Kapalı heterojen dalga kılavuzlarında özdeğerlerin cebrik fonksiyon teorisi yardımıyla incelenmesi

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ * FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

KAPALI HETEROJEN DALGA KILAVUZLARINDA

ÖZDEĞERLERĐN CEBRĐK FONKSĐYON TEORĐSĐ

YARDIMIYLA ĐNCELENMESĐ

YÜKSEK LĐSANS

Kutlu KARAYAHŞĐ

Anabilim Dalı: Elektronik ve Bilgisayar Eğitimi

Danışman: Doç. Dr. Namık YENER

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Heterojen ve anizotropik dalga kılavuzlarının alan ifadelerini elde edebilmek için transmisyon hatları eşdeğerliği yönteminin kullanılabilmektedir. Bu yöntemle elde edilen denklem ifadeleri, cebrik oldukları için cebrik fonksiyon teorisi uyarınca oldukça geniş bir uygulama sahası sunmaktadırlar.

Bu çalışmada, dielektrik çubuk yüklü heterojen dalga kılavuzundan elde edilen cebrik fonksiyonların diskriminantları, ferrit tüp yüklü dalga kılavuzundan elde edilen cebrik fonksiyonun ise polinom katsayıları incelenerek yorumlanmıştır.

Tez aşamasında fikirleri ile beni yönlendiren ve teşvik eden danışmanım Sn. Doç. Dr. Namık YENER’e teşekkür ederim. Ayrıca hayatım boyunca beni destekleyen ve bugünlere getiren babam İbrahim KARAYAHŞİ ve annem Müberra KARAYAHŞİ ’ye sonsuz minnet duygularımı sunarım.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ………..i İÇİNDEKİLER……….ii ŞEKİLLER DİZİNİ……….iv SİMGELER……….vi ÖZET………..vii İNGİLİZCE ÖZET………viii 1. GİRİŞ...……….1

2. TRANSMİSYON HATLARI EŞDEĞERLİĞİ YARDIMIYLA KAPALI ÜNİFORM DALGA KILAVUZLARININ ÖZDEĞERLERİNİN BELİRLENMESİ………3

2.1 Homojen ve İzotropik Ortamla Dolu Kapalı Üniform Dalga Kılavuzu İçin Akım-Gerilim Bağıntıları………..3

2.1.1 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için özfonksiyonları tanımlayan problem………..5

2.1.2 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için akım-gerilim bağıntıları ve transmisyon hattı denklemlerinin elde edilmesi…………...9

2.1.3 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için transmisyon hattı denklemlerine giren büyüklüklerin tanımları………...10

2.2 Heterojen ve Anizotropik Ortamla Dolu Üniform Dalga Kılavuzu İçin Akım-Gerilim Bağıntıları………11

2.3 Dielektrik Çubukla Yüklü Silindirik Dalga Kılavuzu………..…16

2.3.1 Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun alan ifadeleri ve tam dispersiyon bağıntısının elde edilmesi………..16

2.3.2 Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun transmisyon hattı denklemlerine ait katsayıların hesaplanması………19

3. TRANSMİSYON HATLARI DENKLEMLERİ EŞDEĞERLİĞİ VE CEBRİK FONKSİYON TEORİSİ ARASINDAKİ İLİŞKİ………22

4. DİELEKTRİK ÇUBUKLA YÜKLÜ KAPALI ÜNİFORM SİLİNDİRİK DALGA KILAVUZU İÇİN YAYILMA SABİTİNİN VE BUNA İLİŞKİN KARAKTERİSTİK DENKLEMİNİN DİSKRİMİNANTININ FREKANSA GÖRE GRAFİĞİNİN ELDE EDİLMESİ………24

4.1 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Yayılma Sabitlerinin Hesaplanması………..…24

4.2.1 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Katsayılar Matrisinin Karakteristik Denkleminin Diskriminantının Hesaplanması İçin Denenen Yöntemler………...27

4.2.2 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Katsayılar Matrisinin Karakteristik Denkleminin Diskriminantının j Ekseni ω Üzerinde Hesaplanması ve Elde Edilen Sonuçların Değerlendirilmesi…………30

4.2.3 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Katsayılar Matrisinin Karakteristik Denkleminin Diskriminantının ve türevlerinin Kompleks Frekans Düzlemi Üzerinde Hesaplanması ve Elde Edilen Üç Boyutlu Grafiklerin Değerlendirilmesi………..….35

4.2.4 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Katsayılar Matrisinin Karakteristik Denkleminin Diskriminantının ve Türevlerinin Kompleks Frekans Düzlemi Üzerinde Elde Edilen Eşgenlik

Grafiklerinin Değerlendirilmesi………...………..….42

5. FERRİT TÜP YÜKLÜ KAPALI ÜNİFORM SİLİNDİRİK DALGA KILAVUZU İÇİN KATSAYILAR MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DENKLEMİNİN İNCELENMESİ………47

5.1 Ferrit Tüp Yüklü Dalga Kılavuzunun Yapısı ve Parametreleri………47

5.2 Cebrik Fonksiyon Teorisinin Ferrit Tüp Yüklü Silindirik Dalga Kılavuzuna Uygulanması……….49

5.3 Ferrit Tüp Yüklü Silindirik Dalga Kılavuzu İçin Elde Edilen Katsayılar Matrisinin Karakteristik Polinomunun katsayılarının İncelenmesi………..50

6. SONUÇLAR VE TARTIŞMA……….………..54

KAYNAKLAR………...55

EKLER………57

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1: Heterojen ortamla dolu silindirik dalga kılavuzu ve bu dalga kılavuzunun akım-gerilim ifadelerini elde etmek için özfonksiyonları kullanılan homojen ortamla

dolu silindirik dalga kılavuzu………...5

Şekil 4.1: Dispersiyon bağıntısına dayalı yayılma sabiti-frekans grafiği….………..25

Şekil 4.2: 30 TE ve 30 TM modu kullanılarak transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemiyle elde edilen yayılma sabitlerinin frekansla değişimini gösteren grafik………...26

Şekil 4.3: Tam dispersiyon bağıntısı ve transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemiyle elde edilen yayılma sabiti değerlerinin aynı grafikte çizimi………...27

Şekil 4.4: Z

( )

p Y

( )

p ’nin karakteristik denkleminin diskriminantının frekansla değişimi………...31

Şekil 4.5: Z

( )

p Y

( )

p ’nin karakteristik denkleminin diskriminantının çarpmaya göre tersinin frekansla değişimi………..32

Şekil 4.6: 0,41918 civarında diskriminant-frekans grafiği………...….33

Şekil 4.7: 0,41918 civarında 1/diskriminant-frekans grafiği……….33

Şekil 4.8: 0,93969 civarında diskriminant-frekans grafiği……….34

Şekil 4.9: 0,93969 civarında 1/diskriminant-frekans grafiği………..34

Şekil 4.10: Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin diskriminantının mutlak değerinin çarpmaya göre tersinin kompleks frekansla değişimi ………....36

Şekil 4.11: Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin diskriminantının birinci türevinin mutlak değerinin kompleks frekansla değişimi………...37

Şekil 4.12: Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin diskriminantının ikinci türevinin mutlak değerinin kompleks frekansla değişimi…………...………....39

Şekil 4.13: Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin diskriminantının üçüncü türevinin mutlak değerinin kompleks frekansla değişimi………...40

