DİFERANSİYEL DENKLEMLER

I. BÖLÜM

DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ

1.1 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması

Tanım 1.1.1: Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya diferansiyel denklem denir.

Tanım 1.1.2: Bir diferansiyel denklemde bağımsız değişken bir tane ise bu diferansiyel denkleme adi diferansiyel denklem denir.

Tanım 1.1.3: Bir veya daha çok bağımlı değişken, birden fazla bağımsız değişken ve bunların türevlerinden oluşan diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel denklem denir

.

Tanım 1.1.4: Bir diferansiyel denklemin en yüksek mertebeden türevi o diferansiyel denklemin mertebesini belirtir.

Tanım 1.15: Bir diferansiyel denklemin mertebesinin kuvvetine o diferansiyel denklemin derecesi denir.

Tanım 1.1.6: Bir diferansiyel denklemde bağımlı değişken ve türevleri 1.dereceden ve denklemi bağımlı değişken ve onların türevleri parantezinde yazdığımızda katsayılar yalnızca bağımsız değişkenlere bağlı ise bu denkleme lineer diferansiyel denklem denir.

Örneğin, dy xsinx

dx  diferansiyel denklemini sınıflandırırsak; bu denklemde y bağımlı x bağımsız değişken, adi diferansiyel denklem, 1.mertebe, 1.derece ve lineer diferansiyel denklemdir.

Bir diferansiyel denklem, F x y, ,dy dx

 

 

  =0 veya genel olarak F(

2 2 , , , ,..., n n dy d y d y x y dx dx dx ) şeklinde yazılır.  d ( )y dy dx  dx



2 2 ( ) d dy d y

dx dx  dx gösterim şekilleri de doğrudur.

Bu denklemlerin birincisi 1.mertebeden, ikincisi de 2.mertebeden birer diferansiyel denklemdir.

Bağımlı değişkenin tek olması halinde genellikle bağımsız değişkeni x ile bağımlı değişkeni de y ile gösterilir.

Örneğin, 1) dy

dx burada y bağımlı, x bağımsız değişkendir

2) ln y  y xy x burada y bağımlı x bağımsız değişkendir.

Adi diferansiyel denklemlerde y’nin x’e göre türevleri değişik şekillerde gösterilir. Örneğin, y’nin x’e göre,

Birinci türevi ; dy y D', d dy Dy dx  dx dx İkinci türevi; 2 2 2 2 '', 2 d y d d y y D D y dx   dx dx  Üçüncü türevi; 3 3 3 3 ''', 3 d y d d y y D D y dx  dx  dx  şeklinde yazılır. Örneğin, adi diferansiyel denklemlere birkaç örnek verelim.

 2 2 2 0 d y w y dx    dy _{y x e}2 2 x dx   3 2 2 3 2 1 5 4 2 x d y d y dy y e dx dx  dx  

Örneğin, kısmi diferansiyel denklemlere birkaç örnek verelim.  2 2 2 2 2 2 0 u u u x y z  _ _ _    , u(x,y,z,)=0  2 2 2 2 2 1 y y x c t  _    , y(x,t)=0  2 2 2 0 u u x x y  _  _    , u(x,y)=0

1.2 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

n.mertebeden bir adi lineer diferansiyel denklem verilmiş olsun.Yani; F( 2 2 , , , ,..., n n dy d y d y x y dx dx dx ) =0 (1) Herhangi bir y=f(x) fonksiyonunu göz önüne alalım.bu fonksiyon x’in bir I aralığında tarif edilmiş bir reel fonksiyon olsun,ve bütün x I değerleri için bu fonksiyonun n.mertebeden ve daha düşük mertebeden türevleri (1)’de yerine yazılırsa;



, ( ), ( ), ( ),..., ( )n ( )



0

F x f x f x f x  f x  (2)

ise y=f(x) fonksiyonuna (1) numaralı denklemin çözümü denir. Çözümlerin analitik, grafik ve nümerik çözümler olarak gruplandırılır.

Örnek 1: Bütün reel değerleri için tarif edilmiş olan y=f(x) 2

2 2 x x    fonksiyonu aşağıda verilen dy _{y x}2 dx   diferansiyel denklemin çözümüdür. Açıklama: dy y f x( ) 2x 2 dx      ve y 2 _{2 2} x x    ifadelerinden dy y 2x 2 x2 2x 2 dx      2 x   olur.

Bir diferansiyel denklemin çözümü ister y=f(x) şeklinde, ister g(x,y)=0 şeklinde bir kapalı fonksiyonla verilsin. Bu fonksiyonun grafiğine diferansiyel denklemin çözüm eğrisi denir.

Örnek 2: dy x

dx  diferansiyel denklemin çözüm eğrisini(eğri ailesini) elde ediniz

Çözüm:dy x dy xdx dx  







2 2 x y c    Örnek 3: 2 2 12 0 d y dy y dx dx  diferansiyel denklemin çözümünün 4 3 1 2 x x y c e c e olduğu bilindiğine göre 2 2 12 0 d y dy y

dx dx  , y(0)=1, y(0) 2 başlangıç değer problemini çözünüz.

Çözüm: y(0)c e1 0c e2 0   1 c1 c2 1 (1) _{y }4_{c e}4x_3_{c e}3x

0 0

1 2 1 2

(0) 4 3 2 4 3 2

y  c e  c e   c  c  (2) (1) ve (2) denklemleri çözülecek olursa 1 2

5 2

,

7 7

c  c  elde edilir. Bu değerler yerine

yazılırsa 5 4 2 3 7 7 x x y_ e _ e olur Örnek 4: 2 2 0 d y y

dx   denkleminin çözümü y c 1sinx c 2cosx olduğuna göre 2 2 0 d y y dx   , y(0)=1, y 2 1    _{ } 

  başlangıç değer problemini çözünüz. Çözüm: y(0) 1 c1sin 0c2cos 0 1 c2 1 veya 1cos 2sin 1 2 1 2 2 2 y _{ } c  c    c    y c 1sinxcosx sin x c2 1

y c 1sinxcosx elde edilir. Burada c1’in herhangi bir sayı olabileceğini görüyoruz.

