Kesirli Fourier B¨olge Arade˘gerlemenin Do˘grusal Cebirsel Analizi
Linear Algebraic Analysis of Fractional Fourier Domain Interpolation
Figen S. ¨
Oktem, Haldun M. ¨
Ozaktas¸
Elektrik ve Elektronik M¨uhendisli˘gi B¨ol¨um¨u
Bilkent ¨
Universitesi, TR-06800, Ankara
{
sevinc,haldun}@ee.bilkent.edu.tr¨
Ozetc¸e
Bu c¸alıs¸mada, kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨un¨u ic¸eren bazı sinyal arade˘gerleme problemleri ic¸in yeni bir do˘grusal cebirsel yaklas¸ım sunuyoruz. Bu problemler dalga yayılımı konusunda ortaya c¸ıkmakla birlikte, bunlar ic¸in ¨onerilen yaklas¸ım bas¸ka
alanlara da uygulanabilir. Kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨un¨u
ic¸eren sinyal arade˘gerleme problemini, katlanabilir hata dahilinde verilen sinyal de˘gerlerinden bilinmeyen de˘gerleri belirleme problemi olarak g¨or¨uyoruz. Problemi do˘grusal sistem denklemleri ile formule ediyoruz ve kararsızlık oranını verilen noktalardaki artık bilgi miktarının ¨olc¸¨us¨u olarak kullanıyoruz. Benzetim ¨ornekleri ile kararsızlık oranının bilinen nokta sayısı ve diziliminden nasıl etkilendi˘gini inceleyerek, verilen noktalar arasındaki artıklık ve bilgi ilis¸kilerini aras¸tırmayı amac¸lıyoruz.
Abstract
In this work, we present a novel linear algebraic approach to certain signal interpolation problems involving the fractional Fourier transform. These problems arise in wave propagation, but the proposed approach to these can also be applicable
to other areas. We see this interpolation problem as the
problem of determining the unknown signal values from the
given samples within some tolerable error. We formulate
the problem as a linear system of equations and use the condition number as a measure of redundant information in given samples. By analyzing the effect of the number of known samples and their distributions on the condition number with simulation examples, we aim to investigate the redundancy and information relations between the given data.
1. Giris¸
Kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨un¨u ic¸eren sinyal arade˘gerleme problemlerinde, kesirli Fourier b¨olgelerinde da˘gınık olarak verilen bilgiler kullanılarak bilinmeyen sinyal de˘gerlerini bulmak amac¸lanmaktadır. Bu problemlerin optik, akustik, elektromanyetik ve bas¸ka birc¸ok dalga yayılım problemlerinde uygulamaları bulunmaktadır. C¸ ¨unk¨u dalganın yayılımı, kesir de˘gerinin yayılım uzaklı˘gına ba˘glı olarak arttı˘gı s¨urekli bir kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u olarak modellenebilir [1]. Dalga ilerledikc¸e, ¨once fonksiyonun kendisi, sonra kesir de˘gerinin s¨urekli olarak arttı˘gı kesirli Fourier d¨on¨us¸¨umleri ve en son uzak alanda Fourier d¨on¨us¸¨um¨u g¨ozlemlenir. Yayılım y¨on¨undeki
¨olc¸¨um y¨uzeyleri, kesirli Fourier b¨olgeleridir. Bu nedenle, bu c¸alıs¸mada ele alınan problem, kısmi ¨olc¸¨umleri birden c¸ok y¨uzeyde yapılan dalganın geri c¸atılmasına kars¸ılık gelmektedir. Bu problemlerle birc¸ok durumda kars¸ılas¸ılabilir. Orne˘gin,¨ ¨olc¸¨um istenilen uzamsal c¸¨oz¨un¨url¨ukte yapılamazsa yada co˘grafi engeller gibi nedenlerle bir y¨uzeyde belli bir aralıkta ¨olc¸¨um alınamazsa, bu kısıtlamalar altında birden c¸ok y¨uzeyde ¨olc¸¨um alınarak, ¨olc¸¨um yapılamayan noktalardaki bilgiler bulunabilir.
