Dursun Murat ÇÜÇEN
B u y r u ğ u m bir ödevdir, ne u y k u bil ne d u r a k İ y i n i n ardına düş, güzelin peşinden koş B ı k m a d a n u s a n m a d a n doğruyu ara B u r a k Bunlarsız y a ş a m bir hiç, bunlarsız yaşam b o m b o ş .
G ü n l ü k dilin 'ödev', 'izinli', ' y a s a k ' gibi deyimleriyle k u r u l a n öner melere ödevsel önermeler, bu önermeleri a r a ş t ı r a n m a n t ı ğ a da ödev m a n tığı denir. B u m a n t ı k " Y ü k ü m l ü l ü k m a n t ı ğ ı " y a d a "Düzgüsel dizgeler m a n t ı ğ ı " olarak d a adlandırılır!.
Ödev m a n t ı ğ ı yeni bir m a n t ı k t ı r . İ l k kez 1940'larda araştırılmaya başlanmış2, 1950'lerde de u y g u n bir belitsel dizgesi k u r u l m u ş t u r . Bu diz ge ödev m a n t ı ğ ı n a karşı b ü y ü k bir ilgi u y a n d ı r a r a k y o ğ u n t a r t ı ş m a l a r a yol açmıştır. Ödev m a n t ı ğ ı n a ilişkin t a r t ı ş m a l a r g ü n ü m ü z d e de sürmek tedir.
Biz çalışmamızda bu t a r t ı ş m a l a r a girmeksizin, ödev m a n t ı ğ ı n ı n önermelerini kendi anlayışımıza göre simgeleştirip m a n t ı k s a l yapılarını o r t a y a k o y d u k t a n sonra onların çizelgesel y o r u m u n u verecek; y o r u m a bağlı olarak geliştirdiğimiz indirgeyici çizelge ile ödevsel önermelerin geçerliliğini denetleyecek; koşullu ödevsel önermelere ilişkin s o r u n u n çözümü için yol gösterecek ve önerilerde bulunacağız.
Öte y a n d a n ödev m a n t ı ğ ı , önermeler m a n t ı ğ ı ile niceleme m a n t ı ğını içine alan geniş kapsamlı bir m a n t ı k t ı r . Bu b a k ı m d a n ödev m a n t ı ğının anlaşılması için önermeler m a n t ı ğ ı ile niceleme m a n t ı ğ ı n ı n çok iyi bilinmesi gerekir. Biz bu gerekimi göz ö n ü n d e t u t a r a k çalışmamızda önce önermeler m a n t ı ğ ı n ı , sonra niceleme m a n t ı ğ ı n ı , d a h a sonra da ödev m a n tığını ele alacağız.
1 Bkz. Teo Grüberg, Adnan Onart, Mantık Terimleri Sözlüğü, Ankara-1976, s. 56, 153. 2 Bkz. W. Kamlah-P. Lorenzen, Logische Propaedeutik, Mannheim 1973, s. 225.
Ö N E R M E L E R M A N T I Ğ I
E n t e m e l m a n t ı k , önermeler m a n t ı ğ ı d ı r . Önermeler m a n t ı ğ ı n d a h a n g i tümcelerin yalın önerme olduğu ve bu yalın önermelerden bileşik önermelerin nasıl k u r u l d u ğ u araştırılır. K u ş k u s u z bu önermelere geç m e d e n önce ö n e r m e n i n bir t a n ı m ı n ı v e r m e k gerekir.
Önerme * D o ğ r u ya da yanlış değerini alan tümcelere önerme, bu değerlere de doğruluk değerleri denir. B u n a göre bir önerme ya doğru ya yanlış tır, ü ç ü n c ü bir doğruluk değeri söz k o n u s u değildir.
Şimdi önermeler m a n t ı ğ ı n ı n önermelerine geçebiliriz.
Önermeler Mantığının Önermeleri I. Yalın Önermeler
Belli bir doğruluk değeri t a ş ı y a n yalın tümcelere yalın önerme denir. Örneğin,
1.1 A n k a r a T ü r k i y e ' n i n başkentidir
yalın tümcesi, doğru değerini taşıdığından yalın bir önermedir. Bu öner me aşağıdaki gibi simgeleştirilebilir:
1.2 p
Öte y a n d a n
1.3 A n k a r a T ü r k i y e ' n i n en b ü y ü k k e n t i d i r
yalın tümcesi de yanlış değerini taşıdığından bir yalın önermedir. Bu önerme de
1-4 q
biçiminde simgeleştirilebilir.
Simgeleştirmede kullanılan ' p ' ve ' q ' harflerine önerme simgeleri denir. M a n t ı k t a bu harflerin y a n ı sıra 'r', ' s ' , ' t ' ... gibi harfler de önerme simgesi olarak kullanılır.
I I . Bileşik Önermeler 1. Değilleme Önermesi
G ü n l ü k dilin 'değil' sözcüğüne ya da a y n ı a n l a m a gelen b a ş k a de yimlerine değilleme eklemi, b u n l a k u r u l a n önermeye de değilleme öner mesi denir. Örneğin,
1.5 A n k a r a T ü r k i y e ' n i n başkenti değildir önermesi, bir değilleme önermesidir.
Görüldüğü gibi, bu önerme (1.1) önermesi ile değilleme ekleminden
(1.5) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilebilir:
B u önerme ' p değil' biçiminde o k u n u r .
K o l a y c a anlaşılacağı gibi, (1.5) önermesinin doğruluk değeri (1.1) önermesinin doğruluk değerine bağlıdır. (1.) önermesi doğru olduğun d a n (1-5) önermesi yanlıştır. (1.1) önermesi ile (1.5) önermesine, dolayı sıyla (1.2) önermesi ile (1.6) önermesine çelişik önermeler denir.
B u n u n gibi, (1.3) önermesinden de değilleme eklemi aracılığı ile 1.7 A n k a r a T ü r k i y e ' n i n en b ü y ü k k e n t i değildir
önermesi kurulur. Bu önerme de
olarak simgeleştirilebilir.
(1.8) önermesi 'q değil' biçiminde o k u n u r .
(1.7) önermesinin doğruluğu da (1.3) önermesinin doğruluğuna bağlıdır. (1.3) önermesi yanlış o l d u ğ u n d a n (1.7) önermesi doğrudur. Bu önermeler de, dolayısıyla (1.4) ile (1.8) önermeleri de, çelişik Önerme lerdir.
Görüldüğü gibi, çelişik önermelerin bir özelliği v a r d ı r bu özellik Çelişik önermelerden biri doğrudur.
tümcesiyle dile getirilebilir. Bu ilkeye iki değerlilik ilkesi denir. Öte y a n d a n değilleme önermelerinden değilleme eklemi aracılığı ile yine değilleme önermeleri kurulabilir. Örneğin,
1.9 A n k a r a ' n ı n T ü r k i y e ' n i n b a ş k e n t i olmadığı doğru değildir. önermesi bu t ü r bir değilleme önermesidir. Bu önerme (1.5) önermesin den değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . B u n a göre (1.9) önermesi (1.5) önermesine bağlı olarak aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
(1.10) önermesi 'p olmadığı doğru değildir' biçiminde okunur. K o l a y c a anlaşılacağı gibi, (1.9) önermesi (1.1) önermesinin dolam baçlı bir yolla dile getirilmesidir. Dolayısıyla bu iki önerme aynı
doğru-1.10 1.8 1.6
luk değerini taşır. Böyle aynı doğruluk değerini t a ş ı y a n önermelere eş değer önermeler denir. (1.1) önermesiyle (1.9) önermesinin eşdeğerliliği aşağıdaki biçimde dile getirilir:
Çifte değilleme bir evetlemedir
Bu ilkeye çifte değilleme ilkesi denir. Değillenmiş önermeler yeniden değillenirken bu önermelerin ö n ü n e değil k o y m a k yerine, çifte değille me ilkesine d a y a n a r a k değil kaldırılabilir.
2 . T ü m e l E v e t l e m e Önermesi
İki ö n e r m e d e n yeni bir önerme oluşturan 've' sözcüğüne ya da aynı a n l a m a gelen b a ş k a deyimlere t ü m e l evetleme eklemi, b u n l a k u r u l a n önermeye de t ü m e l evetleme önermesi denir. Örneğin,
1.11 Y u n u s ü n l ü bir ozan ve b ü y ü k bir bilgedir önermesi bir t ü m e l evetleme önermesidir. Bu önerme,
a) Y u n u s ü n l ü bir ozandır önermesi ile
b) Y u n u s b ü y ü k bir bilgedir
önermesinden t ü m e l evetleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . (a) ve (b) önermelerine t ü m e l evetleme önermesinin bileşenleri denir. T ü m e l evetleme eklemi simgesi ile gösterilir.
İ m d i (a) önermesi ' p ' önerme simgesi ile (b) önermesi ' q ' simgesi ile gösterildikte (1.11) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.12
Bu önerme 'p ve q' biçiminde o k u n u r .
Kolayca anlaşılacağı gibi, (a) ve (b) önermeleri doğru o l d u ğ u n d a n b u n l a r d a n oluşan (1.11) önermesi de d o ğ r u d u r . Öyleyse (1.11) t ü m e l evetleme önermesinin doğruluğu bileşenleri olan (a) ve (b) önermelerinin doğruluğuna bağlıdır. B u n d a n dolayı bir t ü m e l evetleme önermesinin doğruluğu bileşenlerinin doğruluğuna indirgenebilir:
1)
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu p bileşeni n i n ve q bileşeninin doğruluğuna indirgenmiştir. Çatal b u n u
göstermek-tedir. H e r iki bileşen doğru o l d u ğ u n d a t ü m e l evetleme önermesi de doğ ru olur.
