Görüldüğü gibi heterojen dalga kılavuzlarının alan ifadelerini elde etmek için kullanılan transmisyon hatları eşdeğerliği yönteminin sağladığı katsayılar matrislerinin karakteristik denklemlerinin cebrik oluşu bize geniş bir uygulama alanı sağlamaktadır. Bu karakteristik denklemleri yayılma sabitlerinin karelerine bağlı cebrik birer polinomdurlar ve bu polinomlar ile onların polinom katsayıları cebrik fonksiyon teorisini sağlamak durumundadırlar.
Nitekim ele alınan ilk problem olan dielektrik çubuk yüklü silindirik dalga kılavuzu için transmisyon hatları eşdeğerliği yöntemi ile elde edilen akım-gerilim denklemlerine ait katsayılar matrisinin karakteristik denklemi yayılma sabitinin karesine bağlı bir fonksiyondur ve cebrik fonksiyon teorisine uygun biçimde yayılma sabitinin katlı köklere sabit olduğu noktalarda diskriminantı sıfıra eşittir.
Daha sonra ele alınan Ferrit tüp yüklü silindirik dalga kılavuzunda ise yine elde edilen katsayılar matrisinin karakteristik denklemi cebrik fonksiyon olan bir polinomdur. Yine cebrik fonksiyon teorisi uyarınca yayılma sabitinin sonsuza gittiği bir frekans değerine yaklaştıkça karakteristik denkleminin polinom katsayıları sonsuza yaklaşabilmektedir. Yapılan hesaplamalar gerçekten de bu örnekte yayılma sabiti sonsuza yaklaştıkça katsayıların da sonsuza yaklaştığını göstermiştir.
Bu çalışma göstermiştir ki cebrik fonksiyon teorisinin kapalı heterojen dalga kılavuzlarının özdeğer problemlerinde geniş bir uygulama alanı vardır ve cebrik fonksiyon teorisi bu tip dalga kılavuzlarının incelenmesinde büyük yararlar sağlamaktadır.
KAYNAKLAR
[1] Stratton, J. A., “Electromagnetic Theory” , McGraw- Hill Book Co., (1961) [2] Felsen, L. B. ve Marcuvitz, N., “Radiation and Scattering of Waves” , Prentice-
Hall, (1973).
[3] Schelkunoff, S. A., 1943. Electromagnetic Waves, Van Nostran, (1943).
[4] Collin, R. E., “Field Theory of Guided Waves” , McGraw- Hill Book Co., (1961).
[5] Harrington, R. F., “Time-Harmonic Electromagnetic Fields” , McGraw- Hill
Book Co., (1961).
[6] Jones, D. S., “Methods of Electromagnetic Wave Propagation” , Oxford Univ.
Press, (1995).
[7] Balanis, C. A., “Advanced Engineering Electromagnetics” , John Wiley, (1989). [8] Saad, S. M., “Review of Numerical Methods For the Analysis of Arbitrarily- Shaped microwave and Optical Dielectric Waveguides” , IEEE Trans. MTT, Vol. MTT- 33, pp. 894- 899, (1985).
[9] Itoh, T. Ed., “Numerical Techniques for Microwave and Milimeter – Wave Passive Structures”, John Wiley, (1989).
[10] Kunz, K. S. ve Luebber, R. S., “The Finite Difference Time-Domain Method for Electromagnetics” , CRC Press, (1993).
[11] Harrington, R. F., “Field Computation by Moment Methods” , MacMillan, (1968)
[12] Yener, N., “Bazı Üniform Dalga Kılavuzlarının Özdeğerlerinin Transmisyon Hattı Eşdeğerlikleri Yardımıyla Belirlenmesi” , Doktora Tezi, Elektronik ve
Haberleşme Müh., İTÜ, İstanbul, (2000).
[13] Schelkunoff, S. A., “Generalized Telegraphist’s Equations for Waveguides” ,
Bell Systems Journal, v. 31, pp 784-801, (1952).
[14] Clarricoats, P. J. B., February “Circular Waveguide Backward-Wave Structures” , Proc. IEEE, vol. 110, No. 2, pp. 261-2 70, (1963).
[15] Yener, N., “Necessary and Sufficient Conditions for The Existence of Backward Waves in Metallic Waveguides” , Jour. of Electromagnetic Waves and
Applications, vol. 17, No. 12, 1713- 1722, (2003).
