Genelleştirilmiş Fibonacci elemanlı dairesel matrislerin normları üzerine

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

GENELLEŞTĐRĐLMĐŞ FIBONACCI ELEMANLI

DAĐRESEL MATRĐSLERĐN NORMLARI ÜZERĐNE

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Hazırlayan Murat ŞEN

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

GENELLEŞTĐRĐLMĐŞ FIBONACCI ELEMANLI DAĐRESEL MATRĐSLERĐN NORMLARI ÜZERĐNE

Murat ŞEN

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

Bu tez 18/ 08 / 2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI (Danışman)

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. A. Dilek GÜNGÖR

(Üye) (Üye)

iii ÖNSÖZ 1. BÖLÜM LĐTERATÜR ÖZETĐ………....………...…….1 2. BÖLÜM ÖN BĐLGĐLER……….………....………...….6 2.1. Matris Normları, Matrislerin Hadamard ve Kronecker Çarpımları………….6 2.2. Dairesel (Circulant) Matris………..9 2.3. Fibonacci, Lucas ve Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları……….9 2.4. Fibonacci, Lucas ve Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları

Arasındaki Bağıntılar………...16 2.5. Fibonacci ve Lucas Katsayılı Dairesel Matrislerin Normlarının

Fibonacci ve Lucas Sayılarına Bağlı Alt ve Üst Sınırları………..17 2.6. Lucas Katsayılı Dairesel Matrislerin Normlarının

Lucas Sayılarına Bağlı Alt ve Üst Sınırları……….24

3. BÖLÜM

GENELLEŞTĐRĐLMĐŞ FIBONACCI ELEMANLI DAĐRESEL

MATRĐSLERĐN NORMLARININ ALT VE ÜST SINIRLARI...26

4. BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERĐLER…...37

iv

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI yönetiminde hazırlanarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Bu Yüksek Lisans Tezi üç bölümden oluşmuştur.

Birinci bölümde; konuya ait literatür özeti verilmiştir.

Đkinci bölümde; Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının tanımları, özellikleri ve aralarındaki bazı bağıntılar, dairesel matris, matris normu,

p

ℓ _{normu, Frobenius (Euclidean) normu, maksimum sütun ve satır uzunluk normu,} matrislerin Hadamard ve Kronecker çarpımlarının tanımları verilmiştir. Ayrıca Fibonacci ve Lucas elemanlı dairesel matris normlarına sınırlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde ise Fibonacci ve Lucas elemanlı dairesel matrisler için bulunmuş olan sonuçlardan yararlanarak, genelleştirilmiş Fibonacci elemanlı dairesel matrislerin normlarının alt ve üst sınırları elde edilmiştir.

Tezimin hazırlanmasında bana yardımcı olan Yrd. Doç. Dr. Kemal Uslu’ya, bu zaman içinde manevi desteğini hiç esirgemeyen eşim Sultan Şen ve biricik kızım Irmak Şen’e, özellikle yüksek lisans çalışmamı yönetmeyi kabul ederek, tezimin her aşamasında yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Ayşe Nallı’ya içtenlikle teşekkür ederim.

Murat ŞEN

v

Yüksek Lisans Tezi

GENELLEŞTĐRĐLMĐŞ FIBONACCI ELEMANLI DAĐRESEL MATRĐSLERĐN NORMLARI ÜZERĐNE

Murat ŞEN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

2008, 40 sayfa

Jüri: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. A. Dilek GÜNGÖR

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; konuya ait literatür özeti verilmiştir, ikinci bölümde; Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayılar, dairesel matris ve norm tanımları, özellikleri ve aralarındaki bazı bağıntılar verilmiştir, üçüncü bölümde ise Fibonacci ve Lucas elemanlı dairesel matrisler için bulunmuş olan sonuçlardan yararlanılarak, genelleştirilmiş Fibonacci katsayılı dairesel matrislerin normlarının alt ve üst sınırları bulunmuştur.

ANAHTAR KELĐMELER: Dairesel matris, Fibonacci sayıları, Lucas sayıları, genelleştirilmiş Fibonacci sayıları, matris normları.

vi M.Sc. Thesis

ON THE NORMS OF CIRCULANT MATRICES WITH THE GENERALĐZED FIBONACCI NUMBERS

Murat ŞEN

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Asist. Prof. Dr. Ayse NALLI

2008, 40 pages

Jüri: Asist. Prof. Dr. Ayşe NALLI Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Asist. Prof. Dr. A. Dilek GÜNGÖR

This study consists of three sections. In the first section, it has given the brief of literature related to this subject. In the second section, it has given definition of Fibonacci, Lucas and generalized Fibonacci numbers, the circulant matrix and the norm, some relations between them, in the third section; Using to from obtained results for Fibonacci and Lucas coefficients circulant matrices, it has examined the lower and upper bounds the norms of the circulant matrices with generalized fibonacci numbers coefficients.

KEY WORDS: Circulant matrix, Fibonacci numbers, Lucas numbers, generalized Fibonacci numbers, matrix norm.

1.BÖLÜM LĐTERATÜR ÖZETĐ

Bu bölümde Fibonacci, Lucas sayıları ile ilgili literatürde yapılmış olan bazı çalışmaları verelim.

Solak S. ve Bozkurt D. (2003), bu çalışmada

[

1/( ( ))

]

, 1 n n i j H = g+h i+ j ₌≡

(

[

1/( )

]

n_{, 1}

)

i j g+kh ₌ , k = 0, 1, 2, …, n-1 matris formunun p

ℓ _{ve spektral normları için sınırlar verilmiştir. Burada; i + j ≡ k (mod n) olacak} şekilde k tanımlanmıştır. Ayrıca Solak ve Bozkurt,

    ≠ ≡ − = = j i n k i j k j i a C_n , )) (mod ( 1 ,

şeklinde verilen hemen hemen dairesel matrisi tanımlamışlardır. Burada; a∈ℝ−

{ }

0 ve k = 1, 2, …, n-1 dir.

