Fibonacci sayıları ve üçgensel graflar

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

HURİYE KORKMAZ

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

HURİYE KORKMAZ

Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Recep ŞAHİN (Tez Danışmanı) Doç. Dr. Sebahattin İKİKARDEŞ

Doç. Dr. Musa DEMİRCİ

ÖZET

FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ

HURİYE KORKMAZ

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI: PROF. DR. RECEP ŞAHİN)

BALIKESİR, OCAK - 2016

Bu tezin amacı üçgensel graflar yardımıyla Fibonacci özdeşliklerinin ispatlarını vermektir.

Tez üç bölümden oluşmuştur.

Birinci bölümde Fibonacci hakkında bilgi ve Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımı ile Fibonacci özdeşlikleri verilmiştir.

İkinci bölümde ℱ fonksiyonunun tanımı ve ilgili teoremler verilmiş. Ayrıca Fibonacci özdeşliklerinin ℱ fonksiyonu olduğu gösterilmiştir.

Son bölümde önce üçgensel graf tanımı verilmiştir. Daha sonra Fibonacci özdeşliklerinin üçgensel graflar yardımıyla ispatları incelenmiştir.

ANAHTAR KELİMELER:Fibonacci sayıları, Fibonacci özdeşlikleri, Üçgensel

graf.

ABSTRACT

FIBONACCİ NUMBERS AND TRIANGLE GRAPHS MSC THESIS

HURİYE KORKMAZ

BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR: PROF.DR.RECEP ŞAHİN )

BALIKESİR, JANUARY 2016

The aim of this thesis is to give the proof of the Fibonacci equalities by the triangle graphs.

This thesis consist of three chapter.

In the first chapter, it is given the information about Fibonacci the definition of the Fibonacci and Lucas sequences and their equalities.

In the second chapter, it is given the definition of ℱ function the theorems related with the ℱ function. Also, it is showed that Fibonacci equalities are ℱ functions.

In the last chapter, firstly, it is given the definition of the triangel graph. Later, it is investigated the proofs of the Fibonacci equalities by the triangle graphs.

KEYWORDS: Fibonacci numbers, Fibonacci equalities, Triangle graph.

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET ......i ABSTRACT ......ii İÇİNDEKİLER ... iii ŞEKİL LİSTESİ ... iv TABLO LİSTESİ ... v SEMBOL LİSTESİ ... vi ÖNSÖZ ... vii 1. ÖN BİLGİ ... 1

1.1Fibonacci ve Lucas Sayı Dizileri... 1

2. 𝓕𝓕 FONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ ... 4

2.1 𝓕𝓕 Fonksiyonu ... 4

2.2 𝓕𝓕 Fonksiyonunun Temel Özellikleri... 9

2.3Catalan Özdeşliğinin 𝓕𝓕 Fonksiyonlarla İspatı ...10

3. ÜÇGENSEL GRAFLAR ... 16

3.1Üçgensel Graf Oluşturma...16

3.2(1,0,0), (2,1,0), (2,2,1) Vektörleriyle Üçgensel Graf Oluşturma...20

3.3(1,2), (2,1), (1,2) Vektörleri için Üçgensel Graf Oluşturma...27

3.4Bazı Fibonacci ve Lucas Özdeşliklerinin Üçgensel Graf Yardımıyla İspatı...29

4. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 45

5. KAYNAKLAR ... 46

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa

Şekil 3.1: (e1,e2,e3) ile oluşturulan üçgensel graf ... 16

Şekil 3.2: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 17

Şekil 3.3: (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 26

Şekil 3.4: (1,0), (0,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 28

Şekil 3.5: (1,0,-1), (2,1,1), (2,1,4) ile oluşturulan üçgensel graf. ... 29

Şekil 3.6: (1,1,2), (0,1,-1), (1,0,2) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 31

Şekil 3.7: (1,1,2), (0,1,-1), (1,0,2) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 32

Şekil 3.8: (1,1,2), (0,1,-1), (1,0,2) ile oluşturulan üçgensel graf. ... 33

Şekil 3.9: (1,1,2), (0,1,-1), (1,0,2) ile oluşturulan üçgensel graf. ... 35

Şekil 3.10: (0,1,0), (1,0,1), (1,2,3) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 36

Şekil 3.11: (0,1,0), (1,0,1), (1,2,3)ile oluşturulan üçgensel graf . ... 37

Şekil 3.12: (1,-1,0), (0,1,0), (0,0,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 38

Şekil 3.13: (1,1,1), (0,1,0), (0,0,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 40

Şekil 3.14: (-1,0,0), (3,1,0), (0,0,1) ile oluşturulan üçgensel graf . ... 41

Şekil 3.15:(0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,0,0,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0) ile oluşturulan üçgensel graf...42

TABLO LİSTESİ

Sayfa Tablo 1.1: Fibonacci ve Lucas sayı özdeşlikleri. ... 2

SEMBOL LİSTESİ

n F Fibonacci dizisi n L Lucas dizisi

( )

X n  

{ }

0 üzerinde tanımlı ℱ fonksiyon

n e n-inci vektör

( )

A n Bir ℱ fonksiyonu

( )

B n Bir ℱ fonksiyonu

( )

x y, İki boyutlu uzayda vektör

(

x y z, ,

)

Üç boyutlu uzayda vektör

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın ortaya çıkarılmasında akademik bilgi ve birikimiyle bana destek olan danışman hocam Prof. Dr. Recep Şahin'e; çalışmamın birçok aşamasında yardımını gördüğüm hocalarım Doç. Dr. Sebahattin İkikardeş ve Doç. Dr. Fırat Ateş'e içtenlikle teşekkür ediyorum.

Bugünlere gelmemde emeklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olup, kahrımı çeken aileme sonsuz teşekkürler.

1. ÖN

BİLGİ

İtalyan matematikçi Leonardo de Pisa, gerçek ismi yerine, Filius Bonaccio (Bonaccio’nun oğlu) kelimelerinin kısaltılmışı Fibonacci ile bilinir. Fibonacci Arap sayı sistemi konusunda kafa yordu ve Liber Abaci (Hesaplama Yöntemleri, Abaküs Kitabı) adlı eserini 1202 yılında yayınladı. Bu kitap, Fibonacci serisi (Fibonacci sayı dizisi) nin temeli olan, bir çift tavşanın doğurarak neslini çoğaltmasını ele alan bir problemi de anlatıyordu.

