Genelleştirilmiş Woods-Saxon potansiyelinin bir boyutta saçılma, bağlı ve yarı-bağlı durumlar için kuantum matematiksel incelenmesi

T.C.

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ WOODS-SAXON POTANSİYELİNİN BİR BOYUTTA

SAÇILMA, BAĞLI VE YARI-BAĞLI DURUMLAR İÇİN KUANTUM

MEKANİKSEL İNCELENMESİ

Ferhan AKDENİZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FİZİK ANABİLİM DALI

T.C.

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ WOODS-SAXON POTANSİYELİNİN BİR BOYUTTA

SAÇILMA, BAĞLI VE YARI-BAĞLI DURUMLAR İÇİN KUANTUM

MEKANİKSEL İNCELENMESİ

Ferhan AKDENİZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FİZİK ANABİLİM DALI

Bu tez Akdeniz Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyonu Birimi

tarafından 1031 nolu proje ile desteklenmiştir..

i

ÖZET

GENELLEŞTİRİLMİŞ WOODS-SAXON POTANSİYELİNİN BİR BOYUTTA

SAÇILMA, BAĞLI VE YARI-BAĞLI DURUMLAR İÇİN KUANTUM

MEKANİKSEL İNCELENMESİ

Ferhan AKDENİZ

Yüksek Lisans Tezi, Fizik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Bekir Can LÜTFÜOĞLU

Ekim 2016, 68 sayfa

Bu çalışmada, Genelleştirilmiş Woods-Saxon potansiyelinin, tek boyutta sabit

kütleli Schrödinger diferansiyel denkleminde saçılma ve bağlı durumlar için, analitik

çözümleri incelendi. Saçılma durumunda, olasılık yoğunluğunun korunduğu analitik

olarak ispatlandı. Yansıma ve geçme olasığının enerjiye ve keyfi seçilmiş parametrelere

göre değişimini gösteren grafik çizildi. Ayrıca tünellemenin hangi koşullarda

gerçekleşebileceği parametrelere bağlı olarak belirlendi. Potansiyelin yapısından dolayı

bağlı durum, sıkı-bağlı ve yarı-bağlı durum olarak iki ayrı başlık altında çalışılmıştır.

Her iki durum için enerji özdeğer spektrumu elde edildi ve dalga fonksiyonları keyfi

seçilen parametrelerle belirlendi.

ANAHTAR KELİMELER: Genelleştirilmiş Woods-Saxon potansiyeli, Saçılma

durumu, Sıkı-bağlı durum, Yarı-bağlı durum, Analitik

çözümler

JÜRİ: Yrd. Doç. Dr. Bekir Can LÜTFÜOĞLU

Doç. Dr. Orhan BAYRAK

ii

ABSTRACT

QUANTUM MECHANICAL ANALYSING OF GENERALIZED

WOODS-SAXON POTENTIAL IN ONE DIMENSION FOR SCATTERING, BOUND AND

QUASI-BOUND STATES

Ferhan AKDENİZ

MSc Thesis in Physics

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Bekir Can LÜTFÜOĞLU

October 2016, 68 pages

In this work, the exact analytical solutions of the one-dimensional Schrödinger

equation for the generalized symmetric Woods-Saxon potential are solved for the

scattering and bound states. There is a various information about Woods-Saxon

potential. The energy eigenvalues that gives the bound states are found. It is calculated

analitically on the scattering states that protected probability density. Also, it is

determined tunneling which conditions may occur depending parameters. The bound

states for generalized Woods-Saxon potential are investigated as tight-bound state and

quasi-bound state. Then, we obtained the energy eigenvalues spectrum for two states

and determined wave functions with arbitrary parameters.

KEYWORDS: Generalized Woods-Saxon potential, Scattering states, Bound states,

Quasi-bound states, Analytical solutions

COMMITTEE: Assist. Prof. Dr. Bekir Can LÜTFÜOĞLU (Supervisor)

Assoc. Prof. Dr. Orhan BAYRAK

ho amSaynYrd. Doç. Dr. Bekir CanLÜTFÜO‡LU'na,yardmlarnesirgemeyen de§erli ho am Sayn Doç. Dr. Orhan BAYRAK'a, tez yazm a³amasndaki yardmlarndandolayRamazanDA‡TA“'aiçtenliklete³ekkürederim. Desteklerini benden hiçbir zaman esirgememi³ olan sevgili ailem, deste§ini herdaim yanmda hissetti§im çok sevdi§im e³im Süleyman AKDENZ ve uzun çal³ma sürelerimi sabrla bekleyen biri ikkzmAy³e Hande, iyiki varsnz.

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

ÖNSÖZ . . . iii

ÇNDEKLER . . . iv

SMGELERve KISALTMALAR DZN . . . vi

“EKLLER DZN . . . vii

ǝZELGELER DZN . . . viii

1. GR“ . . . 1

2. KURAMSAL BLGLERVE KAYNAK TARAMALARI . . . 4

2.1. S hrödinger Denklemi . . . 4

2.2. Woods-SaxonPotansiyelinin Genelle³tirilmesi . . . 4

3. MATERYAL VE METOT . . . 8

3.1. Genelle³tirilmi³ Woods-Saxon Potansiyelinin S hrödinger Denkleminde Çözümü . . . 8

3.1.1. Pozitifve negatif bölgelerdedalga denklemleri . . . 8

3.1.1.1. Negatifbölge dalga denklemi . . . 8

3.1.1.2. Pozitif bölge dalga denklemi . . . 17

3.2. Saçlma Durumu. . . 25

3.2.1. Pozitifve negatif bölge saçlma durumu dalgadenklemleri . . . 25

3.2.1.1. Negatifbölge saçlmadurumudalga denklemi . . . . 25

3.2.1.2. Pozitif bölge saçlma durumudalga denklemi . . . . 25

3.2.2. Saçlmadurumunda süreklilik . . . 26

3.2.3. Olaslkyo§unlu§unun korunumu . . . 27

3.4.1.1. Negatif bölge sk-ba§l durumdalga denklemi . . . 32

3.4.1.2. Pozitifbölge sk-ba§l durum dalga denklemi . . . . 34

3.4.2. Sk-ba§l durumda süreklilik . . . 34

3.4.3. Sk-ba§l durumenerji özde§erleri . . . 36

3.4.3.1. Sk-ba§l durumçift çözümlerin enerji özde§erleri . . 36

3.4.3.2. Sk-ba§l durumtek çözümlerin enerji özde§erleri . . 39

3.5. Yar-ba§lDurum . . . 41

3.5.1. Negatifve pozitifbölgelerdeyar-ba§ldurum dalgadenklemleri 42 3.5.1.1. Negatif bölge yar-ba§ldurum dalgadenklemi. . . . 42

3.5.1.2. Pozitifbölge yar-ba§l durumdalga denklemi . . . . 42

3.5.2. Yar-ba§ldurumda süreklilik. . . 42

3.5.3. Yar-ba§ldurumenerji özde§eri . . . 44

3.5.3.1. Yar-ba§ldurum çift çözümler . . . 44

3.5.3.2. Yar-ba§ldurum tek çözümler . . . 46

4. BULGULARVE TARTI“MALAR . . . 49 4.1. SaçlmaDurumu. . . 49 4.2. Sk-ba§lDurum . . . 51 4.3. Yar-ba§lDurum . . . 54 5. SONUÇ . . . 58 7. KAYNAKLAR . . . 60 ÖZGEÇM“

θ(x)

Basamak fonksiyonu

ψ(x)

Dalga fonksiyonu

E

Enerji T Geçme katsays m Kütle

~

Plan k sabiti

V

0

Potansiyel dip parametresi W Potansiyel dip parametresi

V

(x)

Potansiyel enerji a Szma parametresi R Yansmakatsays L Yarçap Ksaltmalar

E

b

n

Sk-ba§l durumun

n.

enerji özde§eri

ψ

sol

(x)

x <

0

Bölgesi dalga fonksiyonu

ψ

sag

(x)

x >

0

Bölgesi dalga fonksiyonu GWS Genelle³tirilmi³Woods-Saxon

KG Klein-Gordon

MWS ModiyeWoods-Saxon

E

s

Saçlma durumuenerjisi

OM Optik Model

WS Woods-Saxon

E

yb

sk-ba§lveyar-ba§ldurumenerjilerininkonumagöre de§i³imi. Kullanlantüm parametrelerÇizelge-2.2'de verilmi³tir. . . 7 “ekil 4.1 Yansma(

R

) ve geçme(

T

) olasl§nn, enerjiye göre de§i³imi.

