4 olmak üzere, 1

sin sin Θ + + − − 2 sin

− + − − 3 Θ = 0 (2.12)

d ferans yel denklemler n sağlarlar. (2.11) ve (2.12) denklemlerinde, ( =) , , , , … , , = ayırma parametreleridir. Yine de, = 1,2,3, … , − 4 le Θ ∈ [0, ] aralığında düzenli çözüm hesaplanmadı; bu yüzden, ve

, ( =) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, = − , − + 1, … ,0,1, … , − 1, değerlerini alırken, ( = 3, 4, 5, … , − 2) = sürekli parametreler olarak kalır. Bu diferansiyel denklemlerde = cos ve = cos ( = 1,2,3,4, … , − 4) dönüşümleri yapıldığında; (1 − ) Θ( ) − (2 + − 1) Θ( ) + −( − 2) 4 − ( + − 2) Θ( ) = 0 (2.13) 1 − Θ − 2 + − − 1 Θ + + − − 2 − + − − 2 Θ = 0 (2.14)

denklemleri elde edilir. Bu diferansiyel denklemler Frobenius yöntemi ile çözülebilir. Çözümler;

( )~ sin ( ) Θ(cos )

= 1,2,3,4, … , − 4 Θ ~ sin Θ cos

(18)

8

şeklindedir. (2.13) denklemindeki diferansiyel denklem yine Frobenius yöntemi ile çözülür. Bu amaçla çözüm;

Θ( ) = (2.16)

gibi bir kuvvet serisi ile Θ( ) fonksiyonu olarak ifade edilir. (2.16) Denklemi, (2.15) denkleminde yerine yazılır ve gerekli hesaplamalar yapılırsa aşağıdaki tekrarlama bağıntısı bulunur:

=

+ +( − 2)₂ −

( + 2)( + 1) ; = 0,1,2,3, … (Tekrarlama bağıntısı) (2.17)

(2.17) tekrarlama bağıntısı, Θ( ) için

Θ( ) = + (2.18)

seri çözümünü verir.

Şimdi seri çözümün yakınsaklığına bakalım. Bunun için serinin çift (tek) pariteli terimlerini gözönüne alalım ve Raabe testi [19,20] uygulayalım.

lim → − 1 = 3 2− − ( − 2) 2 = A ; ( ≥ 0 ≥ 5) (2.19)

değerleri ile Raabe testinin sonucu, seriyi ıraksak çıkarır (benzer şekilde tek pariteli terimlerde de aynı sonuç gözlemlenir). Iraksaklığı ortadan kaldırmak için serinin bir yerde kesilmesi gerekir. Serinin bir yerde kesilmesi için, = 0 fakat ≠ 0 olabilecek şekilde bir seçim yapılmalıdır. Bu aynı zamanda kesim yapılan yerdeki terimin çözümün ilk terimi olur ve diğer terimlerde o terime göre belirlenir. (2.17) Denkleminde

= 0

(19)

9 + +( − 2) 2 − = 0 (2.20) dan N = + +( − 2) 2 ; = 0,1,2,3, … ; = 0,1,2,3, … (2.21)

ifadesi elde edilir. Bu ifadede, + ’ ye yeni bir indis tanımlaması yapılırsa;

N = +( − 2) 2 ; = 0,1,2,3, … ; = 0,1,2,3, … , (2.22) = = + ( − 2) 2 _; _{→ yazılırsa;} = = 1 +( − 2) 2 ; = 0,1,2,3, … ; = 0,1,2,3, … , (2.23)

elde edilir. ( , )’nin alabildiği dejenere değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tablo 2.1: ( , )’ nin alabildiği dejenere değerler

\k 0 1 2 3 4 5 … 0 ( − 2) 2 2 ( + 2) 2 ( + 4) 2 ( + 6) 2 ( + 8) 2 … 1 2 ( + 2) 2 ( + 4) 2 ( + 6) 2 ( + 8) 2 … 2 ( + 2) 2 ( + 4) 2 ( + 6) 2 ( + 8) 2 … 3 ( + 4) 2 ( + 6) 2 ( + 8) 2 … 4 ( + 6) 2 ( + 8) 2 … 5 ( + 8) 2 … ⋮ ⋱

(20)

10

Θ( ) fonksiyonunun sağladığı denklemin çözümünün Gegenbauer polinomları olduğunu gösterelim: (1 − ) d d C ( ) − (2 + 1) d d C ( ) + [ + 2 ]C ( ) = 0 (2.24) (1 − ) d d Θ( ) − (2 + − 1) d d Θ( ) + −( − 2) 4 − ( + − 2) Θ( ) = 0 (2.25) (2.24) ve (2.25) Denklemleri karşılaştırılırsa; = + − 2 2 = − (2.26) sonuçları bulunur. = ⎩ ⎨ ⎧ _{( + 2)( + 1)} + +( − 2)₂ − _⎭⎬ ⎫ (2.27)

Tekrarlama bağıntısında = + + yazılır ve ’yı − 2, − 4, … , − 2 şeklinde azaltarak elde edilen Θ( ) polinom çözümleri, iyi bildiğimiz Gegenbauer polinomlarıdır.

( ) = Θ( ) = (−1) Γ( + − )

Γ( − 2 + 1). Γ( ). !(2 ) (2.28)

Burada = ; n = çift ise

(21)

11

Benzer işlemler, (2.14) diferansiyel denklemi için yapılırsa;

( ) = Θ ( ) = (−1) Γ( + − )

Γ( − 2 + 1). Γ( ). !(2 ) (2.29)

Gegenbauer polinom çözümü bulunur.

Burada = ; n = çift ise

(n − 1) ; n = tek ise ; λ = N + ve n = k − N dir.

Böylece ≥ 5 için dalga denkleminin genel çözümü;

Φ ( ) = sin (cos ) × sin cos ( , ) (2.30) olur. Denklem (2.30) da = 1 +( − 2) 2 ; = 0,1,2,3 , … = 0,1,2,3, … , ( ) = 0,1,2,3, … , ; = 2,3,4 … , − 4 ( =) = 0,1,2,3, … , ve = − , − + 1, … ,0,1, … , − 1, ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ (2.31)

ve ’de normalizasyon sabitidir. Normalizasyon sabiti,

Φ , Φ = − Φ ( ) Φ∗ ( ) − Φ ( )Φ∗ ( ) − = (2.32)

(22)

12

Gerekli hesaplamalar yapıldığında normalizasyon sabiti;

= 2 Γ + − 2 2 ( − )! Γ( + + − 2) 2 ( ) Γ +( − − 2) 2 − ! +( − − 2)₂ Γ + + − − 2 (2.33) olarak bulunur.

Kuantize alan denkleminin çözümü,

Φ( ) = Φ ( ) + Φ∗ (2.34)

biçiminde toplam üzerinden bu modlar olarak yazılır. Burada Φ ( ), Denk. (2.30) ile verilen dalga denkleminin çözümü, modundaki kuanta için, yaratıcı bir işlemci ve

da yok edici bir işlemcidir.

Einstein evreninin n = 2, 3, 4, 5 ,6, …, 12 (S1, S2, S3, S4, S5, …, S11 yüzey boyutlu) özel durumları için mod fonksiyonunun ayrıntılı hesaplanması EK A’da verilmiştir.

(23)

13

BÖLÜM 3

n-BOYUTLU EINSTEIN EVRENİNDE SKALER ALAN İÇİN GREEN FONKSİYONU

Önceki bölümde elde ettiğimiz ve (EK A’da) geliştirdiğimiz mod fonksiyonları göz önüne alınarak,

⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ = Φ ( )Φ∗( ) (3.1)

ile tanımlanan pozitif Wightmann fonksiyonunun ≥ 4 uzay-zaman boyutu için Green fonksiyonunu inşa edelim. Burada Φ ( ), mod fonksiyonudur.

