Einstein rölativistik gravitasyon teorisinde, madde içindeki gravitasyon alanının kuadratik basınç ve kübik yoğunluğa sahip bir ideal akışkan için hesaplanması

Tam metin

(1)SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Cengiz KUMAK YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİMDALI Konya, 2006.

(2) ÖZET. Yüksek Lisans Tezi. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI. Cengiz KUMAK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı. Danışman: Prof. Dr. H. Şevki MERT 2006, 16 Sayfa. Jüri: Prof. Dr. H. Şevki MERT Doç. Dr. Ülfet ATAV Yrd. Doç. Dr. Atilla GÜLEÇ. Bu tezde, Einstein Genel Rölativite Teorisi’nin sonucu olarak elde edilen alan denklemlerinin, madde içersindeki gravitasyon alanını veren İç Schwarzschild Çözümü: P(r )  r 2 ,  (r )  r 3 ile belirlenen bir ideal akışkan için yapılmış ve gravitasyon alanı veren ds 2 ifadesi elde edilmiştir.. Anahtar Kelimeler: Gravitasyon Alanı, Genel Rölativite Teorisi, İdeal Akışkan, İç Schwarzschild Çözümü. iii.

(3) ABSTRACT M. S. Thesis THE ESTIMATION OF GRAVITATIONAL FIELD IN THE MATERIAL FOR THE IDEAL FLUID HAVING QUADRATIC PRESSURE AND CUBIC DENSITY USING EINSTEIN’ S RELATIVISTIC GRAVITATION THEORY Cengiz KUMAK Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor : Prof. Dr. H. Şevki MERT 2006, 16 Page Jury : Prof. Dr. H. Şevki MERT Assoc. Prof. Dr. Ülfet ATAV Ass. Prof. Dr. Atilla GÜLEÇ. In this thesis, Interior Schwarzschild Solutions of the equations, resulted from Einstein’ s General Relativity Theory, in the material for the ideal fluid having pressure P(r)=r 2 and density  (r)=r3 has been solved and the expression of the metric ds 2 , giving the gravitational field, has been obtained.. Key Words: Gravitational Field, General Relativity Theory, Ideal Fluid, Interior Schwarzschild Solutions. iv.

(4) İÇİNDEKİLER. ÖZET ABSTRACT ÖNSÖZ. 1. GİRİŞ………………………………………………………………………………...…... 1. 2. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD ÇÖZÜMÜNÜN P(r )  r 2 ve  (r )  r 3 İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI………………...……. ………………………………………............. 5. 2.1.. Alan Denklemlerinin Özellikleri……………..………………..……………......... 5. 2.2. Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü..…………………………….…... 7 2.3. . 3.. P(r )  r 2 ve  ( r )  r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması Ve ds 2 Yay İfadesinin Elde Edilmesi ………………………………………………………………...........….. 11. SONUÇ VE TARTIŞMALAR…………………………………………….…………... 15. KAYNAKLAR……………………………………………………….………………... 16. vi.

(5) ÖNSÖZ. Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Çalışmalarım süresince bilgi ve tecrübeleri ile bana her konuda yardımcı olan danışmanım Prof. Dr. H. Şevki MERT’e en içten teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım sırasında hiçbir zaman destek ve teşviklerini esirgemeyen Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü elemanlarına teşekkür ederim. Ayrıca, çalışmalarım süresince manevi desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen aileme, sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.. Cengiz KUMAK Konya, 2006. v.

