Natanzon potansiyelleri üzerine On the natanzon potentials

(1)

ÖZET

Bu çalışmada, hipergeometrik fonksiyonların özellikleri kullanılarak, Schrödinger denkleminin çözümü olan dalga fonksiyonları, potansiyel fonksiyonu ve S- matrisinin belirttiği dönüşüm incelenmiştir.

Birinci bölümde, hipergeometrik denklem ile ilgili bazı bilgiler verilmiştir. Potansiyel fonksiyonunun genel denklemi ve dalga fonksiyonunun hipergeometrik fonksiyona bağlı olan ifadesi elde edilmiştir. Genel potansiyel denklemindeki parametrelerin özel değerleri için özel potansiyellerin denklemleri belirlenmiştir.

İkinci bölümde, S-matrisinin belirttiği dönüşüm elde edilmiştir.

Üçüncü bölümde, önce konfluent hipergeometrik Natanzon potansiyelleri verilmiştir, sonra dalga fonksiyonunun konfluent hipergeometrik fonksiyonuna bağlı olarak ifadesi incelenmiştir.

Dördüncü bölümde, bu tezde çalışılan konu ile ilgili bir uygulama yapılmıştır.

ANAHTAR KELİMELER: Schrödinger denklemi, Dalga fonksiyonu, Potansiyel, Hipergeometrik fonksiyon.

(2)

SUMMARY

In this study, the wave functions which are the solutions of the Schrödinger equation, the potential function and the transformation which is determined by the S-matrix are investigated using properties of the hypergeometric functions.

In the first chapter, pertinent background material about the hypergeometric equation is given. A general form of the potential function and expression of the wave function in terms of the hypergeometric functions are obtained. The equations of the special potentials are determined for the particular values of the parameters which are in the general potential equation.

In the second chapter, the transformation which is determined by the S-matrix is obtained.

In the third chapter, first confluent hypergeometric Natanzon potentials are given and then the expression of the wave function by confluent hypergeometric function is investigated.

In the fourth chapter, an application is given for the subject which is studied in this thesis.

KEY WORDS: Schrödinger equation, Wave function, Potential, Hypergeometric function.

(3)

ÖNSÖZ

Tez çalışmalarım süresince desteğini esirgemeyen değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Adem DALGIÇ’a en içten teşekkürlerimi sunarım.

(4)

ÖZET...i

SUMMARY...ii

ÖNSÖZ...iii

GİRİŞ...1

I. BÖLÜM / HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR YARDIMI İLE ÇÖZÜLEBİLEN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİ………3

1.1 Hipergeometrik Denklem...3

1.2 Natanzon Potansiyelinin Genel Formu……….…………...7

1.3 Schrödinger Denkleminin Hipergeometrik Fonksiyona Bağlı Olan Çözümü………..………....14

1.4 Dalga Fonksiyonunun Normalizasyonu………...15

1.5 Natanzon Potansiyelinin Özel Halleri...19

II. BÖLÜM / S-MATRİSİNİN BELİRTTİĞİ DÖNÜŞÜMÜN BULUNMASI... ...…..24

III. BÖLÜM / KONFLUENT HİPERGEOMETRİK FONKSİYONA GEÇİŞ.…...….28

3.1 Konfluent Hipergeometrik Natanzon Potansiyeli………...………….28

3.2 Schrödinger Denkleminin Özel Fonksiyonlara Bağlı Olan Çözümleri…….36

3.3 Konfluent Hipergeometrik Fonksiyona Bağlı Olan Dalga Fonksiyonunun Normalizasyonu………....42

IV. BÖLÜM / NATANZON POTANSİYELLERİ İLE İLGİLİ BİR UYGULAMA….45 KAYNAKLAR ………...50

(5)

GİRİŞ

Kuantum mekaniğinin temel denklemi olan Schrödinger denklemi, Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger tarafından bulunmuştur.

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

x m k x x U dx x d m ψ ψ ψ 2 2 1 2 2 2 = + −

şeklindeki ikinci mertebeden, homojen ve lineer bir diferansiyel denklem olan Schrödinger denkleminin çözümü ψ

( )

x dalga fonksiyonu ile gösterilmektedir. ψ

( )

x

dalga fonksiyonu, kütlesi m, kinetik enerjisi E k2 2m

= olan bir parçacığın U

( )

x potansiyel fonksiyonunun etkisi altındaki durumunu ifade etmektedir( [1], [2] ).

( )

x

U potansiyel fonksiyonu özel tipte bir fonksiyondur. Bir →

F vektör alanının, bir R bölgesinin her

(

x,y,z

)

noktasına bir F→

(

x,y,z

)

vektörünü karşılık getiren bir fonksiyon olduğu bilindiğinden, bir F→ vektör alanı R bölgesinin her

(

x,y,z

)

noktası için

(

)

(

)

(

)

→

(

)

→

(

)

→ → ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = k z z y x U j y z y x U i x z y x U z y x U z y x F , , , , , , , , , ,

şeklinde yazılabiliyorsa U

(

x,y,z

)

fonksiyonuna →

F vektör alanının potansiyel fonksiyonu denir( [3] ).

Özel fonksiyonlar, matematikte, fizikte ve birçok bilim dalında ortaya çıkan diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan standart fonksiyonlardır. ψ

( )

x dalga fonksiyonu, özel fonksiyonlara bağlı olarak ifade edilmektedir. Özel fonksiyonlar hipergeometrik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilebildiği için ψ

( )

x fonksiyonu da hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir. Hipergeometrik fonksiyon, hipergeometrik denklemin çözüm fonksiyonudur. Natanzon, hipergeometrik denklemde

( ) ( )

z x f

u=

ψ

dönüşümünü yapmıştır. Hipergeometrik denklemi Schrödinger denklemine dönüştürecek şekilde, önce f

( )

z fonksiyonunu belirlemiştir, sonra U

( )

x potansiyel fonksiyonu için bir tanım elde etmiştir. ψ

( )

x fonksiyonunu da f

( )

z ve

(6)

(

z

)

F

u= α,β;γ; fonksiyonlarına bağlı olarak bulmuştur. Böylece, Schrödinger denklemini çözmeden de ψ

( )

x fonksiyonu ile U

( )

x potansiyel fonksiyonunun belirlenebileceğini göstermiştir( [4], [5] ). Bu şekilde belirlenen potansiyel fonksiyonu, Natanzon potansiyeli olarak adlandırılmaktadır.

Natanzon potansiyelinin genel ifadesindeki parametrelerin özel değerleri için Pöschl-Teller potansiyeli, Rosen-Morse potansiyeli ve Manning-Rosen potansiyeli elde edilir( [4], [5] ).