Wightmann fonksiyonunu, (2.30) denklemindeki genel ifadeden yola çıkarak ≥ 4 için EK A’daki 20, 42, 118, 157 ve 206-212 denklemlerindeki mod çözümlerini (3.1) denkleminde yerine koyduğumuzda ≥ 4 için,

( )_{( , ) =} 1 ∆ ( ) ₂ _Γ ₊( − 2) 2 ( − )! Γ( + + − 2)sin sin ( ) (cos ) ( ) (cos ) × 2 Γ +( − − 2) 2 − ! +( − − 2)₂ πΓ + + − − 2 sin sin ( ) cos ( ) cos ( , ) ∗ ( , ) (3.2)

(24)

14

elde ederiz. Küresel harmonikler için toplama formülü, (2 + 1)

4 (cos ) = ( , )

∗ ₍ _, ₎

cos = cos cos + sin sin cos( − ) ⎭

⎬ ⎫

(3.3)

olarak verilir [19-21] ve Gegenbauer polinomları için toplama teoremi [21] − 3 kez kullanılmıştır:

(cos cos + sin sin cos ) =Γ(2 − 1)

{Γ( )} 2 {Γ( + )}

( − )! (2 + 2 − 1)

Γ( + + 2 ) sin sin

(cos ) (cos ) (cos ) (3.4)

Daha sonra (3.4) denkleminin kullanılmasıyla,

( )_{( , ) =} ( )_{( , ) =}

4

∆ ( ) ( )

(cos ) (3.5)

elde edilir. (3.5) denkleminde

= 2 . 2 . 2 . … . 2 {Γ(1)} Γ 3 2 {Γ(2)} … … Γ − 2 2 Γ(1)Γ(2)Γ(3)Γ(4) … … … … Γ( − 3) (3.6) cos = cos cos + sin sin cos

= 1,2,3,4, … , − 4 ile cos = cos cos + sin sin cos

cos = cos cos + sin sin cos( − )

⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.7) dir.

(25)

15

∆ − yerine koyduğumuzda ve uç durumlarda → 0 götürürsek,

∆ < 1 olur. Şimdi, 1 (1 − 2 + ) = ( ) , | | < 1 , | | ≤ 1 , > − 1 2 (3.8)

bağıntısını kullanabiliriz [19-21]. Daha sonra (3.8) denklemindeki Gegenbauer polinomlarının üretici fonksiyonu kullanılırsa,

( )_{( , ) =}

4

1 cosΔ − cos

( ) (3.9)

elde edilir Burada = ₍ _)/ dir . Buradaki , ( , , , , … … , , ) ve ( , , , , … … , , ) yönlerindeki ⃗ ve ⃗ vektörleri arasındaki açıdır. yüzeydeki jeodezik mesafe; Δ ( , ) = ile ifade edilir. Burada = ( , , , , … … , , ) ; ve ∈ ve =

( , ) dir. Δ ( , ) uzay ayrılması,

(cos =) cosΔ = cos cos + sin sin cos (3.10)

olarak ( , , , , … … , , ) ve ( , , , , … … , , ) koordinatları cinsinden verilmiştir. Burada , Denk. (3.7)’de verilmiştir.

Böylece, = 2,3 ( , ç ) [10,11], = 4 ( ç ) [7] ve = 5,6, … ,12 [17] uzay-zaman boyutları için Green fonksiyonu

( )_{( , ) =} ( )_{( , ) =} ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 1 2 ln 1 2 cosΔ − cosΔ = 2 ç 4 1 cosΔ − cosΔ ( ) ≥ 3 ç (3.11)

(26)

16

elde edilir. Burada cos ve cos ilgili uzay-zamandaki jeodezik mesafe arasındaki açıdır. ile arasındaki simetriden dolayı ( )( , ) pozitif Wightmann fonksiyonu ile ( )( , ) Hadamard Green fonksiyonu arasında şöyle bir ilişki vardır:

( )_{( , ) = 2Re} ( )_{( , )}

= 2Re ⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩

= 2Re ( )_{( , ) (3.12)}

Burada uzay-zaman boyutudur. Ayrıca (3.12) denklemindeki Re pozitif Wightmann fonksiyonunun reel kısmını ifade eder.

(27)

17

BÖLÜM 4

YENİDEN NORMALİZE EDİLMİŞ KUANTUM BOŞLUK ENERJİ YOĞUNLUĞU

Bu bölümde; Denk.(3.10) ile elde edilen ( )( , ) Green fonksiyonunun kullanılmasıyla yeniden normalize edilmiş 〈 〉 enerji-momentum tensörünün beklenen değeri hesaplanacaktır. Öncelikle ıraksaklığa neden olan ifadeleri belirleyelim:

( )_{( , ) ifadesi seriye açılır ve çakışma limitinin (∆ , Δ} _{→ 0) alınması sonucunda} ( )_{( , ) Green fonksiyonu ifadesinde ıraksaklığa neden olan terimin, sadece ( = 0)}

terimi olduğu belirlenir. Dolayısıyla; enerji-momentum tensöründeki ıraksaklıklara neden olan sadece ( = 0) terimidir. Bu terime: çakışma limitinde sonsuz olan, sadece yarıçapına bağlı olan Minkowski ifadesi denir. Bu çıkartılınca, geriye kalan terimler, enerji-momentum tensörüne sonlu miktarlarda katkıda bulunurlar. 〈 〉 enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerindeki sonsuz olan terimlerin çıkarılması doğal bir yöntemdir ve ( )( , ) ’deki diğer ifadeleri kapsaması için Green fonksiyonundan = 0 terimi çıkarılır. Bu işleme renormalizasyon işlemi denir. ( )( , ) ’deki seride = 0 terimini çıkararak ( )( , ) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra yeniden normalize edilmiş 〈 〉 enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değer ifadesinin hesaplanması, 〈 〉 ifadesindeki

( )_{( , ) ’nün} ( )_{( , ) ile yer değiştirilmesi ile elde edilir.}

Şimdi, 〈 〉 enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin çakışma limitinin genel ifadesini göz önüne alalım. Enerji-momentum tensörünün elde edilmesinde ilk önce eğri uzay-zamanda kütlesiz konformal skaler alan için Lagrange yoğunluğu ve hareket fonksiyoneli sırasıyla

(28)

18 ℒ( ⃗) =1

2 (−1) Φ; ( ⃗)Φ; ( ⃗) − Φ ( ⃗) (4.1) = ℒ( ⃗) (4.2)

dir. Burada Φ( ⃗), skaler alandır, g ise metriğinin determinantıdır ve ’de metrik için Ricci skaleridir. ’nin Φ varyasyonu ile

0 =

Φ= (−1) Φ;

, _{( ⃗) +}

Φ( ⃗) (4.3)

skaler alan denklemi elde edilir. Burada fonksiyonel türevdir. (4.3) ifadesi, hareket denklemini

□Φ( ⃗) + Φ( ⃗) = 0 (4.4)

olarak verir.