(6) 1. 1. GİRİŞ. Bu yüzyılın başlarında kuramsal fizikte altın çağ başladığı zaman, adı henüz bilim dünyasında duyulmamış bir fizikçi vardı. Bu, Annalen der Physık’in 1905 tarihli sayısında fotoelektrik olayı, Brown hareketi ve özel görelilikle ilgili ünlü üç çalışmasını birden yayınlayarak üne kavuşan Albert Einstein’dır. Onun fizikteki hayat boyu çalışmaları bilimin felsefesi ve yöntemleri üzerinde büyük etki yaptı. 20. yy’ın ilk çeyreğinde Fizik alanında iki büyük devrim yaşanmıştır: Bunlardan biri Einstein’ın görelilik kuramları, diğeri de kuantum kuramıdır. Bunlar bilimde gerçek devrimlerdir; çünkü doğaya yeni bir gözle bakmayı sağlayarak yeni kavramlar, yeni ilkeler getirdiler. Fen bilimlerinden felsefeye, sosyal bilimlere kadar tüm bilimler bunların etkisinde kaldı. Bundan yüz yıl önce ortaya çıkan özel rölativite kuramından bu yana geçen sürede bilimsel sonuçları ile, fizikçilerin yanı sıra matematikçilerin, kimyacıların ve mühendislerin de yoğun ilgisini çekmiştir. Einstein’a göre ışığın boşluktaki hızının sabit olması gerçeği, Newton mekaniğindeki mutlak zaman kavramının sonu demekti ve Galilei görelilik ilkesinden özel rölativite ilkesine geçişi gerektiriyordu. Bu çelişkinin çözümü, Newton mekaniğinin ve göreliliğinin, Einstein’ın özel rölativite mekaniği ve göreliliğiyle düzeltilmesi sonucu, 1905’te gerçekleştirildi. Böylece klasik fizik, Newton artı Maxwell yasaları yerine Einstein artı Maxwell yasalarından oluştu. Maxwell denklemlerince sağlanan özel görelilik ilkesi, kavranması oldukça zor bir ilke olup, ilk bakışta içinde yaşadığımız dünyanın gerçek nitelikleri olarak kabullenilmesi güç, önseziden uzak pek çok nitelik taşımaktadır. Bu kuram tamamıyla Einstein’ın olağanüstü hayal gücünün ve yaratıcı zekasının bir ürünüdür. Aslında özel göreliliğe, Rus asıllı Alman geometrici Herman Minkowski‘ nin (1864-1909), 1908’de bulduğu ek bir öğe olmaksızın tam bir anlam verilemez. Minskowski’nin temel nitelikteki yeni görüşü, uzay ve zamanı birbirinden ayrılmaz bir bütün olarak alması ve dört boyutlu bir uzay-zaman olarak nitelemesiydi..

(7) 2. Özel rölativite teorisinde birbirine göre serbest hareket eden gözlemcilerin uzay-zaman koordinatları arasında matematiksel bağıntılar vardır. Hollandalı fizikçi Lorentz’in kendi adıyla anılan ve Lorentz dönüşümleri denilen bu bağıntıların fiziksel anlamı, olayların serbest hareket eden gözlemciler tarafından nasıl algılandığını göstermekten ibarettir. Örneğin, hareket halinde olan gözlemcinin saati, durgun olan gözlemciye göre geri kalıyor ve bu olay, gözlemcinin hızı ışık hızına yaklaştıkça daha çok fark ediliyor. Aynı zamanda, Lorentz dönüşümlerinden, uzunlukların da farklı serbest gözlemciler için farklı olduğu ortaya çıkıyor. Özetle, birbirine göre serbest hareket eden iki gözlemci hiçbir zaman ölçtükleri zaman veya uzay aralıklarının değeri konusunda anlaşamazlar. Bu anlaşmazlık ancak onların dört boyutlu uzay-zamana geçmeleriyle sona erecektir; çünkü onların her ikisine göre de aynı olan tek nitelik, dört boyutlu uzay-zamanda vardır. Bu nitelik, iki olay arasındaki dört boyutlu uzay-zaman aralığıdır. Yalnız bu aralık mutlak anlam taşıyor ve Lorentz dönüşümleri altında değişmez, yani herkes için aynı kalıyor. Bunun altında yatan gerçek ise ışığın boşluktaki hızının mutlak sabit olmasıdır. Einstein’ın özel görelik kuramı, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıkların davranışını başarıyla öngörmesi, kütlenin yoğunlaşmış bir enerji olduğunu ve hızla birlikte değiştiğini göstermesi gibi başarılarına rağmen, evrendeki en etkin kuvveti-gravitasyonu (evrensel kütle çekim kuvveti) açıklamakta yetersiz kalıyordu. Hatta özel rölativite, mevcut olan Newton’un gravitasyon teorisiyle de çelişki içindeydi; çünkü Newton’a göre bir cismin diğerine göre gravitasyonel etkisi ani olarak, yani sonsuz hızla gerçekleşiyordu. 200 yıldan fazla bir zaman içinde Güneş Sistemi’nde gezegenlerin hareket yasalarını başarıyla açıklayan, birçok yeni gezegenin varlığını öngören Newton gravitasyon teorisinin başka ‘dertleri’ de vardı. Örneğin, 19. yy sonlarına doğru Güneşe en yakın gezegen. olan. Merkür’ün. yörüngelerinde. gözlenen. anormallik,. Newton. gravitasyonuyla açıklanamıyordu. Yeni bir gravitasyon teorisine ihtiyaç duyulmaya başlanmıştı. 1915 yılının Kasım ayında Prusya Bilimler Akademisi’nin dört.