Solak S. ve Bozkurt D. (2002), bu çalışmada C hemen hemen dairesel matrisinin _n

p

ℓ _{operatör ve matris normlarının üst sınırlarını elde etmiştir.}

Solak S. (2005), bu çalışmada n ×n mertebeli A=[a_ij] ve B=[b_ij] matrislerini

)) , (mod(j in

ij F

a = ₋ ve b_ij =L_{(mod(j−i,n))} şeklinde tanımlamıştır. A ve B matrislerinin spektral ve Öklid normları ile ilgili bazı alt ve üst sınırlar elde etmiştir. Ayrıca A ve B matrislerinin Hadamard ve Kronecker çarpımlarının normlarının sınırlarını da bulmuştur.

Civciv H., Türkmen R. (2008), bu çalışmada Lucas elemanlı dairesel matris ve bu matrisin normlarının alt ve üst sınırları Lucas sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Ayrıca bu matrisin Hadamard tersinin normunun alt ve üst sınırları elde edilmiştir.

Cahill N.D. ve Narayan D.A. (2004), bu çalışmada Fibonacci ve Lucas sayıları ile üçlü band matrisler arasındaki ilişkiyi araştırmak için, Fibonacci alt dizileri, Lucas alt dizileri ve Fibonacci sayılarının çarpımlarını vermişlerdir.

Öcal A.A., Tuğlu N. ve Altınışık E. (2005), k-mertebeli Fibonacci ve Lucas sayılarını temsil eden bazı determinant ve permanentleri vermişlerdir. Bu temsilleri kullanarak Fibonacci ve Lucas dizilerinin Binet formülünü elde etmişlerdir.

Taşçı D. ve Kılıç E. (2004), bu makalelerinde matris sembolündeki Lucas sayılarının yeni genellemesini vermişlerdir. Aynı zamanda mertebesi k olan genelleştirilmiş Lucas dizileri ile Fibonacci dizileri arasındaki ilişkiyi vermişlerdir.

Lee G.Y., Kim J.S. ve Cho S.H. (2003), Fibonacci matrisinden elde edilen 1. ve 2. çeşit Stirling matrisi olan Pascal matrisini çalışmışlardır. Fibonacci matrisi ve 1. ve 2. çeşit Stirling matrisi olan Pascal matrisinin matris tanımlamasından birleşme özdeşliklerini elde etmişlerdir.

Richardson T.M. (2001), bu makalede F , n. Fibonacci sayısı olmak üzere Filbert _n

matrisinin (i, j). elemanının

1 1

− + j i

F olduğunu, n ×n mertebeli Filbert matrisinin

tersinin,n ×n Hilbert matrisinin tersine benzediğini ve elemanlarının tam sayı olma özeliği taşıdığını ispatlamıştır. Katsayıları tam sayı polinomları olan Fibonacci polinomları ile bunların yerine konulan Fibonacci sayıları ile şekillendirilmiş olan matrislere ait özellikleri ispatlamıştır.

Cahill N.D. , D’Errico J.R. ve Spence J.P. (2003), bu makalede Fibonacci ve Lucas sayılarının kompleks çarpanlarına ayırmak için lineer cebiri ve çok sayıda teoriyi kullanmışlardır. 2. ve 3. bölümlerde sırasıyla bu kompleks çarpanlara ayırmayı vermişlerdir. ) cos 2 1 ( 1 1

∏

− = − =n k n n k i F π , n≥2 ve

∏

=                         ₋ − = n k n n k i L 1 ) 2 1 ( cos 2 1

π

, n≥1

olup, aynı zamanda aşağıdaki genel formülü de elde etmişlerdir.

)) 2 ( sin(cos )) 2 ( cos sin( 1 1 1 i i n i F_n n − − = − − − , n≥1 ve )) 2 ( cos cos( 2i n 1 i L_n = n − − , n≥1

dir. Yukarıdaki eşitliklerin basit bir ispatını Fibonacci polinomlarının köklerini düşünerek elde etmişlerdir. Bu makalede Fibonacci sayılarının matris dizilerinin determinantları tarafından Chebyshev polinomları ile nasıl ilişkilendirildiğini ispatlamışlardır. Sonra Lucas sayıları ile Chebyshev polinomları arasındaki ilişkiyi farklı matris dizileri kullanarak örneklendirmişlerdir.

Brawer R. ve Pirovino M. (1992), Pascal üçgenini iki farklı yolla kare matris olarak göstermişlerdir. Alt üçgen veya tam matrisi P , simetrik matrisi _n Q olarak almışlar, _n

n nP

Q ’ in Cholesky çarpanlarına ayrılışı olan P_nP_nT özel toplam matrisler tarafından çarpanlara ayrılabileceğini bulmuşlardır. Bu matrislerin tersleri Cholesky’nin çarpanlarına ayrılmasını hesaplayan Gauss eliminasyon adımlarını yapan operatörler olduğunu göstermişlerdir. Lineer cebir yardımıyla Diophantine denklem sistemi için var olan bir teorem ve kombinasyonel özdeşlikler üretmişlerdir. Sonunda k. kuvvetin toplamı için açık bir formül elde etmişlerdir.

Cahill N.D., D’Errico J.R., Narayan D.A. ve Narayan J.Y. (2002), bu makalede { f }={1, 1, 2, 3, 5, 8, …} Fibonacci dizileri farklı bir şekilde sunulmuştur. _n M , _n

esas köşegen üzerindeki elemanları 1 olan, alt köşegen ve üst köşegen üzerindeki elemanları i= −1 olan, diğer elemanları 0 olan n−kare matris olsun. Böylece;

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n i i i i i M i i i         =             … … … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ …

şeklindedir. Bu matris detM₁ =1, detM₂ =2, detM₃ =3, detM₄ = ve 5 detM = ’ ₅ 8 in hesaplanmış halidir. Buradan M_n = f_n+1 olduğu ispat edilmiştir. M , _n n ×n

mertebeli                 = − n n n n n n n m m m m m m m m m m m m M , 1 , 2 1 33 32 31 23 22 21 12 11 0 0 0 0 … ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ … … … .

şeklinde Hessenberg matrisi olsun.