Eğri uzay-zamanda kütlesiz konformal skaler bir alan için enerji-momentum tensörü,

= 2

(−1) (4.5)

olarak metrik tensörüne göre hareketin varyasyonundan elde edilebilir. Burada

= ℒ (4.6)

dır. Ayrıca aşağıdaki bağıntı [13] kullanılırsa,

(−1) = −1

2 (−1) (4.7) ve daha sonra ℒ ( ’ye göre) varyasyonu alınırsa,

(29)

19 ℒ =1 2 (−1) − 1 2 Φ; Φ; + Φ; Φ; + 1 2 Φ − Φ (4.8)

elde edilir. Aşağıdaki bağıntılar [13]

= − + _; + _; = − = − ve = ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ (4.9)

ile (4.8) denklemi kullanılırsa ’nin ’ye göre varyasyonu, = 1

2 (−1) (1 − 2 ) Φ; Φ; − Φ; Φ; − 2 Φ; Φ

+2 ΦΦ_; − Φ +1

2 Φ (4.10)

olarak elde edilir. Denk.(4.5)’in içine Denk.(4.10) yerleştirilir ve yeniden düzenlenirse, enerji-momentum tensörü,

= (1 − 2 ) Φ_; Φ_; − Φ_; Φ_; − 2 Φ_; Φ

+2 ΦΦ_; − Φ +1

2 Φ (4.11)

olarak elde edilir [13]. Yukarıdaki denklemin kuantum boşluk beklenen değeri alınırsa,

0 0 = (1 − 2 ) 0 Φ_; ( ⃗)Φ_; ( ⃗) 0 − 0 Φ_; ( ⃗)Φ_; ( ⃗) 0 −2 0 Φ; ( ⃗)Φ( ⃗) 0 + 2 0 Φ( ⃗)Φ; ( ⃗) 0

− ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗)|0⟩ +1

2 ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗)|0⟩ (4.12) bulunur.

(30)

20

Denk.(4.11)’deki Φ( ⃗) skaler alanı, kanonik kuantizasyon nedeniyle bir alan işlemcisi gibi davranır. Denk.(4.12), aynı uzay-zaman noktasında bulunan alan işlemcilerinin çarpımları ve bunların kovaryant türevlerinden inşa edilmiştir. Bu olgu nedeniyle enerji-momentum tensörünün beklenen değeri için ıraksaklıklara yol açar. Iraksak niceliklerden kurtulmak için, Denk.(4.12)’deki her bir çarpım ifadesinde bulunan Φ( ⃗) alan işlemcilerinden biri Φ( ⃗ ) ile yer değiştirir. Burada ⃗ , ⃗’ne sonsuz küçük aralıkta yakın bir noktadır. Böylece ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩, biri de diğeri ise de olmak üzere iki vektörün çarpımı şeklinde dönüştürülür. ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ ayrılmış nokta fonksiyonu, pozitif Wightmann fonksiyonu olarak adlandırılır ve ( )( , ) = ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ ile gösterilir. Alanın anti değişim (anti commutator) kuantum boşluk beklenen değeri,

( )_{( , ) = ⟨0|{Φ( ⃗), Φ( ⃗ )}|0⟩ (4.13)}

ile tanımlanan Hadamard Green fonksiyonudur. Burada ile arasındaki simetriden dolayı ( )( , ) ve ( )( , ) arasındaki ilişki,

( )_{( , ) = 2} ( )_{( , ) (4.14)}

bağıntısı ile verilir.

Ayrılmış nokta fonksiyon tanımını [13,14,16] kullanarak,

0 Φ_; ( ⃗)Φ_; ( ⃗) 0 = lim

→ ∇ ∇ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.15)

ve

0 Φ; ( ⃗)Φ; ( ⃗) 0 = lim

→ ∇ ∇ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.16)

olarak yazılabilir. Burada indislerin temeli, noktasında türevinin alındığını gösterir. ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ ve bunların türevleri bitensördür, yani bunlar iki farklı noktada tensörleri dönüştüren fonksiyonlardır. Ayrıca,

(31)

21 0 Φ( ⃗)Φ; ( ⃗) 0 = lim

→

1

2 ∇ ∇ + ∇ ∇ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.17)

olduğunu göz önünde bulundurmamız gerekir. Her bir terim bitensör olarak farklı bir şekilde dönüştürülür, dolayısıyla bunlar toplanamaz. (4.17) denklemi düzenlenirse,

0 Φ( ⃗)Φ_; ( ⃗) 0 = lim

→ ∇ ∇ + ∇ ∇ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.18)

elde edilir. Benzer şekilde,

0 Φ( ⃗)Φ_;, ( ⃗) 0 = lim → 1 2 ∇ ∇ + ∇ ∇ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.19) 0 Φ( ⃗)Φ( ⃗) 0 = lim → 1 2 + ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.20)

yazılabilir. Son olarak,

0 Φ( ⃗)Φ( ⃗) 0 = lim

→ ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.21)

bağıntısı kullanılır.

Enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin çakışma limitini [7] 0 0 = lim → (1 − 2 ) ∇ ∇ + 2 − 1 2 ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ −1 2 + + 1 2 ⟨0|Φ( ⃗)Φ( ⃗ )|0⟩ (4.22)

olarak elde etmek için (4.15)-(4.21) arasındaki tüm denklemler (4.12) denkleminin içine yerleştirilir. Denk.(3.12)’deki bağıntı (4.22) denkleminde kullanılırsa,

(32)

22 0 0 ( ) = lim → (1 − 2 ) ∇ ∇ + 2 − 1 2 ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ −1 2 + + 1 2 ( )_{( , ) (4.23)}

olarak elde edilir. Yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerini elde etmek için ( )( , ) ifadesi ( )( , ) ifadesi ile yer değiştiririz. 0 0 ( ) = lim → (1 − 2 ) ∇ ∇ + 2 − 1 2 ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ −1 2 + + 1 2 ( ) ( , ) (4.24)

Burada ( )( , ) n-boyutlu yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonudur.

Çakışma limitinde yeniden normalize edilmiş enerji momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin ve bileşenlerinin genel ifadesi:

⟨0| |0⟩( ) = lim → (1 − 2 )∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ + 2 ( )_{( , ) (4.25)} 0 0 ( ) = lim → (1 − 2 ) ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ − + 2 ( )( , ) (4.26)

haline gelir. Burada = ( − 2) dir. (4.26) denkleminde dikkat edilmesi gereken nokta ikinci terimin kapalı şekilde yazılmasıdır. Çünkü herhangi bir bileşenin hesaplanması durumunda bu terim bileşenlerin toplamı şekline gelir. Yani istenilen bileşen (4.26)’da yerine yazılır ve daha sonra aşağıdaki denklem kullanır:

(33)

23 lim → ∇ ∇ + ∇ ∇ ( ) ( , ) = lim → 2∇ ∇ + ∇ ∇ − ∇ ∇ ( ) ( , ) . (4.27)

(4.24) ile uzay-zaman boyutlarının özelleştirilmesinde boşluk enerji yoğunluğunun değerlerini hesaplamak için

( , ) = 1

( + ) , Re > 1, ≠ 0, −1, −2, … (4.28)

Hurwitz-Zeta fonksiyonuna [8] ihtiyaç vardır. Bu fonksiyon q=1 olduğunda Riemann-Zeta fonksiyonuna indirgenir. Mümkün olan integral gösterimlerinden biri,

( , ) = 1

Γ( ) 1 − (4.29)

şeklindedir. Burada Re > 1 ve Re > 0 ’dır. (4.29)’daki integral kontur integraline dönüştürülürse,

( , ) =

2 Γ(1 − ) 1 − (4.30)

elde edilir. Bu integral bütün düzlem üzerinde ( , ) ’nin analitik sürekliliğini sağlar, bu durum ü 1 ile = 1’deki basit bir kutup haricinde her yerde düzenlidir. Riemann-Zeta fonksiyonunun, Bernoulli polinomu ve Bernoulli sayısı ile gösterimi

(− , ) = − ( )

+ 1 , = 0,1,2,3, … (4.31) (1 − 2 ) = −

2 , = 1,2,3, … (4.32)

şeklindedir. Burada ( ) ve sırasıyla Bernoulli polinomunu ve Bernoulli sayısını ifade eder.