Fibonacci’nin ünlü sorusu:

“Bir çift yetişkin tavşan, her ay yeni bir çift tavşan yavrulamaktadır. Bu yavrular, bir ayın sonunda erişkin hale gelmekte ve sonraki her ay yeni bir çift yavru yapmaktadır. Herhangi bir ay sonunda yavruların ve yetişkin tavşanların sayısını bulunuz. Bu süre zarfında tavşanların hiçbirinin ölmediği varsayılacaktır.”

Daha sonra Edouard Lucas, Fibonacci dizisini yeniden keşfetti ve bu diziyi gerçek bulucusuna atfetti [1] .

1.1 Fibonacci ve Lucas Sayı Dizileri

Fibonacci sayı dizisi F0 = ve 0 F1 = başlangıç koşulları ile verilen, 1 n≥ 0

tamsayı olmak üzere genel terimi

2 1

n n n

F₊ =F₊ +F

olan bir dizidir. Burada

0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… sayıları Fibonacci Sayı dizisini oluşturur[1].

Benzer şekilde Lucas sayı dizisi L₀ = ve 2 L₁ = başlangıç koşulları ile 1 verilen, 𝑛 ≥ 0 tamsayı olmak üzere genel terimi

L_n+2 =L_n+1+L_n olan bir dizidir.

Bu sayı dizisi

2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,… şeklinde oluşmuştur [1].

Fibonacci ve Lucas sayı dizileri ile ilgili bağıntılardan bazıları aşağıdaki gibidir [2].

Tablo 1.1: Fibonacci ve Lucas sayı özdeşlikleri.

2 2 2n 1 n 1 n F ₊ =F₊ +F (1.1) 2 2 2 1 1 n n n n F₊ F₋ =F₊ −F (1.2)

( )

2 1 1 1 n n n n F F_{+ −} −F = − (1.3) 1 1 n m n m m n m F =F F_{+ −} +F ₋F₋ (1.4)

( )

1 m n m n m m n L₊ + − L₋ =L L (1.5)

( )

2 2 2 1 n n n L + − =L (1.6) 1 1 5 n n n L₋ +L₊ = F (1.7) 2 m n n m n m L F +L F = F₊ (1.8)

( )

2 1 m n m n m n m F L −L F = − F₋ (1.9)

( )

1 m 5 n m n m m n L₊ − − L₋ = F L (1.10) 2 2 2 2 5 n n n L − L = − F (1.11)

( )

2 2 2 1 5 n n n L − − = F (1.12)

( )

1 2 2 5Fn Ln 4 1 n + − = − (1.13) 1 1 n n n F₋ +F₊ =L (1.14) 2 2 n n n F₊ −F₋ =L (1.15) 1 2 n n n F +L = F₊ (1.16) 2n n n F =F L (1.17) 1 1 2 1 n n n n n F₊ +L₊ −F L =F ₊ (1.18) 2

Tablo 1.1:( devamı)

( )

1 m n m n m m n F₊ + − F₋ =L F (1.19)

( )

1 m n m n m n m F₊ − − F₋ =L F (1.20) 1 2 1 1 n n n F L₊ =F ₊ − ( n tek) (1.21) 2 3F_n+L_n =2F_n+ (1.22) 2 5F_n+3L_n =2L_n+ (1.23) 1 2 1 1 n n n F L₊ =F ₊ + (n çift) (1.24) 1 2 n n n L =F + F₋ (1.25) 3 2 n n n L =F₊ − F (1.26) 3

2.

𝓕𝓕 FONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ

2.1 𝓕𝓕 Fonksiyonu

2.1.1 Tanım:  

{ }

0 kümesi üzerinde tanımlı bir X n fonksiyonu

( )

X n

(

+3

)

=2_X n

(

+2

)

+X n

(

+1

)

_−X n

( )

(2.1)

indirgeme bağıntısını sağlıyorsa X n fonksiyonuna

( )

ℱ fonksiyonu denir [2].

Şimdi aşağıdaki fonksiyonların birer ℱ fonksiyonu olduğunu gösterelim.

2.1.2 Önerme: X n

( ) ( )

= −1 n bir ℱ fonksiyonudur [2].

İspat: X n

( ) ( )

= −1 n fonksiyonu için (2.1) eşitliğini yazalım. Burada

( 1)− n+3 =2[( 1)− (n+2)+ −( 1)(n+1)] ( 1)− − n bulunur. Şimdi A n

( )

= −( 1)n+3 ve B n

( )

=2[( 1)− (n+2)+ −( 1)(n+1)] ( 1)− − n diyelim. Böylece A n

( ) ( ) ( )

= −1 n −13 ( 1)n = − − 2 1 B( )n =2[( 1) ( 1)− n − + −( 1) ( 1) ] ( 1)n − − − n =2[( 1)− n− −( 1) ] ( 1)n − − n = − −( 1)n bulunur. 4

Buradan da A n

( )

=B n

( )

olduğu görülür.

2.1.3 Önerme: X n( )=F_n2 bir ℱ fonksiyonudur [2].

( )

2

1 1 1

n n n n

F =F₋F₊ − − olduğunu biliyoruz. Burada (2.1) eşitliği kullanılırsa Fn2+₃ =2Fn2+₂+Fn2+₁−Fn2

olarak bulunur. Bu eşitlikte

A n

( )

F= _n2₊₃ ve B

( )

n =2_F_n2₊₂+F_n2₊₁ −_ F_n2 diyelim. Böylece A n

( )

F= _n2₊₃ =F_(n+2)F_(n+4)− −( 1)(n+3) =(F_(n+1) +F_n)(3F_(n+1) +F_n) ( 1)+ − n =3F_n2₊₁+5F F_{n n+1}+2F_n2+ −

( )

1 n (2.2) ve B n

( )

=2_F_n2₊₂+F_n2₊₁_−F_n2 =2_

(

F F_{n+1 n+3}− −

( )

1 n+2

)

+

(

F F_{n n+2} − −

( )

1 n+1

)

_ −_

(

F F_{n−1 n+1}

) ( )

− −1 n_ =2[F₍n+₁₎(2F₍n+₁₎+Fn) ( 1)− − n+F Fn( ₍n+₁₎+Fn) ( 1) ] [(+ − n − F₍n−₁₎F₍n+₁₎) ( 1)− − n] =2 2_ F_n2₊₁+2F_nF_n+1+F_n2_−

(

F_n−1F_n+1

) ( )

+ −1n =4F_(n2₊₁₎+4F_nF_(n+1)+2F_n2−(F_(n−1)F_(n+1)) ( 1)+ − n (2.3) bulunur. 5

(2.2) ve (2.3) eşitliklerinden 3Fn2+₁+5FnFn+₁+2Fn2+ −

( )

1 n =4Fn2+₁+4F Fn n+₁+2Fn2−

(

F Fn−₁ n+₁

) ( )

+ −1 n F F_{n n+1}=F_n2₊₁−

(

F_n+1F_n−1

)

=(F₍n+₁₎ +Fn)Fn−(F₍n+₁₎F₍n−₁₎) ( 1)+ − n =

(

Fn+₁+F Fn

)

n−

(

F Fn+₁ n−₁

) ( )

− −1 n =F F_{n+1 n}+F F_{n−1 n+1}− −

( ) (

1 n− F F_{n+1 n−1}

) ( )

+ −1 n =Fn+₁Fn+Fn−₁Fn+₁− −( 1)n−(Fn+₁Fn−₁) ( 1)+ − n =F F_{n n+1} olarak bulunur ve ispat biter.