Kullanlantüm parametrelerÇizelge-2.2'de verilmi³tir. . . 49 “ekil 4.2 Yansma(

R

)ve geçme(

T

) olasl§ile bariyeryüksekli§inin(

HB

),

potansiyel dip parametreleri(

W

,

V

0

),

E

s

₌

_20MeV

ve Çizelge-2.2'de verilen di§er parametrelere görede§i³imi. . . 50 “ekil 4.3 Yansma(

R

) ve geçme(

T

) olasl§nn,

E

s

_{< HB}

için, potansiyel parametreleri(

L

,

a

),

E

s

_{= 20MeV < HB = 22.5MeV}

(Kuantum tünelleme) ve Çizelge-2.2'de verilen di§er parametrelere göre de§i³imi . . . 51 “ekil 4.4 Yansma (

R

) ve geçme(

T

) olasl§nn,

E

s

_>

_HB

için, potansiyel parametrelerine(

L

,

a

) göre,

E

s

_{= 30MeV > HB =}

22.5MeV

(Saçlma rezonans) ve Çizelge-2.2'de verilen di§er parametrelere göre de§i³imi . . . 51 “ekil 4.5 Çift çözümler için bulunan normalize edilmemi³ dalga

denkleminin,

E

b

n

baz enerji özde§erilerine göre de§i³imi. Kullanlantüm parametrelerÇizelge-2.2'de verilmi³tir. . . 53 “ekil 4.6 Tek çözümler için bulunan normalize edilmemi³ dalga

denkleminin,

E

b

n

baz enerji özde§erilerine göre de§i³imi. Kullanlantüm parametrelerÇizelge-2.2'de verilmi³tir. . . 55 “ekil 4.7 Çift çözümler için bulunan normalize edilmemi³ dalga

denkleminin,

E

yb

n

baz enerji özde§erilerine göre de§i³imi.

W

= 450MeV

ve Çizelge-2.2'de verilen parametre de§erleri kullanlm³tr. . . 56 “ekil 4.8 Tek çözümler için bulunan normalize edilmemi³ dalga

denkleminin,

E

yb

n

baz enerji özde§erilerine göre de§i³imi.

W

= 450MeV

ve Çizelge-2.2'de verilen parametre de§erleri kullanlm³tr. . . 57

Çizelge2.2 Potansiyeller için parametrede§erleri . . . 7 Çizelge5.1 Enerji spektrumu . . . 59

1. G˙IR˙I ¸S

19.Yüzyl ba³larna gelinildi§inde, Newton yasalar, Maxwell denklemleri ve statistik Mekanik kuram ile zirveye çkm³ olan Klasik Fizik, ilk defa MÖ 4. yüzylda Demo ritus tarafndan orataya atlan atom kavram da dahil, tüm ziksel olaylar açklamak için yeterli bulunuluyordu. Bu nedenle zik bilimindeki ilerlemenin yava³ yava³ sona ere e§i dü³ünülüyordu. Buna kar³n 1899 ylnda kara isim ³mas ile ba³layan, fotoelektrikolay ile devameden birtakm deneysel gözlemlerKlasikFizikile izah edilemiyordu. 1920'li yllardamaddeparça klarnn dalga fonksiyonu ile temsil edildi§i matematiksel bir formülasyonla ifade edilen Kuantum Fizi§i, Klasik Fizik ile açklanamayan gözlemleri ba³aryla izah etti. Plan k, Einstein, Bohr, De Broglie, S hrödinger, Heisenberg, Dira ve Pauli gibi birçok de§erli biliminsannn katklaryla olu³an Kuantum teorisi üzerine o tarihtenberibirçokdeneysel veteorik çal³mayaplm³tvehalen deyaplmaktadr. Yaplantüm çal³malardakiortakamaçatomun yapsndakibilinmeyenlerianla³lr klnmaktr. Önerilen bu tez çal³masyla da insano§lunun bu sonu gelmeyen çabasnaküçük birkatkhedeenmi³tir.

Atom,yörüngelerineelektrostatikkuvvet ileba§lanm³elektronlardanvebir çekirdekten meydana gelir. Boyutuna ve kütlesine baklarak durgun ve noktasal kabul edilen çekirdek ise birbirine kuvvetli e ba§l ama ayn zamanda hareketli nükleonlardan olu³ur. Bir atom çekirde§i hakkndaki bilgiler, çekirde§in ba³ka parça klarla bombardman edilmesiyle yaplan saçlma deneyleri sonu unda elde edilebilmektedir. Budeneyselçal³malarnteorisindeisenükleonlarbiraradatutan birpotansiyelenerjindenbahsedilmektedir. Bupotansiyelenerji,elektronlaratoma ba§layanCoulombpotansiyelenerjisindenfarkldrveço§uzamannükleerpotansiyel olarakadlandrlmaktadr.

Optik model (OM), çekirdeklerin yapsal özelliklerini ve saçlma reaksiyonlarndaki genel davran³ in eleyen modellerden biridir (Sat hler 1980, Krane 1988). Esasnda OM, ³§n isli bir küreye gönderilmesi ile ortaya çkan yansma,so§urulmavekrnmözelliklerindenesinlenilerek,esnek veesnek olmayan saçlmay temsil eden bir potansiyelibaz alarakisimlendirilmi³tir. Bir optik model potansiyelinin kabuk modeline uygun olarak gerçel ksm esnek saçlmay, sanal ksm iseesnek olamayansaçlmay,ki bunlar so§urulma ve reaksiyonlardr,temsil etmektedir(Sat hler 1980, Sat hler 1983). Literatürdeki ilk optik potansiyel ifadesi, a³a§daki biçimdeverilen kare kuyu potansiyelidir (Feshba h 1954).

V

(r) =

(

−(V

0

+ iW ) r ≤ r

0

A

1

3

0

r

_{≥ r}

0

A

1

3

(1.1)

Burada

r

, hedef vemermi çekirdek arasndakimerkeziuzakl§;

r

0

,nükleer yarçap ve

A

, kütle numarasn ifade etmektedir. Ayr a hedef ve mermi etkile³mesini do§ruolarakverebilmesiiçin,aralarndakimesafeyeba§l³ekildeüstelolarakazalan

bir formda olmas gerekti§i öngörülmü³tür(Krane 1988). Woods-Saxon (WS) potansiyelinin

f

n

(r, r

i

, a

i

) =

1

"

1 + exp



r−r

i

A

1

3

a

i



#

n

(1.2)

biçimindeverilenyapsöngörülenbuözelli§isa§lamaktadr(WoodsveSaxon 1954). Burada, mermi ile hedef çekirde§in merkezleri arasndaki uzaklk

r

, çekirdek potansiyelininmerkezde§erininyarsnadü³tü§ü yarçap

r

i

,veatomkütlenumaras da

A

ile gösterilmi³tir. Yaygnlk veya szma parametresi olarakda adlandrlan

a

i

ise potansiyelin maksimum de§erinin

%90

'dan

%10

'a dü³tü§ü noktalar arasndaki uzaklktan elde edilenbir parametredir(Aytekinvd 2007).

Woods ve Saxon (1954) ylndaki çal³masnda,

20

MeV'lik porotonlarn, alüminyum,nikelveyaplatingibibazortavehafçekirdeklerdensaçlmasn,kendi isimleriyle de anlan, nükleer ksm kompleks ve spin olmayan bir potansiyel enerji fonksiyonu önererek nümerik olarakin elemi³tirler.

V

W S

(r) =

V

+ iW

1 + e

(r−r0)

a

(1.3)

Bupotansiyel enerjininS hrödingerdenklemindeki çözümüyle dalgafonksiyonunun radyalksm ba³arlylahesaplanm³tr.