Bazı ¨ozel amac¸lı algoritmalar bu problemlere ¨onceden uygulanmıs¸ olmakla beraber, c¸ok fazla kuramsal ilerleme gerc¸ekles¸memis¸tir. Probleme kesirli Fourier b¨olge ba˘glamında sayısal bir c¸¨oz¨um [2]’de verilerek, dıs¸b¨ukey k¨umelere izd¨us¸¨um methodunu kullanan d¨ong¨ul¨u bir algoritma ¨uretilmis¸tir. Da˘gınık olarak verilen bilgilerden kırılım alanının hesaplanmasına optik ba˘glamda sayısal bir yaklas¸ım [3]’de sunulmus¸tur. Kaynak [4] ise probleme bilis¸im kuramı bakıs¸ ac¸ısıyla yaklas¸mıs¸tır.
Bu bildiride amacımız, ara de˘gerleri bulunmak istenen sinyalden ba˘gımsız olarak, bu problemlere do˘grusal cebirsel bir yaklas¸ım gelis¸tirmektir. Bu yaklas¸ımla katlanabilir hata dahilinde bilinmeyen sinyal de˘gerlerini bulmak ic¸in ne kadar veriye ihtiyac¸ oldu˘gunu aras¸tırmakta ve da˘gınık olarak verilen bilgiler arasındaki artıklık ve bilgi ilis¸kilerini incelemekteyiz.
2. Problem Tanımı
Fourier d¨on¨us¸¨um¨un¨un bir genellemesi olan a kesir de˘gerli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u, α = aπ/2 iken s¸u s¸ekilde tanımlanır [5]:
fa(u) ≡ (Faf)(u) ≡
Ka(u, u)f(u)du, (1)
Ka(u, u) ≡√1 − i cot α eiπ(cot α u2−2 csc α uu+cot α u2).
Kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um is¸leci Fa parametresi a’ya g¨ore toplanabilir: Fa2Fa1 = Fa2+a1; a = 0 ve a = 1 iken
sırasıyla ¨ozdes¸lik ve Fourier d¨on¨us¸¨um¨u is¸lec¸lerine indirgenir. Bir fonksiyonun a kesir de˘gerli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u, a kesir de˘gerli Fourier b¨olgesinde yer alır. Kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u, bu d¨on¨us¸¨um¨un hesaplanması ve optikle ba˘glantısı ¨uzerine genis¸ kapsamlı c¸alıs¸malar yapılmıs¸tır [5–7]. Kesirli Fourier b¨olge sinyal arade˘gerleme problemlerinde sistem matrisi olarak ayrık kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u matrisi Fa[7] kullanılabilir.
Bu c¸alıs¸mada, sinyalin kesirli Fourier b¨olgelerinde verilen noktaları kullanılarak bilinmeyen de˘gerlerinin bulunması ic¸in, problem do˘grusal sistem denklemleriyle formule edilmektedir. Bunun ic¸in, N es¸ aralıklı noktalardan olus¸an iki tane kesirli
Fourier b¨olgesi ele alınmaktadır. Bu iki b¨olgedeki sinyaller arasındaki ilis¸ki g = Faf s¸eklinde g¨osterilebilir. Burada f = [f(0), ..., f(N − 1)]T ve g= [g(0), ..., g(N − 1)]T, sırasıyla
a1ve a2kesir de˘gerli Fourier b¨olgelerindeki f ve g sinyallerini
temsil eden N elemanlı vekt¨orleri, Faise a= a2− a1olacak
s¸ekilde N x N ’lik sistem matrisini temsil etmektedir.
Diyelim ki, a1 ve a2 kesir de˘gerli Fourier b¨olgelerinde
sırasıyla m1 ve m2 noktada sinyallerin de˘geri bilinsin.
Bilinen nokta dizinlerinin sırasıyla k = [k1, ..., km1]T ve
n = [n1, ..., nm2]T vekt¨orlerinin elemanlarını olus¸turmasıyla,
f(k) = [f(k1), ..., f(km1)]Tve g(n) = [g(n1), ..., g(nm2)]T
vekt¨orleri f ve g’nin bilinen nokta de˘gerlerini ic¸ermektedir. Benzer s¸ekilde, sinyal de˘gerinin bilinmedi˘gi dizinlerin ¯k ve ¯n vekt¨orlerinin ic¸ine konulmasıyla, f(¯k) ve g(¯n) vekt¨orleri de bilinmeyen nokta de˘gerlerini temsil etmektedir.