Şekil 4.14: Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin diskriminantının dördüncü türevinin mutlak değerinin kompleks frekansla değişimi………...41

Şekil 4.15: Diskriminantın tersinin mutlak değerinin eş genlik eğrileri………….…43

Şekil 4.16: Diskriminantın birinci türevinin mutlak değerinin eş genlik eğrileri…...44

Şekil 4.17: Diskriminantın ikinci türevinin mutlak değerinin eş genlik eğrileri……45

Şekil 4.18: Diskriminantın üçüncü dereceden türevinin tersinin mutlak değerinin eş genlik eğrileri………...…45

Şekil 4.19: Diskriminantın dördüncü dereceden türevinin mutlak değerinin eş genlik eğrileri………..…46

Şekil5.1: Ferrit tüp yüklü silindirik dalga kılavuzunun kesiti………....47

Şekil 5.2: Ferrit tüp yüklü silindirik dalga kılavuzunun sağ el dairesel polarizasyonu için yayılma sabitinin frekansla değişimi……….…………...50

Şekil 5.3: a katsayısının frekansla değişim grafiği………...511

Şekil 5.4: a katsayısının frekansla değişim grafiği………..522

SİMGELER

Disk : Diskriminant

E : Elektrik alan (V./ m.) H : Manyetik alan (A. / m.)

( )

x

J₁ : Birinci mertebeden birinci cins Bessel Fonksiyonu 1

c

k ve k : Çubuk içindeki ve dışındaki ortamlardaki dalga sayısıc2

r , r , 1 r : Gözlem noktası,çubuğun ve dalga kılavuzunun yarıçapı0

j i r

r , : Diskriminantı hesaplanan fonksiyonun kökleri

) , ( vu

T_n′ : TM modları için eksenel alan bileşeni )

, ( vu

T_n″ : TE modları için eksenel alan bileşeni

( )

x

Y_n : n inci mertebeden ikinci cins Bessel Fonksiyonu

ε : Dielektrik geçirgenlik ( F./ m.)

0

ε : Boşluğun dielektrik geçirgenliği ( F./ m.)

( )

p

γ : Yayılma sabiti

0

λ : Serbest uzayda dalga uzunluğu

Λ : Dielektrik çubukla yüklü dalga kılavuzunda manyetik ve elektrik alan şiddetlerinin boyuna bileşenlerinin normalize oranı

µ _{: Manyetik geçirgenlik ( H. /m.)}

0

µ : Boşluğun manyetik geçirgenliği ( H. /m.)

′

n

χ : TM modları için ayırma sabiti

″

n

χ : TE modları için ayırma sabiti

ω : Kompleks frekansın sanal kısmı

0

ω : Larmor frekansı

s

M

,

γ : jiromanyetik oran ve doyma mıknatıslanması

m

KAPALI HETEROJEN DALGA KILAVUZLARINDA ÖZDEĞERLERİN CEBRİK FONKSİYON TEORİSİ YARDIMIYLA İNCELENMESİ

Kutlu KARAYAHŞİ

Anahtar Kelimeler: Heterojen dalga kılavuzu, cebrik fonksiyon, dispersiyon, diskriminant, ferrit

Bu çalışmada önce kapalı heterojen dalga kılavuzlarına transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemi uygulanması sonucunda ortaya çıkan akım-gerilim denklemlerini ifade eden katsayılar matrislerinin elde edilmesi incelenmiştir. Daha sonra bir kapalı heterojen dalga kılavuzu üzerinde transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemi uygulanmış ve elde edilen sonuç dispersiyon bağıntısı yöntemiyle elde edilen sonuçla karşılaştırılmıştır.

Ardından katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin bir cebrik fonksiyon olduğu gösterilerek bu fonksiyonun diskriminantının değişik frekanslardaki davranışı incelenmiştir.

Daha sonra başka bir problem olan ferrit tüp yüklü dairesel dalga kılavuzu incelenmiştir. Ferrit tüp yüklü dalga kılavuzunun katsayılar matrisinin karakteristik denkleminin polinom katsayılarının frekansla değişimi gözlemlenmiştir.

INVESTIGATION OF THE EIGENVALUES OF CLOSED

HETEROGENEOUS WAVEGUIDES WITH THE HELP OF ALGEBRAIC FUNCTION THEORY

Kutlu KARAYAHŞİ

Keywords: Heterogeneous waveguide, algebraic function, dispersion, discriminant, ferrite

In this study, first the obtaining of the coefficient matrices which are the results of the application of the transmission lines equivalence method to the closed heterogeneous waveguides has been investigated. Then, the transmission lines equivalence method has been applied to a closed heterogeneous waveguide ant the result has been compared with the result obtained with dispersion equation method. Then it has been shown that the characteristic equation of the coefficient matrix is an algebraic function and the behaviour of the discriminant of this equation in different frequencies has been investigated.

After that, ferrite tube loaded cylindirical waveguide which is another problem has been investigated. How the polynomial coefficients of the characteristic equation of coefficient matrix of the ferrite tube loaded cylindirical waveguide vary with frequency has been observed.

1. GİRİŞ

Üniform dalga kılavuzları içeren problemlerin, yapısı belli simetri koşulları sağlayan ve bu nedenle “değişkenlere ayırma” yöntemine olanak veren çok küçük bir bölümünde modal çözümlerin analitik olarak bulunması mümkün olur. Bu tür problemler ve bunlara ilişkin analiz yöntemleri elektromanyetik teorinin klasik konuları arasındadır [1- 7]. Diğer bütün durumlarda ele alınan problemin çözümü ancak yarı analitik veya salt sayısal yöntemler yardımıyla [8- 11] ve bu yöntemlerin zorunlu olarak içerdikleri bazı yaklaşıklıklar altında elde edilebilir [12].

Bilindiği üzere heterojen ve anizotropik bir ortam ile doldurulmuş üniform dalga kılavuzları için Maxwell’in kısmi türevli diferansiyel denklemleri ve sınır koşulları sonsuz boyutlu bir adi diferansiyel denklemler sistemine dönüştürülebilir. Bu sistem tek bir modun iletimi için transmisyon hattı denklemlerinin çoklu mod iletimi haline genelleştirilmesidir. Bu çalışmada silindirik dalga kılavuzu örnek alınmış ve bir dielektrik çubukla ve bir ferrit tüple yüklü olduğu zaman böyle bir dalga kılavuzu için yukarıda belirtilen genelleştirilmiş transmisyon hattı denklemi katsayıları elde edilmiştir.

Kayıpsız heterojen ve anizotropik ortam ile doldurulmuş metalik dalga kılavuzlarının modal karakteristiklerini incelemek problemi, bu yapının yayılma sabitinin özelliklerini anlamaya çalışmakla aynı problemdir. Böyle bir yapının yayılma sabiti ise belirli koşullar altında bir cebrik denklemin çözümüdür. Bu durum bize yayılma sabitinin davranışlarını incelemek için cebrik fonksiyon teorisinin kullanımına izin verir.