WS potansiyeli, sade e çekirdek-çekirdek etkile³imlerini de§il(Brandan ve Sat hler 1997, Khoa vd 1997, Sat hler 1991), çekirdeklerin içine hapsolmu³ nükleonlarn enerji düzeylerini belirlemek için de uygundur (Bohr ve Mottelson 1998, Gomez vd 2003). Literatürde WS potansiyelinin analitik çözümlerine sk a rastlanr (Aydo§du vd 2012, Hassanabadi vd 2012, Livertz vd 2007, Panelle vd 2010, Rojas ve Villalba 2005).

sterçekirdek-çekirdek etkile³meleri,istersedeçekirdeknükleonetkile³meleri olsun, etkile³meler yüzeyden ba³lar ve çekirde§e do§ru de§i³ir. WS potansiyeli yukardaki³ekliyleyüzeyetkile³meleriniifadeetmekteyetersizkalmaktadr. Bundan dolayWS potansiyelimodiyeedilmeye(MWS)(Hassanabadi vd 2013, Ikhdairve Sever 2007,IkotveApkan 2012,YazarlooveMehraban 2016)veyagenelle³tirilmeye (GWS)çal³lm³tr(Aldo§anvd 2012,Alpdo§anveHavare 2014,BayrakveAçksöz 2015,Benamiravd 2007,Berkdemirvd 2005,2006,FakhriveSadeghi 2004,Gönül veKöksal 2007,HamzaviveRajavi 2013,IkhdairveSever 2007,2008,2010,Panelle vd 2010). HernekadarGWSpotansiyeliliteratürdezamandanba§mszS rödinger denkleminde,BayrakveAçksöz 2015,Berkdemirvd 2005,FakhriveSadeghi 2004, GönülveKöksal 2007tarafndan;Klein-Gordondenleminde,IkhdairveSever 2007 tarafndan;Dira denkleminde,IkhdairveSever 2010tarafndançal³lm³sadatek boyutlu S rödinger denklemi kullanlarak hiç çal³lmam³tr. Bu tez çal³mas bir

boyutta S hrödinger denkleminde GWS potansiyelinin saçlma ve ba§l durumlar içinanalitikçözümlerini içermektedir.

V

_{(x) = θ(−x)}

"

−V

0

1 + e

−

_a(x+L)

+

W e

−

_a(x+L)

1 + e

−

_a(x+L)

2

#

+ θ(x)

"

−V

0

1 + e

a(x−L)

+

W e

a(x−L)

1 + e

a(x−L)

2

#

(1.4)

Burada

θ(x)

ve

θ

(−x)

basamak fonksiyonu olmaküzere, pozitif (

x >

0

) ve negatif (

x <

0

) bölgelerinde

0

veya

1

'e e³it olur. Potansiyelin biçimini belirleyen reel parametrelerise

V

0

ve

W

dipparametrelerine,

a

szmakatsaysnave

L

etkinçekirdek yarçapnakar³lk gelir.

Kaynak ara³trmalarnda, ön e S hrödinger denklemi hakknda bilgi verilmi³tir sonra MWS ve GWS potansiyellerinin özel durumlarna de§inilmi³tir. WS, MWS ve GWS potansiyelinin kar³la³trmal graklerine yer verilmi³tir. Materyal ve Yöntem ksmnda ilk olarak GWS potansiyeli etkisi altnda hareket eden, spinsiz ve sabit

m

kütleli parça §n pozitif ve negatif bölgelerdeki davran³ çal³lm³tr. Her iki bölge çözümlerinde farkl de§i³ken dönü³ümleri yaplarak diferansiyeldenklemsadele³tirilmi³,tekilliknoktalaretrafndaki davran³lartespit edilerek uygun çözümler önerilmi³tir. Önerilen bu çözümlerin Hipergeometrik fonksiyonlarn karakterinde oldu§u görülmü³tür. Saçlma ve ba§l durumlarndaki çözümler farkl snr ³artlarna sahiptir. Saçlma durumuna uygun olarak eksi sonsuzdan gelen ve yansyan, art sonsuzda ise sade e ilerleyen dalga çözümleri elde edilmi³tir. Ayr a olasl§n korunumu analitik olarak ispat edilmi³tir. Ba§l durum ise sk-ba§l ve yar-ba§l olarak iki ba³lk altnda in elenmi³tir. Sk-ba§l durumda, saçlma durumundan farkl olarak parça k potansiyel kuyu içinde hapsolmu³tur. Bu ko³ul art ve eksi sonsuzda dalga denklemlerinin yok olmasn gerektirirken potansiyel kuyu içindeki süreklilik ko³ulu ise enerjinin kuantizasyonunu vermi³tir. Böylelikle dalga denklemleri dü§üm saylarna göre elde edilmi³tir. Yar-ba§ldurumda ise hapsolan parça klarn çekirdek yüzeyinden szmas mümkündür. Bundan dolay snr ko³ullarnnart ve eksi sonsuzda sade e o yönlere ilerleyen dalgalarasahip olmaldr. Süreklilik ³art da kullanlarak enerji spektrumuvedü§ümsaylarnaba§lolarakdalgadenklemlerieldeedilmi³tir. Tezin bulgular ksmnda ise key parametreler seçilerek saçlma durumunda rezonans ko³ullarnn, her bir parametreye ve enerjiye göre de§i³im grakleri detayl olarak de§erlendirilmi³tir. Sk-ba§lveyar-ba§ldurumlarndalgafonksiyonlarise,GWS potansiyelinin simetrik yaps dakullanlarak, çift ve tek dalga fonksiyonlar olarak ayr ayr grakler yardmyla tart³lm³tr. Tez, sk-ba§l ve yar-ba§l durumun enerji spektrumunun da verildi§i sonuç ksmnda genel de§erlendirmeler yaplarak neti elendirilmi³tir.

2. KURAMSAL B˙ILG˙ILER VE KAYNAK TARAMALARI

2.1. Schrödinger Denklemi

S hrödinger(1926)ylnda, kütlelifakatspin içermeyen vede göreli olmayan parça klarn kuantum durumlarn kendi ismiyle anlan S hrödinger diferansiyel denkleminin çözümleriyle ifade etmi³tir. E§er potansiyel enerji fonksiyonu zamandan ba§mszise, bu diferansiyel denklem

−

~

2

2m

d

2

ψ

dx

2

+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)

(2.1)

olarakverilir. Esasndabirözde§er özvektör problemiolanbu denkleminzamandan ba§mszS hrödinger denklemiolarakifadeedilmesigereksede literatürdeki yaygn kullanmnda S hrödinger denklemi olarak isimlendirilmi³tir. Burada

ψ(x)

; ba§l durum dalga özfonksiyonu,

m

; parça §n kütlesi,

~

; Plan k sabitinin

2π

'ye bölümüdür. Ba§l durumda dalga fonksiyonu, enerji özde§erleri ve kar³lk gelen dalga özfonksiyonlar kullanlarak

Ψ(x, t) =

X

n

C

n

ψ

n

(x)e

−

i

En t

~

(2.2)

ile ifade edilir. Burada

C

n

katsaylar ile her bir durumunda bulunma olaslklar hesaplanr. Bu noktadansonraliteratürdekiyaygnkullanmnauygunolarakdalga fonksiyonu olarakdalga özfonksiyonu kullanla aktr.

Çekirdek-parça k etkile³imlerini açklayabilmek için WS, Hultén, Cusp, Pös hl-Teller, Morse potansiyeleri S hrödinger denkleminde çözülerek saçlma ve ba§l durumlar için çal³lm³tr(Bian hi 1994, Bohm 1951, Flunge 1917, Morse ve Feshba k 1953, Newton 1982,Senn 1988).