(8) 3. oturumdan oluşan toplantısında Albert Einstein’ın sunduğu “Rölativitenin Genel Teorisi” ile yeni bir gravitasyon yasası gerçekleşmiş oldu. Genel görelilik kuramı, Newton’un durağan ve sonsuza kadar uzanan değişmez bir evrende bulunan nesnelerin aralarındaki etkileşmeleri veren “evrensel gravitasyonel çekim yasası”nın yerine, değişen ve genişleyen, mutlak olmayan bir uzayda, ivmeli hareket eden bir evrende geçerli olan çekim yasasıdır. Einstein’ın bu kuramı iki ilkeye dayanıyordu: 1.. Kütlelerin eşdeğerlik ilkesi: Eşdeğerlik ilkesi, eylemsizlik kütlesinin. çekim kütlesine eşit olmasına dayanır. Bütün cisimlerin gravitasyon alanındaki serbest düşme hareketi aynı olup, cisimlerin türüne bağlı değildir. Bu durumda, serbest düşen cisimlerin uzay-zamandaki yolları seçkin eğriler olarak düşünülebilir. Dolayısıyla, cisimlerin serbest düşmesi, yani gravitasyon alanının özellikleri, uzayzaman yasasına bağlanmış olur. Özel görelilikte de serbest hareket eden cisimlerin yolları seçkin eğrilerdir ve geometrik anlamda onlar, uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir. Özel görelilikte metrik düz ve sabit olduğu için jeodezikler doğrusal çizgilerdir. Einstein’a göre gravitasyonel alanda serbest düşen cisimlerin seçkin yolları da uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir ama bu metrik eğri bir metriktir. Eğri metriğin jeodezikleri bir anlamda “doğruya en yakın” olan eğriler olarak düşünülebilir. 2.. Mach ilkesi: Özel görelilikte ‘uzay-zaman’ yasası değişmez olarak. düşünülür. Ernst Mach ve başka birçok filozof ve bilimciler bu düşünceyi yetersiz buluyordu. Mach, evrendeki madde dağılımının fizikte yerel olarak tanımlanan kavramları etkileyebileceğini düşünüyordu. Einstein, bu fikri kısmen kabul ediyordu. O, uzay-zaman yasasının her zaman sabit kalmayıp, evrendeki maddenin etkisiyle değişebileceğini içeren kuramın, gravitasyonu da betimleyebileceğine inanıyordu..

