Kuvvetli ve mutlak toplanabilme üzerine

Gülseli ERMEZ

Temmuz 2006 DENĐZLĐ

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Gülseli ERMEZ

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Temmuz 2006 DENĐZLĐ

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlanmasında bana destek olan aileme, gerekli bütün imkanları sağlayarak benden her zaman yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam

Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL’e ve Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi

Matematik bölümündeki tüm öğretim elemanlarına teşekkürlerimi sunmayı bir borç

bilirim.

ÖZET

KUVVETLĐ VE MUTLAK TOPLANABĐLME ÜZERĐNE

Ermez, Gülseli

Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD Tez Yöneticisi:Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL

Temmuz 2006, 41 Sayfa

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Đkinci bölümde, mutlak toplanabilme, üçüncü bölümde kuvvetli toplanabilme ele alınmıştır.

Dördüncü bölümde ise adi, mutlak ve kuvvetli toplanabilme arasındaki ilişkileri ortaya koyan teoremler ve sonuçlar ortaya konulmuştur.

Anahtar kelimeler:Kuvvetli toplanabilme, mutlak toplanabilme, Cesáro matrisleri,

Hausdorff matrisleri, Hölder matrisleri.

Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL Doç. Dr. Murat ALP

ABSTRACT

ON STRONG AND ABSOLUTE SUMMABILITY

Ermez, Gülseli

M. Sc. Thesis in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL

July 2006, 41 Pages

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, some definitions and theorems that will be used in the other chapters are stated.

In the second chapter absolute summability, in the third chapter strong summability have been examined.

In the fourth chapter relations between ordinary summability, absolute summability and strong summability have been given.

Keywords:Strong summability, absolute summability, Cesáro matrices, Hausdorff

matrices, Hölder matrices.

Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL Assoc. Prof. Dr. Murat ALP

ĐÇĐNDEKĐLER

Yüksek Lisans Tezi Onay Formu...i

Teşekkür...ii

Bilimsel Etik Sayfası...iii

Özet...iv

Abstract... v

Đçindekiler...vi

BĐRĐNCĐ BÖLÜM...1

1.1.Temel Tanım ve Teoremler...1

ĐKĐNCĐ BÖLÜM...9

2.1.Mutlak Toplanabilme...9

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM...23

3.1.Kuvvetli Toplanabilme...23

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM...32

4.1.Adi, Mutlak ve Kuvvetli Toplanabilme Arasındaki Đlişki...32

KAYNAKLAR...40

1.BĐRĐNCĐ BÖLÜM

Bu bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler

verilecektir.

1.1.Temel Tanım ve Teoremler Tanım 1.1.1:

Cesáro matrisi, λ>0, α>−1, γ reel bir sayı ve

    +γ = εγ n n n ,

∑

= = n 0 r r n a s olmak üzere

∑

= − α − α α α = =_ε ε n 0 r r 1 r n n n n s 1 s ) s ( C

dönüşümü ile tanımlanır (Borwein 1959).

Tanım 1.1.2: s_nα →s ise

∑

∞ =0 n n

a serisi s ye

( )

C,α toplanabilirdir denir(Borwein 1959).

Tanım 1.1.3: Eğer ) 1 ( o s s 1 n 1 n 0 r r − = +

∑

= λ α ise

∑

∞ =0 n n

a serisi s ye λ indisiyle

(

C,α+1

)

kuvvetli toplanabilirdir veya

[

C,α+1

]

_λ

toplanabilirdir denir (Borwein 1959).

Eğer ∞ < −

∑

∞ = α − α − λ + γλ 1 n 1 n n 1 s s n ise

∑

∞ =0 n n

a serisi s ye γ, λ indisiyle

( )

C,α mutlak toplanabilirdir veya C,α,γ_λ

toplanabilirdir denir (Borwein 1959).

[

C,α+1

]

_λ ve C,α,γ_λ toplanabilme yöntemleri sırasıyla

[

C₁,C_α

]

_λ ve C_α,γ_λ şeklinde de gösterilebilir.

Tanım 1.1.5:

Q=

( )

q_n,r reel veya kompleks terimli sonsuz matris olsun ve

( )

sn dizisi verilsin.

s s_n → olduğunda

( )

∑

∞ = = σ = 0 r r r , n n n q s s Q

(

n=0,1,2,...

)

serisi yakınsak ve s n → σ

oluyorsa Q dönüşümü (matrisi) regülerdir denir (Hardy 1949).

Teorem 1.1.6 (Toeplitz Teoremi):

Q=

( )

qn,r matrisinin regüler olması için gerek ve yeter şart

i) ∀n∈IN için

H q_n,r <

∑

olacak şekilde H sayısı vardır.

ii) Her r için, n→∞ olduğunda

0 q_n,r → dır. iii) n→∞ için 1 q q_n =

∑

_n,r → olmasıdır (Hardy 1949).

Teorem 1.1.7:

Q=

( )

q_n,r sonsuz matrisi ve

( )

s_n dizisi verilsin.

∑

∞ = = σ 0 r r r , n n q s

(

n=0,1,2,...

)

serisi

yakınsak ve s_r →0 olduğunda

σ →

_n

0

olması için gerek ve yeter şart q_n,r →0

(

r=0,1,2,...

)

ve ∀n∈IN için H q 0 r r , n <

∑

∞ =

olacak şekilde H sayısının mevcut olmasıdır (Hardy 1949).

Teorem 1.1.8:

λ≥1 ve α>0 olsun. Bu taktirde herhangi bir serinin bir s değerine

[ ]

C,α _λ toplanabilir olması için gerek ve yeter şart aynı s değerine

( )

C,α toplanabilir ve

( )

n o s s r n 0 r 1 r r − =

∑

= λ α − α λ olmasıdır. (Hyslop 1951).

Tanım 1.1.9 (Abel toplanabilirliği):

Eğer 0<t<1 için

∑

∞ =0 n n nt a serisi yakınsak ve ∞ < =

∑

∞ = → a t s lim 0 n n n 1 t ise bu taktirde

∑

∞ =0 n n

a serisi s ye Abel toplanabilirdir denir ve A ile gösterilir.

Teorem 1.1.10: µ>1, α >−1µ, β>α−1µ′ ve 1µ+1µ′=1 olsun.

∑

∞ =0 n n a serisi C,α_µ

toplanabilir ise bu taktirde A toplanabildiği her zaman

( )

C,β toplanabilirdir (Flett 1956).

P ve Q toplanabilme metodları olmak üzere

Q P⇒

gösterimi s ye P toplanabilen her seri, s ye Q toplanabilirdir anlamında kullanılır. Bu duruma aynı zamanda Q, P yi kapsar da denir. Eğer her iki metot birbirini kapsıyorsa bu metotlara denk metotlar denir ve P≅Q ile gösterilir.

Tanım 1.1.11:

( )

ξn reel bir dizi;

( )

     ≤ ≤ ξ     − −     =

∑

− = + durumlarda diğer , 0 ise n r 0 , v r n 1 r n X r n 0 v v r v r , n

olsun ve

( )

X_n,r matrisini

(

h,ξ_n

)

ile gösterelim. Bu tipteki matrislere reel Hausdorff matrisleri denir (Borwein, 1959).

X=

(

h,ξ_n

)

, Y=

(

h,η_n

)

olsun. Bu durumda

XY=YX=

(

h,ξ_nη_n

)

olur. Sonuç olarak ξ_n ≠0 olduğunda X−1 =

(

h,1ξ_n

)

olur. Bu durumda X⇒Y olması için gerek ve yeter şart YX−1 in regüler olmasıdır.

Ayrıca X in regüler olması için gerek ve yeter şart

( )

∫

χ = ξ 1 0 n n t d t

olmasıdır. Burada χ

( )

t ,

[ ]

0,1 aralığında sınırlı salınımlı reel bir fonksiyon öyle ki

χ

( ) ( ) ( )

0+ =χ0 =χ1 −1 ...(1) ve ξ₀ için 00 =1 dır. Öte yandan C_k =

(

h,1 εk_n

)

(

k>−1

)

ve C_αC_β ≅C_α+β

(

α >−1,β>−1,α+β>−1

)

...(2) dir (Hardy 1949).

Tanım 1.1.12:

( )

H,1 matrisi,

( )

C,1 matrisi ile aynıdır. Her k

(

k=1,2,...

)

için

( )

H,k matrisi

( )

H,1 ’in kendi kendisiyle k defa çarpımı olarak tanımlanır.

Her α reel sayısı için

(

h,

(

n+1

)

−α

)

Hausdorff matrisine karşılık gelen toplanabilme metoduna Hölder metodu denir ve H veya _α

(

H,α

)

ile gösterilir.