Bu özellikten faydalanarak daha sonra sayısal örnek olarak 1) heterojen dielektrik ve 2) anizotropik ferrit ortamla kısmen doldurulmuş olan silindirik bir dalga kılavuzunun yayılma sabitinin frekansa göre değişimi hesaplanmıştır. Birinci problem için yayılma sabitinin hesaplanmasında kullanılan cebrik denklemin

diskriminantının davranışları incelenmiştir. İkinci olarak ferrit tüp yüklü bir silindirik dalga kılavuzunun kökleri yayılma sabitini karesi olan cebrik denklemin katsayılarının frekans değişimine göre davranışları incelenmiştir.

2. TRANSMİSYON HATLARI EŞDEĞERLİĞİ YARDIMIYLA KAPALI

ÜNİFORM DALGA KILAVUZLARININ ÖZDEĞERLERİNİN

BELİRLENMESİ

2.1 Homojen ve İzotropik Ortamla Dolu Kapalı Üniform Dalga Kılavuzu İçin Akım-Gerilim Bağıntıları

Böyle bir dalga kılavuzu için E , [12]z

z z TE E 2 2 _{= −χ} ∇ _(2.1)

ve C sınırında Ez(C)= 0 bağıntılarını sağlar. Schelkunoff’un [13] notasyonuyla n.

özfonksiyon (E ), zn Tn′ ile gösterilir. Karşı düşen özdeğer ise

2

n

χ ′ ile gösterilir. Aynı dalga kılavuzunda H isez

z z TH H 2 2 _{= −χ} ∇ _(2.2) ve C sınırında ( )= 0 ∂ ∂ _C n H_z

bağıntılarını sağlar. Schelkunoff’un notasyonuyla n. özfonksiyon (H ), zn Tn′′ ile gösterilir. Karşı düşen özdeğer ise

2

n

χ ′′ ile gösterilir.

{χ ′nTn′} ve {χ ′′n Tn′′}birer tam ortonomal kümedir. Sırasıyla E ve z H ’nin açılımı z

için fonksiyonlar temin etmektedirler.

Homojen ve izotropik ortamla dolu dalga kılavuzlarına ait akım-gerilim bağıntılarını yani transmisyon hatları denklemlerini elde etmek için bu dalga kılavuzundaki her mod yukarıda belirtilen T( vu, ) ile belirtilir. Burada u ve v , dalga kılavuzunun tipik bir kesitindeki bir noktanın dik koordinatlarıdır. T( vu, ) fonksiyonu aşağıdaki iki boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümüdür.

T v T e e v u T e e u e e T T 2 2 1 1 2 2 1 2 1 _{( ) ( ) = −χ}       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ (2.3)

Burada χ ayırma sabiti, e ve 1 e ise metrik çarpanlardır.2

TM modları için T fonksiyonu sıfır empedans sınırında sıfıra eşittir. Bu sınır koşuluyla χ çifte sonsuz χ mn değerler kümesine, T ise bunlara karşı düşen T mn

fonksiyonları kümesine sıkıştırılır. TE modlarında T fonksiyonun normal türevi sıfır empedans sınırında sıfıra eşittir. Yine Schelkunoff’un notasyonuna uygun olarak iki dalga türünden TM dalgaları için χ ′n, Tn′ ve TE dalgaları için χ ′′n, Tn′′kullanılarak

ayrım gösterilecektir. Bu çalışmada modlar kesim frekanslarına göre sıralanarak tek bir alt indis kullanılmıştır. Yani TM modları T_n′( vu, ), TE modları ise T_n″ ( vu, ) şeklinde gösterilmiştir. Bu modlara karşı düşen ayırma sabitleri ise sırasıyla _{χ n}′ ve

″

n

χ şeklindedir.

Heterojen ve izotropik olmayan bir ortamla dolu olan dalga kılavuzlarında da T fonksiyonları homojen ve izotropik ortamla dolu olan dalga kılavuzlarındaki T fonksiyonlarıyla aynı alınabilir. Böylece hem E ve z H , kılavuzun C sınırında sınır z

koşullarını hem de (2.1) ve (2.2) denklemlerini sağlarlar. Ayrıca E ve z H diğer alan z

bileşenlerini de ifade etmekte kullanılabilirler. Bu şekilde T fonksiyonları cinsinden tüm alan ifadelerini yazmak mümkündür. Burada geriye kalan problem açınım katsayılarının hesaplanmasıdır.

Sonraki başlıklarda T fonksiyonları cinsinden alan ifadelerinin seri açınımlarının katsayıları olan akım ve gerilim büyüklükleri arasındaki bağıntılardan oluşan transmisyon hattı denklemleri elde edilmiştir. Görüleceği gibi bu çalışmada incelenen geometrilerden biri olan heterojen ortamla dolu dalga kılavuzu oluşturan aşağıdaki Şekil 1.1(a)’daki kesit için Şekil 1.1(b)’deki homojen ve izotropik ortamla dolu olan dalga kılavuzunun T fonksiyonları alınırsa akım-gerilim bağıntıları T

fonksiyonlarının u ve v’ ye göre birinci dereceden türevlerinin çeşitli ikili çarpım kombinasyonlarının kesit üzerindeki sayısal integrasyonu ile bulunabilir. Yani Schelkunoff’un önerdiği gibi heterojen ve izotropik olmayan ortamla dolu olan dalga kılavuzları için Fourier açınımını, homojen ve izotropik ortamla dolu olan dalga kılavuzuna ilişkin özfonksiyonlar cinsinden gerçekleştirilebilir.

Şekil 1.1: Heterojen ortamla dolu silindirik dalga kılavuzu ve bu dalga kılavuzunun akım-gerilim ifadelerini elde etmek için özfonksiyonları kullanılan homojen ortamla dolu silindirik

dalga kılavuzu

2.1.1 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için özfonksiyonları tanımlayan problem

Vektörel analizden bilinmektedir ki herhangi bir vektör birisi solenoidal diğeri irrotasyonel iki kısma ayrıştırılabilir. Dolayısıyla herhangi bir enine vektör için de bu doğrudur. {ei′



} irrotasyonel vektörler kümesi (dalga kılavuzunun S kesitinde ) 0 = ′ × ∇ T ei  ve { ei′′ 

} solenoidal vektörler kümesi (dalga kılavuzunun S kesitinde ) 0 . ′′= ∇ T ei  olsun. n T n T e′(ρ)= ∇ ′ en( ) TTn z0    ×′ ′ ∇ = ′′′ ρ (2.4) ve

0 ) ( T z h_n′ ρ = − ∇_{T n}′×  h_n′′(ρ)= ∇_TT_n′′ (2.5) fonsiyonlarından oluşturulan

{

en′

( )

ρ

}

∪

{

en′′

( )

ρ

}

ve

{ }

( )

ρ

{ }

( )

ρ     n n h h′ ∪ ′′ bileşim kümelerinin her biri tam ve ortonormal kümelerdir. Ayrıca en′



ve h_n′′ irrotasyonel, en′′

 ve h_n′ solenoidaldir. Öte yandan,

mn S m n S m n e ds e e ds e

_∫∫

δ

∫∫

′.′ = ′′.′′ = _olup mn δ Kronecker deltasıdır.

Benzer ifadeler h_n′′ ve h_n′ için de yazılır. Ayrıca tüm m ve n’ler için

0 . . .