(34)

24

Bernoulli polinomunun değerini kullanılarak, Denk.(4.31) ve Denk.(4.32)’den uzay-zaman boyutunun = 2’den = 12’ ye kadar olan değerlerinde kütlesiz konformal skaler alan için Casimir enerjisi sonuçları elde edilir.

Zeta-fonksiyonunun uygun bir kesme fonksiyonu kullanılarak mod toplama yöntemi ile elde edilen sonuçları nokta-bölme yönteminin sonuçlarını doğrulamıştır.

Bu tez çalışmasında kullanılan bazı Riemann-Zeta fonksiyonlarının değerleri şunlardır:

(2) =

(35)

25

4.1. n=2, 4, 6, 8, 10, 12 Çift Uzay-Zaman Boyutlarındaki Enerji Yoğunlukları 4.1.1. n=2 İçin Sonuçlar

Denk.(3.11) kullanılarak iki nokta fonksiyonu ⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ = 1 2 ln 1 2 cosΔ 0− cos Δ 0 0 (4.34)

olarak elde edilir. Burada cos jeodezik mesafe arasındaki açıdır. (4.34)’deki iki nokta fonksiyonu, sonsuz bir toplam olarak açılabilir [7,17]. Bu nedenle,

= ln cos∆ − cosΔ (4.35)

değişken tanımlaması yapılır. Daha sonra

cos − cos = 2 1 − sin

2 1 −(2 + ) 1 −(2 − ) (4.36)

sonsuz çarpım açılım formülü kullanılır. Bu formülde = ∆ ve = alınırsa,

cos∆ − cosΔ = 2 1 − ∆ Δ sin Δ 2 1 − ∆ (2 + Δ ) 1 − ∆ (2 − Δ ) (4.37)

sonucu elde edilir. (4.37) denklemi (4.35)’de yerine yazılır ve gerekli işlemler yapıldıktan sonra (4.35)’deki ifadesi şu şekilde olur:

= ln 2 + ln 1

2 + ln

(2 + Δ ) − ∆

2 (4.38) (4.38) denklemi (4.34)’de yerine yazılırsa iki nokta fonksiyonu

(36)

26 (⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ =) ( )_{( , )}₌₋ 1 4 ln (2 ₀+ Δ ₀)2_{− ∆} 2 0 2 − 1 ln 1 2 ∞ =1 ∞ =−∞ (4.39) şeklinde olur.

∆ , Δ → 0 çakışma limitinde Green fonksiyonu ifadesindeki ıraksaklığa neden olan terim, sadece ( = 0) terimidir. (4.39) denkleminde sadece ( = 0) teriminin ıraksak olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla bu terim, enerji-momentum tensöründe ıraksaklıklara yol açacaktır. Ayrıca ( = 0) terimi, çakışma limitinde sonsuz olan, sadece yarıçapına bağlı ve Minkowski ifadesini betimleyen tek terimdir. Bu yüzden geriye kalan terimler, enerji-momentum tensörüne sonlu miktarlarda katkıda bulunurlar. 〈 〉’deki sonsuz olan terimlerin çıkarılması doğal bir yöntemdir ve

( )_{( , )’deki diğer ifadeleri kapsaması için Denk. (4.39)’daki = 0 terimi çıkarılır.}

Bu işlemle renormalizasyon yapılmış olur. Denk. (4.39)’daki seride = 0 terimini çıkararak ( )( , ) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra yeniden normalize edilmiş 〈 〉 ifadesi, 〈 〉 ifadesindeki ( )( , )’nün

( )_{( , ) ile yer değiştirilmesi ile elde edilir.}

Çakışma limitinde yani ( → ) ∆ → 0 Δ → 0 iken, yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu hesaplanır. Bunun için (4.39) denkleminden = 0 terimi çıkarılır. ( )_{( , ) =} − 1 4 + ln [(2 + Δ ) − ∆ ] −1 ln 1 2 (4.40)

Çakışma limiti (∆ , Δ → 0) alınırsa,

lim → ( )_{( , ) = lim} → − 1 4 + ln [(2 + Δ ) ] −1 ln 1 2 (4.41) denklemi elde edilir. (4.41) denklemi düzenlenirse, çakışma limitinde yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu

(37)

27 lim

→

( )_{( , ) = 0 (4.42)}

haline gelir. (4.40) denkleminin ’ye göre 2 kez türevi alınırsa

∇ ∇ ( )( , ) = −∇ ∇ ( )( , ) = ∇ ∇ 1 4 + ln [(2 + Δ ) − ∆ ] −1 ln 1 2 = 1 2 + 1 (2 + Δ ) − ∆ − 2∆ [(2 + Δ ) − ∆ ] (4.43)

elde edilir (Burada ∇ , göre türevi gösterir). Çakışma limiti (∆ , Δ → 0 ) alınırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = lim → ⎣ ⎢ ⎢ ⎡₁ 2 + 1 (2 ) 1 +₂Δ _⎦⎥ ⎥ ⎤ (4.44)

haline gelir. Yukarıdaki denklemin son terimi için binom açılımı kullanırsa; 1 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + … … (4.45) (4.44) denklemi lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) =} 1 2 lim→ + 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + … … (4.46)

(38)

28

olarak bulunur. Aşağıdaki bağıntılar (4.46)’da kullanılırsa,

lim → sinΔ Δ = 1 , + 1 = 0 ve + 1 = 2 1 burada = 1,2,3,4, … ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ (4.47) (4.46) denklemi lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = 1 4 1 (4.48)

haline gelir. Çakışma limitinde yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonunun kovaryant türevlerini hesaplanması için önce jeodezik mesafenin bulunması gerekir.

yüzeyindeki jeodezik mesafe,

Δ = arccos[cos( − )] (4.49)

olarak kolayca bulunur. Çakışma limitinde jeodezik mesafenin kovaryant türevi alınırsa,

lim

→ ∇ Δ = 0 ; lim→ ∇ Δ = 0 (4.50)

elde edilir. Burada indisi, ’yi ifade eder. ∇ Δ üzerinde ’nün etkisinin incelenmesi ile ’nün özellikleri kullanılacaktır. Bu, de jeodezikler için teğet bileşen olup, ve arasındaki jeodezik mesafeye eşit uzunluğa sahiptir ve → yönünde yönlendirilmiştir [7,13,14,16]. Jeodezik mesafenin kontravaryant türevi ile kovaryant türevi arasındaki ilişki

(39)

29

ile verilir. Teğet vektör paralele taşınırken, bu teğet olarak kalır ve aynı uzunluğu tutar. Yani ∇ Δ üzerindeki ’nün etkisi, −∇ Δ ’ı vermelidir. Bu, ’de jeodezikler için teğettir ve ∇ Δ ile aynı uzunluğa sahiptir. ∇ Δ ’daki eksi işareti, → yönüne yönlendirilmiş olmasından gelir [7,16]. Böylece jeodezik mesafe için kontravaryant türev ifadelerinden kovaryant türev ifadelerine geçiş,

∇ ∇ Δ = ∇ ∇ Δ (4.52)

ve

∇ ∇ Δ = − ∇ ∇ Δ (4.53)

ile olacaktır.