Schrödinger denkleminin çözümü olan her ψ

( )

x fonksiyonu, bu fonksiyonun tanımında yer alan hipergeometrik fonksiyonların özelliklerinden yararlanılarak belirlenebilecek olan ψ_i

( )

x ve ψ_o

( )

x şeklinde iki fonksiyonun lineer birleşimi biçiminde yazılabilir. Bu durumda, ψ_o

( )

x fonksiyonu

( )

x S

( ) ( )

x _i x

o ψ

ψ =

şeklinde, ψ_i

( )

x fonksiyonunun bir katı olarak ifade edilebilir( [1] ). Bu ifadedeki S

( )

x fonksiyonuna karşılık gelen matrise S-matrisi(veya saçılma matrisi) denir( [1], [11], [12], [13] ). Bu ifadeden S

( )

x için de bir tanım elde edilebilir.

Dalga fonksiyonu, Whittaker fonksiyonlarına bağlı olarak da bulunabilmektedir ( [4], [5] ). Whittaker diferansiyel denklemi, konfluent hipergeometrik diferansiyel denkleminin özel bir hali olduğu için bu denklemin çözümü olan Whittaker fonksiyonları da konfluent hipergeometrik fonksiyona bağlı olarak ifade edilebilmektedir. Bu durumda elde edilen potansiyel denklemi konfluent hipergeometrik Natanzon potansiyeli olarak adlandırılmaktadır( [5], [14], [15] ).

Bu çalışmada genel olarak hipergeometrik fonksiyonların özelliklerinden yararlanılarak, Schrödinger denkleminin çözümü olan dalga fonksiyonu, potansiyel fonksiyonu ve S-matrisinin belirttiği dönüşüm incelenmiştir.

(7)

I. BÖLÜM

HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR YARDIMI İLE ÇÖZÜLEBİLEN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİ

1.1 Hipergeometrik Denklem

Bir hipergeometrik denklem, u=u

( )

z olmak üzere,

(

1

)

₂

[

(

1

)

]

0 2 = − + + − + − u dz du z dz u d z z γ α β αβ (α,β,γ ∈C) (1.1)

biçiminde ifade edilir( [6] ). Bu denklem, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss tarafından verilmiştir. ∞ , 0 ve 1 noktaları, hipergeometrik denklemin düzgün tekil noktalarıdır. Bu denklemin, z=0 noktasının komşuluğunda, Frobenius yöntemi ile seri çözümü yapıldığında, çözüm;

( )

_∫

∞ − − = Γ 0 1 dt t e t α α ve

( )

a ₀ =1 ,

( )

(

)(

) (

)

(

)

( )

a n a n a a a a a _n Γ + Γ = − + + + = 1 2 K 1 , n₌1,2,K olmak üzere,

( )

( ) ( )

( )

(

) (

)

(

+

)

+L + + + + = =

∑

∞ = 2 0 1.2. 1 1 1 . 1 1 ! z z z n z u n n n n n γ γ β β α α γ αβ γ β α

elde edilir. Bu seriye, hipergeometrik seri denir. Hipergeometrik seri, genel terimi

( ) ( )

( )

(

) (

)

(

) (

)

n n n n n n z n n n n z n a 1 1 ! 1 1 1 1 ! + + − − + + − + + = = γ γ γ β β β α α α γ β α K K K ile gösterilirse n n n _a a ₁ lim + ∞ → = z

(8)

( )

(

)

( ) ( )

( )

∑

∞ = = = 0 1 2 ! ; ; , n n n n n _z n z F z u

γ

β

α

γ

β

α

ile gösterilir. Hipergeometrik denklemin çözümü olan ₂F₁

(

α

,

β

;

γ

;z

)

fonksiyonuna hipergeometrik fonksiyon denir. ₂F₁

(

α

,

β

;

γ

;z

)

hipergeometrik fonksiyonu, genellikle

(

z

)

F

α

,

β

;

γ

; şeklinde gösterilir. Hipergeometrik denklemde β ξ = z dönüşümü yapılırsa ξ β d du dz du = ve ₂ 2 2 2 2 ξ β d u d dz u d = olmak üzere,

(

1

)

0 1 ₂ 2 2 = −       + + − +       − u d du d u d αβ ξ β β ξ β α γ ξ β β ξ β ξ veya 0 1 1 1 ₂ 2 = −             + + − +       − u d du d u d y α ξ ξ β α γ ξ β ξ

elde edilir. Bu denklem, β →∞ iken limiti alındığında

(

)

0 2 2 = − − + u d du d u d α ξ ξ γ ξ ξ

şeklindeki konfluent hipergeometrik deklemini(veya Kummer denklemini) verir. Konfluent hipergeometrik deklemin çözümü, konfluent hipergeometrik fonksiyon(veya Kummer fonksiyonu) olarak adlandırılır. Konfluent hipergeometrik fonksiyon,

(

z

)

F α,β;γ; hipergeometrik fonksiyonunda z yerine β ξ konulup β →∞ iken limitinin alınmasıyla

(

)

( )

∑

∞ = = 0 1 1 ! ; ; n n n n n F ξ γ α ξ γ α şeklinde elde edilir( [7], [8] ).

Birçok fonksiyon, hipergeometrik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilebilir. Örneğin,

(

z

)

F z n n ₁_, _; _; 0 β β =

∑

∞ =

(9)

(

1+z

)

n =F

(

−n,β;β;−z

)

(

1+z

)

= zF

(

1,1;2;−z

)

log       = ∞ → β β β z F ez _lim ₁_, _;₁_;

Özel fonksiyonlar da hipergeometrik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilebilir;

(i) ( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

=       − + + Γ + + + + Γ       + + + Γ + + Γ = n r r n x r r n r n n n n x P 0 , 2 1 1 1 1 ! 1 α β α β α α β α ( )

( )

      − + + + + −       + = 2 1 ; 1 ; 1 , , x n n F n n x P_nαβ α α β α _{(Jacobi polinomu)} (ii)

( )

(

)

(

) (

)

∑

      = − − − − − = 2 0 2 ! 2 ! ! 2 ! 2 2 1 n m n m n m n m n m n m x m n x P

( )

      − + − = 2 1 ; 1 ; 1 ,n x n F x P_n (Legendre polinomu) (iii)

( )

(

)

∑

∞ = + + + Γ       − = 0 2 1 ! 2 1 m m n m n m n m x x J

( )

(

)

     + +       + Γ = − ix n n F x n e x J n ix n ;2 1;2 2 1 2

1 1 1 (Birinci türden Bessel fonksiyonu)