(1) çizelgesi t ü m e l evetlemenin indirgeme kuralıdır.
3 . Tikel E v e t l e m e Önermesi
İki önermeden yeni bir önerme o l u ş t u r a n 'veya' sözcüğüne ya da aynı a n l a m a gelen b a ş k a deyimlere tikel evetleme eklemi, b u n l a k u r u l a n önermeye de tikel evetleme önermesi denir. Örneğin,
1.13 T r a f i k kazaları h e r yıl yüzlerce insanın ö l ü m ü n e v e y a s a k a t kalmasına neden o l m a k t a d ı r .
önermesi bir tikel evetleme önermesidir. Bu önerme
a) Trafik kazaları her yıl yüzlerce insanın ö l ü m ü n e n e d e n o l m a k t a d ı r önermesi ile
b) Trafik kazaları her yıl yüzlerce insanın sakat kalmasına n e d e n ol m a k t a d ı r .
Önermesinden tikel evetleme eklemi ile k u r u l m u ş t u r , (a) ve (b) öner melerine tikel evetleme önermesinin bileşenleri denir. Tikel evetleme
eklemi " v ' simgesi ile gösterilir.
İ m d i (a) bileşeni ' p ' simgesi ile (b) bileşeni ' q ' simgesi ile gösterildik t e , (1.13) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.14 p v q
Bu önerme 'p v e y a q' biçiminde o k u n u r .
Bilindiği gibi, ( 1 . 1 3 ) önermesinin her iki bileşeni doğru o l d u ğ u n d a n kendisi de doğrudur. Kuşkusuz bileşenlerinden en az birinin doğru olma sı d u r u m u n d a da bu önerme doğru olurdu. D e m e k ki tikel evetleme öner mesinin doğruluğu, bileşenlerinden en az birinin doğruluğuna bağlıdır. B u n d a n dolayı bir tikel evetleme önermesinin doğruluğu bileşenlerinden en az birinin doğruluğuna indirgenebilir:
2)
Görüldüğü gibi, çizelge p v q önermesinin doğruluğunu p önerme sinin doğruluğuna ya da q önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. Bi leşenlerin alt alta yazılması b u n u göstermektedir. Bu bileşenlerden en az biri doğru o l d u ğ u n d a tikel evetleme önermesi de doğru olur.
4 . K o ş u l Önermesi
İki ö n e r m e d e n yeni bir önerme o l u ş t u r a n 'ise' deyimine ya da aynı a n l a m a gelen b a ş k a deyimlere koşul eklemi, b u n l a k u r u l a n Önermeye de koşul önermesi ya da kısaca koşullu denir. Örneğin,
1.15 Y a ğ m u r y a ğ a r ise yerler ıslanır önermesi bir koşul önermesidir. Bu önerme
a) Y a ğ m u r y a ğ a r önermesi ile
b) Yerler ıslanır
önermesinden koşul eklemi ile k u r u l m u ş t u r . (a) Önermesine koşul öner mesinin ön bileşeni, (b) önermesine de art bileşeni denir. Koşul eklemi
simgesi ile gösterilir.
İ m d i (a) bileşeni ' p ' simgesi ile (b) bileşeni ' q ' simgesi ile gösterildik t e , (1.15) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.16
Bu önerme 'p ise q' biçiminde o k u n u r .
Bilindiği gibi, yerlerin ıslanması için y a ğ m u r u n yağması yeterlidir. Yeterli koşulu dile getiren bu ö n e r m e n i n doğruluğu da ön bileşenin değil-lemesinin doğruluğuna ya da art bileşeninin doğruluğuna bağlıdır. B u n d a n dolayı koşul önermesinin doğruluğu ön bileşeninin değillemesinin doğruluğuna ya da art bileşeninin doğruluğuna indirgenebilir:
3)
Görüldüğü gibi, çizelge koşul önermesinin doğruluğunu ön bileşenin değillemesinin doğruluğuna ya da a r t bileşenin doğruluğuna indirge miştir. B u n l a r d a n en az biri doğru o l d u ğ u n d a koşul önermesi de doğru olur.
(3) Çizelgesi koşul önermesinin indirgeme kuralıdır.
5, Karşılıklı Koşul Önermesi
İki ö n e r m e d e n yeni bir ö n e r m e o l u ş t u r a n ' a n c a k ve a n c a k ... ise' deyimine ya da aynı a n l a m a gelen başka deyimlere karşılıklı koşul ek lemi, b u n l a k u r u l a n önermeye de karşılıklı koşul önermesi ya da kısaca karşılıklı koşullu denir. Örneğin,
1.17 A n c a k ve a n c a k b i r üçgenin üç açısı eşit ise üç k e n a r ı eşittir önermesi bir karşılıklı koşul önermesidir. Bu önerme
a) Bir üçgenin üç açısı eşittir, önermesi ile
b ) Bir üçgenin ü ç k e n a r ı eşittir
önermesinden karşılıklı koşul eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . (a) ve (b) önermelerine karşılıklı koşul önermesinin bileşenleri denir. Karşılıklı
İ m d i , (a) önermesi ' p ' simgesi ile (b) önermesi de ' q ' simgesi ile gösterildikte, (1.17) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.18
Bu önerme ' a n c a k ve ancak p ise q' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (1.17) önermesi
1.19 Bir üçgenin üç açısı eşit ise üç k e n a r ı eşittir ve üç k e n a r ı eşit ise üç açısı eşittir
önermesi ile eş değerdir. B u n d a n dolayı (1.17) önermesinin doğruluğu (1.19) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
koşul eklemi simgesi ile gösterilir.
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu
önermesinin doğruluğuna, önermesinin doğrulu ğ u n u v e önermelerinin d o ğ r u l u ğ u n a , ö n e r m e s i n i n doğru l u ğ u n u önermesinin ya da q önermesinin doğruluğuna, öner m e s i n i n d o ğ r u l u ğ u n u da önermesinin doğurluğuna ya da p öner mesinin doğruluğuna indirgemiştir. Böylece önermesinin doğrulu ğu y a l ı n önermelerin veya onların değillemelerinin doğruluğuna indir genmiştir. Ne ki, bu indirgeme dolaysız bir indirgeme değildir. Ancak a r a adımlar kaldırılarak ve alt alta yazılı önermelerin yerleri değiştiri lerek dolaysız indirgeme y o l u n a gidilebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge karşılıklı koşul önermesinin doğruluğunu çatalın her iki y a n ı n d a k i önermelerin doğruluğuna indirgemiştir. Çatalın sol yanındaki önermelerden en az biri, sağ y a n ı n d a k i önermelerden de en az biri doğru o l d u ğ u n d a karşılıklı koşul önermesi de doğru olur.
(4) çizelgesi karşılıklı koşul önermesinin indirgeme kuralıdır.
6. T ü m e l E v e t l e m e Önermesinin Değillemesi
Bu önerme t ü m e l evetleme önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş olan bir önermedir. Örneğin,
1.20 A n k a r a ' n ı n h e m T ü r k i y e ' n i n b a ş k e n t i hem de en b ü y ü k k e n t i olduğu doğru değildir
önermesi bir t ü m e l evetleme önermesinin değillemesidir. Bu önerme A n k a r a T ü r k i y e ' n i n b a ş k e n t i v e e n b ü y ü k k e n t i d i r
önermesinden değilleme eklemi ile k u r u l m u ş t a . Aşağıdaki gibi simge-leştirilir:
1..21
Bu ö n e r m e 'p ve q olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r . Öte y a n d a n (1.20) önermesi,
1.22 A n k a r a T ü r k i y e ' n i n b a ş k e n t i değildir ya da en b ü y ü k k e n t i değildir
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (1.20) önermesinin doğruluğu (1.22) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğuun önermesinin doğruluğuna, önermesinin doğruluğunu da önermesinin ya da önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. Böylece t ü m e l evetlemenin değillemesinin doğruluğu o n d a geçen yalın önermele rin değillemelerinin doğruluğuna indirgenmiştir. Ne ki, bu indirgeme dolaysız bir indirgeme değildir. A n c a k ara adını kaldırılarak dolaysız indirgeme y o l u n a gidilebilir:
Görüldüğü, gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin doğruluğuna ya da önermesinin doğruluğuna indirge miştir. B u n l a r d a n en az biri doğru olduğunda t ü m e l evetlemenin değil-lemesi de doğru olur.
(5) çizelgesi t ü m e l evetlemenin değillemesinin indirgeme kuralıdır. 7. Tikel E v e t l e m e Önermesinin Değillemesi
Bu önerme tikel evetleme önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş olan bir önermedir. Örneğin,
1.23 D u r s u n ' u n bir p a r t i y e v e y a bir sendikaya üye olduğu doğru de ğildir
önermesi bir tikel evetlemenin değillemesidir. Bu önerme D u r s u n bir p a r t i y e v e y a bir s e n d i k a y a üyedir
önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . Aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.24
Bu ö n e r m e 'p veya q olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (1.23) önermesi,
1.25 D u r s u n bir p a r t i y e üye değildir ve bir sendikaya üye değildir önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (1.23) önermesinin doğruluğu (1.25) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin doğruluğuna, önermesinin doğruluğunu da ve önermelerinin doğruluğuna indirgemiştir. Böylece '
önermesinin doğruluğu ve önermelerinin doğruluğuna indirgen miştir. Ne ki, bu indirgeme dolaysız bir indirgeme değildir. Ancak ara
adımı kaldırılarak dolaysız indirgeme y o l u n a gidilebilir: 6)
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu öner mesinin ve önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. Bu önermelerden h e r ikisi doğru o l d u ğ u n d a tikel evetlemenin değillemesi de doğru olur.