Lee G.Y. ve Kim J.S. (2003), k ≥2 tam sayısı için k-Fibonacci dizisini {g(k)_n} şeklinde tanımlamışlardır. 1 ) ( ) ( , 0 ) ( ... ) (k ₁ = = g k _k−2 = g k _k−1 = g k _k = g

olur. Ayrıca n> k ≥2 için,

k n n n n g k g k g k k g( ) = ( ) ₋₁ + ( ) ₋₂ +...+ ( ) ₋

şeklindedir. n ×n mertebeli Fibonacci matrisi ₣(k)_n =[f(k)_ij]_n olarak alınmıştır. 2

≥

k sabit sayısı için, g_n =g(k)_n+k−2 olduğunda;

   < + − ≥ + − = − + 0 1 0 0 1 ) ( 1 j i j i g k f _ij i j

ile tanımlanmıştır. Aynı zamanda n ×n mertebeli k-simetrik Fibonacci matrisi n

ij

n q k

k) [ ( ) ]

( =

ℑ ile tanımlanmış olup, j≤0 için, q(k)_ij =0 olduğunda;

       = + ≤ + = =

∑

∑

= − = − j i g k q j i k q k q k q k l l j i k l l j i ji ij 1 1 , 1 , ) ( 1 ) ( ) ( ) (

dir. Eğer k=2 ise, ₣(2)_n de Fibonacci matrisidir ve ℑ(2)_n ise simetrik Fibonacci matrisidir. Fibonacci ve simetrik Fibonacci matrislerinin özeliklerinden yararlanarak, bu makalede k-Fibonacci ve k-simetrik Fibonacci matrislerinin lineer cebiri araştırılmıştır.

Aşçı M., Taşçı D. (2007), bu makalede, Strum-Liouville sınır değer problemlerinin özel durumları için Fibonacci polinomları göz önüne alınmıştır. Burada Fibonacci polinomlarının ortoganalliği gösterilmiştir. Daha sonra n ×n mertebeli Hessenberg matrislerinin tanımı kullanılarak, Fibonacci, Lucas ve özel ortogonal polinomlar için yeni matrisler üretilmiştir. Son bölümde ise Fibonacci ve Lucas polinomlarını elde etmek için iki algoritma verilmiştir.

Rimas J. (2006), bu makalede n=(2p). mertebeden (p∈ℕ, p≥2_{) simetrik dairesel} matrislerin bir tipi için l. ( l ∈ ℕ ) kuvvetinin genel ifadesi elde edilmiştir.

Rimas J. (2005), bu makalede n=(2p+1). mertebeden ( p ∈ ℕ ) simetrik dairesel matrislerin bir tipi için l. ( l ∈ ℕ ) kuvvetinin genel ifadesi elde edilmiştir.

Rimas J. (2005), bu makalede n=(2p+1). mertebeden ( p ∈ ℕ ) üç bant matrislerin bir tipi için l. kuvvetinin ( l ∈ ℕ ) genel ifadesi elde edilmiştir.

Rimas J. (2006), bu makalede birinci ve n.satırı sıfır olan, n=(2p+1). mertebeden ( p ∈ ℕ ) üç bant matrislerin bir tipi için l. kuvvetinin ( l ∈ ℕ , I≥ ) genel ifadesi elde 2 edilmiştir.

2. BÖLÜM ÖN BĐLGĐLER

Bu kısımda öncelikle matris normları, matrislerin Hadamard ve Kronecker çarpımı, dairesel matris, Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayıları hakkında literatür bilgileri verilecektir. Daha sonra ise Fibonacci ve Lucas elemanlı dairesel matrislerin normları üzerine Solak S. (2005) tarafından yapılan çalışma ve Civciv H. ve Türkmen R. (2008) tarafından yapılan çalışmalardaki elde edilen sonuçları vereceğiz.

2.1. Matris Normları, Matrislerin Hadamard ve Kronecker Çarpımları

A herhangi bir n−kare matris olmak üzere, matris normları ve matrislerin Hadamard ve Kronecker çarpımları ile ilgili bazı genel bilgileri verelim:

Tanım 2.1.1. A ve B herhangi n−kare matrisler olmak üzere, a) A ≥ ve 0 A =0 ⇔ A=0,

b) c∈ ℂ olmak üzere, cA = c A , c) A+B ≤ A + B (üçgen eşitsizliği)

şartlarını sağlayan . : ℂnxn→ ℝ reel değerli fonksiyona genelleştirilmiş matris normu adı verilir ve A şeklinde gösterilir.

Tanım 2.1.2. A herhangi bir n−kare bir matris olmak üzere, p n i n j p ij p a A / 1 1 1         =

∑ ∑

= = , 1≤ p<∞

Eğer p= ∞ ise o takdirde, ij j i p n a A A , max lim = = ∞ → ∞ .

Tanım 2.1.3. A herhangi bir n−kare bir matris olmak üzere, 2 / 1 1 1 2         =

∑ ∑

= = n i n j ij F a A

ifadesine A matrisinin Frobenius (Euclidean) normu adı verilir.

Tanım 2.1.4. A herhangi bir n−kare matris olmak üzere,

2 max₁ ( ) H i i n A λ A A ≤ ≤ =

ifadesine ise A matrisinin spektral normu adı verilir. Burada; AH =(A)T dir.

Yukarıda vermiş olduğumuz normlar arasında aşağıdaki şekilde bir ilişki mevcuttur: E E A A A n ≤ 2 ≤ 1 (2.1)

Tanım 2.1.5. A herhangi bir n−kare matris olmak üzere sırasıyla,

∑

= = n i ij j a A c 1 2 1( ) max (2.2)

∑

= = n j ij i a A r 1 2 1( ) max (2.3) şeklinde A matrisinin maksimum sütun uzunluk normu c₁(⋅) ve maksimum satır uzunluk normunu da r₁(⋅) olarak tanımlanmıştır.

Tanım 2.1.6. A =[a_ij] veB =[b_ij] n−kare matrisler olmak üzere, ]

. [a_ij b_ij B

A =

Mathias R. (1990) tarafından; A, B ve C matrisleri n−kare matrisler olmak üzere, eğer A=BC _ise

₁( ) ₁( )

2 r B c C

A ≤ (2.4) eşitsizliği elde edilmiştir.