(iv)

( )

( ) ( ) ( )

(

)

∑

∞ = − − − = 0 2 2 2 ! 2 2 ! 2 ! 2 1 m m n m n m n m x n x H

( ) ( ) ( )

      − − = 1 1 2 2 ; 2 1 ; ! ! 2 1 F n x n n x H _n n (Hermit polinomu) (v)

( )

( ) (

) ( )

(

)

∑

    + = + − + + − + − = 2 1 2 0 1 2 2 1 2 ! 1 2 2 ! 2 ! 1 2 1 n m m n m n m n m x n x H

( ) ( ) (

)

      − + − = + 2 1 1 1 2 ; 2 3 ; 2 ! ! 1 2 1 x F n x n n x H _n n (Hermit polinomu)

(10)

(vi)

( )

(

) ( )

∑

= − − = n k k k n x k k n n x L 0 2 ! ! ! 1 L_n

( )

x=₁F₁

(

−n;1;x

)

(Laguerre polinomu) (vii)

( )

∑

( )

=       − + − = n m m m k n m x m n k n x L 0 ! 1

( )

(

)

(

k

)

F

(

n k x

)

n k n x Lk_n ; 1; 1 ! 1 1 1 − + + Γ + + Γ

= (Genelleştirilmiş Laguerre polinomu)

(viii)

( )

(

)

(

)

( )

m n n m m n x m n m m n n x T 2 2 0 2 ! 2 ! 1 2 −     =

∑

− − Γ − =

( )

      − − = 2 1 ; 2 1 ; , 1 2 x n n F x

T_n (Birinci türden Chebyshev polinomu)

(ix)

( )

n m n m m n x m m n x U 2 2 0 2 1 −       =

∑

      − − =

( )

      − + + − − = 2 1 ; 2 3 ; 1 , 1 1 2 x n n F n x x

U_n (İkinci türden Chebyshev polinomu)

(x)

( )

( ) (

)

(

) ( )

( )

m n n m m n x m n m m n x C 2 2 0 2 ! 2 ! 1 −     =

∑

Γ − − + Γ − = α α α

( )

(

)

( )

     − + − − Γ + Γ = 2 1 ; 2 1 ; 2 , 2 ! 2 x n n F n n x C_n α α α α α _{(Gegenbauer polinomu)} biçimindedir( [7], [8] ).

(11)

1.2 Natanzon Potansiyelinin Genel Formu

( )

₍

_{( )}

₎

_{( )}

0 2 2 2 2 = − + k mU x x dx x d ψ ψ (1.2) Schrödinger denkleminin çözümü olan ψ

( )

x dalga fonksiyonu, hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilmektedir. Natanzon, hipergeometrik denklemden hareketle bu denklemden elde edilebilen çeşitli potansiyellerdeki Schrödinger denklemlerini ve bunların çözümlerini incelemiştir( [4] ).

Bunun için önce hipergeometrik denklemde z=z

( )

x ,x∈R olmak üzere

( ) ( )

z x f

u=

ψ

(1.3) dönüşümü göz önüne alınmaktadır. Bu dönüşümde yer alan f

( )

z fonksiyonu, hipergeometrik denklem Schrödinger denklemine dönüştürülebilecek şekilde belirlenecektir. (1.3) dönüşümüne göre,

( ) ( )

( )

dx x d z z f x z f dz du ψ ψ ′ + ′ =       ′ = dz du dx d z dz u d 1 2 2 olduğundan

( )

_{( ) ( )}

x z f dx x d z f z z z z f dx x d z z f dz u d

ψ

′′ +       ′ ′′ − ′ ′ + ′ = ₂ ₃ 2 2 2 2 2 olur. dz du ve ₂ 2 dz u d

için elde edilen ifadeler, (1.1) hipergeometrik denkleminde yerlerine yazıldığında

(

) ( )

( )

(

)

[

]

(

)

( )

dx x d z z z z z z z f z z f dx x d z z f z z _

ψ

γ

α

β

ψ

        − ′ + + − + ′ ′′ − ′ ′ + ′ − 1 1 2 1 ₂ 2 2

( )( )

( )

(

)

[

]( )

(

)

( )

(

1

)

( )

0 1 1 2 2 2 =             − ′ − ′ − ′ + + − + ′ ′′ + x z z z z f z f z z z z z f z z f ψ αβ β α γ (1.4) bulunur. (1.4) denklemi düzenlenirse, 0< z<1 için,

(12)

( )

(

)

[

]

(

)

( )

dx x d z z z z z z z f z z f dx x d

ψ

γ

α

β

ψ

      − ′ + + − + ′ ′′ − ′ ′ + 1 1 2 2 2

( )( )

( )

(

)

[

]( )

(

)

( )

(

1

)

( )

0 1 1 2 2 2 =         − ′ − ′ − ′ + + − + ′ ′′ + x z z z z f z f z z z z z f z z f ψ αβ β α γ (1.5) elde edilir. (1.5) denklemi ile (1.2) denklemi karşılaştırıldığında, (1.2) denkleminde

( )

dx x dψ

’in katsayısı sıfır olduğundan, (1.5) denklemindeki

( )

dx

x dψ

’in katsayısı da sıfır olmalıdır. Buna göre,

( )

(

)

[

]

(

1

)

0 1 2 = − ′ + + − + ′ ′′ − ′ ′ z z z z z z z f z z f

γ

α

β

(1.6) olduğundan, (1.5) denklemi

( )

(

)

[

]

( )

(

)

( )

(

1

)

( )

0 1 1 2 2 2 2 2 =       − ′ − ′ − ′ + + − + ′ ′′ + x z z z z f z f z z z z z z f z f dx x d ψ αβ β α γ ψ _(1.7)

haline gelir. (1.6) denkleminin her iki yanının x’e göre integrali alındığında

( ) ( ) ( )

12 2

(

)

[ ( 1)]2 1 − + + − − ′ = z z γ z γ α β z f (1.8) elde edilir. Ayrıca (1.6)’dan

( )

(

)

(

z

)

f

( )

z z z z z z f       − + + − − ′ ′′ = ′ 1 1 2 1 2

β

α

γ

(1.9)

dir. (1.9) ifadesinin x’e göre türevi alındığında,

( )

(

) (

)

[

(

)

]

(

)

   − + + − − + − + + + ′ ′′ − ′ ′′′ = ′′ ₂ 2 4 2 1 1 2 1 1 1 2 z z z z z z z z z z z f α β γ α β

( )

(

)

(

)

( )