∫∫

∫∫

∫∫

′ ′′ = ′ ′′ = ′ ′ = S m n S m n S m n e ds h h ds e h ds e      _{fakat genelde} 0 . ′′ ≠ ′′

∫∫

S m n e ds h  _‘dır. O halde:

( )

=

_∑

′

( ) ( )

′ +

_∑

′′

( ) ( )

′′ n n n n T r V z e V z e E   ρ  ρ _(2.6)

( )

=

_∑

′

( ) ( )

′ +

_∑

′′

( ) ( )

′′ n n n n T r I z h I z h H   ρ  ρ _(2.7) ve

∑

′ ′ ′ = n zn n n z V T E , χ , =

∑

′′ ′′ ′′ n zn n n z I T H , χ (2.8)

Bu ifadeler, E ve z H için kapalı kılavuzun dış cidarındaki sınır koşullarını sağlar.z

Şimdi boyuna koordinat ekseni olan z ve buna dik u ve v eksenlerinin oluşturduğu uvz dik koordinat sisteminde Maxwell denklemlerini açık halde yazalım.

u v z _{j B} z E v e E ω − = ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 (2.9) z v j Du z H v e H ω = ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 (2.10) v z u _{j B} u e E z E ω − = ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 (2.11) u z _{j Dv} u H z H ω = ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.12)

(

v

)

(

e Eu

)

j ee Bz v E e u 2 ∂ 1 = − ω 1 2 ∂ − ∂ ∂ (2.13)

(

v

)

(

e Hu

)

j ee Dz v H e u 2 ∂ 1 = ω 1 2 ∂ − ∂ ∂ (2.14) u e ve ev 

enine koordinat bileşenlerinin birim vektörleri ise

( )

T n n u n v n e v e T e u e T T e    ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ = ′ ∇ = ′ 2 1 ρ (2.15)

( )

T n n u n v n e u e T e v e T z T e     ∂ ′′ ∂ − ∂ ′′ ∂ = ×′ ′ ∇ = ′′ 1 2 0 ρ (2.16)

( )

T n n u n v n e u e T e v e T z T h     ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ − = × ′ − ∇ = ′ 1 2 0 ρ (2.17)

( )

T n n u n v n e v e T e u e T T h    ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ = ′′ ∇ = ′′ 2 1 ρ (2.18)

(2.6),(2.7) ve (2.8)’i (2.9),(2.10),(2.11)’de yerine koyarsak (2.15),(2.16),(2.17) ve (2.18) yardımıyla şu ifadelere ulaşılır:

u n n n n n n n n n n z j B u e T dz V d v e T dz V d v e T V χ = − ω ∂ ′′ ∂ ′′ + ∂ ′ ∂ ′ − ∂ ′ ∂ ′ ′

∑

∑

∑

2 2 2 , (2.19) v n n n n z n n n n n n _{j B} u e T V v e T dz V d u e T z V ω χ = − ∂ ′ ∂ ′ ′ + ∂ ′′ ∂ ′′ − ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂

∑

∑

∑

1 , 2 1 (2.20) z n n n n n n n n n n n n j ee B v T e e v V v u T V u T e e u V v u T V _{1 2} 2 1 2 1 2 2 ω − =     ∂ ′′ ∂ ∂ ∂ ′′ − ∂ ∂ ′ ∂ ′ −     ∂ ′′ ∂ ∂ ∂ ′′ − ∂ ∂ ′ ∂ ′

∑

∑

∑

∑

(2.21

(2.21) denkleminde (2.3) bağıntısını kullanırsak aşağıdaki sonuç elde edilir. z n n n n T j B V′′χ ′′ ′′= − ω

∑

2 (2.22) (2.19) denklemi ds v e T_m     ∂ ′ ∂ − 2

ile, (2.20) denklemi ise ds u e T_m     ∂ ′ ∂ 1

ile çarpılıp sonuçlar toplanır ve kesit üzerinde integrali alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.

∫∫

_ − ∂ _∂′ _ ∂ ′ ∂ = ′ + ′ ′ − S m v m u m m z m ds u e T B v e T B j dz V d V 1 2 , ω χ (2.23) (2.19) denklemi ds u e T_m     ∂ ′′ ∂ − 1

ile, (20) denklemi ise ds v e T_m     ∂ ′′ ∂ 2

ile çarpılıp sonuçlar toplanır ve kesit üzerinde integrali alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.

∫∫

_ − ∂ _∂ ′′ _ ∂ ′′ ∂ − = ′′ S m v m u m _ds v e T B u e T B j dz V d 2 1 ω (2.24)

(22) denklemi T_m′′ds ile çarpılıp kesit üzerinde integrali alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir:

∫∫

′′ − = ′′ S m z m j B T ds V ω _(2.25)

(2.12),(2.13) ve (2.14) de benzer işlemlere tabi tutulurlarsa üç ek denklem elde edilir.Özetle: m z m S m v m u m _{ds V} u e T B v e T B j dz V d , 1 2 ′ ′ +     ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂ = ′

∫∫

χ ω (2.26)

∫∫

_ − ∂ _∂′ _ ∂ ′ ∂ − = ′ S m v m u m _ds v e T D u e T D j dz I d 2 1 ω (2.27)

∫∫

_ − ∂ _∂ ′′ _ ∂ ′′ ∂ − = ′′ S m v m u m _ds v e T B u e T B j dz V d 2 1 ω (2.28) m z m S m v m u m _{ds I} u e T D v e T D j dz I d , 1 2 ′′ ′′ +     ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ − = ′′

∫∫

χ ω (2.29)

∫∫

′′ − = ′′ S m z m j B T ds V ω _(2.30) ′ = −

∫∫

′ S m z m j D T ds I ω (2.31)

2.1.2 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için akım-gerilim bağıntıları ve transmisyon hattı denklemlerinin elde edilmesi

Dalga kılavuzunu dolduran madde homojen ve izotropik olduğu için aşağıdaki ifadeler geçerlidir. u u H B = µ (2.32) Du = εEu (2.35) V v H B = µ (2.33) Dv = εEv (2.36) z z H B = µ (2.34) Dz = εEz (2.37)

Bu durumda (2.26) denklemini aşağıdaki gibi ifade etmek mümkündür.

m z m S n m n m n n S n m n m n n m z m m S n n n n n m S n n n n n m V ds u e T v e T v e T u e T I ds u e T u e T v e T v e T I j V ds u e T I v e T I u e T ds v e T I u e T I v e T j dz V d , 1 2 2 1 1 1 2 2 , 1 2 1 2 1 2 ′ ′ +     ∂ ′ ∂ ∂ ′′ ∂ − ∂ ′ ∂ ∂ ′′ ∂ − ′′ +     ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ − ′ = ′ ′ + ∂ ′ ∂           _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ − − ∂ ′ ∂           _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ − = ′

∫∫ ∑

∫∫ ∑

∫∫ ∑

∫∫ ∑

χ ω µ χ µ µ ω m z m m m _{j I V} dz V d , ′ ′ + ′ − = ′ χ ω µ

Benzer şekilde aşağıdaki sonuçlar elde edilir. m m _{j V} dz I d ′ _{= − ′} ω ε m m _{j I} dz V d _′′ − = ′′ ω µ m z m m m _{j V I} dz I d , ′′ ′′ + ′′ − = ′′ χ ω ε m m m z V j I′′ = − χ ′′ ′′ ω µ 1 , m m m z I j V′ = − χ ′ ′ ω ε 1 ,

Aynı denklemler aşağıdaki gibi de ifade edilebilirler.

