• Sonuç bulunamadı

İkinci Mertebeden Doğrusal Diferansiyel Denklem Ve Yerel Olmayan Koşullar İle Verilmiş Problem İçin Temel Çözüm

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "İkinci Mertebeden Doğrusal Diferansiyel Denklem Ve Yerel Olmayan Koşullar İle Verilmiş Problem İçin Temel Çözüm"

Copied!
8
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

XV. Ulusal Mekanik Kongresi,03-07 Eylül 2007,ISPARTA

İKİNCİ MERTEBEDEN DOĞRUSAL DİFERANSİYEL DENKLEM VE YEREL OLMAYAN KOŞULLAR İLE VERİLMİŞ PROBLEM İÇİN TEMEL ÇÖZÜM

Kamil ORUÇOĞLU

İ.T.Ü Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Maslak 34469, İSTANBUL e-mail:koruc@itu.edu.tr

ÖZET

Çalışmada yerel olmayan koşullara ile verilmiş ikinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alındı. Bu tür problemler için Green fonksiyonu kavramı verildi. Bazı basit örnekler incelendi.

ABSTRACT

In this study, the boundary value problem given by non-local conditions and second order linear ordinary differential equation is considered. A Green function concept is given for such a problem. Some simple examples are investigated.

1. GİRİŞ Bu çalışmada ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( (V2u tu′′ t +A1 t ut +A0 t u t = z2 t t∈ G=(0,1) (1.1)

değişken katsayılı ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemi

, ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 1 0 i i i i iu au bu g u d z V ≡ + ′ +

ς ′′ς ς = i=0, 1 (1.2)

(2)

yerel olmayan koşulları ile birlikte ele alındı. Burada sırası ile

( )

( )

2 p ; 0, 1

z tL G z zR verilmiş fonksiyon ve sayılardırlar. ai,biR keyfi sayılar ve )

( )

( L G

gi ζ ∈ p olan fonksiyonlardır. R reel sayılar uzayını, Lp

( )

G ise G’ de p’ inci mertebeden integre edilebilen fonksiyonlar uzayını göstermektedir. (1.1) ve (1.2) ile verilen problemin çözümü ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ = = (2)( ) L (G), j 0,1,2 dt du u G W W j p j p p

şeklinde tanımlanan Banach uzayında incelendi. Bu uzayda norm

) ( 2 0 L G j j j W p p dt u d u

= =

şeklinde tanımlanmıştır. Ep =Lp(GR×R bir Banach uzayını göstersin. V =

(

V2,V1,V0

)

ve z=

(

z2(t),z1,z0

)

olmak üzere bir V :WpEp operatörü tanımlanırsa (1.1), (1.2) problemi

z u

V = (1.3) şeklinde yazılabilir. (1.3) problemi homojen olmayan bir problemdir. V operatörü W ’den p

p

E ’ye sınırlı bir operatördür.

Sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılan Green fonksiyonunun oluşturulması yöntemi bilinen klasik yöntemler içinde önemli bir yere sahiptir [1,2]. Bu yöntemin temeli kısmi integrasyon formülüne dayanmaktadır. Bu yöntem ancak incelenen denklemin katsayılarının yeterince türeve sahip olması ve sınır koşullarının yerel olması gibi bir takım ek kısıtlar halinde uygulanabilmektedir. Ancak (1.3) ile sunulmuş problemdeki sınır koşulları yerel olmayan koşullar olduğu için bilinen klasik yöntemleri kullanarak temel çözüm bulunamaz. Bu nedenle [3, 9]’ de S. S. Akhiev tarafından verilmiş olan temel çözüm kavramından yararlanarak (1.3) problemi incelendi. Bilinen yöntemlerden farklı olarak gerçek eş problem tanımlandı. Bu eş problem yardımı ile çözümün elde edilebileceği gösterildi. Bu yöntemin temeli çözüm uzayının ve onun eş uzayının yapısı ile ilişkilidir. Denklem ve sınır koşulları aynı öneme sahiptir. Ancak bilindiği gibi diğer yöntemlerde koşullar homojen, denklem ise homojen olmayan denklem olarak ele alınmaktadır.