2 1 1 2 1 2 2 z f z z z z z             − + + − − ′ ′′ + γ α β (1.10)

bulunur. (1.7) denkleminde (1.9) ve (1.10) için bulunan ifadeler yerlerine yazılıp düzenlendiğinde,

( )

    +         ′ ′′ − ′ ′′ ′ + ₂ 2 2 2 2 3 2 1 z z z z dx x d ψ

(13)

(

) (

)

[

(

)

]

[

(

)

]

(

)

(

1

)

( )

0 4 1 4 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 =    ′ − − − + + − − + + − − + − + + x z z z z z z z z z z ψ αβ β α γ β α γ β α (1.11) olur. (1.11) denkleminde,

( )

2

z′ ’nin katsayısının payı

(

+ +1

) (

z1−z

)

+2

(

1−2z

)

[

−

(

+ +1

)

z

]

−

[

−

(

+ +1

)

z

]

−4 z

(

1−z

)

2α β γ α β γ α β 2 αβ

(

)

(

−

)

(

−

z

)

+

(

−

(

+

−

)

z

+

(

−

)

−

)

z

(

−

z

)

=

1 γ

1

2

1

1 α

β

γ

2

β

α

2

1

şeklinde düzenlenir ve      − = − + = − = α β µ γ β α λ γ λ 1 0 1 (1.12) alınarak

(

)

(

1 −

γ

−

1

2

)

(

1 −

z

)

+

(

1 −

(

α

+

β

−

γ

)

2

)

z

+

(

β

−

α

)

2

−

1 )

z

(

1 −

z

)

(

−

)

(

−z

)

+

(

−

) (

z+ −

)

z

(

−z

)

= 1 1 1 2 2 1 1 1 2 0 λ µ λ bulunur. Buna göre,

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 2 2 2 1 2 0 1 4 1 1 1 1 1 z z z z z z z I − − − + − + − − = λ λ µ (1.13) ve (1.11)’deki

( )

z

{ }

z x z z z z z z z z z , 2 3 2 3 2 2 =       ′ ′′ − ′′ ′′ ′ ′ ′′ = ′ ′′ − ′ ′′ ′ (1.14)

( )

x

z ’in x’e göre Schwartz türevi olmak üzere, (1.11) denkleminden

( )

_{{ }}

_{( )( )}

_{( )}

0 , 2 1 2 2 2 =     ′ + + z x I z z x dx x d

ψ

(1.15) veya

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

1

)

( )

0 4 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 =         ′ − − − + − + − − +         ′ ′′ − ′ ′′ ′ + z x z z z z z z z z z z dx x d ψ µ λ λ ψ

elde edilir( [4] ). Bu denklem, (1.2) Schrödinger denklemi ile karşılaştırıldığında,

{ } ( )( )

z,x I z z k 2mU

( )

x 2 1 2 2 − = ′ + (1.16)

(14)

olması gerektiği görülür. Böylece, (1.15) denklemi, bir Schrödinger denklemi olur.

{ }

z,x ifadesi, k2’den bağımsız olduğundan, I

( )

z ’deki λ ,0

λ

1 ve µ parametrelerinin

2

k ile lineer bağımlı olduğu kabul edilir.

     − = − − = − − = − 1 2 1 2 1 0 2 0 2 0 2 2 1 1 1 h k c h k c f ak λ λ µ (1.17) alındığında

( )

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

2 2 1 0 2 1 0 1 4 1 1 1 1 z z z h z h z fz k z c z c z az z I − − − − − + + − + − =

bulunur. Bu durumda, (1.16)’dan

{ }

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

z

)

( )

z k mU

( )

x z z h z h z fz k z z z z c z c z az x z 2 1 4 1 1 1 4 1 1 , 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 − = ′ − − − − − + ′ − + − + − +

olur. Bu denklemin sağlanması için, z= z

( )

x olmak üzere,

(i)

(

)

(

)

(

1

)

( )

1 4 1 1 2 2 2 1 0 _′ ₌ − + − + − z z z z c z c z az (1.18) (ii)

( )

{ }

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 1 0 1 4 1 1 , 2 1 2 z z z z h z h z fz x z x mU ′ − − − − − + = − (1.19)

olmalıdır. (1.18)’den yararlanılarak, (1.19)’daki potansiyel fonksiyonu için genel bir ifade elde edilebilir. Bunun için,

( )

z az

(

z

)

c

(

z

)

cz

R = −1 + 01− + 1 (1.20) veya b₀ =−a−c₀ +c₁ , b₁ =a−c₀+c₁ olmak üzere,

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

    = + − + − = + + = + − + − = 1 , 1 1 0 , 1 1 2 0 0 2 2 p c z b z a p c z b az c p z b p z a z R _p _p (1.21)

şeklinde tanımlanır. Bu ifade, (1.18)’de kullanıldığında,

( )( )

(

1

)

1 4 2 2 2 = − ′ z z z z R

olur. Buradan R

( )

z >0 olmak üzere,

( )

(

)

( )

z R z z z 2 2 2 4 1− = ′ (1.22) bulunur. Buradan elde edilen

(15)

(

)

( )

z R z z z′= − + 2 1 (1.23)

denkleminden, ∆ ≠0 veya ∆=0 için x, z ’ye bağlı olarak ifade edilebilir. Şöyle ki, (1.23) denkleminden,

( )

(

)

∫

= ₋ + dz z z z R dx 1 2 ⇒

∫

( )

∫

( )

− − = + dz z z R dz z z R x 1 2 (1.24) olur.

1. Durum : _∆_≠₀_{olsun. (1.24) ifadesi,}

( )

∫

       − + − − −         + − = + dz z c z c z R dz z c z c z R x 1 1 2 0 0 1 1 (1.25)

şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki birinci integralde

( )

0 0 2 c z b az z R = + + olmak üzere,

( )

z c z R t₀ = − 0 dönüşümü, ikinci integralde

( )

(

)

1

(

)

1 2 1 1 b z c z a z R = − + − + olmak üzere,

( )

1 1 1 − − = z c z R t dönüşümü kullanılır. p=0,1 için

( )

p z c z R t_p p − − = (1.26) ⇒t_p2

₍

z− p

₎

2 =R−2 R

_{( )}

z c_p +c_p

₍

₎

₍

₎

_{( )}

p p p p z p c R z c c b p z a − + − + − + = 2 2 ⇒

(

t2_p −a

)

₍

z− p

₎

2 =b_p

₍

z− p

₎

−2 c_p

(

R

_{( )}

z − c_p

)

(

)

₍

₎

p z t c b_p − _p _p − = 2 olduğundan a t t c b p z p p p p − − = − ₂2 (1.27)

(

)

(

)

p p p p p p p p dt a t t c b t a t c dz _       − − − − − = ⇒ ₂ 2 2 2 2 2

(16)

elde edilir.