Fa’nın n
1,...,nm2 satırlarının ve k1,...,km1 s¨utunlarının
sec¸ilmesiyle olus¸turulan m2 x m1’lik Fa(n, k) altmatrisi ile aynı satırlarının ve di˘ger s¨utunlarının sec¸ilmesiyle olus¸turulan
m2x(N − m1)’lik Fa(n, ¯k) altmatrisi kullanılarak, g(n) =
Fa(n, ¯k)f(¯k) + Fa(n, k)f(k) olarak ifade edilebilir. g =
g(n) − Fa(n, k)f(k) s¸eklinde tanımlandı˘gında, problemin
c¸¨oz¨um¨u ic¸in gerekli olan do˘grusal sistem denklemi
g= Fa(n, ¯k)f(¯k) (2) olarak elde edilir. f ’in bilinmeyen nokta de˘gerlerini ic¸eren
f(¯k)’nın bulunması ic¸in (2)’nin c¸¨oz¨ulmesi gerekmektedir.
Benzer s¸ekilde, g’nin bilinmeyen de˘gerlerini ic¸eren g(¯n)’nin bulunması ic¸in gerekli olan do˘grusal sistem denklemi f =
f(k) − F−a(k, n)g(n) iken s¸u s¸ekilde ifade edilebilir:
f= F−a(k, ¯n)g(¯n) (3)
Sinyali bir b¨olgede tamamen bilmek, di˘ger b¨olgede bilmeye es¸de˘ger oldu˘gu ic¸in, ya f sinyalinin N− m1ya da g sinyalinin
N−m2bilinmeyen nokta de˘gerini bulmak yeterli olacaktır. Bu c¸alıs¸mada, bilinen nokta sayısı en fazla olan b¨olge, sinyalin ilk as¸amada bulunmak istendi˘gi b¨olge olarak sec¸ilmektedir.
3. Problemin Do˘grusal Cebirsel Analizi
Bu c¸alıs¸mada, bilinen noktalar arasındaki artıklık ve bilgi ilis¸kilerini incelemek ic¸in, (2) veya (3) kullanarak bulunabilecek problem c¸¨oz¨um¨un¨un do˘grulu˘gu aras¸tırılmaktadır. Bilindi˘gi gibi, e˘ger Fa(n, ¯k) veya F−a(k, ¯n) matrislerinin do˘grusal ba˘gımlı s¨utunları varsa, bilinmeyen sinyal de˘gerlerinin sonsuz sayıda c¸¨oz¨um¨u vardır. E˘ger matrislerin s¨utunları do˘grusal ba˘gımsız ise, sistemin tek bir c¸¨oz¨um¨u olmakla birlikte, c¸¨oz¨um¨un do˘grulu˘gu problemin ne kadar k¨ot¨u konumlanmıs¸ oldu˘guna ba˘glıdır.
Bu bildiride, k¨ot¨u konumlanmıs¸lı˘gın ¨olc¸¨us¨u olarak kararsızlık oranı kullanılmakta ve Fa(n, ¯k) veya
F−a(k, ¯n)’nın kararsızlık oranlarının verilen nokta
da˘gılımlarından nasıl etkilendi˘gi incelenmektedir. Kararsızlık oranı, Ax = b formundaki do˘grusal denklemin c¸¨oz¨um¨u olan
x’in ne kadar hatalı oldu˘gu hakkında bir sınır verir ve A
veya b’deki de˘gis¸ikliklerin c¸¨oz¨um¨u ne kadar de˘gis¸tirece˘gini ¨olc¸er [8]. Bu c¸alıs¸mada, matrisin en b¨uy¨uk tekil de˘gerinin, en k¨uc¸¨u˘g¨une oranı olan 2-norm kararsızlık oranı kullanılmaktadır. Bir matrisin kararsızlık oranı s¨utunlarının do˘grusal ba˘gımlı olmaya yakınlı˘gını g¨osterir, bu nedenle kare matrisler ic¸in
tekil olmaya yakınlı˘gın bir ¨olc¸¨us¨ud¨ur. Herhangibir matris ic¸in, bu oran 1’e es¸it yada 1’den b¨uy¨ukt¨ur. De˘geri 1’e yakın olan kararsızlık oranı iyi konumlanmıs¸ bir matrisi g¨osterir ve c¸¨oz¨umdeki belirsizli˘gin az oldu˘guna is¸aret eder [8].
