• Sonuç bulunamadı

Simetrik ortogonal fonksiyon aileleri / Families of symmetric orthogonal functions

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Simetrik ortogonal fonksiyon aileleri / Families of symmetric orthogonal functions"

Copied!
82
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SİMETRİK ORTOGONAL FONKSİYON AİLELERİ

Beyzanur Ülkü ÇELİK

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2020

(2)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

S·IMETR·IK ORTOGONAL FONKS·IYON A·ILELER·I

Beyzanur Ülkü ÇEL·IK

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Doç.Dr. Rabia AKTA¸S Bu tez yedi bölümden olu¸smaktad¬r.

Birinci bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r. ·

Ikinci bölümde temel kavramlar ve ön bilgiler hat¬rlat¬lm¬¸st¬r.

Üçüncü bölümde Sturm-Liouville teoremi genelle¸stirilerek simetrik ortogonal fonksiyon ailelerini tan¬mlamak için temel bir teorem verilmi¸stir.

Dördüncü bölümde dört ba¼g¬ms¬z parametreli simetrik ortogonal polinom ailelerinin bir s¬n¬f¬verilmi¸s olup bu polinomlar¬n özel durumu olan genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinom-lar, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬ve ( 1; 1)aral¬¼g¬nda ortogonal olan polinom-lar¬n iki sonlu s¬n¬f¬n¬n çe¸sitli özellikleri verilmi¸stir.

Be¸sinci ve alt¬nc¬ bölümde be¸s ve alt¬ parametreli simetrik ortogonal fonksiyon aileleri tan¬mlanm¬¸st¬r ve yine bunlar¬n özel durumlar¬ olarak genelle¸stirilmi¸s ultraküresel poli-nomlari, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬ve( 1; 1)aral¬¼g¬nda ortogonal olan sonlu polinomlar¬n baz¬genellemeleri verilmi¸stir.

Son olarak yedinci bölüm sonuç k¬sm¬na ayr¬lm¬¸s olup bu tezde neler yap¬ld¬¼g¬ hakk¬nda bilgi verilmi¸stir.

Temmuz 2020 , 75 sayfa

Anahtar Kelimeler: Simetrik fonksiyon, ortogonal polinom, Jacobi polinomlar¬, genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬, rekürans ba¼g¬nt¬s¬, diferensiyel denklem

(3)

ABSTRACT

Master Thesis

FAMILIES OF SYMMETRIC ORTHOGONAL FUNCTIONS

Beyzanur Ülkü ÇEL·IK

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc.Prof. Dr. Rabia AKTA¸S

This thesis consists of seven chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, basic concepts and preliminaries are reminded.

In the third chapter, by generalizing Sturm-Liouville theorem a fundamental theorem for Sturm-Liouville problems is given in order to de…ne families of symmetric orthogonal functions.

In the fourth chapter, a class of symmetric orthogonal polynomials with four independent parameters is given. As a special case of these polynomials, generalized ultraspherical polynomials, generalized Hermite polynomials and two other sequences of …nite symmetric orthogonal polynomials on( 1; 1)are presented and their properties are discussed. In the …fth and sixth chapters, families of symmetric orthogonal functions with …ve and six parameters are de…ned. In the special cases, some generalizations of generalized ultra-spherical polynomials, generalized Hermite polynomials and …nite symmetric orthogonal polynomials on( 1; 1)are given.

Finally, the seventh chapter is devoted to the conclusion part and the information about what has been done in thesis is given.

July 2020 , 75 pages

Key Words: Symmetric function, orthogonal polynomial, Jacobi polynomials, gene-ralized ultraspherical polynomials, genegene-ralized Hermite polynomials, recurrence relation, di¤erential equation

(4)

TE¸SEKKÜR

Çal¬¸smam¬n her a¸samas¬nda görü¸s ve önerileriyle beni yönlendiren, yard¬m¬n¬hiçbir zaman eksik etmeyen de¼gerli dan¬¸sman hocam Doç. Dr. Rabia AKTA¸S (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’a ve benden bugüne kadar deste¼gini hiç esirgemeyen de¼gerli aileme sonsuz te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Beyzanur Ülkü ÇEL·IK Ankara, Temmuz 2020

(5)

v

İÇİNDEKİLER

TEZ ONAY SAYFASI

ETİK ... i ÖZET ... ii ABSTRACT ... iii TEŞEKKÜR ... iv SİMGELER DİZİNİ ... vii 1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR VE ÖN BİLGİLER ... 3

3. STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN SİMETRİK BİR GENELLEMESİ ... 9

3.1 Geliştirilmiş Legendre Fonksiyonlarının Simetrik Genelleştirilmesi ... 11

4. DÖRT BAĞIMSIZ PARAMETRELİ SİMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLARIN BİR SINIFI ... 17

4.1 Sn(x; a, b, c, d) Polinomlarının Dört Ana Sınıfı ... 30

4.1.1 Genelleştirilmiş ultraküresel polinomlar ... 30

4.1.2 Genellestirilmiş Hermite polinomları ... 32

4.1.3 (-∞,∞) aralığında simetrik ortogonal polinomların sonlu bir sınıfı ... 33

4.1.4 (-∞,∞) aralığında simetrik ortogonal polinomların başka sonlu bir sınıfı ... 35

5. BEŞ PARAMETRELİ SİMETRİK ORTOGONAL FONKSİYON- LARIN BİR SINIFI ... 36

5.1 Sn (ϑ) (x; a, b, c, d) Fonksiyonunun Dört Ana Sınıfı. ... 44

5.1.1 Genelleştirilmiş ultraküresel polinomların bir genellemesi ... 45

5.1.2 Genelleştirilmiş Hermite polinomlarının bir genellemesi ... 49

5.1.3 (-∞,∞) aralığnda x-2w(1+x2)-v ağırlık fonksiyonuna göre simetrik ortogonal fonksiyonların sonlu bir sınıfı ... 50

5.1.4 (-∞,∞) aralığnda x-2wexp(-1/x2) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan simetrik fonksiyonların sonlu bir sınıfı. ... 54

6. ALTI BAĞIMSIZ PARAMETRELİ SİMETRİK ORTOGONAL FONKSİYONLARIN BİR SINIFI ... 57

6.1 Sn (α,β) (x; a, b, c, d) Fonksiyonunun Dört Ana Sınıfı ... 65

(6)

vi

6.1.2 Genelleştirilmiş Hermite polinomlarının bir genellemesi ... 66

6.1.3 (-∞,∞) aralığında x-2w(1+x2)-v ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan simetrik fonksiyonların sonlu bir sınıfı.. ... 67

6.1.4 (-∞,∞) aralığında x-2wexp(-1/x2) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan simetrik ortogonal fonksiyonların sonlu bir sınıfı ... 69

7. SONUÇ ... 72

KAYNAKLAR ... 73

(7)

S·IMGELER D·IZ·IN·I

(a)n Pochhammer sembolü

(x) Gamma fonksiyonu

B(x; y) Beta fonksiyonu

2F1(a; b; c; x) Hipergeometrik fonksiyon

Pn( ; )(x) Jacobi polinomlar¬

Pn(x) Legendre polinomlar¬

Pn( ; )(x) Ultraküresel polinomlar

Sn

2w 2v 2 2w

1 1 jx Genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar Sn

2 2w

(8)

1.

G·IR·I¸S

Regüler bir Sturm-Liouville problemi

d dx p(x) d'n(x) dx + ( nw(x) s(x))'n(x) = 0 denklemi ve 8 < : 1'n(c) + 1'0n(c) = 0 2'n(d) + 2'0n(d) = 0

s¬n¬r ko¸sullar¬yla verilmektedir. Burada p(x) > 0; w(x) > 0 d¬r. p(x); p0(x); w(x) ve

s(x) fonksiyonlar¬ [c; d] aral¬¼g¬nda süreklidir. E¼ger p(c) = 0 veya p(d) = 0 ise bu durumda bu problem singüler Sturm-Liouville problemini verir.

Teorik ve matematiksel …zikteki birçok önemli özel fonksiyon bir regüler (ya da singüler) Sturm-Liouville probleminin çözümüdür ve

Z d c w(x)'n(x)'m(x)dx = Z d c w(x)'2n(x)dx n;m

ortogonallik ko¸sulunu sa¼glar. Burada w(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonu ve n;m Kronecker

deltad¬r. Örnek olarak geli¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlar¬ (Arfken 1985), Bessel fonksiyonlar¬(Arfken 1985, Nikiforov ve Uvarov 1988), Fourier trigonometrik diziler (Abramowitz ve Stegun 1972), ultraküresel fonksiyonlar (Chihara 1978) ve Her-mite fonksiyonlar¬n¬ (Szegö 1975) verebiliriz. Bu fonksiyonlar¬n ço¼gu 'n( x) =

( 1)n'

n(x) simetri özelli¼gine sahiptir ve …zikte ve mühendislikte önemli

uygula-malar¬vard¬r. Burada bahsedilen bu örnekler ortogonallik özelli¼gini koruyacak ¸ se-kilde simetrik olarak genellenerek, …zik ve mühendislikteki daha önceki uygulamalar¬ da içine alan ve yeni uygulamalar veren genelle¸stirilmi¸s klasik simetrik ortogonal polinomlar tan¬mlanm¬¸st¬r. Bunun için yukar¬da verilen Sturm-Liouville problemi, 'n( x) = ( 1)n'n(x)simetri özelli¼gini sa¼glayan

8 < : d dx p(x) d'n(x) dx + nw(x) s(x) + 1 ( 1)n 2 H(x) 'n(x) = 0 3'n( ) + 3'0n( ) = 0; < x <

(9)

problemine geni¸sletilmi¸stir (Masjed-Jamei 2007b). Burada f'ng klasik ortogonal

fonksiyonlar¬n geni¸sletilmi¸s simetrik bir dizisidir. 'nfonksiyonlar¬kullan¬larak

Fouri-er analizi ile ba¼glant¬l¬trigonometrik ortogonal diziler, geli¸stirilmi¸s Legendre fonksi-yonlar¬, simetrik tipte Bessel fonksiyonlar¬gibi birçok simetrik ortogonal fonksiyon aileleri genelle¸stirilebilir.

Literatürde simetrik ortogonal fonksiyon ve polinom aileleri, simetrik q-ortogonal polinomlar, diskre de¼gi¸skenli simetrik ortogonal polinomlar ve tam olmayan simetrik ortogonal polinomlar alan¬nda birçok çal¬¸smalar yap¬lm¬¸s ve halen yap¬lmaya de-vam etmektedir (Masjed-Jamei 2007a, 2007b, 2008, 2010; Masjed-Jamei ve Dehghan 2008, Masjed-Jamei ve Koepf 2010, Masjed-Jamei ve Koepf 2011; Masjed-Jamei ve Area 2013a, 2013b, 2014, 2017; Masjed-Jamei, Moalemi ve Saad 2020, Masjed-Jamei, Soleyman ve Koepf 2020). Bu tezde, simetrik fonksiyonlar için Sturm-Liouville teo-remi uygulanarak, dört parametreli simetrik ortogonal polinomlar¬n temel bir s¬n¬f¬ ortaya at¬lacak ve ikinci basamaktan diferensiyel denklem, ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬, üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬ gibi standart özellikleri incelenecektir. Bu polinom-lar¬n özel durumu olarak simetrik ortogonal polinompolinom-lar¬n dört temel ailesi verile-cektir. Bu polinomlar genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar, genelle¸stirilmi¸s Her-mite polinomlar¬ ve ( 1; 1) aral¬¼g¬nda ortogonal olan sonlu simetrik ortogonal polinomlar¬n iki dizisidir. Yine, özel durumda dört parametreli simetrik ortogonal polinomlar¬veren be¸s ve alt¬parametreli simetrik ortogonal fonksiyon aileleri tan¬m-lanacak ve bu fonksiyonlar için ortogonallik özellikleri, üç terimli rekürans formülleri ve ikinci basamaktan diferensiyel denklemler elde edilecektir. Ayr¬ca bu fonksiyon-lar¬n özel durumfonksiyon-lar¬nda, genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬n¬n ve ( 1; 1) aral¬¼g¬nda ortogonal olan sonlu simetrik poli-nomlar¬n çe¸sitli genellemeleri verilip özellikleri tart¬¸s¬lacakt¬r.