[16] Yener, N., “Application of Algebraic Function Theory to Backward Wave Problems” , Jour. of Electromagnetic Waves and Applications, vol. 18, No. 1399- 1417, (2004).
[17] Yener, N., “Algebraic Function Approximation in Eigenvalue Problems of Lossless Metallic Waveguides (Revisited)” , Progress in Electromagnetic Research, PIER 55, 147- 174, (2005).
[18] Yener, N., “Algebraic Function Approximation in Eigenvalue Problems of Lossless Metallic Waveguides: Examples” , Jour. of Electromagnetic Waves and
Applications, vol. 20, No. 6, 731- 745, (2006).
[19] Yener, N., “On the Existence of backward Waves in Metallic Waveguides” , Jour. of Electromagnetic Waves and Applications, vol. 18, No. 6, 769- 779, (2004). [20] Noble, D. F., “Circuit Properties of Dispersive Coupled Transmission Lines and Waveguides”, Ph. D. Dissertation, School of Electrical Engineering, Cornell
University, Ithaca, N. Y., (1971)
[21] Knopp, K., “Theory of Functions, Part II” , Dover Publications, New York, (1968).
[22] Jerby, E., Kesar, A., Aharony, A., Breitmeier, G., “Ferrite Guided Cylotron- Resonance Maser”, Physical Review E, vol. 65,066502,202.
[23] Ahlfors, L. V., “Complex Analysis” , McGraw- Hill, New York, (1966).
[24] Kato, T., “Perturbation Theory for Linear Operators”, Springer Verlag, New York, (1980).
EKLER
EK- A CEBRİK FONKSİYON TEORİSİNE DAİR BAZI KAVRAMLAR Bu bölüm [21, 24]’ e dayanılarak hazırlanmıştır.
Cebrik denklem; G
(
γ 2,p)
= 0 formunda denklem. Burada G, p ve γ 2’nin tam birrasyonel fonksiyonudur. Eğer G’yi γ 2’nin artan kuvvetlerine göre düzenlenmiş
olarak düşünürsek aşağıdaki formda yazabiliriz.
(
,)
( )
( )
( )
4 ...( )
2 0, 2 2 1 0 2 = + + + + m = m p g p g p g p g p Gγ γ γ γ (A.1)Burada gv
( )
p sadece p’ ye bağımlı polinomları temsil eder.Cebrik tekillik; aşağıdaki tanımlara uygun olarak bir kutup ya da bir dallanma
noktası olabilir.
1) Kutup; Cebrik denklemin önde olan teriminin gm
( )
p katsayısının, civarında Laurent açınımının sonlu sayıda negatif kuvveti olan bir sıfırıdır. Aynı zamanda Z( ) ( )
pY p ’ nin de bir kutbudur.2) Negatif kuvveti olmayan bir Puiseux açınımına izin veren cebrik dallanma
noktası; Bu nokta G
(
γ 2,p)
= 0 denkleminin diskriminantının bir sıfırıdır. Bu tip tekilliklerde cebrik denklemin kökü sonlu ve süreklidir.3) Sonlu sayıda negatif kuvvet terimi olan kesirli üs içeren bir açınıma izin
veren cebrik dallanma doktası. Bu tip bir açınım sonlu sayıda negatif kuvvete sahip Puiseux Serisi olarak kabul edilebilir. Bu tekil nokta ayrıca gm
( )
p ’ nin bir sıfırıdır. Bu tekillik ayrıca kutup dallanma noktası olarak da anılır. Aynı zamanda Z( ) ( )
pY p ’ nin de bir kutbudur.Kusurlu katlı özdeğer; karşı gelen lineer bağımsız özvektörlerin sayısının katlı özdeğerlerin mertebesinden az sayıda olduğu özdeğerlerdir. Bu tip özdeğerler türevlendirilemezler.
İndirgenemez cebrik denklem G
(
γ 2,p)
= 0’ ın diskriminantı; p’ye bağlı bir polinomdur ve sıfırları G(
γ 2,p)
= 0’ ın katlı köklerine denk gelir.Bir A matrisinin sırasıyla λ özdeğerine denk gelen k
( )
≥ 1 indeksli genelleştirilmiş özvektörü; Aşağıdaki ifadeyi sadece ve sadece eğer r ≥ k ise sağlayan x vektörüdür.(
A− λI)
rx= 0 (A.2) Burada r ve k tamsayılar ve I birim matristir.İndirgenemez G
(
γ 2,p)
= 0; G ile aynı türden iki polinomun aşağıdaki gibi çarpımı biçiminde ifade edilemeyen bir polinomdur. Çünkü(
,) (
2,)
02 2
1 p ⋅G p =
G γ γ (A.3) gibi bir denklemin incelenmesi G1 = 0 ve G2 = 0denklemlerinin ayrı ayrı göz önünde bulundurulmasıyla yer değiştirebilir.