2.1.4 Önerme: X n

( )

=F_2n

bir ℱ fonksiyonudur [2].

İspat: X n

( )

=F_2n fonksiyonu için (2.1) eşitliği kullanılırsa

( ) ( ) ( ) 2

2n 3 2 2n 2 F2n 1 n

F ₊ = _F ₊ + ₊ _−F elde edilir. Burada

F_2n =F_n2+2F_(n−1)F_n ve F_n2 =F_(n−1)F_(n+1)− −( 1)n bağıntılarından yararlanalım. Böylece

( ) (2 3) ( 2) ( 2n 3 n 2 n n 3) F ₊ =F ₊ + F ₊ F ₊ Fn ₄Fn ₂

( )

1 n 3 2Fn ₂Fn ₃ + + + + + = − − + =

(

3F_n+1+2F_n

)(

F_n+1+F_n

) ( )

+ −1 n+2

(

F_n+1+F_n

)(

2F_n+1+F_n

)

=18F F_{n (n+1)}+11F_n2+ −8( 1)n (2.4) 6

( ) 22 1 2 2n 2 n 2 n n F ₊ =F₊ + F₊ F_{+ ( 3) ( 1)} ( 1)(n 2) 2 _{( 1) ( 2)} n n n n F ₊ F ₊ + F ₊ F ₊ = − − + =

(

2Fn+₁+F Fn

)

n+₁− −

( )

1 n+2Fn+₁

(

Fn+₁+Fn

)

=4F_n2+7F_nF_(n+1)+ −3( 1)n (2.5) F₂(n+ =1) F₍2_n+1)+2F_(n+1)F_n =3FnF₍n+₁₎ + −( 1)n+Fn2 (2.6) bulunur (2.4),(2.5) ve (2.6) eşitliklerinden 18F_nF_n+1+11F_n2+ −8

( )

1n =2 5_ F_n2+10F_nF_n+1+ −4

( )

1 n_−F_n2−2F F_{n−1 n} 2F_n2 =2F_n+1F_n−2F_nF_n−1 2F_n2 =2F_n

(

F_n+1−F_n−1

)

F_n =F_n elde edilir.

2.1.5 _Önerme: r∈ olmak üzere X n

( )

=F_{n r+} F_n bir ℱ fonksiyondur [2].

İspat:

X n

( )

=Fn r+ Fn

fonksiyonu için (2.1) eşitliği kullanılırsa

Fn r+ +3Fn+3 =2

[

Fn r+ +2Fn+2+Fn r+ +1Fn+1

]

−Fn r+ Fn

elde edilir. Burada n+ =r m olsun. Böylece

F_m+3F_n+3 =2

[

F_m+2F_n+2+F_m+1F_n+1

]

−F_mF_n 7

bulunur. Şimdi, A n

( )

=F_m+3F_n+3 ve B n

( )

=2

[

F_m+2F_n+2+F_m+1F_n+1

]

−F_mF_n diyelim. Buradan A n

( )

=F_m+3F_n+3 =

(

2F_m+1+F_m

)(

2F_n+1+F_n

)

=4F_m+1F_n+1+2F_m+1F_n +2F_n+1F_m+F_mF_n (2.7) ve F_m+2F_n+2 =

(

F_m+1+F_m

)(

F_n+1+F_n

)

=F_m+1F_n+1+F_m+1F_n+F_n+1F_m+F_mF_n B n

( )

=2

[

F_m+1F_n+1+F_m+1F_n+F_n+1F_m+F_mF_n+F_m+1F_n+1

]

−F_mF_n =4Fm+₁Fn+₁+2Fm+₁Fn+2Fn+₁Fm+F Fm n (2.8) elde edilir. (2.7) ve (2.8) eşitliklerinden yararlanarak A n

( )

=B n

( )

bulunur. 2.1.6 Önerme: X n

( )

=L2_n , X n

( )

=L_{n r+} L_n , X n

( )

=L_2n birer ℱ fonksiyonudur [2].

İspat: : Lucas özdeşliklerinin ispatı yukarıda ispatlarını yaptığımız

Fibonacci özdeşliklerinin ispatıyla benzerdir.

2.2 𝓕𝓕 Fonksiyonunun Temel Özellikleri

2.2.1 Yardımcı Teorem: A n

( )

=B n

( )

ℱ fonksiyonları ve r∈ sabit bir tamsayı olsun. Bu durum da

( )

(

0

)

X n =A n r+ Y n

( )

=r₀A

( )

n ve A n

( )

±B n

( )

de ℱ fonksiyondurlar [2].

2.2.2 Yardımcı Teorem: A n

( )

=B n

( )

birer ℱ fonksiyonu olsun. A n

( )

=B n

( )

⇔ =k 0,1, 2 için A

( )

k =B k

( )

olmasıdır [2].

2.2.3 Yardımcı Teorem: A n

( )

=B n

( )

, 

{ }

0 kümesi üzerinde tanımlı

fonksiyonlar olsun.

( )

( )

A n =B n nin her ikisi ya

i X n)

(

+2

)

= −X n

(

+ +1

)

X n

( )

ya da ii X n)

(

+ = −3

)

2X n

(

+ +2

)

2X n

(

+ +1

)

X n

( )

eşitliklerini sağlarsa A n

( )

=B n

( )

⇔ =k 0,1, 2 için A k

( )

=B k

( )

olur [2]. 9

2.3 Catalan Özdeşliğinin 𝓕𝓕 Fonksiyonlarla İspatı

2.3.1 Yardımcı Teorem: 4

( )

−1 3−r+F_r+3F_r−3−F_r2 =0 dir [2].