Çakışma limitinde (∆ , Δ → 0) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonunun kovaryant türevi alınırsa;

∇ ∇ ( )( , ) = −∇ ∇ ( )( , ) = ∇ ∇ 1 4 + ln [(2 + Δ ) − ∆ ] −1 ln 1 2 = 1 4 ∇ ∇ Δ Δ + ln [(2 + Δ ) − ∆ ] −1 ln 1 2 (4.54)

elde edilir. (4.54) denklemi yeniden düzenlenirse,

∇ ∇ ( )( , ) = − 1

2 ∇ ∇ Δ +

(2 + Δ )

(2 + Δ ) − ∆ (4.55)

(40)

30 lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 2 lim→ ∇ ∇ Δ + 1 (2 + Δ ) (4.56)

ifadesi elde edilir. (4.56) denklemi düzenlenirse,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 2 lim→ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∇ ∇ Δ + 1 2 1 1 +₂Δ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.57) denklemi kolayca bulunur.(4.57) denkleminde parantez içindeki terime binom açılımı uygulanırsa, 1 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − Δ 64 1 + … … (4.58) ve (4.57) denklemi, lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 2 lim→ ∇ ∇ Δ + 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + … … (4.59)

haline gelir. Daha sonra kovaryant türevler,

∇ ∇ Δ = Δ − Γ Δ Γ = 2 + − , , , = , , , … , , ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (4.60)

(41)

31

bağıntıları ile hesaplanır. Kovaryant türevler arasındaki bağıntı,

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ = − cos( − ) − 1 Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

R ′ın pozitif kuvvetlerindeki terimler (4.61)

csc Δ = Δ + Δ 6 + 7Δ 360 + 31Δ 15120 + Δs

ile verilir. (4.61) ve (4.62) denklemleri, (4.59) denkleminde yerine yazılırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = − 1 2 lim→ + 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + … … (4.63)

elde edilir ve (4.47) bağıntıları, (4.63) denkleminde kullanılırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = − 1 4 1 (4.64) bulunur.

Şimdi yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün 〈 〉 ve 〈 〉 kuantum boşluk beklenen değerlerini hesaplayalım. bileşeni için (4.25) denklemi kullanılırsa,

⟨0| |0⟩( ) = lim

→ ∇ ∇

(42)

32 denklemi bulunur. Burada,

lim → ( )_{( , ) = 0 ,} lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 4 1 , lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) =} 1 4 1 . ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ (4.66)

(4.66) denklemleri, (4.65)’da yerine yazılırsa

⟨0| |0⟩( ) = − 1 4

1

(4.67)

elde edilir ve daha sonra Riemann zeta fonksiyonunun

1 =

6 (4.68)

ifadesi kullanılırsa sonuç olarak, yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin bileşeni,

⟨0| |0⟩( ) = ( ) = − 1

24 (4.69)

olarak elde edilir [10]. Bu ifade aynı zamanda yeniden normalize edilmiş boşluk enerji yoğunluğunu verir. (4.27) denklemi (4.26) denkleminde kullanılırsa için,

0 0 ( ) = lim

→ ∇ ∇

( )_{( , ) (4.70)}

denklemi elde edilir. Burada = 2 için = 1’dir. (4.66)’daki denklemler (4.70) denkleminde yerine yazılırsa,

(43)

33

0 0 ( ) = 1

4

1

(4.71)

bulunur. (4.68) denklemi (4.71) denkleminde yerine yazılırsa yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin bileşeni,

0 0 ( ) = 1

24 (4.72)

(44)

34 4.1.2. n=4 İçin Sonuçlar

Denk.(3.11) kullanılarak iki nokta fonksiyonu

⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ = 1 8

1 cos∆ − cosΔ

(4.73)

olarak elde edilir. Burada cos ’da jeodezik mesafe arasındaki açıdır.(4.73)’deki iki nokta fonksiyonu, sonsuz bir toplam olarak açılabilir [7,17]. Bu nedenle,

= ln cos∆ − cosΔ (4.74)

değişken tanımlaması yapılır. ’a göre bu denklemin türevi alınır.

Δ = sinΔ cos∆ − cosΔ ⇒ 1 cos∆ − cosΔ = 1 sinΔ Δ (4.75)

(4.75) ifadesi (4.73)’de kullanılırsa iki nokta fonksiyonu

⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ = 1

8 sinΔ Δ

(4.76)

haline gelir. (4.73) denklemi için (4.36)’daki sonsuz çarpım açılım formülü kullanılır. Bu formülde = ∆ ve = alınırsa, cos∆ − cosΔ = 2 1 − ∆ Δ sin Δ 2 1 − ∆ (2 + Δ ) 1 − ∆ (2 − Δ ) (4.77)

(45)

35

sonucu bulunur. Şimdi bulunan (4.77) denklemi (4.74) ’deki ifadesinde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa

= ln 2 + ln Δ − ∆ + ln Δ + ln sin Δ

2

+ ln[(2 + Δ ) − ∆ ] − ln[(2 + Δ ) ]

+ ln[(2 − Δ ) − ∆ ] − ln[(2 + Δ ) ] (4.78)

elde edilir. (4.78) denkleminde ’nun ’a göre türevi alınırsa,

Δ = −2

(2 + Δ )

∆ − (2 + Δ ) (4.79)

haline gelir. (4.79) sonucu, (4.76) denkleminde yerine yazılırsa iki nokta fonksiyonu

(⟨0|Φ( )Φ( )|0⟩ =) ( )_{( , )}₌₋ 1 4 sinΔ (2 ₀+ Δ ₂) ∆ 2−(2 0+ Δ 2)2 ∞ =−∞ (4.80) şeklinde olur [18].

∆ , Δ → 0 çakışma limitinde Green fonksiyonu ifadesindeki ıraksaklığa neden olan terim, sadece ( = 0) terimidir. (4.80) denkleminde sadece ( = 0) teriminin ıraksak olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla bu terim, enerji-momentum tensöründe ıraksaklıklara yol açacaktır. Ayrıca ( = 0) terimi, çakışma limitinde sonsuz olan, sadece yarıçapına bağlı ve Minkowski ifadesini betimleyen tek terimdir. Bu yüzden geriye kalan terimler, enerji-momentum tensörüne sonlu miktarlarda katkıda bulunurlar. 〈 〉’deki sonsuz olan terimlerin çıkarılması doğal bir yöntemdir ve

( )_{( , )’deki diğer ifadeleri kapsaması için Denk. (4.80)’deki = 0 terimi çıkarılır. Bu}

(46)

36

( )_{( , ) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra yeniden}

normalize edilmiş 〈 〉 ifadesi, 〈 〉 ifadesindeki ( )_{( , )’nün} ( )_{( , ) ile yer}

değiştirilmesi ile elde edilir.

Çakışma limitinde yani ( → ) ∆ → 0 Δ → 0 iken, yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu hesaplanır. Bunun için (4.80) denkleminden = 0 terimi çıkarılır.