1.3 Keyfi Sabitlerin Elimine Edilmesi

Birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklem f x y y( , , ) 0 ve çözümü g x y c( , , ) 0 olsun. Burada c sıfır dahil pozitif ve negatif bütün reel değerleri alabilir.

Çözümü verilen bir diferansiyel denklemi bulmak için; çözüm fonksiyonundaki keyfi sabitler elimine edilir.

NOT: Diferansiyel denklemler kurulurken fonksiyonun içerdiği keyfi sabit sayısı kadar türev alınarak keyfi sabitler elimine edilir.

Örnek 5: y=(c+sinx)2 _{fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul} eden diferansiyel denklemi bulunuz.

Çözüm: 2( sin ) cos 2( sin ) cos

cos cos y c x x y c x x x x       

sin 2cos y c x x    2 2 2 (2cos ) 2cos y y y x y x    _ _{ }     2 2 4(cos ) 0

y  x y olur. Bu denklem lineer değildir.

Örnek 6: 2 3

1 2

x x

y c e c e diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: 1 2 2 3 x x y c e c e (1) 2 1 2 3 2 3 x x y  c e  c e (2) 4 1 2 9 2 3 x x y_{ } c e _ c e (3) birinci denklemi 3 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak

3 5 1 2

x

y  y c e (4)

denklemini elde ederiz. Şimdi de 2. denklemi üç ile çarpıp 3.denklemle taraf tarafa toplarsak 2 2 1 1 10 3 3 5 2 2 2 x x c e y y y y c e   _{ }   _ (5) denklemini elde ederiz. Görüldüğü gibi (4) ve (5) in sağ taraf ları birbirine eşittir dolayısıyla

3 3

2

y y

y  y   bulunur ve buradan da y y 6y0 lineer denklemi elde edilir. Örnek 7: _{(x c )}2_y2 _c2 _{diferansiyel denklemini elde ediniz.}

Çözüm: 2(x c ) 2yy   0 x c yy0

c  x yy elde edilir. Bu c değerini verilen denklemde yerine yazarsak  _{(x x yy  )}2_y2 _{  ( x yy)}2

 _(yy)2_y2 _{(x yy )}2  2 2 2 2 2 2

2

y y y x y y  xyy

 _{2xyy y}2_x2 _{0 diferansiyel denklemi elde edilir}

Örnek 8: _{y x }3_ex _{fonksiyonunu kullanarak y   y x 1diferansiyel denklemini elde}

ediniz.

Çözüm: 3 x

y x  e (1)

_{y  }1 3_ex ₍₂₎

y   y x 1 diferansiyel denklemi elde edilir.

Örnek 8.1: _y



_c2 _{x2 2}



1 _{fonksiyonunu kullanarak} yy  x 0_{diferansiyel denklemini elde} ediniz. Çözüm: _y



_c2_{x2 2}



1 ₍₁₎





1 2 2 ₂ 1 ( 2 ) 2 y  c x   x (2) denklemleri taraf tarafa çarpılırsa

yy  x 0 diferansiyel denklemi elde edilir. Örnek 8.2: _{y x} 2_c

fonksiyonunu kullanarak y 2xdiferansiyel denklemini elde ediniz. Çözüm: y 2x elde edilir.

Örnek 9: xy c 0 fonksiyonunu kullanarak y x y  0diferansiyel denklemini elde ediniz. Çözüm: y c y c 1₂ x  x     y xy 1₂ x   

y x y  0 denklemi elde edilir. Örnek 10: _x3_3xy2 _0

fonksiyonunu kullanarak _x2_y2_{2xyy0}

diferansiyel denklemini kurunuz. Çözüm: 2 2 3x 3y 3 2x yy0 2 2 3(x y 2xyy) 0 2 2 _{2 0} x y  xyy

Örnek 11: y c 1cosx c 2sinx fonksiyonunu kullanarak y  y 0 diferansiyel denklemini elde ediniz.

Çözüm: y c 1cosx c 2sinx (1)

y  c1sinx c 2cosx (2) y  c1cosx c 2sinx (3) (1) ve (3) denklemleri taraf tarafa toplanırsay  y 0 denklemi elde edilir.

Örnek 12: 1 2 2 2

x x

y c e c e fonksiyonunu kullanarak y 4y0 diferansiyel denklemini elde ediniz.

Çözüm: 2 2 1 2 x x y c e c e (1) 2 1 2 2 2 2 x x y  c e  c e (2) 4 1 2 4 2 2 x x y_{ } c e _ c e (3)

denklemleri elde edilir.(1) ile (3) birlikte düşünülüp çözülürse y 4y0 diferansiyel denklemi elde edilir.

Örnek 13: 1 2

x

y c e c eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: 1 x dy c e dx  ve 2 1 2 x d y c e

dx  elde edilir. Bundan sonra iki denklemi taraf tarafa çıkarırız.

2

2 0

d y dy

dx dx  denklemi elde edilir.

Örnek 14: y c 1sin(2x c 2) eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.

Çözüm: y c 1sin(2x c 2) (1)

y c1cos(2x c 2) 2 (2) y  c1sin(2x c 2) 4 (3) denklemleri elde edilir. (1) ve (3) üncü denklemler birlikte çözülürse y 4y0 denklemi elde edilir.

Örnek 15 (Ödev): 1 2 2 2 3 2

x x x

y c e_{ }c xe _c e

eğri ailesinin diferansiyel denkleminin

2 4 8 0

y y y y olduğunu gösteriniz.