Kararsızlık oranı verilen noktalar arasındaki artık bilgi miktarının bir ¨olc¸¨us¨un¨u vermektedir. E˘ger bu oran y¨uksekse, verilen noktalar arasında fazla ba˘gımlılık oldu˘gu ve sinyalin bulunabilmesi ic¸in yeterli bilgi olmadı˘gı ileri s¨ur¨ulebilir.
Fa’nın birimcil ve bakıs¸ımlı olması kullanılarak, 2-norm kararsızlık oranı ic¸in as¸a˘gıdaki es¸itlikler elde edilebilir:
cond2(Fa(n, ¯k)) = cond2(Fa(¯k, n)) (4) = cond2(F−a(¯k, n)) (5) = cond2(F−a(n, ¯k)) (6)
Yukarıdaki kararsızlık oranları, sırasıyla s¸u problemler ic¸in c¸¨oz¨um do˘grulu˘gunun aynı oldu˘gunu ifade etmektedir:
1. f sinyalinin k dizinleri, g sinyalinin n dizinleri biliniyor 2. f sinyalinin ¯n dizinleri, g sinyalinin ¯k dizinleri biliniyor 3. f sinyalinin ¯k dizinleri, g sinyalinin ¯n dizinleri biliniyor 4. f sinyalinin n dizinleri, g sinyalinin k dizinleri biliniyor ˙Ilk ve ¨uc¸¨unc¨u durumlar ele alındı˘gında, toplam bilinen nokta sayısı N ’e es¸itken, bilinenlerin bilinmeyen, bilinmeyenlerin ise bilinen olarak de˘gis¸tirilmesinin c¸¨oz¨um¨un do˘grulu˘gunu etkilemedi˘gi anlas¸ılmaktadır. Ayrıca, ilk ve son durumlar g¨oz ¨on¨une alındı˘gında, iki kesirli Fourier b¨olgede verilen nokta dizilimlerinin kars¸ılıklı olarak yer de˘gis¸tirilmesi de c¸¨oz¨um do˘grulu˘gunu etkilememektedir. Bu, problemin simetrik yapısını desteklemekle birlikte, dalganın yayılım y¨on¨un¨un beklenildi˘gi gibi c¸¨oz¨um¨u etkilemedi˘gini g¨ostermektedir.
4. Sayısal Sonuc¸lar
Sayısal sonuc¸larımızı elde ederken, kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨u kesir de˘geri a 0 ile 1 arasında 0.1’lik es¸it aralıklarla de˘ger alan ve vekt¨or b¨uy¨ukl¨u˘g¨u N = 256 olan de˘gis¸kenler olarak sec¸ilmis¸tir. Bilinen nokta sayılarını temsil eden m1 ve m2
parametreleri 128’e kadar 2’nin kuvvetleri olarak sec¸ilmis¸ ve sonra 256’ya kadar bunların 128’e g¨ore simetrik olan de˘gerleri alınmıs¸tır. Grafiklerde en fazla bilgi veren m1 ve m2 ikilileri
ic¸in, sistem matrisinin kararsızlık oranının logaritmasının kesir de˘geri a’ya g¨ore nasıl de˘gis¸ti˘gi g¨osterilmis¸tir.
Bilinen noktaların da˘gılımı ic¸in, es¸ aralıklı ve bir uca yı˘gılı dizilimler incelenmis¸tir. Her dizilim ic¸in b¨olgelerdeki noktaların birbirine g¨ore durumu, birbirini tamamlayan ve birbiriyle ¨ort¨us¸en s¸ekilde sec¸ilmis¸tir. Bu da˘gılımların ele alınmasının nedeni, bunların en iyi ve en k¨ot¨u dizilimler ic¸in bir ¨ornek olus¸turmasıdır. m bilinen nokta sayısını g¨osterdi˘ginde, noktaların da˘gılımı ic¸in s¸u kurallar kullanılmıs¸tır:
1. Es¸ aralıklı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim: Her iki kesirli Fourier b¨olgesi ic¸in,
(a) m≤ N/2 ise, N/m’nin katlarına kars¸ılık gelenler bilinen, di˘gerleri ise bilinmeyen noktalardır. (b) m > N/2 ise, N/(N − m) − 1 (mod N/(N −
m))’ye kars¸ılık gelenler bilinmeyen, di˘gerleri ise
bilinen noktalardır.
