Test 4 Pozitif - Negatif Sayılar

– 23 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 4 Çözümler

POZİTİF – NEGATİF

SAYILAR

1.

Bilgi:

• Pozitif sayıların bütün kuvvetleri (ister tek olsun, ister çift olsun) pozitiftir.

a > 0 ise

aTek _{> 0 ve a}Çift _{> 0 dır.}

• Negatif sayıların tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir.

a < 0 ise

aTek _{< 0 ve a}Çift _{> 0 dır.}

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Çözüm I:

x negatif bir gerçel sayı olduğuna göre, –x pozitif bir sayıdır.

I. (_-x)5_$

+

7 Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri

pozitiftir.

II. (_-x) 3_$

+

-7 Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri

pozitiftir.

III. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğundan

x6 _{pozitiftir. O hâlde x-} 6_$

+

5 negatiftir.

Bu durumda daima negatif olan öncül Yalnız III tür. Çözüm II:

Bu tür sorularda aralığa uygun değerler verilerek çözüm yapılabilir.

x negatif bir gerçel sayı olduğuna göre, x = –2 olsun. . ( ) ( ( )) ( ) . ( ) ( ( )) ( ) . ( ) I x Pozitif II x Pozitif III x Negatif 2 2 32 2 2 2 1 8 1 2 64 5 5 5 3 3 3 3 6 6 $ $ $ - = - - = = - = - - = = = - = - - = -- -

-Bu durumda daima negatif olan öncül Yalnız III tür.

Cevap: C

2.

a < 0 < b eşitsizliğine göre, a = –2 ve b = 3 olsun.

I. (a·b)–3 _{= ((-2)·3)}–3 _{= (–6)}–3

Negatif sayıların tek kuvveti negatif olacağından ifade negatiftir. II. b a 3 ( 2) 3 2 1 3 8 1 3 8 1 8 25 3 3 3 - = - - = - - = -= + = -e o e o olur ve pozitiftir. III. a b ( 2) 3 16 3 1 3 49 4₊ -1_{= -} 4₊ -1_{= + =} olur ve pozitiftir.

Dolayısıyla negatif olan öncül Yalnız I dir.

Cevap: A

3.

x ve y ifadelerine uygun değerler verilerek öncüllerde

yerine yazılır. I. x = –3 ve y = 2 alınırsa, y x 2 3_$ = - Negatiftir. II. x = –3 ve y = 2 alınırsa, x·y = (–3)·2 = –6 $ Negatiftir. III. x = –3 ve y = 2 alınırsa, y – x = 2 – (–3) = 2 + 3 = 5 $ Pozitiftir. IV. x = –3 ve y = 2 alınırsa, x + y = –3 + 2 = –1 $ Negatiftir.

Bu durumda, her zaman pozitif olan öncül Yalnız III tür.

Cevap: B

4.

a·b > 0 yani a ve b sayılarının çarpımı 0 dan büyük

yani pozitif olduğuna göre, a ve b aynı işaretlidir. Yani a pozitif ise b pozitiftir veya a negatif ise be negatiftir. a + b > 0 öncülüne göre, a ve b sayılarının pozitif olması gerekir.

– 24 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 4 Çözümler

POZİTİF – NEGATİF

SAYILAR

5.

x < 0 < y < z eşitsizliğine dayanarak seçenekler

ince-lenirse, x < 0 yani x $ (–) 0 < y yani y $ (+) 0 < z yani z $ (+) olur. A) . . x y ( ) $ + + ( )

Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif de pozitif de olabileceğinden kesinlik yoktur. B) . . . x y z ( ) $ + + + ( )- ( )+

Toplamında y + z toplamı kesinlikle pozitiftir.

x+ +y z $

- +

5 ; Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının

toplamında kesinlik yoktur.

C) x < y & 0 < y – x tir. Yani y – x pozitiftir.

y pozitif ve z pozitif olduğundan y + z ifadesi de pozitiftir.

O hâlde, y x_{y z}-₊

+ +

E

; olduğundan ifade kesinlikle

pozi-tiftir. Cevap: C

6.

x < y < 0 < z olduğuna göre, x < 0 yani x $ (–) y < 0 yani y $ (–) 0 < z yani z $ (+)

olur. Bu bilgilere göre seçenekler incelenirse; A) z > x & z – x > 0 dır. Yani z – x pozitiftir. O hâlde,

( ) x y z x$ $ -- + -. . ;

olduğundan ifade pozitiftir.

B) z > y & 0 > y – z dir. Yani y – z negatiftir. O hâlde,

+ ( ) z y z y $ $ -. . ;

olduğundan ifade pozitiftir.

C) z > y & z – y > 0 dır. Yani z – y pozitiftir. O hâlde,

+ ( ) x z z y$ $ -+ -. . ;

olduğundan ifade negatiftir.

D) z – y > 0 ve z – x > 0 olduğundan ifadeler

pozitif-tir. O hâlde, (z y- ) ($ z x- )

+ +

; ; olduğundan ifade

pozitiftir.

E) x < z & x – z < 0 dır. Yani x – z negatiftir. x < y & x – y < 0 dır. Yani x – y negatiftir. O hâlde,

(x z- ) ($ x y- )

-

-; -; olduğundan ifade pozitiftir.

Cevap: C

7.

Bilgi:

x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar, a, b ve c çift sayılar olmak üzere,

xa _{+ y}b _{+ z}c

ifadesi asla sıfıra eşit olamaz. Çünkü kuvvetleri çift olduğundan ve tabanlar sıfırdan farklı olduğundan bu toplam daima pozitiftir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

A) (x y) (y z) 0 0 2 0 2 - + - = ; ; olabilir. B) x2 (y z) 0 2 + -+

. ; ifadesi kesinlikle pozitiftir.

