Orlicz uzaylarında Fourier serileri ile yaklaşım

T.C

BALIKESĠR ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

ORLICZ UZAYLARINDA

FOURIER SERĠLERĠ ĠLE YAKLAġIM

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Mehmet ARSLAN

ii ÖZET

ORLICZ UZAYLARINDA

FOURIER SERĠLERĠ ĠLE YAKLAġIM

Mehmet ARSLAN

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı

(Yüksek Lisans Tezi / Tez DanıĢmanı : Doç. Dr. Ali GÜVEN) Balıkesir, 2010

Bu çalışma, trigonometrik Fourier serilerinin Nörlund ve Riesz ortalamalarının ağırlıklı Orlicz uzaylarındaki bazı yaklaşım özelliklerinden oluşmaktadır.

Bu çalışma giriş bölümü dışında üç ana bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, bu çalışmada kullanılan fonksiyon uzaylarının tanımları ve temel özellikleri verilmiştir.

İkinci bölümde, trigonometrik yaklaşımın temel taşı olan Fourier serilerinin tanımı verilmiştir. Bu bölümün ikinci kısmı, Cesàro, Nörlund ve Riesz

ortalamalarının tanımı ile ana teoremlerde kullanılacak bazı tanımlardan oluşmaktadır.

Üçüncü bölümde, elde edilen sonuçlar, bu sonuçların ispatları ve bu ispatlarda kullanılan bazı lemmalar verilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise Nörlund ortalamasının bir genelleştirmesi olan matris dönüşümleri ile yaklaşım konusunda tanım ve sonuçlar verilmiştir.

ANAHTAR SÖZCÜKLER : Young fonksiyonu / ağırlıklı Orlicz Uzayları / Boyd indisleri / Muckenhoupt sınıfları / Lipschitz sınıfları / Fourier serileri / Nörlund ortalaması / Riesz ortalaması / matris dönüşümü

iii ABSTRACT

APPROXIMATION BY FOURIER SERIES IN ORLICZ SPACES

Mehmet ARSLAN

Balıkesir University, Institute of Science, Department of Mathematics

(M.Sc. Thesis / Supervisor : Assoc. Prof. Ali GÜVEN) Balıkesir, 2010

This work consists of some approximation properties of Nörlund and Riesz means of trigonometric Fourier series in weighted Orlicz spaces.

This work consists of three main chapters except for introduction chapter. In the first chapter, the definitions and basic properties of function spaces used in this work are given.

In the second chapter, the definition of Fourier series, which is crucial point of trigonometric approximation is given. The second part of this chapter consists of definitions of Cesàro, Nörlund and Riesz means and some definitions that is going to use in main results.

In the third chapter, the results we obtained, the proofs of these results and some lemmas that are used in proofs of the results are given. In the last part of this chapter, the definitions and the results about approximation by matrix transforms, which are generalizations of Nörlund means are given.

KEY WORDS : Young function / weighted Orlicz spaces / Boyd indices / weight function / Muckenhoupt classes / Lipschitz classes / Fourier series / Nörlund mean / Riesz mean / matrix transform /

iv ĠÇĠNDEKĠLER

Sayfa

ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ii

ABSTRACT, KEYWORDS iii

ĠÇĠNDEKĠLER iv SEMBOL LĠSTESĠ v ÖNSÖZ vi 1. GĠRĠġ 1 2. FONKSĠYON UZAYLARI 2 2.1 Lebesgue Uzayları 2 2.2 Orlicz Uzayları 3 2.3 Ağırlıklı Uzaylar 8 2.4 Muckenhoupt Ağırlıkları 9

2.5 Süreklilik Modülü ve Lipschitz Sınıfları 9

3. FOURIER SERĠLERĠ 12

3.1 Fourier Serileri 12

3.2 Cesàro, Nörlund ve Riesz Ortalamaları 14

4. AĞIRLIKLI ORLICZ UZAYLARINDA YAKLAġIM 17

4.1 Lemmalar 17

4.2 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Nörlund Ortalaması ile Yaklaşım 22 4.3 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Riesz Ortalaması ile Yaklaşım 28 4.4 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Matris Dönüşümleri ile Yaklaşım 31

v SEMBOL LĠSTESĠ

Simge Tanımı

C Karmaşık sayılar kümesi

R Reel sayılar kümesi

. .h

h Hemen her yerde

J J aralığının uzunluğu

f ~

f fonksiyonunun eşlenik fonksiyonu n

 Derecesi n’yi aşmayan trigonometrik polinomların kümesi

vi ÖNSÖZ

Yüksek lisans çalışmam süresince karşılaştığım küçük büyük her sorunu kendi sorunuymuş gibi addedip yüksek lisansa devam edebilmemde büyük pay sahibi olan, bilgi ve tecrübesiyle de bu tezin oluşmasında hiçbir yardımı esirgemeyen değerli hocam ve danışmanım Doç. Dr. Ali GÜVEN’e sonsuz teşekkürlerimi

sunarım.

Ayrıca üzerimde çok emekleri olan değerli hocalarım Prof. Dr. Daniyal M. İsrafilov, Doç. Dr. Recep Şahin, Doç. Dr. Ramazan Akgün, Yrd. Doç. Dr. Yunus Emre Yıldırır, Yrd. Doç. Dr. Fırat Ateş’e çok teşekkür ederim.