Buna göre

( ) ( )

H,1 = C,1 ve

(

H,α

)( ) (

.H,β = H,α+β

)

olduğu açıktır. Teorem 1.1.13:

α>−1 için

( )

C,α ve

(

H,α

)

toplanabilme yöntemleri denktir (Hardy 1949), yani

( ) (

C,α ≅ H,α

)

dır. Teorem 1.1.14:

( )

( )

( )

n,r p x , 1 p , 1 , 0 L t ∈ >

φ bir Hausdorff matrisi olmak üzere

( )

∫

φ = ξ 1 0 c n t t dt

olması için gerek ve yeter şart

(

)

n p 0 r p r , n 1 p H x 1 n+

∑

< = −

olmasıdır. Burada H, n den bağımsızdır (Hardy 1949).

Teorem 1.1.15 (Stirling Formülü):

z kompleks sayı olmak üzere pozitif reel eksen üzerinde z→∞ için

( )

z 12 z e z 2 1 z+ ≈ π + − Γ dir.

Stirling Formülünde her iki tarafın logaritması alınırsa

( )

logz z 2 1 z 2 log 2 1 1 z log  −      + + π ≈ + Γ bulunur. α>−1ves=σ+iτ,σ>−α−1=c,c<0

( ) (

₍

) ( )

_{) ( )}

₊ α + + α Γ + Γ + α Γ = θ s 1 1 s 1 s 1 s olmak üzere

( )

logz z 2 1 z 2 log 2 1 1 z log  −      + + π ≈ + Γ

formülünde yeterince büyük s için σ>c olduğunda z yerine s+α alınırsa

(

)



(

+α

) (

− +α

)

     _+α+ + π ≈ + + α Γ log s s 2 1 s 2 log 2 1 1 s log elde edilir.

(

) (

)

log

( ) ( )

s 1 s 1 2 1 s s s log 2 1 s  + − +      _+α+ ≈ α + − α +       _+α+ olduğundan

(

)

( ) ( )

    + π + + − +       _+α+ = + + α Γ s 1 o 2 log 2 1 1 s 1 s log 2 1 s 1 s log

bulunur. Bu durumda σ>c olduğunda yeterince büyük s için

( )

(

α+ +

)

=−α

( )

+ + _ _ Γ + Γ s 1 o 1 s log 1 s 1 s log

olur. Şu halde

( ) (

)

            + + α Γ = θ s 1 o 1 1 s

elde edilir (Rogosinski 1942).

Teorem 1.1.16: t2c+1φ′2

( )

t ∈L olmak üzere

( )

z t

( )

t dz

(

z c

)

F 1 0 z_{φ′ ℜ >} =

∫

şeklinde tanımlanan F(z) fonksiyonlarının sınıfı M olsun. Bu durumdac

c z ,

M_c ℜ > için regüler olan ve

( )

z dy F

(

x iy

)

dy c

(

x c

)

F 2 =

∫

+ 2 ≤ >

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

Tanım 1.1.17 (Hölder Eşitsizliği): p>1, 1 q 1 p 1 = + , a₁,a₂,...,a_n ≥0 ve b_1,b₂,...,b_n ≥0 olsun. Bu durumda

( )

1q n 1 k q k p 1 n 1 k p k n 1 k k kb (a ) b a             ≤

∑

∑

∑

= = = olur.

Tanım 1.1.18 (Minkowski Eşitsizliği):

p≥1, a₁,a₂,...,a_n ≥0 ve b₁,b₂,...,b_n ≥0 olsun. Bu durumda

(

)

( )

p 1 n 1 k p k p 1 n 1 k p k p 1 n 1 k p k k b (a ) b a       +       ≤       ₊

∑

∑

∑

= = = olur.

Q=

( )

q_n,r ,

(

n,r=0,1,2,...

)

bir sonsuz matris ve

∑

= = n 0 r r n a

s olmak üzere her

IN n∈ için

( )

_∑

∞ = = = σ 0 r r r , n n n Qs q s

serisi yakınsak olsun.

Tanım 1.1.19: Eğer lim _n s n→∞σ = ise

∑

∞ =0 n n

a serisi Q matrisiyle s ye toplanabilirdir denir ve

( )

Q s

s_n → ile gösterilir (Borwein 1959).

Aşağıdaki kısımlarda P=

( )

pn,r

(

n,r=0,1,2,...

)

negatif olmayan matrisi

gösterecektir.

Eğer

(

s

)

p s o(1) P 0 r n r , n n − = σ − = σ

∑

∞ = λ λ ise

∑

∞ =0 n n

a serisi, s ye λ indisiyle (P,Q) kuvvetli toplanabilirdir veya

[ ]

P,Q_λ

toplanabilirdir denir ve s_n →s

[ ]

P,Q _λ ile gösterilir (Borwein 1959).

Tanım 1.1.21: Eğer ∞ < σ − σ ₋ λ ∞ = − λ + γλ

∑

n n 1 1 n 1 n ise

∑

∞ =0 n n

a serisi γ,λ indisiyle Q mutlak toplanabilirdir ya da Q,γ_λ toplanabilirdir

denir (Borwein 1959).

QR,

[

P,QR

]

_λ, QR,γ_λ çarpım formlarını tanımlarken, R herhangi bir matris

olmak üzere, R(s_n)=τ_n, σ_n =Q(τ_n) olarak alacağız. Birim matrisi ise I ile göstereceğiz. Bu durumda I(s_n)=s_n olduğu açıktır.

Teorem 1.1.22:

X ve Y Hausdorff matrisleri olmak üzere, eğer X⇒Y ise

AY AX⇒ dır (Borwein 1958). Teorem 1.1.23: α>−1, γ >β>−1 olmak üzere γ β α ⇒AC ⇒AC C dır (Borwein 1958).

2.ĐKĐNCĐ BÖLÜM

Bu bölümde öncelikle herhangi bir Q matrisinin mutlak toplanabilmesini, daha sonra Hausdorff matrislerinin mutlak toplanabilmesini ve bunların L sınıfındanp fonksiyonlarla ilişkilerini ortaya koyan teoremler verilecektir.

2.1.Mutlak Toplanabilme Teorem 2.1.1: λ≥µ>0, γ>δ ise i) λ ∞ = λ − λ + γλ µ ∞ = µ − µ + δµ     ω ≤     ω

∑

∑

1 1 n n 1 1 1 n n 1 n M n

dır. Burada M,

( )

ω_n dizisinden bağımsızdır. ii) Her Q matrisi için

µ λ ⇒ δ γ Q, , Q dır. Đspat:

i) λ=µ durumu açıktır. λ>µ olsun. Bu durumda Hölder eşitsizliğinden

∑

∑

( ) ∞ = µ λ µ − λ − λ µ − µ + γµ + γµ − δµ ∞ = µ − µ + δµ _{ω = ω} 1 n n 1 n n 1 n n

∑

(

)

(

( )

)

∞ = λ µ − λ − γµ − δµ µ λ µ − µ + γµ _ω = 1 n n n n

(

)

(

( )

)

( ) (λ−µ)λ ∞ = µ − λ λ λ µ − λ − γµ − δµ λ µ ∞ = µ λ µ λ µ − µ + γµ         ω ≤

∑

∑

1 n 1 n n n n ( ) ( ) λ µ − ∞ = − µ − λ µλ γ − δ λ µ ∞ = λ − λ + γλ _            _ω =

∑

∑

1 1 n 1 1 n n 1 n n yazılabilir.

(

δ−γ

) (

µλ λ−µ

)

−1=α diyelim. Bu durumda δ−γ<0 olduğundan α<−1 dir. 1 − < α olduğundan

∑

∞ = α 1 n

n serisi yakınsaktır. Dolayısıyla eşitsizliğin her iki tarafının

µ 1 -üncü kuvvetini alıp n M 1 1 1 n =     ∞ µ− λ = α

∑

dersek istenen eşitsizlik elde edilir. ii) Biliyoruz ki

∑

σ −σ <∞ ∞ = λ − − λ + γλ 1 n 1 n n 1

n olması için gerek ve yeter şart serinin

λ

γ

,

Q limitlenebilir olmasıdır.. Bu durumda (i) sonucunda ω_n yerine σ_n −σ_n−1

alınırsa Q,γ _λ ⇒ Q,δ_µ elde edilir.

Lemma 2.1.2:

( )

∫

χ = ξ 1 0 n n t d t , ξ =

∫

χ

( )

<∞ 1 0 n n t d t ~

(

n=0,1,...