Örnek 16: y B sin(wt) fonksiyonunu kullanarak 2 2 2 0 d y w y dt   diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: y B sin(wt) (1) y Bcos(wt)w (2) _{y  Bsin(wt)w}2 ₍₃₎ denklemleri elde edilir. y B sin(wt) ifadesi (3) de yerine yazılırsa olursa

2 2

2 0

d y w y

dt   denklemi elde edilir. Örnek 17: _x3_{3x y c}2 _

fonksiyonunu kullanarak x2 dy 2xy x2

dx  diferansiyel denklemini bulunuz.

Çözüm: _3x2 _{(6xy3x y}2 _{) 0 3x}2_{6xy3x y}2 _0  _x2_{2xy x y} 2 _0

 x2 dy 2xy x2

dx  diferansiyel denklemi elde edilir. Örnek 18: _{x y cx}2 _{ 1}

fonksiyonunu kullanarak _{x y}3 _{ x y}2 _{ 1 0}

diferansiyel denklemini bulunuz.

Çözüm: 2

2xy x y c bulunur. Bu c değeri verilen denklemde yerine yazılacak olursa _{(2xy x y x} 2 _{)  1 x y}2

_{2x y x y}2 _ 3 _{ 1 x y}2 olur. Bu ifadede düzenlenirse_{x y}3 _{ x y}2 _{ 1 0}

denklemi elde edilir. Örnek 19: 1 2

x

y c x c e   fonksiyonunu kullanarak y x y  y x y  0diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: 1 2 x y c x c e   (1) 1 2 x y  c c e (2) 2 x y_{ }c e (3)

denklemleri elde edilir. (2) ve (3) den y y c1 bulunur. Aynı mantıkla (1) ve (2) den 1( 1)

y  y c x elde edilir. Son elde edilen denklemlerde c1 yerine yazılırsa

( )( 1)

y y yy x   y x y  y x y  0 denklemi elde edilir.

Örnek 20: 2 2

1 2

x x

y c e c xe fonksiyonunu kullanarak y4y4y0diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: 2 2 1 2 x x y c e c xe (1) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x y  c e  c xe  c e (2) 4 1 2 4 2 2 4 2 2 x x x y  c e  c xe  c e (3)

denklemleri elde edilir. (1) ve (2) birlikte düşünülürse 2

2

2 x

y  y c e (4)

denklemi elde edilir. Şimdi de (2) ve (3) birlikte düşünülürse 2

2 2_{y y} 2_{c e} x

   (5)

elde edilir. Son olarakta (4) ve (5) birlikte düşünülürse y4y4y0 diferansiyel denklemi elde edilir.

II. BÖLÜM

BİRİNCİ MERTEBEDEN ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

II.1 Tam Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden bir adi lineer diferansiyel denklem G x y y( , , ) 0 veya dy F x y( , ) dx  veya M x y dx N x y dy( , )  ( , ) 0 ( ) şeklindedir. ( , ) ( , ) F M x y x F N x y y    _          M 2F y y x  _     ve 2 N F x x y  _     elde edilir. M N y x  _

  şartı sağlanırsa ( ) denklemi tam diferansiyel denklemdir denir.Ve bir genel çözümü vardır.

Örnek 21: _{(2x+e )}y _{dx xe dy} y _{0 diferansiyel denklemini çözünüz.}

Çözüm: y y y M(x,y)=2x+e e ( , ) e M N dy dx N x y x  _{ }       _ elde edilir. M N y x  _

  olduğundan tam diferansiyel denklemdir. F x y( , )



M x y dx( , ) ( )y 2 ( , ) (2 y) ( ) y ( ) F x y x e dx  y x xe  y  

_

     ( ) ( ) ( , ) y y F d y d y xe N x y xe y dy dy          

( ) y y d y xe xe dy     0 0 dy d y( ) ( )y c      2 0 1 ( , ) y F x y x xe c c      2 2 1 0 y y x xe c c x xe c        bulunur. Örnek 22: _{3 (x xy2)dx(x}3_{2 )y dy0} diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 3 M(x,y)=3x(xy-2) 3 ( , ) 2 M N x dy dy N x y x y _  _{ } 

  _ olduğundan tam diferansiyel denklemdir. ( , ) ( , ) ( ) F x y 

_

N x y dy x =

_

(x32 )y dy( )x x y y3  2( )x ( , ) ( , ) F x y M x y x  _  = 2 2 ( ) 3x y 6x 3x y d x 6xdx d x( ) dx  _     

_



_

 2 0 3x c ( )x    3 2 2 0 1 ( , ) 3 F x y x y y x c c       3 2 ₃ 2 x y y x c     olur. Örnek 23: 2 2 2 3 2 0 y y x dx dy x xy       _{ }    

    y(-1)=1 ,diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 M(x,y)= 1 2 2 ( , ) y y x x x _{M N} dy x dx y x y x N x y xy xy y x    _{  }      _{ } _{  }     _ _{ }  _   

olduğundan tam diferansiyel

denklemdir. F x y( , )



M x y dx( , ) ( )y 3₂ y₂ dx ( )y x x     _  _   



3 3 ( ) ( ) y y y y x x  x         ( , ) ( , ) F x y N x y y  _  2 2 2 y x xy   =1 d y( ) x dy  2 2 ( ) dy d y y      0 2 ( )y c y  _{  y(-1)=1 olduğundan}

3 2 3 2 4 4 1 1 y y c c x y            elde edilir. Örnek 24: 2 ( cos 2 y) (sin y 2) 0 y x xe dx x x e  dy diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 M(x,y)= cos 2 cos 2 ( , ) sin 2 y y y y x xe M N x xe dy dx N x y x x e   _{ }  _{  } 

  _{ } olduğundan verilen denklem tam diferansiyel denklemdir. F x y( , )



M x y dx( , ) ( )y dir.