C) . (x y) z 0 2 2 - + +

; ifadesi kesinlikle pozitiftir.

D) x2₊y2₊z2

+

+ +

.

. .

ifadesi kesinlikle pozitiftir.

E) (x 1) (y z) z2 0 0 2 2 - + - + + .

; ; ifadesi kesinlikle pozitiftir.

– 25 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 4 Çözümler

POZİTİF – NEGATİF

SAYILAR

8.

Bilgi:

Bu tür sorularda ifadenin üssü çift ise ifadenin tama-mı, üssü tek ise sadece ifadenin üssü atılarak işlem yapılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • x in kuvveti çift olduğundan tamamı, y nin kuvveti

tek olduğundan kuvveti, z nin kuvveti çift olduğun-dan tamamı atılır.

x y z2$ 5$ 4<0&y<0 yani y negatiftir.

• x in kuvveti tek olduğundan kuvveti, y nin kuvveti çift olduğundan tamamı, z nin kuvveti çift oldu-ğundan tamamı atılır.

x y z7$ 4$ 6>0&x>0 yani x pozitiftir.

• x in kuvveti tek olduğundan kuvveti, y nin kuvveti çift olduğundan tamamı, z nin kuvveti tek oldu-ğundan kuvveti atılır.

x y3$ 6$z7<0&x$z<0

x·z < 0 ise x ile z ters işaretli olmalıdır. x pozitif oldu-ğuna göre, z negatiftir.

O hâlde x, y, z sayılarının işaretleri sırasıyla +, –, – olur.

Cevap: A

9.

• x in kuvveti çift olduğundan tamamı, y nin

kuvveti tek olduğundan kuvveti atılır.

x y4$ 5<0&y<0 yani y negatiftir.

• x – y < 0 & x < y

( ) -.

dir.

x ifadesi y ifadesinden küçük ve y negatif oldu-ğundan x ifadesi de negatif olmalıdır.

• x y z 0$ $ <

-. .

x ve y negatif olduğundan çarpımları pozitiftir.

x y z$ $ <0

+

9

Pozitif bir ifade ile negatif bir ifade çarpıldığında sonuç negatif olacağından z negatiftir.

O hâlde x, y, z nin işaretleri sırasıyla –, –, – olur.

Cevap: A

10.

a, b ve c nin kuvvetleri tek olduğundan kuvvetleri

atılır.

a b c3$ 5$ 7>0&a b c$ $ >0 dır. Yani a·b·c pozitiftir.

I. a > 0 & a pozitiftir. c < 0 & c negatiftir. b > 0 & b pozitiftir. Buna göre, . a$ $b c $Negatiftir + -+ . . .

II. a < 0 & a negatiftir. b < 0 & b negatiftir. c > 0 & c pozitiftir. Buna göre, . a b c$ $ $Pozitiftir - - + . . .

III. a > 0 & a pozitiftir. b > 0 & b pozitiftir. c > 0 & c pozitiftir. Buna göre, . a b c$ $ $Pozitiftir + + + . . . Cevap: D

11.

I. a > 0 & a pozitiftir. II. a c3$ 5<0&a c$ <0 d r› .

a·c < 0 ise a ile c ayrı işaretli olmalıdır. a pozitif olduğuna göre, c negatiftir.

III. a c b$( - )>0&c b- >0&c>b dir.

+ +

. ;

c negatif, a pozitif olduğundan (pozitif sayı, nega-tif sayıdan büyük olacağından) a > c dir.

Buna göre sıralama

a > c > b veya b < c < a bulunur.

– 26 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 4 Çözümler

POZİTİF – NEGATİF

SAYILAR

12.

• a c3$ 5>0&a c$ >0 d r› .

a·c > 0 ise a pozitif ise c pozitif veya a negatif ise c negatiftir.

• a3_$b5₌0_&a_$b₌0 ›d r.

a·b = 0 ise a veya b den biri 0 olmalıdır. Ancak yukarıdaki bilgiye göre, a pozitif veya negatif oldu-ğundan b = 0 olur.

• b c+ <0&0+c<0&c<0 d r› .

c < 0 olduğuna göre, a·c > 0 olduğuna göre, a ifadesi de negatif olmalıdır.

Cevap: B

13.

• x + z = 0 & x = –z

• x y5$ 3<0&x y$ <0

• y + z < 0

Bu bilgilere dayanarak ortaya 2 durum çıkar. I. durum:

x·y < 0 & x < 0 ve y > 0 olur.

• x= -z&z>0 d r› . + -. . • y+z<0 + + . .

olduğundan yani iki pozitif sayının top-lamının negatif olamayacağı açıktır.

II. durum:

x·y < 0 & x > 0 ve y < 0 olur.

• x= -z&z<0 ›d r. +. -. • y z 0+ < - -. .

olduğundan yani iki negatif sayının top-lamının negatif olduğu kesindir.

Buna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla +, –, – olur.

Cevap: E

14.

x y z4$ 5$ 7<0&y z$ <0 ›d r.

y·z < 0 ise y ile z nin işaretleri farklı olmalıdır. • y > 0 ise z < 0 olabilir. Ancak verilen sıralamaya

x<y<z + . -. uygun olmaz. • y < 0 ise z > 0 olabilir. + x<y<z -. .

Sıralamaya göre x in negatif olması gerekir. Buna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla –, –, + olur.