Yüksek lisans çalışmam süresince desteğini gördüğüm Yrd. Doç. Dr. Sebahattin İKİKARDEŞ’e ve şu anda yüksek lisansını sürdüren arkadaşım Ahmet EMİN’e içtenlikle teşekkür ederim.

Son olarak her zaman yanımda olan, haklarını asla ödeyemeyeceğim Anneme, Babama, Kardeşlerime ve Kübra’ya çok teşekkür ediyorum.

1 1. GĠRĠġ

Trigonometrik Fourier serilerinin Cesàro, Nörlund ve Riesz ortalamaları ve matris dönüşümleri ile yaklaşım problemi birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. Cesàro ortalamasının Lebesgue uzaylarında bazı yaklaşım özellikleri Quade

tarafından incelenmiştir ([1]). Daha sonra, Cesàro ortalamasının genelleştirmeleri olan Nörlund ve Riesz ortalamalarının p

L uzaylarında yaklaşım özellikleri

Mohapatra ve Russell ([2]), Chandra ([3]) ve Leindler ([4]) tarafından çalışılmıştır. Mittal, Rhoades, Mishra ve Singh ise Fourier serilerinin bazı matris dönüşümlerinin

p

L uzaylarında yaklaşım özellikleri ilgili sonuçlar elde etmişlerdir ([5]).

Güven, Chandra’nın ağırlıklı _Lp

uzaylarına genelleştirmelerini ispatlamış ([6]), Güven ve İsrafilov ise Chandra ve Leindler’in sonuçlarının benzerlerini

genelleştirilmiş Lebesgue uzaylarında elde etmişlerdir ([7]). Mittal, Rhoades, Mishra ve Singh’in sonuçlarını genelleştirilmiş Lebesgue uzaylarındaki benzerleri yine Güven tarafından ispatlanmıştır ([8]).

Ağırlıklı Orlicz uzaylarında trigonometrik polinomlarla yaklaşım teorisinin düz ve ters teoremleri Güven ve İsrafilov tarafından elde edilmiştir ([9]).

Bu çalışmada trigonometrik Fourier serilerinin Nörlund ve Riesz ortalamaları ile bazı matris dönüşümlerinin ağırlıklı Orlicz uzaylarındaki yaklaşım özellikleri incelenmiş, özel halde [3], [4] ve [5] çalışmalarında elde edilen sonuçların bu uzaylardaki benzerleri ispatlanmıştır.

2 2. FONKSĠYON UZAYLARI

2.1 Lebesgue Uzayları

2.1.1 Tanım: 1 p olmak üzere





f x pdx  2 0 ) ( 

koşulunu sağlayan ölçülebilir f :



0,2





C fonksiyonlarının hemen her yerde eşit olma bağıntısına göre denklik sınıflarının kümesi p

L





0,2







Lp ile gösterilir.



f g



(x): f(x)g(x) ve

 



f (x):



f(x), C (2.1) işlemleri altında p

L bir vektör uzayıdır ve

 : p f p p dx x f 1 2 0 ) ( _     





fonksiyonu Lp üzerinde bir normdur. Lp bu norma göre bir Banach uzayıdır.

2.1.2 Tanım: M0 sayısı için

 ) (x

f M h.h.

şartını sağlayan f :



0,2





C fonksiyonlarının hemen her yerde eşit olma bağıntısına göre denklik sınıflarının kümesi L





0,2







L ile gösterilir. Aynı şekilde (2.1) işlemleri altında L bir vektör uzayıdır ve

3 inf

:



f { M>0 : f(x) M h.h.

fonksiyonu L üzerinde bir normdur. L bu norma göre bir Banach uzayıdır.

2.1.3 Tanım: 1 p olmak üzere Lp Banach uzayına Lebesgue uzayı denir.

2.2 Orlicz Uzayları

2.2.1 Tanım: AR bir küme olsun. x,yA ve 





 

0,1 için A

y x(1



) 



oluyorsa A kümesine bir konveks küme denir.

2.2.2 Tanım: AR konveks bir küme olsun. M :AR fonksiyonu A y x   , ve 





 

0,1 için



x (1 )y



M(x) (1 )M(y) M



 







 



şartını sağlıyorsa M fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.

2.2.3 Tanım: M:



0,







0,



konveks ve sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer M fonksiyonu i) M(x)0x0 ii) lim ( ) 0 0   _x x M x iii)    _x x M x ) ( lim

4

koşullarını sağlıyorsa M fonksiyonuna bir Young fonksiyonu denir.

2.2.4 Örnekler: i) p x x M p  ) ( , 1 p ii) M(x)exx1 iii) M(x)ex 1 ,  1 iv) ) ln( ) ( x e x x M p   , p2

fonksiyonları birer Young fonksiyonudur.

2.2.5 Teorem: M bir Young fonksiyonu ise



( ), 0



max )

(y  xyM x x

N (2.2)

fonksiyonu da bir Young fonksiyonudur.

2.2.6 Örnek: 1 p ve 1/p1/q1 olmak üzere

p x x M p  ) ( ise q y y N q  ) (

5 olur.

2.2.7 Tanım: M bir Young fonksiyonu olsun. (2.2) şeklinde tanımlı Young fonksiyonuna M fonksiyonunun tümleyen Young fonksiyonu denir.