2.2. Woods-Saxon Potansiyelinin Genelle¸stirilmesi

Literatürde WS potansiyelinin genelle³tirilmi³ ifadelerinin yer ald§ bir çok çal³ma bulunmaktadr (Hassanabadi vd 2013, Ikhdair ve Sever 2007, Ikot ve Apkan 2012, Yazarloo ve Mehraban 2016). Bu çal³malarda potansiyel enerji fonksiyonunun en sk kar³la³lan³ekli

V

_{(x) = θ(−x)}



−V

0

p

+ q e

−

_a(x+L)



+ θ(x)



−V

0

˜

p

+ ˜

q e

b(x− ˜

L)



(2.3)

ile ifade edilir. Denklem (2.3)'de yeni eklenen dört parametre

p

,

p

˜

,

q

ve

q

˜

pozitif tamsaylardr ve özel de§erlerinden faydalanlarak farkl potansiyeller elde edilinir. Bu özel durumlarndan bazlarn, Alpdo§an ve arkada³lar (2012) Tablo-2.1'de verildi§i gibiözetlemi³tir.

a

= b

a

= b

a

_{6= b}

L

= ˜

L

L

= ˜

L

= 0

L

= ˜

L

= 0

q

= ˜

q

= 1

q

_{= −˜q = 1}

q

_{= −˜q = 1}

p

= ˜

p

= 1

p

= ˜

p

= 1

p

= ˜

p

= 1

simetrik Cusp potansiyeli asimetrik usp potansiyeli

a

= b

a

_{6= b}

L

= ˜

L

= 0

L

= ˜

L

= 0

q

= ˜

q

= 1

q

= ˜

q

= 1

p

= ˜

p

= 0

p

= ˜

p

= 0

Çizelge 2.1Potansiyeller

Bu tip genelle³tirilmeler potansiyel enerji fonksiyonunun genel yapsnda önemli farkllklara neden olmaz, dolaysyla açklanmak istenen ziksel probleme yeni katklar vermekten uzaktr. Daha açklay  olabilmek için “ekil-2.1'de

V

0

=

100MeV

,

a

= 1f m

−

1

,

L

= 6f m

,

p

= ˜

p

= 2

için ön e

q

= ˜

q

= 10

sonra

q

= ˜

q

= 30

parametleri kullanlarakpotansiyel enerji fonksiyonu çizilmi³tir. Açk a görüldü§ü gibi sabit bir

p

= ˜

p

de§eri için

q

= ˜

q

arttkça potansiyel enerji derinli§i artmakta ve dip noktas, süreksizlik anlamna da gele ek ³ekilde, sivrile³mektedir. Sabit bir

q

= ˜

q

de§eri için ise

p

= ˜

p

arttkça potansiyelin derinli§i yayvanla³arak artmaktadr. Her iki durumda da potansiyelin geni³li§i azalmaktadr. Oysa ki bu etkiler

p,

p, q,

˜

q

˜

parametreleri olmadan da szma ve yarçap parametreleri ile de elde edilir. Yeni terimler eklenerek elde edilen potansiyel genelle³tirilmi³ formu iken sade e katsaylarn de§i³tirilmesi ile elde edilen potansiyel modiye edilmi³ formudur. Dolaysyla bu dört parametre probleme yeni bir katk vermemektedir. Bu yüzden GWS potansiyeli yerine MWS potansiyeli olarak isimlendirmek do§ru ola aktr.

Saçlma probleminde saçla ak parça k ön e çekirde§in yüzeyi ile etkile³ir. Yüzeyin parça §a, çekirde§in içine girmemesi için iti i bir etkisi vardr. Çekirdek içinde ba§l durumda bulunan birnükleon iseçekirdek d³na szmamasiçinyüzey tarafndan da çekirde§in içine do§ru iti i bir kuvvete maruz kalr. Bu yüzey etkisi WS potansiyelinde mev ut haliyle bulunmamaktadr. Literatürde bu yüzey etkile³mesi türevinin veya türevine benzer bir ifadenin eklenmesiyle hesaplanmaya çal³lm³tr(Aldo§anvd 2012,Alpdo§anveHavare 2014,BayrakveAçksöz 2015, Benamira vd 2007, Berkdemirvd 2005,2006, Boztosun 2002, Boztosun vd 2005, Dapo vd 2012FakhriveSadeghi 2004, Gönül ve Köksal 2007, HamzaviveRajavi 2013, Ikhdair ve Sever 2007, 2008, 2010, Koçak vd 2010, Lütfüo§lu vd 2016, Ma kintoshveKobos 1982, Panellevd 2010). GWSpotansiyeli,WSpotansiyeline yüzey etkisieklenerek

V

(r) =

−V

0

1 + e

a(r−R)

+

W e

a(r−R)

1 + e

a(r−R)

2

(2.4)

ile ifade edilebilmektir.

a

szma katsays,

R

yarçap,

V

0

ve

W

dip parametreleri potansiyelin³eklinibelirler.

a

,

R

ve

W

parametreleriayn

p

,

p

˜

,

q

,

q

˜

parametrelerigibi potansiyelingeni³li§inive dip nokasnn sivrili§inide§i³tirir. Öyle ki

a

parametresi azaldkça potansiyelin dip ksm sivrile³ir, arttkça da potensiyelin dibi geni³ler ve kare kuyu formuna do§ru potansiyeli de§i³tirir.

R

parametresiyle do§ru orantl olarakda potansiyelin geni³li§i azala ak veya arta aktr.

W

parametresi ise yüzey etkilerini simgeleyen katsaydr. E§er

0 < W ≤ V

0

arasnda ise potansiyel kuyu daralr ama henüz iti i bir etki gözlenmez,

W > V

0

oldu§unda ise bir bariyer yüksekli§i olu³ur. Bu yapsal de§i³iklikten dolay potansiyel enerjinin bu formuna GWSpotansiyel enerjisi demek uygun dü³mektedir.

Literatürde, GWS potansiyelinin irdelendi§inin iddia edildi§i ama aslnda farkl potansiyellerin dikkate alnd§ çal³malar da bulunmaktadr. Arda ve Sever 2008, Arda vd 2010 ve Meyur vd 2010 çal³malarnda GWS potansiyeli ile çal³mayaba³lam³lar ama dönü³ümlerisonu u genelle³tirilmi³Hulthén potansiyeli çal³m³lardr. HulthénpotansiyelininGWSpotansiyelindenfarketkile³meninetkin ola a§yarçap parametresi

L

'nin dikkate alnmamasdr.

Bu tez çal³masnda GWSpotansiyelinin tekboyutta çözümleri çal³lm³tr.

V

_{(x) = θ(−x)}

"

−V

0

1 + e

−

a(x+L)

+

W e

−

_a(x+L)

1 + e

−

a(x+L)

2

#

+ θ(x)

"

−V

0

1 + e

a(x−L)

+

W e

a(x−L)

1 + e

a(x−L)

2

#

(2.5)

Dolaysyla bu potansiyel kuyunun

V

(x) = V (−x)

simetrisi vardr. Bundan dolay çözümlemelerde simetrik ve antisimetrik isimlendirmeler kullanlm³tr. GWS ve MWSpotansiyeli garikleri“ekil 2.1'de görülmektedir.

-10

0

10

x (fm)

-100

0

100

V(x) (MeV)

V

₀

>0, W>0

V

₀

>0, W<0

V

₀

<0, W>0

V

₀

<0, W<0

V

_MWS-1

V

_MWS-2

V

_WS

E

s

E

yb

_n

E

b

_n

SACILMA DURUMU

YARI-BAGLI DURUM

SIKI-BAGLI DURUM

“ekil2.1 WS, MWS ve GWS potansiyellerinin rastsal seçilmi³ saçlma, sk-ba§l ve yar-ba§ldurumenerjilerininkonumagörede§i³imi. Kullanlantümparametreler Çizelge-2.2'de verilmi³tir.

V

GW S

V

M W S−1

V

M W S−2

V

W S

V

0

= 100MeV

V

0

= 100MeV

V

0

= 100MeV

V

0

= 100MeV

W

= 250MeV

a

= 1f m

−

₁

a

= 1f m

−

₁

a

= 1f m

−

₁

a

= 1f m

−

₁

L

= ˜

L

= 6f m

L

= ˜

L

= 6f m

L

= 6f m

L

= 6f m

p

= ˜

p

= 2

p

= ˜

p

= 2

q

= ˜

q

= 10

q

= ˜

q

= 30

E

s

_E

b

n

E

n

yb

mc

2

~

c

80MeV

_−80MeV

20MeV

940MeV

197.329MeV.f m

3. MATERYAL VE METOT

Bu bölümde, ön elikle GWS potansiyeli kullanlarak S hrödinger denklemi yazla aktr. Daha sonra saçlma, sk-ba§l ve yar-ba§l durumlar için enerji özde§erleri ve dalga fonksiyonlar buluna aktr.