8. K o ş u l Önermesinin Değillemesi
Bu önerme, koşul önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile kurul m u ş bir önermedir. Örneğin,
1.26 İ n s a n ı n çalıştığında kazandığı doğru değildir önermesi bir koşul önermesi değillemesidir. Bu önerme,
İ n s a n çalışırsa k a z a n ı r
önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . Aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.27
(1.27) önermesi 'p ise q olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (1.26) önermesi,
1.28 İ n s a n çalışır a m a k a z a n a m a z
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (1.26) önermesinin doğruluğu (1.28) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin doğruluğuna, öermesinin doğruluğunu da p öner mesinin doğruluğuna ve önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. Böylece önermesinin doğruluğu p ve önermelerinin doğ r u l u ğ u n a indirgenmiştir. Ne ki, bu indirgeme dolaysız bir indirgeme de ğildir. Ancak ara adımı kaldırılarak dolaysız bir indirgeme y o l u n a gidi lebilir:
7)
G ö r ü l d ü ğ ü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu p öner-mesinin doğruluğuna ve q öneröner-mesinin doğruluğuna indirgemiştir. Bu önermeler doğru o l d u ğ u n d a koşul önermesinin değillemesi de doğru olur.
9. Karşılıklı K o ş u l Önermesinin Değillemesi
Bu önerme karşılıklı koşul önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş olan bir önermedir. Örneğin,
1.29 A n c a k ve a n c a k bir dörtgenin d ö r t açısı eşit olduğunda d ö r t k e n a r ı n ı n eşit olduğu doğru değildir
önermesi bir karşılıklı koşul önermesinin değillemesidir. Bu önerme A n c a k ve a n c a k bir dörtgenin d ö r t açısı eşit ise d ö r t k e n a r ı eşittir önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . Aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
1.30
(1.30) önermesi ' a n c a k ve a n c a k p ise q olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r .
Ö t e y a n d a n (1.29) önermesi,
1.31 Bir dörtgenin d ö r t açısı eşit ise d ö r t kenarı eşit değildir ve d ö r t kenarı eşit değil ise d ö r t açısı eşittir
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (1.29) önermesinin doğruluğu (1.31) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
G ö r ü l d ü ğ ü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin ve önermesinin doğruluğuna, öner mesinin d o ğ r u l u ğ u n u y a d a önermesinin doğruluğuna, p önermesinin doğruluğunu da q ya da p önermesinin doğruluğuna in dirgemiştir. Böylece önermesinin doğruluğu yalın önermele r i n ve onların değillemelerinin doğruluğuna indirgenmiştir. Ne ki, bu indirgeme dolaysız bir indirgeme değildir. A n c a k ara adımı kaldırılarak ve alt a l t a yazılan önermelerin yeri değiştirilerek dolaysız indirgeme y o l u n a gidilebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu çata lın solunda geçen önermelerden en az birinin doğruluğu ile çatalın sağın da geçen önermelerden en az birinin doğruluğuna indirgenmiştir. Çata lın sol y a n ı n d a k i önermelerden en az biri doğru ve çatalın sağ y a n ı n d a ki önermelerden de en az biri doğru olduğunda karşılıklı koşul önerme sinin değillemesi doğru olur.
(8) çizelgesi karşılıklı koşul önergesinin değillemesinin indirgeme kuralıdır.
Bileşik önermeleri böylece simgeleştirip indirgeme kurallarını ver d i k t e n sonra şimdi de indirgeyici çizelge ile önermelerin geçerliliğinin nasıl denetlendiğini görelim.
İndirgeyici Çizelge
Önermeler m a n t ı ğ ı n d a indirgeyici çizelge, bileşik önermelerin doğ r u l u ğ u n u bileşenlerinin doğruluğuna indirgeyen bir çizelgedir. Bu çizel ge bileşik önermelere ilişkin indirgeme kurallarına göre k u r u l u r .
Şimdi indirgeyici çizelgenin nasıl k u r u l d u ğ u n u ve bu çizelge ile önermelerin geçerliliğinin nasıl denetlendiğini iki örnekle gösterelim.
1. Örnek: A n k a r a T ü r k i y e ' n i n b a ş k e n t i ise A n k a r a T ü r k i y e ' n i n baş k e n t i d i r
Görüldüğü gibi, özdeşlik ilkesini dile getiren bu önerme bir koşul önermesidir. Sezgisel olarak geçerliliği bilinen (1) önermesi indirgeyici çizelge ile aşağıdaki gibi denetlenir.
D e n e t l e m e : 1 .
Açıklama: 1. a d ı m d a başlangıç önermesinin doğruluğu koşul öner mesinin indirgeme k u r a l ı n a göre ya da p önermesinin doğruluğuna indirgenir. İki değerlilik ilkesine göre bu çelişik önermelerden biri doğru olacağından başlangıç önermesi doğru dolayısıyla geçerlidir. Çizelgede bileşenler sağdan bir çizgi ile b a ğ l a n a r a k çizginin arkasına adım n u m a rası bileşenlerin k a y n a k n u m a r a s ı olarak verilmiştir. K a y n a k n u m a r a s ı
ve p önermelerinin önermesinin bileşenleri olduğunu belir tir.
Görüldüğü gibi, çizelgede başlangıç önermesinin bileşenleri alt alta yazılmıştır. Böyle alt alta yazılmış önermeler dizisine yol, çelişik öner melerin geçtiği yola da kapalı yol denir. Yolun kapalı olduğunu belirt m e k için de yolun s o n u n a ' x ' işareti koyulur.
İ m d i çizelgeye b a k a r a k başlangıç önermesinin geçerli olup olmadı ğını söyleyebiliriz: çizelgedeki t ü m yollar kapalı ise başlangıç önermesi geçerli yoksa geçersizdir. Çizelgede bir t e k yol vardır, o da kapalıdır. Öyleyse başlangıç önermesi geçerlidir.
2. Örnek: Ancak ve ancak A n k a r a T ü r k i y e ' n i n başkenti ise A n k a r a T ü r k i y e ' n i n başkentidir.
Bir karşılıklı koşul önermesi olan bu ö n e r m e n i n geçerliliği de sez-gizel olarak bilinir. İndirgeyici çizelgesi ise aşağıdaki gibi k u r u l u r :
D e n e t l e m e : 1.
Açıklama: 1. a d ı m d a başlangıç önermesinin doğruluğu ya da p ve p ya da önermesinin doğruluğuna indirgenir. İ k i değerlilik il kesine göre çatalın sol y a n ı n d a k i çelişik önermelerden biri doğru ve sağ y a n ı n d a k i çelişik önermelerden de biri doğru olacağından başlangıç önermesi doğru, dolayısıyla geçerlidir. Bu çizelgede adım n u m a r a s ı bi leşenlerin k a y n a k n u m a r a s ı olarak çatalın arasına yazılır. K a y n a k nu m a r a s ı çatalın sol ve sağ y a n ı n d a k i önermelerin önermesinin bi le şenleri olduğunu belirtir.
Görüldüğü gibi, çizelgede iki yol vardır. B u n l a r d a n soldaki yol ve p çelişik Önermeleri, sağdaki yol ise p ve çelişik önermeleri ile k a p a n m ı ş t ı r . T ü m yollar kapalı olduğu için başlangıç önermesi geçerlidir.
Biz b u n d a n sonra da indirgeyici çizelgeye geliştirerek kullanacağı m ı z d a n bu iki örnekle yetinip niceleme m a n t ı ğ ı n a geçmek istiyoruz.
NİCELEME MANTIĞI
Niceleme m a n t ı ğ ı , önermeler m a n t ı ğ ı temeli üzerine k u r u l a n güçlü b i r m a n t ı k t ı r . B u m a n t ı k t a önermelerin i ç yapıları araştırılır.
Niceleme Mantığının Önermeleri I, Çekirdek Önermeler
B u önermeler bir yüklemle bir y a d a birçok a d d a n k u r u l u önerme lerdir. Örneğin,
2 . 1 A n k a r a bir k e n t t i r .
önermesi bir çekirdek önermedir. Bu önerme ' A n k a r a ' adı ' a ' ad simgesi ile, 'bir k e n t t i r ' yüklemi de ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıda ki gibi simgeleştirilir:
2.2 F a
Fa önermesi 'a, F dir' biçiminde o k u n u r .
Görüldüğü gibi, (2.1) önermesi bir adla bir y ü k l e m d e n k u r u l m u ş t u r . Böyle bir a d a ilişkin yüklemlere birli yüklemler denir. Birli yüklemler ilişkin olduğu adın gösterdiği nesnenin bir Özelliğini dile getirirler.
B u n u n gibi,
2 . 3 A n k a r a İç Anadolu Bölgesinde b u l u n u r
önermesi de bir çekirdek önermedir. Bu önerme, ' A n k a r a ' adı ' a ' ad simgesi ile, ' İ ç Anadolu Bölgesi' adı ' b ' ad simgesi ile, '... n d e b u l u n u r ' yüklemi de ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simge leştirilir:
2 . 4 G a b
( 2 . 4 ) önermesi 'a ile b arasında G bağıntısı vardır' biçiminde o k u n u r . Görüldüğü gibi (2.3) önermesi iki adla bir y ü k l e m d e n oluşmuştur. Böyle iki ada ilişkin yüklemlere ikili yüklemler denir. İkili yüklemler, ilişkin olduğu iki adın gösterdiği nesneler arasındaki bağıntıyı dile getirirler.
Şimdi de üç adın geçtiği bir çekirdek önermeyi göz önüne alalım: 2 . 5 D . T . C . F . Ulus ile Kızılay arasındadır
önermesi, bu t ü r bir çekirdek önermedir. Bu önermede ' D . T . C . F . ' adı ' a ' ad simgesi ile, ' U l u s ' adı ' b ' ad simgesi ile, 'Kızılay' adı ' c ' ad simge si ile 'ile... arasındadır' y ü k l e m i de ' H ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 . 6 H a b c
( 2 . 6 ) önermesi 'a, b ve c arasında H bağıntısı vardır' biçiminde oku n u r .