(9) 4. Einstein’ın genel görelilik kuramı özetle aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:  Genel görelilik, uzay-zamanın iç özelliklerini dört boyutlu uzay-zaman. metriğiyle verir.  Bu metrik her zaman düz olmak zorunda değildir, eğri bir metriktir.  Uzay-zaman metriğinin “düzlükten” sapması, uzay-zamanın eğriliği ile. orantılıdır. Dolaysıyla düzlükten sapma, eğriliğin bir ölçeğidir. Bu eğrilik ise gravitasyonun bir ölçeğidir, yani gravitasyonel olayların nedenidir.  Uzay-zamanın. eğriliği ve eğriliğindeki madde dağılımının özellikleri. arasındaki bağıntı keyfi olmayıp, somut matematiksel denklemlerle ifade edilebilir. Özetle, Einstein, özel görelilik kuramında yalnız uzay-zaman metriğinin mutlak anlam taşıyabileceğini ama gravitasyonel alanda mutlak olamayacağını anlıyor ve böylece genel rölativite doğuyor. Genel görelilik, geometrik bir teoridir; çünkü o, uzay-zaman metriğine dinamik rol verir. Bu geometrinin oluşturduğu eğrilik, kendini, evrende gravitasyonel alanlar olarak gösteriyor. Genel görelilik denklemleri, uzay-zaman geometrisinin “ne kadar” ve “nasıl” eğrildiğini ifade eder. Bu denklemler çözülerek, bütün cisimlerin etrafındaki uzay zaman geometrisi ve gravitasyon alanları bulunur. Bu kurama göre; kuvvet kavramının yerini uzay-zaman eğriliği alır. Maddenin bulunduğu ortam, uzay-zaman eğriliğini değiştirir. Genel rölativite, ışığın gravitasyon alanında bükülmesini, gravitasyonel kırmızıya kayma olayını, Newton teorisinin açılayamadığı Merkür’ün yörünge hareketini, gravitasyonel dalgaların var olabileceğini ve daha birçok gözlemsel olayı öngörür. Görünüşte bu olaylar deneysel olarak ölçülmüştür ve genel göreliliğin öngörülerinden herhangi bir sapma görünmemektedir. Yalnız gravitasyonel dalgalar henüz gözlenememiştir. Genel rölativite kuramı, bir başka devrimsel kavramı, kara delikler kavramını ortaya koydu. Ayrıca, evren bilim (kozmoloji) alanına da büyük katkılar yaptı..

(10) 5.

(11) 5. 2. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD ÇÖZÜMÜNÜN, P(r )  r 2 ve  ( r )  r 3 İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI 2.1.. Alan Denklemleri Ve Özellikleri Einstein’in rölativistik gravitasyon teorisi şu dört temel özelliğe sahiptir. 1) Gravitasyonun rölativist bir teorisinin alan denklemleri koordinat. sistemlerinden bağımsız bir biçimde ifade edilir. 2) Bu teoriye yataklık eden uzay-zamanın yapısı dört boyutlu Riemann’sal bir uzay-zamandır. 3) Teori, maddenin, uzay-zamanın geometrik yapısına tesirini içerir. 4) Teorinin alan denklemleri ilk yaklaşıklıkta klasik gravitasyon teorisinin alan denklemine (Poisson denklemine) indirgenir. Bu şartlardan ilki genel kovaryans ilkesine eşdeğer olup teorinin tansörel vasfına işaret etmektedir. İkinci şart gerçek gravitasyon alanlarının ancak Riemann’sal bir uzay-zaman çerçevesi içinde tutarlı bir şema oluşturacağına dair elde edilen sonucu yansıtmakta ve yerel eşdeğerlik ilkesine dayanmaktadır. Üçüncü şart uzay-zamanının geometrik yapısının, gravitasyon alanı üreteci olan maddeyle belirlenebileceğini ifade etmekte ve, bir bakıma, Mach ilkesinin bir ifadesi olmaktadır. Son şart ise teorinin klasik gravitasyon teorisiyle bağlantılı olmasını, yani bir bakıma klasik teorinin bir genellemesini teşkil etmesini içermektedir. Alan denklemlerinde Mach ilkesi uyarınca geometriyi etkileyen maddesel katkıyı da gene bir tansör aracılığıyla ifade edilir. Bu katkı Poisson denkleminin sağ yanının bir genellemesi olarak düşünülür. Ancak, Özel Rölativite Teorisi’ den (Ö.R.T.’ den) de bildiğimiz gibi madde ve enerji alanı T enerji-impuls tansörü aracılığıyla temsil edilebilir. Enerji-impuls tansörünün en önemli özelliğinin korunum özelliği olduğunu, yani diverjansının sıfır olmasıdır..