İspat:r≥ için 0

A r

( )

= −

4( 1)

(3−r)

+

F

_(r+3)

F

_(r−3)

−

F

_r2 olsun.

Yardımcı Teorem 2.2.1 den

A r

( )

bir ℱ fonksiyondur. Yardımcı Teorem 2.2.2 den tüm

r

değerleri için

A r

( )

=0 dır.

2.3.2 Teorem: (Catalan Özdeşliği)

2 ( ) 2 ( ) ( )

( 1)

n r n

F

n r n r r

F

−

₊

F

₋

= −

−

F

dir [2]. İspat: Burada F_−m = −

( )

1 m+1F_m olarak alınır. Ayrıca

r

≥

0

ve

n

≥

1

dir.

Şimdi

A n

( )

=

F

_n2

−

F

_{n r+}

F

_{n r−} ve

B( )

n

= −

( 1)

(n r− )

F

_r2 diyelim.

Yardımcı Teorem 2.2.1 den

A n

( )

ve

B n

( )

birer ℱ fonksiyondur. Burada n=1, 2, 3 için

A

( )

1

=

F

₁2

−

F F

_{1+r 1−r} ve B

( ) ( )

1 = −1 1−r F_r2

A

( )

2

=

F

₂2

−

F

_2+r

F

_2−r ve B

( ) ( )

2 = −1 2−r F_r2

A

( )

3

=

F

₃2

−

F F

_{3+r 3−r} ve B

( ) ( )

3 1 3 r Fr2

−

= −

olur.

r

≤

3 ,

n

=

1, 2, 3 iken A



( )

n

=

B n

( )

olduğu kolayca görülür. Burada 0 r= ise

A(1)

=

F

₁2

−

F

_(1+r)

F

_(1−r)

=

F

₁2

−

F

_{(1 0)+}

F

_{(1 0)−}

= −

1

2

1.1

=

0

B

( ) ( )

1 = −11−r F_r2 = −

( )

1 1 0− F₀ 2 = −

( )

1 .0=0

A

( )

1

=

B

( )

1

,

A

( )

2

=

F

₂2

−

F

_2+r

F

_2−r

=

F

₂2

−

F

_{2 0+}

F

_{2 0−}

= −

1

2

1.1

=

0

B

( )

2

= −

( 1)

(2−r)

F

_r2

= −

( 1)

(2 0)−

F

₀2

=

0

A

( )

2 =B

( )

2 ve

A

(3)

=

F

₃2

−

F

_(3+r)

F

_(3−r)

=

F

₃2

−

F

_{(3 0)+}

F

_{(3 0)−}

=

2

2

−

2.2

=

0

B

( ) ( )

3 = −1 3−r F_r2 = −

( )

1 3 0− F₀2 =0

A

( )

3

=

B

( )

3

bulunur. Eğer r=1 ise

A

( )

1

=

F

₁2

−

F

_(1+r)

F

_(1−r)

=

F

₁2

−

F

_{(1 1)+}

F

_{(1 1)−}

= −

1

2

1.0 1

=

B

( )

1

= −

( 1)

(1−r)

F

_r2

= −

( 1)

(1 1−)

F

₁2

=

1

A

( )

1

=

B

( )

1

, 11

A

( )

2

=

F

₂2

−

F

_(2+r)

F

_(2−r)

=

F

₂2

−

F

_{(2 1)+}

F

_{(2 1)−}

= −

1

2

2.1

= −

( 1)

B

( ) ( )

2 = −1 2−r F_r2 = −

( )

1 2 1− F₁2 = −

( )

1

A

( )

2

=

B

( )

2

ve

A

( )

3

=

F

₃2

−

F

_(3+r)

F

_(3−r)

=

F

₃2

−

F

_{(3 1)+}

F

_{(3 1)−}

=

2

2

−

3.1 1

=

B

( ) ( )

3 = −1 3−r F_r2 = −

( )

1 3 1− F₁2 =1

A

( )

3

=

B

( )

3

bulunur. Eğer r=2 ise A

( )

1 F₁2 F₍₁ r₎F₍₁ r₎ F₁2 F_{(1 2)}F_{(1 2)} 12 2.( 1)(1 1).1 ( 1) + + − + − = − = − = − − = − B

( ) ( )

1 = −11−r F_r2 = −

( )

11 2− F₂ 2 = −

( )

1 .1= −

( )

1 A

( )

1 =B

( )

1

A

( )

2

=

F

₂2

−

F

_2+r

F

_2−r

=

F

₂2

−

F

_{2 2+}

F

_{2 2−}

= −

1

2

3.0 1

=

B

( )

2

= −

( 1)

(2−r)

F

_r2

= −

( 1)

(2 2)−

F

₂2

=

1

A 2

( )

=B

( )

2 ve

A

( )

3

=

F

₃2

−

F

₍₃+_r)

F

₍₃−_r)

=

F

₃2

−

F

_{(3 2)}+

F

_{(3 2)}−

=

2

2

−

5.1

= −

( 1)

B

( )

3 = −( 1)(3−r)F_r2 = −( 1)(3 2)− F₂2 = −( 1) A

( )

3 =B

( )

3 bulunur. 12

Eğer r= ise 3 A

( )

1 =F₁2−F_(1+r)F_(1−r) =F₁2−F_{(1 3)+} F_{(1 3)−} = −12 3.( 1)− (1 2)+ .1=4 B

( ) ( )

1 = −11−r F_r2 = −

( )

11 3− F₃ 2 = −

( )

1 −2.4=4 A

( )

1 =B

( )

1 , A

( )

2 = F₂2−F_(2+r)F_(2−r) = F₂2−F_{(2 3)+} F_{(2 3)−} = −12 5.( 1)− (1 1)+ .1= −4 B

( ) ( )

2 = −1 2−r F_r2 = −

( )

1 2 3− F₃2 = −

( )

1 .4= −4 A

( )

2 =B

( )

2 ve A

( )

3 =F₃2−F_3+rF_3−r =F₃2−F_{3 3+} F_{3 3−} =22 −8.0=4 B

( ) ( )

3 = −1 3−r F_r2 = −

( )

1 3 3− F₃2 =4 A

( )

3 =B

( )

3 bulunur. Böylece 4

r≥ iken Yardımcı Teorem 2.2.2 den A n

( )

=B n

( )

elde edilir. A(3)= +4 F( 1)− (3−r)F_(r+3)F_(r−3) ve

B

( )

3

= −

( 1)

(3−r)

F

_r2

A(3)

−

B

(3)

= + −

4 ( 1)

(3−r)

F

_(r+3)

F

_(r−3)

− −

( 1)

(3−r)

F

_r2

Yardımcı Teorem 2.3.1 den 2

( )

3

3 3 4 1 r r r r F₊ F₋ −F = − − − dir.