Görüldüğü gibi, (2.5) önermesi üç adla bir y ü k l e m d e n k u r u l m u ş t u r . Böyle üç a d a ilişkin yüklemlere de üçlü yüklemler denir. İkili yüklemler gibi üçlü yüklemler de bağıntıları dile getirirler. Bağıntıları dile getiren dörtlü, beşli, ..., n-li yüklemler de vardır. Böyle n-li bir yüklemle n sayı da a d d a n k u r u l u çekirdek önermeler ise,
2 . 7 F a1a2 .... an
biçiminde simgeleştirilirler.
Örneklerden kolayca anlaşılacağı gibi, yüklemler bir çekirdek öner m e d e n adları a t m a k l a elde edilen deyimlerdir.
M a n t ı k t a genellikle ad simgeleri olarak 'a', ' b ' , ' c ' , ... gibi k ü ç ü k harfler, y ü k l e m simgeleri olarak da ' F ' , ' G ' , ' H ' , ... gibi b ü y ü k harfler kullanılır.
II. Çekirdek Önermelerden Kurulu Bileşik Önermeler
Bu önermeler, çekirdek önermelerden önerme eklemleri aracılığı ile k u r u l a n önermelerdir. Örneğin,
2 . 8 A n k a r a bir k e n t değildir
önermesi, böyle b i r bileşik önermedir. Bu ö n e r m e (2.1) önermesinden de-ğilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . Aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 . 9
( 2 . 9 ) önermesi 'a, F değildir' biçiminde o k u n u r .
Bilindiği gibi (2.1) önermesi doğru o l d u ğ u n d a n (2.8) önermesi yan lıştır. Bu önermelere de çelişik önermeler denir. B u n a göre Fa önermesi ile önermesi çelişik önermelerdir.
Öteki önerme eklemleri aracılığı ile de çekirdek önermelerden bileşik önermeler k u r u l u r . Biz b u r d a bir örnekle yetinerek açık önermelere geçmek istiyoruz.
I I I . Açık Önermeler
Bir ö n e r m e d e geçen bir ya da birden çok sayıda adın yerine birer değişken k o y m a k l a elde edilen deyimlere açık önerme denir. Örneğin,
2.10 x bir k e n t t i r
deyimi bir açık önermedir. Bu açık önerme x değişkeni ile 'bir k e n t t i r ' y ü k l e m i n d e n k u r u l m u ş t u r . 'bir k e n t t i r ' yüklemi ' F ' yüklem temsilcisi ile gösterildikte, (2.10) deyimi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
Bu deyim 'x, F dir' biçiminde o k u n u r .
M a n t ı k t a 'x' harfinin y a n ı sıra 'y', 'z' .... gibi harfler de değişken ola r a k kullanılır.
Kolayca anlaşılacağı gibi, açık önermelerin belli bir doğruluk değeri y o k t u r , onlar önerme değildir. A n c a k o n l a r d a n değişkenler yerine adlar k o n u l a r a k yeniden önermeler elde edilir. Bir açık önermeden elde edilen bu t ü r önermelere, o açık önermenin özetlemeleri denir.
Ö t e y a n d a n açık önermelerden niceleyiciler aracılığı ile niceleme önermeleri kurulur.
IV. Niceleme Önermeleri 1 . T ü m e l Ö n e r m e
G ü n l ü k dilin ' t ü m ' deyimine ya da aynı anlama gelen b a ş k a deyim lerine t ü m e l niceleyici, bu deyimler aracılığı ile k u r u l a n önermeye de t ü m e l önerme denir. Örneğin,
2 . 1 2 T ü m nesneler değişir
önermesi bir t ü m e l önermedir. Bu önerme, 2 . 1 3 T ü m x nesenleri için x değişir
biçiminde de dile getirilebilir. (2.13) önermesi ise 2 . 1 4 T ü m x'ler için x değişir
olarak kısaltılır.
( 2 . 1 4 ) önermesinde geçen ' t ü m ' deyimi simgesi ile, ' t ü m x 1er için' deyimi ise simgesi ile gösterilir.. deyimine t ü m e l niceleyici imi, deyimine de t ü m e l niceleyici denir. deyiminden b a ş k a
.... gibi deyimler de t ü m e l niceleyici olarak kullanılır. İ m d i 'değişir' y ü k l e m i ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, (2.12) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2.15
Bu önerme ' T ü m x 1er F dir' biçiminde o k u n u r .
Görüldüğü gibi t ü m e l önermesi, t ü m e l niceleyicisi aracı
lığı ile Fx açık önermesinden k u r u l m u ş t u r . Bu b a k ı m d a n t ü m e l önermesinin doğruluğu Fx açık önermesinin özellemelerinin doğruluğuna bağlıdır. Eğer Fx açık önermesinin özellemelerinin t ü m ü doğruysa Fx önermesi de doğrudur. Öte y a n d a n (2.12) önermesinde sözü edilen nesnelerin sayısı belirsiz belki de sonsuzdur. Öyleyse Fx açık
önermesi-n i önermesi-n özellemeleriönermesi-niönermesi-n sayısı da belirsiz ya da soönermesi-nsuz olacaktır. Bu d u r u m da özetlemelerin t ü m ü n ü temsil edebilecek nitelikte bir özellemeyi seç m e k t e n ve t ü m e l önermenin doğruluğunu o özellemenin doğruluğuna i n d i r g e m e k t e n başka çıkar bir yol düşünülemez.
9)
F a ( a yeni)
Görüldüğü gibi, çizelge t ü m e l önermesinin doğruluğunu Fa özellemesinin doğruluğuna indirgemiş, y u k a r ı d a belirttiğimiz n e d e n d e n dolayı da özellemede geçen ' a ' ad simgesi için bir kısıtlama getirmiştir. B u n a göre ' a ' ad simgesinin Fa özellemesinin geçtiği yolda d a h a önce geç memesi, bir b a ş k a deyişle yeni olması gerekir. Bu gerekimi yerine geti ren ' a ' ad simgesinin geçtiği Fa özellemesi doğru olduğunda tümel önermesi de doğru olur.
(9) çizelgesi t ü m e l ö n e r m e n i n indirgeme kuralıdır. 2 . Tikel Ö n e r m e
G ü n l ü k dilde geçen 'bazı', ' k i m i ' , deyimlerine ya da aynı a n l a m a gelen b a ş k a deyimlere tikel niceleyici, b u n l a r aracılığı ile k u r u l a n öner m e y e de tikel önerme denir. Örneğin,
2 . 1 6 Bazı nesneler değişir
önermesi bir tikel önermedir. Bu ö n e r m e , 2 . 1 7 Bazı x nesneleri için x değişir
biçiminde de dile getirilebilir. ( 2 . 1 7 ) önermesi ise 2 . 1 8 Bazı x'ler için x değişir olarak kısaltılırlar.
(2.18) önermesinde geçen 'bazı' deyimi simgesi ile, 'bazı x 1er için' deyimi ise simgesi ile gösterilir. deyimine tikel niteleyici imi, deyimine de tikel niceleyici denir. deyiminden b a ş k a
... gibi deyimler de tikel niteleyici olarak kullanılır, İ m d i , d a h a önce olduğu gibi b u r a d a d a 'değişir' yüklemi ' F ' yüklem simgesi ile gösterildikte, (2.16) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 . 1 9
Bu önerme 'Bazı x 1er F dir' biçiminde okunur.
F x açık önermesinden k u r u l m u ş t u r . tikel önermesinin doğruluğu da Fx açık önermesinin özellemelerinin doğruluğuna bağlıdır. Bu özel-lemelerden en az biri doğru olursa tikel ö n e r m e de doğru olur. B u n d a n
dolayı tikel önermesinin doğruluğu Fx açık önermesinin özelle in elerinden birinin doğruluğuna indirgenebilir:
10)
Fa (a, yeni değil)
Görüldüğü gibi, çizelge 3 x F x tikel önermesinin doğruluğunu Fa özetlemesinin doğruluğuna indirgemiş, özellemede geçen ' a ' ad simgesi için de bir kısıtlama getirmiştir. B u n a göre ' a ' ad simgesinin Fa özelle-mesinin b u l u n d u ğ u yolda d a h a önce geçmesi, bir b a ş k a deyişle yeni o l m a m a s ı gerekir. A n c a k belirtilen yolda d a h a önce hiç bir ad simgesi geçmemiş ise bu gerekim bir y a n a bırakılarak herhangi bir ' a ' ad simgesi seçilip Fa özellemesi alınabilir. Bu özelleme doğru olduğunda tikel öner me de doğru olur.
(10) çizelgesi tikel ö n e r m e n i n indirgeme kuralıdır. 3 . T ü m e l Ö n e r m e n i n Değillemesi
Bu önerme, bir t ü m e l ö n e r m e d e n değilleme eklemi aracılığı ile ku r u l m u ş bir önermedir. Örneğin,
2 . 2 0 T ü m nesnelerin kendiliğinden v a r olduğu doğru değildir önermesi bir t ü m e l ö n e r m e n i n değillemesidir. Bu önerme,
T ü m nesneler kendiliğinden v a r d ı r
önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . 'Kendiliğinden v a r d ı r ' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi sim-geleştirilir:
2 . 2 1
Bu önerme ' T ü m x lerin F olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (2.20) önermesi
2 . 2 2 Bazı nesneler kendiliğinden v a r değildir
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (2.20) önermesinin doğruluğu (2.22) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
11)
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. önermesi doğru oldu ğ u n d a önermesi de doğru olur.