3.1. Genelle¸stirilmi¸s Woods-Saxon Potansiyelinin Schrödinger Denkleminde Çözümü

GWSpotansiyeli

V

_{(x) = θ(−x)}

"

−V

0

1 + e

−

_a(x+L)

+

W e

−

a(x+L)

1 + e

−

_a(x+L)

2

#

+ θ(x)

"

−V

0

1 + e

a(x−L)

+

W e

a(x−L)

1 + e

a(x−L)

2

#

(3.1)

negatif ve pozitif bölgeleriiçin ayr ayr çözümlene ektir.

3.1.1. Pozitif ve negatif bölgelerde dalga denklemleri

Potansiyelin simetrisinden dolay parça §n sol veya sa§ taraftan gelmesi arasndabirfark yoktur. Bu tez çal³masnda parça §nhep soltaraftangeldi§i ve sa§ tarafagitti§ikabuledilmektedir. Ön e negatifbölge içinçözümler yapla aktr.

3.1.1.1. Negatif bölge dalga denklemi

Bubölgedebasamak fonksiyonlar

θ

_{(−x) = 1}

θ(x) = 0

de§erlerini alrve GWS potansiyeli

V

(x) =

−V

0

1 + e

−

_a(x+L)

+

W e

−

a(x+L)

1 + e

−

_a(x+L)

2

³ekline indirgenir. Bu potansiyel etkisinde hareket eden sabit

m

kütleli parça §a aitS hrödinger denklemiise

ψ

′′

sol

(x) +

2m

~

2

"

E

+

V

0

1 + e

a(x−L)

−

W e

a(x−L)

1 + e

a(x−L)

2

#

ψ

sol

(x) = 0

(3.2)

gibidir. Bu denklem için

y

_{≡ −e}

−

_a(x+L)

de§i³ken de§i³imi yaplarak

dy

= e

−

a(x+L)

a dx

d

dx

= −a y

d

dy

d

2

dx

2

= a

2



_y

2

d

2

dy

2

+ y

d

dy



bulunur veDenklem (3.2)'deyerlerinekonularak

y

'ye ba§l S hrödingerdenklemi

ψ

′′

sol

(y) +

1

y

ψ

′

sol

(y) +

"

−ε

2

y

2

+

β

2

y

2

_{(1 − y)}

+

γ

2

y

2

_{(1 − y)}

2

#

ψ

sol

(y) = 0

(3.4)

olarakelde edilir. Denklem(3.4)'de yer alan

−ε

2

≡

2mE

_~

2

_a

2

(3.5)

β

2

_≡

2m(V

0

− W )

~

2

_a

2

(3.6)

γ

2

_≡

2mW

~

2

_a

2

(3.7) olaraktanmlanmaktadr.

Elde edilenDenklem(3.4),tekilliknoktalarnndahakolay tespitedilebilmesi içindüzenlenerek

ψ

′′

sol

(y) +

1

y

ψ

′

sol

(y)

+

"

−ε

2

_{+ β}

2

_{+ γ}

2

y

2

+

β

2

_{+ 2γ}

2

y

+

β

2

_{+ 2γ}

2

1 − y

+

γ

2

(1 − y)

2

#

ψ

sol

(y) = 0

(3.8)

bulunur. Burada

y

= 0

ve

y

= 1

noktalar tekillik göstermektedir. lk tekil nokta

y

_{→ 0}

iken, S hrödingerdenklemindeki baskn terimlerin

ψ

′′

sol

(y) +

1

y

ψ

′

sol

(y) +

"

−ε

2

_{+ β}

2

_{+ γ}

2

y

2

#

ψ

sol

(y) ≈ 0

(3.9)

oldu§ugörülür. Böyle birdiferansiyel denklemepolinom tarz çözüm önerilebilinir.

ψ

sol

(y) = y

δ

(3.10) Denklem (3.10) ve türevleri

ψ

sol

(y) = y

δ

ψ

′

sol

(y) = δ y

δ−1

ψ

′′

sol

(y) = δ (δ − 1) y

δ−2

Denklem(3.9)'da yerine yazlarak

δ

_{(δ − 1)y}

δ−2

+

1

y

δy

δ−1

₊

"

−ε

2

_{+ β}

2

_{+ γ}

2

y

2

#

y

δ

= 0

elde edilir. Bu ifadeden

δ

'nn e³iti

δ

2

= ε

2

_{− β}

2

_{− γ}

2

(3.11)

olarakelde edilir.

kin i tekil nokta

y

→ 1

tekilli§inde ise, S hrödinger denkleminin baskn terimleri

ψ

′′

sol

(y) +

γ

2

(1 − y)

2

ψ

sol

(y) ≈ 0

(3.12)

olarakyazlrve benzer ³ekilde polinom tarz

ψ

sol

(y) = (1 − y)

τ

(3.13)

birçözümesahip olmas gerekti§i görülür. Denklem (3.13)'üve türevlerini,

ψ

sol

(y) = (1 − y)

τ

ψ

′

sol

(y) = τ (1 − y)

τ −1

ψ

′′

sol

(y) = τ (τ − 1) (1 − y)

τ −2

Denklem(3.12)'de yerine yazarak

τ

_{(τ − 1) (1 − y)}

τ −2

+

"

γ

2

(1 − y)

2

#

(1 − y)

τ

_{= 0}

elde edilir. Bu da

τ

'nun e³itini

τ

2

_{− τ = −γ}

2

(3.14)

olarak verir. Denklem (3.10) ve (3.13) sonuçlarn kullanarak

ψ

sol

(y)

için genel ifadesine,tekilliknoktalarndakidavran³larylagenelbirfonksiyonunçarpmolarak

ψ

sol

(y) = y

δ

(1 − y)

τ

f

(y)

(3.15)

çözümü önerilir. Bu genel çözüm ve türevleri Denklem(3.8)'de yerine yazlarak

y

_{(1 − y) f}

′′

(y) +

"

(2δ + 1) − (2δ + 2τ + 1)y

#

f

′

(y)

−

"

− β

2

− 2γ

2

+ 2δτ + τ

#

f

(y) = 0

(3.16)

bulunur. Bu denklem Hipergeometrik diferansiyeldenklem

y

_{(1 − y) f}

′′

(y) +

"

c

_{− (1 + a}

1

+ b

1

)y

#

f

′

(y) − a

1

b

1

f

(y) = 0

(3.17) ile benzemektedir. Dolaysylaçözümleri Hipergeometrik fonksiyon kullanlarak

f

(y) = D

1 2

F

1

(a

1

, b

1

, c

1

; y)+D

2

y

1−c

1

2

F

1

(a

1

−c

1

+1, b

1

−c

1

+1, 2−c

1

; y)

(3.18) ile ifadeedilir. Burada yer alan parametrelerbenze³tirme metoduyla

a

1

= δ + τ ∓ ε

b

1

= δ + τ ± ε

c

1

= 1 + 2δ

(3.19)

olaraktanmlanr.

a

1

ve

b

1

içinpozitifveya negatif seçimserbestli§i vardr. Pozitif i³aret seçilirse,

b

1

içinnegatif i³aretli olur.

a

1

= δ + τ + ε

(3.20)

b

1

= δ + τ − ε

(3.21)

Denklem (3.18), Denklem(3.15)'de yerine yazlarak dalgafonksiyonu

ψ

sol

(y) = D

1

y

δ

1 − y

τ

2

F

1

(a

1

, b

1

, c

1

; y)

+ D

2

y

−

δ

1 − y

τ

2

F

1

(a

1

− c

1

+ 1, b

1

− c

1

+ 1, 2 − c

1

; y)

(3.22)

bulunur. Dalgafonksiyonunun

x

→ −∞

asimptotikdavran³in elenmelidir. Bunun için

y

de§i³keninin bu limittehangi de§ere gitti§i

lim

x→−∞

y

= −e

−

a(x+L)

→ −∞

olarakbelirlenir. Bu sebeple

y

de§eri de yakla³k olarak

y ∼

=

−e

−

_a(x+L)

(3.23) de§erinialr. Dalgafonksiyonunun Denklem(3.22)'de yer alan terimleritek tek ele alna aktr.