2.2.8 Tanım: M bir Young fonksiyonu ve

 ) ( f M



M



f(x)



dx 2 0





olmak üzere 



>0 için

  ) ( f M





koşulunu sağlayan f :



0,2





→C ölçülebilir fonksiyonlarının kümesi M

L





0,2







LM ile gösterilir. Aynı şekilde (2.1) işlemleri altında LM bir vektör uzayıdır. M L uzayı  : M f sup





f x g x dx  2 0 ) ( ) ( : g N L ,



N(g)1



Orlicz normu ve  : ) (M f       _       0 : 1 inf







_M f

Luxemburg normuyla birlikte bir Banach uzayıdır. LM Banach uzayına



0,2





üzerinde M ile üretilen Orlicz uzayı denir [10, s. 69].

6 ) ( M f  M f  2 f _{( M)}

eşitsizliği vardır. Böylece . _M ve ) ( . M normları denktir [10, s. 80]. 2.2.10 Teorem: p x x M p  ) ( , 1 p olarak alınırsa M L ~ Lp olur.

Orlicz uzayları ile ilgili daha kapsamlı bilgi [10], [11] ve [12] numaralı kaynaklardan sağlanabilir.

2.2.11 Tanım: M bir Young fonksiyonu olsun.

) ( ) ( sup lim : ) ( ₁ 1 tx M x M t h x      , t0 olmak üzere

 

          _t t h t M log ) ( log lim :



ve

 

_        _  _t t h t M log ) ( log lim : 0



sayılarına M

L Orlicz uzayının sırasıyla alt ve üst Boyd indisleri denir.

2.2.12 Teorem: M bir young fonksiyonu ve N bunun tümleyen Young fonksiyonu olmak üzere LM ve LN uzaylarının Boyd indislerinin

i) 0



_M 



_M 1

7 özellikleri vardır [13].

2.2.13 Tanım: 0



_M ,



M 1 ise Boyd indisleri nontrivialdir denir.

2.2.14 Teorem: M L uzayı yansımalı 0



_M 



_M 1 [13]. 2.2.15 Örnek: p x x M p  )

( , 1 p Young fonksiyonu için

p M M 



1/



dir.

2.2.16 Teorem: LM bir Orlicz uzayı olsun.

      p 1/



_M 1/



_M q 1

biçimindeki her p,q sayıları için q

L LM Lp olur ve buradaki kapsamalar süreklidir [13].

2.2.17 Teorem (Boyd Ġnterpolasyon Teoremi): 1 pq olsun. Bir lineer operatör p

L ve Lq uzayları üzerinde sınırlı ise Boyd indisleri

p

q _{M M} 1/

/

1 









koşulunu sağlayan her LM Orlicz uzayı üzerinde de sınırlıdır [14].

8 2.3 Ağırlıklı Uzaylar

2.3.1 Tanım: ω:



0,2







 

0, ölçülebilir bir fonksiyon olsun.



1



 

0,



kümesinin Lebesgue ölçümü sıfır ise  fonksiyonuna



0,2





üzerinde bir ağırlık fonksiyonu denir.

2.3.2 Tanım:  bir ağırlık fonksiyonu olsun. f



 p

L şartını sağlayan ölçülebilir f :



0,2





→C fonksiyonlarının kümesi L_p ile gösterilir.

 : , p f p f



fonksiyonu L_p üzerinde bir normdur. L_p normlu uzayına Ağırlıklı Lebesgue uzayı denir.

2.3.3 Tanım:  bir ağırlık fonksiyonu olsun. f



LM şeklindeki ölçülebilir f :



0,2





→C fonksiyonlarının kümesi M

L_ ile gösterilir.  : , M f M f



fonksiyonu LM_ üzerinde bir normdur. LM_ normlu uzayına Ağırlıklı Orlicz uzayı denir.

2.3.4 Teorem:  bir ağırlık fonksiyonu olsun. LM ve 1/LN ise



L LM_ L1

9 2.4 Muckenhoupt Ağırlıkları

2.4.1 Tanım: 1< p< ve ,



0,2





üzerinde bir ağırlık fonksiyonu olsun. 1/p+1/q=1 olmak üzere                  





 q J q p J p J dx x J dx x J / 1 / 1 ) ( 1 ) ( 1 sup





oluyorsa  fonksiyonu A_p





0,2







 Ap Muckenhoupt sınıfındandır denir. Burada supremum bütün J 



0,2





aralıkları üzerinden alınmıştır ve J , J aralığının uzunluğunu göstermektedir.

2.4.2 Örnek: ω:



0,2







 

0, ,



(x)x olmak üzere

p A x x  



( )  q p 1 1 _{ }   .

Muckenhoupt ağırlıkları ile ilgili geniş bilgi [16], [17] ve [18] numaralı kaynaklarda bulunabilir.

2.5 Süreklilik Modülü ve Lipschitz Sınıfları

2.5.1 Tanım: M

L nontrivial



_M,



_M Boyd indislerine sahip bir Orlicz uzayı ve



A_1/M A_1/M olsun. Bir f LM_ fonksiyonunun süreklilik modülünü

 



_

  h h f x t f x dt h x f T 0 ) ( ) ( 1 : ) ( (2.3) olmak üzere

10





_  



, , , : sup h( ) M h M f T f    ,  0 (2.4) şeklinde tanımlayalım.