)

olmak üzere X=

(

h,ξ_n

)

, X~ =

( )

h,~ξ_n ve λ≥1 ise her

( )

ω_n dizisi için

( )

_ω λ _≤

( )

_ξ λ−

( )

_ω λ n 1 0 n X ~ ~ X olur. Đspat:

X=

( )

X_n,r , X~ =

( )

X~_n,r olsun. X=

(

h,ξ_n

)

olduğundan 0≤r≤n için

( )

r v r n 0 v v r , n v r n 1 r n X ₊ − = ξ     − −     =

∑

( )

t d

( )

t v r n 1 r n 1 0 v r r n 0 v v _χ     − −     =

∑

−

∫

+ =

( )

t d

( )

t v r n 1 t r n 1 0 r n 0 v v v r _χ           − −     =

_{∫ ∑}

− =

(

)

t ...

( )

1 t d

( )

t 2 r n t r n 1 t r n 1 0 r n r n 2 r _χ       − + +     − + − −     =

∫

− −

(

)( )

( )

t ...

( )

t d

( )

t 2 r n t r n 1 t r n 1 0 r n 2 r _χ       − + + −     − + − − +     =

∫

−

∫

( )

− χ

( )

    = 1 − 0 r n r t d t 1 t r n

olur. Benzer şekilde

( )

( )

∫

− χ     = 1 − 0 r n r r , n t 1 t d t r n X~ dır.

Hölder eşitsizliğinden, p=λ

(

λ−1

)

, q=λ için

( )

λ = λ

∑

ω = ω n 0 r r r , n n X X λ =     ω ≤

∑

n 0 r r r , n X λ =     ω =

∑

n 0 r r r , n X~ (( ) ) λ = λ + λ − λ     _ω =

∑

n _r 0 r 1 1 r , n X~

( )

( )

( )

λ = λ λ − λ     ω =

∑

n 0 r r 1 r , n 1 r , n X ~ X~

( )

( ) ( ) ( )

( )

λ λ = λ λ λ λ − λ λ = − λ λ λ − λ     ω     ≤

∑

∑

1 . n 0 r r . 1 r , n 1 . n 0 r 1 . 1 r , n X ~ X~

∑

∑

= λ − λ = ω     = n 0 r r r , n 1 n 0 r r , n X ~ X~ =

( )

ξ λ−

( )

ωn λ 1 0 X ~ ~

Teorem 2.1.3:

( )

∫

χ = ξ 1 0 n n t d t (n=0,1,…)

χ,

[ ]

0,1 aralığında sınırlı salınımlı reel bir fonksiyon olmak üzere X=

(

h,ξ_n

)

,

∫

−γ χ

( )

<∞ 1 0 t d t ...(3) ve λ≥1 ise bu taktirde i)

∑

( )

∑

∞ = λ − γλ ∞ = λ − γλ _≤ 1 n n 1 1 n n 1 na n M na X n

dır. Burada M,

( )

a_n dizisinden bağımsızdır. ii) Her Q matrisi için

λ λ ⇒ γ γ XQ, , Q dır. Đspat:

i) Đlk olarak γ≤0 olduğunu kabul edelim. n≥r için nγλ ≤rγλ olur. Lemma 2.1.2 den

( )

λ ≤

( )

ξ λ−

( )

n λ 1 0 n X na ~ ~ na X

( )

∑

= λ − λ ξ = n 1 r r r , n 1 0 X ra ~ ~

( )

∑

∫

( )

− χ

( )

    ξ = − = λ − λ 1 0 r n r n 1 r r 1 0 t 1 t d t r n ra ~ dır. Böylece

∑

( )

( )

∑

∑

∫

( )

( )

∞ = = − λ − γλ − λ ∞ = λ − γλ _{− χ}     ξ ≤ 1 n n 0 r 1 0 r n r r 1 1 0 1 n n 1 t d t 1 t r n ra n ~ na X n

( )

∫

( )

∑

∑

( )

∞ = − γλ ∞ = λ − − λ −     − − χ ξ = r n r n 1 r r r 1 1 0 1 0 1 t 1 r 1 n n t ra r t d ~

∑

∞ = λ − γλ ≤ 1 r r 1 ra r M elde edilir.

γ>0 olduğunu kabul edelim ve 0≤t≤1 olmak üzere

( )

_∑

( )

= − −     = n 0 r r r n r n t 1 t ra r n t f

olsun. Bu durumda Hölder eşitsizliğinden

1 q , p − λ λ = λ = için

( )

(

)

λ = − λ

∑

−     = n 0 r r r n r n t 1 t ra r n t f

( )

( )

( )

λ = λ − λ + λ −

∑

      −     = n 0 r r 1 1 r n r ra t 1 t r n

( )

( )

( )

( ) λ = λ − λ − λ −

∑

      −           −     = n 0 r 1 r n r r 1 r n r t 1 t r n ra t 1 t r n

( )

( )

1 n 0 r r n r n 0 r r r n r t 1 t r n ra t 1 t r n λ− = − = λ −       −     −     ≤

∑

∑

( )

∑

( )

= λ − λ ₋     ≤ ⇒ n 0 r r r n r n t 1 t ra r n t f olur ve buradan da

( )

( )

− λ = ∞ = − γλ ∞ = λ − γλ ₋     ε ≤

∑

∑

∑

r r n r n 1 r 1 n 1 n 1 1 n n 1 ra t 1 t r n M t f n

∑

∑

( )

∞ = − − + γλ − ∞ = λ − γλ _{ε −} ε = r n r n 1 r r n 1 r r r 1 r 1 ra t 1 t M

∑

∞ = λ − γλ γλ − ≤ 1 r r 1 2t r ra M

( )

∑

( )

= = n 0 r r r , n n X ra na X

∑ ∫

( )

( )

= − _χ −     = n 0 r 1 0 r n r r t 1 t d t r n ra

∫∑

( )

( )

= − _χ −     = 1 0 n 0 r r n r r t 1 t d t r n ra =

∫

( ) ( )

χ 1 0 n t d t f

olduğundan ve Minkowski eşitsizliğinden

( )

( ) ( )

λ ∞ = λ − γλ λ ∞ = λ − γλ         χ =    

∑

_∫

∑

1 1 n 1 0 n 1 1 1 n n 1 t d t f n na X n

( )

( )

λ ∞ = λ − γλ     χ ≤

_∫

∑

1 1 n n 1 1 0 t f n t d

( )

λ ∞ = λ − γλ γ − λ     χ ≤

∫

∑

1 1 r r 1 1 0 1 2 t d t r ra M

elde edilir. Böylece (i) nin ispatı tamamlanır.

Bir X Hausdorff matrisi için

∑

a nin _n X,γ _λ toplanabilir olması için gerek ve yeter şart

( )

<∞

∑

∞ = λ − γλ 1 n n 1 na X n

olmasıdır, çünkü X

( ) (

na_n =n σ_n −σ_n−1

)

(

n=1,2,...

)

dir. (i) nedeniyle

( )

_∑

∑

∞ = λ − γλ ∞ = λ − γλ _≤ 1 n n 1 1 n n 1 na n M na X n

olduğundan I,γ _λ ⇒ X,γ _λ olduğu görülür. Böylece I yerine Q alındığında (ii)

Teorem 2.1.4: i) α>−1, λ≥1, γ<min

(

1,1+α

)

ise λ λ ⇒ α γ γ α, H, , , C dır.

ii) α>−1, λ≥1, γ <1 veya α=2,3,... , λ≥1, γ<2 ise

λ λ ⇒ α γ γ α, C, , , H dır.

Bu teoremin ispatı için önce aşağıdaki lemmayı ifade ve ispat edelim. Lemma 2.1.5:

Eğer σ₀ <0 ve g

( )

s , σ>σ₀ bölgesinde s=σ+iτ nun analitik bir fonksiyonu ve yeterince büyük s için, K, δ sabitler ve

2 1 > δ olmak üzere

( )

_{= +}

( )

−δ s 0 K s g ise bu taktirde

( )

n t d

( )

t

(

n 0

)

g 1 0 n _{χ ≥} =

∫

olur. Burada χ, her c>σ₀ için

∫

χ

( )

<∞ 1

0 c

t d

t olmak üzere

[ ]

0,1 aralığında sınırlı salınımlı bir fonksiyondur.

Đspat:

f

( ) ( )

s =g s −K olsun. Bu durumda c>σ₀+ε>σ için

(

)

ε ∞ ∞ − < +

∫

f c it 2dt M

olur. Burada M , c den bağımsız sonlu bir sayıdır. Bu durumda Teorem 1.1.16 dan,_ε

her c>σ₀ +ε için ve dolayısıyla her c>σ₀ için tcφ

( ) ( )

t ∈L0,1 olmak üzere

( )

n t

( )

t dt

(

n 0

)

f 1 0 nφ ≥ =

∫

elde edilir. Sonuç olarak

( )

n t d

( )

t

(

n 0

)

g 1 0 n _{χ ≥} =

∫

bulunur. Burada 0≤t<1 için χ

( )

=

∫

φ

( )

t 0 du u t ve χ

( )

= +

∫

φ

( )

1 0 du u K

1 dur. Bu, her

0 c>σ için

∫

χ

( )

<∞ 1 0 c t d

t olduğunun ispatıdır. Lemma böylece ispatlanır.