Kusurlu olmayan katlı özdeğer; karşı gelen lineer bağımsız özvektörlerin sayısının katlı özdeğerlerin mertebesiyle aynı sayıda olduğu özdeğerlerdir. Bu tip özdeğerler türevlendirilebilirler.
Puiseux Serisi; Kesirli üs içeren bir kuvvet serisidir.
EK- B CEBRİK FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde cebrik fonksiyonlara kısa bir bakış yapılmış ve ana metinde kullanılan bazı özellikler açıklanmıştır.
(
p)
Gγ 2, ’ nin indirgenemez olduğunu kabul edelim. Diğer bir deyişle eğer
(
p)
G(
p) (
G p)
G , , 2, 2 2 1 2 γ γγ = ⋅ ve hem G hem de 1 G cebrik polinomlar ise ya 2
(
2,)
11 p =
G γ ya da
(
2,)
12 p =
G γ . Aksi halde hem
(
2,)
11 p ≠
G γ hem de
(
2,)
12 p ≠
G γ olsaydı, G= G1G2 = 0 olduğundan az sonra verilecek sonuçlar hem hem G
(
2,p)
1 γ hem de G2
(
γ 2,p)
’ye uygulanabilirdi.(
2,p)
= 0Gγ denklemi her bir p için tam olarak m ayrı kökü vardır. Ancak aşağıdaki durumlardan biri gerçekleşirse bu durum geçerli olmaz.
a) gm
( )
p = 0 ise,b) G
(
γ 2,p)
’nin katlı kökleri var ise.Burada gm
( )
p , (A.1) denklemindeki γ 2m’ in katsayısıdır.a) ve b)’ de anlatılan istisnai durumlar p’nin sadece sonlu sayıdaki değeri için gerçekleşebilir. Biz bu değerlere “kritik noktalar” diyoruz ve a1,a2,...,ar şeklinde
gösteriyoruz. Bu kritik noktalar γ 2
( )
p için sadece cebrik tekil noktalar teşkil ederler.Diyelim ki γ 2
( )
p = γ 2( )
a , bir a kritik (dolayısıyla tekil) noktası için sonlu olsun. Budurumda γ 2
( )
p ’nin a noktası civarı için aşağıdaki gibi açınımında negatif kuvvetlerbulunmaz.
(
)
∑
∞ − ∞ = − n n q n p a C (B.1)O zaman a’ da γ 2
( )
p süreklidir de. Burada b) durumu geçerlidir ve a Z( ) ( )
pY p ’ ninde bir kutbu değildir çünkü gm
( )
p ’ nin bir sıfırı değildir. Bunun nedeni gm( )
p ’ nin sıfırlarının doğal olarak Z( ) ( )
pY p ’ nin kutupları olması ve böyle sonlu noktalarda,( )
p2
γ ’nin sonsuz olmasıdır.
Diyelim ki γ 2
( )
p = γ 2( )
a , bir a kritik (dolayısıyla tekil) noktası için sonsuz olsun.Bu durumda a, gm
( )
p ’nin bir sıfırı ve Z( ) ( )
pY p ’ nin de bir kutbu olur. Böylece a) durumu oluşur. γ 2( )
p için sadece izin verilen tekillikler cebrik tekillik olduğu için[21], bu durumda a, ya Laurent Serisi’nde sonlu sayıda negatif kuvvet terimi olan bir kutup olmalıdır ya da (B.1) açınımında sonlu sayıda negatif kuvvet terimi olan bir cebrik dallanma noktası olmalıdır.
ÖZGEÇMİŞ
Kutlu KARAYAHŞİ, 1981 yılında İzmir’de doğdu. İlk ve orta öğrenimini İzmir’de tamamladıktan sonra 2000 yılında girdiği Kocaeli Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Elektronik Öğretmenliği Bölümü’nden 2005 yılında mezun oldu.