Hardy-Littlewood maximal fonksiyonu ağırlıklı Orlicz uzayında sınırlı olduğundan _M,

 

,f süreklilik modülü iyi tanımlıdır.



f



M,



,

 süreklilik modülü, negatif olmayan, sürekli, azalmayan ve



,



0 lim , 0   M



f  ,



1 2



, ,f f M    _ _M,

 

, f₁ M,

 

, f2 koşullarını sağlayan bir fonksiyondur.

p

L uzayında süreklilik modülü,

) ( ) ( ) (f f x h f x h     olmak üzere



f



 p



,



p h h f ) ( sup  (2.5) olarak tanımlanır. Fakat L_p ve L_M uzayları ) ( ) ( ) (f f x h f x h    

11

geleneksel kaydırma operatörüne göre invariant olmadığından, bu uzaylarda süreklilik modülünü (2.3) operatörü yardımıyla tanımlamaktayız.

p

L uzayı üzerinde (2.4) süreklilik modülü ile (2.5) süreklilik modülü birbirine denktir [19].

(2.3) operatörü kullanılarak süreklilik modülü tanımlama düşüncesi Ky tarafından geliştirilmiştir ([19]).

2.5.2 Tanım: 01 olsun.

 



_M,:

Lip { f LM_ : _M,





,f



O(



)} kümesine Lipschitz sınıfı denir.

12 3. FOURIER SERĠLERĠ

3.1 Fourier Serileri

3.1.1 Tanım: a_k , b_k (k 0,1,2,...) sabit sayılar ve a_k b_k 0 olmak üzere







    1 0 _{cos sin} 2 k k k kx b kx a a (3.1)

serisine bir trigonometrik seri denir.







   1 cos sin k k k kx b kx a (3.2)

serisine de (3.1) serisinin eşlenik serisi denir.

3.1.2 Tanım: a_k, b_k (k0,1,2,...) sabit sayılar ve a_k b_k 0 olmak üzere







    n k k k n a kx b kx a x t 1 0 sin cos 2 ) ( , n0,1,2,...

İfadesine n. dereceden bir trigonometrik polinom denir.

3.1.3 Tanım: n0,1,2,... için derecesi n’yi aşmayan trigonometrik polinomların kümesi n ile gösterilir.

13



 



2 0 cos ) ( 1 ktdt t f a_k , k=0,1,2,… ve



 



2 0 sin ) ( 1 ktdt t f b_k , k=1,2,…

olmak üzere (3.1) serisine f fonksiyonunun Fourier serisi denir ve

) (x f ~







    1 0 sin cos 2 k k k kx b kx a a yazılır. 3.1.5 Tanım: A_o

 

f (x): 2 0 a ,

 

f (x): Ak akcoskxbksinkx, k1,2,... olmak üzere

 

_

 

  n k k n f x A f x S 0 ) ( ) ( , n0,1,2,...

biçiminde tanımlı S_n

 

f dizisine f fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi toplamlar dizisi denir. 3.1.6 Tanım: f  1 L ve f(x) ~







    1 0 sin cos 2 k k k kx b kx a a olsun. (3.2) trigonometrik serisi bir Fourier serisi ise bu seriye sahip fonksiyona f fonksiyonunun eşlenik fonksiyonu denir ve ~f şeklinde gösterilir;

14 ) ( ~ x f ~







   1 cos sin k k k kx b kx a .

Trigonometrik seriler ve Fourier serileri ile ilgili daha geniş bilgiye [20] numaralı kaynaktan ulaşılabilir.

3.1.7 Tanım: E_n(f)_M, inf



f t_{n M,} :t_n_n



değerine f  M

L_ fonksiyonun _n in elemanları ile en iyi yaklaşımı denir.

3.1.8 Teorem:   _, , ) ( M n M n f f t

E    olacak şekilde t_n_n vardır [21, s. 59]. Aşağıdaki f S_n( f) ve f  ~f operatörlerinin düzgün sınırlılığını gösteren   , ) ( _M n f S O



f _M,



,   , ~ M f O



f _M,



eşitsizlikleri ve bunların sonucu olan

  ( ) _, M n f S f O



E_n(f)_M,



, ) ,_  ~ ( _M n f E O



E_n(f)_M,



eşitsizlikleri [9] numaralı kaynakta verilmiştir.

3.2 Cesàro, Nörlund ve Riesz Ortalamaları

3.2.1 Tanım: Sn

 

f (x) f fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi toplamlar dizisi olmak üzere

15

 

_

 

   n o k k n S f x n x f ( ) 1 1 ) (  , n0,1,2,...

ifadesine f fonksiyonunun Fourier serisinin n. dereceden Cesàro (Fejér) ortalaması denir.

3.2.2 Tanım:

 

p_n _n0 pozitif reel sayıların bir dizisi olsun.



  n m m n p P 0 , p1 P1:0 olmak üzere

 

_

 

 



n o m m m n n n

p

S

f

x

P

x

f

N

(

)

1

(

)

_ve

 



 

  n o m m m n n p S f x P x f R ( ) 1 ( )

ifadelerine f fonksiyonunun Fourier serisinin

 

p_n _n0 dizisine göre sırasıyla

Nörlund ve Riesz ortalamaları denir.