4. Tikel Önermenin Değillemesi
Bu önerme, bir tikel önermeden değilleme eklemi aracılığı ile kurul m u ş bir önermedir. Örneğin,
2 . 2 3 Bazı nesnelerin kendiliğinden v a r olduğu doğru değildir önermesi, bir tikel ö n e r m e n i n değillemesidir. Bu önerme,
Bazı nesneler kendiliğinden v a r d ı r
önermesinden değilleme eklemi aracılığı ile k u r u l m u ş t u r . D e m i n k i açık l a m a göz ö n ü n d e t u t u l a r a k aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 . 2 4
Bu önerme 'Bazı x lerin F olduğu doğru değildir' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (2.23) önermesi,
2 . 2 5 H i ç bir nesne kendiliğinden v a r değildir
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (2.23) önermesinin doğruluğu (2.25) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
12)
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin doğruluğuna indirgemiştir. önermesi doğru oldu ğ u n d a , önermesi de doğru olur.
(12) çizelgesi tikel ö n e r m e n i n değillemesinin indirgeme kuralıdır. Niceleme Önermelerini böylece g ö r d ü k t e n sonra, şimdi de niceleyi ciler aracılığı ile k u r u l a n ulamsal önermeleri görelim:
V. Ulamsal Önermeler
B u n l a r çok kullanılan önermelerdir. Aristo m a n t ı ğ ı n d a yalnızca u l a m s a l önermeler ele alınır, onlar arasındaki ilişkiler araştırılır. Bu öner melerin a) T ü m e l olumlu b) T ü m e l olumsuz c) Tikel olumlu d) Tikel olum suz olmak üzere dört t ü r ü vardır.
a) T ü m e l O l u m l u Ö n e r m e T ü m F 1er G dir
biçimindeki bir önermeye t ü m e l olumlu önerme denir. Örneğin, 2 . 2 6 T ü m insanlar özgürdür
önermesi bir t ü m e l olumlu önermedir. Bu önerme 'insandır' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile, ' ö l ü m l ü d ü r ' yüklemi de ' G ' y ü k l e m simgesi ile
2 . 2 7
Bu önerme ' T ü m x 1er için x F ise x G dir' biçiminde de o k u n u r . b) T ü m e l Olumsuz Önerme
H i ç bir F, G değildir
biçimindeki bir önermeye t ü m e l olumsuz önerme denir. Örneğin, 2 . 2 8 H i ç bir insan doğuştan k ö t ü değildir
önermesi, bir t ü m e l olumsuz önermedir. Bu önerme 'insandır' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile ' d o ğ u ş t a n k ö t ü d ü r ' yüklemi ' G ' yüklem simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2.29
Bu ö n e r m e ' T ü m x 1er için x F ise x G değildir' biçiminde de o k u n u r . c) Tikel Olumlu Ö n e r m e
Bazı F'ler G dir.
biçimindeki bir önermeye tikel olumlu önerme denir. Örneğin, 2 . 3 0 Bazı m a n t ı k ç ı l a r felsefecidir
önermesi bir tikel olumlu önermedir. Bu önerme ' m a n t ı k ç ı d ı r ' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile 'felsefecidir' yüklemi de ' G ' yüklem simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 . 3 1
Bu önerme 'Bazı x 1er için x F dir ve x G dir' biçiminde de okunur. d) Tikel Olumsuz Ö n e r m e
Bazı F 1er G değildir
biçimindeki bir önermeye, tikel olumsuz önerme denir. Örneğin, 2 . 3 2 Bazı m a n t ı k ç ı l a r felsefeci değildir
önermesi bir tikel olumsuz önermedir. Bu önerme, biraz önceki açıkla m a l a r göz ö n ü n d e t u t u l a r a k aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
2 , 3 3
Bu önerme 'Bazı x 1er için x F dir ve x G değildir' biçiminde okunur. A n c a k ulamsal önermelerin böyle simgeleştirilmelerinde Aristo m a n tığının bazı yasaları geçerli değildir. Aristo m a n t ı ğ ı n ı n t ü m yasalarının i k i değerli m a n t ı k t a geçerli olabilmesi için birli yüklemlerin dile getir diği özelliklerin boş olmaması gerekir. Bu gerekim,
k o y u t u ile yerine getirilir. Böylece m a n t ı k varlıkbilimine dayandırılmış olur.
Biz, d a h a önceki bir çalışmamızda t ü m e l olumlu önermeyi
biçiminde, t ü m e l olumsuz önermeyi biçiminde, tikel olumlu önermeyi biçiminde, tikel olumsuz önermeyi
de biçiminde dört değerli m a n t ı k t a simgeleştirerek sözü edilen sakıncayı o r t a d a n kaldırdık3. Bu çalışmamızda ise koşullu
ödev-sel önermelerin ancak bizim simgeleştirmemiz temele k o y u l a r a k dile geti rilebileceği kanısına vardık. S o n u ç t a bu k o n u y a yeniden değineceğimiz den ulamsal önermelere ilişkin açıklamaları b u r a d a keserek niceleme m a n t ı ğ ı n ı n önermelerinin indirgeyici çizelge ile nasıl denetlendiğini gös t e r m e k istiyoruz:
İndirgeyici Çizelge
Niceleme m a n t ı ğ ı n d a indirgeyici çizelge, bileşik önermelerin doğ ruluğunu bileşenlerinin doğruluğuna, niceleme önermelerinin doğrulu ğ u n u da öz ellemelerinin doğruluğuna indirgeyen bir çizelgedir. Bu çizel ge bileşik önermelere ve niceleme önermelerine ilişkin indirgeme kural larına göre kurulur.
Şimdi niceleme önermelerinin indirgeyici çizelge ile nasıl denetlen diğini iki örnekle gösterelim:
3. Ö r n e k : T ü m nesneler değişir ise t ü m nesneler değişir
Sezgisel olarak geçerliliği bilinen bu önerme, indirgeyici çizelge ile aşağıdaki gibi denetlenir:
D e n e t l e m e :
A ç ı k l a m a : 1. a d ı m d a başlangıç önermesinin doğruluğu koşul öner mesinin indirgeme kuralına göre önermesinin ya da öner-3 Bkz. D.M. Çüçen, Tarımsal Mantığın Dört Değerli Mantıkta Temellendirilmesi Üzerine Bir Deneme, Araştırma, Ankara-1991, Cilt: 13, s. 63.
mesinin doğruluğuna; 2. a d ı m d a önermesinin doğruluğu t ü m e l önermenin değillemesinin indirgeme kuralı gereğince önerme sinin doğruluğuna indirgenir. 3. a d ı m d a t ü m e l önermeye öncelik tanı n a r a k önermesinin doğruluğu t ü m e l önermenin indirgeme kuralı u y a r ı n c a Fa özellemesinin d o ğ r u l u ğ u n a ; 4. a d ı m d a da önerme sinin doğruluğu tikel ö n e r m e n i n indirgeme kuralına göre Özelleme sinin doğruluğuna indirgenir.
Görüldüğü gibi, çizelgede bir t e k yol vardır. 0 da Fa ve çelişik önermeleri ile k a p a n m ı ş t ı r . Öyleyse başlangıç önermesi geçerlidir.
4. Örnek: Bazı nesneler değişir ise bazı nesneler değişir Bu önermenin geçerliliği de sezgisel olarak bilinir. İndirgeyici çizel gesi ise şöyledir:
Açıklama: 1. a d ı m d a başlangıç önermesinin doğruluğu koşul öner mesinin indirgeme kuralına göre önermesinin ya da öner mesinin doğruluğuna; 2. a d ı m d a önermesinin doğruluğu tikel ö n e r m e n i n değillemesinin indirgeme kuralı gereğince önerme sinin doğruluğuna indirgenir. 3. a d ı m d a t ü m e l önermeye öncelik t a n ı n a r a k önermesinin doğruluğu t ü m e l önermenin indirgeme kura lı u y a r ı n c a özellemesinin doğruluğuna; 4. a d ı m d a da öner mesinin doğruluğu tikel ö n e r m e n i n indirgeme k u r a l ı n a göre Fa özelle mesinin doğruluğuna indirgenir.
Görüldüğü gibi çizelgedeki t e k yol, ve Fa çelişik önermeleri ile k a p a n m ı ş t ı r . Öyleyse başlangıç önermesi geçerlidir.
Biz indirgeyici çizelgeyi ödev m a n t ı ğ ı n d a da geliştirerek kullanaca ğımızdan bu iki örnekle y e t i n i p ödev m a n t ı ğ ı n a geçmek istiyoruz.
Ö D E V MANTIĞI
Ödev mantığı, önermeler m a n t ı ğ ı ile niceleme mantığını içine alan geniş kapsamlı bir m a n t ı k t ı r . Bu m a n t ı k t a ödevsel önermeler incelenir.
Ödevsel Önermeler I. Ödev Önermeleri
G ü n l ü k dilin 'ödevdir', 'gerekir', ' y ü k ü m l ü d ü r ' gibi deyimlerine ödev yöneticisi, b u n l a k u r u l m u ş olan önermelere de ödev önermeleri denir. Ödev yöneticisi ' Ö ' simgesi ile gösterilir4.
Biz ödev önermelerini k u r u l m u ş oldukları önermelere göre ele alıp inceliyeceğiz.
1. Yalın Önermelerden K u r u l u Ödev Önermeleri
Bu önermeler, bir yalın ö n e r m e d e n ödev yöneticisi aracılığı ile ku rulmuş önermelerdir. Örneğin,
3 . 1 D o ğ r u y u söylemek ödevdir
önermesi, b u t ü r bir önermedir. B u önerme, 3 . 2 Ödevdir ki doğru söylenir.
biçiminde de dile getirilebilir. 'Doğru söylenir' önermesi ' p ' simgesi ile gösterildikte, (3,2) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3 . 3 Öp
Bu önerme 'p yi y a p m a k ödevdir' biçiminde okunur.