y

→ −∞

limitdurumuiçin

2

F

1

(a

1

, b

1

, c

1

; y) → −∞

2

F

1

(a

1

− c

1

+ 1, b

1

− c

1

+ 1, 2 − c

1

; y) → −∞

olur. Dolaysyladalgafonksiyonudaiyitanmlolmaz. Bunedenle,Hipergeometrik fonksiyon özelliklerikullanlarak

2

F

1

(a

1

, b

1

, c

1

; y) =

Γ(c

1

)Γ(b

1

− a

1

)

Γ(b

1

)Γ(c

1

− a

1

)

(−y)

−

_a

₁

+

Γ(c

1

)Γ(a

1

− b

1

)

Γ(a

1

)Γ(c

1

− b

1

)

(−y)

−

_b

₁

(3.24)

2

F

1

(a

1

− c

1

+ 1, b

1

− c

1

+ 1, 2 − c

1

; y) =

Γ(2 − c

1

)Γ(b

1

− a

1

)

Γ(b

1

− c

1

+ 1)Γ(1 − a

1

)

(−y)

−

_(a

₁

−

c

1

+1)

+

Γ(2 − c

1

)Γ(a

1

− b

1

)

Γ(a

1

− c

1

+ 1)Γ(1 − b

1

)

(−y)

−

_(b

₁

−

c

1

+1)

(3.25) kullanlr. Denklem (3.24)ve (3.25)'de yeralan sabitleri

A

_≡

Γ(c

1

)Γ(b

1

− a

1

)

Γ(b

1

)Γ(c

1

− a

1

)

=

Γ(1 + 2δ) Γ(−2ε)

Γ(δ + τ − ε) Γ(1 + δ − τ − ε)

(3.26)

B

_≡

Γ(c

1

)Γ(a

1

− b

1

)

Γ(a

1

)Γ(c

1

− b

1

)

=

Γ(1 + 2δ) Γ(2ε)

Γ(δ + τ + ε) Γ(1 + δ − τ + ε)

(3.27)

F

_≡

Γ(2 − c

1

)Γ(b

1

− a

1

)

Γ(b

1

− c

1

+ 1)Γ(1 − a

1

)

=

Γ(1 − 2δ) Γ(−2ε)

Γ(−δ + τ − ε) Γ(1 − δ − τ − ε)

(3.28)

G

_≡

Γ(2 − c

1

)Γ(a

1

− b

1

)

Γ(a

1

− c

1

+ 1)Γ(1 − b

1

)

=

Γ(1 − 2δ) Γ(2ε)

Γ(−δ + τ + ε) Γ(1 − δ − τ + ε)

(3.29)

biçimindetanmlanarak Denklem(3.24) ve(3.25) fonksiyonlar

2

F

1

(a

1

, b

1

, c

1

; y) =

"

A

_(−y)

−

a

1

_{+ B (−y)}

−

b

1

#

(3.30)

2

F

1

(a

1

− c

1

+ 1, b

1

− c

1

+ 1, 2 − c

1

; y) =

"

F

_(−y)

−

(a

₁

−

c

1

+1)

_{+ G (−y)}

−

(b

₁

−

c

1

+1)

#

(3.31)

olarakelde edilir. Ayr a, bu limitdurumundayakla³k olarak

lim

y→−∞

(1 − y) = e

−

a

(x+L)

(3.32)

olur.

dalga fonksiyonu

ψ

sol

(x → −∞) = D

1



− e

−

a(x+L)



δ



e

−

a(x+L)



τ

×

"

A



e

−

_a(x+L)



−

δ−τ −ε

+ B



e

−

_a(x+L)



−

δ−τ

+ε

#

+ D

2



− e

−

_a(x+L)



−

δ



e

−

_a(x+L)



τ

×

"

F



e

−

_a(x+L)



δ−τ −ε

+ G



e

−

_a(x+L)



δ−τ

+ε

#

= D

1

(−1)

δ

"

A



e

−

_a(x+L)



−

ε

+ B



e

−

_a(x+L)



ε

#

+ D

2

(−1)

−

δ

"

F



e

−

_a(x+L)



−

_ε

+ G



e

−

_a(x+L)



ε

#

(3.33)

olarakelde edilir. Burada yeralan

δ, ε, τ

parametrelerinden

δ

e³itli§inibulmak için Denklem (3.5), (3.6), (3.7) ve (3.11) kullanr ve

δ

2

= ε

2

_{− β}

2

_{− γ}

2

=

−2mE

~

2

_a

2

−

2m(V

0

− W )

~

2

_a

2

−

2mW

~

2

_a

2

= −

2m(E + V

_~

2

_a

2

0

)

elde edilir. Ayr a

k

₁

2

_≡

2m

~

2

(E + V

0

)

(3.34) olaraktanmlanarak

δ

2

=

−k

2

1

a

2

ve

δ

_{= ±}

i

a

k

1

bulunur.

δ

içinpozitif de§eri ter ihedilmektedir.

δ

=

i

a

k

1

(3.35)

ε

e³itli§inibulmak içinise Denklem(3.5) kullanlmaktadr. Ayr a

k

2

_≡

2mE

~

2

(3.36) olaraktanmlanarak

−ε

2

=



k

a



2

ve

ε

_{= ±}

i

a

k

bulunur.

ε

içinde pozitifde§eri ter ihedilmektedir.

ε

=

ik

a

(3.37)

Son olarak

τ

e³itli§i içinDenklem (3.14)kullanlmaktadr.

τ

=

1

2

±

r 1

4

− γ

2

olur.

τ

için pozitifde§eri ter ih edilmektedir.

τ

=

1

2

−

r 1

4

− γ

2

(3.38) Son olarak

(−1) = e

iπ

(3.39)

e³itli§i de kullanlarak dalga fonksiyonu

ψ

sol

(x → −∞) = e

ik(x+L)

"

D

1

A e

−π

a

k

1

+ D

2

F e

π

a

k

1

#

+ e

−

ik(x+L)

"

D

1

B e

−π

a

k

1

+ D

2

G e

π

a

k

1

#

(3.40)

olarakbulunur.

Negatif bölgenin di§ersnrnda,

x

→ 0

−

limitdurumunda

y

de§i³keni

lim

x→0

−

y

= −e

−

_a(x+L)

= 0

yaknsar ve

aL

_{≫ 1}

için

y ∼

=

−e

−

a

(x+L)

(3.41)

de§erinialr. Denklem(3.22)'dekidalgafonksiyonundayeralan terimlertektekele alna aktr.

y

_{→ 0}

−

limitdurumu için

2

F

1

(a, b, c; y) → 1

(3.42)

2

F

1

(a − c + 1, b − c + 1, 2 − c; y) → 1

(3.43) olur. Ayr a,

(1 − y)

terimininlimitdurumu ise

lim

x→0

−

(1 − y) = 1 + e

−

_aL

olur. Dolaysyla yakla³k de§eri

aL

_{≫ 1}

için

1 − y ∼

= 1

(3.44)

bulunur. Ohaldesfranegatifbölgedenyakla³ldkçadalgafonksiyonunundavran³ Denklem (3.41), (3.42),(3.43) ve (3.44),Denklem(3.22)'de yerlerine yazlarak

ψ

sol

(x → 0

−

) = D

1

(−1)

δ

e

−

a

(x+L) δ

_{+ D}

2

(−1)

−

δ

e

a

(x+L) δ

(3.45)

ve de, Denklem(3.35),(3.37) ve (3.38)de yerlerine yazlarak

ψ

sol

(x → 0

−

) = D

1

e

−π

a

k

1

e

−

ik

1

(x+L)

+ D

2

e

π

a

k

1

e

ik

1

(x+L)

(3.46) olarakbulunur.