Açıktır ki pn 1, n0,1,2,... durumunda Nörlund ve Riesz ortalamalarının ikisi de Cesàro ortalamasına eşit olur.

3.2.3 Tanım:

 

p_n _n0 pozitif reel sayıların bir dizisi olsun. nm şeklindeki her n,mN için

m n cp

p 



pn cpm



olacak şekilde sadece

 

p_n _n0 dizisine bağlı bir c sabiti varsa

 

p_n _n0 dizisine hemen hemen monoton azalan (artan) dizi denir ve

 

p_n _n0AMDS (

 

p_n _n0AMIS) şeklinde gösterilir.

16

3.2.4 Tanım: Ana teoremlerde kullanılacak olan p_n gösterimi

1

:  _

pn pn pn şeklinde tanımlıdır.

17

4. AĞIRLIKLI ORLĠCZ UZAYLARINDA YAKLAġIM

4.1 Lemmalar

Bu kısımda ana teoremlerin ispatında kullanılacak olan bazı lemmalar verilmiştir.

4.1.1 Lemma: LM_ , Boyd indisleri 0



M 



M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı ve



A_1/M A_1/M ise, her f LM_ için

  , ) ( M n f E O



M,(1/n,f)



, n1,2,... (4.1) eşitsizliği sağlanır [9].

4.1.2 Lemma: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı, 01 ve

M

M A

A _{ }



 _1/  _1/ olsun. Bu durumda her f Lip

 



_M, için

 

    S f O n f _n( ) _M, , n1,2,... (4.2) olur.

Ġspat: tn (n0,1,...), f Lip

 



M, fonksiyonunun trigonometrik polinomlarla en iyi yaklaşımı olsun. O halde

 , ) ( _M n f E  , M n t f    ve (4.1) den

18  , M n t f   O



_M,(1/n,f)



ve f Lip

 



_M, olduğundan  , M n t f   O



_M,(1/n,f)



O

 

n

olur. Kısmi toplamlar dizisinin LM_ uzayında düzgün sınırlılığından

f Sn(f)_M,      , M n t f  , ) ( M n n S f t  , M n t f     , ) ( M n n t f S     , M n t f     , M n t f c   





 , M n t f O    O

 

n .

4.1.3 Lemma: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı,



A_1/M A_1/M ve f Lip

 

1_M, ise f mutlak sürekli ve fLM_ olur. Ġspat: 0



_M 



_M 1 olduğundan       p 1/



_M 1/



_M q 1

19

ve



A_p A_q olacak şekilde p ve q sayıları bulunabilir ([18, s. 58]). O halde M L  Lp olur. M L  Lp  LM_  L_p böylece ) ( f T_h LM_ T_h( f)L_p. M

L_  L_p kapsaması sürekli olduğundan

 , ) ( _p h f T O



Th(f)_M,



. p A 



p₀ : 1 p0 , p L_  _Lp0 ve 0 ) ( _p h f T O



Th(f) _p,



O



T_h(f)_M,



elde edilir [19]. O halde

) , (





f o p O



M,





,f





. f Lip

 

1_M, 



(f,



) o p O

 



 f Lip

 

1_M,

20

 f mutlak sürekli ve f_Lp0

olur [21, s. 51-54]. f mutlak sürekli olduğundan h.h. x



0,2





için türevlenebilirdir. t x f t x f(  ) ( ) _ ) (x f , t h.h.

olduğundan hemen her yerde

t x f t x f(  ) ( )  f(x), t0   2



   /2 ) ( ) ( dt t x f t x f  f(x),



0. 1 ) (g  N



biçimindeki her gLN fonksiyonu için



f x x g x dx 



2 0 ) ( ) ( ) (  dt x g x dx t x f t x f ) ( ) ( ) ( ) ( 2 lim 2 0 0 /2      





           dt x g x dx t x f t x f ) ( ) ( ) ( ) ( 2 inf lim 2 0 0 /2      





           dt x g x dx t x f t x f ) ( ) ( ) ( ) ( 2 inf lim 2 0 /2 0      

 

_         liminf 4 1 f(x t) f(x) (x)g(x)dx 2 0 0 0      

 

_        _ 

21 liminf 4 T (f)(x) (x)g(x)dx 2 0 0





  _



      



   T f x x g x dx T g_N ) ( ) ( ) )( ( sup 4 inf lim 2 0 1 ) ( 0      liminf 4 T (f) (x) _M 0





 _   _{ 0}



( ) , 4 inf lim _ T f _M                 , 0 0 sup ( ) 4 inf lim _M h f T  M



,f



4 inf lim , 0





 _   liminf 4 ( ) 0





_ O O(1)<  fLM_ .

4.1.4 Lemma: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı,



A_1/M A_1/M ve f Lip

 

1_M, ise her n1,2,... için

  ( ) _, ) ( n _M n f f S  O

 

n1 (4.3) olur.

Ġspat: 4.1.3 Lemma dan f mutlak sürekli ve fLM_ . f fonksiyonunun Fourier serisi ) (x f ~



 

 0 ) ( k k f x A  ~f(x) ~



 

 1 ) ( k k f x kA . S_n(f)



_n(f)



 

  n k k f x A n k 1 ) ( 1 

 

( ) ~ 1 1 x f S n n  .