G ö r ü l d ü ğ ü gibi Öp önermesi Ö-yöneticisi ile p önermesinden kurul m u ş t u r . B u n a göre Ö-yöneticisi, p gibi bir önermeden Öp önermesini oluşturan doğrusal o l m a y a n bir eklemdir,5 Doğrusal eklemlerle k u r u l a n
bir ö n e r m e n i n doğruluk değeri yalnızca bileşenlerinin doğruluk değerine bağlıdır. Oysa Öp önermesinin doğruluk değeri yalnızca p önermesinin doğruluk değerine bağlı değil, aynı z a m a n d a p önermesinin t ü m olanak lı evrenlerdeki doğruluk değerlerine de bağlıdır. Ancak Öp önermesinin doğruluğu p önermesinin bu olanaklı evrenlerden birindeki doğrulu ğ u n a indirgenebilir:
a) Öp
p(j) (j sayal sayı ve yeni)
Görüldüğü gibi, çizelge Öp önermesinin doğruluğunu p önermesinin j - olanaklı evrenindeki doğruluğuna indirgemiştir. Çizelgede geçen ' p
(j)' simgesi p önermesinin j - olanaklı evrenindeki doğruluğunu göster m e k t e d i r . Ayrıca j sayal sayısı için de bir kısıtlama getirilmiştir. B u n a
4 Bkz. Teo Grünberg, Adnan Onart, Mantık Terimleri Sözlüğü, Ankara-1976, s. 1;3. 5 Bkz. Aynı yapıt, s. 103.
göre j sayal sayısının çizelgede 'p (j)' simgesinin geçtiği yolda d a h a önce geçmemiş olması, bir b a ş k a deyişle yeni olması gerekir.
Çizelgeden kolayca anlaşılacağı gibi, her önermeye bir doğal sayı evren belirtme sayısı (index) olarak bağlanmıştır. Gerçek evrenin belirt me sayısı sıfır olup, bu sayı p önermesinin gerçek evrendeki doğruluğunu gösteren ' p ' simgesinin y a n ı n a yazılmaz.
(a) çizelgesi Öp önermesinin indirgeme kuralıdır.
2 . Ödevsel Yöneticilerin Geçtiği Önermelerden K u r u l u Ödev Öner meleri
Bu önermeler, en az bir ödevsel yöneticinin geçtiği önermelerden ödev yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş önermelerdir. Örneğin,
3 . 4 . D o ğ r u y u söyleme ödevini yerine getirmek ödevdir önermesi bu t ü r bir ödev önermesidir. Bu önerme y u k a r ı d a k i açıklama lar göz ö n ü n d e t u t u l a r a k ,
3.5 ÖÖp
biçiminde simgeleştirilir.
ÖÖp önermesinin doğruluğu da p önermesinin t ü m olanaklı evren-lerdeki doğruluklarına bağlıdır. Öyleyse ÖÖp önermesinin doğruluğu, p önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
b) ÖÖp
Ö p ( j ) ' ( j , sayal sayı ve yeni) p(k) (k, sayal sayı ve yeni)
Görüldüğü gibi, çizelge ÖÖp önermesinin doğruluğunu Öp önerme sinin j-evrenindeki doğruluğuna, Öp önermesinin doğruluğunu da p öner mesinin k-evrenindeki doğruluğuna indirgenmiştir. Böylece ÖÖp öner-mesinin doğruluğu p öneröner-mesinin k-evrenindeki doğruluğuna indirgen miştir. Bu çizelgede de j ve k sayıları için kısıtlamalar getirilmiştir.
(b) çizelgesi ÖÖp önermesinin indirgeme kuralıdır. İ m d i bu iki çizelgeyi birleştirebiliriz:
13) Öp(i) (i, doğal sayı)
p(k) (k, sayal sayı ve yeni)
(13) çizelgesi ödev önermesinin indirgeme kuralıdır. 3. Bileşik Önermelerden K u r u l u Ödev Önermeleri
Bu önermeler, bileşik bir ö n e r m e d e n ödev yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş ödev önermeleridir. Örneğin,
3 . 6 D o ğ r u y u söylemek ve doğru olanı y a p m a k ödevdir önermesi b u t ü r bir ödev önermesidir. B u önerme,
3.7 Ödevdir ki doğru söylenir ve doğru olan yapılır
biçiminde de dile getirilebilir. 'Doğru söylenir' önermesi ' p ' simgesi ile, 'Doğru olan yapılır' önermesi ' q ' simgesi ile gösterildikte, (3.7) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.8
( 3 . 8 ) önermesi 'p ve q yu y a p m a k ödevdir' biçiminde o k u n u r . önermesinin doğruluğu da önermesinin olanaklı evren lerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu ödev öner mesinin indirgeme kuralına göre önermesinin 1- evrenindeki doğ ruluğuna, önermesinin doğruluğunu da aynı evrendeki p önermesi n i n ve q önermesinin doğruluğuna indirgemiştir.
4. Çekirdek ö n e r m e l e r d e n K u r u l u Ödev Önermeleri
Bu önermeler, bir çekirdek önermeden ödev yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3 . 9 D u r s u n ' u n doğruyu söylemesi ödevdir önermesi, bu t ü r bir ödev önermesidir. Bu önerme,
3.10 Ödevdir ki D u r s u n doğruyu söyler
biçiminde de yazılabilir. ' D u r s u n ' özel adı ' a ' ad simgesi ile, 'doğruyu söyler' yüklemi ' F ' y ü k l e m temsilcisi ile gösterildikte, ' D u r s u n doğruyu söyler' önermesi ' F a ' biçiminde, (3.10) önermesi ise aşağıdaki gibi sim geleştirilir:
3 . 1 1 Ö F a
Bu önerme 'a n ı n F yi y a p m a s ı ödevdir' biçiminde okunur. Ö F a önermesinin doğruluğu da Fa çekirdek önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
Ö F a F a ( l )
Görüldüğü gibi, Ö F a önermesinin doğruluğu, ödev önermesinin in dirgeme kuralına göre Fa önermesinin 1- evrenindeki doğruluğuna indir genmiştir.
5. Açık önermelerden K u r u l u Ödev Açık Önermeleri
B u n l a r u y g u n açık önermelerden ödev yöneticisi ile k u r u l a n ödev açık önermeleridir. Örneğin,
3.12 x ' i n doğruyu söylemesi ödevdir
açık önermesi, bu t ü r bir ödev açık önermesidir. Bu açık önerme, 3.13 ödevdir ki x doğruyu söyler
biçiminde de dile getirilebilir. (3.13) açık önermesi aşağıdaki gibi sim-geleştirilir:
3.14 Ö F x
Bu ödev açık önermesi 'x in y yi y a p m a s ı ödevdir' biçiminde okunur. Ödev açık önermelerinin de belli bir doğruluk değeri y o k t u r , y a n i b u n l a r önerme değildir. A n c a k b u n l a r d a n t ü m e l ya da tikel niceleyici
aracılığı ile t ü m e l ya da tikel önermeler oluşturulur. Şimdi de kısaca bu önermeleri görelim:
a) Ödev Açık Önermelerinden K u r u l u T ü m e l Önermeler
Bunlar, ödev açık önermelerinden t ü m e l niceleyici aracılığı ile kurul m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.15 T ü m insanlar için doğruyu söylemek ödevdir.
önermesi bu t ü r bir önermedir. Bu ö n e r m e aşağıdaki gibi simgeleştirilir: 3.16
(316) önermesi ' T ü m x 1er için F yi y a p m a k ödevdir' biçiminde o k u n u r .
b) Ödev Açık Önermelerden K u r u l Tikel Önermeler
Bu önermeler, ödev açık önermelerinden tikel niceleyici aracılığı ile k u r u l a n önermelerdir. Örneğin,
3.17 K i m i insanlar için d o ğ r u y u söylemek ödevdir
önermesi, bu t ü r bir önermedir. Bu önerme aşağıdaki gibi simgeleştirilir: 3.18
(3.18) önermesi ' K i m i x 1er için F yi y a p m a k ödevdir' biçiminde okunur.
6. Niceleme Önermelerinden K u r u l u Ödev Önermeleri a) T ü m e l Önermelerden K u r u l u Ödev Önermeleri
B u n l a r bir t ü m e l ö n e r m e d e n ödev yöneticisi aracılığı ile k u r u l a n önermelerdir.
Örneğin,
3.19 T ü m insanların d o ğ r u y u söylemesi ödevdir önermesi, bu t ü r bir ödev önermesidir. Bu önerme,
3.20 Ödevdir ki t ü m insanlar doğruyu söyler
biçiminde de dile getirirlebilir.'doğruyu söyler' yüklemi ' F ' y ü k l e m sim gesi ile gösterildikte, (3.20) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.21
(3.20) önermesi ' T ü m x lerin F yi y a p m a s ı ödevdir' biçiminde o k u n u r önermesinin doğruluğu da önermesinin olanaklı ev renlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu, ödev öner mesinin indirgeme k u r a l ı n a göre önermesinin 1-evrenindeki doğ-t u l u ğ u n a , önermesinin doğruluğunu da doğ-t ü m e l ö n e r m e n i n indir geme kuralı gereğince Fa özellemesinin 1-evrenindeki doğruluğuna in dirgemiştir.
b) Tikel Önermelerden K u r u l u Ödev Önermeleri
Bu önermeler, bir tikel önermeden ödev yöneticisi aracılığı ile ku r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.22 K i m i insanların doğruyu söylemesi ödevdir önermesi, b u t ü r bir ödev önermesidir. B u önerme,
3.23 Ödevdir ki kimi insanlar doğruyu söyler
biçiminde de dile getirilebilir. Bir önceki önermeye ilişkin açıklamalar göz ö n ü n d e t u t u l a r a k (3.23) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.24
önermesinin doğruluğu da önermesinin olanaklı ev renlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu önermesinin 1-evrenindeki doğruluğuna, önermesinin 1-evrenin-deki doğruluğunu da Fa özellemesinin aynı evren1-evrenin-deki doğruluğuna indir gemiştir.