(12) 6.  T  0. (2.1.1). T tansörüyle temsil olunan madde-enerji dağılımları mekanik, termodinamik. ve elektromagnetik özellikleri sahip akışkanlar olarak tasarımlanabilir. Bu özellikler teker teker incelenebildikleri gibi bunların birbirleriyle etkileşmelerini de göz önüne almak mümkündür. Bu görüşü açısından T enerji-impuls tansörünü bir takım ikinci mertebeden tansörlerin toplamı olarak yazılr. (Özemre 1982) T  pc 2U U     M   F  Q. (2.1.2). Burada  toplam enerji yoğunluğunu U  vektörü U  U   1 olmak üzere dörtlü-hız vektörünü,   basınç ve gerilimler tansörünü, M  elektromagnetik enerji tansörünü, F elektromagnetik alanla maddenin etkileşmesini temsil eden tansörü ve Q  de termodinamik etkileşme tansörünü göstermektedir.. Biz burada T ’nün ideal bir akışkan için verilen:. T    c 2  P  U U  Pg . (2.1.3). ifadesini kullanacağız. Gravitasyonun rölativist teorisinde alan denklemlerindeki kaynak terimi, diverjansı sıfır olan T tansörüyle temsil olunabileceğine göre maddenin uzayzamanın geometrik yapısı üzerine etkisini belirleyecek olan kısmın da i) uzay-zamanın Riemann’ sal yapısın yansıtan, ii) Diverjansı özdeş olarak sıfır olan, iii) ikinci mertebeden simetrik bir tansör Aracılığıyla temsil edilmesi gerekir. Bu şartları bir sabit çarpan yaklaşıklığıyla sağlayan tansör R Ricci tansörüdür. Alan denklemleri için artık.

(13) 7. R . 1 g   R  2    xT 2. (2.1.3). yazılabilir. (Özemre 1982, Rosen 1971) Bu alan denklemlerinin, eğer varsa, T  0 için çözümlerine iç çözüm T  0 için çözümlerine de dış çözüm adı verilir. (2.1.3) alan denklemleri  ve x gibi iki sabit ihtiva etmektedirler. Kozmolojik sabit adı verilen  ile Einstein sabiti adı verilen x’ in değerlendirilmesi için, alan denklemlerinin ilk yaklaşıklıkta Poisson denklemine indirgenebilme şartına bakılması suretiyle:   0 ve  . 8 G c4. elde edilir. Sonuç olarak alan denklemlerinin nihai şekli de. R . (2.1.4). 1 8 G g  R   4 T 2 c. ifade edilir. Burada R Ricci tansörü     R                0. Şeklinde ifade edilir ve R  0 dış çözümü, R  0 iç çözümü yansıtır. (Özemre 1982, Rosen 1971, Sezekeres 1968). 2.2. Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü. Einstein’ in alan denklemlerini incelersek lineer olmayan, ikinci mertebeden kıs-. R . , 1 8 G g  R   4 T 2 c.    0,1, 2,3;   0,1, 2,3. (2.1.4). mi türevli 10 diferansiyel denklemden ibaret bir sistem oluşturmaktadır. Bu sistemin.