A(3)

−

B

(3)

= + −

4 ( 1)

(3−r)

[F

_(r+3)

F

_(r−3)

−

F

_r2

]

= + −4 ( 1)(3−r)[ 4( 1)− − (3−r)]

= − =

4 4

0

A

( )

3 =B

( )

3 elde edilir. 13

Aynı şekilde;

A

( )

1

= + −

1 ( 1)

(1−r)

F

_r+1

F

_r−1 ve B

( ) ( )

1 = −11−rF_r2 (1 ) (1 ) 2 1 1 A(1)−B(1) 1 ( 1)= + − −r F F_{r+ r−} − −( 1) −r F_r = + −1

( )

11−rF F_r+_{1 r}−₁−F_r2 = + −1

( ) ( )

11−r_ −1r_ = + − =1

( )

1 0 Α

( )

1 =B

( )

1 elde edilir.

( )

( )

2 2 2 2 1 1 rFr Fr − + − Α = + − ve B

( ) ( )

2 12 r Fr2 − = − Α

( ) ( )

2 −Β 2 = + −1

( )

1 2−r F_r+2F_r−2− −

( )

1 2−r F_r2

( )

2 2 2 2 1 1 −rF_r+ F_r− F_r  = + − _ − _ = + −1

( ) (

1 2−r_ F_r+1+F_r

)(

F_r−F_r−1

)

−F_r2_ = + −1

( )

1 2−r_F F_{r+1 r}+F_r2−F_r+1F_r−1−F_rF_r−1−F_r2_ = + −1

( )

1 2−r_F_r2+F_r−1F_r −F_r+1F_r−1−F_rF_r−1_ 1

( ) (

1 2 r Fr Fr ₁

)

Fr Fr ₁Fr ₁ FrFr ₁ − − + − − = + − _ + − − _ = + −1

( )

1 2−r_F_r2−F_r+1F_r−1_ 1

( )

1 2 r Fr2 Fr2

( )

1r − _{ } = + − _ − − − _ = + −1

( )

1 2−r_− −

( )

1 r_ bulunur. 14

Burada,

r tek sayı ise

Α

( ) ( )

2 −Β 2 = + −1

( ) ( )

1 _− −1 _= − =1 1 0 ve r çift sayı ise

Α

( ) ( )

2 −Β 2 = + +1

( ) ( )

1 _− +1 _= − =1 1 0 elde edilir.

3. ÜÇGENSEL GRAFLAR

3.1 Üçgensel Graf Oluşturma

1, 2, 3

e e e aşağıdaki üçgensel graftaki yerleştirilen vektörler olsun. e₄ =2

(

e₃+e₂

)

−e₁

formülüyle verilen vektör olsun.

Şekil 3.1: (e1,e2,e3) ile oluşturulan üçgensel graf .

Böyle bir e vektörüne ₄ e e ve ₃, ₂ e ile ₁ ℱ üretilen vektör denir. e vektörü için ₄

e

₄

=

e e

₃

, :

₂

e

₁

=

2

(

e

₃

+

e

₂

)

−

e

₁ (3.1) sembolünü kullanacağız [2].

Burada

e e

₃

, :

₂

e

₁

≠

e e e

₂

, :

_{1 3}

≠

e e e

₁

, :

_{3 2} olduğuna dikkat edelim.

(3.1) bağıntısının (2.1) de verilen indirgeme bağıntısının bir genelleme bağıntısı olduğu kolayca görülebilir.

Böyle devam edersek

e e e e₁, ₂, ,_{3 4} =2

(

e₃+e₂

)

−e e₁, ₅ =2

(

e₄+e₃

)

− …e₂, (3.2) 16

(

)

1 2 1 2

n n n n

e₊ = e +e ₋ −e₋ ,… şeklinde sonsuz elemanlı vektörlerin bir dizisini

oluşturabiliriz.

Bu diziyi F e e e

(

₁, ₂, ₃

)

ile göstereceğiz.

{

e e e vektörleri1, ,2 3

}

3

 doğal tabanı seçilirse ilk dokuz vektör aşağıdaki gibi bulunur.

e₁=

(

1, 0, 0 ,

)

e₂ =

(

0,1, 0 ,

)

e₃ =

(

0, 0,1 ,

)

e₄ = −

(

1, 2, 2 ,

)

e₅ = −

(

2, 3, 6

)

….

Burada e e e₂, ₄, ₆,…,e_2n grafın üst yarısında, e e e₁, , ,...._{3 5} e_2n+1 grafın alt yarısında yer

alır.

Şekil 3.2: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ile oluşturulan üçgensel graf .

Şekil 3.2 kullanılarak aşağıdakiler kolayca görülebilir:

(a) e_n =

(

a b c, ,

)

vektörlerinin her bir girdisi iki Fibonacci sayısının çarpımıdır. İlk dokuz terim için vektörler

(

−F_nF_n+1,F F_{n n+2},F_n+1F_n+2

)

(3.3) biçimli olurlar.

(b) e_n =

(

a b c, ,

)

nin normu a b c+ + toplamıdır. Burada Ν

(

(

x x x₁, ,_{2 3}

)

)

normu x12+x22+x32 olarak tanımlanır. ⋯ 17

(𝑐) e2n −e2n−2 nin girdilerinin mutlak değeri (üçgensel grafın üst yarısında) ve 2n 1 2n 1

e ₊ −e ₋ (üçgensel grafın alt yarısında) Fibonacci sayılarıdır.

Örneğin;

(

−40, 65,104

) (

− −6,1 0,15

) (

= −F9, F , F10 11

)

bu bize vektörlerin her

bir girdisini Fibonacci sayılarının bir toplamı olarak yazmamıza yardımcı olur.

(a) ve (b)den n≤ için 6

2 2 2 2

( 1)) ( ( 2)) ( ( 1) ( 2)) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

(F F_{n n+} + F_nF_n+ + F_n+ F_n+ = −( F_nF_n+ +F_nF_n+ +F_n+ F_n+ )

(3.4)

olduğu görülür ki bu bize aşağıdaki yardımcı teoremin ilk kısmının ispatını verir. Ayrıca 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n F F₊ F F₊ F₊ F₊ F F₊ F ₊ − + + = + olduğu unutulmamalıdır.