Teorem 2.1.4’ün ispatı:

( ) ( )

₍

(

_{) ( )}

)

1 s 1 1 s 1 s s + Γ + α Γ + α + Γ + = ω −α

ve ω_n =ω

( )

n olmak üzere, W=

(

h,ω_n

)

şeklinde Hausdorff matrisi olsun.

i) Stirling formülünden, ω

( )

s dönüşümü δ=1,σ₀ =max

(

−1,−1−α

)

için Lemma 2.1.5 deki g

( )

s nin hipotezlerini sağlar. Bu durumda Teorem 2.1.3 de X=W alınırsa

0

σ > γ

− yani γ<min

(

1,1+α

)

için

λ α λ

α,γ ⇒ WC ,γ

C

olur. WC_α =H_α olduğundan

( )

i nin ispatı tamamlanır. ii)

( )

s 1

ω fonksiyonu, α>−1 için δ=1,σ0 =−1 ve α=2,3,... için δ=1, σ0 =−2 olan Lemma 2.1.5 deki g

( )

s nin hipotezlerini sağlar.

Bu durumda Teorem 2.1.3 de X=W−1 alınırsa α >−1 olduğunda −γ >−1 için ve α=2,3,... olduğunda −γ >−2 için λ α − λ α,γ ⇒ W H ,γ H 1

Teorem 2.1.6: µ>λ≥1, λ − µ + =1 1 1 p 1 , γ≥0 ve

( )

∫

φ = ξ 1 0 n n t t dt, φ

( ) ( )

t ∈L 0,1 , t

( )

t L

( )

0,1 p p 1 1−γ− _{φ ∈} olmak üzere X=

(

h,ξ_n

)

olsun. Bu durumda

i)

( )

λ ∞ = λ − γλ µ ∞ = µ − γµ     ≤    

∑

∑

1 1 n n 1 1 1 n n 1 na n M na X n ,

burada M,

( )

a_n dizisinden bağımsızdır. ii) Her Q matrisi için

µ λ ⇒ γ γ XQ, , Q dır. Đspat:

i) n, t ve

( )

a_n dizisinden bağımsız olan pozitif sayıları M₁,M₂,M₃,M₄ ile gösterelim. 0≤t≤1 olmak üzere

∞ < =

∑

∞ = λ − γλ 1 n n 1 na n S ve

( )

_∑

( )

= − −     = n 0 r r r n r n t 1 t ra r n t f

olsun. Bu durumda Teorem 2.1.3 ün ispatına benzer olarak

( )

_∑

( )

= λ − λ ₋     ≤ n 0 r r r n r n t 1 t ra r n t f olur. Dolayısıyla

∫

( )

∫

∑

( )

= λ − − γλ γλ λ − γλ γλ ₋     ≤ n 1 r r r n r 1 0 1 1 0 n 1 dt ra t 1 t r n t n dt t f t n

∑

∫

( )

= − − + γλ λ γλ ₋     = n 1 r 1 0 r n 1 r r t 1 t dt r n ra n

(

) (

)

(

)

∑

= λ γλ + γλ + Γ + − Γ + γλ Γ     = 1 r r 1 n 1 r n r r n ra n

(

)

(

(

) (

)

)

∑

= λ γλ γλ + − − + γλ − = n 1 r r ! n ! r n ! 1 r ! r ! r n ! n ra n

(

)

( )

(

)

! n ! n ! 1 r r ! 1 r ra n n 1 r r +γλ − − + γλ =

∑

= λ γλ

(

)

( ) ( )

(

)

( )

∑

= λ γλ γλ γλ + − γλ − + γλ = n 1 r r ! n ! ! n ! 1 r ! ! 1 r r 1 ra n

∑

= λ γλ    γλ+     − − + γλ = n 1 r r n n 1 r 1 r r 1 ra n

∑

= γλ γλ − − λ γλ ε ε = n 1 r n 1 r 1 r r ra n λ = γλ − − γλ γλ

∑

ε ε = r n 1 r 1 r 1 n ra r n M r ra M₁S n 1 r r 1 1 = ≤

∑

= λ − γλ ...(4) elde edilir.

Ayrıca γ >0 için Teorem 2.1.3(i) den

( )

−γλ ∞ = λ − γλ γλ − ∞ = λ − γλ _≤

∑

₌

∑

n f t M t r ra M₂St 1 r r 1 2 1 n n 1 ...(5)

bulunur. γ =0 durumu için de Teorem 2.1.3(i) nin ispatına benzer olarak

    − − =     1 r 1 n r 1 r n n 1

özdeşliğinden yararlanarak eşitsizliğin geçerliliğini gösterebiliriz. Gerçekten,

∑

( )

∑

∑

( )

= λ − ∞ = − ∞ = λ − ₋     ≤ n 0 r r r n r 1 n 1 1 n n 1 ra t 1 t r n n t f n

∑

∑

( )

∞ = − ∞ = λ ₋     = r n r n 1 r r r t 1 r n n 1 ra t

∑

∑

( )

∞ = − ∞ = λ ₋     − − = r n r n 1 r r r t 1 1 r 1 n r 1 ra t

∑

∑

( )

∞ = − ∞ = λ − ₋     − − = r n r n 1 r r r 1 t 1 1 r 1 n t ra r

∑

∞ = λ − = 1 r r r r 1 t 1 t ra r

∑

∞ = λ − = 1 r r 1 ra r

olur. Böylece γ=0durumu için de eşitsizliğin doğruluğunu göstermiş oluruz. Şimdi

( )

= φ

( )

=

_∫

Ψ

( )

Ψ − γ − = 1 0 p c dt t k , t t t , p 1 1 c

olsun. Bu durumda k sonludur ve

( )

( )

( )

λ − λ

∫

Ψ = 1 0 n c n t t f t dt na X

( )

( )

λ −     Ψ ≤

∫

1 0 n c dt t f t t

( )

( )

λ −         Ψ =

_∫

1 0 n c p 1 . p dt t f t t

( )

( )

( )

λ − λ − µ +         Ψ =

∫

1 0 n c 1 1 1 p dt t f t t

( )

( )

( )

( )

λ − µ λ −         Ψ Ψ =

∫

t t t cf_n t dt 1 0 p 1 1 p

( )

( ) ( ) ( )

( )

λµ − λ

( )

λ λ λ λ − λ λ − λ λ λ − λ         Ψ         Ψ ≤

∫

∫

1 0 n c . p 1 0 1 . 1 p dt t f t t dt t

( )

t dt

( )

t t t f

( )

t dt 1 0 n 1 c 1 . p 1 1 0 p

∫

∫

λ− _Ψ λµ _{− λ−λγ λγ−} λ         Ψ = k t( ) (( ) )f_n

( )

t (( ) )

( )

t p. t1 c dt 1 0 1 1 λγ− µ−λ µ+λµ λ µ−λ µ+λµ λµ −λ −λγ − λ _Ψ =

∫

( )( ) (_t ) _f

_{( )}

_t ( ) _f

_{( )}

_t

_{( )}

_{t t dt} t k _{n n} p. 1 c 1 0 1 1 1 λγ− µ−λ µ λγ− λµ λµ−λ µ λλµ λµ −λ −λγ − λ _Ψ =

_∫

( )( ) ( )

_{( )}

( ) ( ) ( )

( )

λµµλ (_λγ−)_{λµµ λ} (_{−λ −λγ})_µλ

_{( )}

λλµµλ λµ µ λ − µ λ − µ µ µ λ − µ λ λ − µ µ µ λ − µ − λγ − λ         Ψ         ≤

∫

∫

1 0 . n c 1 . 1 . p . n 1 0 . 1 1 dt t f t t t dt t f t k ( )

( )

( )

( )

( )

µ λ λ − λγ µ λ − λ − λγ − λ         Ψ         =

∫

∫

1 0 n 1 p 1 n 1 0 1 1 dt t f t t t dt t f t k ( )

( )

( )

( )

µ λ λ λγ µ λ − λ − λγ − λ         Ψ         =

∫

∫

1 0 n p 1 n 1 0 1 1 dt t f t t dt t f t k

elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının µ λ kuvvetini alırsak

( )

( )

_∫

( )

( )

_∫

( )

_λγ

( )

λ λ λ − µ λ − λγ λ µ − λ µ _Ψ     ≤ 1 0 n p 1 0 n 1 1 n k t f t dt t t f t dt na X bulunur. ( ) 1

( )

( ) 1 1 1 1 n n n n n n n nγµ− = γµ−γλ+γλ− = γµ−γλ γλ− = γµ−λ γλ− = γλ µ−λ λ γλ− olduğundan

( )

( )

∫

( )

∫

( )

λγ γλ−

( )

λ − λ µ λ − λγ γλ λ µ − λ µ − γµ _Ψ     ≤ 1 0 n 1 p 1 1 0 n 1 1 n 1 dt t f n t t dt t f t n k na X n

olur ve dolayısıyla (4) ve (5) den

∑

( )

( )

( )

∫

( )

∑

( )

λ ∞ = − γλ λγ − λ µ λ µ − λ µ ∞ = − γµ _{≤ Ψ} 1 0 n 1 n 1 p 1 1 1 n 1 n 1 dt t f n t t S M k na X n ≤ ( )λ− µλ µλ− µ λ−

∫

Ψ

( )

λγ −γλ 1 0 2 p 1 1 1 1 dt St M t t S M k = µλ−

∫

Ψ

( )

1 0 p 2 1 3S M S t dt M =M3M2kSµλ =M4Sµλ

bulunur. Bu eşitsizlikte her iki tarafın 1µ kuvveti alınır ve S yerine yazılırsa

( )

∞ λ = λ − γλ µ ∞ = µ − γµ _      ≤      

_∑

_∑

1 1 n n 1 1 1 n n 1 na n M na X n

elde edilir. Bu ise I,γ _λ ⇒ X,γ _µ demektir. Öte yandan I yerine Q alınarak (ii)

bulunur.