(10)

2.

TEMEL KAVRAMLAR VE ÖN B·ILG·ILER

Tan¬m 2.1 ( ) Gamma fonksiyonu ( ) =

Z 1 0

x 1e xdx; > 0 (2.1)

¸seklinde tan¬mlan¬r (Abramowitz ve Stegun 1972). Tan¬m 2.2 B( 1; 2) Beta fonksiyonu 1; 2 > 0 için

B( 1; 2) = Z 1 0 x 1 1(1 x) 2 1dx = Z 1 0 x 1 1 (1 + x) 1+ 2dx = 2 Z =2 0 (sin x)2 1 1(cos x)2 2 1dx = ( 1) ( 2) ( 1+ 2) = B( 2; 1) (2.2)

formunda tan¬mlan¬r (Abramowitz ve Stegun 1972, Arfken 1985).

Tan¬m 2.3 reel yada kompleks bir say¬ olmak üzere ( )n ifadesi a¸sa¼g¬daki gibi

tan¬ml¬d¬r.

( )n = ( + 1) ( + 2) ::: ( + n 1) ; n = 1; 2; :::

( )0 = 1; 6= 0 (2.3)

Bu ifade Pochhammer sembolü olarak adland¬r¬l¬r (Rainville 1960). Lemma 2.1 Pochhammer sembolü a¸sa¼g¬da verilen özelli¼gi sa¼glar.

( )n k = ( )n ( n + 1)k( 1)k (2.4) · Ispat. ( )n k = ( + 1) :::( + n k 1) = ( )n ( + n k) ::: ( + n 1) = ( )n ( n + k) ::: ( n + 1)( 1)k = ( )n ( n + 1)k( 1)k

(11)

Tan¬m 2.4 2F1(a; b; c; x) hipergeometrik fonksiyonu 2F1(a; b; c; x) = 1 X i=0 (a)i(b)i (c)i xi i! ; jxj < 1 (2.5)

¸seklinde tan¬mlan¬r (Rainville 1960).

Tan¬m 2.5 n 2 N0 := f0; 1; 2; :::g ve d0; d1; :::; dn ler de dn 6= 0 olmak üzere sabit

say¬lar olsunlar.

pn(x) = dnxn+ dn 1xn 1+ ::: + d1x + d0 (2.6)

¸seklinde tan¬mlanan pn: R ! R fonksiyonuna n-yinci dereceden bir polinom denir.

Buradaki n say¬s¬polinomun derecesini gösterip, d0; d1; :::; dnsay¬lar¬polinomun

kat-say¬lar¬d¬r.

Tan¬m 2.6 I R olmak üzere w(x), I da tan¬ml¬ pozitif bir fonksiyon, 'n(x) ve 'm(x)fonksiyonlar¬ise I aral¬¼g¬nda reel de¼gerli ve integrallenebilen fonksiyonlar

olsunlar. m; n 2 N0 olmak üzere m 6= n için

('n; 'm) = Z

I

'n(x)'m(x)w(x)dx = 0 (2.7)

sa¼glan¬yorsa '1(x); '2(x); ::: reel fonksiyon sistemine I aral¬¼g¬nda w(x) a¼g¬rl¬k

fonksi-yonuna göre ortogonaldir denir. m = n durumunda ise 'n(x)fonksiyonunun normu k 'n(x)k= Z I w(x)'2n(x)dx 1=2 ; n = 0; 1; 2; ::: (2.8) ile tan¬mlan¬r (Chihara 1978).

·

Iyi bilinen ortogonal polinom ailelerinden birisi Jacobi ortogonal polinomlar¬d¬r. (1 x2)y00+ ( ( + + 2)x)y0+ n(n + + + 1)y = 0 (2.9) diferensiyel denkleminin çözümü olan Pn( ; )(x)Jacobi polinomlar¬

Pn( ; )(x) = ( 1) n 2nn! (1 x) (1 + x) dn dxn (1 x) n+ (1 + x)n+ (2.10)

Rodrigues formülü gösterimine sahiptir. Bu polinomlar [ 1; 1] aral¬¼g¬nda !(x) = (1 x) (1 + x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir ve

Z 1 1 (1 x) (1 + x) Pn( ; )(x)Pm( ; )(x)dx = 2 + +1 ( + n + 1) ( + n + 1) n!( + + 2n + 1) ( + + n + 1) n;m (2.11)

(12)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬gerçekler (Rainville 1960). Burada n;m Kronecker deltad¬r ve 8 < : 0 ; n6= m 1 ; n = m

¸sekline tan¬ml¬d¬r. Jacobi polinomlar¬n¬n baz¬özel durumlar¬a¸sa¼g¬daki gibidir: i) = = 0 için Jacobi polinomlar¬n¬n bir özel hali Pn(x) := P

(0;0)

n (x) Legendre

polinomlar¬d¬r ve

(1 x2)y00 2xy0+ n(n + 1)y = 0 (2.12)

diferensiyel denkleminin çözümüdür. Pn(x)Legendre polinomlar¬

Pn(x) = ( 1)n 2nn! dn dxn (1 x 2)n (2.13)

Rodrigues formülü gösterimine sahip olup Z 1

1

Pn(x)Pm(x)dx =

2

2n + 1 n;m ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar.

ii) = için Jacobi polinomlar¬n¬n di¼ger bir özel hali Pn( ; )(x) ultraküresel

poli-nomlar¬d¬r ve

(1 x2)y00 (2 + 2)xy0 + n(n + 2 + 1)y = 0 (2.14) diferensiyel denkleminin çözümüdür (Rainville 1960). Pn( ; )(x) Ultraküresel

poli-nomlar¬ Pn( ; )(x) = ( 1) n 2nn! (1 x 2) dn dxn (1 x 2)n+ (2.15)

Rodrigues formülüne sahip olup bu polinomlar [ 1; 1] aral¬¼g¬ndan !(x) = (1 x2)

a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir, yani Z 1 1 (1 x2) Pn( ; )(x)Pm( ; )(x)dx = 2 2 +1 ( + n + 1) ( + n + 1) n!(2 + 2n + 1) (2 + n + 1) n;m (2.16)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬gerçekler.

Teorem 2.1 I R aral¬¼g¬nda !(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan n-yinci dereceden 'n(x)polinom ailesi

(13)

üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬ gerçekler. Burada An; Bn ve Dn katsay¬lar¬ n’ye

ba¼gl¬sabitlerdir ve ' 1(x) = 0d¬r (Szegö 1975).

Teorem 2.2 (Favard Teoremi)

x'n(x) = 'n+1(x) + Bn'n(x) + Dn'n 1(x); ' 1(x) = 0; '0(x) = 1 (2.18)

rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan f'ng polinom dizisi

Z b a w(x)'n(x)'m(x)dx = n 1 Y i=0 Di+1 Z b a w(x)dx ! n;m (2.19)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar (Chihara 1978).

Tan¬m 2.7 (c; d) aral¬¼g¬nda tan¬ml¬bir s¬n¬r de¼ger problemi

(p(x)'0n(x))0+ ( nw(x) s(x))'n(x) = 0; p(x) > 0; w(x) > 0 (2.20) 8 < : 1'n(c) + 1'0n(c) = 0 2'n(d) + 2'0n(d) = 0 (2.21) olarak verilsin. Burada 1, 2, 1 ve 2 sabitler ve p(x), p0(x), s(x) ve w(x)

fonksi-yonlar¬[c; d] aral¬¼g¬nda sürekli fonskiyonlard¬r. Verilen bu problem regüler Sturm-Liouville problemi olarak tan¬mlanmaktad¬r. Ayr¬ca c veya d s¬n¬r de¼gerlerinden biri singüler (p(c) = 0 veya p(d) = 0) ise bu problem singüler Sturm-Liouville problemi olarak adland¬r¬l¬r.

Teorem 2.3 (2.20)-(2.21) Sturm-Liouville sisteminde p(x); w(x) ve s(x) katsay¬lar¬ [c; d] aral¬¼g¬nda sürekli olsunlar. Ayr¬ca n ve m özde¼gerlerine kar¸s¬l¬k gelen 'n ve

'm özfonksiyonlar¬ ayn¬ aral¬kta türevlenebilir olsunlar. Bu durumda 'n ve 'm

özfonksiyonlar¬[c; d] aral¬¼g¬nda w(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir (Alt¬n 2011).

·

Ispat. 'n(x)ve 'm(x)fonksiyonlar¬(2.20) diferensiyel denkleminin nve mözde¼

ger-lerine kar¸s¬l¬k gelen iki çözümü olsunlar. 'n(x)fonksiyonu (2.20)-(2.21) probleminin bir çözümü ise

(14)

ve 8 < :

1'n(c) + 1'0n(c) = 0 2'n(d) + 2'0n(d) = 0

sa¼glanacakt¬r. Benzer ¸sekilde 'm(x)fonksiyonu (2.20)-(2.21) probleminin bir çözümü

ise (p(x)'0m(x))0 + ( mw(x) s(x))'m(x) = 0 (2.23) ve 8 < : 1'm(c) + 1'0m(c) = 0 2'm(d) + 2'0m(d) = 0

gerçeklenir. (2.22) denklemi 'm(x)ile (2.23) denklemi 'n(x)ile çarp¬l¬p taraf tarafa

ç¬kar¬l¬rsa

(p(x)'0n(x))0'm(x) (p(x)'0m(x))0'n(x) + 'n(x)'m(x)[ n m]w(x) = 0

elde edilir. Buradan d

dx[p(x)('n(x)'

0

m(x) '0n(x)'m(x)] = ( m n)w(x)'m(x)'n(x)

yaz¬labilir. Her iki taraf¬n (c; d) aral¬¼g¬nda integrali al¬n¬rsa

( m n) d Z c w(x)'n(x)'m(x)dx = p(d)['n(d)'0m(d) '0n(d)'m(d)] p(c)['n(c)'0m(c) '0n(c)'m(c)] elde edilir. 'n(x)ve 'm(x)s¬n¬r ko¸sullar¬n¬sa¼glad¬¼g¬ndan

'n(d)'0m(d) '0n(d)'m(d) = 0 ve 'n(c)'0m(c) '0n(c)'m(c) = 0 olup buradan ( m n) d Z c w(x)'n(x)'m(x)dx = 0 elde edilir. m6= n için d Z c w(x)'n(x)'m(x)dx = 0

sa¼glan¬r. Bu durumda 'n(x) ve 'm(x) çözümleri, (c; d) aral¬¼g¬nda (2.21) s¬n¬r ko¸sullar¬alt¬nda w(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir. Yani,

(15)

d Z c w(x)'n(x)'m(x)dx = 0 @ d Z c w(x)'2n(x)dx 1 A n;m (2.24) sa¼glan¬r.

Tan¬m 2.8 Her n 2 Z+için 'n( x) = ( 1)n'

n(x)e¸sitli¼gini sa¼glayan 'n(x)

(16)

3.

STURM-L·IOUV·ILLE PROBLEM·IN·IN S·IMETR·IK B·IR GENELLEME-S·I

D(x); E(x); F (x); G(x)ve H(x) key… fonksiyonlar ve f ng sabitler dizisi olmak üzere

D(x)'00n(x) + E(x)'0n(x) + nF (x) + G(x) +

1 ( 1)n

2 H(x) 'n(x) = 0 (3.1) diferensiyel denklemini sa¼glayan simetrik fonksiyonlar¬n bir dizisi f'n(x)g1

n=0 olsun.

H(x) = 0 durumunda (3.1) denklemi, (2.20) denklemine e¸s de¼ger olur. 'n(x);(3.1)

denkleminin 'n( x) = ( 1)n'

n(x)ko¸sulunu sa¼glayan simetrik çözümü oldu¼gundan

D(x), F (x), G(x) ve H(x) çift fonksiyon, E(x) ise tek fonksiyondur.