( )_{( , ) = −} 1

4 sinΔ

+ (2 + Δ )

∆ − (2 + Δ ) (4.81)

Çakışma limiti (∆ , Δ → 0) alınırsa

lim → ( )_{( , ) =} 1 4 lim→ 1 sinΔ + 1 (2 ) 1 1 +₂Δ (4.82) haline gelir. (4.82) denkleminin son terimine binom açılımı uygulanırsa;

lim → ( )_{( , ) =} 1 4 lim→ 1 sinΔ + 1 2 1 − Δ 2 + Δ 2 − Δ 2 + Δ 2 − … … (4.83) elde edilir. (4.83) denklemi düzenlenirse;

lim → ( )_{( , ) =} 1 4 lim→ 1 sinΔ + 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − … … (4.84)

(47)

37

olur ve (4.47) bağıntılar kullanırsa, çakışma limitinde (∆ , Δ → 0 ) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu

lim → ( )_{( , ) = −} 1 8 1 (4.85)

haline gelir. (4.81) denkleminin ’ye göre 2 kez türevi

∇ ∇ ( )( , ) = −∇ ∇ ( )( , ) = ∇ ∇ − 1 4 + (2 + Δ ) sinΔ 1 ∆ − (2 + Δ ) = − 1 4 + (2 + Δ ) sinΔ 2 [∆ − (2 + Δ ) ] + 8∆ [∆ − (2 + Δ ) ] (4.86)

elde edilir (Burada ∇ , göre türevi gösterir). Çakışma limiti (∆ , Δ → 0 ) alınırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = 1 2 lim→ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ + 1 sinΔ 1 (2 ) 1 +₂Δ _⎦⎥ ⎥ ⎤ (4.87) haline gelir. (4.87) denkleminin son terimi için binom açılımı kullanırsa;

1 (2 ) 1 +₂Δ = 1 (2 ) − 3Δ (2 ) + 6Δ (2 ) − … … (4.88) (4.87) denklemi,

(48)

38 lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = 1 2 lim→ + 1 sinΔ ⋅ 1 (2 ) − 3Δ (2 ) + 6Δ (2 ) − … … = 1 2 lim→ + 1 sinΔ ⋅ 1 8 1 − 3Δ 16 1 + 3Δ 16 1 − … … (4.89)

olarak elde edilir. (4.47) bağıntıları, (4.89) denkleminde kullanılırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = − 3 16 1 (4.90)

Δ = arccos[cos cos

+ sin sin (cos cos + sin sin cos( − ))] . (4.91)

olarak kolayca bulunur. Çakışma limitinde jeodezik mesafenin kovaryant türevi alınırsa,

lim

→ ∇ Δ = 0 ; lim→ ∇ Δ = 0 (4.92)

elde edilir. Burada indisi , ve ’yi ifade eder.∇ Δ üzerinde ’nün etkisinin incelenmesi ile ’nün özellikleri kullanılacaktır. Bu, de jeodezikler için teğet bileşen olup, ve arasındaki jeodezik mesafeye eşit uzunluğa sahiptir ve → yönünde

(49)

39

yönlendirilmiştir [7,13,14,16]. Jeodezik mesafenin kontravaryant türevi ile kovaryant türevi arasındaki ilişki

∇ Δ = − ∇ Δ (4.93)

ile verilir. Teğet vektör paralele taşınırken, bu teğet olarak kalır ve aynı uzunluğu tutar. Yani ∇ Δ üzerindeki ’nün etkisi, −∇ Δ ’yi vermelidir. Bu, ’de jeodezikler için teğettir ve ∇ Δ ile aynı uzunluğa sahiptir. ∇ Δ ’deki eksi işareti, → yönüne yönlendirilmiş olmasından geliyor [7,16]. Böylece jeodezik mesafe için kontravaryant türev ifadelerinden kovaryant türev ifadelerine geçiş,

∇ ∇ Δ = ∇ ∇ Δ (4.94) ve

∇ ∇ Δ = − ∇ ∇ Δ (4.95) ile olacaktır.

Çakışma limitinde yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonun kovaryant türevini alırsak; lim → ∇ ∇ ( ) , ′ = −lim → ∇ ∇ ( ) , ′ = lim → ∇ ∇ − 1 4 2 0 + ∞ =1 −1 =−∞ 1 sinΔ 2 0 (2 ₀+ Δ 2) ∆ 2−(2 ₀+ Δ 2)2 = − 1 4 lim→ + ∇ ∇ Δ Δ 1 sinΔ 2 0 (2 ₀+ Δ 2) ∆ 2−(2 ₀+ Δ ₂)2 (4.96)

(50)

40 lim → ∇ ∇ ( ) , ′ = − 1 4 lim→ + csc Δ ∇ ∇ Δ 1 [∆ − (2 + Δ ) ] − 1 cotΔ 2 + Δ [∆ − (2 + Δ ) ] + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.97)

haline gelir. (4.97) denkleminde ∆ → 0 limiti alınırsa

lim → ∇ ∇ ( ) , ′ = − 1 4 lim→ + csc Δ ∇ ∇ Δ 1 cot Δ 1 (2 + Δ )+ 1 (2 + Δ ) (4.98) elde edilir. (4.98) denklemi düzenlenirse,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 4 lim→ + csc Δ ∇ ∇ Δ ⎩ ⎨ ⎧ cot Δ 1 2 1 1 +₂Δ + 1 (2 ) 1 1 +₂Δ _⎭⎬ ⎫ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ . (4.99) haline gelir. (4.99) denkleminde parantez içindeki terimlere binom açılımı uygulanırsa,

cot Δ 1 2 1 1 +₂Δ = 1 2 Δ 1 − Δ 6 1 + Δ 90 1 − 1 4 1 + Δ 12 1 + Δ 8 1 − Δ 24 1 − Δ 16 1 + … … (4.100)

(51)

41 1 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + … … (4.101)

Denk.(4.100) ve Denk.(4.101), Denk.(4.99)’de yerine yazılırsa

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 4 lim→ + csc Δ ∇ ∇ Δ 1 2 Δ 1 − Δ 6 1 + Δ 90 1 + Δ 12 1 − Δ 8 1 − Δ 24 1 + Δ 8 1 − Δ 8 1 + Δs

R ′ın pozitif kuvvetlerindeki terimler

(4.102)

elde edilir. Daha sonra kovaryant türevler, (4.60) bağıntıları ile hesaplanır. Şimdi, kovaryant türevler arasındaki bağıntı şu şekildedir:

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ = − − 1 Δ + Δ 3 + Δ 45 + 2Δ 945 + Δs

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin cos − 1

Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

(52)

42

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin sin sin cos( − ) − 1

Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

csc Δ = Δ + Δ 6 + 7Δ 360 + 31Δ 15120 + Δs

(4.103), (4.104), (4.105) ve (4.106) denklemleri, (4.102) denkleminde yerine yazılırsa, lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = − 1 4 lim→ Δ sinΔ + − 1 2 Δ 1 + 1 6 Δ 1 − Δ 90 1 − 1 12 1 + 1 8 Δ 1 + Δ 24 1 − 1 8 1 + Δ 8 1 + Δs

(4.107)

elde edilir. (4.47) bağıntıları, (4.107) denkleminde kullanılırsa,

lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = − lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = 1 8 1 3 + 1 2 (4.108) haline gelir.

(53)

43

Şimdi yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün 〈 〉 ve 〈 〉 kuantum boşluk beklenen değerleri hesaplanır. bileşeni için (4.25) denklemi kullanılırsa,

⟨0| |0⟩( ) =1

6 lim→ 4∇ ∇ + ∇ ∇ − ∇ ∇ +

2 _{( )}

( , ) (4.109)

elde edilir. Burada, lim → ( )_{( , ) = −} 1 8 1 , lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) =} 3 16 1 , lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = −} 1 8 1 3 + 1 2 . ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ (4.110)

(4.110) denklemleri, (4.119)’da yerine yazılırsa

⟨0| |0⟩( ) =1 6 4 3 16 1 + 2 1 8 1 2 + 1 3 − 2 1 8 1 (4.111)

olarak elde edilir. Burada = 4 için = 3 dür. (4.111) denklemi düzenlenirse,

⟨0| |0⟩( ) = 3 16

1

(4.112)

haline gelir. Daha sonra aşağıdaki Riemann zeta fonksiyonunun sonucu kullanılır.