(a) ve (b) nin iyi incelenmesiyle ilk dokuz vektörün her bir girdisinin Fibonacci sayılarının çarpımlarının toplamı olarak yazılabileceği ve dolayısıyla aşağıdaki yardımcı teoremin

( ) ( )

ii − v kısımlarının olduğu görülebilir [2].

3.1.1 Yardımcı Teorem: F n. _n Fibonacci sayısı olsun

,

buna göre aşağıdaki özdeşlikler vardır.

( )(

) (

2

) (

2

)

2

(

2

)

2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n F F F F F F F F i ₊ + ₊ + _{+ +} = +F_{+ +}

( )

ii F2n−3F2n−2 =F1+F5+…+F4n−7

( )

iii F2n−3F2n−1= +1 F2+F6+…+F4n−6

( )

iv F2n−2F2n−1 =F3+F7 +…+F4n−5

( )

v F2n−2F2n =F4+F8+…+F4n−4 18

İspat: Bu özdeşlikleri üçgensel graflar kullanarak görmek mümkündür.

Burada ,

a) e₄ den başlayarak ilk ardışık 2 1k− vektörün ilk girdilerinin toplamı bir

Fibonacci sayısının bir mükemmel karesinin negatif işaretlisidir. Örneğin;k= 2 için ilk 3 vektörün ilk girdilerinin toplamı

( ) ( ) ( )

− + − + − = − = − = −1 2 6 9 32 F₄2

b) e₄ den başlayarak ilk k vektörün ikinci girdilerinin toplamı herhangi iki Fibonacci sayısının çarpımıdır.

Örneğin;k=4 için e e e e₄, ,_{5 6}, ₇ vektörlerinin ikinci girdileri toplamı 2 3 10 24+ + + =39=3.13=F F₄. ₇

c) Her vektörün girdileri iki Fibonacci sayısının bir çarpımıdır. Eğer

(

−a b c, ,

)

böyle bir vektör ise c b a− − = ± olur. 1

Örneğin;e7 = −

(

15, 24, 40

)

için

15=3.5=F F₄. ₅; 24=3.8=F F₄. ₆; 40=5.8=F F₅. ₆ elde edilir. Ayrıca

c b a− − = ±1 de 40 24 15 1− − = olur.

d) Üçgensel grafın üst yarısının herhangi ardışık iki vektörü alınırsa (örneğin

(

e e2, 4

) (

, e e4, 6

)

,… ve onlar )

(

−a b c, ,

)

ve

(

−A B C, ,

)

ile gösterilirse

C− =c

(

B b− +

) (

A a− bulunur.

)

Örneğin;

6

e ve e₈ vektörlerini ele alalım. e₆ = −

(

6,10,15

)

, e₈ = −

(

40, 65,104

)

104 15− =

(

65 10−

) (

+ 40 6−

)

e) Üst yarının ardışık iki vektörü (benzer olarak alt yarının) alınıp

(

−a b c, ,

)

ve

(

−C B A, ,

)

ile gösterilirse bütün girdiler iki Fibonacci sayısının çarpımıdır. a ve A nın çarpımı bir Fibonacci sayısının dördüncü kuvvetinden bir eksiktir.

Örneğin;

1.15=24−1 , 6.104=54−1 , 2.40=34−1 ,1 5.273 12= 4−1 Böylece (a) dan (e) ye kadar olanlar bize iyi bilinen 5 tane özdeşliği verir. Örneğin (e) yi alarak

"Bir Fibonacci sayısının dördüncü kuvvetinin bir eksiği, 4 tane Fibonacci

sayısının çarpımdır. "

özdeşliğini buluruz.

Yani,

F

_n4

−

F

_n−2

F F

_{n−1 n+1}

F

_n+2

=

1

Gelin-Cesáro özdeşliği görülür [2].

3.2 (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1) Vektörleriyle Üçgensel Graf Oluşturma

3.2.1 Tanım: X n

( )

: → fonksiyonu

X n

(

+3

)

=2_X n

(

+2

)

+X n

(

+1

)

_−X n

( )

(3.5)

özdeşliğini sağlıyorsa X n bir

( )

ℱ fonksiyonudur denir [3].

3.2.2 Önerme:

a)X( )n = −( 1)n , b)X( )n =F_{(n r}2_{+ )} , c)X n

( )

=F_{n r+} F_{n t+} , d)X n

( )

=F_{2n r+} , e)X n

( )

=L2_{n r+} , f) X n

( )

=L_{n r+} L_{n t+} , g) X n

( )

=L_{2n r+} , h) X n

( )

=F_{n r+} L_{n t+}

fonksiyonları birer ℱ fonksiyondur [3].

İspat:

a) X( )n = −( 1)n özdeşliği için (3.5) eşitliğini yazarsak

( )

−1n+3 =2_

( )

−1 n+2+ −

( )

1 n+1_− −

( )

1 n bulunur. Burada A n

( ) ( )

= −1 n+3 ve B n

( )

=2_

( )

−1n+2+ −

( )

1 n+1_− −

( )

1 n diyelim. A n

( ) ( ) ( )

= −1 n −1 3 = − −

( )

1 n B n

( )

=2_

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−1 n −1 2+ −1n −11_− −1 n =2_

( ) ( )

−1 n − −1 n_− −

( )

1 n = − −

( )

1 n Buradan A n

( )

=B n

( )

dir.

b) X( )n =F₍2_{n r+ )} özdeşliği için (3.5) eşitliğini yazarsak F_n2_{+ +3 r} =2_F_n2_{+ +2 r} +F_n2_{+ +1 r}_−F_{n r}2₊

bulunur.

Burada

A n

( )

=F_n2_{+ +3 r} ve B n

( )

=2_F_n2_{+ +2 r} +F_n2_{+ +1 r}_−F_{n r}2₊ diyelim. Böylece

Fibonacci genel terimi

F

_n+1

=

F

_n

+

F

_n−1 kullanarak,

F

_{n r+ +3}

=

2

F

_{n r+ +1}

+

F

_{n r+} ve

F

_{n r+ +2}

=

F

_{n r+ +1}

+

F

_{n r+} olacağından A n

( )

=F_n2_{+ +3 r} =

(

2Fn r+ +₁+Fn r+

)

2

=

4

F

_{n r}2_{+ +1}

+

4

F

_{n r+ +1}

F

_{n r+}

+

F

_{n r}2₊ B n

( )

=2_F_n2_{+ +2 r}+F_n2_{+ +1 r}−F_{n r}2₊

(

)

2 _{2 2} 1 1 2 F_{n r+ +} F_{n r+} F_{n+ +r} F_{n r+} = _ + + _−

=

4

F

_{n r}2_{+ +1}

+

4

F

_{n r+ +1}

F

_{n r+}

+

F

_{n r}2₊ bulunur. Böylece A n

( )

=B n

( )

elde edilir.

c) X n

( )

=F_{n r+} F_{n t+} özdeşliği için (3.5) eşitliğini yazarsak

Fn r+ +3Fn t+ +3 =2

[

Fn r+ +2Fn t+ +2+Fn r+ +1Fn t+ +1

]

−Fn r+ Fn t+

bulunur. Burada

A n

( )

=F_{n r+ +3}F_{n t+ +3} ve

B n

( )

=2

[

Fn r+ +₂Fn t+ +₂+Fn r+ +₁Fn t+ +₁

]

−Fn r+ Fn t+

olarak eşitliği ayıralım.