Böylece (1.25)’deki birinci integral,

( )

dz z c z c z R

∫

       + − 0 0

(

)

(

)

∫

− − + − − = ₂ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 dt a t t b c a t dt t c b c c

olur. Buradaki birinci integral için

s t c

b0−2 0 0 = dönüşümü yapılır, ikinci integrale de

0 0 0 2a c b t w= − ,

(

)

∫

− = ₂ 2 0 0 0 2 dt a t t dv

şeklinde kısmi integrasyon uygulanırsa

( )

∫

− ₋ − − − − − =         + − 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 dt a t b a t t b c a s ds c dz z c z c z R

∫

− − − − − − = 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 ln dt a t b a t t b c a t c b c olur.

Diğer taraftan, (1.26)’da p=0 alınarak

( )

z c t z

R = 0 + 0

elde edilir. Buradaki z yerine, (1.27) ifadesinin p=0 için değeri, yazıldığında

( )

a t t b c a c z R − − − − = ₂ 0 0 0 0 0 2 ⇒ c R

_{( )}

z a t t b c a − − = − − 0 2 0 0 0 0 2

bulunur. Böylece (1.25)’deki birinci integral

( )

_∫

∫

_ = − + + − ₋       + − 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 ln dt a t b z R c t c b c dz z c z c z R olur.

Benzer şekilde (1.25)’deki ikinci integral de

( )

_∫

∫

_ = − + + − ₋       − + − − 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ln 1 1 z dz c b ct c R z b t adt c z c z R

(17)

olarak bulunur. Böylece, (1.24) denklemi

∫

− − − − ₋ − − + − = + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 ln 1 2 ln 2 dt a t b c t c b c dt a t b c t c b c x

haline gelir. Burada, c0 ve − c1 integral sabitleri olmak üzere

= + x2

∑

( )

∫

=         − − − − 1 0 2 2 ln 1 p p p p p p p p p a t dt b t c b c (1.28) elde edilir( [4] ). 2. Durum : _∆₌₀_olsun. 0 4 2₋ ₌ = ∆ bp acp ve bp =m2 a cp (p =0,1) olduğundan, b0=2 a c0 ,

( )

0 0 2 c z b az z R = + + için

( )

z az c0 R = +

olur. Benzer şekilde b₁=2 a c₁ ,

( )

(

)

1

(

)

1 2 1 1 b z c z a z R = − + − + için

( )

z a

(

z 1

)

c1 R = − +

bulunur. Buna göre, (1.24) denkleminde, eşitliğin sağ tarafındaki birinci integralde

( )

z az c0

R = + , ikinci integralde de R

( )

z = a

(

z−1

)

+ c1 değerleri kullanıldığında,

(

)

∫

+ −

∫

−₋ + = + dz z c z a dz z c z a x 1 1 2 0 1

∫

− − = dz z c dz z c 1 1 1 1 0 ⇒+2

₍

x−x0

₎

= c0 lnz − c1lnz−1 veya

(

)

∑

= − = − + 1 0 0 ln 2 p p z p c x x (1.29)

elde edilir( [4] ). Burada x₀ integral sabiti olarak alınmaktadır.

(1.22) ifadesinin, türevleri alındığında

(

)(

)

( )

(

)

( )

z R

( )

z R z z z R z z z z′′= − − − ₂− ′ 2 2 ₁ 2 2 1 1 4 ve

(18)

(

)

(

)

( )

(

)(

)

( )

   ′ − − − − − − ′ = ′′ ′ R z z R z z z z R z z z z z ₂ 2 2 1 1 2 1 2 2 1 4

(

)

( )

[

( )

]

(

)

( )

  ′′ − − ′ − + R z z R z z z R z R z z 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 bulunur. Ayrıca

( )

z 2az a c0 c1 R′ = − − + R′′

( )

z =2a ve R

( )

z ’nin diskriminantı

(

a c c

)

4cc bp 4acp 2 0 1 2 0 1− − = − − = ∆ , p=0,1

dir. Bunlar (1.14) ifadesinde yerlerine yazılıp düzenlendiğinde

{ }

( )

(

)(

)

(

)

( )

(

)

( )

z R z z z R z z z c c a a z R x z ₂ 2 2 0 1 1 4 5 1 1 2 1 , 2 1 −       _∆ − − − − + + + =

olur. Böylece (1.19)’dan, z=z

( )

x olmak üzere,

( )

(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

( )

(

)

( )

z R z z z R z z z c c a a z R z h z h z fz x mU ₂ 2 2 0 1 1 0 1 4 5 1 1 2 1 1 1 2 _ −      _∆ − − − − + + − + + − + − − = − veya

( )

(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

( )

(

)

( )

z R z z z R z z z c c a a z R z h z h z fz x mU ₂ 2 2 0 1 1 0 1 4 5 1 1 2 1 1 1 2 _ −      _∆ − − − − + + + + + − + − = (1.30) potansiyeli elde edilir. Bu, Natanzon potansiyelidir( [4] ).

1.3 Schrödinger Denkleminin Hipergeometrik Fonksiyona Bağlı Olan Çözümü

(1.3) dönüşümünden, Schrödinger denkleminin çözümü, z=z

( )

x olmak üzere,

( )

z

[

f

( )

z

]

u f u x = = −1 ψ

(19)

şeklinde yazılabilir. F

(

α

,

β

;

γ

;z

)

hipergeometrik fonksiyonu, hipergeometrik denklemin çözümü olduğundan u=F

(

α

,

β

;

γ

;z

)

alınır. f

( )

z fonksiyonu için elde edilen (1.8) ifadesinde, (1.12) bağıntıları kullanıldığında

( ) ( )

(

)

2 1 2 1 2 1 0 1 1 − + + − − ′ = λ λ z z z z f

olur. Böylece, Schrödinger denkleminin çözümü, hipergeometrik fonksiyona bağlı olarak, z=z

( )

x olmak üzere,

( ) ( )

x z z

(

1 z

)

2 F

(

, , ;z

)

1 2 1 2 1 0 1 γ β α ψ λ λ + ₊ − − ′ = (1.31) şeklinde elde edilir( [4] ).