(3.1) denklemini self-adjoint forma dönü¸stürmek için pozitif bir Z(x) fonksiyonu ile çarparsak

Z(x)D(x)'00n(x)+Z(x)E(x)'0n(x)+Z(x)( nF (x)+G(x)+

1 ( 1)n

2 H(x))'n(x) = 0 yaz¬labilir. Bu denklemin self-adjoint olabilmesi için

[Z(x)D(x)]0 = Z(x)E(x) olmal¬d¬r. Buradan Z(x) = exp Z E(x) D0(x) D(x) dx = 1 D(x)exp Z E(x) D(x)dx (3.2) elde edilir. Z( x) = 1 D( x)exp Z E( x) D( x)d( x) = 1 D(x)exp Z E(x) D(x) ( dx) = 1 D(x)exp Z E(x) D(x)dx = Z(x)

oldu¼gundan Z(x) çift fonksiyondur. (3.1) denklemi self-adjoint formda d dx D(x)Z(x) d'n(x) dx = ( nF (x) + G(x))Z(x)'n(x) 1 ( 1)n 2 H(x)Z(x)'n(x) (3.3)

(17)

¸seklinde yaz¬l¬r. Bu denklem 'm(x) fonksiyonu için yaz¬l¬rsa d dx D(x)Z(x) d'm(x) dx = ( mF (x) + G(x))Z(x)'m(x) 1 ( 1)m 2 H(x)Z(x)'m(x) (3.4)

elde edilir. (3.3) denklemi 'm(x) ile, (3.4) denklemi 'n(x) ile çarp¬l¬p taraf tarafa ç¬kar¬l¬rsa d dx(D(x)Z(x)(' 0 n(x)'m(x) 'n(x)'0m(x))) = ( m n)F (x)Z(x)'n(x)'m(x) ( 1)m ( 1)n 2 H(x)Z(x)'n(x)'m(x) (3.5)

bulunur. D(x)Z(x) çift fonksiyon oldu¼gundan ortogonallik aral¬¼g¬[ ; ] olmal¬d¬r. D(x)Z(x) çarp¬m¬n¬n x = da s¬f¬r olaca¼g¬ kabul edilip (3.5) e¸sitli¼ginin her iki yan¬n¬n [ ; ] aral¬¼g¬nda integrali al¬n¬rsa

[D(x)Z(x)('0n(x)'m(x) 'n(x)'0m(x))] = ( m n) Z F (x)Z(x)'n(x)'m(x)dx ( 1)m ( 1)n 2 Z H(x)Z(x)'n(x)'m(x)dx (3.6) elde edilir. (3.6) denkleminin sol taraf¬s¬f¬ra e¸sit oldu¼gundan ortogonallik özelli¼gini göstermek için B(n; m) = ( 1) m ( 1)n 2 Z H(x)Z(x)'n(x)'m(x)dx

fonksiyonunun her m; n 2 Z+ için s¬f¬ra e¸sit oldu¼gunu göstermek yeterli olacakt¬r. Burada m ve n nin genel dört durumu dü¸sünülmelidir.

a) m ve n’nin ikisi de çift (ya da tek) ise B(n; m) = 0 olur. Çünkü, ( 1)2i ( 1)2j

2 = 0

oldu¼gundan B(n; m) = 0 olacakt¬r.

b) E¼ger m tek ve n çift ise (ya da tam tersi) B(2i; 2j + 1) = ( 1) 2j+1 ( 1)2i 2 Z H(x)Z(x)'2j+1(x)'2i(x)dx = Z H(x)Z(x)'2j+1(x)'2i(x)dx (3.7)

(18)

sa¼glan¬r. H(x); Z(x) ve '2i(x) çift fonksiyonlar ve '2j+1(x) tek fonksiyon oldu¼ gun-dan (3.7) denkleminde integrand tek fonksiyondur. Buragun-dan B(2i; 2j+1) = 0 oldu¼gu aç¬kt¬r. Benzer olarak B(2j + 1; 2i) = 0 oldu¼gu da görülür (Masjed-Jamei 2007a). Bunlar¬n bir sonucu olarak a¸sa¼g¬daki teorem verilebilir.

Teorem 3.1 'n( x) = ( 1)n'n(x)simetriklik ko¸sulunu sa¼glayan 'n(x)fonksiyonu

(3.1) denkleminin bir çözümü ise Z

W (x)'n(x)'m(x)dx = Z

W (x)'2n(x)dx n;m (3.8)

ortogonallik özelli¼gini sa¼glar. Burada

W (x) = F (x)Z(x) = F (x) exp Z E(x) D0(x) D(x) dx = F (x) D(x)exp Z E(x) D(x)dx (3.9)

a¼g¬rl¬k fonksiyonudur. F (x) > 0 için W (x) pozitif ve [ ; ] aral¬¼g¬nda çift olan bir fonksiyondur (Masjed-Jamei 2007a, 2020).

3.1 Geli¸stirilmi¸s Legendre Fonksiyonlar¬n¬n Simetrik Genelle¸stirilmesi Geli¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlar¬

(1 x2)d

2

dx2 2x

d

dx + n 1 x2 = 0 (3.10)

diferensiyel denklemini sa¼glar (Abramowitz ve Stegun 1972, Arfken 1985, Masjed-Jamei 2007a). Burada nözde¼ger ve sabittir. n ve ’nün farkl¬ de¼gerleri için

(3.10) denkleminin üç tip çözümü vard¬r. i) n = (n + )(n + + 1) ve = 2

; n 2 Z+; > 1 için (3.10) denkleminin bir

çözümü, Pn( ; )(x)ultraküresel polinomlar olmak üzere

(x) = Un( )(x) = (1 x2)2P( ; )

n (x) (3.11)

fonksiyonlar¬d¬r. Bunu görmek için (2.15) ile tan¬mlanan Pn( ; )(x)ultraküresel

poli-nomlar¬n sa¼glad¬¼g¬

(19)

diferensiyel denkleminde

v = (1 x2) 2

de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬rsa gerekli düzenlemelerden sonra (1 x2) 00(x) 2x 0(x) + (n + )(n + + 1)

2

1 x2 (x) = 0

elde edilir. Bu da gösterir ki (3.11) fonksiyonlar¬, (3.10) diferensiyel denkleminin bir çözümüdür. Ultraküresel polinomlar¬n (2.16) ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬ndan yarar-lanarak kolayl¬kla görülür ki Un( )(x) = (1 x2) =2Pn( ; )(x) fonksiyonlar¬ [ 1; 1]

aral¬¼g¬nda !(x) = 1 a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir. Gerçekten, Z 1 1 (1 x2) Pn( ; )(x)Pm( ; )(x)dx = Z 1 1 Un( )(x)Um( )(x)dx = Z 1 1 (Un( )(x))2dx n;m = 2 2 +1 2(n + + 1) n!(2n + 2 + 1) (n + 2 + 1) n;m sa¼glan¬r. ii) n= n(n + 1) ve = k2

; n; k 2 Z+ için (3.10) denkleminin bir çözümü,

(x) = Pnk(x) = (1 x2)k2d

k(P n(x))

dxk (3.12)

d¬r. Burada Pn(x) polinomlar¬(2.13) ile tan¬mlanan Legendre polinomlar¬d¬r. v =

Pn(x)Legendre polinomlar¬

(1 x2)v00 2xv0 + n(n + 1)v = 0

diferensiyel denklemini sa¼glar. Bu denklemin birinci ve ikinci mertebeden türevleri al¬n¬rsa s¬ras¬yla

(1 x2)v000 4xv00+ [n(n + 1) 2]v0 = 0 ve

(1 x2)v(4) 6xv000+ [n(n + 1) 6]v00 = 0 elde edilir. Böyle devam edilerek k-y¬nc¬mertebeden türev al¬n¬rsa

(1 x2)d k+2v dxk+2 2(k + 1) dk+1v dxk+1 + (n k)(n + k + 1) dkv dxk = 0

(20)

bulunur. Burada dxdkvk = v1 denilirse,

(1 x2)v001 2(k + 1)v10 + (n k)(n + k + 1)v1 = 0

elde edilir. Bu denklemde

v1 = (1 x2)

k 2

de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬p bulunanlar yerine yaz¬l¬rsa (1 x2) 2k+1 00+ 2xk(1 x2) k 2 0+ [x2k(k + 2)(1 x2) k 2 1 +k(1 x2) 2k] 2(k + 1)xk(1 x2) 2k 1 2(k + 1)x(1 x2) k 2 0 +(n k)(n + k + 1)(1 x2) 2k = 0

elde edilir. Denklem (1 x2)k2 ile çarp¬l¬p gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa,

(1 x2) 00(x) 2x 0(x) + n(n + 1) k

2

1 x2 (x) = 0

bulunur. Bu da gösterir ki (3.12) fonksiyonlar¬(3.10) denkleminin bir çözümüdür. ¸ Simdi de Pk n(x) fonksiyonlar¬n¬n Z 1 1 Pik(x)Pjk(x)dx = Z 1 1 (Pik(x))2dx i;j = 2(i + k)! (2i + 1)(i k)! i;j ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glad¬¼g¬n¬gösterelim.

Pnk(x) = (1 x2)k2 d k dxkPn(x)ve Pn(x) = 1 2nn! dn dxn(x 2 1)n, U = x2 1 oldu¼gundan Z 1 1 Pik(x)Pjk(x)dx = Z 1 1 ( U )k2 d k dxk 1 2ii! di dxiU i ( U )k2 d k dxk 1 2jj! dj dxjU j dx = ( 1) k 2i+ji!j! Z 1 1 Uk d i+k dxi+kU i dj+k dxj+kU j dx = ( 1) k 2i+ji!j!I yaz¬labilir. I integralinde Uk d i+k dxi+kU i = u ve dj+k dxj+kU jdx = dv

(21)

denilip j + k kez k¬smi integrasyon uygulan¬rsa ve U = x2 1fonksiyonunun x = 1

ve x = 1de s¬f¬r oldu¼gu göz önünde tutulursa Z 1 1 Pik(x)Pjk(x)dx = ( 1) k( 1)j+k 2i+ji!j! Z 1 1 dj+k dxj+k U k di+k dxi+kU i Ujdx (3.13) elde edilir. Leibniz formulünden,

Uj d j+k dxj+k U k di+k dxi+kU i = Uj j+k X l=0 (j + k)! l!(j + k l)! di+k+l dxi+k+lU i dj+k l dxj+k lU k (3.14)

oldu¼gundan bu e¸sitli¼gin s¬f¬rdan farkl¬olmas¬için

j + k l 2k ve i + k + l 2i olmal¬d¬r. Buradan

j k l i k

olup i < j için çözüm yoktur. Di¼ger yandan Uk d j+k dxj+kU j = u ve d i+k dxi+kU i dx = dv

denilip benzer i¸slemler uyguland¬¼g¬nda i > j için de çözüm olmad¬¼g¬ görülür. O halde sadece i = j için çözüm vard¬r.

(3.14) ifadesi (3.13) de yerine yaz¬ld¬¼g¬nda i = j ve l = i k için Z 1 1 [Pik(x)]2dx = ( 1) i+2k(i + k)! 22i(2k)!i!i!(i k)! Z 1 1 Ui d 2k dx2kU k d2i dx2iU i dx = ( 1) i+2k(2i)!(i + k)! 22ii!i!(i k)! Z 1 1 (x2 1)idx elde edilir. x = cos de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬rsa

Z 1 1 [Pik(x)]2dx = ( 1) i+2k(2i)!(i + k)! 22ii!i!(i k)! ( 1) i Z 0 (sin )2i+1d = ( 1) i+2k(2i)!(i + k)! 22ii!i!(i k)! ( 1)i22i+1i!i! (2i + 1)! = 2(i + k)! (2i + 1)(i k)! olarak elde edilir. Buradan

Z 1 1 Pik(x)Pjk(x)dx = Z 1 1 [Pik(x)]2dx i;j = 2(i + k)! (2i + 1)(i k)! i;j

(22)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬sa¼glan¬r (Arfken 1985).

iii) Son olarak (3.10) denkleminin bir çözümü n= n(n + 1)ve = 2 ; 1 < < 1

için

(x) = Vn( )(x) = 1 x 1 + x

2

Pn( ; )(x); fonksiyonlar¬d¬r ve birinci tipteki çözüme benzer olarak

Z 1 1 Vn( )(x)Vm( )(x)dx = Z 1 1 (Vn( )(x))2dx n;m = Z 1 1 (1 x) (1 + x) Pn( ; ) 2dx n;m = 2 (n + + 1) (n + 1 ) (n!)2(2n + 1) n;m

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarlar (Masjed-Jamei 2007a). ¸

Simdi de geli¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlar¬n¬geni¸sletmek için (3.1) denkleminde, D(x) = 1 x2 = D( x); E(x) = 2x = E( x); F (x) = 1 = F ( x); G(x) = 1 x2 = G( x); n = n; H(x) = H( x)(key…), (3.15) seçilsin. (1 x2)'00n(x) 2x'0n(x) + n 1 x2 + 1 ( 1)n 2 H(x) 'n(x) = 0 (3.16) denkleminin bir çözümü 'n(x) = Qn(x; ; H(x))ise Teorem 3.1 gere¼gince, W (x) =

F (x)Z(x) = exp R 2x ( 2x)1 x2 dx = e0 = 1a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre H(x) = H( x) ko¸sulu alt¬nda

Z 1 1 Qn(x; ; H(x))Qm(x; ; H(x))dx = Z 1 1 Q2n(x; ; H(x))dx n;m (3.17)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬sa¼glan¬r. Burada D(x)Z(x) = 1 x2 fonksiyonu x = 1 ve x = 1 noktalar¬nda s¬f¬r oldu¼gundan Teorem 3.1 gere¼gince = 1 dir.