_ ( cos_{y x}2_{xe dx}y) _( )_{y  y}sin_{x x e} 2 y_( )_y



F sinx x e2 y d y( ) N x y( , ) sinx x e2 y d y( ) y dy dy             sinx x e2 y 2 sinx x e2 y d y( ) dy        d y( ) 2 dy    



2dy



d y( )2y c 0 ( )y ( , ) sin 2 2 0 1 sin 2 2 0 y y F x y  y x x e  y c  c y x x e  y c _{ysinx x e} 2 y_{2y c} bulunur. Örnek 25: _(2x3_xy2_{2y3)dx(2x x y dy} 2 _{) 0} diferansiyel denklemini çözünüz Çözüm: 3 2 2

M(x,y)= 2x +xy +2y+3

2 2 ( , ) 2 M N xy dy dx N x y x x y            _ ( , ) ( , ) ( ) F x y 



M x y dx y =



(2x3xy22y3)dx( )y = 4 2 2 2 3 ( ) 2 2 x x y xy x  y     2 ₂ ( ) _{( , )} 2 ₂ ( ) F d y d y x y x N x y x y x y dy dy             0 ( ) 0 ( ) d y y c dy  _     4 2 2 2 3 2 2 x x y xy x c       4 2 2 2 3 2 2 x x y xy x c       (c1 c0 c). Örnek 26: 1 2 2 x x

y c e c e x eğri ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz. Çözüm:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 x x x x x x y c e c e x y c e c e y c e c e          _     _ 2 2 1 x y y   c e  x ve 2 2 3 x y y   c e x denklemleri elde edilir. 2 2 1 x y y   c e  x 2 2 1 x y y x c e       2 2 3 x y y   c e x 2 2 3 x y y x c e       elde edilir. Bu eşitliklerin sağ tarafları eşit olduğundan

3 2 2 3

y y y x

     bulunur

Örnek 27: _{(2x16 )xy dx(8x}2_{30 )y dy}2 _{0 diferansiyel denklemini çözünüz.} Çözüm: 2 2 M(x,y)= 2x+16xy 16 ( , ) 8 30 M N x dy dx N x y x y       

  _ olduğundan denklem tam diferansiyel denklemdir. ( , ) ( , ) ( ) F x y 

_

M x y dx y _{ (2x+16xy)dx ( )y x}2_{8x y}2 _{ ( )y}



  F 8x2 d y( ) 8x2 30y2 8x2 d y( ) y dy dy             30



y dy2 



d y( ) c0 10y3( )y 2 2 3 2 2 3 0 ( , ) 8 10 8 10 F x y x  x y y  c x  x y y c Örnek 28: 2 3 3 5

x y x y c olan fonksiyonun 1. Mertebeden diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: _2xy3_{3x y y}2 2 _{3x y}2 5_{5x y y}3 4 _0 2 2 3 4 2 5 3 (3 5 ) 3 2 0 y x y  x y  x y  xy  Örnek 29: 2

2xydx(x 1)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 M(x,y)= 2xy 2 ( , ) ( 1) M N x dy dx N x y x _ _{ } 

 _{ } olduğundan tam diferansiyel denklemdir. ( , ) ( , ) ( ) (2 ) ( ) F x y 



M x y dx y 



xy dx y 2 ( ) x y  y   2 2 2 0 ( ) ( ) 1 ( ) F d y d y x x x y y c y dy dy   _             

2 2 0 ( , )

F x y x y y c  x y y c  bulunur. Örnek 30: 2 2

x y cy olan fonksiyonun 1. Mertebeden diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: 2 2 2x 2yy cy c x y y        2x(2y c y ) 0 _{2x (2y} x2 y2_{)y 0 2xy (2y}2 _x2 _{y y}2_{) ) 0} y  _{ }          2 2 2x (2y x y )y 0 y  _     2 2 2 2xy (2y x y y) ) 0      2 2 2xy (y x )dy 0 dx     2 2 2xydx (y x dy) 0     bulunur. Örnek 31: 2x x

yAe Be c fonksiyonunu kullanarak y3y2y0diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm: dy 2 2x x Ae Be dx   , 2 2 2 4 x x d y Ae Be dx   , 3 2 3 8 x x d y Ae Be dx   olur.  3 2 2 3 2 4 x d y d y Ae dx  dx  , 2 2 2 x d y dy Ae dx dx  3 2 2 3 2 2( 2 ) d y d y d y dy dx dx  dx dx 3 2 0 y y y

    diferansiyel denklemi elde edilir.

Örnek 32: 2 2

1 2

x x

y c e_{ }c e _{eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.} Çözüm: 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4 4 x x x x y c e c e y c e c e     _ 

   _ elde edilir ve ikinci denklemi -4 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak

4 0

y  y diferansiyel denklemi elde edilir.

Örnek 33: Merkezi x ekseni üzerinde değişen, r yarıçapı sabit olan çember ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.

Çözüm: Nokta (a,0) olur.

2 2 2

(x a ) y r

2(x a ) 2yy0 2x2a2yy0 2x2yy2a  a x xy

2 2 2 (x x xy  ) y r

2_{( )}2 2 2

x y y r diferansiyel denklemi elde edilir. Örnek 34: _(2x3_{3 )y dx(3x y 1)dy0} diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 3 M(x,y)= 2x +3y 3 ( , ) 3 1 M N dy dx N x y x y _ _{ } 

 _{  } olduğundan tam diferansiyeldir. 3 ( , ) ( , ) ( ) (2 3 ) ( ) F x y 



M x y dx y 



x  y dx y = 4 3 ( ) 2 x xy  y   ( ) 3 3 1 F d y x x y y dy           d y( ) y 1 d y( ) (y 1)dy dy  _{     }





 2 0 ( ) 2 y y y c     4 2 0 1 ( , ) 3 2 2 x y F x y   xy   y c c 4 3 2 2 2 x y xy y c      , (c1 c0 c) olur. Örnek 35: _{(cos sinx x xy dx y} 2_{)  (1x dy}2_{) 0}

diferansiyel denklemini y(0)=2 başlangıç koşulu altında çözünüz. Çözüm: 2 2 M(x,y)= cosxsinx-xy 2 ( , ) (1 ) M N xy dy dx N x y y x         

  _ olduğundan tam diferansiyeldir. 2 ( , ) ( , ) ( ) (1 ) ( ) F x y 



N x y dy x 



y x dy x 2 2 (1 ) ( ) 2 y x  x    2 ( ) _{cos sin} 2 F d x x y x x xy x dx         

 d x( ) cos sinx x d x( ) cos sinx xdx dx  _{   }





sin cos x u xdx du   

 _ değişken dönüşümleri yapılırsa  udu



= 2 2 u

2 0 1 ( ) sin 2 x x c     2 2 2 0 1 1 ( , ) (1 ) sin 2 2 y F x y  x  x c c 2 2 1 2 (1 ) sin 2 2 y x x c     (c1c0)c elde edilir. 1 (0) 2 2 0 2 2 y       c c 2 2 1 2 (1 ) sin 2 2 2 y x x     bulunur.