Böylece A n

( )

=F_{n r+ +3}F_{n t+ +3} =

(

2F_{n r+ +1}+F_{n r+}

)(

2F_{n t+ +1}+F_{n t+}

)

=

4

F

_{n r+ +1}

F

_{n t+ +1}

+

2

F

_{n r+ +1}

F

_{n t+}

+

2

F

_{n t+ +1}

F

_{n r+}

+

F

_{n r+}

F

_{n t+} B n

( )

=2

[

F_{n r+ +2}F_{n t+ +2}+F_{n r+ +1}F_{n t+ +1}

]

−F_{n r+} F_{n t+} =2_

(

F_{n r+ +1}+F_{n r+}

)(

F_{n t+ +1}+F_{n t+}

)

+F_{n r+ +1}F_{n t+ +1}−F_{n r+} F_{n t+}

=

4

F

_{n r+ +1}

F

_{n t+ +1}

+

2

F

_{n r+ +1}

F

_{n t+}

+

2

F

_{n t+ +1}

F

_{n r+}

+

F

_{n r+}

F

_{n t+} olur. Yani A n

( )

=B n

( )

elde edilir.

d) X n

( )

=F_{2n r+} özdeşliği için (3.5) eşitliğini yazarsak F2n+ +6 r =2

[

F2n+ +4 r +F2n+ +2 r

]

−F2n r+

bulunur .Burada 2n r+ = olsun.m

Böylece Fm+6 =2

[

Fm+4+Fm+2

]

−Fm

F

m+6

=

2

F

m+4

+

F

m+2

+

F

m+1 4 2 1 4 2

2

F

_m+

+

F

_m+

+

F

_m+

=

2

F

_m+

+

2

F

_m+

−

F

_m

F

_m+₁

=

F

_m+₂

−

F

_m bulunur. Aynı şekilde e) X n

( )

=L2_{n r+} , f) X n

( )

=L_{n r+} L_{n t+} , g)X n

( )

=L_{2n r+} , h)X n

( )

=F_{n r+} L_{n t+} eşitliklerinin birer ℱ fonksiyon oldukları gösterilebilir.

3.2.3 Yardımcı Teorem: A n

( )

ve B n

( )

bir ℱ fonksiyon olsun. Bu durumda

A n

( )

=B n

( )

⇔ =k 0,1, 2 için A

( )

k =B k

( )

dir [3].

3.2.4 Önerme: F_n ve L _n n. Fibonacci ve Lucas sayıları olsun Bu durumda

L

2_n−1

−

F

_n−4

F

_n

−

F

_n

F

_n+1

=

F

_n2₋₂ olur [ 3]. İspat: Burada L_−m = −

( )

1 mL_m ve F_−m = −

( )

1m+1F_m olur.

n≥0 için özdeşliğin sağ ve sol tarafını A n ve

( )

B n

( )

olarak tanımlayalım. A

( )

n =L2_n−1−F_n−4F_n −F_nF_n+1 ve B n

( )

= F_n2₋₂

( )

A n veB n

( )

ℱ fonksiyondur ; 0 k= ise A

( )

0 =L2_{0 1−} −F_{0 4−} F₀ −F₀F_{0 1+} =L2₋₁ −F₋₄F₀ −F₀F₁

(

( )

)

( )

2 1 4 1 1 4 0 0 1 1 L 1 + F F FF = − − − − =

( )

1 2+3.0 0.1 1− = ve 24

( )

(

( )

_{1 2}

)

2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 F 1 B =F₋ =F₋ = − + =F = A

( )

0 =B

( )

0 =1 1 k = ise A

( )

1 =L2_{1 1−} −F_{1 4−} F₁−F_{1 1 1}F₊ =L₀2−F₋₃F₁−F₁F₂ =L2₀− −

( )

13 1+ F₃F₁−F₁F₂ =22−2.1 1.1 1− = ve

( )

(

( )

)

2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 B =F₋ =F₋ = − + F = A

( )

1 =B

( )

1 =1 2 k = ise A

( )

2 =L2_{2 1−} −F_{2 4−} F₂−F₂F_{2 1+} =L₁2−F F_{−2 2}−F F_{2 3} =L₁2− −

( )

12 1+ F F_{2 2} −F₂F₃ = +12 1.1 1.2− =0 ve B

( )

2 =F_{2 2}2₋ =F₀2 =0 Α

( )

2 =Β

( )

2 =0

Böylece 3.2.2 Yardımcı Teoreminden A n

( )

=B n

( )

olduğu görülür.

3.2.3 Önermesinin üçgensel graf yardımıyla ispatını verelim. Burada

(

)

(

)

(

)

1 1, 0, 0 , 2 0,1, 0 , 3 0, 0,1

e = e = e = alalım.

(

1, 2 1 2, 2 1 2 2 3

)

F e e +e e + e +e ün ilk dokuz terimi aşağıdaki gibi verilir.

1 1 1 0 0 u e     = =       , _{2 1 2} 2 2 1 0 u e e     = _{+ =  }     , _{3 1 2 3} 2 2 2 2 1 u e e e     = + _{+ =  }     u_n+3 =2

(

u_n+2+u_n+1

)

−u_n , n≥0

Şekil 3.3: (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1) ile oluşturulan üçgensel graf .

Dizimizin ilk dokuz teriminden aşağıdaki ilginç durumlar görülebilir. (i) İkinci girdiler F_n ile F_n+1 Fibonacci sayılarının bir çarpımıdır [3]. Örneğin;

1 1.1= =F₁F₂ , 2 1.2= =F₂F₃ , 6=2.3=F F_{3 4} , …

(ii) Her bir vektörün birinci ve ikinci girdilerinin farkı Fn−2 Fibonacci

sayısının karesidir [3]. Örneğin; 7− = =6 1 F₁2 , 44−40= =4 F₃2 ,1 13 104− = =9 F₄2… …. 26

Yukarıdaki (i) ve (ii) Fibonacci ve Lucas terimlerindeki ilk girdiyi açıklamayı bizlere gösterir.