    _{+ ′} ′ − = ′ 1 2 m m m j j I dz V d χ ω ε ω µ m m _{j V} dz I d _′ − = ′ ω ε m m _{j I} dz V d _′′ − = ′′ ω µ     _{+ ′′} ′′ − = ′′ 1 2 m m m j j V dz I d χ ω µ ω ε

2.1.3 Homojen ve izotropik ortamla dolu kapalı üniform dalga kılavuzu için transmisyon hattı denklemlerine giren büyüklüklerin tanımları

m m m m V I I

V′, ′′, ′ , ′′ (2.4) ve (2.5) denklemleriyle tanımlanmış olan e_m′ ,e_m′′,h_m′ ,h_m′′

özfonksiyonlarının Fourier seri açınımı katsayılarıdır. Vm′,Vm′′’nin birimi volt, Im′ ,Im′′

(

_∇ 2 _{+ ′}2

)

₌ 0

z

T χ E ve

(

)

0

2 2 _{+ ′′ =}

∇ T χ Hz olduğu için χ ′ ve χ ′′, _metre

1 boyutundadırlar.

∑

′ ′ ′ = n n n n z z V T E , χ ve =

∑

′′ ′′ ′′ n n n n z z I T

H , χ olduğu ve V_z′_,n ile I_z′′_,n’nin birimleri sırasıyla

volt ve amper oldukları için Tn′ ve Tn′′ boyutsuzdurlar. χ ′n, χ ′′ ve Tn′, Tn′′sınır

koşulları ile birlikte aşağıdaki denklemlerin çözümleridir.

(

_∇ 2 _{+ ′}2

)

_{′ =} 0 n T χ T

(

)

0 2 2 _{+ ′′ ′′=} ∇ _T χ T_n m m m m e h h e′ ,′′,′ ,′′’nün birimleri metre 1 ’dir.

ε ve µ ise ortamın dielektrik ve manyetik geçirgenlik katsayılarıdır. Birimleri sırasıyla F / ve m H / ’dir. ωm ise açısal frekanstır ve birimi ise rad/sn.’dir.

2.2 Heterojen ve Anizotropik Ortamla Dolu Üniform Dalga Kılavuzu İçin Akım-Gerilim Bağıntıları

B ve D sırasıyla H ve E’nin bileşenlerinin lineer fonksiyonlarıdır. Bu bağıntılar (2.38)-(2.43) denklemlerinde verilmiştir.Bu durumda B ve D, (2.6),(2.7) ve (2.8) yardımıyla Vn′,Vn′′,I′n,In′′,Vz′,n,I′z,n’nin lineer fonksiyonları biçiminde ifade edilebilir.

z uz v uv u uu u E E E D = ε + ε + ε (2.38) Bu = µuuHu + µuvHv + µuzHz (2.41) z vz v vv u vu v E E E D = ε + ε + ε (2.39) Bv = µ vuHu + µvvHv + µvzHz (2.42) z zz v zv u zu z E E E D = ε + ε + ε (2.40) Bz = µ zuHu + µ zvHv + µ zzHz (2.43)

m. satırı sırasıyla Vm′,,I′m,Vm′′,Im′′ olan sütun matrislerini V′,I′,V ′′,I′′ ile gösterirsek

ve (2.30),(2.31) denklemlerini Vz′,n,Iz′,n için çözüp (2.26)-(2.29) denklemlerinde

V T V T I Z I Z dz V d ′ _{= −} (1) _′− (2) _′−′V (1) _−′V (2) _{′′ (2.44)} I T I T V Y V Y dz I d ′ _{= −} (1) _′− (2) _′−′ I (1) _−′I (2) _{′′ (2.45)} V T V T I Z I Z dz V d ′′ _{= −} (3) _′′− (4) _−′V (3) _′−′V (4) _′ (2.46) I T I T V Y V Y dz I d ′′ _{= −} (3) _′′− (4) _−′I (3) _′−′ I (4) _{′ (2.47)}

Çeşitli modlar arasındaki Z transfer empedansları, Y transfer admitansları TV

gerilim transfer katsayıları, TI _{akım transfer katsayıları genelde z’nin}

foksiyonudurlar. Eğer dalga kılavuzunun özellikleri boyuna uzaklıktan bağımsız ise bunlar sabittirler. Bu durumda transmisyon hattı denklemlerinin çözülmesi, sonsuz bir lineer cebrik denklemler sisteminin ve buna denk gelen karakteristik denklemin çözümüne indirgenir.

Örneğin (2.26) denklemini açalım. Ortam parametreleri B ve D ’nin H ve E cinsinden ifadeleri aşağıdaki gibi olsun.

v uv u uu u H H B = µ + µ Du = εuuEu + εuvEv z v vv u vu v H H B = µ + µ Dv = εvuEu + εvvEv_z z zz z H B = µ Dz = εzzEz m z m m S n n n n n n vv m S n n n n n n vu m S n n n n n n uv m S n n n n n n uu m V ds u e T I v e T I u e T j ds u e T I u e T I v e T j ds v e T I v e T I u e T j ds v e T I u e T I v e T j dz V d , 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ′ ′ + ∂ ′ ∂     _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂     _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ − − ∂ ′ ∂     _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂     _′′ ∂ ′′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ − = ′

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

χ µ ω µ ω µ ω µ ω (2.48)

(2.31) denkleminden ise aşağıdaki ifade yazılabilir.

∫∫ ∑

′ ′ ′ ′ − = ′ S m n n n n z zz m j V TT ds I ω ε _, χ (2.49)

n. satır ve m. Sütundaki elemanı P olmak üzere bir P matrisi tanımlayalım. nm Pnm

’yi de aşağıdaki gibi tanımlayalım.

∫∫

′ ′ ′ ′ = S m m n n zz nm T T ds P ε χ χ _(2.50)

χ ′ˆ , n. satır ve n. sütunundaki değeri χ ′n olan köşegen matrisi , m. satırındaki

elemanı Vz′,m olan sütun matrisi V_z′ ve m. satırındaki elemanı I′m olan sütun matrisi

I′olsun.Bu durumda (2.49) yardımı ile aşağıdaki ifade yazılabilir.

I Z j V_z′= − _A ′ ′ ω χˆ 1 _(2.51) Burada, χ χ ′ ′ = _ˆP−1_ˆ Z_A (2.52) A

Z matrisinin m. satır ve n. sütundaki elemanı

( )

ZA mn olarak gösterilsin. (2.48)

denkleminden hareket ederek aşağıdaki ifade yazılabilir.

m z m n n mn n n mn m _{j z I j z I V} dz V d , ) 2 ( ) 1 ( _{′ + ′′ + ′ ′} = ′

∑

∑

ω χ ω (2.53) Burada,

∫∫

∫∫

_ ∂ _∂′ _      ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂ +     ∂ ′ ∂ −       ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂ = S m n vv n vu S m n uv n uu mn ds u e T u e T v e T ds v e T u e T v e T z 1 1 2 2 1 2 ) 1 ( _{µ µ µ µ} (2.54) ve

∫∫

∫∫

_ ∂ _∂′ _      ∂ ′′ ∂ − ∂ ′′ ∂ − +     ∂ ′ ∂ −       ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ = S m n vv n vu S m n uv n uu mn ds u e T v e T u e T ds v e T v e T u e T z 1 2 1 2 2 1 ) 2 ( _{µ µ µ µ} (2.55)

(2.44)-(2.47)’deki _{Z ve} (1) _Z(2) _{matrislerinin m. satır ve n. sütundaki elemanlarını} ) 1 ( mn Z ve (2) mn

Z ile ifade edersek, (2.51)-(2.55) ışığı altında aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

( )

A mn mn Z j z j Z ω ω (1) 1 ) 1 ( _{= −} − (2.56) ) 2 ( ) 2 ( mn z j Z = ω − (2.57) Ortamın izotropik olması halinde ek olarak aşağıdaki koşullar da geçerlidir.