2. Es¸ aralıklı-birbirini tamamlayan dizilim: a1kesir de˘gerli Fourier b¨olgesi ic¸in dizilim yukarıdaki gibidir. a2kesir de˘gerli Fourier b¨olgesi ic¸inse kural tersine c¸evrilmis¸tir:
(a) m≤ N/2 ise, N/m − 1 (mod N/m)’ye kars¸ılık gelenler bilinen, di˘gerleri bilinmeyen noktalardır. (b) m > N/2 ise, N/(N − m)’nin katlarına kars¸ılık
gelenler bilinmeyen, di˘gerleri bilinen noktalardır. 3. Bir uca yı˘gılı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim: Her iki kesirli
Fourier b¨olgesi ic¸in, en alttaki m nokta bilinen noktalar, di˘gerleri ise bilinmeyen noktalardır.
4. Bir uca yı˘gılı-birbirini tamamlayan dizilim: a1 kesir
de˘gerli Fourier b¨olgesi ic¸in, en alttaki m nokta bilinen, di˘gerleri ise bilinmeyen noktalar iken; a2 kesir de˘gerli
Fourier b¨olgesi ic¸in, en ¨ustteki m nokta bilinen, di˘gerleri ise bilinmeyen noktalardır.
Es¸ aralıklı dizilim, ¨olc¸¨um cihazının istenilen uzamsal c¸¨oz¨un¨url¨u˘g¨un yarısına sahip oldu˘gu fiziksel duruma kars¸ılık gelmektedir. Dalgayı istenilen uzamsal c¸¨oz¨un¨url¨ukte bilmek amacıyla, yarı c¸¨oz¨un¨url¨ukle iki y¨uzeyde ¨olc¸¨um alınmaktadır. Bir uca yı˘gılı dizilim ise, g¨ozlem y¨uzeylerinin sadece sınırlı bir aralı˘gında tam c¸¨oz¨un¨url¨ukle ¨olc¸¨um alınabildi˘gi duruma kars¸ılık gelmektedir. Bu durumda, dalgayı bir y¨uzeyde tamamen bilmek amacıyla, sınırlı aralıkta iki y¨uzeyde ¨olc¸¨um alınmaktadır.
Is¸ı˘gın yayılım eksenine dik bir alanda yayılımı uzaklık ile artmaktadır. Bu nedenle, yayılım uzaklı˘gına kars¸ılık gelen kesir de˘geri a arttıkc¸a, kesirli Fourier b¨olgedeki bir noktanın di˘ger b¨olgede yarattı˘gı etkinin genis¸leyece˘gi; bas¸ka bir deyis¸le, kars¸ı b¨olgede daha fazla noktayı etkileyece˘gi d¨us¸¨un¨ulebilir. Bu etki alanı kavramı, sayısal sonuc¸ları yorumlamakta kullanılacaktır.
Deneylerde iki b¨olgedeki toplam bilinen nokta sayısı N ’e es¸it ve N ’den fazla iken, farklı dizilimler ic¸in kararsızlık oranının a’ya g¨ore nasıl de˘gis¸ti˘gi incelenmis¸tir. ˙Ilk deneyde, toplam bilinen nokta sayısının N = 256 oldu˘gu durum aras¸tırılmıs¸tır. Bilinen noktaların iki b¨olge arasında farklı sayıda paylas¸ılmasına g¨ore farklı dizilimler ic¸in elde edilen
kararsızlık oranı-a e˘grileri S¸ekil 1’de verilmis¸tir. m1 = 16, m2= 240 ic¸in bu e˘griler S¸ekil 2’de tekrar c¸izilmis¸tir.