Visick G. (2000) tarafından ise, ⋅ normu n−kare matrisler üzerinde herhangi bir norm olmak üzere,

AB ≤ A B _(2.5)

eşitsizliği elde edilmiştir.

Tanım 2.1.7. A ve B, n−kare matrisler olmak üzere,

            = ⊗ B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A nn n n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … … 2 1 2 22 21 1 12 11

şeklinde verilen çarpıma bu matrislerin Kronecker çarpımı adı verilir.

Đki matrisin kronecker çarpımının Euclidean normu literatürde aşağıdaki şekilde verilmiştir: E E E A B B A⊗ = (2.6)

2.2. Dairesel (Circulant) Matris

C matrisi n−kare bir matris olmak üzere,

n C =                     − − − − − − 0 1 3 2 1 1 0 4 3 2 2 1 5 4 3 2 3 1 0 1 1 2 2 1 0 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c n n n n n n … … … ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … …

şeklinde verilen matrise Dairesel (Circulant) matris adı verilir. Her bir i, j = 1, 2, …, n ve k = 0, 1, 2, …, (n-1) için (i, j) elemanlarının hepsi (j-i) ≡ k (mod n) olacak şekilde aynı c_k değerine sahiptir. Buradaki (i, j) elemanları formu c’nin k. satır veya sütunu olarak adlandırılır. Yani, bir dairesel matris, onun ilk satırı (veya ilk sütunu) yardımıyla belirlenir.

2.3. Fibonacci, Lucas ve Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları

Bu bölümde Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının tanımlarını ve bu sayılara ait diğer bölümler için gerekli olacak bazı özellikleri vereceğiz.

Tanım 2.3.1. F = 0, ₀ F₁ =1 ve n ≥ 0 için,

F_n+2 =F_n+1+F_n (2.7) şeklinde tanımlanan sayılara Fibonacci Sayıları adı verilir (Vajda 1989), (Koshy 2001).

n 0 1 2 3 4 5 6 7 …

n

F 0 1 1 2 3 5 8 13 …

Şimdi Fibonacci sayıları ile ilgili literatürde bilinen bazı özelikleri verelim: a) n∈ ℤ için, + 1 1 0 2 − − = =

∑

n n n s s F F F (2.8) b) n∈ ℤ için, +     − = − − − − =

∑

ise çift n F ise tek n F F F n n s n s s , 1 , 2 1 2 1 1 1 0 (2.9) c) n∈ ℤ için, + _{2 1} 1 1 0 2 1 = − − + − = −

∑

n n n s s F F F (2.10) d) n∈ ℤ için, + n n n F F₋ =(−1) +1 (2.11) (Vajda 1989), (Koshy 2001).

(2.7) bağıntısı geriye doğru da aşağıdaki şekilde kullanabilir. Yani,

0 1 1 F F

F₋ = − , F₋₂ =F₀ −F₋₁ , …

eşitliklerinden hareketle aşağıdaki tablo elde edilir:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 …

n

F₋ 0 1 -1 2 -3 5 -8 13 …

Tanım 2.3.2.       = 0 1 1 1 Q

şeklinde tanımlanan matrise Q−matrisi denir (Koshy 2001).

Teorem 2.3.1. n≥1 olsun. Bu takdirde

      = − + 1 1 n n n n n F F F F Q dir (Koshy 2001).

Đspat: Đspatı n üzerinden tümevarımla verelim.

n=1 için, Q F F F F Q _ =      =       = 0 1 1 1 0 1 1 2 1

olup, n=1 için iddia doğrudur.

n=k için iddia doğru olsun. O halde,

      = − + 1 1 k k k k k F F F F Q dir. Bu takdirde; n=k+1 için, _           = = − + + 0 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k F F F F Q Q Q       + + = − + + + k k k k k k k F F F F F F Q 1 1 1 1 _      = + + + + k k k k k F F F F Q 1 1 2 1

olup, ispat tamamlanır.

Sonuç 2.3.1. n≥1 olsun.Bu takdirde,

n n n n F F F _{−1 +1} − 2 =(−1) dir (Koshy 2001).

Đspat: Q =(−1) ve Qn =(−1)n dir. Teorem 2.3.1’den Qn =F_n+1F_n−1−F_n2 dir. O halde, n n n n F F F _{−1 +1}− 2 =(−1) dir. Tanım 2.3.3. L₀ =2, L₁ =1 ve n ≥ 0 için, n n n L L L ₊₂ = ₊₁+ (2.12) şeklinde tanımlanan sayılara Lucas Sayıları adı verilir (Vajda 1989), (Koshy 2001).

Lucas sayılarını aşağıdaki gibi tablo şeklinde de verebiliriz:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 … n

L 2 1 3 4 7 11 18 29 …

Şimdi Lucas sayıları ile ilgili literatürde bilinen bazı özelikleri verelim:

a) n∈ ℤ için, + 2 1 1 0 2 _{= +} − − =

∑

n n n s s L L L (2.13) b) n∈ ℤ için, +     − − = − − − = −

∑

ise çift n L ise tek n L L L n n n s s s , 1 , 6 2 1 2 1 1 0 1 (2.14) c) n∈ ℤ için, + 3 1 2 1 0 2 1 = − − + − = −

∑

n n n s s L L L (2.15) d) n∈ ℤ için, + n n n L L₋ =(−1) (2.16) (Vajda 1989), (Koshy 2001).

(2.12) bağıntısını geriye doğru da aşağıdaki şekilde kullanabiliriz. Yani,

0 1 1 L L

L₋ = − , L₋₂ =L₀ −L₋₁ , …

eşitliklerinden hareketle aşağıdaki tablo elde edilir:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 … n

L₋ 2 -1 3 -4 7 -11 18 -29 …

dır. Dolayısıyla bu iki tablodan, (2.16) eşitliğinin elde edildiği de açıktır.

Tanım 2.3.4. G₀ =a, G₁=b ( ,a b∈ ℝ ve n ≥ 0 için, ) n n

n G G

G ₊₂ = ₊₁+ (2.17) şeklinde tanımlanan sayılara Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları adı verilir (Vajda 1989), (Koshy 2001).

Genelleştirilmiş Fibonacci Sayılarını aşağıdaki gibi tablo şeklinde de verebiliriz:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 …

n

G a b (a+b) (a+2b) (2a+3b) (3a+5b) (5a+8b) (8a+13b) …

(2.17) bağıntısını geriye doğru da aşağıdaki şekilde kullanabiliriz. Yani,

a b G G

G₋₁ = ₁− ₀ = − , G₋₂ =G₀ −G₋₁ =2a−b , … eşitliklerinden hareketle aşağıdaki tablo elde edilir:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 … n

G₋ a b-a (2a-b) (-3a+2b) (5a-3b) (-8a+5b) (13a-8b) (-21a+13b) …

Şimdi genelleştirilmiş Fibonacci sayıları ile ilgili literatürde bilinen bazı özelikleri ve ispatlarını verelim:

a) n∈ ℤ için, + 2 0 1 0 1 1 0 2 G G G G G G _{n n} n s s = − − + − =

∑

(2.18) (Vajda 1989), (Koshy 2001). Đspat:

∑

∑

∑

∑

− = − − = + − − = − = + − = − = 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 _{( )} n s s s n s s s s n s n s s s s G G G G G G G G 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 0 − − + − +...+ − − − − =G G G G G G G G G_n G_n G_n G_n =G_n−1G_n −G₀G₋₁=G_n−1G_n −G₀(G₁−G₀) =G_n−1G_n −G₀G₁+G₀2

denklemi elde edilir.

(2.18) denkleminde; G₀ =0 ve G₁ =1 alınırsa (2.8) denklemi, G₀ =2 ve 1

1 =

G alınırsa (2.13) denklemi elde edilir.

b) n∈ ℤ için, +     − + − − = − − − − − − = −

∑

ise çift n G G ise tek n G G G G G G G n n n s s s , , 2 1 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1 0 1 (2.19) (Vajda 1989), (Koshy 2001). Đspat: 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 1 1 ... − − − − − +             = =             =       n n n n n n n n n F F F F G G G G F F F F G G G G G G G G (2.20) 2 1 1 1 1 n n n n n n n _{G G G} G G G G − = _{+ −} − +

1 2 1 2 0 2 1 0 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 ) )( ( − − − − = n n F F F G G G F F F F G G G G =(G₂G₀ −G₁2)(−1)n−1 =(−1)n(G₁2 −G₂G₀)

Yukarıda bulunan sonuçlar (2.20)’de yerine yazılırsa,

2 1 1 n n n G G G _{+ −} − =(−1)n(G₁2 −G₂G₀) G_nG_n−1 +G_n2₋₁ −G_n2 =(−1)n(G₁2 −G₂G₀) (2.21) elde edilir. ) ( ) 1 ( 0 _{1 2 0} 2 0 2 1 1 0G G G G G G G ₋ + ₋ − = − − 2 ( 1)1( _{1 2 0}) 1 2 0 0 1G G G G G G G + − = − − ⋮ (2.22) G_2nG_2n−1 +G₂2_n−1 −G₂2_n =(−1)2n(G₁2 −G₂G₀)

Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa,

∑

− = − − − − + − = 1 0 0 2 2 1 2 1 2 1 1 n s n s sG G G G G G G , n tek ise =G_n2₋₁−G₋2₁+G₁2 −(G₁ +G₀)G₀ =G_n2₋₁−G₋2₁+G₁2 −G₁G₀ −G₀2 =G_n2₋₁ −G₋2₁+G₁(G₁ −G₀)−G₀2

∑

− = − − − − = − + − 1 0 2 0 1 1 2 1 2 1 1 n s n s sG G G G G G G , n tek ise

denklemi elde edilir. (2.22)’ye

) ( ) 1 ( 2 1 ₁2 _{2 0} 2 1 2 2 2 2 1 2 G G G G G G G _{n+ n} + _n − _n+ = − n+ − (2n+1). terimi eklenirse,

∑

− = − − − = − 1 0 1 2 1 1 n s n s sG G G G , n çift ise

denklemi elde edilir.

(2.19) denkleminde; G₀ =0 ve G₁ =1 alınırsa (2.9) denklemi, G₀ =2 ve 1

1 =

G alınırsa (2.14) denklemi elde edilir.

c) n∈ ℤ için, + _{2 1 0 1} 2₁ 1 0 2 1 − − − − − = − + − =

∑

G G_n G_n G G G n s s (2.23) (Vajda 1989), (Koshy 2001).

Đspat: a şıkkına benzer olarak elde edilir.

(2.23) denkleminde; G₀ =0 ve G₁ =1 alınırsa (2.10) denklemi, G₀ =2 ve 1

1 =

G alınırsa (2.15) denklemi elde edilir.

2.4. Fibonacci, Lucas ve Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları Arasındaki Bağıntılar

Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayıları arasında aşağıdaki eşitlikler mevcuttur:

a) Fibonacci ve Lucas sayıları arasında,

[

_{1 1}

]

5 1 + − + = _{n n} n L L F , (2.24) ve L_n =F_n +2F_n−1, (2.25)

b) Genelleştirilmiş Fibonacci ve Fibonacci sayıları arasında,

G_n =aF_n−1+bF_n ( a ∈,b IR), (2.26)

c) Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları arasında ise,

[

( ) ( )

]

, ( , ), 5 1 1 1 2 L b L L a b IR L a G_n = _n− + _n + _n− + _n+ ∈ (2.27) şeklinde bir ilişki mevcuttur

(Vajda 1989), (Koshy 2001).

2.5. Fibonacci ve Lucas Elemanlı Dairesel Matrislerin Normlarının Fibonacci ve Lucas Sayılarına Bağlı Alt ve Üst Sınırları

Solak S. (2005) tarafından Fibonacci elemanlı dairesel matrislerin, Fibonacci elemanlarına bağlı olarak normlarının alt ve üst sınırları, ayrıca Lucas elemanlı dairesel matrislerin Fibonacci elemanlarına bağlı olarak normlarının alt ve üst sınırları aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.