0 = = vu uv µ µ µ µ µ uu = vv =

Bu durumda (2.54) ve (2.55) denklemleri aşağıdaki biçimi alırlar.

ds u e T u e T v e T v e T z S m n m n mn

∫∫

      ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ − = 1 1 2 2 ) 1 ( _µ (2.58) ds u e T v e T v e T u e T z S m n m n mn

∫∫

      ∂ ′ ∂ ∂ ′′ ∂ + ∂ ′ ∂ ∂ ′′ ∂ − = 1 2 2 1 ) 2 ( _µ (2.59)

(2.26) denklemine uyguladığımız işlemleri (2.29) denklemime de uygulayalım.

(

)

(

)

m zm s m v vv u vu m v uv u uu m _{ds I} u e T E E v e T E E j dz I d , 1 2 ′′ ′′ +       ∂ ′′ ∂ + + ∂ ′′ ∂ + − = ′′

∫∫

ε ε ε ε χ ω m z m m S n n n n n n vv m S n n n n n n vu m S n n n n n n uv m S n n n n n n uu m I ds u e T u e T V v e T V j ds u e T v e T V u e T V j ds v e T u e T V v e T V j ds v e T v e T V u e T V j dz I d , 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 ′′ ′′ + ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ ′′ − ∂ ′ ∂ ′ + ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ ′′ + ∂ ′ ∂ ′ + ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ ′′ − ∂ ′ ∂ ′ − + ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ ′′ + ∂ ′ ∂ ′ − = ′′

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

∫∫

∑

∑

χ ε ω ε ω ε ω ε ω (2.60)

(2.30) denkleminden ise aşağıdaki ifade yazılabilir.

∫∫ ∑

′′ ′′ ′′ ′′ − = ′′ S n m n n n z zz m j I T T ds V ω µ _, χ _(2.61)

Q matrisinin n. satır ve m. sütundaki elemanı Q olsun. nm Q aşağıdaki şekilde nm

ifade edilir.

∫∫

′′ ′′ ′′ ′′ = S m m n n zz nm T T ds Q µ χ χ _(2.62)

χ ′′ˆ , n. satır ve n. sütunundaki değeri χ ′′n olan köşegen matrisi , m. satırındaki

elemanı Iz′′,m olan sütun matrisi I_z′′ ve m. satırındaki elemanı Vm′′ olan sütun matrisi

V ′′olsun.Bu durumda (2.61) yardımı ile aşağıdaki ifade yazılabilir.

V Y j I_z′′ = − _B ′′ ′′ ω χˆ 1 _(2.63)

χ χ ′′ ′′ = _{ˆ Q}−1_ˆ Y_B (2.64) B

Y matrisinin m. satır ve n. sütundaki elemanı

( )

YB mn olarak gösterilsin. (2.60)

denkleminden hareket ederek aşağıdaki ifade yazılabilir.

m z m n mn n n mn n m _{j y V j y V I} dz I d , ) 4 ( ) 3 ( _{′ + ′′+ ′ ′} = ′′

∑

∑

ω χ ω (2.65) Burada,

∫∫

      ∂ ′′ ∂     ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′′ ∂     ∂ ′ ∂ − ∂ ′ ∂ − = S m n vv n vu m n uv n uu mn ds u e T v e T u e T v e T v e T u e T y 1 2 1 2 2 1 ) 3 ( _{ε ε ε ε} (2.66)

∫∫

      ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ − ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂     ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ − = S m n vv n vu m n uv n uu mn ds u e T u e T v e T v e T u e T v e T y 1 1 2 2 1 2 ) 4 ( _{ε ε ε ε} (2.67) (2.44)-(2.47)’deki

_Y

(1) _{ve Y}(2) _{matrislerinin m. satır ve n. sütundaki elemanlarını}

) 1 ( mn Y ve (2) mn

Y ile ifade edersek, (2.63)-(2.67) ışığı altında aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

( )

B mn mn Y j y j Y ω ω (3) 1 ) 3 ( _{= −} − (2.68) ) 4 ( ) 4 ( mn y j Y = ω − (2.69) Ortamın izotropik olması halinde ek olarak aşağıdaki koşullar da geçerlidir.

0 = = vu uv ε ε ε ε ε_uu = _vv =

ds u e T v e T v e T u e T y S m n m n mn

∫∫

      ∂ ′′ ∂ ∂ ′ ∂ + ∂ ′′ ∂ ∂ ′ ∂ − = 1 2 2 1 ) 1 ( _ε (2.70) ds u e T u e T v e T v e T y S m n m n mn

∫∫

      ∂ ′′ ∂ ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ ∂ ′′ ∂ − = 1 1 2 2 ) 2 ( _ε (2.71)

2.3 Dielektrik Çubukla Yüklü Silindirik Dalga Kılavuzu

2.3.1 Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun alan ifadeleri ve tam dispersiyon bağıntısının elde edilmesi

Şekil 1(a)’ da gösterilen dalga kılavuzu için aşağıdaki ifadeler verilsin.

   = 0 , ) ( ε ε ε r 0 1 1 0 r r r r r ≤ ≤ ≤ ≤ ve    = 0 , ) ( µ µ µ r 0 1 1 0 r r r r r ≤ ≤ ≤ ≤

Burada dalga kılavuzunun kesitinin yarıçapı r , çubuğun yarıçapı ise 0 r ile 1

gösterilmektedir.ε0 ve µ0 serbest uzayın geçirgenlik katsayılarını ifade

etmektedirler.

Dispersiyon bağıntısı, propagasyon sabitinin frekansa göre değişimini ifade eden bir bağıntıdır. Dispersiyon bağıntısını elde etmek için çubuk içindeki ve çubuk dışındaki alan ifadelerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu alan ifadeleri aşağıda verilmiştir. [14] Çubuk içindeki alan ifadeleri aşağıdaki şekildedir.

) ( ₁ 1 k r J E_z = _c

[ ]

[

+ Λ

]

− = jc₁J₁(k₁r)r₀ r β F(k₁r) µ E_{r c c}

[ ]

[

( )

]

) ( 1 1 1J1 k r r0 r F k r c Eθ = − _c β + µ Λ _c ) ( ₁ 1 k r J j H_z = Λ _c

[ ]

[

( )

]

) ( _{1 0 1} 1 1J k r r r F k r c H_r = _c ε + Λ β _c

[ ]

[

ε + Λ β

]

− = ( ) ( ) 1 1 0 1 1J k r r r F k r jc H_{r c c}

Çubuk dışında ise aşağıdaki şekildedir.