1 =

(54)

44

Sonuç olarak, yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin bileşeni,

⟨0| |0⟩( ) = ( ) = 1

480 (4.114)

olarak elde edilir [7]. Bu ifade aynı zamanda yeniden normalize edilmiş boşluk enerji yoğunluğunu verir. (4.27) denklemi (4.26) denkleminde kullanılırsa için,

0 0 ( ) =1

6 lim→ 6 ∇ ∇ + ∇ ∇ + ∇ ∇

( )_{( , ) (4.115)}

elde edilir. (4.110) denklemleri yerine yazılırsa,

0 0 ( ) = 1 6 − 6 8 1 2 + 1 3 + 3.2 8 1 2 + 1 3 − 2.3 16 1 (4.116)

haline gelir. Denk.(4.116) düzenlenirse,

0 0 ( ) = − 1

16

1

(4.117)

bulunur. (4.113) denklemi (4.117) denkleminde yerine yazılır ve yeniden normalize edilmiş enerji-momentum tensörünün kuantum boşluk beklenen değerinin bileşeni,

0 0 ( ) = − 1

1440 (4.118)

olarak hesaplanır [7]. Burada, = = ise 1 ≠ ise 0 dır.

(55)

45 4.1.3. n=6 İçin Sonuçlar

Denk.(3.11) kullanılarak iki nokta fonksiyonu

( )_{( , ) =}

4

1 cos∆ − cosΔ

(4.119)

olarak elde edilir. Burada = dir ve cos ’da jeodezik mesafe arasındaki açıdır. (4.119) ’deki iki nokta fonksiyonu, sonsuz bir toplam olarak açılabilir [7,17]. Bu nedenle,

= ln cos∆ − cosΔ (4.120)

değişken tanımlaması yaparız. ’a göre bu denklemin iki kez türevi alınır ve gerekli işlemler yapıldıktan sonra iki nokta fonksiyonu

( )_{( , ) =} 1 16 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cosΔ sin Δ Δ − 1 sin Δ Δ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ (4.121)

haline gelir. (4.119) denklemi için (4.36)’daki sonsuz çarpım açılım formülü kullanılır. Bu formülde = ∆ ve = alınırsa, cos∆ − cosΔ = 2 1 − ∆ Δ sin Δ 2 ⋅ 1 − ∆ (2 + Δ ) 1 − ∆ (2 − Δ ) (4.122)

sonucu bulunur. (4.122) denklemi, ’da yerine yazılır ve sırasıyla, ifadeleri hesaplanır.

(56)

46 Δ = −2 (2 + Δ ) ∆ − (2 + Δ ) (4.123) Δ = −2 1 ∆ − (2 + Δ ) + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.124)

(4.123) ve (4.124) denklemleri (4.121)’deki iki nokta fonksiyonunda yerine yazılırsa

( )_{( , ) =} 1 8 1 sin Δ − cotΔ (2 + Δ ) ∆ − (2 + Δ ) + 1 ∆ − (2 + Δ ) + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.125) şeklinde olur [18].

∆ , Δ → 0 çakışma limitinde Green fonksiyonu ifadesindeki ıraksak terim, sadece ( = 0) terimidir. (4.125) denkleminde sadece ( = 0) teriminin ıraksak olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla bu terim, enerji-momentum tensöründe ıraksaklıklara yol açacaktır. Ayrıca ( = 0) terimi, çakışma limitinde sonsuz olan, sadece yarıçapına bağlı ve Minkowski ifadesini betimleyen tek terimdir. Bu yüzden geriye kalan terimler, enerji-momentum tensörüne sonlu miktarlarda katkıda bulunurlar. 〈 〉’deki sonsuz olan terimlerin çıkarılması doğal bir yöntemdir ve ( )( , )’deki diğer ifadeleri kapsaması için Denk. (4.125)’deki = 0 terimi çıkarılır. Bu işlemle renormalizasyon yapılmış olur. Denk. (4.125)’deki seride = 0 terimini çıkararak ( )( , ) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra yeniden normalize edilmiş 〈 〉 ifadesi, 〈 〉 ifadesindeki ( )( , )’nün ( )( , ) ile yer değiştirilmesi ile elde edilir. Çakışma limitinde yani ( → ) ∆ → 0 Δ → 0 iken, yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu hesaplanır. Bunun için (4.125) denkleminden = 0 terimi çıkarılır.

(57)

47 ( ) ( , ) = 1 8 1 sin Δ + − cotΔ (2 + Δ ) ∆ − (2 + Δ ) + 1 ∆ − (2 + Δ ) + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.126)

Çakışma limiti (∆ , Δ → 0 ) alınırsa

lim → ( )_{( , ) =} 1 8 lim→ 1 sin Δ + ∞ =1 −1 =−∞ cotΔ 1 (2 ) 1 1 +₂Δ + 1 (2 ) 1 1 +₂Δ ⎭ ⎬ ⎫ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ (4.127)

elde edilir. (4.127) denkleminin son terimlerine binom açılımı uygulanırsa;

1 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − Δ 64 1 + … … (4.128) (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + 5Δ 8 1 − … (4.129) cotΔ = Δ − Δ 3 − Δ 45 − 2Δ 945 − Δs

R ′ın pozitif kuvvetlerindeki terimler (4.130) (4.128), (4129) ve (4.130) denklemleri, (4.127) denkleminde yerine yazılırsa

(58)

48 lim → ( ) ( , ) = 1 8 lim→ + 1 sin Δ Δ − Δ 3 − Δ 45 − 2Δ 945 − … … . 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − Δ 64 1 + … … + 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + 5Δ 8 1 − … … . (4.131)

elde edilir. (4.131) denklemi düzenlenirse;

lim → ( )_{( , ) =} 1 8 lim→ + 1 sin Δ 1 2 Δ 1 − Δ 6 1 − Δ 90 1 − Δ 945 1 + Δ 12 1 + Δ 180 1 + Δ 1890 1 − Δ 8 1 − Δ 24 1 − Δ 360 1 − Δ 3780 1 + Δ 8 1 + Δ 48 1 + Δ 720 1 + Δ 4 8 7560 4 0 9 1 4 − 3Δ 43 32 5 0 4 1 5 − Δ 45 96 5 0 6 1 5 − Δ 47 1440 5 0 8 1 5 − Δ 15120 1 + 39Δ 64 1 + Δ 192 1 + Δ 2880 1 + Δ 30240 1 + … … (4.132)

olur ve (4.47) bağıntıları (4.132) denkleminde kullanılırsa, çakışma limitinde yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonu

lim → ( )_{( , ) =} 1 16 1 2 + 1 3 . (4.133)

(59)

49

haline gelir.(4.126) denkleminin ’ye göre 2 kez türevi alınırsa ∇ ∇ ( )( , ) = −∇ ∇ ( )( , ) = 1 8 + 1 sin Δ 2 cot∆ (2 + Δ ) ∙ 1 [∆ − (2 + Δ ) ] + 4∆ [∆ − (2 + Δ ) ] + − 2 [∆ − (2 + Δ ) ] + 8∆ [∆ − (2 + Δ ) ] −8 (2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] − 6∆ (2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.134) elde edilir. Çakışma limiti (∆ → 0, Δ → 0) alınırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = 1 4 lim→ + 1 sin Δ cot∆ 1 (2 + Δ ) + 3 (2 + Δ ) = 1 4 lim→ + 1 sin Δ ∙ ⎩ ⎨ ⎧ cot∆ 1 (2 ) 1 1 +₂Δ + 3 (2 ) 1 1 +₂Δ _⎭⎬ ⎫ (4.135)

(60)