(14) 8. genel çözümünü inşa etme olanağı yoktur. Ancak özel hallerde, özel fiziksel ve geometrik şartlar altında sistemin çözümünü bulmak mümkün olur. Bunun için homojen, statik, küresel bir ideal akışkanın iç gravitasyon alanlarını temsil eden,. ds 2 ifadesini tesis etmeğe çalışacağız. Eğer g  metrik tansörü basit zaman, uzaysal, dik dönüşümlerde invaryant kalırsa, bu takdirde, g  nün küresel simetriye sahip olduğu söylenir. Bu tür bir dönüşümler altında g  metrik tansörünün sıfırdan farklı bileşenleri.  e  0 ( g  )   0  0 .   -e 0 0   2 0 -r 0  0 0 -r 2 sin 2   0 0. 0. . (2.2.1). şeklinde yazılır. Gravitasyon alanı temsil eden ds 2 yay ifadesinin genel şekli ise aşağıdaki gibi 2. ds 2  e  dx 0   r 2  d  2  sin 2  d  2   e  dr 2. (2.2.2). olur. (Özemre 1982, Voorhees 1970) Şimdi M kütleli küresel, durgun bir ideal akışkanın içinde oluşturduğu gravitasyon alanını hesaplamak istiyoruz. Bunun için ds 2.     r,t) ve     r,t). fonksiyonlarını. belirlemek. için,. statik. yay ifadesindeki Einstein. alan. denklemlerinden yararlanacağız. Burada seçtiğimiz gravitasyon alan durgun olduğu için,  ve ne de  fonksiyonu yalnız r’ ye bağlı olacaktır. İdeal bir akışkan için enerji impuls tansörü (2.1.3) ile yazılır. Ayrıca bu ideal. T    c 2  P  U U  Pg . (2.1.3). akışkanımız statik bir yapıya sahip olduğu için,  yoğunluğu ile  skaler basıncı yalnız radyal koordinatının fonksiyonu olurlar:.    (r ) ,  = (r ).

(15) 9. Cismin içindeki maddenin her noktada durgun olması evrensel dörtlü hız vektörünün bileşenlerini (U 0 ,0,0,0) şeklinde olmasını temin eder. Bundan dolayı da akışkanı oluşturan her bir madde taneciğinin öz-zamanı ile koordinat zamanı arasında 2. ds 2  g 00  dx 0   g 00 c 2 dt 2  1  g 00 U 0 . 2. (2.2.4). bağıntısı olacaktır. Buradan hareketle, ayrıca,. U 0  g 0 U   g 00U 0  g 00. ,. Ui  0. olduğu kolayca görülür. Buna göre T enerji-impuls tansörü.  g 00  2 0 T    c  0  0. 0 0 0 0   g10 0 0 0  P  g 20 0 0 0   0 0 0  g30. g 01 g 02 g 03   g11 g12 g13  g 21 g 22 g 23   g31 g32 g33 . şekline girecektir. Ancak (2.2.1) de gösterilmiş olduğu gibi küresel simetriyi sahip statik bir metriğin en genel şekli (2.2.2) ile verildiğinden T nün küresel simetriye sahip statik bir akışkan için ifadesi de.   c 2 e 0  0 0   P e 0 0 0 T    0 0  r 2 0    2 2 0  0 0  r sin   . (2.2.5). şekline indirgenir. Şimdi amaç, Einstein alan denklemlerinden hareketle, küresel simetriyi sahip statik bir ideal akışkanın içindeki gravitasyon alanını temsil edecek olan metrikteki e  ve e  fonksiyonlarını belirlemektir. Bunun için (2.1.4)’ den hareketle.

(16) 10. R  . 8 G  1  T  g  T  4   c  2 . (2.2.6). yazılabileceğine dikkati çekelim.Ayrıca da U  U   1, ve g   4 olması hasebiyle T  T   c 2  3P. (2.2.7). olduğunu da kaydederek (2.2.6) denklemlerinin sağ yanlarının sıfırdan farklı terimleri.  1 ev T00  g 00T    c 2  3P   2 2  1 e  T11  g11T    c 2  P   2 2  1 1 2 2  T22  g 22T    c  P  r  2 2  1 1 2 2 2  T33  g33T    c  P  r sin   2 2. (2.2.8). olur. Öte yandan dış çözüm’de Ricci tansörünün R  0 olması yardımıyla denklemin sol tarafı da kolaylıkla hesaplanır:.   "  ' '  ' 2  '   R00  e       4 4 r   2   "  ' '  ' 2  ' R11      2 4 4 r  ' '    r  r  R22  e   1    1 2 2     R33  R22 sin 2    . (2.2.9). Bu ifadelerde gene    d / dr ve    d / dr şeklinde ifade edilmiştir. Bu veriler çerçevesi içinde  ve  fonksiyonlarını belirleyen diferansiyel denklemlerin.