2. EŞ OPERATÖR VE GREEN FONKSİYONELİ

(1.3) problemi yeni tipli eş problem kavramı yardımı ile incelenmiştir. Bu kavram p p E W V : → operatörünün gerçek *:

( )

* * p p W E

V → eş operatörü yardımı ile

tanımlanmıştır. Eş operatörü bulmak için W uzayının yapısı kullanılmıştır. Bilindiği gibi p p

W

u∈ fonksiyonu için u(0), u′(0) değerleri ve u ′′(t) fonksiyonu bağımsız elemanlardır. Yani keyfi z0, z1 sayıları ve keyfi z2(t)∈Lp(G) fonksiyonu verildiğinde onlar için tek olan öyle uWp fonksiyonu var ki u(0)= , z0 u′(0)=z1 ve u′′(t)=z2(t) olur. Bu ise W uzayının p

R R G L

(3)

( )

V u t dt f

( )

Vu f

( )

Vu u Wp t f Vu f( )=

( ) ( ) + 1 1 + 0 0 , ∈ 1 0 2 2 (2.1)

ifadesi (1.1), (1.2) ifadeleri ve uWp fonksiyonu kullanılarak hesaplanırsa

) ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( )( ( ) ) ( ) 0 ( )( ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 ds s u s g u b u a f ds s u s g u b u a f d u t t u u t A d u u t A t u t f Vu f t t ′′ + ′ + + ′′ + ′ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′ − + ′ + + ′′ + ′ + ′′ =

ζ ζ

ζ ζ ζ (2.2)

elde edilebilir. Bir takım ara hesaplamalar ve düzenlemelerden sonra

( )

( )

( )

∞ ≤ ≤ ∈ ∀ ∈ ∀ ≡ + ′ + ′′ = + + =

p W u E f u f u f u f d u f u V f u V f dt t u V t f Vu f p q ,1 ), )( ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0 1 1 0 2 0 0 1 1 1 0 2 2 ω ω ω ζ ζ ω (2.3) özdeşliği elde edilebilir. Burada

ds s A s f f a f a f w ds s A s s A s f f b f b f w g f g f ds s A s s A s f f f w ) ( ) ( ; )] ( ) ( )[ ( ); ( ) ( )] ( ) )( ( )[ ( ) ( ) ( ) ( 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2

+ + ≡ + + + ≡ + + + − + ≡ ζ ζ ζ ζ ζ ζ (2.4)

dir. W uzayında tanımlı olan lineer fonksiyonellerin genel formu gösterir ki p w=(w2,w1,w0) operatörü V operatörünün eş operatörü gibi düşünülebilir, [3, 5]. Dolayısı ile (1.3)

probleminin eş denklemi *

0 1 2, , ) ( ∈W = ϕ ϕ ϕ ϕ olmak üzere ϕ = wf (2.5) şeklinde yazılabilir.Δ=a0b1a1b0tanımlansın. (2.4) ve (2.5) ten görüldüğü gibi Δ≠0 ise (2.5)2,3 den f ve 0 f1 bulunabilir. Bu değerler (2.5)1’e yerleştirilerek f2(ζ)’ ya bağlı Volterra tipli integral denklem elde edilebilir. Bilindiği gibi Volterra integral denkleminin her zaman tek olan bir çözümü vardır. Keyfi ϕW*(G) elemanı yerine özel olarak

p W u t u u t)( )= ( ), ∈ (

(4)

1 ; ); ( ) ( ) ( 0 1 2 = = − − = f w t f w t H t f w ζ ζ (2.6) şeklinde yazılabilir. Burada H(t) ile R üzerinde tanımlı Heaviside fonksiyonu gösterilmektedir.

Tanım 2.1. Varsayalım ki keyfi t∈ parametre değeri için G q E t f t f t f t f f = ( )=( 2(ζ, ), 1( ), 0( ))∈

elemanı (2.6) sisteminin çözümüdür. O zaman f(t)’ye V operatörünün Green fonksiyoneli denir.