S¸ekil 1’de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, toplam bilinen nokta sayısı
N ’ye es¸itken, iki b¨olgede bilinen noktaların sayısı birbirine
yaklas¸tıkc¸a, b¨ut¨un dizilimler ic¸in kararsızlık oranı artmaktadır. Bu nedenle, bilinen noktaların iki b¨olgeye es¸it sayıda da˘gılmasının en fazla artık bilgiye yol ac¸tı˘gı d¨us¸¨un¨ulebilir. Bu durumda, bir b¨olgede bilinen her noktanın etki alanının di˘ger b¨olgede daha c¸ok bilinen noktayı kapsaması, bu b¨olgede bilinen noktalar arasında daha fazla ba˘gımlı bilgi yaratmaktadır.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani)
Bir uca yigili−birbirini tamamlayan Bir uca yigili−birbiriyle ortusen Es aralikli−birbirini tamamlayan Es aralikli−birbiriyle ortusen
S¸ekil 2: m1 = 16 ve m2 = 240 iken b¨ut¨un dizilimler ic¸in
kararsızlık oranı-a e˘grisi
S¸ekil 2’den ac¸ıkc¸a anlas¸ıldı˘gı gibi, es¸ aralıklı dizilim bir uca yı˘gılı dizilimden daha iyi kararsızlık oranı vermektedir. Bu, b¨olgenin her yerine yayılmıs¸ ¨olc¸¨um bilgilerinin, b¨olgenin belli bir kısmına yo˘gunlas¸andan daha fazla bilgi tas¸ıdı˘gı fikrini desteklemektedir. Birbirini tamamlayan ve birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilimler kars¸ılas¸tırıldı˘gında ise, birbirini tamamlayan dizilimin k¨uc¸¨uk a de˘gerlerinde daha ¨ust¨un olmasına ra˘gmen, di˘ger de˘gerlerde birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilimle benzer sonuc¸lar
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m1=2, m2=254 m1=16, m2=240 m1=128, m2=128
(a)Bir uca yı˘gılı-birbirini tamamlayan dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m1=2, m2=254 m1=16, m2=240 m1=128, m2=128
(b)Bir uca yı˘gılı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m 1=2, m2=254 m 1=16, m2=240 m1=128, m2=128
(c)Es¸ aralıklı-birbirini tamamlayan dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m 1=2, m2=254 m 1=16, m2=240 m1=128, m2=128
(d)Es¸ aralıklı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim
S¸ekil 1: m1+ m2= N’i sa˘glayan farklı m1ve m2de˘gerleri ic¸in kararsızlık oranı-a e˘grisi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m 1=16,m2=240 m 1=32,m2=240 m 1=64,m2=240 m 1=128,m2=240
(a)Bir uca yı˘gılı-birbirini tamamlayan dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m 1=16,m2=240 m 1=32,m2=240 m 1=64,m2=240 m 1=128,m2=240
(b)Bir uca yı˘gılı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m1=16,m2=240 m1=32,m2=240 m1=64,m2=240 m 1=128,m2=240
(c)Es¸ aralıklı-birbirini tamamlayan dizilim
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 Kesir degeri: a Log(Kararsizlik orani) m1=16,m2=240 m1=32,m2=240 m1=64,m2=240 m 1=128,m2=240
(d)Es¸ aralıklı-birbiriyle ¨ort¨us¸en dizilim S¸ekil 3: m1+ m2≥ N’i sa˘glayan farklı m1ve m2de˘gerleri ic¸in kararsızlık oranı-a e˘grisi verdi˘gi g¨or¨ulmektedir. Birbirini tamamlayan dizilimin k¨uc¸¨uk
a’larda daha iyi sonuc¸ vermesinin nedeni, b¨olgeler birbirine
yakınken bir noktanın di˘ger b¨olgedeki etki alanının dar olması, bu nedenle bu dizilimde bilinen noktaların kars¸ı b¨olgedeki etki alanı ic¸ine c¸o˘gunlukla bilinmeyen noktaların girmesi, bunun da bilinen noktalar arasında fazla artık bilgi yaratmamasıdır. Ancak, a’nın de˘gerinin artmasıyla etki alanı genis¸ledi˘gi ic¸in her iki dizilimde de bu alan ic¸ine benzer sayıda bilinen nokta girmekte, bu da benzer artık bilgi miktarına neden olmaktadır. Burdan yola c¸ıkarak, k¨uc¸¨uk olmayan a de˘gerleri ic¸in, bir dizilimin dikey y¨onde kaydırılmasının, verilen noktaların tas¸ıdı˘gı bilgi miktarını pek de˘gis¸tirmedi˘gi sonucuna varılabilir.