(

0

) (

1 0

)

1(k1r) k 2,r,r k2,r,r J E_z = _c σ _c σ _c

(

)

(

)

(

(

)

)

_      Λ + − = 0 1 0 0 1 0 0 , , , , , , , , 2 2 2 2 2 k r r r r k r r k r r k r r jc E c c c c r ρ ρ σ ξ β

(

)

(

)

(

(

)

)

_      Λ + − = 0 1 0 0 1 0 0 , , , , , , , , 2 2 2 2 2 _{k r r} r r k r r k r r k r r c E c c c c ρ η σ σ β θ

(

0

) (

1 0

)

1(k1r) k 2,r,r k2,r,r J j H_z = Λ _c ρ _c ρ _c

(

)

(

)

(

(

)

)

_      Λ + = 0 1 0 0 1 0 0 , , , , , , , , 2 2 2 2 2 k r r r r k r r k r r k r r c H c c c c r ρ η β σ σ

(

)

(

)

(

(

)

)

_      Λ + − = 0 1 0 0 1 0 0 2 , , , , , , , , 2 2 2 2 r r k r r k r r k r r k r r jc H c c c c r _ρ ρ β σ ξ

Yukarıdaki denklemlerde kullanılmış olan ve daha sonra kullanılacak olan bazı ifadelerin anlamları aşağıda verilmiştir.

2 0 0 1 r k1r c = _c

( ) ( )

2 0 0 1 1 2 J k1r r k 2r c = _{c c}

( )

_JJ

( )

_{( )}

_kk _rr r k r k F c c c c 1 1 1 1 1 1′ =

( )

x

( )

x

J₁ = Birinci mertebeden birinci cins Bessel Fonksiyonu

1

c

k ve k = Sırasıyla çubuk içindeki ve dışındaki ortamlardaki dalga sayısıc2

r , r ve 1 r = Sırasıyla gözlem noktası,çubuğun ve dalga kılavuzunun yarıçapı0

0 0 0 2πr λ

r = (normalize dalga kılavuzu yarıçapı)

β = Faz değişim katsayısı

0 0µ ε ω β β =

ε = Çubuğun dielektrik geçirgenliği

0

ε = Çubuğu çevreleyen ortamın (serbest uzay) dielektrik geçirgenliği

(

k_c r r

)

k_c r

[

J

( ) ( ) ( ) ( )

k_c rY k_c r J k_c r Y k_c r

]

2 2 2 2 2 2, , 0 = 1′ 1′ 0 − 1′ 0 1′ η

(

k_c r r

)

k_c r

[

J

( ) ( ) ( ) ( )

k_c rY k_c r J k_c r Y k_c r

]

2 2 2 2 2 2, , 0 = 1′ 1 0 − 1 0 1′ ξ 0

λ = Serbest uzayda dalga uzunluğu

Λ = Manyetik ve elektrik alan şiddetlerinin boyuna bileşenlerinin normalize oranı

0

,µ

µ = Çubuk ve çubuğu çevreleyen ortamın (serbest uzay) manyetik geçirgenliği

(

k 2,r,r0

) (

k 2,r,r0

) (

k 2,r,r0

)

R _c = η _c ρ _c

(

k 2,r,r0

) (

k 2,r,r0

) (

k 2,r,r0

)

S _c = ξ _c σ _c

(

k_c r r

)

k_c r

[

J

( ) ( ) ( ) ( )

k_c rY k_c r J k_c r Y k_c r

]

2 2 2 2 2 2, , 0 = 1 1 0 − 1 0 1 σ

(

k_c2,r,r₀

)

= k_c2r

[

J₁

( ) ( ) ( ) ( )

k_c2rY₁′k_c2r₀ − J₁′ k_c2r₀ Y₁ k_c2r

]

ρ

Alan bileşenlerinin _ej(ωt−βz−θ) _{bağımlılıklarının olduğu kabul edilebilir. Manyetik}

alan bileşenleri normalize edilmiş olarak verilmiştir. Gerçek alan H , normalize alan ise H ile gösterilmektedir. İkisi arasındaki ilişki ise aşağıdaki gibidir.

(

ε0 µ0

)

= H H z z E H

E , _θ , ve H θ r = r1’ de süreklidir. Bu koşullar kullanılarak tam dispersiyon

( ) ( )

[

]

( ) ( )

[

]

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

_      −         − = − 2 1 0 1 0 2 1 1 2 1 0 1 0 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 , , , , r k r r k R r k r k F x r k r r k S r k r k F r k r k r k r k c c c c c c c c c c c c ε ε µ µ ω β

2.3.2 Dielektrik çubukla yüklü silindirik dalga kılavuzunun transmisyon hattı denklemlerine ait katsayıların hesaplanması

Aynı dalga kılavuzu için (2.44)-(2.47)’ de gösterilen transmisyon hatları denklemlerine ait katsayıları bulalım. Burada incelenen modlar E

(

r,θ,z

)

’nin radyal bileşeninde sin değişimine sahiptirler. Bu nedenle tek indisli modal notasyona θ geçilebilir. İncelenen dalga kılavuzu için Tn′ ve Tn′′ fonksiyonları aşağıdaki gibidir.

( )

α sinθ 1 r J A T_n′ = _{n n}

( )

β cosθ 1 r J B T_n′′= _{n n} Burada, n n χ α = ′ ve β n = χn′′

Transmisyon hatları denklemlerindeki katsayıların hesaplanması için ∇ TTn′,

0 z T_n T  × ′ ∇ , ∇ TTn′′ ve TTn z0  ×′ ′

∇ fonksiyonları gerekmektedir. Burada,

( )

( )

_   ₊ = ′ ∇ α θ J α r θe_θ r e r J dr d A T_{n n n r n} T   cos 1 sin ₁ 1

( )

( )

_   ₊ = ′′ ∇ β θ J β r θe_θ r e r J dr d B T_{n n n r n} T   sin 1 cos ₁ 1

Transmisyon hattı denklemleri katsayılarını hesaplamak için (2.26)-(2.31) denklemleri çözülerek (2.56)-(2.57) ve (2.68)-(2.69) gibi bağıntılar elde edilmelidir. Sonuçta (2.44)-(2.47) denklemlerindeki katsayılar için aşağıdaki ifadeler bulunur. Aşağıdaki gösterimde matrislerin elemanlarının satır değerleri m, sütun değerleri ise n ile gösterilir.

(

)

∫∫

′ ′ = S n nT ds 1 2 χ _ve

_∫∫

(

′′ ′′

)

= S n nT ds 1 2 χ _{normalizasyon koşullarından} n A ve B n

aşağıdaki gibi bulunur.

(

)

(

)

(

) (

) (

)

[

12 0 02 0 1 0 0 0 0

]

2 2 0 2 / 2 2 r r J r J r J r J r A n n n n n n n α α α α α α π + − =

(

)

(

)

(

) (

) (

)

[

12 0 02 0 1 0 0 0 0

]

2 2 0 2 / 2 2 r r J r J r J r J r B n n n n n n n β β β β β β π + − =

Şimdi katsayılar hesaplanırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.