Tanıma göre f’ nin birinci elemanı f2(ζ,t) (1.3) probleminin klasik anlamda bilinen Green fonksiyonuna karşı gelmektedir. f1(t),f0(t) elemanları ise sınır koşullarının sağ tarafına uygun olan terimleri ifade etmektedirler.

Teorem 2.1. Eğer (1.3) problemi en az bir f(t) Green fonksiyoneline sahip ise o zaman keyfi bir uWp çözümü 0 0 1 1 1 0 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ) (t f t z d f t z f t z u =

ζ ζ ζ + + (2.7) şeklinde gösterilebilir. Üstelik Vu=0 sadece sıfır çözüme sahip olur.

[4]’ de verilen teoremlere benzer olarak ispatlanabilir ki eğer bir Green fonksiyoneli varsa tektir. Green fonksiyoneli ancak ve ancak Vu=0 sıfır çözüme sahip ise vardır.

3. UYGULAMALAR

Özel olarak (1.1) denkleminde A0(t)= A1(t)=0 olarak alınır ise

), ( ) ( ) )( (V2u tu′′ t =z2 t t∈ G=(0,1) (3.1) diferansiyel denklemi ve (1.2) koşullarıda özel olarak

′′ = + ′ + ≡ = ′ + ≡ 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ; ) 0 ( ) 0 ( z d u g u b u a u V z u b u a u V ζ ζ ζ (3.2)

(5)

( )

0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 0 2 ; ; ) ( ϕ ϕ ϕ ς ς = + = + = + f a f a f b f b g f f (3.3)

şeklinde elde edilebilir [8]. Bu bir cebirsel denklem sistemidir. Eğer 0Δ=a0b1a1b00≠ ise son iki denklemden f ve 0 f1 bulunur ve sonra ilk denklemden de f2(ς) bulunabilir. (3.3) denklem sisteminde keyfi ϕ∈W elemanı yerine özel olarak

p W u t u u t)( )= ( ), ∈ ( θ

fonksiyoneli alınır ise (2.6) sistemi

( )

1 ; ; ) ( ) ( ) ( 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 2 = + = + − − = + f a f a t f b f b t H t g f f ς ς ς ς (3.4)

şeklinde yazılabilir. Bu cebirsel denklem sisteminin çözümü kolayca

) ( 1 ) ( ; ) ( 1 ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 1 0 1 0 0 1 1 1 2 t a b t f b t a t f b t a g t H t t f − Δ = − Δ = − Δ + − − = ς ς ς ς (3.5)

olarak elde edilebilir. Tanıma göre f elemanın birinci elemanı olan f2(ς,t) (3.1)-(3.2) probleminin bilinen klasik anlamda Green fonksiyonuna karşı gelmektedir. f1(t) ve f0(t) elemanları ise sınır koşullarına uygun olan terimleri ifade etmektedirler. Keyfi bir u(t)∈Wp çözümü ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1 bt a z b t a z d z b t a g t H t t u − Δ + − Δ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ + − − =

ς ς ς ς ς

şeklinde elde edilebilir. Çözümün ele alınan problemi gerçeklediği doğrudan sağlatılarak gösterilebilir. Özel olarak g(ς)=0, a1= b0 =1 ve a0 = b1=0 alınır ise (3.5)1 den

) ( ) ( ) , ( 2 ς t = t−ς H t−ς f

şeklinde başlangıç değer problemi için klasik Cauchy fonksiyonu elde edilir. Bu durum için homojen olmayan problemin çözümü

[

t H t

]

z d z z t t u 2 1 0 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( =

−ς −ς ς ς − +

(6)

olarak elde edilir. Bir başka özel durum ise iki uçta sınır koşulu u(0)=z0 ve u(1)= z1 şeklinde verilebilir. Bu durum g(ς)=1−ς, a0 =a1 =b0 =1 ve b1 =0 özel haline karşı gelir.