Bir sonraki deneyde, toplam bilinen nokta sayısının N ’den fazla olmasının kararsızlık oranını nasıl etkiledi˘gi incelenmis¸tir. S¸ekil 3’deki e˘griler, m1 = 16 ve m2 = 240 ile bas¸layıp,
her seferinde m1’in iki katına c¸ıkarılmasıyla elde edilmis¸tir. Bir b¨olgede bilinen nokta sayısını artırdıkc¸a, bir uca yı˘gılı dizilimde, c¸ok k¨ot¨u olan kararsızlık oranlarında hızlı bir iyiles¸me g¨ozlemlenirken, es¸ aralıklı dizilimde iyi sayılabilir durumda olan kararsızlık oranları daha iyi hale gelmektedir; bu da sinyalin ara de˘gerlerinin bulunması ic¸in kullanılacak olan bilgi miktarının iyiles¸ti˘gine is¸aret etmektedir.
5. Sonuc¸
Bu c¸alıs¸mada, kesirli Fourier d¨on¨us¸¨um¨un¨u ic¸eren arade˘gerleme problemleri ic¸in do˘grusal cebirsel bir yaklas¸ım sunulmus¸ ve verilen noktalar arasındaki artıklık ve bilgi ilis¸kileri ara de˘gerleri bulunmak istenen sinyalden ba˘gımsız olarak aras¸tırılmıs¸tır. Bu yaklas¸ım, do˘grusal bir sistemin girdi ve c¸ıktısında yapılan kısmi ¨olc¸¨umlerle, girdi yada c¸ıktının tam olarak belirlenmeye c¸alıs¸ıldı˘gı b¨ut¨un problemlere uygulanabilir.
6. Tes¸ekk ¨ur
S. Figen ¨Oktem’e T ¨UB˙ITAK Yurt ˙Ic¸i Y¨uksek Lisans Burs Programı ve Haldun M. ¨Ozaktas¸’a T¨urkiye Bilimler Akademisi tarafından kısmi destek sa˘glanmıs¸tır.
7. Kaynakc¸a
[1] H. M. ¨Ozaktas¸ ve D. Mendlovic, “Fractional Fourier Optics”, J. Opt. Soc. Amer. A, 12:743–751, 1995.
[2] H. E. G¨uven, H. M. ¨Ozaktas¸, A. E. C¸ etin, ve B. Barshan, “Signal recovery from partial fractional Fourier domain information and its applications”, IET Signal Processing, 2:15–25, 2008.
[3] G. B. Esmer, V. Uzunov, L. Onural, H. M. ¨Ozaktas¸, ve A. Gotchev, “Diffraction field computation from arbitrarily distributed data points in space”, Image Communication, 22:178–187, 2007.
[4] A. ¨Ozc¸elikkale, H. M. ¨Ozaktas¸, ve E. Arıkan, “Optimal measurement under cost constraints for estimation of propagating wave fields”, Proc. of the IEEE International
Symposium on Information Theory ic¸inde, 2007.
[5] H. M. ¨Ozaktas¸, Z. Zalevsky, ve M. A. Kutay, The Fractional
Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing, New York: Wiley, 2001.
[6] H. M. ¨Ozaktas¸, O. Arıkan, M. A. Kutay, ve G.Bozda˘gı, “Digital computation of the fractional Fourier transform”,
IEEE Trans. Signal Processing, 44:2141–2150, 1996.
[7] C¸ . Candan, M. A. Kutay, ve H. M. ¨Ozaktas¸, “The discrete fractional Fourier transform”, IEEE Trans. Signal
Processing, 48:1329–1337, 2000.
[8] M. T. Heath, Scientific Computing: An Introductory Survey, sf. 56–63, New York: Mc Graw Hill, 2002.