1.4 Dalga Fonksiyonunun Normalizasyonu

( )

x ψ fonksiyonu,

( )

=

∫

∞

[

( )

]

2 =1 ∞ − x dx x ψ ψ (1.32) özelliğini sağlıyorsa bire normalize edilmiş olur( [2] ). ψ

( )

x fonksiyonunu, bire normalize etmek için önce (1.31) ifadesi, z=z

( )

x olmak üzere,

( ) ( ) ( )

x z z z

(

1 z

)

2 F

(

, ; ;z

)

1 2 1 1 2 1 0 1 γ β α ψ λ λ+ ₊ − − ′ ′ = şeklinde yazılır ve (1.23)’den

( )

(

z

)

z z R z − = ′ − 1 2 1

olduğu göz önüne alınarak

( )

x z

(

1 z

)

zR

( ) (

z F , ; ;z

)

2 1 2 1 2 1 1 0 γ β α ψ λ λ ′ − = − − bulunur.

Diğer taraftan Jacobi polinomları, hipergeometrik fonksiyonlara bağlı olarak

( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

     − + + + + − + + Γ + Γ = F n n a b a x n n x P_nab 1 2 1 ; 1 ; 1 , 1 1 ! , α α

(20)

şeklinde yazılabildiğinden ( )

₍

₎

(

)

(

n

)

F

(

n n z

)

n z P_n , 1; 1; 1 1 ! 2 1 0 1 0 0 0 ,1 0 ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ + + Γ + Γ = − λ λ λ λ λ λ λ

dir( [7] ). Bu ifadede

α

=−n

(

n₌0,1,2,K

)

olmak üzere, (1.12)’den

β

γ

β

α

γ

α

λ

+ + =− + − + + − + = + 0 1 1 1 1 n olur. Bu durumda ( )

₍

₎

( )

(

n

)

F

(

z

)

n z P_n 0,1 1 2 !

_α

,

_β

;

_γ

;

γ

λ λ + Γ Γ = −

olduğundan, hipergeometrik fonksiyon da Jacobi polinomlarına bağlı olarak

(

)

(

)

( )

₍

₎

z P n n z F n 1 2 ! ; ; , 0,1 ₋ Γ + Γ = λ λ γ γ γ β α

şeklinde ifade edilebilir. Böylece

ψ

_n

( )

x , z=z

( )

x olmak üzere,

( )

(

)

( ) (

)

( )

₍

_z

₎

P n n z R z z z x _n n 1 2 ! 1 2 1 0 1 ₀ ₁ , 2 1 2 1 − Γ + Γ ′ − = − − λ λ λ λ

γ

ψ

şeklinde yazılır( [5], [9] ). Jacobi polinomlarının

( )

_{( ) ( )}

_t _P( )

_{( )}

_t P_na,b − = −1n _nb,a özelliğinden

( )

( ) (

)

( )

(

)

( )

₍

₂ ₁

₎

1 ! 1 2 1 1 1 0 0 , 2 1 2 1 − ′ − Γ + Γ − = − − z P z R z z z n n x n _n n λ λ λ λ

γ

ψ

elde edilir( [8] ). n₌0,1,2,K için, Bn normalizasyon sabiti ve z=z

( )

x olmak üzere,

( )

(

₁

)

1

( )

(1 0)

₍

₂ ₁

₎

0 , 2 1 2 1 − ′ − = − − z P z R z z z B x _n _n n λ λ λ λ ψ olur( [4] ). Buna göre

( )

[

]

₂ ₂ ₁

(

)

₁

( )

[

( _, )

₍

₎

]

2 1 2 1 1 1 0 0 ₋ ′ ₋ =_B _z − _z − _z_R _z _P _z x _n _n n λ λ λ λ ψ dir. (1.20)’den

( )

z z

(

z

) (

(

c z

)

c z a

)

R = − − − + −1− 0 1 11 1 şeklinde yazılabildiğinden,

( )

[

]

(

)

(

) (

(

)

₁

)

[

( _, )

₍

₎

]

2 0 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 ₋ ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ = − − − − z P a z c z c z z dx dz z z B x _n _n n λ λ λ λ

ψ

ve buradan

(21)

( )

[

_x

]

_dx _B _z

(

_z

)

(

_c

(

_z

)

_c _z _a

)

[

_P( )

₍

_z

₎

]

_dz n n n 2 , 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ = λ λ − − λ λ

ψ

Bn

[

cz

(

z

)

c z

(

z

)

az

(

z

)

]

[

Pn( )

(

z

)

]

dz 2 , 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 ₋ ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ = λ λ− λ− λ λ λ λ λ olur. 0< z<1_için

( )

[

]

_∫

[

(

)

(

)

(

)

]

[

( )

₍

₎

]

∫

∞ = − − + − − − − − ∞ − 1 0 2 , 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 _z _c _z _z _az _z _P _z _dz z c B dx x _n _n n λ λ λ λ λ λ λ λ ψ dir. Burada, t z− 1= 2 dönüşümü yapıldığında,

( )

[

]

[

( )

₍

_{) (}

₎

( )

₍

_{) (}

₎

∫

∞ ₋ − + − − + − ∞ − = + − + + − 1 1 1 0 1 1 2 2 2 λ0 λ1 1 λ0 1 λ1 2 λ0 λ1 1 λ0 1 λ1 ψn x dx Bn c t t c t t ( )

₍

_{) (}

₎

]

[

( )

_{( )}

]

dt t P t t a _n , 2 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 λ λ λ λ λ λ − + − − + +

[

( )

]

( )

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

  ₊ ₋ =

∫

∞ − + ₋ − ∞ − 1 1 2 , 1 1 2 2_dx _B ₂ 0 1 _c ₁ _t 0 ₁ _t 1 _P 1 0 _t _dt x _n _n n λ λ λ λ λ λ ψ ( )

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

∫

₋ − + − ₊ ₋ + 1 1 2 , 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 λ λ c t λ t λ P_nλ λ t dt ( )

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

  − + −

∫

− + + − 1 1 2 , 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 λ λ a t λ t λ P_nλ λ t dt

elde edilir. Buradaki ikinci integralde t=−v dönüşümü yapıldığında

(

) (

)

[

( )

_{( )}

]

_∫

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

∫

₋ − − − − + − = − + 1 1 2 , 1 1 1 2 , 1 1 1 0 0 1 ₁ ₀ 0 ₁ ₁ ₁ 1 t λ t λ P_nλ λ t dt v λ v λ P_nλ λ v dv

(

) (

) ( )

( )

_{( )}

[

]

∫

₋ − − + − = 1 1 2 , 1 1 ₁ ₀ 0 ₁ ₁ 1 v λ v λ nP_nλ λ v dv

(

) (

)

( )

_{( )}

[

]