Lemma 2.1.7:

Q herhangi bir matris ve

i) λ=µ≥1, γ≥0, α+1>γ >δ, β≥α−γ+δ, β>−1, veya ii) λ>µ≥1, γ≥0, α+1>γ >δ, β>α−γ+δ, β>−1, ise µ β λ αQ,γ ⇒ C Q,δ C dır (Borwein 1959). Sonuç 2.1.8:

Q herhangi bir matris ve

i) µ≥λ≥1, ρ>1λ−1µ, α+1>γ≥0

veya

ise bu taktirde µ ρ + α λ αQ,γ ⇒ C Q,γ C olur. Đspat: i) εα εα+ρ =

∫

φ

( )

1 0 n n n t t dt,

( )

(

)

( ) (

) ( )

t 1 t 1 1 1 t α − ρ− + α Γ ρ Γ + ρ + α Γ = φ , X=

(

h,ε_nα ε_nα+ρ

)

olmak üzere α α − α ρ + α ρ + α =C C C =XC C 1

olur. Đlk olarak λ=µ olduğunu varsayalım. Bu durumda α−γ+1>0, ρ>0 olduğundan

( )

_∫

_{( ) (}

(

)

₎

( )

∫

−γ α−γ ₋ ρ− + α Γ ρ Γ + ρ + α Γ = φ 1 0 1 1 0 dt t 1 t 1 1 dt t t

integrali yakınsaktır. Dolayısıyla t−γφ

( ) ( )

t ∈L0,1 olur. Teorem 2.1.3 den

λ ρ + α λ α,γ ⇒ C ,γ C elde edilir.

Şimdi µ >λ ve 1p=1+1µ−1λ olduğunu kabul edelim. Bu durumda

(

1

)

1

pρ− >− ve α+1−γ>0 olduğundan p

(

α+1−γ−1p

)

>−1 olur. O halde

( )

(

)

( ) (

) ( )

∫

∫

α ₋ ρ− + α Γ ρ Γ + ρ + α Γ = φ 1 0 1 1 0 dt t 1 t 1 1 dt t ve

( )

(

)

( ) (

)

( )

( )

∫

∫

−γ− α−γ− + ₋ ρ−     + α Γ ρ Γ + ρ + α Γ = φ 1 0 ) 1 ( p 1 p 1 p p 1 0 p p 1 1 dt t 1 t 1 1 dt t t

integralleri yakınsaktır. Buradan φ

( ) ( )

t ∈L0,1 ve t1−γ−1pφ

( )

t ∈Lp

( )

0,1 elde edilir.

3.ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

Bu bölümde kuvvetli toplanabilme kavramını herhangi bir Q matrisi için

incelendikten sonra Hausdorff matrislerinin kuvvetli toplanabilmesi ve Hausdorff matrislerinin L sınıfından fonksiyonlarla ilişkilerini ifade eden teorem ve lemmalarp ele alınacaktır.

3.1.Kuvvetli Toplanabilme Teorem 3.1.1:

Q herhangi bir matris, P=(p_n,r),

p M 0 r r , n <

∑

∞ = (n=0,1,…) ...(6)

olan bir matris ve λ>µ >0 ise bu taktirde

[ ]

P,Q _λ ⇒

[ ]

P,Q _µ dır.

Özel olarak λ>µ>0 ve P regüler ise teorem sağlanır.

Đspat :

Her

( )

ω_n dizisi için Hölder eşitsizliğinden,

∑

∑

(

)

∞ = µ λ µ + λ µ − ∞ = µ ω = ω 0 r r 1 r , n 0 r r r , n p p

∑

(

) (

)

∞ = λ µ − µ λ µ _ω = 0 r 1 r , n r r , n p p

(

)

( )

(

)

λ µ − ∞ = µ − λ λ λ µ − λ λ µ ∞ = µ λ µ µ λ λ µ         ω ≤

∑

∑

1 0 r ) ( ) ( r , n 0 r r r , n p p λ µ − ∞ = λ µ ∞ = λ             _ω =

∑

∑

1 0 r r , n 0 r r r , n p p −µλ λ µ ∞ = λ_      _ω <

∑

1 0 r r r , n M p −µλ λ µ ∞ = λ ∞ = µ     ω ≤ ω ⇒

∑

∑

1 0 r r r , n 0 r r r , n p M p olur. Burada _n

( )

_n n 0 r r n a , Qs s =

∑

σ = =

olmak üzere,

( )

ω_n dizisi yerine

(

σ_n −s

)

dizisi

alınırsa istenen sonuç elde edilir.

Teorem 3.1.2:

Q herhangi bir matris ve λ>µ>0, βλ>αµ>0 ise bu taktirde

[

Cα,Q

]

λ ⇒

[

Cβ,Q

]

_µ dır. Đspat: µ − λ λ = µ λ = , q

p ve

( )

ω_n herhangi bir dizi olsun. α >0, β>0, 0 q ) ( p q q > λ αµ − βλ = α −

β olduğu için Hölder eşitsizliğinden

( )

∑

= µ − − β β µ β ω = _ε ε ω n 0 r r n 1 r n n 1 C

( )

( )

∑

=

( )

( )

µ − − β − α − α β α α ω ε ε ε ε ε ε = n 0 r r n 1 r p 1 1 r p 1 1 r n p 1 n p 1 n

( )

( )

( )

( )

q 1 n 0 r _r 1 q p q 1 r q n p q n p 1 n 0 r r n 1 r n 1         ε ε ε ε       ω ε ε ≤

∑

∑

= α− − β β α = λ − − α α

{

( )

}

(

)

( )

      _{+ +} ω ≤

∑

= − α − β β − α λ α n 0 r 1 p q q q p q p 1 n 1 C n 1 r 1 M olur ve buradan da C_β

( )

ω_n µ ≤M

{

C_α

( )

ω_n λ

}

1p ...(7)

elde edilir. M ve M sayıları, n den ve ₁

( )

ω_n dizisinden bağımsızdır.

∑

= = n 0 r r n a s ,

( )

n n =Qs

σ olmak üzere ω_n =σ_n−s alındığında istenen sonuç elde edilir.

Teorem 3.1.3:

P, X regüler Hausdorff matrisleri, Q herhangi bir matris ve λ≥1 ise bu taktirde

[ ]

P,Q_λ ⇒

[

P,XQ

]

_λ

dır.

Đspat:

X=

(

h,ξ_n

)

ve σ_n =X

( )

s_n olsun. X regüler olduğundan

(

−

)

ξ =

_∫

χ

( )

= − σ 1 0 n n n n s X s s ve t d t

olur. Burada χ, (1) şartını sağlayan,

[ ]

0,1 aralığında sınırlı salınımlı bir

fonksiyondur. Bu durumda Lemma 2.1.2 den

( )

λ−

(

λ

)

λ _{≤ ξ −} − σ s ~ X~ sn s 1 0 n

bulunur. P negatif elemanı olmayan bir Hausdorff matrisi ve X~ bir Hausdorff

matrisi olduğundan P

(

σ −sλ

)

≤

( )

ξ~ λ− PX~

(

s −sλ

)

=

( )

~ξ λ− X~P

(

sn −sλ

)

1 0 n 1 0 n ...(8)

elde edilir. Teorem 1.1.7 den u_n →0 olduğunda X~

( )

u_n →0 olur. ( X~ nın regüler

Bu durumda P

(

s_n −sλ

)

→0 ise (8) den P

(

σ_n −sλ

)

→0, yani

[ ]

P,I _λ ⇒

[ ]

P,X_λ bulunur. I yerine Q matrisi aldığımızda

[ ]

P,Q _λ ⇒

[

P,QX

]

_λ elde edilir.