(17) 11.   "  ' '  ' 2  '  8 G   c 2 3P  e      4    4 4 r c  2 2   2  "  '  '  ' 2  '  8 G   c 2 P  e      4    4 4 r c  2 2 2  1 '  '  1 8 G   c 2 P  e  2        2r  r 2 c4  2 2 r. (2.2.10.a) (2.2.10.b ) (2.2.10.c). den ibaret 3 lineer diferansiyel denklemden oluşan bir sistem olacağı görülmektedir. Buraya dördüncü bir denklemin eklenmeyişinin sebebi (2.2.9) den de görüldüğü gibi. R 33 ün, R 22 ile orantılı olması ve dolayısıyla, farklı bir çözüme yol açacak bir denklem oluşturmayışıdır. ( Özemre 1982, Hoyle ve Narlıkar 1963, Rosen 1971, Sezekeres 1968, Voorhees 1970) 2.3. P(r )  r 2 ve  ( r )  r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması ve ds 2 Yay İfadesinin Elde Edilmesi Problemin çözümü.  ve  fonksiyonlarını belirleyen, (2.2.10)’ da ki üç. diferansiyel denklemin çözümüyle mümkündür. Bunun için öncelikle denklem (2.2.10.a) ve (2.2.10.b) taraf tarafa toplarsak.   '   '  8 G 2 e    4  c  P  c  r  . (2.3.1). elde edilir. (2.2.10.a), (2.2.10.c) ve (2.3.1) denklemleri kullanılarak  ve P 'yi çekmek mümkündür. Bunun için önce (2.3.1) denklemi ile (2.2.10.c) denklemi taraf tarafa toplanır ve P çekilir. ' 8 G 1 1    P. 4  e   2   2 c r r  r. (2.3.2). (2.3.1) denkleminden (2.2.10.c) denklemi çıkarılıp  çekilir.. . 8G 1 1   e    ' 2   2 2 c r  r . Böylece P ve  ' yu çekmiş olduk. Bundan sonra (2.2.10.b) denkleminden (2.2.10.c) denklemini çıkarırsak,. (2.3.3).

(18) 12. e  ' '  '      1  ''  '2     2  r2 4 2r r r 2 4. (2.3.4). elde edilir. Şimdi denklem (2.3.2)’ nin türevini alırsak.. 8 G dP          2  2  e   2   2  3 3 4 c dr r r r  r r r elde edilir.Denklem (2.3.4)' de (. (2.3.5).   )’ yi çekip, denklem (2.3.5)'de yerine yazalı ve r. gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra,. . 8 G dP            .  e   c 4 dr 2  r . (2.3.6). elde edilir. (2.3.6) denklemi (2.3.1) denklemiyle karşılaştırılırsa, . 8 G dP 2 (    ) 8 G . .  e  4 (  c 2  P) 4 c dr   r c. dP   (  c 2  P ). dr 2. (2.3.7). olduğu anlaşılır. Şimdi denklem (2.3.7)’de  (r )  r 3 , P(r )  r 2 yoğunluk ve basınç değerlerini yerine koyalım.. dr 2    (r 3c 2  r 2 ).  2r  (r 3c 2  r 2 ). dr 2 2 Buradan.   . 4 2 2. r c r. şeklinde bulunur.. (2.3.8).

(19) 13. Her iki tarafın da integrali alınıp integrasyon sabiti sıfır olarak seçilirse; .   4 In. rc 2  1 r. (2.3.9). şeklinde bulunur. Burada  ’nün r’ ye göre değişim grafiği de Şekil: 2.3.1’ de ki gibi olur.. Şekil 2.3.1 ’ nün ( r )’ ye göre değişim.