H(x) için çe¸sitli seçimler yap¬labilir. Örnek olarak H(x) = 0 seçilirse geli¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlar¬n¬n daha önce incelenilen üç tipi elde edilir.

(3.16) denkleminin bir çözümü olarak bilinen Qn(x; v; H(x)) dizisi önceden

(23)

Matematiksel …zi¼gin s¬n¬r de¼ger problemlerinin ço¼gu bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlar¬cinsinden fonksiyon aç¬l¬m¬kullan¬larak çözülebilmektedir.

f fonksiyonu belirli ko¸sullar alt¬nda

f (x) =

1

X

n=0

qnQn(x; v; H(x)) (3.18)

¸seklinde düzgün yak¬nsak bir seriye aç¬labilir. (3.18) ifadesi Qm(x; ; H(x)) ile

çarp¬l¬p [ 1; 1] aral¬¼g¬nda integral al¬n¬rsa (3.17) den, Z 1 1 f (x)Qmdx = Z 1 1 1 X n=0 qnQmQndx = 1 X n=0 qn Z 1 1 QmQndx = 1 X n=0 (n6=m) qn Z 1 1 QmQndx + qn Z 1 1 Q2ndx = qn Z 1 1 Q2ndx yaz¬labilir. Buradan da qn = R1 1f (x)Qn(x; ; H(x))dx R1 1(Qn(x; ; H(x)) 2dx

(24)

4.

DÖRT BA ¼GIMSIZ PARAMETREL·I S·IMETR·IK ORTOGONAL POL·INOMLARIN B·IR SINIFI

Bu bölümde, (3.1) diferensiyel denklemini ve Teorem 3.1’i kullanarak simetrik or-togonal fonksiyonlar¬n temel s¬n¬f¬ tan¬mlanacak ve oror-togonal polinomlar¬n bilinen simetrik dizileri daha da genellenecektir (Masjed-Jamei 2007a, 2020).

(3.1) diferensiyel denkleminde, D(x) = x2(ax2+ b) = D( x) E(x) = x(cx2 + d) = E( x) F (x) = x2 = F ( x) G(x) = 0 = G( x) H(x) = d = H( x) (4.1)

ve n = n(c + (n 1)a) olarak seçilirse,

x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'0n(x)

(n(c + (n 1)a)x2+ (1 ( 1)n)d=2)'n(x) = 0 (4.2) denklemi elde edilir. Bu denklemin serisel çözümlerini arayal¬m. ·Ilk olarak n = 2m için

x(ax2+ b)'002m(x) + (cx2+ d)'02m(x) 2m(c + (2m 1)a)x'2m(x) = 0 (4.3) denkleminin serisel çözümünü ara¸st¬ral¬m. Burada

h0(x) = x(ax2+ b); h1(x) = cx2+ dve h2(x) = 2m(c + (2m 1)a)x

¸seklindedir. h0(0) = 0 oldu¼gundan x = 0 bu denklemin bir ayk¬r¬noktas¬d¬r.

lim x !0(x 0) h1(x) h0(x) = d b ve limx !0(x 0) 2h2(x) h0(x) = 0

limitleri s¬n¬rl¬ oldu¼gundan x = 0 bu denklemin bir düzgün ayk¬r¬ noktas¬d¬r. O halde (4.3) denkleminin y =P1k=0ekxk+t formunda bir çözümünü arayal¬m.

y0 = 1 X k=0 (k + t)ekxk+t 1 y00 = 1 X k=0 (k + t)(k + t 1)ekxk+t 2

(25)

türevleri denklemde yerine yaz¬ld¬¼g¬nda x(ax2+ b) 1 X k=0 (k + t)(k + t 1)ekxk+t 2+ (cx2+ d) 1 X k=0 (k + t)ekxk+t 1 2m(c + (2m 1)a)x 1 X k=0 ekxk+t = 1 X k=0 [a(k + t)(k + t 1) + (k + t)c 2m(c + (2m 1)a] ekxk+t+1 + 1 X k=0 [b(k + t)(k + t 1) + d(k + t)] ekxk+t 1 = 0

elde edilir. Gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa

[bt(t 1) + dt] e0xt 1+ [b(t + 1)t + d(t + 1)] e1xt + 1 X k=0 2 4 (a(k + t)(k + t 1) + (k + t)c 2m(c + (2m 1)a))ek +(b(k + t + 2)(k + t + 1) + d(k + t + 2))ek+2 3 5 xk+t+1 = 0

bulunur. Buradan e0 6= 0 için

bt(t 1) + dt = 0 ) t = 0 ve t = 1 d b indisel denklemi elde edilir. t = 0 için

[b(t + 1)t + d(t + 1)] e1 = 0

d:e1 = 0) e1 = 0 (d6= 0)

bulunur. Bu durumda e1 = 0 oldu¼gundan e2k+1= 0 (k = 0; 1; 2; :::) elde edilir.

(a(k + t)(k + t 1) + (k + t)c 2m(c + (2m 1)a)) ek

+(b(k + t + 2)(k + t + 1) + d(k + t + 2))ek+2

= 0

genel indirgeme formülünden t = 0 için ek+2 =

k(a(k 1) + c) 2m(c + (2m 1)a)

(26)

elde edilir. k = 0 için e2 = 2m(c + (2m 1)a) 2(b + d) k = 2 için e4 = 2(a + c) 2m(c + (2m 1)a) 4(3b + d) e2 k = 4 için e6 = 4(3a + c) 2m(c + (2m 1)a) 6(5b + d) e4 : : : k = 2k 2için e2k = (2k 2)(a(2k 3) + c) 2m(c + (2m 1)a) 2k(b(2k 1) + d) e2k 2

olup ek lar taraf tarafa çarp¬ld¬¼g¬nda

e2k =

8 < :

( 1)k 12k[m(c + (2m 1)a] [(a + c) m(c + (2m 1)a)]

::: [(k 1)(a(2k 3) + c) m(c + (2m 1)a)] 9 = ; 2:4:6:::2k(b + d)(3b + d)(5b + d):::(b(2k 1) + d) = 8 < : ( 1)k 1[m(c + (2m 1)a] [ (m 1)(a(2m + 1) + c)] ::: [ (m k + 1)((2m + 2k 3)a + c)] 9 = ; k! k 1 Y j=0 (b(2j + 1) + d) = 8 < : (m k)!m(m 1):::(m k + 1) [c + (2m 1)a)] [c + (2m + 1)a] ::: [c + (2m + 2k 3)a] 9 = ; (m k)!k! k 1Y j=0 (b(2j + 1) + d) = m! (m k)!k! k 1 Y j=0 c + a(2m + 2j 1) b(2j + 1) + d

formunda bulunur. k > m için e2k = 0’d¬r. Buradan k = 0; 1; 2; :::; m için

e2k = m m k k 1 Y j=0 c + a(2m + 2j 1) b(2j + 1) + d

(27)

olup y = m X k=0 e2kx2k+ m X k=0 e2k+1x2k+1 = m X k=0 m m k k 1 Y j=0 c + a(2m + 2j 1) b(2j + 1) + d x 2k

polinom çözümüne var¬l¬r. Burada k ! m k yaz¬l¬rsa y = m X k=0 m k m (k+1)Y j=0 c + a(2m + 2j 1) b(2j + 1) + d x 2m 2k

bulunur. Bu durumda n = 2m için (4.3) denkleminin polinom çözümü

S2m 0 @ c d a b jx 1 A = m X k=0 m k 0 @ m (k+1)Y j=0 c + a(2m + 2j 1) b(2j + 1) + d 1 A x2m 2k

¸seklinde elde edilir.

Benzer ¸sekilde (4.2) denkleminde n = 2m + 1 al¬n¬rsa

x2(ax2+ b)'002m+1(x) + x(cx2+ d)'02m+1(x)

((2m + 1)(c + 2ma)x2+ d)'2m+1(x) = 0 (4.4) elde edilir. Bu denklemin x = 0 düzgün ayk¬r¬noktas¬civar¬nda y = P1k=0ekxk+t

formunda serisel çözümü aran¬rsa

S2m+1 0 @ c d a b jx 1 A = m X k=0 m k 0 @ m (k+1)Y j=0 (2m + 2j + 1)a + c (2j + 3)b + d 1 A x2m+1 2k (4.5) çözümü bulunur. S2m 0 @ c d a b jx 1 A ve S2m+1 0 @ c d a b jx 1 A çözümleri birle¸stirilirse, (4.2) denkleminin polinom çözümü, Sn 0 @ c d a b jx 1 A = [n=2]X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1)Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 A xn 2k (4.6) olarak elde edilir (Masjed-Jamei 2007b). Burada

1

Y

r=0

hr = 1 olarak kabul

(28)

(4.6) polinom çözümünün ba¸skatsay¬s¬ Mn = [n=2] 1 Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d (4.7)

olmak üzere monik polinom çözümleri Sn 0 @ c d a b jx 1 A = 1 Mn Sn 0 @ c d a b jx 1 A (4.8)

formunda yaz¬labilir. Bu monik polinomlar¬n ilk birkaç¬a¸sa¼g¬daki gibidir:

S0 0 @ c d a b jx 1 A = 1 S1 0 @ c d a b jx 1 A = x S2 0 @ c d a b jx 1 A = x2+ b + d a + c S3 0 @ c d a b jx 1 A = x3+ 3b + d 3a + cx S4 0 @ c d a b jx 1 A = x4+ 23b + d 5a + cx 2+ (b + d)(3b + d) (3a + c)(5a + c) S5 0 @ c d a b jx 1 A = x5+ 25b + d 7a + cx 3+ (3b + d)(5b + d) (5a + c)(7a + c)x Sonuç 4.1 (4.6) ve (4.8) e¸sitliklerinden

S2n+1 0 @ c d a b jx 1 A = n 1 Y i=0 (2i + 3)b + d (2i + 1 + 2n)a + c n X k=0 n k n (k+1) Y i=0 (2i + 1 + 2n)a + c (2i + 3)b + d x 2n+1 2k ve S2n 0 @ c + 2a d + 2b a b j x 1 A = n 1Y i=0 (2i + 3)b + d (2i + 1 + 2n)a + c n X k=0 n k n (k+1) Y i=0 (2i + 1 + 2n)a + c (2i + 3)b + d x 2n 2k

(29)

oldu¼gundan S2n+1 0 @ c d a b jx 1 A = xS2n 0 @ c + 2a d + 2b a b j x 1 A (4.9)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Böylelikle (4.9)’dan 'n(x) simetrik dizisi için

'2n(x) = S2n 0 @ c d a b jx 1 A ; '2n+1(x) = xS2n 0 @ c + 2a d + 2b a b j x 1 A (4.10)

e¸sitlikleri gerçeklenir ve (4.10) polinomlar¬(4.2) genelle¸stirilmi¸s Sturm-Liouville denk-leminin bir çözümüdür (Masjed-Jamei 2008).