∫

₋ − + − = 1 1 2 , 1 1 ₁ ₀ 0 ₁ 1 v λ v λ P_nλ λ v dv olduğundan

[

( )

]

( )

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

  ₊ ₋ =

∫

∞ − + ₋ − ∞ − 1 1 2 , 1 1 2 2_dx _B 2 0 1 _c 1 _t 0 1 _t 1 _P ₁ ₀ _t _dt x n n n λ λ λ λ λ λ ψ ( )

_∫

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

− − + − + − + 1 1 2 , 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 λ λ c v λ v λ P_nλ λ v dv ( )

₍

_{) (}

₎

[

( )

_{( )}

]

  − + −

∫

− + + − 1 1 2 , 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 λ λ a t λ t λ P_nλ λ t dt olur. Jacobi polinomlarının

(

) (

)

[

( )

_{( )}

]

(

) (

)

(

1 2

) (

1

)

! 1 1 2 1 1 1 1 1 2 , + + + Γ + + + + + Γ + + Γ = + − + + −

∫

t t P t dt _n _a _b a n_n _ab_bn_n b a b a n b a

(22)

ve

(

) (

)

[

( )

_{( )}

]

(

) (

)

(

1

)

! 1 1 2 1 1 1 1 2 , 1 + + + Γ + + Γ + + Γ = + − + − −

∫

t t P t dt _n_aa _an _b _nb n b a b a n b a

şeklindeki ortogonallik özelliğinden, (1.32) bağıntısı

[

( )

]

( )

(

) (

)

(

)

   + + + Γ + + Γ + + Γ = + + − ∞ ∞ −

∫

2 2 _! 1 ₁ 1 0 1 1 0 1 1 2 2 ₀ ₁ 0 1 n n n n c B dx x n n λ λ λ λ λ ψ λ λ λ λ ( )

(

) (

)

(

1

)

! 1 1 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 + + + Γ + + Γ + + Γ + + + − n n n n c

λ

λ λ λ λ ( )

(

) (

)

(

) (

)

  + + + Γ + + + + + Γ + + Γ − + + + + − 1 2 1 ! 1 1 2 2 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 n n n n n a

λ

λ λ λ λ

olarak bulunur( [10] ). Bu ise

( )

[

]

(

)

(

) (

)

(

1

)

! 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 2 2 + + + Γ + + Γ + + Γ       + + + − + =

∫

₋∞_∞ _n x dx B_n c c a _n _n n _n n

λ

ψ

şeklinde yazılır. Diğer taraftan

µ=β −α , n+

λ

0 +

λ

1+1=

β

ve

α

=−n olduğuna göre, n n+ = + = − + +

λ

µ

α

µ

λ

0 1 1

(

λ

)

µ

λ

0 + 1+1+2n= 0 + 1+n+1 +n= dir. Bu durumda,

( )

[

]

(

) (

)

(

n

)

n n n a c c B dx x _n n − Γ + + Γ + + Γ       − + =

∫

₋∞_∞

ψ

_λ

_µ

λ

_µ

λ

! 1 1 1 0 0 0 1 1 2 2

olur. Böylece, (1.32) eşitliğinin sağlanması için

(

) (

)

(

)

2 1 1 0 0 0 1 1 ! 1 1 −       − Γ + + Γ + + Γ       − + = n n n n a c c B_n µ λ λ µ λ λ

(23)

1.5 Natanzon Potansiyelinin Özel Halleri

Natanzon potansiyelinin (1.30) genel denklemi, bu denklemdeki a ve c p

(

p=0,1

)

parametrelerinin özel değerleri için, Pöschl-Teller Potansiyeli,

Manning-Rosen Potansiyeli ve Manning-Rosen-Morse Potansiyeli’ne indirgenir. Bu potansiyeller sırasıyla incelendiğinde aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

(i) Pöschl-Teller Potansiyeli

(1.30) denkleminde, c1≠0, R

( )

z =c1z olsun. Bu durumda (1.20)’den

( )

(

0 1

)

0 1 0, 0 0 2 = = ⇒ = + + − − + =az a c c z c c z a c z R ve R

( )

(

)

(

)

2 1 2 1 0 1 2 0 1 c 4cc c c c a− − − = − = = ∆

olur. R

( )

z =c₁z için (1.22) ifadesi

(

)

1 1 2 c z z dx dz z′= = − (1.33) olur. Buradan elde edilen

(

)

∫

= −z dz c dx z ₁ 2 1 1

eşitliğinin sol tarafındaki integralde, önce z = , sonra t t=tanhv dönüşümü yapıldığında,

1

c x v=

olur. z=t2 =tanh2v olduğuna göre

        = 1 2 tanh c x z (1.34) elde edilir.

(24)

( )

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

      ₋ − − − + + + − + − = z z z z z z z h z h z fz c x mU 2 1 0 1 1 4 5 1 1 2 1 1 1 1 2 veya

( )

(

)

z z h z z h z f x U mc 4 3 2 1 4 3 1 1 2 1 0 + 1+ − + − + − =

olur. Burada (1.34) ifadesi kullanıldığında

( )

1 1 2 1 2 0 1 2 1 tanh tanh 1 1 tanh 2 h c x c x h c x f x U mc +                               − +         −         =         + −         + 1 2 1 2 tanh 4 3 2 1 tanh 4 3 c x c x                 + −                 + +         +         − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 sinh cosh 4 3 2 1 cosh sinh 4 3 sinh 1 cosh 1 c x c x c x c x h c x h c x f                 + + −         −         + +         +         − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 sinh sinh 1 4 3 2 1 cosh 1 cosh 4 3 sinh 1 cosh 1 c x c x c x c x h c x h c x f veya

( )

        + −         + + + = 1 2 1 2 0 1 1 cosh 4 3 sinh 4 3 1 2 c x f c x h h x U mc (1.35)

potansiyeli bulunur. Bu potansiyel, Pöschl-Teller Potansiyeli olarak adlandırılır( [4] ). (1.2) denkleminde potansiyel (1.35) şeklinde ise

ψ

( )

x ’in (1.31) ifadesi,

( )

_                                                       = − − + − 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 tanh ; ; , cosh tanh 2 1 0 c x F c x c x c x α β γ ψ λ λ (1.36)

(25)

şeklini alır. Böylece, Schrödinger denkleminin çözümü (1.36) formunda elde edilir.