(20) 14. k. 8G seçilir ve (2.3.8) 'de elde ettiğimiz ( ) değeri denklem (2.3.2)' de yerine c4. koyulursa  :   rc 2  3   In  4  2  (kr  1).(rc  1) . (2.3.10). şeklinde elde edilir. Burada  ’ nın r ’ ye göre değişim grafiği de Şekil: 2.3.2 ’ deki gibi olur. Bulduğumuz  ve  fonksiyonları , (2.2.2)’ de yerine yazılırsa; yay ifadesi nihai şekline aşağıdaki gibi kavuşur. 4.  rc 2  1  rc 2  3 0 2 2 2 2 2 ds   dx  r d   sin   dr 2      8  G  r  ( 4 r 4  1).(rc 2  1) c 2. Şekil 2.3.2.  ’ nın r ’ ye göre değişim grafiği. (2.3.11).

(21) 15.

(22) 15. SONUÇ VE TARTIŞMALAR Einstein’ın Genel Rölativite Teorisi’nin sonucu olarak elde edilen Alan Denklemleri yardımıyla herhangi bir maddenin içindeki gravitasyon alanı tespit edilebilir. Bu yaptığımız çalışmada. maddeyi temsil eden enerji-impuls. tansörünü en basit haliyle basınç ve. yoğunluğun fonksiyonu olarak (2.1.3)’ deki gibi seçtik. Gerçekte ise madde daha bir çok parametrenin (elektromanyetik enerji, elektromanyetik etkileşme, termodinamik etkileşme) fonksiyonudur. Alan denklemlerinin tam çözümü ancak bütün parametrelerin dahil edildiği bir çözümdür. Yalnız bu paremetrelerin dahil edildiği çözümleri yapmak çok zordur. Bu yüzden nisbeten daha kolay bir çözüm olan basınç ve yoğunluğun dahil edildiği ideal akışkan şeması için çözümü yaptık. Böyle bir ideal akışkanın statik olduğunu da kabul edersek.  yoğunluğu ile P skaler basıncı yalnızca radyal koordinatının fonksiyonu olurlar. 2 3 Biz burada, verilen P(r )  r  (r )  r basınç ve yoğunluk değerleri için, küresel. simetriye sahip, statik bir ideal akışkanın içersinde ki gravitasyonel alanını temsil edecek olan, ds 2 yay elemanını (2.3.14)’ deki gibi elde ettik. Burada yay ifadesinde yerine koyulan  ve  fonksiyonları,. böyle bir maddedeki. gravitasyonel alanın nasıl değiştiğini gösterir. Bulduğumuz  fonksiyonu gravitasyonel alan potansiyelinin, klasik teorideki Newton potansiyeline karşılık gelir.  ise potansiyele gelen, gözlenemeyen diğer pertürbasyon katkılarını göstermektedir. Bu fonksiyonların r’ ye bağlı değişim grafiklerini. Şekil 2.3.1. ve Şekil 2.3.2’ deki gibi elde ettik. Bu grafikler. incelendiğinde, gravitasyonel alan potansiyelinin Newton potansiyelinden saptığı görülür. Bunun sebebi ise Newton gravitasyon alan ifadesin de madde sadece kütle ile temsil edilmektedir. Fakat maddenin yapısını belirleyen basınç ve yoğunluk katkıları yer almamaktadır. Bulduğumuz  potansiyeli , uzaklığın artmasıyla birlikte giderek azalarak, sonsuzda sıfıra yaklaştığı görülmektedir. Bu ise tutarlı bir sonuçtur..

(23) 16. KAYNAKLAR. A.Yüksel Özemre, İ.Ü. 1982. Gravitasyonun Rölativist Teorileri, İstambul. B. H. Voorhees, Static Axially Symmetric Gravitational Fields, Phys. Rev. D2, 2119 (1970). F.Hoyle, J.Narlıkar, Proc.Roy.Soc., 273 A, 1, (1963).. N.Rosen, Phys. Rev., D3, 2317, (1971).. P. Sezekeres, Multipole Particles in Equilibrium in General Relativity, Phys. Rev. 176, 1446 (1968). Süleyman Bozdemir, “Felsefe, Bilim ve Fizik”, TFV Fizik Dergisi, Sayı: 16, Ekim 2001. Yalçın Koç; “Kuantum Felsefesi” Tübitak Bilim ve Teknik dergisi, Sayı: 326, sayfa (22-29) Ocak-1995.

(24)