3.1.1.2. Pozitif bölge dalga denklemi

Bu bölgede basamakfonksiyonlar

θ

_{(−x) = 0}

θ(x) = 1

de§erlerini alrve GWSpotansiyeli

V

(x) =

−V

0

1 + e

a(x−L)

+

W e

a(x−L)

(1 + e

a(x−L)

₎

2

(3.47)

³ekline indirgenir. Bu potansiyel etkisinde hareket eden sabit

m

kütleli parça §a aitS hrödinger denklemi ise

ψ

′′

sag

(x) +

2m

~

2

"

E

+

V

0

1 + e

a(x−L)

−

W e

a(x−L)

(1 + e

a(x−L)

₎

2

#

ψ

sa˘

g

(x) = 0

(3.48)

gibidir. Budenklem için

z

=

1

1 + e

a(x−L)

(3.49)

de§i³ken de§i³imi yaplarak

dz

_{= −(1 + e}

a(x−L)

)

−

₂

e

a(x−L)

adx

d

dx

= a z (z − 1)

d

dz

d

2

dx

2

= a

2



_z

2

(z − 1)

2

d

2

dz

2

+ z (z − 1) (2z − 1)

d

dz



bulunur veDenklem (3.48)'de yerlerine yazlarak

z

'ye ba§l S hrödingerdenklemi

ψ

′′

sa˘

g

(z)+

"

1

z

+

1

z

_{− 1}

#

ψ

′

sa˘

g

(z)+

"

−ε

2

z

2

_{(z − 1)}

2

+

β

2

z

_{(z − 1)}

2

+

γ

2

(z − 1)

2

#

ψ

sa˘

g

(z) = 0

(3.50)

olarak elde edilir. Burada Denklem (3.5), (3.6) ve (3.7)'deki terimler kullanlmaktadr.

Elde edilenDenklem(3.50),tekilliknokltalarnndahakolaylklatespit edilebilmesi içindüzenlenerek

ψ

′′

sa˘

g

(z) +

"

1

z

+

1

z

_{− 1}

#

ψ

′

sa˘

g

(z)

+

"

−ε

2

z

2

+

β

2

_{− 2ε}

2

z

+

2ε

2

_{− β}

2

z

_{− 1}

+

β

2

_{− ε}

2

+ γ

2

(z − 1)

2

#

ψ

sa˘

g

(z) = 0

(3.51)

bulunur. Burada

z

= 0

ve

z

= 1

tekillik göstermektedir. lktekil nokta

z

→ 1

iken S hrödingerdenklemindeki baskn terimlerin

ψ

′′

sa˘

g

(z) +

"

1

z

_{− 1}

#

ψ

′

sa˘

g

(z) +

1

(z − 1)

2

"

− ε

2

+ β

2

+ γ

2

#

ψ

sa˘

g

(z) ≈ 0

(3.52)

oldu§ugörülür. Böyle birdiferansiyel denklemepolinom tarz çözüm önerilebilinir.

ψ

sa˘

g

(z) ≡ (z − 1)

ν

(3.53) Denklem (3.56) ve türevleri

ψ

sa˘

g

(z) = (z − 1)

ν

ψ

′

sa˘

g

(z) = ν (z − 1)

ν−1

ψ

′′

sa˘

g

(z) = ν (ν − 1) (z − 1)

ν−2

Denklem(3.52)'de yerlerineyazlarak

"

ν

_{(ν − 1) + ν + (−ε}

2

+ β

2

+ γ

2

)

#

(z − 1)

ν−2

= 0

elde edilir. Bu ifadeden

ν

'nün e³iti

ν

2

= ε

2

_{− β}

2

_{− γ}

2

(3.54)

olarakelde edilir.

kin i tekil nokta

z

→ 0

tekilli§inde ise, S hrödinger denkleminin baskn terimleri

ψ

′′

sa˘

g

(z) +

1

z

ψ

′

sa˘

g

(z) +

−ε

2

z

2

ψ

sa˘

g

(z) = 0

(3.55)

olarakyazlrvebenzer³ekilde polinomtarz

ψ

sa˘

g

(z) ≡ z

µ

(3.56)

çözüme sahipolmas gerekti§i görülür. Denklem(3.56)'i vetürevlerini

ψ

sa˘

g

(z) = z

µ

ψ

′

sa˘

g

(z) = µ z

µ−1

ψ

′′

sa˘

g

(z) = µ (µ − 1) z

µ−2

Denklem (3.55)'da yerlerine yazarak

µ

_{(µ − 1) z}

µ−2

+

1

z

µ z

µ−1

₊

−ε

2

z

2

z

µ

= 0

elde edilir. Bu da

µ

'nün e³itini

µ

2

= ε

2

(3.57)

olarak verir. Denklem (3.56) ve (3.53) sonuçlarn kullanarak

ψ

sa˘

g

(z)

için genel ifadesine, tekilliknoktalarndakidavran³laryla genel fonksiyonun çarpmolarak

ψ

sa˘

g

(z) = z

µ

z

− 1

ν

f

(z)

(3.58)

çözümü önerilir. Bu genel çözüm ve türevleri, Denklem(3.51)'da yerine yazlarak

z

_{(z − 1) f}

′′

(z) +

"

(2µ + 1 + 2ν + 1)z − (2µ + 1)

#

f

′

(z)

+

"

2 ε

2

_{− β}

2

+ 2 µ ν + ν + µ

#

f

(z) = 0

(3.59)

bulunur. Bu denklem Hipergeometrik diferansiyeldenklem

z

_{(z − 1) f}

′′

(z) +

"

c

2

− (1 + a

2

+ b

2

)z

#

f

′

(z) − a

2

b

2

f

(z) = 0

(3.60) ile benzemektedir. DolaysylaHipergeometrik fonksiyon kullanlarak

ileifade edilir. Burada yer alan parametrelerbenze³tirme metoduyla

a

2

=

1

2

+ µ + ν ∓

r 1

4

− γ

2

b

2

=

1

2

+ µ + ν ±

r 1

4

− γ

2

c

2

= 1 + 2µ

(3.62)

olaraktanmlanr.

a

2

ve

b

2

içinpozitif veya negatif seçim serbestli§i vardr. Pozitif i³aret seçilirse,

b

2

için negatif i³eretliolur.

a

2

=

1

2

+ µ + ν −

r 1

4

− γ

2

= µ + ν + τ

(3.63)

b

2

=

1

2

+ µ + ν +

r 1

4

− γ

2

= 1 + µ + ν − τ

(3.64)

Denklem (3.61), Denklem (3.58)'de yerine yazlarak dalgafonksiyonu

ψ

sa˘

g

(z) = D

3

z

µ

z

− 1

ν

2

F

1

(a

2

, b

2

, c

2

; z)

+ D

4

z

−

µ

_z

− 1

ν

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 2 − c

2

; z)

(3.65) bulunur. Dalga fonksiyonun

x

→ ∞

asimptotikdavran³lar in elenmelidir. Bunun için

z

de§i³keninin bu limittehangi de§ere gitti§i

lim

x→∞

(z) = 0

olarakbelirlenir. Bu sebeple

z

de§eri de yakla³k olarak

z ∼

= e

−

a

(x−L)

(3.66)

de§erinialr. Dalgafonksiyonunun Denklem(3.65)'de yer alan terimleritek tek ele alna aktr. Fonksiyonlar

z

→ 0

limitdurumunda iyitanmldrve

2

F

1

(a

2

, b

2

, c

2

; z) → 1

(3.67)

olur. Ayr a, bu limitdurumunda yakla³k olarak

lim

x→∞

(z − 1) = −1

(3.69)

olur. O halde sfra pozitif bölgeden yakla³ldkça dalga fonksiyonunun davran³ Denklem (3.66),(3.67), (3.68)ve (3.69),Denklem (3.65)'de yerlerineyazlarak

ψ

sa˘

g

(x → ∞) = D

3



e

a(x−L)



µ

(−1)

ν

_{+ D}

4



e

a(x−L)



−

µ

(−1)

ν

(3.70)

bulunur. Burada yer alan

µ

,

ν

parametrelerinden

µ

e³itli§ini bulmak içinDenklem (3.37)ve(3.57) kullanlarak

µ

2

= ε

2

=



i

a

k



2

bulunur ve

µ

_{= ±}

i

a

k

elde edilir.

µ

içinpozitifde§eri ter ih edilmektedir.

µ

=

i

a

k

(3.71)

ν

e³itli§inibulmak içiniseDenklem (3.11)ve (3.54) kullanlarak

ν

2

= ε

2

_{− β}

2

_{− γ}

2

bulunur ve

ν

_{= ±}

i

a

k

1

elde edilir.

ν

içinpozitifde§eri ter ih edilmektedir.