Teorem 4.1 Sn 0 @ c d a b jx 1 A polinomlar¬ Sn 0 @ c d a b jx 1 A = xn 2F1( [n=2]; (b d)=2b [(n + 1)=2]; (c + (2n 3)a)=2a; b ax2

hipergeometrik gösterimine sahiptir (Masjed-Jamei 2007b). ·

Ispat. (4.6) polinomlar¬n¬n aç¬k bir formunun genel hipergeometrik gösterimini ifade edebilmek için bu polinomlar¬n katsay¬lar¬Pochhammer sembolü kullan¬larak yaz¬labilir (Masjed-Jamei 2007b) [n=2] (k+1)Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c = (a=2)[n=2] k(c=2a + [n=2] + ( 1)n+1=2)[n=2] k için Sn = [n=2] X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1) Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 A xn 2k [n=2] 1Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c

(30)

= xn [n=2] X k=0 [n=2] k 0 B B B B B @ (a=2)[n=2] k(c=2a + [n=2] + ( 1)n+1=2) [n=2] k [n=2] (k+1)Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 C C C C C A [n=2] 1Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + cx 2k (4.11) oldu¼gu söylenebilir. n k = n! k!(n k)! = n(n 1):::(n k + 1) k! = n( n + 1):::( n + k 1) k! ( 1) k = ( n)k( 1) k k! için (4.11) ifadesi Sn = xn [n=2] X k=0 ( [n=2])k k! ( 1) k 0 B B B B B @ (a=2)[n=2] k(c=2a + [n=2] + ( 1)n+1=2) [n=2] k [n=2] (k+1)Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 C C C C C A [n=2] 1Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + cx 2k = xn [n=2]X k=0 ( [n=2])k k! ( 1) k(a=2)[n=2] k(c=2a + [n=2] + ( 1)n+1=2) [n=2] k x 2k 0 @ [n=2] 1 Y i=[n=2] k (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 A 0 @ [n=2] 1 Y i=0 1 (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + c 1 A = xn [n=2]X k=0 ( [n=2])k k! ( 1) k (a=2)[n=2] k (c=2a + [n=2] + ( 1) n+1=2) [n=2] ( c=2a 2[n=2] ( 1)n+1=2 + 1) k( 1)k x 2k 0 @ [n=2] 1Y i=[n=2] k (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d 1 A 1 (a=2)[n=2](c=2a + [n=2] + ( 1)n+1=2) [n=2] (4.12)

(31)

halini al¬r. [n=2] 1 Y i=[n=2] k (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d = ((2[n=2] 2k + ( 1)n+1+ 2)b + d) ((2[n=2] 2k + 2 + ( 1)n+1+ 2)b + d) : : : ((2[n=2] 2k + 2k + ( 1)n+1+ 2k)b + d) = 2kbk( 1)k( [n=2] + k + ( 1)n=2 1 d=2b) ( [n=2] + k + ( 1)n=2 2 d=2b) : : : ( [n=2] + k + ( 1)n=2 k d=2b) = 2kbk( 1)k((b d)=2b [(n + 1)=2])k ve ( c=2a 2[n=2] + ( 1)n=2 + 1)k= ( (c + (2n 3)a)=2a)k

olup bunlar (4.12) de yerine yaz¬l¬rsa, Sn = xn [n=2]X k=0 b ax2 k 1 k! ( [n=2])k ( (c + (2n 3)a)=2a)k ((b d)=2b [(n + 1)=2])k

elde edilir. Bu ifade

2F1( ; ; ; x) = 1 X k=0 ( )k( )k ( )k xk k! hipergeometrik fonksiyonlar¬n¬n terimleri cinsinden

Sn 0 @ c d a b j x 1 A = xn 2F1( [n=2]; (b d)=2b [(n + 1)=2]; (c + (2n 3)a)=2a; b ax2 (4.13)

(32)

Teorem 4.2 Sn 0 @ c d a b j x 1 A monik polinomlar¬ Sn+1(x) = xSn(x) + Kn 0 @ c d a b 1 A Sn 1(x); n = 1; 2; ::: (4.14)

üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬gerçekler. Burada Kn

0 @ c d a b 1 A katsay¬s¬ Kn 0 @ c d a b 1

A = abn2 + ((c 2a)b ( 1)nad)n + (c 2a)d(1 ( 1)n)=2 (2an + c a)(2an + c 3a)

¸seklinde tan¬ml¬d¬r (Masjed-Jamei 2007a, 2020). · Ispat. Sn 0 @ c d a b j x 1 A polinomlar¬için Sn+1 = xSnAn+ BnSn DnSn 1 (4.15)

formunda üç terimli bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬arayal¬m. (4.8) den Sn+1 0 @ c d a b j x 1 A = [n+12 ] 1 Y i=0 (2i + ( 1)n+2+ 2)b + d (2i + ( 1)n+2+ 2[(n + 1)=2])a + cSn+1 0 @ c d a b j x 1 A ; Sn 0 @ c d a b j x 1 A = [n=2] 1Y i=0 (2i + ( 1)n+1+ 2)b + d (2i + ( 1)n+1+ 2[n=2])a + cSn 0 @ c d a b j x 1 A ; Sn 1 0 @ c d a b j x 1 A = [n21] 1 Y i=0 (2i + ( 1)n+ 2)b + d (2i + ( 1)n+ 2[(n 1)=2])a + cSn 1 0 @ c d a b j x 1 A

formunda olup bunlar (4.15) da yerine yaz¬l¬p polinom e¸sitli¼ginden xn+1 ve xn nin

katsay¬lar¬k¬yasland¬¼g¬nda An= 1 ve Bn = 0 bulunur. n = 2m için (4.15) e¸sitli¼gi

(33)

formuna indirgenir. Buradan x2m 1 in katsay¬lar¬ e¸sitlendi¼ginde D

2m katsay¬s¬

bulunabilir. S2m+1(x)polinomunda x2m 1 in katsay¬s¬, m 1Y i=0 (2i + 1)b + d (2i + 1 + 2m)a + c m 1 m 2Y i=0 (2i + 1 + 2m)a + c (2i + 1)b + d ! xS2m(x)polinomunda x2m 1 in katsay¬s¬, m 1Y i=0 (2i + 1)b + d (2i 1 + 2m)a + c m 1 m 2Y i=0 (2i 1 + 2m)a + c (2i + 1)b + d !

ve S2m 1(x)polinomunda x2m 1 in katsay¬s¬10dir. (4.16) da polinom e¸sitli¼ginden

(2m + 1)b + d (4m 1)a + cm = (2m 1)b + d (4m 3)a + cm D2m =) D2m= (2m 1)b + d (4m 3)a + c (2m + 1)b + d (4m 1)a + c m = (2mb b + d)(4ma a + c) (2mb + b + d)(4ma 3a + c) (4ma 3a + c)(4ma a + c) m

= 4mab + 4ab 2bc + 2ad

(4ma 3a + c)(4ma a + c)m (4.17)

elde edilir. n = 2m 1için (4.15) e¸sitli¼gi

S2m= xS2m 1 D2m 1S2m 2 (4.18)

olur. x2m 2 nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle D2m 1 bulunabilir. S2m(x)

polino-munda x2m 2 nin katsay¬s¬, m 1Y i=0 (2i + 1)b + d (2i 1 + 2m)a + c m 1 m 2Y i=0 (2i 1 + 2m)a + c (2i + 1)b + d !

xS2m 1(x) polinomunda x2m 2 nin katsay¬s¬, m 2Y i=0 (2i + 3)b + d (2i 1 + 2m)a + c m 1 1 m 3Y i=0 (2i 1 + 2m)a + c (2i + 3)b + d !

ve S2m 2(x)polinomunda x2m 2 nin katsay¬s¬1’dir. (4.18)’den

(2m 1)b + d (4ma 3a + c)m = (2m 1)b + d (4ma 5a + c)(m 1) D2m 1 =) D2m 1 = (2m 1)b + d (4ma 5a + c)(m 1) (2m 1)b + d (4ma 3a + c)m = 4m

2ab + 8mab 2mbc 2mad bc + 3ad 3ab cd

(34)

elde edilir. (4.17) ve (4.19) e¸sitliklerinden Dn=

abn2+ ((c 2a)b ( 1)nad)n + (c 2a)d(1 ( 1)n)=2

(2an + c a)(2an + c 3a) (4.20)

olarak bulunur. Dn = Kn

0

@ c d

a b 1

A olmak üzere (4.14) ba¼g¬nt¬s¬gerçeklenir. ¸

Simdi de (4.14) rekürans ba¼g¬nt¬s¬bilindi¼ginden Favard Teoremi’ni uygulayarak poli-nomlar¬n normunu bulal¬m.

Teorem 4.3 Sn 0 @ c d a b jx 1 A monik polinomlar¬ Z W 0 @ c d a b jx 1 A Sn 0 @ c d a b jx 1 A Sm 0 @ c d a b jx 1 A dx = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ c d a b 1 AZ W 0 @ c d a b jx 1 A dx 1 A n;m

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarlar. Burada

W 0 @ c d a b jx 1 A = x2 exp Z (c 4a)x2+ (d 2b) x(ax2+ b) dx = exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2+ b) dx (4.21)

¸seklindedir (Masjed-Jamei 2007a, 2020). ·

Ispat. Favard Teoremi’ne göre (4.14) rekürans ba¼g¬nt¬s¬nda Bn = 0, Dn= Kn

0 @ c d a b 1 A olup Z W 0 @ c d a b jx 1 A Sn 0 @ c d a b jx 1 A Sm 0 @ c d a b jx 1 A dx = 0 @ n 1Y i=0 Ki+1 0 @ c d a b 1 AZ W 0 @ c d a b jx 1 A dx 1 A n;m = 0 @ n Y i=1 Ki 0 @ c d a b 1 AZ W 0 @ c d a b jx 1 A dx 1 A n;m

(35)

= 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ c d a b 1 AZ W 0 @ c d a b jx 1 A dx 1 A n;m (4.22)

sa¼glan¬r. Burada a¼g¬rl¬k fonksiyonu,

W 0 @ c d a b jx 1 A = x2exp Z (c 4a)x2+ (d 2b) x(ax2+ b) dx = exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2+ b) dx (4.23)

dir. (3.2) ve (4.1) e¸sitliklerine göre D(x)Z(x) = (ax2 + b) exp R (c 2a)x2+d

x(ax2+b) dx fonksiyonu x = ’da (ve x = ’da) s¬f¬r olmal¬d¬r. Burada standart de¼gerler = 1 ya da =1 ¸seklindedir.

¸

Simdi (4.2) denkleminin daha genel bir durumunu ele alal¬m ve ortogonal çözümlerini ara¸st¬ral¬m (Masjed-Jamei 2007a).

x2(px + q)y00+ x(rx + s)y0+ ( nx + (1 ( 1)n)=2)y = 0 (4.24)

diferensiyel denklemi verilsin. p, q, r, s , ve reel say¬lar ve f ng sabitler dizisi

olsun. (4.24) denklemi, (3.1) denkleminin

D(x) = x2(px + q) ; E(x) = x(rx + s) F (x) = x ; G(x) = 0 ; H(x) =

özel halidir. Amac¬m¬z, (4.24) denkleminin Teorem 3.1’in ko¸sullar¬n¬ sa¼glayan bir çözümünü bulmakt¬r. Bu amaçla (4.2) denkleminde x = t =2 de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬rsa, y0 = dy dx = dy dt dt dx = 2 t1 2dy dt y00 = d dx dy dx = d dx 2 t1 2dy dt = d dt 2 t1 2dy dt dt dx = 2(1 2)t 2dy dt + 2 t1 2d 2y dt2 2 t1 2 = 42t +2d 2y dt2 + 4 2 2 t +1dy dt

(36)

elde edilir. Bu türevler (4.2) denkleminde yerine yaz¬l¬r ve denklem 42 ile çarp¬l¬rsa, t2(at + b)d 2y dt2 + t h t a 1 2 + c2 + 1 2 b + 2d i dy dt 2 4 n(c + (n 1)a)t + 2 4d 1 ( 1)n 2 y = 0 (4.25) bulunur ve bu denklemin çözümü y = Sn 0 @ c d a b t2 1 A ¸seklindedir. (4.24) ve (4.25) denklemleri kar¸s¬la¸st¬r¬l¬rsa,

a = p; b = q ,

2c + 1 2 a = r , 2d + 1 2 b = s (4.26) oldu¼gu görülür. (4.24) denkleminde gerekli de¼gi¸simler yap¬l¬rsa,

n=

4n(2r + ( n 2)p) ve = 4(2s + ( 2)q) (4.27) olarak elde edilir. Böylece (4.24) denkleminin çözümü

y = Sn 0 @ c d a b t2 1 A = Sn 0 @ 2r + (1 2)p 2s + (1 2)q p q x2 1 A = [n=2] X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1) Y i=0 (2i + ( 1)n+1+2[n=2] + 1 2= )p + 2r= (2i + ( 1)n+1+3 2= )q + 2s= 1 A x(n 2k)( =2) (4.28) halini al¬r. (4.24) denklemi ve bu denklemin çözümü olan (4.28)’in Teorem 3.1’in ko¸sullar¬n¬sa¼glamas¬için a¸sa¼g¬daki ko¸sullar¬sa¼glamas¬gerekir:

i) (4.28) çözümü simetrik olmal¬d¬r.