7. Ulamsal Ödev Önermeleri a) T ü m e l Olumlu Ödev Önermesi
Bu önerme, ödev yöneticisinin geçtiği t ü m e l olumlu önermedir. Örneğin,
3.25 T ü m öğretim üyelerinin ders vermeleri ödevdir
önermesi, bir t ü m e l olumlu ödev önermesidir. Bu önerme 'öğretim üye sidir' yüklemi ' F ' yüklem simgesi ile, 'ders verir' yüklemi de ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.26
(3.26) önermesi ' T ü m x 1er için x F ise x in G yi y a p m a s ı ödevdir' biçiminde o k u n u r .
b) T ü m e l Olumsuz Ödev Önermesi
Bu önerme, ödev yöneticisinin geçtiği t ü m e l olumsuz önermedir. Örneğin,
3.27 Hiç bir a r a ş t ı r m a görevlisinin ders vermesi ödev değildir önermesi, bir t ü m e l olumsuz ödev önermesidir. Bu önerme ' a r a ş t ı r m a görevlisidir' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile 'ders verir' yüklemi de ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.28
(3.28) önermesi ' t ü m x 1er için x F ise x in G yi y a p m a s ı ödev değil dir' biçiminde o k u n u r .
c) Tikel Olumlu Ödev Önermesi
Bu önerme, ödev yöneticisinin geçtiği tikel olumlu önermedir. Ör neğin,
3.29 Bazı öğretim elemanlarının ders vermesi ödevdir
önermesi, bir tikel olumlu ödev önermesidir. Bu önerme 'öğretim ele m a n ı d ı r ' yüklemi ' F ' yüklem simgesi ile, 'ders verir' yüklemi de ' G ' yük lem simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.30
(3.30) önermesi 'Bazı x 1er için x F dir ve x in G yi yapması ödevdir' biçiminde okunur.
d) Tikel Olumsuz Ödev Önermesi
Bu önerme, ödev yöneticisinin geçtiği tikel olumsuz önermedir. Örneğin,
3.31 Bazı öğretim elemanlarının ders vermesi ödev değildir önermesi, bir tikel olumsuz ödev önermesidir. Bu önerme, az önceki açıklamalar göz ö n ü n d e t u t u l a r a k aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.32
(3.32) önermesi 'Bazı x 1er için x F dir ve x in G yi y a p m a s ı ödev değildir' biçiminde o k u n u r .
I I . İzin Önermeleri
G ü n l ü k dilin 'izinlidir', 'yetkilidir', 'hakkıdır' gibi deyimlerine izin yöneticisi, bu yöneticiyle k u r u l a n önermelere de izin önermeleri denir. İ z i n yöneticisi ' I ' simgesi ile gösterilir6.
Biz izin önermelerini de, ödev önermeleri gibi, kurulmuş oldukları önermelere göre ele alıp inceleyeceğiz.
1) Yalın Önermelerden K u r u l u İ z i n Önermeleri
Bu önermeler, bir yalın önermeden izin yöneticisi aracılığı ile kurul m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.33 D ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemek izinlidir. önermesi bir izin önermesidir. Bu önerme,
3.34 İzinlidir ki düşünülen söylenir
biçiminde de dile getirilebilir. (3.33) önermesi ' D ü ş ü n ü l e n söylenir' öner mesi ' p ' simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.35 İ p
Bu önerme 'p yi y a p m a k izinlidir' biçiminde o k u n u r .
Görüldüğü gibi, İp önermesi İ-yöneticisi ile p önermesinden kurul m u ş t u r . B u n a göre İ-yöneticisi, p gibi bir önermeden İp önermesini oluş t u r a n doğrusal o l m a y a n bir eklemdir. Bilindiği gibi, doğrusal eklemlerle k u r u l a n bir önermenin doğruluk değeri bileşenlerinin doğruluk değerle rine bağlıdır. Oysa İp önermesinin doğruluk değeri yanlızca p önerme sinin doğruluk değerine bağlı değil, aynı z a m a n d a p önermesinin ola naklı evrenlerden en az birindeki doğruluk değerine de bağlıdır. Bu yüz den İp önermesinin doğruluğu p önermesinin olanaklı evrenlerden bi rindeki doğruluğuna indirgenebilir:
a) İp
p(j) (j sayal sayı ve yeni değil)
Görüldüğü gibi, çizelge İp önermesinin doğruluğunu p önermesinin j-olanaklı evrenindeki doğruluğuna indirgemiştir. Çizelgede geçen 'p (j) simgesi, ödev önermelerinde olduğu gibi, p önermesinin j-evrenin-deki doğruluğunu göstermektedir. Ayrıca j sayal sayısı için de bir kısıt l a m a getirilmiştir. B u n a göre j sayal sayısının çizelgede 'p(j)' simgesinin geçtiği yolda d a h a önce geçmiş olması, bir b a ş k a deyişle yeni olmaması gerekir. Ancak sözü edilen yolda d a h a önce hiç bir sayal sayı geçmemişse bu gerekim bir y a n a bırakılarak 1 sayal sayısı evren belirtme sayısı ola r a k alınır.
Çizelgeden kolayca anlaşılacağı gibi, b u r a d a da her evrene bir doğal sayı belirtme sayısı (index) olarak bağlanmıştır. Gerçek evrenin belirt me sayısı sıfır olup, bu sayı p önermesinin gerçek evrendeki doğruluğunu gösteren ' p ' simgesinin y a n ı n a yazılmaz.
(a) çizelgesi İp önermesinin indirgeme kuralıdır.
2) Ödevsel Yöneticilerin Geçtiği Önermelerden K u r u l u İzin Öner meleri
Bu önermeler, en az bir ödevsel yöneticinin geçtiği önermelerden izin yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.36 D ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyleme izinini k u l l a n m a k izinlidir.
önermesi bu t ü r bir önermedir. Bu önerme aşağıdaki gibi simgeleştirilir: 3.37 İİp
(3.37) önermesi 'p yi y a p m a izinini k u l l a n m a k izinlidir' biçiminde o k u n u r .
İ İ p önermesinin doğruluğu da p önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna bağlıdır. Öyleyse İ İ p önermesinin doğruluğu p
önermesinin olanaklı evrenlerden birindekinin doğruluğuna indirgene bilir:
b) İ İ p
İp(j) (j, sayal sayı ve yeni değil) p(k) (k, sayal sayı ve yeni değil)
Görüldüğü gibi, çizelge İİp önermesinin doğruluğunu İp önerme sinin j-evrenindeki doğruluğuna, İp önermesinin doğruluğunu da p öner mesinin k-evrenindeki doğruluğuna indirgemiştir. Ayrıca j ve k sayal sayıları için de bir kısıtlama getirmiştir. B u n a göre j = k olabilir.
(b) çizelgesi İ İ p önermesinin i n d i r g e m e kuralıdır. İ m d i bu iki çizelgeyi birleştirebiliriz:
(14) İp(i) (i doğal sayı)
p(k) (k sayal sayı ve yeni değil) B u çizelgede d e i = k olabilir.
(14) çizelgesi izin önermesinin indirgeme kuralıdır 3 . Bileşik Önermelerden K u r u l u İ z i n Önermeleri
Bu önermeler, bileşik bir önermeden izin yöneticisi ile k u r u l m u ş olan izin önermeleridir. Örneğin,
3 . 3 8 D ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemek y a d a y a z m a k izinlidir önermesi, bu t ü r bir izin önermesidir. Bu önerme,
3 . 3 9 İzinlidir ki düşünülen söylenir ya da yazılır
biçiminde de dile getirilebilir. (3.38) önermesi ' D ü ş ü n ü l e n söylenir' önermesi ' p ' simgesi ile, ' D ü ş ü n ü l e n yazılır' önermesi de ' q ' simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.40 İ(pvq)
Bu önerme 'p yi ya da q yu y a p m a k izinlidir' biçiminde o k u n u r . İ (pvq) önermesinin doğruluğu da p v q önermesinin olanaklı evren lerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
İ ( p v q ) (pvq) (1) P ( l ) q(1)
Görüldüğü gibi, çizelge I ( p v q ) önermesinin doğruluğunu, izin öner mesi indirgeme kuralına göre p v q önermesinin 1-evrenindeki doğrulu ğuna, p v q önermesinin doğruluğunu da tikel evetlemenin indirgeme ku ralı u y a r ı n c a p ya da q önermesinin aynı evrendeki doğruluğuna indir gemiştir.
4. Çekirdek Önermelerden K u r u l u İzin Önermeleri'
Bu önermeler, çekirdek önermelerden izin yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3 . 4 1 D u r s u n d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemeye izinlidir önermesi, bu t ü r bir izin önermesidir. Bu önerme,
3.42 İzinlidir ki D u r s u n d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler
biçiminde de dile getirilebilir. (3.41) önermesi, ' D u r s u n ' özel adı 'a' ad simgesi ile, ' d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler' yüklemi de ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.43 İFa
Bu önerme 'a, F yi y a p m a y a izinlidir' biçiminde o k u n u r .
İFa önermesinin doğruluğu da Fa çekirdek önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
I F a F a ( l )
Görüldüğü gibi, çizelge İFa önermesinin doğruluğunu izin önerme sinin indirgeme kuralına göre Fa önermesinin 1-evrenindeki doğruluğuna indirgemiştir.