Aşağıdaki sonuçlar bu teoremden kolayca görülür.

Sonuç 3.1.4:

λ≥1, P, Y, Z Hausdorff matrisleri, P regüler, Y=

(

h,η_n

)

, η_n ≠0ve Y⇒Z ise

[ ]

P,Y λ ⇒

[ ]

P,Zλ olur.

Sonuç 3.1.5:

X bir Hausdorff matrisi ve λ≥1 ise

∑

∞ =0 n

n

a serisinin s ye

[

C₁,X

]

_λ toplanabilir

olması için gerek ve yeter şart s ye C₁X toplanabilir ve na_n →0

[

C₁,C₁X

]

_λ olmasıdır.

(2) den C₁C_α−1 ≅C_α

(

α>0

)

ve dolayısıyla Sonuç 3.1.4 den

[

C1,C1Cα−1

] [

λ ≅ C1,Cα

]

_λ

(

α>0,λ≥1

)

olur. Bu durumda Sonuç 3.1.5 den aşağıdaki sonuç elde edilir.

Sonuç 3.1.6: λ≥1,α >0 ise bir

∑

∞ =0 n n

a serisinin s ye

[ ]

C,α _λ toplanabilir olması için gerek ve yeter şart serinin s ye

( )

C,α toplanabilir olması ve C

( )

na o

( )

m

m 0 n n =

∑

= λ α olmasıdır.

Bu sonuç Hyslop (1951) tarafından verilmiş ve α =0 değeri için

[ ]

C,0_λ toplanabilme metodu aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:

∑

∞ =0 n

n

a serisinin s değerine

[ ]

C,0_λ toplanabilir olması için gerek ve yeter şart serinin s ye yakınsak ve

( )

m o na m 0 n n =

∑

= λ olmasıdır. Teorem 3.1.7: α≥0, λ≥1 ise

[ ] [ ]

C,α λ ≅ H,α λ dır. Đspat:

Önce α>0 alalım. Bu durumda Teorem 1.1.13 den

1

1 H

C_α− ≅ _α−

olur. C₁ =H₁ olduğundan Sonuç 3.1.4 nedeniyle

[

C1,Cα−1

]

λ ⇒

[

C1,Hα−1

] [

λ = H1,Hα−1

]

λ

elde edilir.

[ ] [

C,α _λ = C₁,C_α−1

]

_λ ve

[ ] [

H,α _λ = H₁,H_α−1

]

_λ gösterimlerinden

[ ]

C,α λ ⇒

[ ]

H,α λ

bulunur. Benzer şekilde

[ ]

H,α _λ ⇒

[ ]

C,α _λ elde edilir.

α=0 için Sonuç 3.1.5 de X=H₋₁ =C₁−1 olarak alalım. Bu durumda

[

1

]

1 1 n sC ,C

s → − olması için gerek ve yeter şart s_n →s

(

C₁,C₁−1

)

ve na_n →0

[ ]

C₁,I_λ olmasıdır. Buradan s_n →s ve

∑

= λ → + m 0 n n 0 na 1 m 1

elde edilir.

[ ]

C,0_λ nın tanımı gereğince

[ ]

C,0_λ ≅

[

C₁,C₁−1

]

_λ bulunur. Öte yandan

[ ] [

]

[

1

]

1 1 1 1,H C ,C H 0 ,

H _λ = _{− λ} = − olduğu dikkate alınarak

[ ] [ ]

C,0 _λ ≅ H,0 _λolduğu

görülür.

Lemma 3.1.8:

φ

( )

t , p>1 olmak üzere Lp

( )

0,1 sınıfından reel bir fonksiyon ve

( )

∫

φ = ξ 1 0 n n t t dt, ( )

_{( )}

dt t t 1 0 p n p n =

∫

φ ξ

(

n=0,1,...

)

, X=

(

h,ξ_n

)

, X( )p =

(

h,ξ_n( )p

)

olsun. µ>λ≥1 ve 1+1µ−1λ=1p ise her

( )

ω_n dizisi için

( )

µ

( )

( ) _µ(_{− λ})

{

( )

λ

}

_µλ− ( )

( )

λ ω ω ξ ≤ ω n p 1 n 1 1 1 p 0 n C X X dır. Đspat: 0≤t≤1 olmak üzere

( )

_∑

( )

= − _ω −     = n 0 r r r n r n t 1 t r n t f

olsun. Teorem 2.1.3 ün ispatına benzer olarak

( )

_∑

( )

= λ − λ _{− ω}     ≤ n 0 r r r n r n t 1 t r n t f olur.

∫

( )

∫ ∑

( )

= λ − λ _{− ω}     ≤ 1 0 n 0 r r r n r 1 0 n t 1 t dt r n dt t f

∑

∫

( )

= − λ ₋     ω = n 0 r 1 0 r n r r t 1 t dt r n

( ) (

)

(

)

∑

= λ + Γ + − Γ + Γ     ω = n 0 r r 2 n 1 r n 1 r r n

∑

₍

₎

( ) (

₍

₎

)

= λ + − − ω = n 0 r r ! 1 n ! r n ! r ! r ! r n ! n

∑

= λ ω + = n 0 r r 1 n 1 =C₁

( )

ω_n λ ...(9) ve dolayısıyla

( )

( )

_∑

( )

( )

= λ − λ _{− φ ω}     ≤ φ n 0 r r p r n r n p t t 1 t r n t f t

∫

( )

( )

∑

∫

( ) ( )

= λ − λ ω       φ −     ≤ φ n 0 r r 1 0 p r n r 1 0 n p dt t t 1 t r n dt t f t =X( )p

( )

ω_n λ ...(10)

bulunur. Ayrıca iki kez Hölder eşitsizliğini uygulayarak

( )

( ) ( )

λ λ

∫

φ = ω 1 0 n n t f t dt X

( )

( )

λ     φ ≤

∫

1 0 n p 1 . p dt t f t

( )

( )

( )

λ λ − µ +     φ =

_∫

1 0 n 1 1 1 p dt t f t

( )

( )

( )

( )

λ µ λ −     φ φ =

∫

1 0 n p 1 1 p dt t f t t

( )

(( ) ) ( )( ) ( )

( )

µλ

( )

λ λ λ λ − λ λ − λ λ λ − λ     φ     φ ≤

∫

∫

1 . 1 0 n . p 1 . 1 0 1 1 p dt t f t dt t

∫

( )

∫

( )

µ λ

( )

λ − λ φ     φ = 1 0 n ). p ( 1 1 0 p dt t f t dt t

∫

( )

∫

( )

λµ

( )

λ((µ−λ)µ+λµ) − λ φ     φ = 1 0 n . p 1 1 0 p dt t f t dt t =

( )

ξ ( ) λ−

∫

( )

λ(µ−λ)µ

( )

λλµ φ

( )

λµ 1 0 . p . n n 1 p 0 f t f t t dt

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

µ λ λ µ µ λ λ µ µ λ λ µ λ − λ − µ µ µ λ − µ λ − λ     φ     ξ ≤

∫

∫

1 0 . . p . . n 1 1 0 . n 1 p 0 f t dt f t t dt

( )

( ) λ−

( )

λ

( ) ( )

λ     φ     ξ =

_∫

_∫

1 0 p n 1 0 n 1 p 0 f t dt f t t dt ...(11) bulunur. (9), (10) ve (11) den

( )

_ω λ _≤

( )

_ξ ( ) λ−

{

( )

_ω λ

}

(_µ−λ)_µ

(

( )

( )

_ω λ

)

λµ n p n 1 1 p 0 n C X X

elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının µ λ kuvveti alınırsa

( )

_ω µ _≤

( )

_ξ ( ) _µ(_{− λ})

{

( )

_ω λ

}

µλ− ( )

( )

_ω λ n p 1 n 1 1 1 p 0 n C X X olur. Teorem 3.1.9: µ>λ≥1, 1 p=1+1µ−1λ olsun. Ayrıca φ

( )

t ∈Lp

( )

0,1 ξ =

∫

φ

( )

1 0 n n t t dt, ξ0 =1

olmak üzere X=

(

h,ξn

)

alalım. Bu durumda her Q matrisi için

[

C1,Q

]

λ ⇒

[

C1,XQ

]

µ

dır.