ii) (4.24) denklemindeki katsay¬lar Teorem 3.1’deki çift ve tek fonksiyon olma ko¸ sullar¬-n¬sa¼glamal¬d¬r. Dolay¬s¬yla,

8 < : ( x)2 = x2 ( x) = x =) 8 < : ( 1)2 = 1 ( 1) = 1 ; 2 R

olmal¬d¬r. Bu ko¸sullar alt¬nda için birçok seçenek seçilebilir. Örne¼gin = 2=3 seçilirse (4.25), (4.26) ve (4.27) e¸sitliklerinden yeni diferensiyel denklem,

x2(px23+q)y00+x(rx23+s)y0 nn 3 r + n 3 1 p x 2=3 + 16 s 23q (1 ( 1)n) y = 0

(37)

olarak elde edilir. Buna kar¸s¬l¬k gelen Teorem 3.1’in ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan simetrik çözüm ise y = Sn 0 @ 3r 2p 3s 2q p q 3 p x 1 A olarak bulunur. Bu fonksiyonlara kar¸s¬l¬k gelen a¼g¬rl¬k fonksiyonu

W1(x) = x2=3exp

Z (r 8p=3)x2=3+ (s 2q)

px5=3+ qx dx

dir. Di¼ger taraftan ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬da Z 3 3 W1(t)Sn 0 @ 3r 2p 3s 2q p q 3 p t 1 A Sm 0 @ 3r 2p 3s 2q p q 3 p t 1 A dt = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 3r 2p 3s 2q p q 1 AZ 3 3 W1(t)dt 1 A n;m

formundad¬r. ¸Simdi (4.24) denkleminin özel durumlar¬n¬inceleyelim. 4.1 Sn(x; a; b; c; d) Polinomlar¬n¬n Dört Ana S¬n¬f¬

¸

Simdi Sn(x; a; b; c; d) polinomlar¬n¬n baz¬özel durumlar¬n¬inceleyelim.

4.1.1 Genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar

Bu polinomlar ilk defa Chihara (1978) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Chihara, Jacobi ortogonal polinomlar¬ ile genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar aras¬nda direkt ba¼glant¬ kurarak genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n temel özelliklerini elde etmi¸stir. Ultraküresel polinomlar yine Al-Salam, Allaway, Askey ve Dette taraf¬n-dan da çal¬¸s¬lm¬¸st¬r (Al-Salam, Allaway ve Askey 1984, Dette 1996)

Özel olarak (4.28) çözümünde

(p; q; r; s; ) = ( 1; 1; 2w 2v 2; 2w; 2) (4.29) olarak seçildi¼ginde, genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n monik formu

Sn 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 jx 1 A = [n=2] 1Y i=0 2i + 2w + 2 ( 1)n 2i (2v + 2w + 2 ( 1)n+ 2[n=2]) [n=2] X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1) Y i=0 ( 2i (2v + 2w + 2 ( 1)n+2[n=2])) 2i + 2w + 2 ( 1)n 1 A xn 2k

(38)

¸seklindedir. Teorem 4.3 gere¼gince bu polinomlar için a¼g¬rl¬k fonksiyonu W 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 jx 1 A = x2w(1 x2)v

dir ve D(x)Z(x) = x2w(1 x2)v+1 fonksiyonu x = 1ve x = 1’de s¬f¬r oldu¼gundan

ortogonallik aral¬¼g¬[ 1; 1] aral¬¼g¬d¬r. Dolay¬s¬yla R1 1x 2w(1 x2 )v Sn 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 jx 1 A Sm 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 jx 1 A dx = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 jx 1 AR1 1x 2w(1 x2)vdx 1 A n;m

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬sa¼glan¬r. Burada, Z 1 1 x2w(1 x2)vdx = 2 Z 1 0 x2w(1 x2)vdx = B(w + 1 2; v + 1) = (w +12) (v + 1) (w + v + 32) (4.30) olup w + 1=2 > 0; ( 1)2w = 1 ve v + 1 > 0 d¬r. (4.24) denkleminde (4.27) ve (4.29)

de¼gerleri yerine yaz¬ld¬¼g¬nda genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n sa¼glad¬¼g¬ x2( x2+ 1)'00

n(x) 2x((w + v + 1)x2 w)'0n(x)

+fn(2w + 2v + n + 1)x2 +(( 1)n 1)w

g 'n(x) = 0

(4.31)

diferensiyel denklemi elde edilir (Masjed-Jamei 2007a). (4.31) denkleminde Gn(x; i; j) = xi(1 x2)j=2Sn 0 @ 2i 2j 2 2i 1 1 jx 1 A ; i > 1 2; j > 1 (4.32) de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬rsa,

(1 x2)G00n(x) 2xG0n(x) + ((n + i + j)(n + i + j + 1) j2

1 x2 +

i(( 1)n i)

x2 Gn(x) = 0 (4.33)

denklemi elde edilir. Bu denklem (3.16) denklemi ile k¬yasland¬¼g¬nda, Qn x; j2;

2

(39)

çözümü n= (n + j + 1)(n + j + 2), v = j2 ve H(x) = 2=x2 için (4.2) denkleminin bir çözümüdür ve bu polinomlar Z 1 1 Qn(x; v; H(x))Qm(x; v; H(x))dx = Z 1 1 Gn(x; 1; j)Gm(x; 1; j)dx = Z 1 1 x2(1 x2)jSn 0 @ 2i 2j 2 2i 1 1 jx 1 A Sm 0 @ 2i 2j 2 2i 1 1 jx 1 A dx = n Y l=1 (l + 1 ( 1)l)(l + 1 ( 1)n+2j) (2l + 2j + 3)(2l + 2j + 1) ! p (j + 1) 2 (j + 5=2) n;m ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar (Masjed-Jamei 2007a).

4.1.2 Genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬

Bu polinomlar¬n çe¸sitli özellikleri daha önce Szegö (1975), Chihara (1978) ve Dette (1978) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca Masjed-Jamei (2007a) taraf¬ndan verilen dört parametreli simetrik ortogonal polinomlar¬n özel durumu olarak kar¸s¬m¬za ç¬kmak-tad¬r. Gerçekten genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel den-klem (4.24) denden-kleminin = 2, p = 0, q = 1, r = 2 ve s = 2w için bir özel hali olup

x2'00n(x) 2x(x2 w)'0n(x) + 2nx2 (( 1)n 1)w 'n(x) = 0

formundad¬r. Bu denklemin çözümü olan genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬n¬n monik formu (4.6) ve (4.7) e¸sitliklerinden

Sn 0 @ 2 2w 0 1 jx 1 A = [n=2] 1 Y i=0 2i + ( 1)n+1+ 2 + 2w 2 [n=2]X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1)Y i=0 2 2i + ( 1)n+1+ 2 + 2w 1 A xn 2k

¸seklindedir. Buna kar¸s¬l¬k gelen a¼g¬rl¬k fonksiyonu (4.23)’den

W 0 @ 2 2w 0 1 jx 1 A = x2we x2

(40)

dir ve Teorem 4.3’den D(x)Z(x) = x2wexp( x2) olup x =

1 ve x = 1 da s¬f¬r olaca¼g¬ndan bu polinomlar ( 1; 1) aral¬¼g¬nda ortogonaldir. Yani

Z 1 1 x2we x2Sn 0 @ 2 2w 0 1 jx 1 A Sm 0 @ 2 2w 0 1 jx 1 A dx = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 2 2w 0 1 1 A 1 A (w + 1 2) n;m

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar. Burada w+1=2 > 0 ve ( 1)2w = 1dir (Masjed-Jamei

2007a).

4.1.3 ( 1; 1) aral¬¼g¬nda simetrik ortogonal polinomlar¬n sonlu bir s¬n¬f¬ Bu polinomlar Masjed-Jamei (2007a) taraf¬ndan verilen dört parametreli simetrik ortogonal polinomlar¬n özel durumu olarak kar¸s¬m¬za ç¬kmaktad¬r. Gerçekten

(p; q; r; s; ) = (1; 1; 2w 2v + 2; 2w; 2) özel seçimi alt¬nda (4.24) denklemi

x2(x2+ 1)'00n(x) 2x((w + v 1)x2+ w)'0n(x)

+ n(2w + 2v (n + 1))x2+ (1 ( 1)n)w 'n(x) = 0 (4.35) formuna indirgenir. Bu denklemin bir çözümü

Sn 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 jx 1 A = [n=2] 1Y i=0 2i + ( 1)n+1+ 2 2w 2i + 2[n=2] + ( 1)n+1+ 2 2w 2v [n=2]X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1)Y i=0 2i + 2[n=2] + ( 1)n+1+2 2w 2v 2i + ( 1)n+1+2 2w 1 A xn 2k

dir. (4.35) denkleminin self-adjoint formu d dx x 2w(1 + x2 ) v+1d'n(x) dx = (n(2w + 2v (n + 1)x2)x 2w 2(x2+1) v'n(x) +(1 ( 1)n)x 2w 2(x2+1) v'n(x) (4.36)

(41)

¸seklindedir. Sn(x); (4.35) denkleminin bir çözümü ise d dx x 2w(1 + x2 ) v+1dSn(x) dx = (n(2w + 2v (n + 1)x2)x 2w 2(x2+1) vSn(x) +(1 ( 1)n) x 2w 2(x2+1) vSn(x) (4.37)

sa¼glan¬r. Sm(x);(4.35) denkleminin bir çözümü ise

d dx x 2w(1 + x2 ) v+1dSm(x) dx = (m(2w + 2v (m + 1)x2)x 2w 2(x2+1) vSm(x) +(1 ( 1)m) x 2w 2(x2+1) v Sm(x) (4.38)

sa¼glan¬r. (4.37) denklemi Sm(x) ile (4.38) denklemi Sn(x) ile çarp¬l¬p taraf tarafa

ç¬kar¬l¬p ( 1; 1) aral¬¼g¬nda integral al¬n¬rsa Teorem 3.1 gere¼gince x 2w(1 + x2) v+1[S0n(x)Sm(x) S

0

m(x)Sn(x)]11 = 0 (4.39)

olmal¬d¬r. Burada a¼g¬rl¬k fonksiyonu, W 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 jx 1 A = x 2w(x2+ 1) v

¸seklindedir. Sn(x); n-yinci dereceden bir polinom oldu¼gundan,

max deg(S0n(x)Sm(x) S 0

m(x)Sn(x)) = n + m 1 (4.40)

d¬r. Burada (4.39) e¸sitli¼ginin sa¼glanabilmesi için

2w + 2( v + 1) + n + m 1 0 olmal¬d¬r.

Sonuç 4.2 fSn(p; q; r; s; x)gn=Nn=0 ; p = q = 1, r = 2w 2v + 2; s = 2w; sonlu

polinom ailesi ( 1; 1) aral¬¼g¬nda x 2w(1 + x2) v g¬rl¬k fonksiyonuna göre N

w + v 1=2, w < 1=2 , v > 0 ko¸sullar¬alt¬nda ortogonaldir. Yani Favard Teoremi’nden,

Z 1 1 x 2w (1 + x2)vSn 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 jx 1 A Sm 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 jx 1 A dx

(42)

= 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 1 A 1 A ( w + 1=2) (w + v 1=2) (v) n;m (N = maxfm; ng w + v 1=2; w < 1=2; v > 0) ortogonallik özelli¼gi sa¼glan¬r (Masjed-Jamei 2002, 2007a).