50 1 (2 ) 1 +₂Δ = 1 8 1 − 3Δ 16 1 + 3Δ 16 1 − 5Δ 32 1 + … … (4.136) 3 (2 ) 1 +₂Δ = 3 16 1 − 3Δ 8 1 + 15Δ 32 1 − … … (4.137) cotΔ = Δ − Δ 3 − Δ 45 − 2Δ 945 + Δs

(4.136), (4.137) ve (4.138) denklemleri, (4.135) denkleminde yerine yazılırsa

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) =} 1 4 lim→ + 1 sin Δ ⋅ Δ − Δ 3 − Δ 45 − 2Δ 945 − … … 1 8 1 − 3Δ 16 1 + 3Δ 16 1 − 5Δ 32 1 + … … + 3 16 1 − 3Δ 8 1 + 15Δ 32 1 − … … . (4.139)

(61)

51 lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = 1 4 lim→ + 1 sin Δ 1 8 Δ 1 − Δ 24 1 − Δ 360 1 − Δ 3780 1 + Δ 4 2 16 1 + Δ 4 4 240 1 + Δ 4 6 2520 1 − 3Δ 16 1 − Δ 16 1 − Δ 240 1 − Δ 2520 1 + 5Δ 16 1 + 5Δ 96 1 + Δ 288 1 + Δ 4 8 3024 1 + … … (4.140) elde edilir. (4.47) bağıntıları, (4.140) denkleminde kullanılırsa,

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = 1 32 5 + 1 (4.141)

Δ = arccos[cos cos + sin sin (cos cos

+ sin sin (cos cos + sin sin (cos cos

+ sin sin cos( − )) (4.142)

olarak kolayca bulunur. Çakışma limitinde jeodezik mesafenin kovaryant türevi alınırsa, lim

(62)

52

elde edilir. Burada indisi , , , ve ’yi ifade eder.∇ Δ üzerinde ’nün etkisinin incelenmesi ile ’nün özellikleri kullanılacaktır. Bu, de jeodezikler için teğet bileşen olup , ve arasındaki jeodezik mesafeye eşit uzunluğa sahiptir ve → yönünde yönlendirilmiştir [7,13,14,16]. Jeodezik mesafenin kontravaryant türevi ile kovaryant türevi arasındaki ilişki

∇ Δ = − ∇ Δ (4.144) ile verilir. Teğet vektör paralele taşınırken, bu teğet olarak kalır ve aynı uzunluğu tutar. Yani ∇ Δ üzerindeki ’nün etkisi, −∇ Δ ’ü vermelidir. Bu, ’de jeodezikler için teğettir ve ∇ Δ ile aynı uzunluğa sahiptir. ∇ Δ ’deki eksi işareti, → yönüne yönlendirilmiş olmasından geliyor [7,16]. Böylece jeodezik mesafe için kontravaryant türev ifadelerinden kovaryant türev ifadelerine geçiş,

∇ ∇ Δ = ∇ ∇ Δ (4.145) ve

∇ ∇ Δ = − ∇ ∇ Δ (4.146) ile olacaktır.

Çakışma limitinde (∆ → 0, Δ → 0) yeniden normalize edilmiş Green fonksiyonun kovaryant türevini alırsak;

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) = − lim} → ∇ ∇ ( )_{( , )} = 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ ⋅ Δ − cosΔ sin Δ (2 + Δ ) ∆ − (2 + Δ ) + sin Δ 1 ∆ − (2 + Δ ) + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.147)

(63)

53 elde edilir. (4.147) denklemi düzenlenirse,

lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ csc Δ ∙ 1 1 + 3 cot Δ (2 + Δ ) ∆ − (2 + Δ ) −3 cotΔ 1 ∆ − (2 + Δ ) + 2(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] +2 3(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] + 4(2 + Δ ) [∆ − (2 + Δ ) ] (4.148)

haline gelir. (4.148) denkleminin ∆ → 0 limiti alınırsa

lim → ∇ ∇ ( )_{( , ) =} 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ csc Δ ∙ − 1 1 + 3 cot Δ 1 (2 + Δ ) −3 cotΔ 1 (2 + Δ ) −2 1 (2 + Δ ) (4.149)

(64)

54 lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ csc Δ ∙ − 1 1 + 3 cot Δ 1 2 1 1 +₂Δ −3 cotΔ 1 (2 ) 1 1 +₂Δ − 2 (2 ) 1 1 +₂Δ _⎭⎬ ⎫ _⎦⎥ ⎥ ⎤ . (4.150)

haline gelir. (4.150) denkleminde parantez içindeki terimlere binom açılımı uygulanır.

1 (2 ) 1 +₂Δ = 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − Δ 64 1 + Δ 128 1 − … … (4.151) 1 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + 5Δ 64 1 − 3Δ 64 1 + … … (4.152) 2 (2 ) 1 1 +₂Δ = 1 4 1 − 3Δ 8 1 + Δ 8 1 − 5Δ 16 1 + 15Δ 64 1 − … … (4.153)

(65)

55 3 cotΔ = 3 Δ − Δ − Δ 15 − 2Δ 315 + Δs

R ′ın pozitif kuvvetlerindeki terimler (4.154) 1 1 + 3 cot Δ = 3 Δ − 1 +Δ 5 + 2Δ 63 + Δs

(4.151), (4.152), (4.153), (4.154) ve (4.155) denklemleri, (4.150) denkleminde yerine yazılırsa lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = − 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ csc Δ ∙ 3 Δ − 1 +Δ 5 + 2Δ 63 + … … 1 2 1 − Δ 4 1 + Δ 8 1 − Δ 16 1 + Δ 32 1 − Δ 64 1 + Δ 128 1 − … … + 3 Δ − Δ − Δ 15 − 2Δ 315 + … … 1 4 1 − Δ 4 1 + 3Δ 16 1 − Δ 8 1 + 5Δ 64 1 − 3Δ 64 1 + … … + 1 4 1 − 3Δ 8 1 + Δ 8 1 − 5Δ 16 1 + 15Δ 64 1 − … … (4.156)

(66)

56 lim → ∇ ∇ ( ) ( , ) = − 1 8 lim→ + ∇ ∇ Δ csc Δ 3 2 Δ 1 − 1 2 1 + Δ 10 1 + Δ 63 1 − Δ 15 1 − Δ 105 1 − 1 8 1 + Δ 8 1 + Δ 24 1 + Δ 180 1 − Δ 8 1 − Δ 40 1 − Δ 315 1 − 5Δ 32 1 + 3Δ 32 1 + 7Δ 480 1 + Δ 560 1 − Δ 8 1 + 3Δ 32 1 − Δ 120 1 − Δ 1008 1 + 15Δ 128 1 + 5Δ 128 1 + 3Δ 640 1 + 11Δ 20160 1 + Δs

(4.157)

elde edilir. Daha sonra kovaryant türevler, (4.60) bağıntıları ile hesaplanır. Şimdi, kovaryant türevler arasındaki bağıntı şu şekildedir:

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ = − − 1 Δ + Δ 3 + Δ 45 + 2Δ 945 + Δs

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin cos − 1

Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

(67)

57

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin sin sin cos − 1

Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin sin sin sin sin cos − 1

Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

∇ ∇ Δ = −∇ ∇ Δ

= − sin sin sin sin sin sin sin sin cos( − )

∙ − 1 Δ − Δ 6 − 7Δ 360 − 31Δ 15120 + Δs

csc Δ = Δ + Δ 6 + 7Δ 360 + 31Δ 15120 + Δs

(4.158), (4.159), (4.160), (4.161), (4.162) ve (4.163) denklemleri, (4.157) denkleminde yerine yazılırsa,