Örnek 36: (x y 1)dx  (x y 3)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: M(x,y)= x+y+1 1 ( , ) 3 M N N x y x y dy dx _  _{ } 

    olduğundan tam diferansiyeldir.

( , ) ( , ) ( ) ( 1) ( ) F x y 



M x y dx y 



x y  dx y 2 ( ) 2 x yx x  y     ( ) 3 F d y x x y y dy          ( ) ( 3) d y   y dy





( ) 2 3 0 2 y y y c       2 2 0 1 ( , ) 3 2 2 x y F x y  yx x   y c  c (c1c0)c alınacak olursa; 2 2 3 2 2 x y yx x y c       bulunur. Örnek 37: _{xy 2xe}x_{ y 6x}2

diferansiyel denkleminin tam diferansiyel olduğunu gösteriniz ve çözümünü bulunuz. Çözüm: 2 2_xex _y 6_x y x      2 (2 x 6 ) ( ) 0 xe  y x dx x dy x 2 M(x,y)= 2xe 6 1 ( , ) y x M N dy dx N x y x          

  _ olduğundan tam diferansiyeldir.

 2

( , ) ( , ) ( ) (2 x 6 ) ( )

I

2 x I 

_

xe dx 2_xx u 2dx du_x e dx dv e v           dönüşümleri yapılırsa 2 x 2 x I  xe 



e dx=2 (_{e x}x _1) 3 ( , ) 2 x( 1) 2 ( ) F x y  xe x xy x  y ( ) F d y x x y dy          0 ( ) 0 ( ) d y y c dy  _{  } 3 0 1 ( , ) 2 x( 1) 2 F x y  xe x xy x  c c 3 2_{xe x}x( 1) _xy 2_{x c}      , (c1c0)c elde edilir. Örnek 38: 2 1 2 y dx y dy 0 x x  _  _ _  _         diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 y M(x,y)= 2+ 1 x 1 ( , ) M N dy x dx N x y y x   _{ }         

olduğundan tam diferansiyeldir.

1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) F x y N x y dy x y dy x x        _  _   





= 2 ( ) 2 y y x x    2 2 ( ) 2 F y d x y x x dx x         



d x( )



2dx ( ) 2x  x c 0 2 0 1 ( , ) 2 2 y y F x y x c c x      2 2 2 y y x c x     , (c1c0)c bulunur. Örnek 39: _(x2_{y dy) (2xy3 )x dx}2 _0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 M(x,y)=2 3 2 ( , ) xy x M N x dy dy N x y x y   _{ }  _{ } 

  _ olduğundan tam diferansiyeldir. ( , ) ( , ) ( )

F x y 

_

M x y dx y =

_

(2xy3 )x dx2 ( )y

2 ( ) 2 F d y x x y y dy         2 0 ( ) ( ) 2 y d y  ydy y  c





2 2 3 0 1 ( , ) 2 y F x y x y x   c c 2 2 3 2 y x y x c     , (c1c0)c olur. Örnek 40: _2xydx(x2_1)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 M(x,y)= 2xy 2 ( , ) 1 M N x dy dx N x y x _ _{ }  

 _{ } olduğundan tam diferansiyeldir.

( , ) ( , ) ( ) 2 ( ) F x y 

_

M x y dx y 

_

xydx y =_{x y}2 _{( )y} 2 ( ) 2 ₁ F d y x x y dy         



d  



dy  ( )y   y c0 2 0 1 ( , ) F x y x y y c  c _{x y y c}2 _{  ,} 1 0 (c c )c elde edilir. Örnek 41: _{(3x y dx}2 _{) (x}3_5)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz Çözüm: 2 2 3 M(x,y)= 3x y 3 ( , ) 5 M N x dy dx N x y x        

 _{ } olduğundan tam diferansiyeldir. 2 ( , ) ( , ) ( ) (3 ) ( ) F x y 

_

M x y dx y 

_

x y dx y _{x y}3 _{( )y} 3 ( ) 3 ₅ F d y x x y dy         



d y( )



5dy 0 ( ) 5y y c    3 0 1 ( , ) 5 F x y x y y c c 3 5 x y y c    , (c₁c₀)c olur. Örnek 42: 2 sin 2

yAx Bx C  x A,B,C yi keyfi sabit kabul ederek eğri ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.

2 _{sin 2} 2 2cos 2 2 0 0 4sin 2 0 8cos 2 8cos 2 y Ax Bx C x y Ax B x y A x y x y x                   2.Yol: 4sin 2 2 y x A   , y(y4sin 2 )x x B 2 cos 2x



4sin 2



2cos 2 B y _ y x x_ x





2 ( 4sin 2 )

( 4sin 2 ) 2cos 2 sin 2 2 y x y   x _ y y  x x  x_c x elde edilir. Örnek 43: _{2yy x x y ( } 2_{) ( x}2_{y x}2 _{) 0} diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2yxdy(x y2) (x2 y x2 ) 0 dx     2 2 2ydy(x y ) (x y ) 0 dx     2 2 (x y dx ) 2 (y x y dy ) 0 haline dönüşür. 2 3 M(x,y)= (x-y ) 2 ( , ) 2 2 M N y dy dx N x y yx y  _{ }      

   _ olduğundan tam diferansiyeldir. 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) F x y 

_

M x y dx y 

_

x y dx  y 2 2 ( , ) ( ) 2 x F x y  y x y 3 ( ) 2 2 2 F d y yx yx y y dy           3 4 0 1 ( ) 2 ( ) 2 d y   y dy y   y c







 2 2 4 0 1 1 ( , ) 2 2 x F x y  y x y  c c 2 2 1 4 2 2 x y x y c     , (c1c0)c olur. Örnek 44: ( ) 1 3 2 3 x x

y x c e c e ve y(0)=2, y(0) 1 ise başlangıç değer problemini bulunuz. Çözüm: ( ) 3 1 3 3 2 3 x x y x_{ } c e _ c e 1 2 (0) 1 1 3 3 y    c  c 1 2 1 2 3 7 5 (0) 2 , 2 6 6 y      c c c c 

3 3 7 5 6 6 x x y e  e bulunur. Örnek 45: (2 xy) (2 xy) 0 ye dx y xe dy     diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: xy M(x,y)= 2+ye ( , ) (2 ) xy xy xy M N e xye dy dx N x y y xe  _{ }      

   _ olduğundan tam diferansiyeldir. ( , ) ( , ) ( ) (2 xy) ( ) F x y 



M x y dx y 



ye dx y ( , ) 2 xy ( ) F x y x e  y     ( , ) ( ) 2 xy xy F x y d y xe xe y y dy         2 0 ( ) 2 ( ) d y y y y c dy  _        2 0 1 ( , ) 2 xy F x y  x e y c c 2 2 xy x e y c     , (c1c0)c olur.

Örnek 46: _(6xy2_{3 )x dx}2 _{(6x y}2 _3y2_{7)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz.} Çözüm: 2 2 2 2 M(x,y)= 6xy 3 12 ( , ) 6 3 7 x M N xy dy dx N x y x y y   _{ } _{ }  

  _{ } olduğundan tam diferansiyeldir

2 2 ( , ) ( , ) ( ) (6 3 ) ( ) F x y 

_

M x y dx y 

_

xy  x dx y 2 2 3 3x y x ( )y    2 ( ) 2 2 6 6 3 7 F d y x y x y y y dy   _{    }  2 ( ) (3 7) d y y dy 

_



_

 3 0 ( )y y 7y c     2 3 3 0 1 ( , ) 3 7 F x y  x y x y  y c c 2 3 3 3x y x y 7y c      , (c1c0)c bulunur. Örnek 47: (2_{ye dx}xy) _(2_{y xe dy} xy) _0

diferansiyel denkleminin tam olduğunu gösteriniz. Çözüm: M(x,y)=2 ( , ) (2 ) xy xy xy xy ye M N e xye dy dy N x y y xe   _{ } _{  } 

0

Mdx Ndy  Diferansiyel denklemi verilsin. My Nx ise denklem tam diferansiyel

değildir. O zaman bir integral çarpanı bulup denklemi tam diferansiyele dönüştürmemiz gereklidir. ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx y x g y dy x y M N f x e N N M g y e M  _     _   _{ }      

şeklinde  integral çarpanı bulunur. MdxNdy0

şeklinde diferansiyel denklem çarpılır ve My Nx olduğunda tam diferansiyel denklem

haline dönüşür .Buradan daF x y( , )

_

M x y dx( , ) ( )y ile işleme devam edilir. Örnek 48: (x y dx dy )  0 diferansiyel denklemini çözünüz.

Çözüm: M(x,y)= x-y 1, 0 ( , ) 1 M N M N N x y dy dx dy dx            

   olduğundan tam diferansiyel değildir. 1 0 ( ) ( ) 1 1 y x M N f x f x N  _{ }      ( ) 1 f x dx dx _x e e e

       integral çarpanı bulunur.

( ) 0 x x e x y dx e dy     M(x,y)= e (x-y) ( , ) x x x M N e dy dx N x y e  _{ }      

  _ olduğundan tam hale dönüşmüş oldu. ( , ) ( , ) ( ) F x y 



N x y dy x ( _{e dy}x) _( )_{x e y}x _( )_x  

_

    ( ) x x x F d x e y e x ye x dx   _{    }  ( ) x x d x e x d xe dx dx  _{   }





, x u_x dx du_x e dx dv e v     

  _{ } değişken dönüşümleri yapılacak olursa

0 ( ) x x x x xe e dx  x xe e c  



    0 1 ( , ) x x x F x y  e y xe  e c c ( 1) x e x y c     , (c1c0)c olur.

Örnek 49: ydx (3 3x y dy ) 0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm:

M(x,y)= y 1, 3 ( , ) (3 3 ) M N M N N x y x y dy dx dy dx           

  _{ } olduğundan tam değildir.

3 1 2 ( ) Nx My g y M y y  _    olur. 2 2 ( ) dy _{2ln ln 2} g y dy _{y y y} e e e e y   

      olarak integral çarpanı bulunur.

3 2_{(3 3 ) 0} y dx y  x y dy  haline dönüşür. 3 2 2 M(x,y)= y 3 ( , ) (3 3 ) M N y dy dx N x y y x y        

  _{ } olduğundan tam diferansiyel denklemdir.

3 3 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) F x y 

_

M x y dx y 

_

y dx y  y x y 2 ( ) 2 2 3 3 3 3 F d y xy xy y y y dy   _{    }  4 2 3 3 0 ( ) (3 ) ( ) 4 y d y  y y dy y  y  c





4 3 3 0 1 ( , ) 4 y F x y xy y   c c 4 3 3 4 y xy y c     , (c1c0)c bulunur.

Örnek 50: _(3x2_{ y 3x y dx xdy}3 _{)  0 diferansiyel denklemini çözünüz.} Çözüm: 2 3 3 M(x,y)= 3 3 1 3 , 1 ( , ) x y x y M N M N x dy dx dy dx N x y x              

 _ olduğundan tam diferansiyel

değildir. 3 2 1 3 1 ( ) My Nx x ( ) 3 f x f x x N x        2 ₃ ( ) 3 f x dx x dx _x e e e

       olarak integral çarpanı bulunur.