4.1.4 ( 1; 1) aral¬¼g¬nda simetrik ortogonal polinomlar¬n ba¸ska sonlu bir s¬n¬f¬

Önceki duruma benzer olarak, belirtilen ana özelliklere sahip olan simetrik ortogonal polinomlar¬n bir ba¸ska sonlu bir dizisi

(p; q; r; s; ) = (1; 0; 2w + 2; 2; 2) ile elde edilebilir. Buna kar¸s¬l¬k gelen diferensiyel denklem

x4'00n(x) + 2x((1 w)x2+ 1)'0n(x) (n(n + 1 2w)x2+ 1 ( 1)n)'n(x) = 0 (4.41) d¬r. Bu denklemin monik polinom çözümü ise

Sn 0 @ 2w + 2 2 1 0 jx 1 A = [n=2] 1Y i=0 2 2i + ( 1)n+1+2[n=2] 2w + 2 [n=2]X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1)Y i=0 2i + ( 1)n+1+2[n=2] 2w + 2 2 1 A xn 2k

¸seklindedir. Buna kar¸s¬l¬k gelen a¼g¬rl¬k fonksiyonu W 0 @ 2w + 2 2 1 0 jx 1 A = x 2wexp 1 x2

d¬r. Ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬ise N = maxfn; mg w 1=2 ve ( 1)2w = 1 için

Z 1 1 x 2wexp 1 x2 Sn 0 @ 2w + 2 2 1 0 jx 1 A Sm 0 @ 2w + 2 2 1 0 jx 1 A dx = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 2w + 2 2 1 0 1 A 1 A (w 1=2) n;m

olarak elde edilir (Masjed-Jamei 2007a). Dikkat edilirse, Bölüm 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 ve 4.1.4’de verilen polinom s¬n¬‡ar¬n¬n herbiri simetrik genelle¸stirilmi¸s bir Sturm-Liouville problemlerinin özel durumudur.

(43)

5.

BE¸S PARAMETREL·I S·IMETR·IK ORTOGONAL FONKS· IYON-LARIN B·IR SINIFI

Önceki bölümde Sturm-Liouville teoremini kullanarak

x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'n0 (x) (n(c + (n 1)a)x2+ (1 ( 1)n)d=2)'n(x) = 0

diferensiyel denklemini sa¼glayan simetrik ortogonal polinomlar¬n temel bir s¬n¬f¬ele al¬nd¬ve çe¸sitli özellikleri incelendi. Ayr¬ca bu simetrik ortogonal polinomlar¬n özel durumu olarak dört temel s¬n¬f ele al¬nd¬ve herbir polinom ailesinin çe¸sitli özellikleri verildi.

Bu bölümde ise yine Sturm-Liouville teoremi kullan¬larak

x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'n0(x) ( nx2+ (1 ( 1)n) =2)'n(x) = 0

diferensiyel denkleminin çözümü olan simetrik ortogonal fonksiyonlar¬n temel bir s¬n¬f¬tan¬mlanacak ve standart özellikleri elde edilecektir (Masjed-Jamei 2008, 2020). Tan¬mlanacak olan simetrik ortogonal fonksiyonlar¬n temel s¬n¬f¬, = d oldu¼gu du-rumda (4.2) denkleminin simetrik ortogonal polinom çözümü olan Snfonksiyonunun

bir genellemesidir. (3.1) diferensiyel denkleminde D(x) = x2(ax2+ b), E(x) = x(cx2+ d), F (x) = x2 > 0 , G(x) = 0 , H(x) = 2 R (5.1) olarak seçilirse x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'0n(x) ( nx2+ (1 ( 1)n) =2)'n(x) = 0 (5.2)

denklemi elde edilir. Burada a; b; c; d ve ba¼g¬ms¬z parametreler ve n = n

özde¼gerdir. (5.2) diferensiyel denklemi n = 2m; n 2 Z+ için dan ba¼g¬ms¬z

(44)

olarak, '2n(x) = S2n 0 @ c d a b j x 1 A '2n+1(x) = x#S2n 0 @ c d a b j x 1 A ; # 2 R f0g (5.3)

formunda oldu¼gunu kabul edelim ve a ; b ; c ; d ve # parametrelerini bilinmeyen a; b; c; dve parametreleri cinsinden elde edelim. Ayr¬ca nözde¼gerlerini

belirleye-lim. (5.3) ile verilen fonksiyonlar simetrik olaca¼g¬ndan '2n+1( x) = '2n+1(x)’in sa¼glanabilmesi için ( 1)#= 1 ko¸suluna ihtiyaç duyulmaktad¬r.

n = 2m için (5.2) denklemi (4.3) ile verilen

x(ax2+ b)'002m(x) + (cx2+ d)'02m(x) 2m(c + (2m 1)a)x'2m(x) = 0 (5.4) denklemine dönü¸sür. Bu denklemin çözümü (4.6)’dan

'2m(x) = S2m 0 @ c d a b j x 1 A = m X k=0 m k 0 @ m (k+1)Y j=0 (2j 1 + 2m)a + c (2j + 1)b + d 1 A x2m 2k

¸seklindedir. (5.4) denkleminde S2m(x) = x #'2m+1(x)de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬rsa

S02m(x) = #x # 1'2m+1(x) + x #'02m+1(x)

S002m(x) = #(# + 1)x # 2'2m+1(x) #x # 1'02m+1(x) #x # 1'02m+1(x) + x #'002m+1(x)

elde edilir. Bulunan türevler (5.4)’de yerine yaz¬l¬rsa x(a x2+ b ) d 2 dx2(x #' 2m+1(x)) + (c x 2+ d ) d dx(x #' 2m+1(x)) 2m(c + (2m 1)a )x1 #'2m+1(x) = x(a x2+ b )x # 002m+1(x) 2x(a x2+ b )#x # 1'02m+1(x) +(c x2+ d )x #'02m+1(x) + x(a x2+ b )#(# + 1)x # 2'2m+1(x) #(c x2+ d )x # 1'2m+1(x) 2m(c + (2m 1)a )x1 #'2m+1(x) = 0

(45)

bulunur. Gerekli düzenlemeler yap¬l¬p denklem x ile çarp¬ld¬¼g¬nda

x2(a x2+ b )'002m+1+ x((c 2#a )x2+ d 2#b )'02m+1 + 2m(c + (2m 1)a )x2 #(c (# + 1)a )x2 + #((# + 1)b d g '2m+1(x)

= 0 (5.5)

denklemi elde edilir. n = 2m + 1 için (5.2) denklemi

x2(ax2+ b)'002m+1(x) + x(cx2+ d)'02m+1(x) ( 2m+1x2+ )'2m+1(x) = 0 (5.6)

¸seklindedir. (5.5) ve (5.6) denklemleri kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda a = a; b = b

c 2#a = c) c = c + 2#a d 2#b = d) d = d + 2#b olarak bulunur. Di¼ger taraftan 2m+1 ve de¼gerlerinin de

2m+1 = 2m(c + (2m 1)a ) #(c (# + 1)a )

= 2m(c + 2#a + (2m 1)a) #(c + 2#a (# + 1)a)

= 2mc 4m#a 2m(2m 1)a #c 2#2a + #(# + 1)a

= 2mc 4m#a 4m2a + 2ma #c #2a + #a

= 2mc 2m#a 4m2a + 2ma #c 2m#a #2a + #a

= 2mc 2m(# + 2m 1)a #c #(# + 2m 1)a = c(2m + #) (# + 2m 1)a(2m + #) = (2m + #)(c + a(# + 2m 1)) (5.7) ve = #((# + 1)b d ) = #((# + 1)b d 2#b) = #(b d #b) = #(d + b(# 1)) (5.8)

(46)

oldu¼gu görülür. Bu durumda (5.2) denklemi, x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'0n(x) n + (# 1)(1 ( 1) n) 2 c + n 1 + (# 1) (1 ( 1)n) 2 a x 2 +#(d + (# 1)b)(1 ( 1) n) 2 'n(x) = 0 (5.9)

halini al¬r. Bütün bu bulunanlar a¸sa¼g¬daki sonuca götürür. Sonuç 5.1 (5.3)’den 'n(x) = Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x((1 ( 1)n)=2)# S2[n=2] 0 @ c+(1 ( 1) n )#a d+(1 ( 1)n)#b a b j x 1 A (5.10) simetrik dizisi Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A = [n=2] 1Y j=0 (2j + 1 + (1 ( 1)n)#)b + d (2j 1 + n + (1 ( 1)n)(# 1=2))a + cx ((1 ( 1)n)=2)(# 1) [n=2] X k=0 [n=2] k 0 @ [n=2] (k+1) Y j=0 (2j 1+n+(1 ( 1)n)(# 1=2))a+c (2j+1+(1 ( 1)n)#)b+d 1 A xn 2k (5.11) aç¬l¬m¬na sahiptir ve x2(ax2+ b)'00n(x) + x(cx2+ d)'0n(x) ( nx2+ (1 ( 1)n) =2)'n(x) = 0 (5.12)

denklemini sa¼glar (Masjed-Jamei 2008, 2020). Burada

2m+1 = (# + 2m)(c + (# + 2m 1)a) 2m = 2m(c + (2m 1)a)

oldu¼gundan n ve de¼gerleri

n = n + (# 1)

1 ( 1)n

2 c + n 1 + (# 1)

1 ( 1)n

(47)

ve

= #(d + (# 1)b)

¸seklindedir. (5.10) aç¬l¬m¬, (4.8) ve (4.9) e¸sitliklerinden yararlanarak Sn

polinom-lar¬n¬n terimlerinde a¸sa¼g¬daki gibi yaz¬labilir.

Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x((1 ( 1)n)=2)(# 1) Sn 0 @ c+(1 ( 1) n )(# 1)a d+(1 ( 1)n)(# 1)b a b j x 1 A (5.13)

Bu e¸sitlik yard¬m¬yla Sn(#)(x; a; b; c; d) fonksiyonunun sa¼glad¬¼g¬ rekürans ba¼g¬nt¬s¬

a¸sa¼g¬daki gibi kolayl¬kla gösterilebilir.

Teorem 5.1 Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A simetrik fonksiyonlar¬ Sn+1(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x1+( 1)n(# 1) Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A +Kn(#) 0 @ c d a b 1 A S(#) n 1 0 @ c d a b j x 1 A

rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬gerçekler (Masjed-Jamei 2008, 2020). ·

Ispat. ·Istenilen rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬elde etmek için öncelikle

Sn 0 @ c + (1 ( 1) n)(# 1)a d + (1 ( 1)n)(# 1)b a b j x 1 A = Qn(x) (5.14)

diyelim. Qn(x) monik simetrik bir polinomdur ve sa¼glad¬¼g¬ üç terimli rekürans

ba¼g¬nt¬s¬ Qn+1(x) = xQn(x) + Kn(#) 0 @ c d a b 1 A Qn 1(x); Q0(x) = 1; Q1(x) = x (5.15)

(48)

¸seklindedir. Burada Kn(#) 0 @ c d a b 1 A katsay¬s¬, (4.20) e¸sitli¼ginden Kn(#) 0 @ c d a b 1 A (5.16) = (1 + ( 1) n (# 1))abn2+(# 3 + 3( 1)n(1 #))ab n ((( 1)n(1 #) + 2n + # 2)a + c)((( 1)n(1 #) + 2n + # 4)a + c) + ((1 + ( 1) n (# 1))bc ( 1)n#ad)n ((( 1)n(1 #) + 2n + # 2)a + c)((( 1)n(1 #) + 2n + # 4)a + c) + ((1 #)(a c)b + ((# 3)a + c)d) (1 ( 1) n )=2 ((( 1)n(1 #) + 2n + # 2)a + c)((( 1)n(1 #) + 2n + # 4)a + c)

olarak elde edilir. (5.13) ve (5.14) e¸sitliklerinden

Qn(x) = x ((1 ( 1) n)=2)(# 1) Sn(#)(x; a; b; c; d) olup Qn+1(x) = x ((1 ( 1) n+1)=2)(# 1) Sn+1(#) (x; a; b; c; d) Qn 1(x) = x ((1 ( 1) n 1)=2)(# 1) Sn 1(#) (x; a; b; c; d)

¸seklindedir. Bu e¸sitlikler (5.15) rekürans ba¼g¬nt¬s¬nda yerine yaz¬l¬rsa

Sn+1(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x1+( 1)n(# 1) Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A +Kn(#) 0 @ c d a b 1 A S(#) n 1 0 @ c d a b j x 1 A elde edilir.