5. Açık Önermelerden K u r u l u İzin Açık Önermeleri
Bu açık önermeler, u y g u n açık önermelerden İ-yöneticisi ile kurul m u ş olan açık önermelerdir. Örneğin,
3.44 x d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemeye izinlidir
açık önermesi bir izin açık önermesidir. Bu açık önerme, 3.45 İzinlidir ki x d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler
biçiminde de dile getirilebilir. (3.44) açık önermesi, ' d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte,
3.46 İFX
İzin açık önermelerinden de niceleyiciler aracılığı ile t ü m e l ve tikel önermeler oluşturulur. Şimdi kısaca bu önermeleri görelim.
a) İ z i n Açık Önermelerinden K u r u l u T ü m e l Önermeler
Bu önermeler, izin açık önermelerinden t ü m e l niceleyici aracılığı ile k u r u l a n önermelerdir. Örneğin,
3.47 T ü m insanlar için d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemek izinlidir
önermesi bu t ü r bir t ü m e l önermedir. Bu önerme aşağıdaki gibi simgeleş-tirilir:
3.48
(3.48) önermesi ' T ü m x 1er için F yi y a p m a k izinlidir' biçiminde o k u n u r .
b) İzin Açık önermelerinden K u r u l u Tikel Önermeler
Bu önermeler, izin açık önermelerinden tikel niceleyici aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.49 Kimi insanlar için d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemek izinlidir
önermesi bu t ü r bir tikel önermedir. Bu önerme aşağıdaki gibi simgeleş-tirilir:
3.50
(3.50) önermesi 'Bazı x 1er için F yi y a p m a k izinlidir' biçiminde oku n u r .
6. Niceleme Önermelerinden K u r u l u İzin Önermeleri a) T ü m e l Önermelerden K u r u l u İzin Önermeleri
Bu önermeler, t ü m e l önermelerden izin yöneticisi ile k u r u l m u ş olan önermelerdir.
Örneğin,
3.51 T ü m insanlar d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemeye izinlidir önermesi, böyle b i r izin önermesidir. Bu önerme,
3.52 İzinlidir ki t ü m insanlar d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler
biçiminde de dile getirilebilir. (3.51) önermesi, ' d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleşti-rilir:
3.53
Bu önerme ' T ü m x 1er F yi y a p m a y a izinlidir' biçiminde o k u n u r . önermesinin doğruluğu d a F a çekirdek önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu t ü m e l önermesinin 1-evrenindeki doğruluğuna, önermesinin doğ-r u l u ğ u n u d a aynı evdoğ-rendeki F a çekidoğ-rdek önedoğ-rmesinin doğdoğ-ruluğuna in dirgemiştir.
b) Tikel Önermelerden K u r u l u İzin Önermeleri
Bu önermeler, tikel önermelerden izin yöneticisi aracılığı ile kurul m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.54 K i m i insanlar d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söylemeye izinlidir önermesi, b u t ü r bir izin önermesidir. B u ö n e r m e ,
3.55 İzinlidir ki kimi insanlar d ü ş ü n d ü ğ ü n ü söyler
biçiminde de dile getirilebilir. Az önceki açıklamalar göz ö n ü n d e t u t u l a r a k (3.55) önermesi aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.56
Bu ö n e r m e 'Bazı x 1er F yi y a p m a y a izinlidir' biçiminde o k u n u r . önermesinin doğruluğu da Fa çekirdek önermesinin olanaklı evrenlerden birindeki doğruluğuna indirgenir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu öner mesinin 1-evrenindeki doğruluğuna, bu önermenin doğruluğunu da Fa çekirdek önermesinin aynı evrendeki doğruluğuna indirgemiştir.
7. Ulamsal İ z i n Önermeleri a) T ü m e l Olumlu İzin Önermesi
Bu önerme izin yöneticisinin geçtiği ü t m e l olumlu önermedir. Ör neğin,
3.57 T ü m işçiler sendika k u r m a y a izinlidir
önermesi, bir t ü m e l olumlu izin önermesidir. (3.57) önermesi, 'işçidir' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile, 'sendika k u r a r ' yüklemi v e ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.58
Bu önerme ' T ü m x 1er için x F ise x G yi y a p m a y a izinlidir' biçi m i n d e o k u n u r .
b) T ü m e l Olumsuz İ z i n Önermesi
Bu önerme, izin yöneticisinin geçtiği t ü m e l olumsuz bir önermedir. Örneğin,
3.59 Hiç bir m e m u r sendika k u r m a y a izinli değildir
önermesi, bir t ü m e l olumsuz izin önermesidir. (3,59) önermesi ' m e m u r d u r ' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile, 'sendika k u r a r ' y ü k l e m i ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.60
Bu önerme ' T ü m x 1er için x F ise x G yi y a p m a y a izinli değildir' biçiminde o k u n u r .
c) Tikel Olumlu İ z i n Önermesi
Bu önerme izin yöneticisinin geçtiği tikel olumlu önermedir. Örne ğin,
3.61 Bazı çalışanlar sendika k u r m a y a izinlidir
önermesi, bir tikel olumlu izin önermesidir. (3.61) önermesi 'çalışandır' yüklemi ' F ' y ü k l e m simgesi ile, 'sendika k u r a r ' y ü k l e m i d e ' G ' y ü k l e m simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.62
Bu önerme 'Bazı x 1er için x F dir ve x G yi y a p m a y a izinlidir' bi çiminde o k u n u r .
d) Tikel Olumsuz İzin Önermesi
Bu önerme, izin yöneticisinin geçtiği tikel olumsuz önermedir. Ör neğin,
3.63 Bazı çalışanlar sendika k u r m a y a izinli değildir
önermesi, bir tikel olumsuz izin önermesidir. (3.63) önermesi bir önceki önermeye ilişkin açıklamalar göz ö n ü n d e t u t u l a r a k aşağıdaki gibi sim geleştirilir:
3.64
Bu önerme, 'Bazı x 1er için x F dir ve x G yi y a p m a y a izinli değildir' biçiminde o k u n u r .
III. Yasak Önermeleri
G ü n l ü k dilin 'yasaktır' deyimine ya da aynı a n l a m a gelen başka deyimlerine y a s a k yöneticisi, bu yönetici aracılığı ile kurulmuş olan önermelere de y a s a k önermeleri denir. Y a s a k yöneticisi 'Y' simgesi ile gösterilir7.
Biz y a s a k önermelerini de önceki ödevsel önermeler gibi, k u r u l m u ş oldukları önermelere göre alıp inceleyeceğiz.
1) Yalın Önermelerden K u r u l u Yasak Önermeleri
Bu önermeler, yalın önermelerden yasak yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.65 Y a l a n söylemek y a s a k t ı r
önermesi, bu t ü r bir y a s a k önermesidir. Bu önerme, 3.66 Yasaktır ki y a l a n söylenir
biçiminde de dile getirilebilir. (3.65) önermesi, 'Yalan söylenir' önermesi ' p ' simgesi ile gösterildikte, aşağıdaki gibi simgeleştirilir:
3.67 Y p
Bu önerme 'p yi y a p m a k yasaktır' biçiminde o k u n u r . Ö t e y a n d a n (3.65) önermesi,
3.68 Y a l a n söylememek ödevdir
önermesi ile eşdeğerdir. B u n d a n dolayı (3.65) önermesinin doğruluğu (3.68) önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
15)
Görüldüğü gibi, çizelge Yp önermesinin doğruluğunu Ö p önerme sinin doğruluğuna indirgemiştir.
(15) çizelgesi y a s a k önermesinin indirgeme kuralıdır.
2) Ödevsel Yöneticilerin Geçtiği Önermelerden K u r u l u Yasak Öner meleri
Bu önermeler, en az bir ödevsel yöneticinin geçtiği önermelerden y a s a k yöneticisi ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.69 Y a l a n söyleme yasağına u y m a m a k y a s a k t ı r
önermesi, bu t ü r bir y a s a k önermesidir. Bu önerme aşağıdaki gibi simge-leştirilir:
3.70
(3.70) önermesi 'p yi y a p m a yasağına u y m a m a k y a s a k t ı r ' biçiminde o k u n u r .
önermesinin doğruluğu da ödev önermesinin doğruluğuna indirgenebilir:
Görüldüğü gibi, çizelge önermesinin doğruluğunu yasak öner mesinin indirgeme kuralına göre ÖYp önermesinin doğruluğuna, ÖYp önermesinin doğruluğunu ödev önermesinin indirgeme kuralı gereğince Yp önermesinin j-evrenindeki doğruluğuna, Yp önermesinin doğrulu ğ u n u da y a s a k önermesinin indirgeme kuralı uyarınca önermesi nin j-evrenindeki doğruluğuna indirgemiştir.
3) Bileşik Önermelerden K u r u l u Y a s a k Önermeleri
Bu önermeler, bileşik önermelerden y a s a k yöneticisi aracılığı ile k u r u l m u ş olan önermelerdir. Örneğin,
3.71 Y a l a n söylemek ve hırsızlık y a p m a k y a s a k t ı r önermesi, b u t ü r bir önermedir. B u önerme,
3.72 Yasaktır ki y a l a n söylenir ve hırsızlık yapılır biçiminde de dile getirilebilir.
(3.71) önermesi 'Yalan söylenir' önermesi ' p ' simgesi ile, 'Hırsızlık yapılır' önermesi de ' q ' simgesi ile gösterildikte aşağıdaki gibi simgeleş-tirilir:
3.73
Bu önerme 'p yi ve q yu y a p m a k yasaktır' biçiminde o k u n u r . önermesi şöyle indirgenir: .