(ii) Manning-Rosen Potansiyeli

(1.30) denkleminde, c1≠0,

( )

2 1z c z

R = olsun. Bu durumda (1.20)’den

( )

(

)

2 ₁, ₀ 0 1 0 1 0 2₊ ₋ ₋ ₊ ₊ ₌ _⇒ ₌ ₌ =az a c c z c cz a c c z R ve R

( )

(

)

4

(

)

2 0 1 1 0 1 2 0 1− − = − = − = ∆ a c c cc c c olur.

( )

2 1z c z R = _{için, (1.22) ifadesi}

(

)

1 1 2 c z dx dz z′= = − (1.37) olduğundan

∫

= −zdz c₁ dx 2 1 1 integrali hesaplandığında 1 1 2 2 1 c x c x e e z= − (1.38) elde edilir. (1.30)’da

( )

2 1z c z

R = , a=c₁ ve c₀ =0 alındığında, z=z

( )

x olmak üzere,

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

      ₋       − + + + + − + − = ₂ 2 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 z z z z z z z h z h z fz c x mU veya

( )

1 1 1 1 2 1 0 2 + 1 + − + − = z h z z h z z f x U mc

olur. Burada (1.38) ifadesi kullanıldığında,

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 + − +         ₋ − − + − − − = c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x e e h e e e e h e e e e f x U mc

(26)

(

₁

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 0 2 + − + − + − − = c x c x c x c x c x e e h e e h e f 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 0 2 2 +         + − + +         +         − − + − = c x c x c x c x e e h c x sh h e e f veya

( )

        +         − + + + = 1 2 0 1 1 1 1 sinh 4 1 coth 2 2 2 2 c x h c x f h h f x U mc (1.39)

potansiyeli bulunur. Bu potansiyel, Manning-Rosen Potansiyeli olarak adandırılır( [4] ). (1.2) denkleminde potansiyel (1.39) şeklinde ise ψ

( )

_       ₋               ₋         = + − 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 ; ; , 1 1 2 c x c x c x c x c x e e F e e e c x α β γ ψ λ λ (1.40)

şeklini alır. Böylece, Schrödinger denkleminin çözümü (1.40) formunda elde edilir.

(iii) Rosen-Morse Potansiyeli

(1.30) denkleminde, c1≠0, R

( )

z =c1 olsun. Bu durumda (1.20)’den

( )

(

0 1

)

0 1 0 1 2 ₀_, c c a c c z c c a az z R = + − − + + = ⇒ = = ve R

( )

(

)

4

(

)

4 4 4 2 0 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 2 0 1− − = − − − = − = − = ∆ a c c cc c c cc c c

olur. R

( )

z =c1 için (1.22) ifadesi

(

)

1 1 2 c z z dx dz z′= = − (1.41) olduğundan

(

)

∫

= −z dz c dx z ₁ 2 1 1 integrali hesaplandığında

(27)

1 1 2 2 1 x c c x e e z + = (1.42) elde edilir.

(1.30)’da R

( )

z =c1, a=0 ve c0 =c1 alındığında, z= z

( )

x olmak üzere,

( )

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 c z z z z z c c c z h z h z fz x mU − − − − + + + − + − = veya

( )

(

1

)

(

1

)

1 2mc1U x = fz z− +h0 −z +h1z+ olur. Burada (1.42) ifadesi kullanıldığında,

( )

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 1 + + +         + − +         − + + = c x c x c x c x c x c x c x c x e e h e e h e e e e f x U mc

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 2 2 2 + + + + + + − = c x c x c x c x c x e e h e h e e f 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 +         + − + +         + − − +         − = c x c x c x c x e e h e e h c x ch f tanh 1 2 2 cosh 4 1 1 0 1 1 0 1 2 +         − + + +         − = c x h h h h c x f veya

( )

        −         − + + + = 1 2 1 0 1 1 0 1 cosh 4 1 tanh 2 2 2 2 c x f c x h h h h x U mc (1.43)

potansiyeli bulunur. Bu potansiyel, Rosen-Morse Potansiyeli olarak adandırılır( [4] ). (1.2) denkleminde potansiyel (1.43) şeklinde ise ψ

( )

_       +       +         +         = − 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; , 1 1 1 2 c x c x c x c x c x e e F e e e c x α β γ ψ λ λ (1.44)

(28)

II. BÖLÜM

S-MATRİSİNİN BELİRTTİĞİ DÖNÜŞÜMÜN BULUNMASI

S-matrisi, 1937’de Amerikalı teorik fizikçi John Archibald Wheeler tarafından verilmiştir. Schrödinger denkleminin çözümü olan her ψ

( )

x fonksiyonu, ψ_i

( )

x ve

( )

x o

ψ şeklinde iki fonksiyonun lineer birleşimi biçiminde yazılabilir. Bu durumda,

( )

x o ψ fonksiyonu

( )

x S

( ) ( )

x _i x o ψ ψ = (2.1) şeklinde, ψ_i

( )

x fonksiyonunun bir katı olarak ifade edilebilir( [1] ). Bu ifadedeki S

( )

x fonksiyonuna karşılık gelen matrise S-matrisi(veya saçılma matrisi) denir( [1], [11], [12], [13] ).

( )

x i

ψ ve ψ_o

( )

x fonksiyonlarını belirlemek için, (1.31)’de elde edilen

ψ

( )

x

fonksiyonun tanımı ve bu tanımda yer alan hipergeometrik fonksiyonların özelliklerinden yararlanılır. Hipergeometrik fonksiyonların,

(

)

( ) (

)

(

) (

)

F

(

z

)

z F + − + − − Γ − Γ − − Γ Γ = , ; 1;1 ; ; , α β α β γ β γ α γ β α γ γ γ β α

( ) (

)

( ) ( )

Γ

(

−z

)

F

(

− − − − + −z

)

Γ − + Γ Γ + 1 − − γ α,γ β;γ α β 1;1 β α γ β α γ γ α β

şeklindeki özelliğinde,

λ

₁ =

α

+

β

−

γ

alındığında

(

)

( ) (

)

(

) (

)

F

(

z

)

z F + − − Γ − Γ − Γ Γ = , ;1 ;1 ; ; , 1 1 _α _β _λ β γ α γ λ γ γ β α

( ) ( )

Γ

(

−z

)

F

(

− − − −z

)

Γ Γ Γ + 1 − , ;1 1;1 1 1 λ β γ α γ β α λ γ λ

bulunur( [6] ). Bu ifade, ψ

( )

x ’in (1.31) ifadesinde yerine yazıldığında, z=z

( )

x olmak üzere,

( ) ( )

(

)

( ) (

)

(

) (

)

(

)

   − + − Γ − Γ − Γ Γ − ′ = + + − z F z z z x 1 , ;1 1;1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 λ β α β γ α γ λ γ ψ λ λ