( )

A mn mn mn Z j j Z ω ω µ δ 1 1 _{= +} 0 2 ₌ mn Z mn mn j Z1 = ω µ δ 0 1 ₌ mn Z

(

)

[

(

) (

)

(

) (

)

]

(

) (

)

      + − − − = 2 2 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 ) 1 ( _{j A A} r _{J r J r J r J r J r J r} Y _{n m n m m n m n} n m m n n m mn α α α α α α α α α α α α ε ε ω π

(

0 1

) (

[

1 1

) (

1 1

)

]

) 2 ( _{j A B J r J r} Y_mn = ω π _{m n} ε − ε α _m β _n

(

)

[

(

) (

)

(

) (

)

]

(

) (

)

( )

B mn n m n m m n m n n m m n n m mn Y j r J r J r J r J r J r J r B B j Y ω β β β β β β β β β β β β ε ε ω π 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 0 ) 3 ( +       + − − − = ) 2 ( ) 4 ( mn mn Y Y =

Yukarıda geçen

( )

ZA _mn ve

( )

YB mn (2.50), (2.52) ve (2.62), (2.64) yardımıyla

aşağıdaki şekilde hesaplanır.

( )

=

_∫∫

′ ′ ′ ′ S n m n m zz mn A T T Z 1 _χ 2_χ 2 ε

( )

=

_∫∫

′′ ′′ ′′ ′′ S n m n m zz mn B T T Y 1 _χ 2_χ 2 µ

3. TRANSMİSYON HATLARI DENKLEMLERİ EŞDEĞERLİĞİ VE CEBRİK FONKSİYON TEORİSİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Önceki bölümlerde Maxwell’in kısmi türevli diferansiyel denklemlerini sonlu bir lineer cebrik denklemler sistemine dönüştürdük. Transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemi ile elde edilen katsayılar matrisinin özdeğer denklemi bir cebrik fonksiyonu ifade etmektedir.

Enine ve boyuna alan bileşenleri arasında kuplaj olmayacak biçimde elektrik ve manyetik geçirgenlik matrislerine sahip sistemler ele alındığında (2.44)-(2.47) denklemleri aşağıdaki formu alır. [15- 20]

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

           =       p i p v p Y p Z p i p p v p 0 0 γ γ (3.1)

Burada p= σ + jω , kompleks frekans ve γ

( )

p yayılma sabitidir. v ve i transmisyon hattı gerilim ve akım vektörleridir. Z

( )

p ve Y

( )

p ise daha önceki başlıklarda hesaplanmış olan katsayılardır.

Gerçek fiziksel problemde Z

( )

p ve Y

( )

p sonsuz boyuttadırlar. Fakat biz nümerik hesap yaparak gerçek fiziksel probleme yaklaşık sonuç hesaplarken sonlu bir değerde bu matrisleri kesmek durumundayız.

Yukarıdaki gösterime göre yayılma sabiti γ

( )

p , Z

( )

p Y

( )

p ya da Y

( )

p Z

( )

p

matrisinin özdeğeridir. Bu iki matrisin özdeğerleri aynıdır. v

( )

p ve i

( )

p sırasıyla

( )

p

Görüleceği üzere sonlu boyuttaki

(

mxm kare

)

Z

( )

p Y

( )

p matrisinin karakteristik denklemi m . dereceden bir cebrik fonksiyondur. Bu fonksiyonun _γ 2

( )

p _tarafından

sağlanması gerekir ve katsayıları da p ’ye bağımlı polinomlardır. Yukarıda bahsedilen cebrik fonksiyon aşağıdaki şekilde elde edilir.

( )

( ) ( )

[

p I Z pY p

]

g

(

,p

)

det_γ 2 _{− = γ} 2 _(3.2)

Burada I birim matrisi ifade etmektedir. (3.2) denklemindeki karakteristik denklem hesaplanır ve _γ 2_{’nin katsayılarının ortak paydası bulunarak bütün denklem bu ortak}

payda ile çarpılırsa aşağıdaki cebrik denklem elde edilir.

(

,

)

( )

( )

2 2 ...

( )

0 1 2 0 2 _{p = a p + a p} − _{+ + a p =} G_{γ γ} m _γ m _m (3.3)

Elde edilen bu cebrik polinomun diskriminantının sıfıra eşit olduğu noktalarda ve

( )

p

a₀ ’nin sıfırlarında bu denklemin çözümü olan _γ 2

( )

p _{, tekil değerler alır. [21]}

Cebrik fonksiyon teorisi ile ilgili bazı kavramlar ve cebrik fonksiyonların bazı özellikleri EK- A ve EK- B’ de verilmiştir.

4. DİELEKTRİK ÇUBUKLA YÜKLÜ KAPALI ÜNİFORM SİLİNDİRİK DALGA KILAVUZU İÇİN YAYILMA SABİTİNİN VE BUNA İLİŞKİN KARAKTERİSTİK DENKLEMİNİN DİSKRİMİNANTININ FREKANSA GÖRE GRAFİĞİNİN ELDE EDİLMESİ

4.1 Dielektrik Çubukla Yüklü Kapalı Üniform Silindirik Dalga Kılavuzunun Yayılma Sabitlerinin Hesaplanması

Yukarıda da bahsedildiği üzere ele alınan yapı, koaksiyel olarak yerleştirilmiş iki silindirik ortamdan oluşmaktadır. Bu yapı şekil 1(a)’da gösterilmiştir. Yapının şekilde de gösterilen parametreleri aşağıda verilmiştir [14].

m r m r m F m H 0042545 , 0 635 00 , 0 15 / ) 36 /( 0 1 / 10 4 1 0 0 9 0 7 0 = = × = = × = − − ε ε π ε π µ

Bu parametrelere uygun olarak tam dispersiyon bağıntısını çözerek ve transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemiyle yayılma sabitlerinin frekansa göre değişimini ifade eden grafikleri elde etmek üzere yazılımlar oluşturulmuştur. Bu sonuçlar aşağıda verilmiştir.

Şekil 4.1: Dispersiyon bağıntısına dayalı yayılma sabiti-frekans grafiği

Şekil 4.1’de dispersiyon bağıntısı yardımıyla hesaplanan yayılma sabitleri gösterilmektedir. 0,00001’lik normalize frekans artışlarıyla her bir frekans için yayılma sabitleri hesaplanmıştır. Normalize frekans, V = ω ε0µ 0r1 olarak

tanımlanır. Şekil 4.2’de ise transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemiyle elde edilen katsayılar matrisinin özdeğerleri alınarak elde edilen yayılma sabitleri çizdirilmiştir. Yine 0,00001’lik frekans artışlarıyla hesap yapılmıştır.Hesaplamayı yapmak için sonsuz sayıda moddan 20 TE ve 20 TM modu alınmıştır. Bunun amacı işlem süresinin uzunluğu ile geçerli sayısal sonuçlar elde edebilmek arasında optimal bir değer elde edebilmektir.

Şekil 4.2: 30 TE ve 30 TM modu kullanılarak transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemiyle elde edilen yayılma sabitlerinin frekansla değişimini gösteren grafik

Şekil 4.3’te ise bu iki yöntemle elde edilen sonuçlar tek bir grafikte çizdirilmiştir. Bölüm 2.3.1 de türetilen dispersiyon bağıntısıyla elde edilen sonuçlar tam değerlerdir. Transmisyon hatları eşdeğerliği ile hesaplanan sonuçlar ise yaklaşık değerlerdir. Çünkü bu yöntem nümerik bir yöntemdir. Seri açınımı söz konusudur ancak sonsuz sayıda modla işlem yapmak mümkün olmadığından bir yaklaşıklık söz konusu olacaktır.