Örnek olarak n = 0; 1; 2; 3; 4; 5 için Sn(#)

0

@ c d

a b j x 1

(49)

yaz¬l¬rsa S0(#) 0 @ c d a b j x 1 A = 1; S(#) 1 0 @ c d a b j x 1 A = x# S2(#) 0 @ c d a b j x 1 A = b + d a + c 1 0 a + c b + dx 2 + 1 1 1x 0 = x2+ b + d a + c S3(#) 0 @ c d a b j x 1 A = (2# + 1)b + d (2# + 1)a + c x # 1 1 0 (2# + 1)a + c (2# + 1)b + d:x 3+ 1 1 1x = x# x2+(2# + 1)b + d (2# + 1)a + c S4(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x4+ 23b + d 5a + cx 2+ (b + d)(3b + d) (5a + c)(3a + c) S5(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x# x4+ 2(2# + 3)b + d (2# + 5)a + cx 2 +((2# + 1)b + d)((2# + 3)b + d) ((2# + 3)a + c)((2# + 5)a + c) (5.17)

olarak bulunur. (5.17) e¸sitli¼gi ile verilen Sn(#)

0

@ c d

a b j x 1

A fonksiyonlar¬n¬n aç¬l¬m-lar¬ndan görünür ki, S2n(#)(x; a; b; c; d) fonksiyonlar¬#’dan ba¼g¬ms¬zd¬r.

Sn(#)

0

@ c d

a b j x 1

A fonksiyonlar¬n¬n simetrik olmas¬, yani S(#)

n ( x; a; b; c; d) =

( 1)nS(#)

n (x; a; b; c; d) e¸sitli¼ginin sa¼glanabilmesi için n tek oldu¼gunda ( 1)# = 1

sa¼glanmal¬d¬r. Teorem 5.2 Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A fonksiyonlar¬ Z W 0 @ c d a b j x 1 A S(#) n 0 @ c d a b j x 1 A S(#) m 0 @ c d a b j x 1 A dx = Nn n;m (5.18)

(50)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glar. Burada Nn Nn = 2[n=2]Y i=1 Ki 0 @ c + (1 ( 1) n)#a d + (1 ( 1)n)#b a b 1 A Z W 0 @ c + (1 ( 1) n)#a d + (1 ( 1)n)#b a b j x 1 A dx ¸seklindedir (Masjed-Jamei 2008, 2020). ·

Ispat. Teorem 3.1 deki (3.9) ba¼g¬nt¬s¬ ve (5.2) diferensiyel denkleminden görülür ki Sn(#)

0

@ c d

a b j x 1

A simetrik ortogonal fonksiyonlar¬n¬n temel s¬n¬f¬na kar¸s¬l¬k gelen a¼g¬rl¬k fonksiyonu (4.21) e¸sitli¼gi ile verilen W (x; a; b; c; d) fonksiyonu ile ayn¬d¬r. O halde Teorem 3.1’e göre

Z W 0 @ c d a b j x 1 A S(#) n 0 @ c d a b j x 1 A S(#) m 0 @ c d a b j x 1 A dx = Nn n;m (5.19)

oldu¼gu söylenebilir. Burada

Nn= Z W 0 @ c d a b j x 1 A 0 @S(#) n 0 @ c d a b j x 1 A 1 A 2 dx (5.20)

formundad¬r ve yine (ax2+ b)W (x; a; b; c; d) ifadesi x = da yok olmal¬d¬r. N n’yi

elde etmek için (4.22) ba¼g¬nt¬s¬kullan¬labilir. n = 2m için,

N2m = Z W 0 @ c d a b j x 1 A 0 @S(#) 2m 0 @ c d a b j x 1 A 1 A 2 dx = Z W 0 @ c d a b j x 1 A 0 @S2m 0 @ c d a b j x 1 A 1 A 2 dx = 0 @ 2m Y i=1 Ki 0 @ c d a b 1 A 1 AZ W 0 @ c d a b j x 1 A dx (5.21)

(51)

ve n = 2m + 1 için, N2m+1 = Z W 0 @ c d a b j x 1 A 0 @S(#) 2m+1 0 @ c d a b j x 1 A 1 A 2 dx = Z W 0 @ c d a b j x 1 A x2# 0 @S2m 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A 1 A 2 dx = Z exp Z (c 2a)x2 + d x(ax2+ b) dx exp Z 2# x dx 0 @S2m 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A 1 A 2 dx = Z exp Z (c + 2#a 2a)x2+ d + 2#b x(ax2+ b) dx 0 @S2m 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A 1 A 2 dx = Z W 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A 0 @S2m 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A 1 A 2 dx = 0 @ 2m Y i=1 Ki 0 @ c + 2#a d + 2#b a b 1 A 1 A Z W 0 @ c + 2#a d + 2#b a b j x 1 A dx (5.22)

elde edilir. (5.21) ve (5.22) e¸sitliklerinden Sn(#)

0 @ c d a b j x 1 A fonksiyonlar¬n¬n nor-munun karesi Nn = 2[n=2]Y i=1 Ki 0 @ c + (1 ( 1)n)#a d + (1 ( 1)n)#b a b 1 A Z W 0 @ c + (1 ( 1)n)#a d + (1 ( 1)n)#b a b j x 1 A dx (5.23) olarak bulunur. Teorem 5.3 Sn(#) 0 @ c d a b j x 1

(52)

fonksiyonlar¬cinsin-den Sn(#) 0 @ c d a b j x 1 A = x(n+(1 ( 1)n)(# 1)=2) 2F1 [n=2]; 2 # + ( 1)n(# 1) 2 d 2b [(n + 1)=2]; 4 # 2n + ( 1)n(# 1) 2 c 2a; b ax2 (5.24)

aç¬l¬m¬na sahiptir (Masjed-Jamei 2008).

·

Ispat. Teorem 4.3’de verilen Sn

0

@ c d

a b j x 1

A polinomlar¬n¬n hipergeometrik gös-teriminden ve (5.13) e¸sitli¼ginden yararlan¬larak (5.24) kolayl¬kla elde edilir.

5.1 S(#)n (x; a; b; c; d) Fonksiyonunun Dört Ana S¬n¬f¬ ¸ Simdi de Sn(#) 0 @ c d a b j x 1

A fonksiyonlar¬n¬n özel durumlar¬n¬inceleyelim (Masjed-Jamei 2008).

(4.23) a¼g¬rl¬k fonksiyonu x d

dx((ax

2+ b)W (x)) = (cx2+ d)W (x) (5.25)

diferensiyel denklemini sa¼glar. Burada 8 < : c1 = c + 2a d1 = d + 2b için (4.23) fonksiyonunun sa¼glad¬¼g¬denklem

x d dx (ax 2+ b) exp Z (c + 2a 2a)x2+ d + 2b x(ax2+ b) dx = (c1x2+ d1) exp Z (c + 2a 2a)x2+ d + 2b x(ax2+ b) dx =) x d dx (ax 2+ b) exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2 + b) dx + Z 2(ax2+ b) x(ax2+ b)dx = (c1x2+ d1) exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2+ b) dx + Z 2(ax2+ b) x(ax2+ b)dx =) x d dx x 2(ax2+ b) exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2+ b) dx = x2(c1x2+ d1) exp Z (c 2a)x2+ d x(ax2+ b) dx

(53)

=) d dx x

2(ax2+ b)W (x) = x(c

1x2+ d1)W (x)

halini al¬r. Bölüm 4.1.1 - 4.1.4’de W 0

@ c d

a b j x 1

A a¼g¬rl¬k fonksiyonunun dört özel durumu incelenmi¸sti. Bu a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬s¬ras¬yla

W 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A = x2w(1 x2)v; 1 x 1; (5.26) (w + 1=2 > 0; v + 1 > 0) W 0 @ 2 2w 0 1 j x 1 A = x2wexp( x2); 1 < x < 1; (5.27) (w + 1=2 > 0) W 0 @ 2w 2v + 2 2w 1 1 j x 1 A = x 2w (1 + x2)v; 1 < x < 1; (5.28) (v > 0; w < 1=2; v + w > 1=2) W 0 @ 2w + 2 2 1 0 j x 1 A = x 2wexp 1 x2 ; (5.29) 1 < x < 1; (w > 1=2) formundad¬r.

5.1.1 Genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n bir genellemesi

Önceki bölümde (4.2) denkleminin özel durumu olarak bu dört a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬ ve simetrik ortogonal polinomlar¬n iki sonlu s¬n¬f¬ ele al¬nm¬¸st¬. ¸Simdi de (5.2) denkleminin özel durumu olarak genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar, genelle¸stirilmi¸s Hermite polinomlar¬ ve simetrik ortogonal polinomlar¬n iki sonlu s¬n¬f¬n¬n çe¸sitli genellemelerini inceleyelim.

Bölüm 4.1.1’de gösterildi ki (4.2) denkleminin özel durumu olan x2(1 x2)'00n(x) 2x((w + v + 1)x2 w)'0n(x) +(n(2w + 2v + n + 1)x2+ (1 ( 1)n)w)'n(x) = 0

(54)

diferensiyel denklemi 'n(x) = Sn(1) 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A çözümüne sahiptir ve Z 1 1 W 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A S(1) n 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A Sm(1) 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A dx = 0 @( 1)n n Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 1 AZ 1 1 W 0 @ 2w 2v 2 2v 1 1 j x 1 A dx 1 A n;m

ortogonallik özelli¼gini sa¼glar. Burada Z 1 1 W 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A dx = Z 1 1 x2w(1 x2)vdx = 2 Z 1 0 x2w(1 x2)vdx = B (w + 1=2; v + 1) = (w + 1=2) (v + 1) (w + v + 3=2) w + 1=2 > 0; ( 1)2w = 1 ve v + 1 > 0 (5.30) ve Kn 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 1 A = (n + w(1 ( 1) n) + 2v)(n + (1 ( 1)n)w) (2n + 2w + 2v + 1)(2n + 2w + 2v 1) (5.31) formundad¬r. ¸

Simdi de ayn¬a¼g¬rl¬k fonksiyonu ve ayn¬ortogonallik aral¬¼g¬na sahip genelle¸stirilmi¸s ultraküresel polinomlar¬n bir genellemesini dü¸sünelim. (5.2) diferensiyel denkle-minde

(a; b; c; d) = ( 1; 1; 2w 2v 2; 2w) olarak seçilirse

(55)

x2(1 x2)'00n(x) 2x((w + v + 1)x2 w)'0n(x) + n + (# 1)1 ( 1) n 2 n + 2w + 2v + 1 + (# 1) 1 ( 1)n 2 x 2 #(2w + # 1)1 ( 1) n 2 'n(x) = 0 (5.32)

diferensiyel denklemi elde edilir ve bu denklemin bir temel çözümü 'n(x) = Sn(#) 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A (5.33)

¸seklindedir. Teorem 5.2 gere¼gince (5.33) çözümü a¸sa¼g¬daki ortogonallik özelli¼gini sa¼glar. R1 1x 2w(1 x2)vS(#) n 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A S(#) m 0 @ 2w 2v 2 2w 1 1 j x 1 A dx = 2[n=2]Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1)n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 1 A 0 @Z 1 1 W 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1)n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 j x 1 A dx 1 A n;m = 2[n=2]Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1)n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 1 A Z 1 1 exp R ( 2w 2v (1 ( 1)x(1 xn)#)x22)+2w+(1 ( 1)n)#dx dx n;m = 2[n=2]Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1)n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 1 A Z 1 1 exp Z 2w+(1 ( 1)n)# x dx + Z 2vx 1 x2dx dx n;m = 2[n=2] Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1) n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 1 A Z 1 1 x2w+(1 ( 1)n)#(1 x2)vdx n;m = 2[n=2] Y i=1 Ki 0 @ 2w 2v 2 (1 ( 1) n)# 2w + (1 ( 1)n)# 1 1 1 A B w + 1 ( 1) n 2 # + 1 2; v + 1 n;m

Referanslar

Benzer Belgeler

İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.. 2. Bunun için çıkarma

De…nition 1 Sonsuz bir aral¬k üzerinde tan¬ml¬ s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n integra- line birinci tip genelle¸ stirilmi¸ s integral

[r]

[r]

Ja- cobi polinomlar¬n¬n bu s¬f¬rlar¬ potansiyel enerji teorisinde uygulamaya sahiptir.. lar¬n¬n s¬f¬rlar¬na kar¸ s¬l¬k

Bu da teoremi ispatlar..

[r]