ν

=

i

a

k

1

(3.72)

O haldepozitifbölge dalga fonksiyonu sonsuzda

ψ

sa˘

g

(x → ∞) =

"

D

3

e

−

_ik(x−L)

+ D

4

e

ik(x−L)

#

e

−π

a

k

1

(3.73) gibidavranr.

Pozitifbölgenindi§er snrnda,

x

→ 0

+

limitdurumunda

z

de§i³keni

lim

x→0

+



z

=

1

1 + e

a(x−L)



= 1

de§erinialrve

aL

_{≫ 1}

(3.74) için

z ∼

= 1

(3.75)

de§erinialr. Denklem(3.65)'dekidalgafonksiyonundayeralan terimlertektekele alna aktr.

z

_{→ 1}

limitdurumu için

2

F

1

(a

2

, b

2

, c

2

; z) → ∞

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 2 − c

2

; z) → ∞

olur. Dolaysyladalgafonksiyonudaiyitanmlolmaz. Bunedenle Hipergeometrik fonksiyon özellikleri

2

F

1

(a

2

, b

2

, c

2

; z) =

Γ(c

2

) Γ(c

2

− a

2

− b

2

)

Γ(c

2

− a

2

) Γ(c

2

− b

2

)

2

F

1

(a

2

, b

2

, a

2

+ b

2

− c

2

+ 1; 1 − z)

+ 1 − z

c

2

−

(a

₂

+b

₂

)

Γ(c

₂

) Γ(a

₂

+ b

₂

− c

₂

)

Γ(a

2

) Γ(b

2

)

×

2

F

1

(c

2

− a

2

, c

2

− b

2

, c

2

− a

2

− b

2

+ 1; 1 − z)

(3.76)

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 2 − c

2

; z) =

Γ(2 − c

2

) Γ(c

2

− a

2

− b

2

)

Γ(1 − a

2

) Γ(1 − b

2

)

×

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 1 − a

2

− b

2

+ c

2

; 1 − z)

+ 1 − z

a

2

+b

2

−

c

2

Γ(2 − c

2

) Γ(a

2

+ b

2

− c

2

))

Γ(a

2

− c

2

+ 1) Γ(b

2

− c

2

+ 1)

×

2

F

1

(1 − a

2

,

1 − b

2

,

1 + a

2

− b

2

− c

2

; 1 − z)

(3.77)

kullanlr. Denklem (3.76) ve (3.77) fonksiyonlarnn içinde yer alan

2

F

1

(a

2

− c

2

+

1, b

2

− c

2

+ 1, 1 − a

2

− b

2

+ c

2

; 1 − z)

ve

2

F

1

(1 − a

2

,

1 − b

2

,

1 + a

2

− b

2

− c

2

; 1 − z)

fonksiyonlarnnde§eri ise

2

F

1

(a

2

, b

2

, a

2

+ b

2

− c

2

+ 1; 1 − z) → 1

2

F

1

(c

2

− a

2

, c

2

− b

2

, c

2

− a

2

− b

2

+ 1; 1 − z) → 1

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 1 − a

2

− b

2

+ c

2

; 1 − z) → 1

2

F

1

(1 − a

2

,

1 − b

2

), 1 + a

2

− b

2

− c

2

; 1 − z) → 1

biçiminde olur. Bu de§erler Denklem (3.77)'de yerlerine yazlr. Ayr a, Denklem (3.76) ve (3.77)'de yer alan sabitleri

M

_≡

Γ(c

2

)Γ(c

2

− a

2

− b

2

)

Γ(c

2

− a

2

)Γ(c

2

− b

2

)

=

Γ(2µ + 1) Γ(−2ν)

Γ(1 + µ − ν − τ) Γ(µ − ν + τ)

(3.78)

N

_≡

Γ(c

2

)Γ(a

2

+ b

2

− c

2

)

Γ(a

2

)Γ(b

2

)

=

Γ(2µ + 1) Γ(2ν)

µ

_{+ ν + τ ) Γ(1 + µ + ν − τ)}

(3.79)

M

1

≡

Γ(2 − c

2

)Γ(c

2

− a

2

− b

2

)

Γ(1 − a

2

)Γ(1 − b

2

)

=

Γ(1 − 2µ) Γ(−2ν)

1 − µ − ν − τ) Γ(−µ − ν + τ)

(3.80)

N

1

≡

Γ(2 − c

2

)Γ(a

2

+ b

2

− c

2

))

Γ(a

2

− c

2

+ 1)Γ(b

2

− c

2

+ 1)

=

Γ(1 − 2µ) Γ(2ν)

Γ(−µ + ν + τ) Γ(1 − µ + ν − τ)

(3.81)

biçimindetanmlanarak Denklem(3.76) ve (3.77) fonksiyonlar

2

F

1

(a

2

, b

2

, c

2

; z) = M + 1 − z

c

2

−

_(a

₂

_+b

₂

₎

N

(3.82)

2

F

1

(a

2

− c

2

+ 1, b

2

− c

2

+ 1, 2 − c

2

; z) = M

1

+ 1 − z

a

2

+b

2

−

c

2

N

1

(3.83)

olarakelde edilir. Ayr a, bu limitdurumunda yakla³kolarak

lim

x→0

+

(z − 1) =

−1

e

aL

_{+ 1}

olur. Dolaysyla yakla³k de§eri

aL

_{≫ 1}

için

z

_{− 1 ∼}

=

_−e

a

(x−L)

(3.84)

bulunur. Ohaldesfrapozitifbölgedenyakla³ldkçadalgafonksiyonunundavran³ Denklem(3.39),(3.75),(3.82),(3.83)ve(3.84),Denklem(3.65)'deyerlerineyazlarak

ψ

sa˘

g

(x → 0

+

) = D

3

(1)

µ



− e

a(x−L)



ν

"

M

+ N



e

a(x−L)



−

ν

#

+ D

4

(1)

−

_µ



− e

a(x−L)



ν

"

M

1

+ N

1



e

a(x−L)



−

_2ν

#

= D

3

(−1)

ν

"

M



e

a(x−L)



ν

+ N

#

+ D

4

(−1)

ν

"

M

1



e

a(x−L)



ν

+ N

1



e

a(x−L)



−

ν

#

(3.85)

ve Denklem (3.71),(3.72) de yerlerineyazlarak dalga fonksiyonunun davran³

ψ

sa˘

g

(x → 0

+

) = D

3

"

M e

ik

1

(x−L)

_{+ N}

#

e

−π

a

k

1

+ D

4

"

M

1

e

ik

1

(x−L)

+ N

1

e

−

ik

1

(x−L)

#

e

−π

a

k

1

(3.86) olarakbulunur.

3.2. Saçılma Durumu

Bu potansiyel kuyusunda saçla ak olan parça klarn enerjisi

E

s

_>

₀

olmaldr. Gelen dalgann bir ksm ilerlerken bir ksm da saçlabilir. O halde sa lmadurumunun snr³artlar,

x

→ −∞

'dahemilerleyen hemyansyandalgalar temsil eden özfonksiyonlardan,

x

→ +∞

ise sade e ilerleyen dalgalar temsil eden özfonksiyonlardan olu³abilir.

3.2.1. Pozitif ve negatif bölge saçılma durumu dalga denklemleri

Ön e negatif bölgede, sonra pozitif bölgede snr ³artlarna göre dalga fonksiyonubelirlene ektir.

3.2.1.1. Negatif bölge saçılma durumu dalga denklemi

Snr ³artlarDenklem (3.40)'de uygulanarak hem ilerleyen hem de yansyan dalganntemsil edildi§idalga fonksiyonu

ψ

sol

(x → −∞) = e

ik(x+L)

"

D

1

A e

−π

a

k

1

+ D

2

F e

π

a

k

1

#

+ e

−

_ik(x+L)

"

D

1

B e

−π

a

k

1

+ D

2

G e

π

a

k

1

#

(3.87) olarakbulunur.

3.2.1.2. Pozitif bölge saçılma durumu dalga denklemi

Snr ³artlar Denklem(3.73)'ye uygulanaraksade e ilerleyen dalganntemsil edildi§idalga fonksiyonunu

ψ

sa˘

g

(x → ∞) =

"

D

4

e

ik(x−L)

#

e

−π

a

k

1

(3.88)

olarakbulunur. Ohalde

D

3

= 0

(3.89)