Đspat:

X regüler bir Hausdorff matrisi ve X( )p , ν_n →0 olduğunda X( )p

( )

ν_n →0 olan bir Hausdorff matrisidir. Kabul edelim ki s_n →s

[

C₁,Q

]

_λ olsun. Kısalık için

( )

s s s Q _{n n} n = − =σ − ω , ν_n =C₁

( )

ω_n λ ,

( )

( ) ( )

( )

_n 1 0 n 1 1 p 0 sup k µλ− ≥ λ − µ ν ξ = alalım. Bu durumda

( )

C

(

Q

( )

s s

)

0 C_{1 n 1 n} n = ω = − → ν λ λ

olur. ν_n →0 olduğundan k sonludur ve Lemma 3.1.8 den

C₁

(

X

( )

σ_n −sµ

)

=C₁

(

X

( )

ω_n µ

)

≤kC₁X( )p

( )

ω_n λ

=kX( )p

( ) ( )

ν_n =o1

elde edilir. Bu ise s_n →s

[

C₁,XQ

]

_µ olmasıdır. Bu ise ispatı tamamlar. Sonuç 3.1.10:

Q herhangi bir matris ve i) µ≥λ≥1, ρ>1λ−1µ

veya

ii) µ>λ>1, ρ=1λ−1µ ise bu taktirde

[

C1,Q

]

λ ⇒

[

C1,CρQ

]

_µ

dır.

Đspat:

i) λ=µ durumu Teorem 3.1.3 de P matrisi yerine C matrisi, X matrisi yerine 1 Cρ

matrisi alınmasıyla elde edilir.

µ>λ olduğunu varsayalım ve 1p=1+1µ−1λ olsun. φ

( ) ( )

t =ρ1−t ρ−1 olmak üzere C_ρ =

(

h,1 ερ_n

)

ve

( )

∫

φ = ερ 1 0 n n t t dt 1

olur. Ayrıca ρ−1>−1−1µ+1λ=−1p, p

(

ρ−1

)

>−1 olduğundan

( )

( )

( )

_{( )}

( ) dt t 1 t dt t 1 dt t 1 0 1 p 0 p 1 0 1 p p 1 0 p

∫

∫

∫

_{φ = ρ −} ρ− _{=ρ −} ρ−

integrali yakınsaktır. Buradan φ

( )

t ∈Lp

( )

0,1 elde edilir. Böylece Teorem 3.1.9 dan istenen sonuç bulunur.

4.DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

Bu bölümde daha önceki bölümlerde ortaya koyduğumuz teorem, lemma ve sonuçların yardımıyla adi, mutlak ve kuvvetli toplanabilme arasındaki ilişkileri ele alacağız.

4.1.Adi, Mutlak ve Kuvvetli Toplanabilme Arasındaki Đlişki Teorem 4.1.1:

P, Q herhangi iki matris ve P regüler ise bu taktirde i) λ>0 için

[ ]

λ ⇒ P,Q Q ii) λ≥1 için

[ ]

P,Q _λ ⇒PQ

dır. Đspat: i)

∑

= = n 0 r r n a

s olmak üzere, Q

( )

sn =σn →s ise σn −s →0 λ

dır. P regüler

olduğundan P

(

σ_n −sλ

)

→0 olur. Bu ise Q⇒

[ ]

P,Q_λ demektir.

ii) sn →s

[ ]

P,Q_λ olsun. Teorem 3.1.1 den λ≥1 olduğundan sn →s

[ ]

P,Q 1 olur.

(

s

)

P

(

s

)

o

( )

1

P σ_n − ≤ σ_n − =

eşitsizliğinden ve P regüler olduğundan P

( )

σn →s elde edilir. Bu da

[ ]

P,Q λ⇒PQ

demektir.

Teorem 4.1.1 in (i) şıkkının bir sonucu olarak şunu elde ederiz:

Sonuç 4.1.2:

P,Q regüler matrisler ve λ>0 ise bu durumda

[ ]

P,Q _λ regülerdir.

Đspat:

s_n →s olsun. Q regüler olduğundan

s ) s ( Q _n n = → σ

olur. σ_n →s ise σ_n −sλ →0 dır. P regüler olduğundan

(

s

)

0

P σ_n − λ →

olur. Buradan s_n →s

[ ]

P,Q_λ olur. Şu halde

[ ]

P,Q _λ regülerdir.

Şimdi Teorem 1.1.8 in genelleştirilmesi olan bir teorem verelim. Teorem 4.1.3:

P regüler bir matris, Q bir matris ve λ≥1 ise bu taktirde bir serinin s ye

[ ]

P,Q_λ toplanabilir olması için gerek ve yeter şart serinin s ye PQ toplanabilir ve 0’a

(

)

[

P, 1−P Q

]

λ toplanabilir olmasıdır. Đspat:

σ_n =Q

( )

s_n , τ_n =P

( )

σ_n olsun. Bu durumda

P

(

σ_n −sλ

)

=o

( )

1 ...(12)

olması için gerek ve yeter şartın

τ_n →s ...(13) ve P

(

σ_n −τ_n λ

)

=o

( )

1 ...(14) olduğunu göstermeliyiz.

i) (12) nin sağlandığını kabul edelim. Bu durumda Teorem 4.1.1(ii) den (13) sağlanır.

P regüler olduğundan P

(

τ_n −sλ

)

=o

( )

1 olur. Minkowski eşitsizliğinden ve (12) den

{

(

)

}

λ ∞ = λ λ λ       _{σ −τ} = τ − σ

∑

1 0 r r r r , n 1 n n p P

(

) (

)

λ ∞ = λ       _{σ − + −τ} =

∑

1 0 r r r r , n s s p λ ∞ = λ λ ∞ = λ       _{τ −} +       _{σ −} ≤

∑

∑

1 0 r n r , n 1 0 r n r , n s p s p =

{

P

(

σ_n −sλ

)

}

1λ +

{

P

(

τ_n −sλ

)

}

1λ =o

( )

1 olur ve buradan da (14) sağlanır.

ii) (13) ve (14) ün sağlandığını kabul edelim. P regüler olduğundan

(

s

)

o(1)

P τ_n − λ = olur. Bu durumda Minkowski eşitsizliğinden ve (14) den

{

(

)

}

λ ∞ = λ λ λ       _{σ −} = − σ

∑

1 0 r r r , n 1 n s p s P λ ∞ = λ       _{σ −τ +τ −} =

∑

1 0 r r r r r , n s p

λ ∞ = λ λ ∞ = λ       _{τ −} +       _{σ −τ} ≤

∑

∑

1 0 r n r , n 1 0 r n n r , n p s p =o

( )

1

olur ve buradan (12) sağlanır. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.4:

λ>1, 2>ρ>−1, X bir Hausdorff matrisi ve

∑

∞ =0 n

n

a serisi i)C₁X,0_λ

toplanabilirse ve ii) s’ye AC_ρX toplanabilirse, seri s’ye

[

C1,X

]

_λ toplanabilirdir.

λ=1 için (ii) şartına gerek yoktur.

Đspat:

∑

= = n 0 r r n a s , τ_n =C₁X

( )

na_n , σ_n =C₁X

( )

s_n olsun. Bu durumda

( ) (

n n n 1

)

1 n =C X na =n σ −σ − τ

olur. (i) hipotezinden yani seri C₁X,0_λ toplanabilir olduğundan

∞ < σ − σ

∑

∞ = λ − − λ 1 n 1 n n 1 n dur. Buradan

(

σ −σ

)

= τ <∞ = σ − σ

∑

∑

∑

∞ = λ ∞ = λ − − ∞ = λ − − λ 1 n n 1 n 1 n n 1 1 n 1 n n 1 n n n n bulunur. Dolayısıyla

∑

∑

∑

∑

= λ = λ = λ = λ τ ₋ τ ₊ τ + = τ + n 1 r r n 1 r r n 1 r r n 1 r r r r r r 1 n 1 1 n 1

∑

∑

∑

(

)

= λ = λ = λ _τ + + − τ + + τ = n 1 r r n 1 r r n 1 r r r 1 n 1 n 1 r r 1 n 1 r

∑

∑

(

)

= λ = λ τ − + + − τ = n 1 r r n 1 r r r r 1 n 1 n 1 r =o

( )

1

( )

ra 0 o

( )

1 X C 1 n 1 1 n 1 1 r r 1 1 r r = ₊ − = τ +

∑

∑

= λ = λ olduğuna göre

[

]

λ →0C ,C X na_{n 1 1}

olur. Nihayet, Sonuç 3.1.5 den ispatı tamamlamak için

sn →s

(

C1X

)

...(15)

olduğunu göstermemiz yeterlidir. λ=1 olduğunda (15), (i) hipotezinden elde edilir. Dolayısıyla (ii) hipotezi gereksizdir. Çünkü λ=1 için (i) hipotezine göre seri

1 1X,0

C toplanabilir olduğuna göre

( )

−

( )

=

∑

σ −σ <∞

∑

∞ = − ∞ = − n 1 1 n n 1 n 1 n 1 n 1Xs C X s C

olur. Bu ise

( )

σn dizisinin yakınsak olması yani

(

C X

)

s s_n → ₁ olmasıdır.