Teorem 2.5.1. a_ij =F

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi veriliyor. O takdirde; ( ₁)(1 ₁) 2 1 − − − ≤ ≤ n n + n n n nF A F F F F F (2.28) dir. Burada 2

⋅ spektral norm ve F’ler de Fibonacci sayılarıdır (Solak 2005).

Đspat :                 = _{− − −} − − − 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 F F F F F F F F F F F F F F F F A _{n n n} n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … … …

olmak üzere normlar arasında E E A A A n ≤ 2 ≤ 1

şeklinde bir bağıntı olduğunu biliyoruz. Frobenius normunun tanımından ve (2.8) den hareketle,

∑

− = − = = 1 0 1 2 2 n s n n s E n F nF F A olup, 1 1 − = _{n n} E F F A n dir. Buradan, 2 1 A A n E ≤ ifadesinden hareketle 2 1 A F F_{n n−} ≤ elde edilir.

Diğer taraftan, A=BC _{olacak şekilde,}

(

)

    < = ≥ = = = − j i b j i F b b B ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

(

)

    ≥ = < = = = − j i c j i F c c C ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

matrisleri verilsin. O takdirde,

∑

= = n j ij i b B r 1 2 1( ) max =

∑

= n j nj b 1 2 =

∑

− = 1 0 2 n s s F = F_nF_n−1 ve

∑

= = n i ij j c C c 1 2 1( ) max =

∑

= n i in c 1 2 =

∑

− = + 1 1 2 1 n s s F = 1+F_nF_n−1

Buradan, ) 1 )( ( ) ( ) ( _{1 1 1} 1 B c C = FnFn− +FnFn− r

olup, dolayısıyla (2.4) den,

) 1 )( ( _{1 1} 2 ≤ FnFn− +FnFn− A elde edilir.

Sonuç 2.5.1. a_ij =F

₍

_mod(j+i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi verilsin. Bu takdirde, ) 1 )( ( _{1 1} 2 1 − − − ≤ ≤ n n + n n n nF A F F F F F

dir. Yani, a_ij =F

₍

_mod(j+i,n)

₎

de (j-i) ile (j+i)’yi yer değiştirirsek, A matrisinin spektral normu için Teorem 2.5.1 de elde edilen alt ve üst sınırlar aynen geçerli olacaktır (Solak 2005).

Teorem 2.5.2. a_ij =L

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi veriliyor. O takdirde,      + + + + + ≥ − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F A n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 (2.29) ve              − + + × × + +     + + + × × + + + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − − ise çift n F F F F F F F F F F ise tek n F F F F F F F F F F A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , ] 3 ) ( 4 [ )] ( 4 [ , ] 1 ) ( 4 [ )] 1 ( 4 [ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 (2.30) dir. Burada 2

Đspat :                 = _{− − −} − − − 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 L L L L L L L L L L L L L L L L A _{n n n} n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … … …

olmak üzere Frobenius normunun tanımından ve (2.25)’ den hareketle,

∑

−

∑

= − = − + = = 1 0 1 0 2 1 2 2 ) 2 ( n s n s s s s E n L n F F A

∑

−

∑

∑

= − = − = − − + + = 1 0 1 0 1 0 2 1 1 2 2 4 4 1 n s n s n s s s s s E F F F F A n

dir. Böylece, (2.8), (2.9) ve (2.10) ifadelerinden

= 2 1 E A n _    + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ve = E A n 1     + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 dir. Buradan, 2 1 A A n E ≤ ifadesinden hareketle      + + + + + ≥ − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F A n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2

(

)

    < = ≥ = = = − j i b j i L b b B ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

(

)

    ≥ = < = = = − j i c j i L c c C ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

matrisleri verilsin. O takdirde,

∑

= = n j ij i b B r 1 2 1( ) max =

∑

− = 1 0 2 n s s L =

∑

− = − + 1 0 2 1) 2 ( n s s s F F

∑

−

∑

∑

= − = − = − − + + = 1 0 1 0 1 0 2 1 1 2 1( ) 4 4 n s n s n s s s s s F F F F B r olup, (2.8), (2.9) ve (2.10) ifadelerinden,     + + + + + = − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F B r n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 ) ( 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1

elde edilir. Ayrıca (2.25) dikkate alınırsa,

∑

= = n i ij j c C c 1 2 1( ) max =

∑

= n i in c 1 2 =

∑

− = + 1 1 2 1 n s s L = 3 1 0 2 ₋

∑

− = n s s L =

∑

− = − − + 1 0 2 1) 3 2 ( n s s s F F

∑

−

∑

∑

= − = − = − − + − + = 1 0 1 0 1 0 2 1 1 2 1( ) 4 4 3 n s n s n s s s s s F F F F C c (2.8), (2.9) ve (2.10) ifadelerinden,

    − + + + + + = − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F C c n n n n n n n n n n , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 ) ( 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1

elde edilir. Böylece,

    − + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − − ise çift n F F F F F F F F F F ise tek n F F F F F F F F F F C c B r n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , ] 3 ) ( 4 )][ ( 4 [ , ] 1 ) ( 4 )][ 1 ( 4 [ ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1

bulunur. Dolayısıyla (2.4) den,

≤ 2 A     − + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − ise çift n F F F F F F F F F F ise tek n F F F F F F F F F F n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , ] 3 ) ( 4 )][ ( 4 [ , ] 1 ) ( 4 )][ 1 ( 4 [ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ispat tamamlanır.

Sonuç 2.5.2. a_ij =L

₍

_mod(j+i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi verilsin.

(

mod(j i,n)

)

ij L

a = ₊ de, (j-i) ile (j+i)’yi yer değiştirirsek, A matrisinin spektral normu için Teorem 2.5.2 de elde edilen alt ve üst sınırlar aynen geçerli olacaktır (Solak 2005).

