TÜREVİN UYGULAMALARI 03

(1)

(2)

(3)

(4)

Soru:

f(x)=x

2

-2x fonksiyonunun artan veya

azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x  f’(x)= 2x-2 2x-2=0  x=1 olur. f’(x) f(x) - 1 + - ₊ azalan artan

(5)

Soru: 

R-{-2} için, f(x)=

nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?

Çözüm : 2 x 1 mx  

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır. f’(x)>0 f’(x)= = =₍_x ₂₎2 ) 1 mx .( 1 ) 2 x .( m     2 ) 2 x ( 1 mx m 2 mx     2 ) 2 x ( 1 m 2   Buradan; 0 ) 2 x ( 1 m 2 2   

_

0 1 m 2  



2 1 m  _bulunur.

(6)

Soru :

Y=f(x)

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

(7)

Çözüm

:

a) [-3,-1) aralığında,

Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,

(8)

Soru :

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe bakarak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x) y

(9)

Çözüm

:

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0 _{olduğundan,f(x) bu aralıkta} artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0

x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıkta

artan’dır. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Y=f’ (x) y x

(10)

B.Maksimum Ve

Minimum

Değerlerin

Bulunması:

(11)

Soru :

f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel

minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:

f’(x)= 3x2-6x = 0  x₁= 0 ve x₂= 2 x₁= 0  f(0)= 1 x₂_{= 2  f(2)= -3} f’(x) f(x) - 0 2 + 0 0 1 -3 + - +

Cözüm:

(12)

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x)

y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini

görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve

yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

+ - + -f’(x) f(x) -4 5 - +

(13)

-C. İkinci Türevin

Geometrik

(14)

Soru :

f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav

olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm

:

=

Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

f’(x)=3x2+2x-2 f’’(x)=6x+2 0 x= -1/3 f’’(x) f(x) -  -1/3 + - +

(15)

1. f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve

konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm

:

f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x

İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0 6x(2x+1) = 0

6x=0 x1= 0

(16)

x f’’(x)

f(x)

- -1/2 0 + 

+

konveks konkav konveks

Dönüm

noktası Dönüm noktası

(17)

-2. f: RR, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm

:

f’(x)=4(x-2)3 _ve f’’(x)= 12(x-2)2 12(x-2)2=0  x 1=x2=2 x f’’(x) f(x) -  2 + 

+

konveks konveks ?

(18)

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x₀)=0 olması, x₀ noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

(19)

1. 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x    

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 0 0 belirsizliği var 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 2x 3 7 x 2 lim 2 x    = 2.2 3 7 2 . 2   = ₁3  3

(20)

2. x x x 1 1 lim 0  

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x x 1 1 lim 0    = 0 0 belirsizliği var x x x 1 1 lim 0    = xlim0 1 2 1  x 1 = 2 1 1 lim 0   x x = ₂ ₀1_ ₁ = ₂1

(21)

3. x x π x sin cos 1 lim 

Çözüm

:

x x π x sin cos 1 lim   0 0 belirsizliği var = x x π x sin cos 1 lim   = _{x }lim_π - sinx cosx π π cos sin  = _0₁ = 0

(22)

4. x e x x x cos ) 1 ln( lim   

Çözüm

:

x e x x x cos ) 1 ln( lim     =



belirsizliği var   xlim = x e x x x cos ) 1 ln( lim     1 1  x ex - sinx 0



0

(23)

5. ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x

x  limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  =



belirsizliği var ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  = xlim0 cosx/sinx 2cos2x/sin2x 0 lim  x cosx/sinx 2cos2x/sin2x = Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx

(24)

Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos2x 0 lim  x 2cos2x.sinx = 2.cos(2.0) 0 cos . 2 2 = 2. 1 2. 1 = 1

(25)

6. _x

lim

__

_x

1 

e

x limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x

x



e

1 lim

= 0 



x x

x



e

1 lim

₌ x x

x

e

 

lim

= _   x

lim

= x x

x

e

 

lim

ex 1 = e  1 =



1 = 

(26)

7.

 

_x x

x

2

sin

.

lim



Çözüm

:

 

_x x

x

2

sin

.

lim

  =





x

1 )

2 sin(

lim

  =

0

  x

lim

=

x

1 )

2 sin(

lim

  =

x

2 cos

2





2

1 x



x 

lim



2 .

cos(

2 /

x

)

=

2

(27)

8.       _   x x x ln 1 1 1 lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 =



-



      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 = _          ln ( 1) 1 ln lim 1 x x x x x =