22

Kısmi toplamlar dizisi ve eşlenik fonksiyon operatörü M

L_ uzayında düzgün sınırlı olduğundan her n1,2,... için

 



( ) _, ) ( M n n f f S O

 

n1 elde edilir.

4.1.5 Lemma:

 

p_n _n0 pozitif sayıların bir dizisi olsun.

 

 0 n n p AMDS veya

 

 0 n n p AMIS ve (n1)p_n O(P_n) ise 01 için m n n m p m _  



1  _





n P n O  (4.4) olur [4].

4.2 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Nörlund Ortalaması ile YaklaĢım

4.2.1 Teorem: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı, 01, f Lip(



)_M,,



A_1/M A_1/M ve

 

p_n _n0 pozitif sayıların bir dizisi olsun.

23

 

 0 n n p AMDS veya

 

 0 n n p AMIS ve (n1)p_n O(P_n) ise

 

 

    N f O n f n _M, olur. Ġspat: f(x)=



  n m m n n x f p P 0 ) ( 1 olduğundan ) (x f -Nn

 

f (x)







   n m m m n n f S x f p P ₀ ( ) ( ) 1 olur. (4.2) ve (4.4) ten f Nn

 

f _M,



    n m M n m n n f S f p P 0 , ) ( 1  



 

   n m m n n m O p P ₁ 1 _  ₀( )_M, n n f S f P p _ 



n



n P n O P   1 _       1 1 n O O

 

n .

24

4.2.2 Teorem: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı, f Lip(1)M,_,



A1/M A1/M ve

 

 0 n n

p pozitif sayıların bir dizisi olsun.

 

n n k k O P p k 



  1 1 veya        



  n P O p n n k k 1 0 ise

 

 

1 ,   N f O n f n _M , n1,2,... olur. Ġspat:

 

f N_n



 

   n m m m n n x f A P P 0 ) ( 1

eşitliğinden ve Abel dönüşümünden

S_n

 

f (x)N_n

 

f (x)





  

    n m m m n n n x f A P P P ₁ ( ) 1





 



 

               m k k n m m k k m n n m n x f kA n x f A m P P P _{1 1} 1 ₁ ( ) 1 ) ( 1 buradan

25 S_n

 

f N_n

 

f _M, 



  _        n m m n n m n m P P P ₁ 1

_{ }

 , 1 _M m k k f A





 

 , 1 1 1 M m k k f A n



  S_n

 

f (x)



_n

 

f (x)



 

  m k k f x kA n 1 ) ( 1 1 olduğundan (4.3) gereği

 

 1



1 , 1 M m k k f A n Sn

 

f 



n

 

f M, 

 

1  n O olur. Böylece Sn

 

f Nn

 

f _M,               



  n m m n n m n m P P P O 1 1

 

1 n O (4.5)

elde edilir. Önce

 

n n k k O P p k 



  1 1

olduğunu kabul edelim. Bu varsayımla birlikte

        



  n m m n n m m P P 1       n P O n

olduğu [4] numaralı kaynakta gösterilmiştir. Böylece (4.5) den

 

 n

 

_M, 

n f N f

26 olduğu çıkar. Son eşitlik ve (4.2) den

f Nn

 

f _M,  f Sn(f)_M,  Sn

 

f Nn

 

f _M, O

 

n1 O

 

n1 O

 

n1 . Şimdi de        



  n P O p n n k k 1 0 (4.6)

olduğunu kabul edelim.

         m P Pn n m m          



   n m n k m n k m p p m 1 ( 1) 1 eşitliğinden ve tümevarımdan





           m k k n k n n m n k m n k m p k p p p 1 1 ) 1 (

elde edilir. Bununla birlikte

        



  n m m n n m m P P 1       _ 





     m k k n k n n m p p k m m ₁ 1 1 ( 1) 1



      n k k n k n p p k 1 1       



 n k m m(m 1) 1

27



      n k k n k n p p k 1 1       



 n k m m(m 1) 1



      n k k n k n p p k 1 1       



 k m m(m 1) 1



      n k k n k n p p 1 1



    1 1 n k k p . (4.5) ve (4.6) dan Sn

 

f Nn

 

f _M,               



  n m m n n m n m P P P O 1 1

 

1 n O              n P O P O n n 1 

 

1 n O O

 

n1 . Son eşitlik ve (4.2) den

f Nn

 

f _M,  f Sn(f)_M,  Sn

 

f Nn

 

f _M, O

 

n1 O

 

n1

O

 

n1 elde edilir ki bu da ispatı bitirir.