Sonuç 2.5.3. A matrisi Teorem 2.5.1 deki matris ve B matrisi Teorem 2.5.2 deki matris olmak üzere, bu matrislerin Hadamard çarpımının spektral normu için

) 1 )( ( _{1 1} 2 ≤ FnFn− +FnFn− B A               − + + × × + +     + + + × × + + + − − − − − − − − − − − − − − − − çiftise n F F F F F F F F F F tekise n F F F F F F F F F F n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , ] 3 ) ( 4 [ )] ( 4 [ , ] 1 ) ( 4 [ )] 1 ( 4 [ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 (2.31)

Đspat :

2 2

2 A B

B

A ≤ _{olduğundan, Teorem 2.5.1 ve Teorem 2.5.2 den ispatı} açıktır.

Sonuç 2.5.4. A matrisi Teorem 2.5.1 deki matris ve B matrisi Teorem 2.5.2 deki matris olmak üzere, A ve B matrislerinin Kronecker çarpımının Euclidean normu için

⊗ = E B A     + + + + + − − − − − − − − − − ise çift n F F F F F F F ise tek n F F F F F F F n n n n n n n n n n n n n n n , )] ( 4 [ , )] 1 ( 4 [ 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 (2.32)

eşitsizliği sağlanır (Solak 2005).

Đspat : 2 2 2 E E E A B B A⊗ = = _              

∑

∑

− = − = 1 0 2 1 0 2 n s s n s s n L F n

Teorem 2.5.1 ve Teorem 2.5.2 den hareketle,

2 E B A ⊗ =n2F_nF_n−1     + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F F F F ise tek n F F F F F n n n n n n n n n n , ) ( 4 , ) 1 ( 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1

elde edilir. Buradan da,

= ⊗B _E A      + + + + + − − − − − − − − − − ise çift n F F F F F F F ise tek n F F F F F F F n n n n n n n n n n n n n n n , )] ( 4 [ , )] 1 ( 4 [ 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1

2.6. Lucas Elemanlı Dairesel Matrislerin Normlarının Lucas Sayılarına Bağlı Alt ve Üst Sınırları

Civciv H. ve Türkmen R. (2008) tarafından Lucas elemanlı dairesel matrislerin, Lucas sayılarına bağlı olarak normlarının alt ve üst sınırları aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.

Teorem 2.6.1. c_ij =L_{(mod(j−i,n))+1} olacak şekilde n−kare C =[c_ij] matrisi veriliyor. O takdirde, n L nL C _{n n} E = +1 −2 ve 2 ₁ 2 2 1 − ≤ ≤ + − + n n n nL C L L L (2.33) dir. Burada E ⋅ Euclidean norm, 2

⋅ spektral norm ve L’ler de Lucas sayılarıdır (Civciv ve Türkmen 2008). Đspat :                 = _{− −} − 1 4 3 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 L L L L L L L L L L L L L L L L C _{n n n} n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … … …

olmak üzere normlar arasında

E

E C C

C

n ≤ 2 ≤

1

şeklinde bir bağıntı olduğunu biliyoruz. Euclidean (Frobenius) normunun tanımından ve (2.13) den hareketle,

∑

= + − = = n s n n s E n L n L L C 1 1 2 2 ) 2 (

olup, 2 1 1− = _{n n+} E L L C n dir. Buradan, 2 1 C C n E ≤ ifadesinden hareketle 2 1 2 C L L_{n n+} − ≤

elde edilir. Diğer taraftan, C =KM _{olacak şekilde,}

(

)

    < = ≥ = = = − + j i k j i L k k K ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , ) 1

(

)

    ≥ = < = = = − + j i m j i L m m M ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , ) 1

matrisleri verilsin. O takdirde,

∑

= j ij i k K r₁( ) max( 2)=

∑

= n s s L 1 2 _{= 2} 1− + n nL L ve

∑

= i ij j m M c₁( ) max( 2)=

∑

= n s s L 1 2 _{= 2} 1− + n nL L . Buradan, 2 ) ( ) ( _{1 1} 1 K c M = LnLn+ − r

olup, dolayısıyla (2.4) den,

2

1 2 ≤LnLn+ −

C

3. BÖLÜM

GENELLEŞTĐRĐLMĐŞ FIBONACCI ELEMANLI DAĐRESEL MATRĐSLERĐN NORMLARININ ALT VE ÜST SINIRLARI

Biz bu çalışmamızda, Fibonacci ve Lucas elemanlı dairesel matrislerin normları üzerine Solak S. (2005) tarafından ve Civciv H. ve Türkmen R. (2008) tarafından yapılan çalışmalardan faydalanarak, bu çalışmalarda elde edilmiş olan sonuçları genelleştirmeye çalışacağız. Yani; Fibonacci ve Lucas elemanları yerine genelleştirilmiş Fibonacci elemanlarını kullanarak tanımlamış olduğumuz dairesel matrisin normlarının alt ve üst sınırlarını elde edeceğiz.

Teorem 3.1. a_ij =G

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi veriliyor. O takdirde; ) 1 )( ( _{1 0 1 0}2 _{1 0 1} 2 2 0 1 0 1 − + ≤ ≤ − − + − − + −G G G G A G G G G G G G G G G_{n n n n n n} (3.1) dir. Burada 2

⋅ Spektral norm ve G’ler de genelleştirilmiş Fibonacci sayılarıdır.

Đspat :                 = _{− − −} − − − 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 G G G G G G G G G G G G G G G G A _{n n n} n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … … …

olmak üzere normlar arasında

E

E A A

A

n ≤ 2 ≤

1

şeklinde bir bağıntı olduğunu biliyoruz. Frobenius normunun tanımından ve (2.18) den hareketle,

∑

− = − − + = = 1 0 2 0 1 0 1 2 2 ) ( . n s n n s E n G n G G G G G A olup, 2 0 1 0 1 1 G G G G G A n E = n− n − + dir. Buradan, 2 1 A A n E ≤ ifadesinden hareketle 2 2 0 1 0 1G G G G A G_{n− n} − + ≤

elde edilir. Diğer taraftan, A=BC _{olacak şekilde,}

(

)

    < = ≥ = = = − j i b j i G b b B ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

(

)

    ≥ = < = = = − j i c j i G c c C ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

matrisleri verilsin. O takdirde,

∑

= = n j ij i b B r 1 2 1( ) max =

∑

= n j nj b 1 2 =

∑

− = 1 0 2 n s s G = G_n−1G_n −G₀G₁+G₀2 ve

∑

= = n i ij j c C c 1 2 1( ) max =

∑

= n i in c 1 2 =

∑

− = + 1 1 2 1 n s s G = ₀2 1 0 2 1 G G n s s − +

∑

− = 1 ) ( _{1 0 1} 1 C = G − G −G G + c _{n n} Buradan, ) 1 )( ( ) ( ) ( _{1 1 0 1 0}2 _{1 0 1} 1 B c C = G − G −G G +G G − G −G G + r _{n n n n}

olup, dolayısıyla (2.4) den, ) 1 )( ( _{1 0 1 0}2 _{1 0 1} 2 ≤ G − G −G G +G G − G −G G + A _{n n n n} elde edilir.