3 _{2 3} 3 (3 3 ) 0 x x e x  y x y dx e xdy  olur. 3 3 3 3 2 3 3 M(x,y)= (3 3 ) 3 ( , ) x x x x e x y x y M N x e e dy dx N x y e x    _{ } _{  } 

 _ olduğundan tam diferansiyele

dönüşmüş olur. F x y( , )



N x y dy( , ) ( )x

3 3

(_{e x dy}x ) _( )_{x e xy}x _( )_x

3 ₃ 3 ( ) ₂ 3 3 3 ₃ 3 3 3 x x x x x F d x e y x e y x e e y e yx x dx          3 ₂ ( ) 3 x d x e x dx  _ 3 ₂ ( ) 3 x d x e x dx 







, _x3_{ u 3x dx du}2 _{ dönüşümü yapılırsa} 3 0 0 ( ) u u x e du e c e c  x



3 3 0 1 ( , ) x x F x y e xy e  c c 3 3 x x e xy e c    , (c1c0)c olur.

Örnek 51: _y x2



 1



y dx_ (2xy1)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz Çözüm:





2 M(x,y)= 1 2 2 1, 2 ( , ) (2 1) y x y _{M N M N} xy y y dy dx dy dx N x y xy           _{       }   _ olduğundan tam diferansiyel değildir. 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 1 y x M N xy y y f x f x N xy           ise ( ) 1 f x dx dx _x e e e        olarak bulunur. Denklemi integral çarpanı ile çarpanı ile çarparsak





2 _{1 (2 1) 0} x x e y x_  y dx e_  xy dy şekline dönüşür.





2 M(x,y)= 1 2 2 ( , ) (2 1) x x x x x e y x y _{M N} e xy e y e dy dx N x y e xy     _{  }  _{     }   _ tam hale dönüşür. ( , ) ( , ) ( ) F x y 

_

M x y dx y _{ (e xy}x 2_{e y}x 2 _{e y dx}x _{) ( )y}



2 _{( )} x x e xy e y  y    olur. ( ) 2 x x 2 x x F d y xye e xye e y dy   _{    }  0 ( ) 0 ( ) d y y c dy  _     2 0 1 ( , ) x x F x y  y e x e y c  c 2 x x y e x e y c    , (c1c0)c. Örnek 52: 2 2

(x y x dx xydy)  0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 M(x,y)= (x +y +x) 2 , ( , ) M N M N y y dy dx dy dx N x y xy _ _  _{ } _ 

 _ olduğundan tam değildir.

2 1 1 ( ) My Nx y y ( ) f x f x N xy x x       

1

( ) dx _ln

f x dx _{x x}

e e e x

        integral çarpanı bulunur.

3 2 2 2 (x xy x dx x ydy)  0 haline dönüşür. 3 2 2 2 M(x,y)= 2 ( , ) x xy x M N yx dy dx N x y x y    _{ } _{ } 

 _ olduğundan tam hale dönüştü. 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 x y F x y 



N x y dy x 



x ydy x   x 2 ( ) 3 2 2 F d x xy x xy x x dx         4 3 3 2 0 ( ) ( ) ( ) 4 3 d x x x x x dx x c dx  _{     }



2 2 4 3 0 1 ( , ) 2 4 3 x y x x F x y     c c 2 2 4 3 2 4 3 x y x x c     , (c1c0)c bulunur. Örnek 53: _2xydx(y2_x2 _2)dy0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 M(x,y)= 2xy 2 , 2 ( , ) ( 2) M N M N x x dy dx dy dx N x y y x _ _  _{  } _ 

  _{ } olduğundan tam diferansiyel

değildir. 2 2 2 ( ) 2 x y N M _{x x} g y M xy y   

    olur ve integral çarpanı;

2 2 ( ) dy _{2ln ln 2} g y dy _{y y y} e e e e y    _  _       olarak bulunur. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2xydx (y x 2)dy 0 xdx (1 x )dy 0 y  y     y  y  y  2 2 2 2 2 M(x,y)= 2 2 ( , ) 1 x y _{M x N} dy y dx x N x y y y   _{ }           

olduğundan tam hale dönüşmüş oldu.

2 ( , ) ( , ) ( ) 2x ( ) x ( ) F x y M x y dx y dx y y y y    

_

 

_

   bulunur. 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 F x d y x y y dy y y   _{     } 

0 2 2 2 ( ) (1 ) ( ) d y dy y y c y y       





2 0 1 2 ( , ) x F x y y c c y y      x2 y 2 c y y     , (c1c0)c olur. Örnek 54: _{(2x y}3 2_2xy2_{4x y xy}2 _ 4 _{2 )y dx(2y}3_{2x y}2 _{2 )x dy0 diferansiyel} denklemini çözünüz. Çözüm: 3 2 2 2 4 3 2 3 3 2 M(x,y)= 2 2 4 2 4 4 4 4 2, 4 2 ( , ) 2 2 2 x y xy x y xy y M N M N x y xy x xy xy dy dx dy dx N x y y x y x      _{ } _{    }  _{  } _     _

olduğundan tam diferansiyel değildir.

3 2 3 3 2 4 4 4 4 2 4 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 y x M N _{x y xy x xy xy} f x x f x x N y x y x               olur. 2 ( ) 2 f x dx xdx _x e e e

       bulunur. Denklem integral çarpanı ile çarpılacak olursa

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 (2 x 2 x 4 x x 2 x ) (2 x 2 x 2 x ) 0 x y e  xy e  x ye xy e  ye dx y e  x ye  xe dy olur. 2 2 2 2 2 3 2 3 4 x 4 x 4 x 4 x 2 x M N x ye xye x e xy e e dy dx  _{     } 

olur ve tam hale dönüşür.