28

4.3 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Riesz Ortalaması ile YaklaĢım

4.3.1 Teorem: M

L_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde ağırlıklı Orlicz uzayı, 0 1, f Lip(



)_M, ,

M

M A

A _{ }



 _1/  _1/ ve

 

p_n _n0 pozitif sayıların bir dizisi olsun



          1 0 1 n m m m P         1 n P O n _(4.7) ise

 

 

    R f O n f n _M, , n1,2,... olur. Ġspat: 0<<1 olsun. ) (x f =



  n m m n n x f p P ₀ ( ) 1

olduğundan ve N_n

 

f (x) ortalamasının tanımından

 

  ( ) ) (x R f x f n







  n m m m n f S x f p P ₀ ( ) ( ) 1 . (4.2) den f Rn

 

f _M, 



  n m M n m n f S f p P ₀ ( ) , 1  (4.8)



 

   n m m n m O p P ₁ 1   , 0 0 _{( )} M n f S f P p  

29



 

         n m m n m O p P O 1 1  . Abel dönüşümünden



   n m mm p 1 





n n m n m m n P P        _{  }



1 1 ) 1 ( _n n m m _{n P} m P m      _  



1 1 1 , ve (4.7) koşulundan  



   1 1 1 n m m m P m               





    m k n m m _k m P 1 1 1 1 



     1 1 1 n m n _m n P _ O



nP_n



elde edilir. Böylece





  n m mm p 1 





n P n O 

olur. Bu son eşitlik ve (4.8) den

 

 Rn f _M,

f O

 

n

elde edilir. Şimdi  1 durumunu ele alalım. Abel dönüşümünden

 



 

  n o m m m n n p S f x P x f R ( ) 1 ( )

30







 

 



 



      1 1 ( ) ₁ ( ) ( ) n o m n n m m m n x f S P x f S x f S P P





 



 

      1 1 ₁ ( ) ( ) n o m n m m n x f S x f A P P olur ve buradan Rn

 

f (x)Sn

 

f (x)



 

    1 1 ₁ ( ) n o m m m n x f A P P .

Yine Abel dönüşümünden



 

    1 1 ( ) n o m m mA f x P

 

              





    m o k k n o m m _{k A f x} m P ) ( ) 1 ( 1 1 1



 

      1( 1) 1 ( ) 1 n o k k n x f A k n P .

Bununla beraber (4.3) ve (4.7) göz önüne alınırsa



 

    ,_ 1 1 ( ) M n o m m mA f x P



          1 1 n o m m m P

_{ }

 , 1 ( ) ) 1 ( M m o k k f x A k



  

 

 , 1 1 ( ) ) 1 ( 1 _M n o k k n _{k A f x} n P

_

     



           1 1 n o m m m P

_{ }

_{ }





1 _, 1 ) 2 (m Sm f  m f _M Pn Sn

 

f 



n

 

f _M,

31



           1 1 ) 1 ( n o m m m P O        n P O n elde edilir. Bu da Rn

 

f (x)Sn

 

f (x)_M, 

 

 , 1 1 ( ) 1 M n o m m m n x f A P P



          n P O P n n 1        n O 1

eşitliğini verir. Bu son eşitlik ve (4.2) den

f R_n

 

f _M,  f S_n(f) _M,  S_n

 

f R_n

 

f _M,

O

   

n1 O n1 O

 

n1 .

4.4 Ağırlıklı Orlicz Uzaylarında Matris DönüĢümleri ile YaklaĢım

4.4.1 Tanım: A(a_n,k) negatif öğesi olmayan regüler bir sonsuz alt üçgensel matris ve ( A)

n

s (n0,1,2,…) bu matrisin satırlarının toplamı yani

) ( A n s



  n k k n a 0 ,

32 m n k n ca a _,  _,



a_n,m ca_n,k



olacak şekilde sadece A matrisine bağlı bir c sabiti varsa A(a_n,k) matrisi hemen hemen artan (azalan) satırlara sahiptir denir.

4.4.2 Tanım: A(a_n,k) negatif öğesi olmayan regüler bir sonsuz alt üçgensel matris olmak üzere T A

 

f

n ) ( matris dönüşümü

 

( ):

 

( ) 0 , ) ( x f S a x f T _k n k k n A n



  şeklinde tanımlanır.

Özel halde,

 

p_n _n0 pozitif sayıların bir dizisi olmak üzere

n k n k n P p a _,   ise

 

( ) ) ( x f T_nA N_n

 

f (x) olur.

4.4.3 Lemma: A(a_n,k) ve 0 1 olsun. Eğer

(i) A hemen hemen azalan satırlara sahip ve (n1)a_n,0 O(1),

(ii) A hemen hemen artan satırlara sahip ve r

 

n/2 ve sn(A)1O(n) olmak üzere (n1)a_n,r O(1)

şartlarından biri sağlanıyorsa

) ( , 1      _



k a_nk O n n k . (4.9)

33 Ġspat: (i) sağlansın. Bu durumda

) ( 1 1      _



k O n n k ve k 1,2,... için a_n,k ca_n,0 olduğundan k n n k a k _, 1



 



   n k n k ca 1 0 ,          1 1 n O O(n1) O(n1)

elde edilir. Şimdi (ii) durumunu ele alalım. Bu durumda k 1,2,... için

r n k n ca a _,  _, ve s_n(A)1 O(n) olduğundan k n n k a k , 1



  _



_   k n r k a k , 1  k n n r k a k , 1



   



   r k r n k ca 1 ,  _  ) 1 (r



  n r k k n a 1 , 



   n k r n k ca 1 ,  _  ) 1 (r



 n o k k n a _,

34         1 1 n O O(n1) O(n) s_n( A) O(n).

4.4.4 Teorem: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı, 01, f Lip(



)_M,,

M M A A _{ }



 _1/  _1/ ve A(a_n,k), ) ( 1 ) (    n O

snA şeklinde regüler bir alt üçgensel matris olsun.

(i) A hemen hemen azalan satırlara sahip ve (n1)an,0 O(1),

(ii) A hemen hemen artan satırlara sahip ve r

 

n/2 olmak üzere (n1)an,r O(1) koşullarından biri sağlanıyorsa

 

 

    T f O n f M A n _, ) ( olur. Ġspat: T_n(A)

 

f tanımından T_n(A)

 

f (x) f(x)

 

( ) ( ) 0 , S f x f x a _k n k k n  





 

( ) ( ) 0 , S f x f x a _k n k k n  



 ) ( ) ( x f s_nA  s_n(A)f(x)



 

( ) ( )



0 , S f x f x a k n k k n  







s(nA)1



f(x)  .

35

Böylece (4.2) ile (4.9) dan ve sn(A)1O(n) olduğundan

 

_ , ) ( M A n f T f 

 

_, 0 , k _M n k k n S f f a  





 

_, 0 0 , _M n S f f a    sn(A)1 f _{M, nk} n k a k _, 1



    _        1 1 n O O(n) O(n).

4.4.5 Teorem: LM_ , Boyd indisleri 0



_M 



_M 1 şeklinde bir ağırlıklı Orlicz uzayı, f Lip(1)M,_,



A1/_M A1/_M ve A(an,k), 1 ( )

1 ) (    n O s_nA

şeklinde regüler bir alt üçgensel matris olsun. Eğer

(i)



    1 1 , 1 , n k k n k n a a O

 

n1 (ii)



     1 1 , 1 , ) ( n k k n k n a a k n O

 

1

koşullarından biri sağlanıyorsa

 

 

1 , ) (   T f O n f M A n _ olur. Ġspat: (4.2) den

 

_ , ) ( M A n f T f   f Sn

 

f _M,

 

 

_ , ) ( M A n n f T f S  

36

 

 

 , ) ( M A n n f T f S   

 

1 n O . Böylelikle

 

 

_ , ) ( M A n n f T f S  O

 

n1 (4.10) olduğunu gösterirsek ispat biter. A_n,k:



 n k m m n a _, olsun. Bu durumda

 

( ) ) ( x f T_nA



 

  n o k k k n S f x a , ( )



  n o k k n a ,

 

     



 k m m f x A 0 ) (

 

         n o k n k m m n a _, A_m

 

f (x)

 

( ) 0 , A f x A _k n k k n



  . Diğer taraftan

 

f (x) S_n



 

  n k k f x A 0 ) (



 

  n k k n A f x A 0 0 , ( )



 

  n k k n A f x A 0 0 , ) ( ) 1 (



 

  n k k n A f x A 0 0 , ( ) (1 ) ) ( A n s  S_n

 

f (x). Böylece

 

( ) ) ( x f T_nA Sn

 

f (x)







 

   n k k n k n A A f x A 1 0 , , ( ) ( 1) ) (A  n s Sn

 

f (x)

olur ve kısmi toplamlar dizisinin sınırlılığından

 

 

_ , ) ( M A n n f T f S 





 

 , 1 0 , , M n k k n k n A A f A



    sn(A)1 f _M, (4.11)

37





 

 , 1 0 , , M n k k n k n A A f A



   

 

1 n O

elde edilir ve iş





 

 , 1 0 , , M n k k n k n A A f A



  

 

1 n O (4.12)

olduğunu göstermeye kalır.

k A A

b_n,k: n,k  n,0 , k 1,2,...,n

olarak alalım. Abel dönüşümünden







 

  n k k n k n A A f x A 1 0 , , ( )



 

  n k k k n A f x kb 1 , ( )



 

  n m m n n mA f x b 1 , ( ) ( , 1) 1 1 ,   



  nk n k k n b b

 

     

_

 k m m f x mA 1 ) (

elde edilir. Buradan





 

 , 1 0 , , M n k k n k n A A f A



   b_n,n

 

 , 1 ) ( M n m m f x mA







     1 1 1 , , n k k n k n b b

 

_      



1 ,_ ) ( M k m m f x mA . (4.3) ü göz önüne alırsak

38

 

 , 1 ) ( M n m m f x mA



 ) 1 (   n Sn

 

f n

 

f _M, (n1)

 

1  n O O

 

1 . Bu ve bir önceki eşitsizlikten





 

 , 1 0 , , M n k k n k n A A f A



  O

 

1 b_n,n

 



     1 1 1 , , 1 n k k n k n b b O (4.13)

elde edilir. s_n(A)1O

 

n1 olduğundan

n n b_, n A A_n,n  _n,0  n s a_n,n  _n(A)  (4.14) n 1 



A _nn



n a s( ) _, 1s_n(A) n  1O

 

1 n  _

 

1 n O olur. Bu durumda



    1 1 1 , , n k k n k n b b O

 

n1 (4.15) olduğu gösterilmelidir. Basitçe görülebilir ki;

1 , ,k  nk n b b ) 1 ( 1   k k       



 k o m m n k n a a k 1) _{, ,} ( .

Önce (i) koşulunu ele alalım.





   1 1 , 1 , n k k n k n a a O

 

1 olsun. Tümevarımdan n k 1,2,..., için