1 ) 5 . 3 ( den ) 1 ( ) ( ) ( ) , ( 2 ς t = t−ς H t−ς −t −ς f

sınır değer problemi için klasik Green fonksiyonu elde edilir [1]. Bu duruma karşı gelen çözüm ise ( )

[

( ) ( ) (1 )

]

2( ) 1 0(1 ) 1 0 t z t z d z t t H t t u =

−ς −ς − −ς ς ς + + − olarak verilir.

Burada kullanılan yaklaşım ilke olarak klasik yöntemlerden farklıdır. Klasik yöntem Green formülü olarak bilinen kısmi integrasyon formülüne dayanmaktadır. Oysa burada izlenen yaklaşım bu formül yerine çözüm uzayının yapısal özelliklerini kullanmaya dayanmaktadır. Dolayısı ile temel çözüm homojen olmayan problemin operatörü ile de ilişkilidir. Eğer problem homojen koşullar ile verilmiş ise buradaki temel çözüm Green fonksiyonuna benzerdir. Eğer problem koşulsuz olarak verilmiş ise klasik temel çözüme benzer olarak geneleştirilmiş temel çözüm kavramı da verilebilir [6–9].

KAYNAKLAR

[1] STAKGOLD, I., Green Function and Boundary Value Problems, New-York, 1979.

[2] ROACH, G. F., Green’s Function, Introductory Theory witsh Application, London, 1970. [3] AKHIEV, S. S., Representations of the solutions of some linear operator equations, Soviet Math Dokl. 21(2), 555-558, 1980.

[4] AKHIEV S. S., A New Fundamental Solution Concept and Application to Some Local and Non Local Problems, Bull. Tech. Univ. İstanbul, 47(3), 93-99, 1994.

[5] AKHIEV, S. S., About the General Form of the Linear Bounded Functionals in Some Space of S. L. Sobolev type, Akad. Nauk Azerb. SSR. Dokl. 34(6), 3-7, 1979.

[6] AKHIEV, S. S. and ORUÇOĞLU, K., Fundamental Solutions of Some Linear Operator Equations and Applications, Acta Applicandae Mathematicae, 71, 1-30, 2002.

(7)

[8] ORUÇOĞLU, K., Yerel olmayan bir problem için temel çözüm, XIX Ulusal Matematik Sempozyumu, Kütahya 141, 2006.

[9] AKHIEV, S. S., Gren and Generalized Green’ s Functionals of Linear Local and Nonlocal Problems for Ordinary Integro-differential equations, Acta Applicandae Mathematicae, 95, 73-93, 2007.

(8)

Referanslar

Benzer Belgeler

İnsan feçesinden elde edilen biyometan gazından ısınma veya elektrik üretiminde kullanılmak üzere cihaz üretilmesi amaçlanmıştır. Bu amaçla kanalizasyonlardaki feçes

1 University of Health Sciences Turkey, Ankara City Hospital, Clinic of Emergency Medicine, Ankara, Turkey 2 İstanbul Medipol University Faculty of Medicine, Department of

• Fütürizm akımı içinde Anton Giulio Bragaglia tarafından kullanılan bir yöntemdir.. Anton

Fotoğraf çektirmek hala pahalı Hayattayken çekilmiş fotoğrafı olmayanların anı olarak saklamak için fotoğraflanması.. yy ilk yarısında, Almanya’nın çaşitli

Böylece tarım alanlarında yağış, buharlaşma, yüzey akışı, infiltrasyon, taban suyu düzeyi, toprak yapısı, topografya ve yeterli bir drenaj sisteminin

Problem-12’de verilen bilgilere göre; eşitsizliği sağlayan sayılara karşılık gelen noktaların kümesi grafikteki taralı bölge olur.. Verilen sistem, bu iki

Böylece Burdur ili için ormancılık faaliyetlerini (ormanların devamlılığını sağlama, odun ve odun dışı orman ürünleri üretimi, ağaçlandırma ve erozyon

Aslında çiy oluşumu için yüksek basınç merkezinin hâkim olduğu bulutsuz (ve ayazlı) geceler, sakin veya hafif rüzgâr, nemli yer yüzeyi ve yüksek çiy noktası