2 2 2 3 2 ( , ) ( , ) ( ) (2 x 2 x 2 x ) ( ) F x y 



N x y dy x 



y e  x ye  xe dy x 2 2 2 4 2 2 2 ( ) 2 x x x y e y x e xye  x     bulunur. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x ₂ 2 x ₂ 3 2 x ₂ x ₄ 2 x ( ) ₂ 3 2 x ₂ 2 x ₄ 2 x 4 x ₂ x F d x y xe y xe x y e ye x ye x y e y xe x ye y xe ye x dx   _{          }  0 ( ) 0 ( ) d x x c dx  _{  } 2 2 2 4 2 2 ( , ) 2 2 x x x y F x y  e y x e  xye  olur.c Örnek 55: _{(2xy e}4 y_2xy3_{y dx) (x y e}2 4 y_{x y}2 2_{3 )x dy0} diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 4 3 3 4 2 4 2 2 4 2 2 M(x,y)= 2 2 8 2 6 1, 2 2 3 ( , ) 3 y y y y y xy e xy y M N M N xy e xy e xy xy e xy dy dx dy dx N x y x y e x y x    _{ } _{   }  _{   } _     _{ }

4 2 3 4 2 4 3 2 2 3 (8 2 6 1) 4 ( ) 2 2 y y y x y y N M xy e xy xy e xy e xy g y M xy e xy y y              olur ve integral çarpanı 4 4 ( ) dy _{4ln ln 4} g y dy _{y y y} e e e e y     _  _      olarak bulunur. 1 3 2 2 2 4 (2_xey_2_xy _y )_dx(_{x e}y_{x y} _3_xy )_dy0 1 3 2 4 2 2 2 4 M(x,y)=2 2 2 2 3 ( , ) 3 y y y xe xy y M N xe xy y dy dx N x y x e x y xy          _{ }  _{   }      _ tam hale dönüşür. 1 3 2 2 1 3 ( , ) ( , ) ( ) (2 y 2 ) ( ) y ( ) F x y 



M x y dx y 



xe  xy y dx y x e x y xy  y 2 2 2 4 ( ) 2 2 2 4 3 3 y y F d y x e x y xy x e x y xy y dy               0 ( ) 0 ( ) d y y c dy  _{  } 2 2 1 3 ( , ) y F x y _x e _x y _xy _c

2.3 Değişkenlerine Ayrılabilen Diferansiyel Denklemler

F x G y dx( ) ( )  f x g y dy( ) ( ) 0 () denklemi verilmiş olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F x G y f x g y dx dy f x G y  f x G y  ,  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) B y A x F x g y dx dy A x dx B y dy f x G y      

 şekline dönüşebiliyorsa () denklemine değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem denir.

Örnek 56: dy x dx y   _{diferansiyel denklemini çözünüz.} Çözüm: dy x ydy xdx dx y      2 2 0 2 2 y x ydy xdx   c





olur.

Örnek 57: ydx xdy 0 diferansiyel denklemi çözünüz.

Çözüm: 0 0 ln ln ln 0

dx dy

ydx xdy x y c

x y

0 0 lnc ln x c x y y    0 1 y x y cx c    _bulunur. Örnek 58: ₍₁ 2 1/ 2₎ dy x dx  y x diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: ydy_ x(1_x2)1/ 2dx





2 2 2 ₁ y x dx x  



ve burada da _{1 x} 2 _u2_{ 2xdx2udu değişken dönüşümü yapılırsa}

2 2 0 2 2 y y du u c  

_

    2 2 0 1 2 y x c      _{ c y}2_{2 1x}2 Örnek 59: _{x y( 1)}2_dx(x2_{1)ye dy}y _0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 0 1 ( 1) y x ye dx dy x   y 







.Burada da birinci integral için _x2_{  1 u 2xdx du} değişken dönüşümleri yapılırsa

0 1 2 1 y du e c u  y 



şekline dönüşür. 0 1 ln 2 1 y e u c y     2 1 1 ln ln( 1) 2 1 2 1 y y e e c u c x y y         olur. Örnek 60: _(3x8)(y2_{4)dx4 (y x}2_{5x6)dy0} diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: 2 2 (3 8) 4 0 ( 5 6) ( 4) x y dx dy x x y  _{ }   





birinci ve ikinci integraller için aşağıdaki dönüşümleri yaparsak; 3 8 ( 3)( 2) 3 2 3 8 ( 2) ( 3) 1, 2 x A B x x x x x A x B x A B  _{ }            2 _{4 2}

y   u ydy du olur. Buradan da; ln(x 3) 2ln(x 2) 2lnulnc

2 2 2 ( 3)( 2) ln ln ( 4) x x c y   _  2 2 2 ( 3)( 2) ( 4) x x c y      elde edilir. 2.4 Homojen Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden bir lineer adi diferansiyel denklemin dy f x y( , )

dx  şeklinde verildiğini

biliyoruz. Eğer x y veya

y

x ‘in bir g fonksiyonu bulunabilirse yani; ( , ) dy y f x y g dx x    _{  }

  ise o zaman f x y( , ) fonksiyonuna homojen fonksiyon, denkleme de homojen diferansiyel denklem denir. Çözüm için y vx alınır.

Örnek 61: 2 2 dy x y dx xy   diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir.

2 2 2 2 dy x y dy x y dx xy dx xy xy      x y y x   y vx _{alınacak olursa} d vx( ) x vx dx vx x 1 dvx vdx v dx v  _{  olur ve buradan da} 1 xdv v v dx    v dx vdv x 







2 ln 2 v x c 2 2 ln 2 y c x x   Örnek 62: 2 2

(3x y dx) 2xydy0 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir;

2 2 3 2 x y dy xy dx  _ 3 2 2 x y dy y x dx , y vx dönüşümü yapılırsa 3 ( ) 2 2 x vx d vx vx x  dx 3 1 2 2 v dvx vdx v dx    