Sonuç 3.1. a_ij =G

₍

_mod(j+i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi verilsin. O takdirde, ) 1 )( ( _{1 0 1 0}2 _{1 0 1} 2 2 0 1 0 1 − + ≤ ≤ − − + − − + − G G G G A G G G G G G G G G G_{n n n n n n}

dir. Yani, a_ij =G

₍

_mod(j+i,n)

₎

de (j-i) ile (j+i)’yi yer değiştirirsek, A matrisinin spektral normu için Teorem 3.1 de elde edilen alt ve üst sınırlar aynen geçerli olacaktır.

Sonuç 3.2. a_ij =G

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi verilsin. Eğer, Teorem 3.1 de G₀ =a=0, G₁ =b=1 olarak alınırsa, O takdirde,

) 1 )( ( _{1 1} 2 1 − − − ≤ ≤ n n + n n n nF A F F F F F

(2.28) eşitsizliği elde edilir. Burada

2

⋅ Spektral norm, F’ler Fibonacci sayıları,

G ’ler de genelleştirilmiş Fibonacci sayılarıdır (Solak 2005).

Đspat: G_n =aF_n−1+bF_n olup, a=0 ve b=1 olduğundan, G =_n F_n elde edilir. Bu durumda a_ij = F

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matris olup, (3.1) den

) 1 )( ( _{1 1} 2 1 − − − ≤ ≤ n n + n n n nF A F F F F F elde edilir.

Sonuç 3.3. a_ij =G

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi verilsin. Eğer, Teorem 3.1 de; G₀ =a=2, G₁ =b=1 olarak alınırsa, O takdirde,

) 1 )( 2 ( 2 _{1 1} 2 1 + ≤ ≤ − + − − − n n n n n n L A L L L L L

eşitsizliği elde edilir. Burada

2

⋅ Spektral norm, L’ler Lucas sayıları, G ’ler de genelleştirilmiş Fibonacci sayılarıdır.

Đspat:

[

( ) ( )

]

5 1 1 1 2 − + − + + + = _{n n n n} n a L L b L L G , a=2 ve b=1 olduğundan,

[

2( ) ( )

]

5 1 1 1 2 − + − + + + = _{n n n n} n L L L L G

[

2 ₂ 2 _{1 1}

]

5 1 + − − + + + = _{n n n n} n L L L L G

[

2 ₂ 2 _{1 1}

]

5 1 − − − + + + + = _{n n n n n} n L L L L L G

[

_{n n n}

]

n L L L G 2( ) 3 5 1 1 2 + + = _{− −} n n n L L G = (5 )= 5 1 n n L

G = elde edilir. Bu durumda a_ij =L

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare ]

[a_ij

A = matris olup, (3.1) den

) 1 )( 2 ( 2 _{1 1} 2 1 + ≤ ≤ − + − − − n n n n n n L A L L L L L

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 3.2. a_ij =G

₍

_mod(j−i,n)

₎

olacak şekilde n−kare A =[a_ij] matrisi veriliyor. O takdirde,     + − + + + + + ≥ − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a A n n n n n n n n n n , ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 (3.2) ve

             + + − + × × + − + +     + + + × × + + + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a F F b F ab F F a A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 (3.3) dir. Burada 2

⋅ Spektral norm, F’ler de Fibonacci sayıları ve G’ler de genelleştirilmiş Fibonacci sayılarıdır.

Đspat :                 = _{− − −} − − − 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 G G G G G G G G G G G G G G G G A _{n n n} n n n ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … … …

olmak üzere, Frobenius normunun tanımından ve (2.26)’ den hareketle,

∑

−

∑

= − = − + = = 1 0 1 0 2 1 2 2 ) ( n s n s s s s E n G n aF bF A       _{+ +} =

∑

−

∑

∑

= − = − = − − 1 0 1 0 1 0 2 2 1 2 1 2 2 2 n s n s n s s s s s E n a F ab F F b F A

dir. Böylece, (2.8), (2.9) ve (2.10) ifadelerinden

= 2 E A     + − + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a n n n n n n n n n n n , ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 dir. Buradan, = E A n 1     + − + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a n n n n n n n n n n , ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

elde edilir. Ayrıca, 2 1 A A n E ≤ ifadesinden hareketle ≥ 2 A     + − + + + + + − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a n n n n n n n n n n , ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

elde edilir. Diğer taraftan A=BC _{olacak şekilde,}

(

)

    < = ≥ = = = − j i b j i G b b B ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

(

)

    ≥ = < = = = − j i c j i G c c C ij n i j ij ij , 1 , ) ( mod( , )

matrisleri verilsin. O takdirde,

∑

∑

= = = = n j nj n j ij i b b B r 1 2 1 2 1( ) max =

∑

− = 1 0 2 n s s G =

∑

− = − + 1 0 2 1 ) ( n s s s bF aF

∑

−

∑

∑

= − = − = − − + + = 1 0 1 0 1 0 2 2 1 2 1 2 1( ) 2 n s n s n s s s s s ab F F b F F a B r olup, (2.8), (2.9) ve (2.10) ifadelerinden,     + − + + + + + = − − − − − − − − ise çift n F F b F ab F F a ise tek n F F b F ab F F a B r n n n n n n n n n n , ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1