(iii) Her vektörün ilk girdileri L2_n−1−F_n−4F_n biçimlidir [3]. Örneğin;

L2₂−F₋₁F₃=32−1.2=7 , L2₃−F₀F₄ =42−0.3 16 , = …

(i),(ii) ve (iii) kullanarak yukarıdaki grafın ilk dokuz vektörü için L2_n−1−F_n−4F_n−F_nF_n+1 =F_n2₋₂

olduğu görülür [3]. Ayrıca

(iv) İlk 2 1k+ terimin üçüncü girdilerinin toplamı bir Fibonacci sayısının

karesidir [3].

(𝑣) Her vektörün ikinci ve üçüncü girdileri Fibonacci sayılarının bir çarpımıdır.Toplamları da başka bir Fibonacci sayısıdır [3]

.

Örneğin;

2 1 3+ = =F₄ , 6 2+ = =8 F₆ ,1 5 6+ =21=F₈

3.3 (1,2), (2,1), (1,2) Vektörleri için Üçgensel Graf Oluşturma

Bu kısımda Fibonacci sayılarının toplamını içeren iki özdeşlik sunacağız. Bunların ispatlarını üçgensel graf kullanarak yapacağız.

3.3.1 Önerme: (i)

3

(

F

₄

+

F

₁₂

+

F

₂₀

+…+

F

_{4 8+ n}

)

=

F

₄2_n+4

( )

(

)

2 6 14 22 6 8 4 5 1 3 _{n n} ii + F +F +F +…+F₊ =F ₊ olur [3]. 27

İspat:

( )

( )

1 1, 0 , 2 0,1

e = e = ve u₁ = +e₁ 2e u₂, ₂ =2e₁+e₂ ,u₃ = +e₁ 2e₂ alalım. Başlangıçta e1+2e2 nin iki kez alındığına dikkat ediniz.

Burada F u u u

(

₁, ₂, ₃

)

ilk on terimi aşağıdaki gibi verilir.

Şekil 3.4: (1,0), (0,1) ile oluşturulan üçgensel graf .

Buradan

(i)

(

u u₅, ₃

)

,

(

u u₉, ₇

) (

, u₁₃,u₁₁

)

,… grafın üst yarısının vektörlerinin girdileri d _i

farkları bazı Fibonacci sayılarının 3 katıdır [3].

İlk üç fark

4

10 1 9− = =3F ,505 73− =432=3F₁₂ ve 23761 3466− =20295=3F₂₀ olur.

(𝑖𝑖) Ardışık di lerin toplamı karedir [3].

Örneğin; 9=3 2 , 9+432=212 , 9+432+20295 144= 2 28

(i) ve (ii) den

3F₄+3F₁₂ = F₈2 , 3F₄+3F₁₂ +3F₂₀ = F₁₂2 olduğu görüleceğinden Önerme (3.3.1)-(i) ispatlanır [3]. Burada grafın alt yarısını inceleyelim. İlk 5 vektörün girdileri

1 3+ F₆+3F₁₄ = − + + − +

(

1 2

) (

5 29

) (

+ −194 1325+

)

=342 =F₉2 olduğunu gösterir.

Böylece önerme (3.3.1)-(ii) ispatlanır [3].

3.4 Bazı Fibonacci ve Lucas Özdeşliklerinin Üçgensel Graf Yardımıyla İspatı

3.4.1 Önerme: L_2n+1−F_n2₊₁−

(

L2_n−F_n−3F_n+1+F_2n−2

)

= −

( )

1 n−1 [3].

İspat:

u₁=

(

1, 0, 1 , −

)

u₂ =

(

2,1,1 ,

)

u₃ =

(

2,1, 4

)

ile un+1 1=2

(

un+un−

)

−un−2

formülünün yardımıyla grafın diğer vektörlerini oluşturalım[3].

Şekil 3.5: (1,0,-1), (2,1,1), (2,1,4) ile oluşturulan üçgensel graf.

29

• u_n+2 vektörünün üçüncü girdisi L_2n+1 Lucas sayısını verir.

Örneğin;

4=L₃ ,1 1=L₅ , 29=L₇ , … • u_n+2 vektörünün ikinci girdisi 2

1

n

F₊ Fibonacci sayısını verir. Örneğin;

1=F₂2 , 4=F₃2 , 9=F₄2 , … • u_n+2 vektörünün birinci girdisi 2

3 1 n n n L −F₋ F₊ değerini verir. Örneğin; 2=L₁2−F F_{1 3− 1 1+} =L₁2−F₋₂F₂

[

L1 =1,F−2 = −1,F2 =1

]

3.4.2 Önerme:

F

_2n

=

F

_n2₊₁

−

F

_n2₋₁ [3]. İspat:

(

1,1, 2 , 0,1, 1 , 1, 0, 2

) (

−

) (

)

vektörlerini kullanarak özdeşliği üçgensel graf yardımıyla ispatlayabiliriz [3].

u1=

(

1,1, 2 ,

)

u2 =

(

0,1, 1 ,−

)

u3 =

(

1, 0, 2

)

ile

un+1 1=2

(

un+un−

)

−un−2

formülünü kullanarak grafın diğer vektörlerini elde edebiliriz.

Şekil 3.6: (1,1,2), (0,1,-1), (1,0,2) ile oluşturulan üçgensel graf .

• n sayısı tek iken un+3 vektörünün birinci girdileri Fn+1 Fibonacci sayısının

karesini verir. Örneğin;

1=F₂2 , 9=F₄2 , 64=F₆2…

• n sayısı tek iken u_n+2 vektörünün ikinci girdileri F_n−1 Fibonacci sayısının

karesini verir. Örneğin;

0=F₀2 ,1=F₂2 , 9=F₄2…

• n sayısı tek iken u_n+4−u_n+2 nin ikinci terimlerinin farkıF _2n Fibonacci sayısını verir.

Örneğin;

1 0 1− = =F₂ , 9 1 8− = =F₆ ,…

• nsayısı çift iken un+1 vektörünün birinci girdileri Fn−1 Fibonacci sayısının

karesini verir. Örneğin;

1=F₁2 , 4=F₃2 , 25=F₅2 , …

• nsayısı çift iken un+4 vektörünün ikinci girdileri Fn+1 Fibonacci sayısının

karesini verir. 31