Şimdi λ>1 ve 2>ρ≥1+1λ olduğunu varsayalım. Diyelim ki

( )

_∑

= ρ =ω = n 0 r r n n u s X C

olsun. C_ρX

( ) (

na_n =n ω_n −ω_n−1

)

(

n=1,2,...

)

olduğu için

( )

n n C X na

nu = _ρ

olur. Bu durumda (ii) den

ω_n →s

( )

A ...(16) bulunur, yani

∑

∞ =0 n n

u serisi s’ye A toplanabilirdir. Öte yandan, ρ−1>1λ−1µ ve

olduğuna göre Sonuç 2.1.8 nedeniyle

(

µ>λ

)

= ⇒ µ ρ µ − ρ + λ C X,0 C X,0 0 , X C_{1 1 1}

olur. Dolayısıyla (ii) den seri

µ ρX,0

∑

∑

∑

∑

∞ = µ − = = − µ ∞ = µ − − µ _{ω −ω = −} 1 n 1 n 0 r r n 0 r r 1 1 n 1 n n 1 u u n n

∑

∞ = µ − µ = 1 n n 1 u n =

∑

<∞ ∞ = µ 1 n n n nu ...(17)

dır. Teorem 1.1.10, (16) ve (17) nedeniyle her δ>1µ−1 için

∑

∞ =0 n n u serisi s’ye

( )

C,δ toplanabilirdir, yani C_δ

( )

ω_n →s ...(18)

olur. µ istenildiği kadar büyük alınırsa her δ>−1 için (18) sağlanır. Sonuç olarak

ρ − = δ 1 alınırsa, C_1−ρC_ρ ≅C₁ olduğundan

( )

C C X

( )

s C X

( )

s s C_1−ρ ω_n = _{1−ρ ρ n} = _{1 n} → elde edilir. Bu durumda (15) sağlanır. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 4.1.5:

X bir Hausdorff matrisi, λ≥1, α>γ>0, β≥α−γ−1 ise bu taktirde

[

β

]

λ λ αX,γ ⇒ C ,C X C ₁ dır. Đspat:

Y=C₁−1C_α−γX olsun. Bu durumda (2) den

X C Y C ve X C Y≅ _{α−γ−1 γ+1} ≅ _α

olur. Dolayısıyla Lemma 2.1.7 de µ=1,δ=0,β=α alınırsa ve Teorem 1.1.23 den

her ρ>−1 için Y AC X C 0 , X C , X C_α γ _λ ⇒ _{α 1} ⇒ _α ⇒ _ρ

bulunur. Ayrıca Lemma 2.1.7(i) de δ=0, β=α−γ alınırsa

λ λ γ − α λ αX,γ ⇒ C X,0 = C Y,0 C ₁

bulunur. Şu halde β≥α−γ−1 olduğundan Y≅C_α−γ−1X⇒C_βX olduğu için

Sonuç 3.1.4 ve Teorem 4.1.4 den

[

]

λ

[

β

]

_λ

λ

αX,γ ⇒ C ,Y ⇒ C ,C X

C _{1 1}

elde edilir.

Teorem 4.1.4 ve Teorem 4.1.5 göz önüne alınarak bazı sonuçlar verilebilir. Öncelikle şu iki basit sonucu ifade edelim.

Sonuç 4.1.6:

λ>1, β>α−1+1λ ise

[ ]

H,α _λ ⇒

( )

H,β

dır.

Đspat:

β−α+1>1λ olduğuna göre Teorem 3.1.2 den

[ ] [ ] [

H,α λ ≅ C,α λ ≅ C1,Cα−1

] [

λ ≅ C1,Hα−1

]

λ ⇒

[

Cβ−α+1,Hα−1

]

1

elde edilir. Teorem 4.1.1(ii) ve Teorem 1.1.13 den

[ ]

H,α λ ⇒Cβ−α+1Hα−1 ≅Hβ

bulunur. Bu da ispatı tamamlar.

Benzer olarak şu sonucu da verebiliriz.

Sonuç 4.1.7:

λ>1, β>α−1+1λ, α≥0 ise

[ ]

C,α _λ ⇒

( )

C,β

dır.

Bu sonucun α=1, α>1λ ve α>0 durumları sırasıyla Kuttner (1946), Hyslop

(1951) ve Chow’a (1954) aittir.

λ>1, 1+α>ρ olsun. Eğer

∑

∞ =0 n n a serisi

i) H,α,0_λ toplanabilir ve ii) s ye AH toplanabilir ise bu taktirde seri s ye _ρ

[ ]

H,α _λ toplanabilirdir. Dolayısıyla Sonuç 4.1.6 dan her β>α−1+1λ için s ye

( )

H,β

toplanabilirdir.

Đspat:

δ, 2>δ≥ρ+1−α olacak şekilde ise pozitif bir sayı olsun. Bu durumda

Teorem 1.1.13 den 1 1 C H H H H_ρ ⇒ _{δ α−} ≅ _{δ α−}

olur. Teorem 1.1.22 den

1

H AC AH_ρ ⇒ _{δ α−}

elde edilir. Teorem 4.1.4 de λ>1, 2>δ>−1 için ρ yerine δ, X=H_α−1 olarak

alınırsa

∑

∞ =0 n

n

a , C₁H_α−1,0_λ toplanabilir ve s ye AC_δH_α−1 toplanabilir olduğundan,

seri s ye

[

C1,H_α−1

]

_λ toplanabilirdir. Sonuç 4.1.6 nın uygulanmasıyla

[

C₁,H_α−1

] [ ]

_λ ≅ H,α _λ ⇒

( )

H,β

elde edilir.

Benzer şekilde aşağıdaki sonuç ispat edilebilir.

Sonuç 4.1.9: Eğer λ>1, 1+α>ρ≥0, β>α−1+1 λ ve

∑

∞ =0 n n a serisi i)C,α,0_λ toplanabilir ve

ii) s ye AC toplanabilir ise bu taktirde seri s ye _ρ

( )

H,β toplanabilirdir.

Sonuç 4.1.10: λ>1, γ >0, β>α−1−γ+1λ ise

[

α−γ

]

⇒

( )

β ⇒ γ α, _λ H, _λ H, , H dır.

Đspat:

ρ>γ olmak üzere X=C_ρ−1H_α olsun. Bu durumda C_ρX=H_αolduğundan ve

Teorem 1.1.13 den

1 1X H

C_ρ−γ− ≅ _α−γ−

olur. Teorem 4.1.5 de α yerine ρ, β yerine ρ−γ−1 alınırsa, Sonuç 3.1.4 ve

Sonuç 4.1.6 dan

[

] [

≅

]

=

[

α−γ

]

⇒

( )

β ⇒ γ = γ α, _λ C_ρX, _λ C ,C_ρ−γ−X_λ H ,H_{α−γ− λ} H, _λ H, , H 1 1 1 1 bulunur.

Benzer yolla aşağıdaki sonuç da ispat edilebilir. Sonuç 4.1.11: λ>1, α >−1, γ >0, β>α−1−γ+1λ ise

( )

β ⇒ γ α, _λ H, , C dır.

KAYNAKLAR

Borwein, D., (1958) Theorems On Some Methods of Summability. Proc. Quart. J. Math. Oxford (2), 9: 310-316.

Borwein, D., (1959) On Strong and Absolute Summability. Proc. Glosgow Math. Assoc. (4): 122-139.

Chow, H.C., (1954) A Further Note On the Summability of A Power Series On Its Circle of Convergence. Ann. Acad. Sinica, 1: 559-567.

Flett, T.M., (1957) On An Extension of Absolute Summability and Some Theorems of Littlewood and Paley. Proc. London Math. Soc.(3), 7: 113-141. Flett, T.M., (1958) Some More Theorems Concerning the Absolute Summability of Fourier Series and Power series. 8: 357-387.

Hardy, G.H., (1949) Divergent Series, Oxford.

Hyslop, J.M., (1951) Note On the Strong Summability of Series. Proc. Glasgow Math. Assoc., 1: 16-20.

Kuttner, B., Note On Strong Summability. J. London Math. Soc., 21: 118-122. Rogosinski, W.W., (1942) On Hausdorff Methods of Summability. Proc. Mathematical Proceedings, 38: 166-192.

ÖZGEÇMĐŞ

Adı Soyadı :Gülseli ERMEZ Ana Adı :Cemile

Baba Adı :Süleyman

Doğum Yeri ve Tarihi :DENĐZLĐ, 26.10.1979

Lisans Eğitimi ve Mezuniyet Tarihi :Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi

Matematik Bölümü, 2003

Çalıştığı Yer :Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi

Matematik Bölümü

Bildiği Yabancı Diller :Đngilizce

Mesleki Etkinlikleri :Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi