Gıdaların Donma Zamanları İle İlgili Modellerin Matematiksel Analizi

STANBUL TEKN K ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ

GIDALARIN DONMA ZAMANLARI LE LG L MODELLER N MATEMAT KSEL ANAL Z

YÜKSEK L SANS TEZ

G da Müh. Senem UMUT 506031512

HAZ RAN 2007

Tezin Enstitüye Verildi/i Tarih : 7 May s 2007 Tezin Savunuldu/u Tarih : 8 Haziran 2007

Tez Dan 4man : Pof. Dr. Y. Onur DEVRES Di/er Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Özgül EVRANUZ

ÖNSÖZ

Yüksek lisans tez çal mam s ras nda beni yönlendiren, yard m ve deste ini esirgemeyen de erli hocam Prof. Dr. Y. Onur DEVRES’e te ekkürlerimi sunar m. E itimimde eme i geçen tüm hocalar ma ve (TÜ G da Mühendisli i Ailesi’ne te ekkürlerimi sunar m.

Mersin Üniversitesi G da Mühendisli i Bölümü’nde yapt m ara t rmalar s ras nda yard mlar n esirgemeyen Doç. Dr. Ferruh Erdo du’ya ve konukseverliklerinden ötürü ba ta Bölüm Ba kan Prof. Dr. Mahir TURHAN olmak üzere tüm bölüm çal anlar na te ekkürlerimi sunar m.

Dr. Rodolfo H. Mascheroni ve Dr. Viviana O. Salvadori’ye aram zdaki mesafelere ra men yapt klar yard mlar için te ekkürlerimi sunar m.

Eclipse kullanmamda ilk ad mlar atmama te vik ve yard m ederek Java Applet uygulamalar yazarken yükümü hafifleten ve hatalar m daha kolay görmemi sa layan Altu Bilgin ALTINTA7’a te ekkür ederim.

Tez çal mam s ras nda benimle beraber geçirdikleri yorgun saatler ve cesaretimin hiç k r lmamas ad na verdikleri manevi destekleri için 7erici im’e ve Mini Teyze’ye çok te ekkür ederim.

Hayat ya anabilir k lan ve hep varl klar n yak n mda hissetmek istedi im arkada lar m Songül ve Özge’ye; “ütü” Banu ve Denizci im’e, az zamanda “çok” olan “çikolu pastam” Deryac m’a; neredeyse bir yar ömrü beraber geçirdi im ve kalan nda da yan mda olmas n diledi im Asl ve nice 5,5’lar umut etti im, geni zamanlardaki olabilirlikleriyle sevgili Çide’me te ekkür ederim.

Tüm hayat m boyunca bana destek olan “Umut”lar sevgili anneci ime ve babac ma çok te ekkür ederim.

Ç NDEK LER

Sayfa No

TABLO L STES v

?EK L L STES vi

SEMBOL L STES vii

ÖZET x SUMMARY xii

1. G R ? 1

2. L TERATÜR ÖZET 3

2.1. Donma ( lemi 3

2.1.1. Donma süresi tan m 3

2.1.2. Donma i leminin termodinami i 4

2.2. Donma Zaman Tahmin Yöntemleri 6

2.2.1. G dalar için tek a amal donma zaman tahmin yöntemleri 8

2.2.1.1. Plank e itli i 8

2.2.1.2. Plank e itli inin modifikasyonlar ile elde edilen e itlikler 13 2.2.1.3. Deneysel yöntemler kullan larak elde edilmi e itlikler 25 2.2.2. G dalar için iki a amal donma zaman tahmin yöntemleri 26

2.3. Java 29 2.4. MATLAB 31 3. MATERYAL VE METOT 32 3.1. Java Programlar 32 3.1.1. Plank s n f 33 3.1.2. Rjutov s n f 34 3.1.3. Nagaoka1955 s n f 34 3.1.4. Levy1958 s n f 34 3.1.5. Cowell1969 s n f 34 3.1.6. Backstrom1970 s n f 35 3.1.7. Mellor1976 s n f 35 3.1.8. ClelandveEarle7779 s n f 35 3.1.9. HungveThompson s n f 36 3.1.10. ClelandveEarle84 s n f 35 3.1.11. ClelandveEarleHungDuzenlemesi s n f 36 3.1.12. Pham1984 s n f 36 3.1.13. IRR1986 s n f 37 3.1.14. Pham1986 s n f 37 3.1.15. LacroixveCastaigne s n f 37 3.1.16. SalvadoriveMascheroni1991 s n f 38

3.1.17. LopezveHallstrom s n f 38 3.1.18. ClelandveEarleSekilFaktoru1982 s n f 38 3.1.19. ClelandveEarleSekilFaktoru1987 s n f 38 3.1.20. HossainSekilFaktoru s n f 39 3.1.21. IlicaliSekilFaktoru s n f 39 3.1.22. PveR s n f 39 3.1.23. Ambalaj s n f 39 3.1.24. TermalOzellik s n f 40 4. SONUÇLAR VE TARTI?MA 41 5. SONUÇLAR VE ÖNER LER 51

KAYNAKLAR 55

EKLER 58

TABLO L STES

Sayfa No Tablo 2.1 :Geometrik 7ekiller (çin P ve R Sabitleri....………..………. 11 Tablo 2.2 :P2ve R2De erleri (çin E itlikler…..………. 15 Tablo 2.3 :Donma Süresi Tahmin Yöntemindeki De i ken Tan mlamalar ...… 18 Tablo 2.4 :Sonsuz Düzlemin Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin

E itlikleri………... 21 Tablo 2.5 :Sonsuz Silindir Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin

E itlikleri………... 22 Tablo 2.6 :Küre Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin E itlikleri………. 22 Tablo 2.7 :Geometrik 7ekiller (çin P4ve R4Sabitleri...……….. 24 Tablo 2.8 :Salvadori ve Mascheroni Donma Zaman Tahmin Yönteminde

Kullan lan Parametreler…………...……….. 26 Tablo 2.9 :7ekil Faktörü Hesaplamak (çin Geometrik Katsay lar……….. 28 Tablo 2.10:Çok Boyutlu Düzenli 7ekillerde E Hesaplanmas (çin Asimptotik

Formüller………... 29

Tablo 4.1 :On Alt Yar -Analitik/Amprik Yöntem Kullan larak Hesaplanan Donma Süreleri ile Deneysel Verilerden Elde Edilen Donma

Sürelerinin Kar la t r lmas ………... 42 Tablo 4.2 :On Alt Yar -Analitik/Amprik Yöntem Kullan larak Hesaplanan

Donma Süreleri ile Deneysel Verilerden Elde Edilen Donma

Süreleri Aras ndaki Farklar n Standart Sapmalar .……….... 43 Tablo A.1 :Donma Zaman Hesaplama E itlikleri…..……… 58 Tablo D.1 :Levha 7eklindeki Karlsruhe Deney Materyalinin Deneysel Donma

Süreleri………... 82 Tablo D.2 :Levha 7eklindeki G dalar n Deneysel Donma Süreleri………. 83 Tablo D.3 :Levha 7eklindeki Çe itli G dalar n Deneysel Donma Süreleri……. 84 Tablo D.4 :Levha 7eklindeki Karlsruhe Örne inin Deneysel Donma Süreleri... 85 Tablo E.1 :Donma Deney Materyallerinin Termo-Fiziksel Özellikleri………... 86

?EK L L STES

Sayfa No ?ekil 2.1 :Saf Suyun ve Tek Bir Çözünen (çeren Sulu Bir Çözeltinin

Donma E rilerinin Kar la t r lmas ……….. 5

?ekil 2.2 :Donma S ras ndaki S cakl k Profili..………... 8

?ekil 2.3 :Dikdörtgenler Prizmas (çin P ve R De erleri...……….. 12

SEMBOL L STES

A : Is transferinin gerçekle ti i yüzey alan (m2) Bi : Biot say s , Bi=hd/k c Bi : Biot say s , Bi_c =hl/k_c d Bi : Biot say s , Bi_d =hd/k_d l Bi : Biot say s , Bi_l =hl/k ls Bi : Biot say s , Bi_ls =hl/k_s s Bi : Biot say s , Bi_s =hd/k_s c

C :

(

T_d +T_c

)

/2 S cakl ndaki donmu g dan n hacimsel özgül s s (kJ/(m3.°C))

d

C : Donmu haldeki g dan n hacimsel özgül s s (kJ/(m3.°C)) l

C : Donmam faz n hacimsel özgül s s (kJ/(m3.°C)) p

C : Hacimsel özgül s (kJ/(m3.°C)) s

C : Donmu faz n hacimsel özgül s s (kJ/(m3.°C))

d : Karakteristik uzunluk, termal merkezden yüzeye olan en k sa mesafenin iki kat ; levha kal nl veya küre veya silindirin çap (m)

D : Cowell e itli inde bir parametre, D=P E : E de er s transfer boyutudur (EHTD)

f : Is yay l m e risinde logaritmik olarak bir art periyodu için geçmesi gereken süre (s)

Fo _{: Fourier say s , Fo= t/ d}2

s

Fo : Fourier say s , _{Fo t/ d}2

s s =

G : Cowell e itli inde bir parametre, G=R/P h : Yüzey s transfer katsay s (W/m2.°C)

j : Is yay l m e risinin y-eksenini kesti i nokta k : G da maddesinin s iletkenlik katsay s (W.°C)

c

k :

(

T_d +T_c

)

/2 S cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s (W.°C)

d

k : Tamamen donmu g da maddesinin s iletkenlik katsay s (W.°C) r

k : Ortalama s iletkenlik katsay s (k_s +k_c)/2, (W.°C) s

k : Donmam g dan n s iletkenlik katsay s Ko : Kossovitch say s ,1/Ste

l : Termal merkezden yüzeye en k sa mesafe; yar m levha kal nl veya küre veya silindirin yar çap (m)

L : Hacimsel gizli s (J/m3) P : Plank ekil faktörü

Pk : Plank say s ; Pk =C_l

(

T_i T_d

)

/ H

1

Q : Ön so uma s ras ndaki uzakla t r lan s

2

Q : Faz de i imi s ras ndaki uzakla t r lan s

3

Q : Son so uma s ras ndaki uzakla t r lan s R : Plank ekil faktörü

Ste : Stefan say s Ste=C_s

(

T_d T_c

)

/ H t : Süre (s)

plank

t : Plank e itli ine göre hesaplanm donma süresi (s) T : G dan n x /lkonumundaki s cakl

c

T : Donma çevre s cakl (°C) d

T : G dan n donma ba lang ç s cakl (°C) i

T : G dan n ilk s cakl (°C) s

T : Is l merkezin son s cakl od

T : Donma ba lang ç s cakl n n 1.5K a a s nda oldu u kabul edilen ortalama donma noktas

os

T : Ortalama son s cakl k ref

T : Donma i leminin bitti i referans s cakl k (°C) y

T : G dan n yüzey s cakl (°C)

X : G dan n merkezine olan uzakl k koordinat , (m) V : G da maddesinin hacmi

H : Hacimsel entalpi de i imi (kJ/m3)

10

H : Donma ba lang ç s cakl T_dve -10 °C aras ndaki hacimsel entalpi de i imi (J/m3)

18

H : Donma ba lang ç s cakl T_dve -18 °C aras ndaki hacimsel entalpi de i imi (J/m3)

s d

H : Donma ba lang ç s cakl ndan son s cakl a kadar olan toplam entalpi de i imi (J/m3)

'

d

H : Nagaoka ve di . taraf ndan geli tirilen e itlikte yer alan toplam entalpi de i imi (J/m3)

p

H : Prosesteki toplam entalpi de i imi (J/m3) : Is l difüzivite katsay s (m2/s)

r : Ortalama s l difüzivite katsay s ( s + c)/2, (m 2_/s) s : Donmam g dan n s l difüzivite katsay s , (m

2_/s)

c :

(

Td +Tc

)

/2 S cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s , (m2/s)

1 : En uzun kenar n en k sa kenara oran 2 : (kinci uzun kenar n en k sa kenara oran

Alt indisler :

1 : Ön so uma

2 : Faz de i imi

GIDALARIN DONMA ZAMANLARI LE LG L MODELLER N MATEMAT KSEL ANAL Z

ÖZET

Donma, en önemli g da muhafaza yöntemlerinden biridir ve bu sebeple dünyada yayg n olarak kullan lan endüstriyel bir i lem olmu tur. Donma süresi, g dan n birçok kalite karakteristi ini ve bunun yan s ra i lem maliyetini de etkilemektedir. Optimal bir g da donma i lemi tasarlamak ve dondurulmu g dan n besinsel de erini ve kalitesini maksimum düzeyde tutmak için donma süresinin tahmin edilmesi gerekmektedir. Donma zaman n n tahmin edilebilmesi için birçok yöntem geli tirilmi tir. Genel olarak donma zaman tahmin yöntemleri amprik yöntemler ve say sal yöntemler olarak iki kategori alt nda analiz edilebilmektedirler. Bu çal ma g dalar n donma zamanlar n tahmin etmede kullan lan yar -analitik/amprik yöntemler üzerine odaklanmaktad r.

Bu çal man n amac , donma zaman modellerinin matematiksel olarak analiz edilerek kar la t r lmas ve ki isel kullan ma sunulmak için bir bilgisayar program na uyarlanmas d r. Kullan c dan i lem ko ullar ve dondurulmak istenen g dan n s l özellikleri girdisi al narak, geli tirilen formüller yard m yla, donma zaman n hesaplayan, kullan c -dostu bir java program yaz lm t r. Java programlama dili kullan larak yaz lan ve HTML sayfas içerisine yerle tirilip web taray c lar nda çal t r lan küçük Java uygulamalar olan appletlerin geli tirilmesinde Eclipse Platform Versiyon 3.0.2 kullan lm t r. Donma süresini hesaplayan 17 e itlik, g dalar n donma süresini e de er boyuta sahip levha eklindeki g da ile ili kilendirilmesi yoluyla hesaplayan dört ekil faktörü e itli i, istenen bir s cakl kta

s l özellikleri, ambalajl g dalarda ta n m s transfer katsay s n ve dikdörtgenler prizmas eklindeki g dalarda P ve R geometrik faktörleri hesaplayan e itlikler appletlere uyarlanm t r.

Bu çal mada, geni yelpazedeki ortam ko ullar nda, farkl g da materyalleri ile yap lan deneylerden elde edilen donma zamanlar literatürden derlenmi ve çe itli yar -analitik/amprik tahmin yöntemleri kullan larak hesaplanan süreler ile kar la t r lm t r.

Plank, Rjutov, Nagaoka ve di ., Levy, Cowell, Bäckström, Mellor, Cleland ve Earle, Pham, Hung ve Thompson, Uluslar Aras So utma Enstitüsü (IIR), Lacroix ve Castaigne, Salvadori ve Mascheroni, López-Leiva ve Hallström taraf ndan geli tirilen e itlikler kullan larak Cleland ve Earle, Hung ve Thompson’dan derlenen deneysel olarak ölçülen donma süresi verileri ile kar la t rmak üzere levha, silindir ve küre eklindeki g dalar n donma süreleri hesaplanm t r. Bu e itlikler içerisinde

Plank e itli i kullan larak hesaplanan süreler %34.3 deneysel sonuçlardan farkl l k göstererek do rulu u en az olan sonuçlar vermi tir. López-Leiva ve Hallström (%32.3 fark), Bäckström (%30.4 fark), Uluslar Aras So utma Enstitüsü (%26.4 fark), Rjutov (%22.4 fark) ve Mellor (%20.5 fark) taraf ndan geli tirilen e itliklerden elde edilen donma süreleri ile deneysel donma süreleri aras nda tatmin edici olmayan farklar bulunmu tur. Hung ve Thompson (%15.9 fark), Levy (%12.3 fark), Nagaoka ve di . (%10 fark), Cowell (%9.6 fark), Salvadori ve Mascheroni (%6.9 fark), Lacroix ve Castaigne (%6.7 fark) ve Pham (%5.6 ve %5.8 fark) taraf ndan geli tirilen e itliklerden elde edilen sonuçlar kabul edilebilir düzeydedir. Tüm e itlikler içerisinde Cleland ve Earle (%4.6) e itli i kullan larak ula lan sonuçlar maksimum do rulukta olmu tur.

Plank, Uluslar Aras So utma Enstitüsü, López-Leiva ve Hallström taraf ndan geli tirilen yöntemler d ndaki di er tüm yöntemler farkl ba lang ç s cakl klar için kullan labilmektedir. Cleland ve Earle’ün yöntemi, e itliklerdeki katsay lar n ürün son s cakl -10°C olacak ekilde yap lan donma deneyleri sonucuna dayand ndan, ürünün son s cakl n n -10°C olmas ile s n rlay c bir faktöre sahiptir. Son s cakl n farkl oldu u durumlarda formülün daha iyi sonuç vermesi amac yla e itlik modifiye edilmi ve son s cakl n -10°C’den farkl oldu u durumlarda e itli in modifiye edilmi hali kullan lm t r. Ancak, modifiye edilmi e itlik kullan larak hesaplanan de erler Hung ve Thompson’ n son s cakl n -18°C olarak al nd deneysel verileri ile kar la t r ld nda (%7), kendi verileri ile elde edilen sonuçlara (%3.3) göre daha az do rulukta de erler verdi i gözlenmi tir.

16 yöntem birbiri ile kar la t r ld nda kuvvetli ve zay f yönleri görülmektedir. Yöntemlerdeki zay f yönler gelecekte yap lacak çal malar ile modifiye edilebilir. Kullan l bir donma zaman tahmin yönteminin tüm deneysel verilere uygun, kullan m n n kolay ve farkl ba lang ç ve biti s cakl klar gibi çe itli ko ullar ve farkl s l özellikler için geçerli olmas gerekmektedir. Gelecekte yap lacak çal malar n, ürünün farkl son s cakl klara kadar so utulmas n n hesaba kat ld deneysel çal malara, düzgün ekillilerin yan s ra düzgün olmayan farkl ekillerdeki g dalar n, farkl i lem ve çal ma ko ullar nda donma sürelerinin hesaplanabilmesi için basitle tirilmi e itlikler geli tirilmesine olan ihtiyaçlar kar lamas beklenmektedir.

MATHEMATICAL ANALYZING OF FOODSTUFF FREEZING TIME PREDICTION MODELS

SUMMARY

Freezing is the one of the most important methods in food preservation so has become a widespread industry in the world. Many quality characteristics of foodstuffs as well as operating costs are influenced by freezing time. In order to design a food freezing process to be optimal and frozen foodstuff’ nutritional value and quality to be maximized, it is necessary to estimate the freezing time. Many methods have been proposed to predict the freezing time. In general, the freezing time prediction methods can be analyzed in two categories as analytical methods and numerical methods. The following study focuses on semi-analytical/emprical methods used in predicting the freezing time of foodstuffs.

The aim of this study is mathematically analyzing the foodstuff’ freezing time prediction methods and adapting them to a computer program for making available by public. A user-friendly Java programs are written which compute the freezing time, depending of the each formula developed, by taking user input on the conditions of the process and the thermal properties of the food materials to be frozen. Eclipse Platform Version 3.0.2 is used for developing the applets which are Java programs that are embedded in a Web page. In this study, numerical calculations are adapted to applets such as 17 equations computing the freezing time, 4 shape factor equations which are used for calculating the freezing time of foods by making relation with slab shaped food having equivalent dimension, and equations that can be used for calculating food thermal properties at the specific temperature and surface heat transfer coefficient of packed foods and P and R geometric factors of brick shaped foods.

In this study, experimental measurements of the freezing times which were made over a wide range of conditions using different food materials were collected from the literature and were compared to freezing times calculated from various available semi-analytical/emprical prediction methods.

Formulas derived by Plank, Rjutov, Nagaoka et al., Levy, Cowell, Bäckström, Mellor, Cleland and Earle, Pham (1984 study), Hung ve Thompson, International Institute of Refrigeration (IIR), Lacroix and Castaigne, Salvadori and Mascheroni, López-Leiva and Hallström are used for calculating the freezing time of slabs, cylinders and spheres for comparing to results with experimentally measured

them the results calculated from Plank equation gave the less accurate freezing time with 34.3% difference between the predicted and the experimental. The methods by López-Leiva and Hallström (32.3% difference), Bäckström (30.4% difference), International Institute of Refrigeration (26.4% difference), Rjutov (22.4% difference), Mellor (20.5% difference) gave unsatisfactory results. An acceptable outcomes gained by the formulas developed by Hung and Thompson (15.9 difference), Levy (12.3% difference), Nagaoka et al. (10% difference), Cowell (9.6% difference), Salvadori and Mascheroni (6.9% difference), Lacroix and Castaigne (6.7% difference), Pham (1984 study) (5.6% difference) and Pham (1986 study) (5.8% difference). Results obtained from Cleland and Earle (4.6% difference) gave the maximum accuracy over all.

Except Plank, International Institute of Refrigeration and López and Hallström methods all other methods are applicable to different initial temperature with high accuracy. Cleland and Earle’s method has a limiting factor that they obtained their coefficients used in their formula from the experiments done until the final product temperature is reached -10°C. Although they modified their equation to perform better when applying to situations with different final temperature, the modified version gave poor accuracy (7.0% difference with experimental data obtained from Hung and Thompson which accounted the final temperature as -18°C) comparing the results (3.3% difference) obtained from using their own experimental data.

The comparison of the 16 methods shows the strengths and weakness of them which might highlight future research to strengthen them by modifying their weakness. As expected a useful freezing time prediction method is the one which can fit all available data, simple to use and be valid for a range of conditions like different initial and final temperatures, different thermal properties. Future research might be expected to meet the needs for experimental data in which varied final product temperature is accounted, to develop simpler equations for different shapes, irregular ones as well as the regular, and for different operating and process conditions.

1. G R ?

Son y llarda birçok ülkede dondurulmu g da tüketimi yüksek seviyelere ula m t r. G da maddelerinin muhafazas , dondurma i leminin en önemli uygulama alanlar ndan biri olup, donma prosesinin uzun süreli muhafaza sa lamas , di er muhafaza yöntemlerine göre g dan n duyusal niteliklerinin ve besleyici özelliklerinin i lem s ras nda korunmas nda daha etkili olmas , g da endüstrisinde kullan m n yayg nla t rm t r (Becker ve Fricke, 1999; Singh ve Heldman, 2001). Donma prosesi, g dan n s cakl dü ürülerek g dada mevcut bulunan suyun büyük bir k sm n n buza çevrilmesi esas na dayanmaktad r (Delgado ve Sun, 2001). G dalar n dondurulmas n n mikroorganizma ve enzimlerin aktivitesini azaltt , hücre metabolik reaksiyonlar n ve bunlara ba l olarak bozulma reaksiyonlar n yava latt bilinmektedir (Delgado ve Sun, 2001). Ayr ca suyun kristalle mesi sonucu g dada s v halde bulunan su miktar n n azalmas da mikrobiyal geli menin önüne geçilmesini sa layan di er önemli faktördür (Becker ve Fricke, 1999).

G da dondurma prosesinin uygun bütçeyle gerçekle tirilebilmesi, so utma ekipman n n optimum ko ullar yerine getirecek ekilde tasarlanmas n gerektirmektedir (Becker ve Fricke, 1999). Donma sistemi için gereksinimleri tahmin etmek, etkin ve optimum ko ullar n gerçekle ti i bir proses için gerekli ekipmanlar tasarlamak, g dalar n so uma ve donma sürelerinin tahmin edilmesi ihtiyac n n duyulmas na sebep olmu tur (Delgado ve Sun, 2001; Becker ve Fricke, 1999). Enerji tüketimini minimize etmek ve kaliteli ürün elde edilmesini sa lamak da donma süresi tahminini gerektiren, göz önünde tutulan di er sebepler aras nda yer almaktad r (Delgado ve Sun, 2001; Salvadori ve di ., 1997).

G dalar n donma zaman n tahmin edebilmek için çe itli yöntemler önerilmi olup (Becker ve Fricke, 1999; Cleland ve Earle, 1977a, 1977b, 1979a, 1979b, 1982, 1984, 1987; Delgado ve Sun, 2001; Heldman ve Singh, 1989; Hung ve Thompson, 1983; Ilicali ve di ., 1999; Lacroix ve Castaigne, 1987a, b, 1988, LeBlanc ve di ., 1990; López-Leiva ve Hallström, 2003; Pham, 1984, 1986; Salvadori ve Mascheroni, 1991) donma süresini tahmin etmede kullan lan modeller bir dizi kabule dayanan basit amprik e itliklerden say sal yöntemlere çok geni bir yelpazede yer almaktad r (Delgado ve Sun, 2001).

Bu çal man n amac , donma zaman modellerinin matematiksel olarak analiz edilerek kar la t r lmas ve kullan c dostu bir bilgisayar program yordam yla ki isel kullan ma sunulmas d r.

Donma zaman n n tahmin edilebilmesi amac yla geli tirilmi yar -analitik/amprik e itlikler, gerekli düzenlemeler yap larak bilgisayar ortam na aktar lm ve kullan c dan al nan veriler ile donma süresinin hesaplanmas n sa layan java applet uygulamalar yaz lm t r.

Literatürdeki çe itli ekillerdeki g da maddeleri için, farkl ortam ko ullar nda gerçekle tirilmi donma deney sonuçlar ndan elde edilen donma süreleri derlenerek, bugüne kadar geli tirilmi ba nt lar n kullan lmas yla hesaplanan donma süreleri ile kar la t r lm t r.

2. L TERATÜR ÖZET

2.1 Donma 4lemi

Donma i leminin gerçekle ti i zaman dilimi ön so uma, faz de i im periyodu ve temperleme faz olarak da adland r lan son so uma olmak üzere üçe ayr labilir. G dan n ba lang ç s cakl ndan donma noktas na so utuldu u süreç ön so uma a amas d r. G da maddesinde mevcut donabilen su, belirli s cakl k aral nda yer alan faz de i im periyodunda kristalize olmaktad r. Donma sonras g dan n son s cakl na ula mas için geçen evre son so uma olarak belirtilmektedir (Delgado ve Sun, 2001; López-Leiva ve Hallström, 2003). G da içindeki su saf halde olmad ndan dolay su-buz hal de i imi kademeli gerçekle mekte ve bu nedenle üç periyodun kesin s n r tam olarak belirlenemeyebilmektedir (López-Leiva ve Hallström, 2003).

2.1.1 Donma süresi tan m

Ürün içerisindeki s cakl k da l m donma prosesi s ras nda de i im gösterdi inden donma süresi ölçüm yap lan pozisyona göre tan mlanmal d r. Genellikle s cakl k de i iminin en yava gerçekle ti i bölge olan s l merkez referans olarak al nmaktad r (Delgado ve Sun, 2001). Is l merkez gelmesi istenen s cakl a geldi inde ya da belirli bir kütle ortalama s cakl na ula ld nda donma prosesinin tamamland belirtilebilmektedir (Delgado ve Sun, 2001; López-Leiva ve Hallström, 2003). Kütle ortalama s cakl n kullanman n dezavantaj ortalama y n s cakl n n ölçülmesinin veya çok say da s cakl k verisi olmadan pratikte tahmin edilmesinin zor olmas d r. Bu nedenle donma süresi tan m yap l rken genellikle en yava so uyan noktan n ( s l merkez) belirli bir s cakl a eri mesi dikkate al nmaktad r (Delgado ve Sun, 2001). Uluslar Aras So utma Enstitüsü son s cakl k olarak g dan n s l merkezindeki s cakl n kabul edilmesini tavsiye etmektedir

(López-Leiva ve Hallström, 2003).

Donma süresi için nominal ve efektif donma süresi olmak üzere iki tan mlama belirtilmektedir. Nominal donma süresi, belirli boyutlara sahip, ba lang ç s cakl tekdüze ve 0ºC olan bir ürünün s l merkezinin donma ba lang ç s cakl n n 10ºC alt na gelmesi için geçmesi gereken süredir. Bir di er tan m ise efektif donma süresi veya standart donma süresi olarak da bilinen bir ürünün s l merkezinin ilk s cakl k de erinden istenen son s cakl k de erine dü ürülmesi için gerekli toplam süredir. (lk tan m buz olu umu için geçen süreyi dikkate ald için ürün kalitesi ile ilgilidir, ikinci tan m ise ürünün ekipman içerisinde kald toplam süreyi içermektedir. Ço u yöntem ve literatür donma süresi tahmininde efektif donma süresini kullanmaktad r. Son merkez s cakl olarak -5ºC, -10ºC, -18ºC de erleri kullan labilmektedir. Is l merkezin olmas istenen son s cakl k de eri belirlenirken tüm gizli s n n o s cakl n üstünde bir s cakl kta uzakla t ndan emin olunmas yerinde bir tercih olacakt r. Birçok çal mada -10ºC s cakl k, o de erde donma i lemi ile ilgili yay nlanm veri çoklu u göz önüne al narak, son merkez s cakl olarak seçilmektedir (Delgado ve Sun, 2001).

2.1.2 Donma i4leminin termodinami/i

G dan n donmas karma k bir i lemdir. Saf suyun donmas na göre daha karma k olmas n n önde gelen sebebi, g da içerisinde mevcut suyun bir anda, tek bir s cakl kta de il bir s cakl k aral nda donmas d r (Pham, 2002).

Donma öncesinde g dan n mevcut bulundu u ilk s cakl ktan donma ba lang ç s cakl na dü ürülmesi için görünür s n n uzakla t r lmas gereklidir. G dan n donmaya ba lad ilk s cakl k, g dada çözünmemi maddeler bulunmas dolay s yla saf suyun donma s cakl ndan farkl bir s cakl kt r (Becker ve Fricke, 1999). 7ekil 2.1’de saf suyun ve tek bir çözünen içeren sulu bir çözeltinin donma e rileri gösterilmektedir (Heldman ve Singh, 1989).

Donma s ras nda her türde g daya göre karakteristik olan T donma s cakl nda buz _d formasyonu olu maya ba layarak geni bir s cakl k aral nda bu olu um devam eder (Salvadori ve di ., 1997). G da içerisinde bulunan suyun bir k sm n n donma ba lang ç s cakl nda kristalize olmas geri kalan çözeltinin konsantrasyonunun artmas n sa lar ve bu donma s cakl n n dü mesine sebep olur (Becker ve Fricke, 1999; López-Leiva ve Hallström, 2003). S cakl k dü tükçe buz kristali olu umu ve çözeltideki çözünmemi k sm n konsantrasyonu artar ve bu durum donma noktas n n daha da dü mesine sebep olur. Sonuç olarak donma prosesinde donmu g da içerisindeki buz ve su fraksiyonlar n n s cakl a ba l oldu u aç kt r. Buz ve s v haldeki suyun termofiziksel özellikleri farkl oldu u için donmu g da maddesinin özellikleri de s cakl a ba l olarak de i im göstermektedir. Faz de i iminin tek s cakl kta gerçekle memesi, buz ve s v haldeki suyun termofiziksel özelliklerinin farkl olmas g dan n karakteristik fiziksel özelliklerinde (\, Cp, k) s cakl a ba l olarak önemli ve sürekli bir de i ime neden olur. Bu sebepten ötürü donma ko ullar nda prosesin süresini tahmin etmek için kesin, genel bir analitik çözüm mevcut de ildir (Becker ve Fricke, 1999; Salvadori ve di ., 1997).

?ekil 2.1: Saf Suyun ve Tek Bir Çözünen (çeren Sulu Bir Çözeltinin Donma E rilerinin Kar la t r lmas (Heldman ve Singh, 1989)

Teorik olarak g dan n donmas a a da gösterilen Fourier’in s iletim e itli i ile tan mlanabilmektedir. + + = z T k z y T k y x T k x c t T 1 (2.1)

E itlikteki Ts cakl , t zaman , g dan n yo unlu unu, c g dan n özgül s s n , k g dan n s iletim katsay s n , x,y ve zkoordinat eksenlerini ifade etmektedir. (deal, düzgün ekilli, sabit termofiziksel özelliklere sahip, tekdüze ba lang ç ko ullar nda, d ko ullar n sabit oldu u, belirli yüzey s cakl veya ta n m s n r ko ullar nda g da maddeleri için Fourier e itli inden yola ç k larak donma süresini bulmay sa layacak kesin analitik çözümler yap labilmektedir. Ancak pratik donma prosesinde genellikle g dalar düzgün ekillerde de ildir. Ayr ca termofiziksel özelliklerin s cakl a ba l olarak de i mesinden ötürü donma süresini hesaplamak için kesin bir çözüm getirilemeyip baz kabuller yap larak yakla k analitik çözümler üretilmektedir (Cleland ve Earle, 1979a; Becker ve Fricke, 1999).

2.2 Donma Zaman Tahmin Yöntemleri

G da maddelerinin donma ve çözündürme sürelerini tahmin etmek için birçok yöntem geli tirilmi tir (López-Leiva ve Hallström, 2003). Donma i lemini tan mlayan yöntemler analitik, say sal ve deneysel olmak üzere üç ana grup alt nda toplanabilir (Delgado ve Sun, 2001).

Deneysel yakla mda üzerinde ara t rma yap lmas istenen i lem laboratuar ortam nda gerçe ine benzetilerek (simülasyon) veya pilot ölçekli olarak kurulur. Bu yakla m sistem performans hakk nda önemli veriler elde edilmesini sa larken elde edilen katsay lar, deney materyali ve i lem ko ullar na ba l oldu undan i lemin genelle tirilerek teorik olarak tarif edilebilmesinde yetersiz kalabilmektedir. Ancak analitik yöntemlerin do rulu unun kontrolü için olmazsa olmaz olarak da nitelendirilebilir (Delgado ve Sun, 2001).

G dalar n donma süreleri için say sal tahminler bilgisayar programlar yard m yla sonlu elemanlar veya sonlu farklar yöntemleri ile hesaplanabilmektedir. Say sal analiz yöntemlerinde, ürün küçük kontrol hacimlerine veya elemanlar na

bölünmektedir. Her bir kontrol hacmi veya eleman için s iletim e itli i yaz larak yüzlerce, binlerce veya baz zamanlarda milyonlarca e itlik seti olu turulmaktad r. Bu e itlikler daha sonra her bölgedeki s cakl n zamanla de i imini hesaplamak için çözülmektedir. Sonlu farklar yönteminde ürün düzgün bölümlere ayr larak s transfer e itlikleri yaz larak bilgisayar taraf ndan hesaplanmaktad r (Pham, 2002). Bu yöntem yaln zca dikdörtgenler prizmas , sonlu silindir, küre eklinde düzgün ekilli ve homojen g dalar için kullan labilmektedir. Sonlu elemanlar yöntemi kullan larak kompleks, düzgün ekilli veya homojen olmayan g da maddeleri için donma süresi hesaplanabilmektedir. Say sal analiz yöntemlerinin uygulanmas pratik de ildir. (ki veya üç boyutlu olarak haz rlanan simülasyonlar ile veri elde etmek ve bu verileri kullanmak oldukça zaman almakta ve kar k bilgisayar hesaplamalar gerektirmektedir (Hung ve Thompson, 1983; Pham, 2002). Ayr ca g da materyalinin

s l özelliklerinin s cakl a ba l olarak ölçümünün do ru olarak yap labilmesindeki güçlük, s transfer katsay s n n bölgesel olarak do rulu undaki üpheler ve bilgisayar kaynakl hesaplamalar için gerekli maliyet dikkate al nd nda say sal analiz yöntemlerinin kullan m n n s n rl oldu u görülmektedir (Cleland ve Earle, 1979b). Bu sebeple ara t rmalar n ço u basitle tirilmi e itlikler elde etmek için yar -analitik/amprik tahmin etme yöntemleri geli tirme üzerine yo unla maktad r (Becker ve Fricke, 1999).

Analitik yakla m fiziksel ilkelere dayanmaktad r (Delgado ve Sun, 2001). Yar -analitik/amprik donma süresi tahmini gerçekle tirme yöntemleri iki ana kategoride incelenebilir. (lk kategori g dan n ekline göre kurulmu ba nt lar direk kullanarak hesaplama yap lmas n sa larken yaln zca çal ma yap lm belirli ekillerde hesaplama yap labilmektedir. (kinci kategori, ilk önce sonsuz levha eklinde olan g dalar için kullan lan yöntemlerden birinin kullan m n da içeren iki ad ml çözüm yöntemini içermektedir (Becker ve Fricke, 1999).

2.2.1 G dalar için tek a4amal donma zaman tahmin yöntemleri

Genel olarak orijinal Plank e itli i ba lang ç noktas olarak kullan lmaktad r ancak bu e itlik donma öncesi ve sonras zamanlar içermedi inden yeni terimler ve parametreler ekleme yoluyla tüm donma prosesine uygun hale getirmek için birçok çal ma yap lm t r (Becker ve Fricke, 1999). EK A’da donma zaman n hesaplamak üzere geli tirilmi e itlikler gösterilmekte ve EK B’de donma zaman e itlikleri ile ilgili örnek sorular verilmektedir.

2.2.1.1 Plank e4itli/i

Plank taraf ndan geli tirilmi e itlik g dalar n donma zamanlar n n tahmin edilmesinde en yayg n olarak bilinen yöntemdir (Becker ve Fricke, 1999). Plank ilk olarak 1913 y l nda silindir, levha gibi çe itli ekillerdeki buz blo u için donma süresini hesaplayan bir formül geli tirmi tir. 1941 y l ndaki ikinci çal mas nda benzer bir hesaplama yöntemini g dalar için kullanm t r (López-Leiva ve Hallström, 2003). Plank yönteminde a a daki kabuller yap lm t r (López-Leiva ve Hallström, 2003; Becker ve Fricke, 1999):

- G da maddesi, donma prosesi ba lang c nda donma s cakl nda bulunmaktad r ve bu s cakl k donma prosesi boyunca de i memektedir. - G da maddesi ve onu çevreleyen ortam aras ndaki s al veri i yaln zca s l

iletim yoluyla gerçekle mektedir.

- Fiziksel özellikler s cakl kla de i im göstermemektedir. - Hacim de i imi ihmal edilmektedir.

?ekil 2.2: Donma S ras ndaki S cakl k Profili (Heldman ve Singh, 1989)

7ekil 2.2’de levha eklindeki bir ürün tabakas n n dondurulmas tek boyutlu olarak gösterilmektedir. Plank’in donma süresi için geli tirdi i e itli in elde edilmesi için üç temel e itlikten yararlan lmaktad r. Birinci ba nt da d kal nl ndaki ürünün donmu halde bulunan x kesimi için temel s iletim e itli i gösterilmektedir (Heldman ve Singh, 1989).

(2.2)

E itlikte, T ürünün donma ba lang ç noktas olup ürünün donmam halde bulunan _d tüm bölgelerinin s cakl n ; T_y yüzey s cakl ; k donmu haldeki g dan n s_d iletim katsay s n göstermektedir.

Ürün yüzeyinden, ürünü çevreleyen ortama olan s transferi (2.3) numaral ba nt yla tan mlanabilmektedir.

(2.3) E itlikte, h , ürün yüzeyindeki ta n m s transfer katsay s d r. (2.2) ve (2.3) numaral e itlikleri birle tirilerek seri halindeki s transferi için (2.4) numaral e itlik elde edilmektedir. (2.4) ) ( _{d y} d _{T T} x A k q= ) (T_y T_c hA q= h k x A T T q d c d 1 ) ( + =

Donma i leminin ilerledi i yönde faz de i imi ile gerçekle en s üretim debisi (2.5) numaral e itlikle gösterilmektedir.

(2.5) E itlikteki diferansiyel terim donma yay lma çizgisinin h z n , L hacimsel gizli s y göstermektedir. (2.4) ve (2.5) numaral e itlikler birbirine e itlenerek düzenlenir ve (2.6) numaral e itlik elde edilir; bu e itlik t=0 ve x=0’dan t=t ve x=d/2 aras nda integre edilirse (2.7) numaral e itlik elde edilir. Elde edilen e itlik genel formda yaz larak (2.8) numaral e itlik kurulmaktad r.

(2.6)

(2.7)

(2.8)

L hacimsel gizli s , T g dan n donma ba lang ç s cakl ,_d T donma çevre _c s cakl , d levha kal nl , küre veya silindirin çap , h yüzey s transfer katsay s ,

d

k tamamen donmu g dan n s iletim katsay s , P ve R geometrik faktörlerdir (Heldman ve Singh, 1989). Çe itli ekiller için geometrik faktörler Tablo 2.1 ve 7ekil 2.3’te gösterilmektedir (ASHRAE,1993). 7ekil 2.3’te yer alan grafik Ede taraf ndan 1949 y l nda haz rlanm t r. Ancak ekilde de görülebilece i gibi grafik, ₁ ve ₂ de erlerinin 10’dan küçük oldu u ko ullar için geçerlidir (López-Leiva ve Hallström, 2003). Dikdörtgenler prizmas ekli için P ve R geometrik faktörleri ayr ca (2.9)-(2.13) numaral e itlikler kullan larak hesaplanabilmektedir (Cleland ve

Earle, 1979b). (2.9) dt dx AL dt AdxL q= =

(

)

=

2

+

0 0

1

d d t c d

dx

h

k

x

L

dt

T

T

+ = d c d k Rd h Pd T T L t 2 ) ( + = d c d k d h d T T L t 8 2 ) ( 2

(

1 2 1 2

)

2 1 2 + + = P

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Tablo 2.1: Geometrik 7ekiller (çin P ve R Sabitleri (ASHRAE,1993; Earle ve Earle, 2004)

?ekil P R

Levha 1/2 1/8

Silindir 1/4 1/16

Küre ve küp 1/6 1/24

Dikdörtgenler Prizmas 1 7ekil 2.3’e bak n z 7ekil 2.3’e bak n z 1_{7ekil 2.3’de}

1 ve 2iki uzun kenar n en k sa kenara oran d r ve hangi s ra ile al nd fark etmemektedir (Earle ve Earle, 2004).

(

)(

) (

)

[

2

]

12 2 1 2 1 1 1 4 1 _{= +} Q

(

)(

) (

)

[

+

]

+ + + = 2 12 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 m

(

)(

) (

)

[

+

]

+ + = 2 12 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 n

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

(

2 2 1

)

72 1 1 ln 1 1 ln 1 2 2 1 2 1 2 1 + + = n n n n n m m m m m Q R

?ekil 2.3: Dikdörtgenler Prizmas (çin P ve R De erleri (ASHRAE, 1993; Earle ve Earle, 2004).

P ve R geometrik faktörleri, eklin donma süresi üzerindeki etkisini göstermektedir. Plank'in ekil faktörleri, d kal nl nda sonsuz levha, d çapl sonsuz silindir ve d çap nda küre ayn ko ullar alt nda donduruldu unda donma süreleri aras nda 6:3:2 oran oldu unu belirtmektedir. Buna göre silindir, levhan n yar süresinde, küre ise levhan n 1/3 süresinde donmaktad r (Becker ve Fricke, 1999).

Çe itli ara t rmac lar Plank yönteminin g dalar n donma sürelerini do ru olarak tahmin etmedi ini belirtmi lerdir. Buna sebep olarak Plank yönteminin g dan n donma sürecinin sabit s cakl kta gerçekle ti ini, donmu g dan n s l iletkenli inin sabit oldu unu kabul etmesi gösterilmektedir (Becker ve Fricke, 1999). G dan n faz de i imi bir s cakl k aral nda gerçekle ti i için s l iletkenlik katsay s da donma s ras nda önemli ölçüde de i mektedir. Plank e itli inin kullan m n n bir di er s n rlamas ise donma noktas öncesindeki görünür s n n uzakla t r lmas n ihmal etmesidir (Becker ve Fricke, 1999; Hung ve Thompson, 1983). Plank e itli inin türetilmesi s ras nda yap lan bu kabuller donma süresinin olmas gerekenden daha k sa olarak hesaplanmas na sebep olmaktad r (Earle ve Earle, 2004; Hung ve Thompson, 1983). Buna ra men Plank yöntemi g dan n donma süresinin tahmin edilmesinde basit bir model olma avantaj na sahiptir (Becker ve Fricke, 1999).

2.2.1.2 Plank e4itli/inin modifikasyonlar yla elde edilen e4itlikler

Ara t rmac lar Plank e itli inden yararlanarak, donma öncesi ve sonras so uma süreçlerini, sabit olmayan s l özellikleri ve belli s cakl k aral nda gerçekle en faz de i im durumunu hesaba katan geli tirilmi yar -analitik/amprik so uma ve dondurma süresi tahmin etme yöntemleri geli tirme üzerine odaklanm ve ç k noktas Plank e itli i olan birçok e itlik geli tirmi lerdir (Becker ve Fricke, 1999). Rjutov, 1936 y l nda Plank e itli inin atas olarak say labilecek (2.14) numaral e itli i geli tirdikten sonra levha eklindeki et blo u ile ön so uma süresinin tahmini için Plank yöntemine göre hesaplanan donma süresine ba l olarak deneysel bir ba nt geli tirmi tir. Bu ba nt n n Plank taraf ndan 1941 y l nda düzenlenmesi ve Rjutov’un son so uma süresini Fourier serilerinin s cakl k profil de i imini temel alan geli tirdikleri formülle beraber toplam donma süresi (2.15) numaral e itlik halini alm t r (López-Leiva ve Hallström, 2003).

(2.14)

(2.15)

Burada, R_j Rjutov katsay d r ve Rjutov et için bu katsay y 0.0053 olarak bulmu tur. López-Leiva ve Hallström ayr ca Hung ve Thompson’ n 1983 ve Pham ve Willix’in 1990 y llar nda çal malar ndan ald klar verilerle e itlikteki Rjutov katsay s n , Tylose (Karlsruhe deney materyali), ya s z s r eti, patates püresi, sazan bal ve k yma için 0.026 olarak bulmu tur (López-Leiva ve Hallström, 2003).

Rjutov’un et için buldu u 0.0053 ile López-Leiva ve Hallström’un veri yakla t rma ile hesaplad 0.026 de erleri aras ndaki fark n sebebi Rjutov’un bu katsay y yaln zca ön so uma deneyleri ile elde ederken López-Leiva ve Hallström’un ön so uma, faz de i imi ve son so uma olmak üzere tüm prosesi dikkate almas ndan kaynaklanmaktad r (López-Leiva ve Hallström, 2003).

Nagaoka ve di . 1955 y l nda taze bal n dondurulmas çal malar nda Plank e itli ini (2.16) numaral e itlikte gösterildi i gibi düzenlemi lerdir. Geli tirdikleri

+ = d c d d k d h A V T T H t 4 1 ) (

[

+

]

+ + = 1 ( ) 0.266 1_0.05 1 4 ln 0.0913 2 c s c d d i plank T T T T Bi Bi d T T Rj t t

e itlikte donma ba lang ç noktas alt nda ve üstündeki duyulur s hesaba kat lm ancak tüm gizli s n n sabit bir s cakl kta (Td) uzakla t kabulü yap lm t r (Heldman ve Singh, 1989).

(2.16)

E itlikte;

(2.17) Levy 1958 y l nda Nagaoka’n n çal mas n baz alarak toplam donma süresi için (2.18) numaral e itli i olu turmu tur. E itlikte ön so uma, faz de i imi ve son so uma a amalar toplam entalpi kullan larak hesaplanan donma süresi içine dahil edilmi tir (López-Leiva ve Hallström, 2003).

(2.18) Cowell, Plank e itli ini kullanarak 1969 y l nda a a daki boyutsuz e itli i geli tirmi tir (López-Leiva ve Hallström, 2003).

(2.19) Bäckström 1970 y l nda Plank E itli i’ni modifiye ederek toplam donma süresini e itlik (2.20) ile gösterildi i ekilde geli tirmi tir (López-Leiva ve Hallström, 2003).

(2.20) Mellor 1976 y l nda Plank e itli inde yer alan L hacimsel gizli s yerine tan mlad entalpi de i imi ile ön so uma ve son so uma periyotlar n da içeren (2.21) numaral donma süresi e itli ini geli tirmi tir. Mellor e itli i gizli s n n tek bir s cakl kta uzakla t r ld n , faz de i iminin tek s cakl kta gerçekle ti i kabulünü yapm t r (LeBlanc ve di ., 1990). (2.21)

+

=

d c d d

k

Rd

h

Pd

T

T

H

t

2

)

(

'

[

i d

]

[

s

(

i d

)

d

(

d s

)

]

d T T C T T L C T T H '= 1+0.00445( ) + +

(

)

[

i d

]

d c d p

T

T

k

Rd

h

Pd

T

T

H

t

=

+

1

+

0

.

008

)

(

2

(

)

(

)

[

+ +

]

₍

₎

+ = d c d s d d d i s k d R h d P T T T T C L T T C t 2 1 5 . 0 5 . 0

(

)

(

)

+ = m m i m f Plank _{T T} T T T T t t 1 0.017 ln + = G Bi D Ko Fo 1

Cleland ve Earle (1977, 1979a, 1979b), görünür s n n uzakla t r lmas n , ilk donma s cakl öncesini, sonras n ve donma s ras ndaki s cakl k de i imini dikkate alarak Plank'in olu turdu u modeli modifiye etmi lerdir. Sonsuz levha, sonsuz silindir, küre ve dikdörtgenler prizmas için geometrik faktörlerin tahmin edilmesi için regresyon e itlikleri geli tirilmi tir. Bu regresyon e itliklerinde boyutsuz Biot, Plank ve Stefan say lar kullan larak s ras yla yüzey s transferi, ön so uma ve son so uma safhalar n n donma zaman üzerindeki etkileri dikkate al nm t r (Celand ve Earle, 1979b).

Cleland ve Earle'ün yönteminde g da donma süresi Plank e itli inin modifiye edilmi versiyonuyla hesaplanm t r (2.24 numaral e itlik). Plank'in orijinal geometrik faktörleri P ve R Tablo 2.2'de verilen modifiye edilmi P2ve R2 geometrik faktörleri ile de i tirilmi tir. Ayr ca Plank e itli indeki gizli s L , g dan n T donma s cakl _d ile -10ºC olarak kabul edilen son merkez s cakl aras ndaki hacimsel entalpi de i imi H ile de i tirilmi tir. P ve R geometrik faktörleri yerine kullan lmas₁₀ önerilen P2 ve R2 geometrik faktörleri, H entalpi de i im de eri kullan larak ₁₀ hesaplanan Plank ve Stefan say lar n n fonksiyonudur, (2.22, 2.23) numaral e itlik ve Tablo 2.2 kullan larak hesaplanmaktad r. E itlikte yer alan P ve R Plank e itli inde kullan lan geometrik faktörlerdir. Sonuç olarak modifiye Plank e itli i (2.24) numaral e itlikteki halini alm t r.

(2.22) (2.23) Tablo 2.2: P2ve R2De erleri (çin E itlikler (Cleland ve Earle, 1979b)

?ekil P2ve R2E4itlikleri Sonsuz Levha 1 2 1 2 R R P P = =

Sonsuz Silindir ve küre

R R R P P P 1888 . 0 1278 . 0 1 2 1 2 = + = Dikdörtgenler prizmas

[

(

)

]

(

)

[

0.7344 49.89 2.900

]

242 . 1 766 . 5 1136 . 0 1 2 1 2 + + = + + = R Ste R R R P Ste P P P

(

)

[

1.202 3.410 0.7336

]

1050 . 0 0182 . 0 2296 . 0 5808 . 0 026 . 1 1 1 + + = + + + + = Pk Ste R R Bi Pk Ste Pk P P

(2.24) E itli in uygulama aral u ekilde belirtilmektedir:

0.155 ^ Ste ^ 0.345 0 ^ Pk ^ 0.55

0.2 ^ Bi ^ 20 Levha için (Cleland ve Earle, 1977)

0.5 ^ Bi ^ 4.5 Silindir ve küre için (Cleland ve Earle, 1979a)

0.5 ^ Bi ^ 22 Dikdörtgenler prizmas için (Cleland ve Earle, 1979b) 1 ^ _1^ 4 Dikdörtgenler prizmas için (Cleland ve Earle 1979b) 1 ^ _2^ 4 Dikdörtgenler prizmas için (Cleland ve Earle 1979b)

E itlik g da dondurulmas prosesindeki pratik uygulamalar n ço unu kapsayan bu aral klar d nda da kullan labilir, ancak aral klar d nda do rulu u test edilmemi tir (Cleland ve Earle, 1977, 1979a, 1979b).

Cleland ve Earle 1984 y l ndaki çal malar nda, (2.24) numaral e itli in son merkez s cakl n n -10ºC'den farkl oldu u durumlarda uygulanamamas ndan ötürü son merkez s cakl n n -10ºC'den farkl oldu u durumlar için a a daki formülü geli tirmi tir (Becker ve Fricke, 1999).

(2.25)

Hung ve Thompson (1983) sonsuz levha için Plank e itli inden yola ç karak (30) numaral e itlikte gösterildi i gibi alternatif bir donma süresi tahmin yöntemi geli tirmi tir. Geli tirdikleri e itlikte hacimsel entalpi de i imi H ve g dan n ilk ₁₈ s cakl ile donma ortam n n ortalama a rl kl s cakl k fark dâhil edilmi tir. Bu a rl kl ortalama s cakl k fark T, (2.26) numaral e itlikte gösterildi i ekilde formüle edilmi tir.

+ = d c d k d R h d P T T H t 2 2 2 10 ) ( + = c ref c s d d c d T T T T k Ste k d R h d P E T T H t 1 1.65 ln ) ( 2 2 2 10

(

)

(

)

(

)

18 2 2 2 2 H C T T C T T T T T d s d s d i c d + = Ste U R Bi Ste U Ste Pk P = + + = 2656 . 0 2079 . 0 01329 . 0 43 . 15 40 . 15 083 . 1 7306 . 0 3 3 (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30)

Cleland ve Earle (1984) Hung ve Thompson modeline kendi bulduklar düzeltme faktörünün eklenmesi ile son s cakl n -18ºC d nda bir s cakl k olmas durumunda da modelin do rulu unun artt n göstermi tir. Hung ve Thompson modelinin düzeltme faktörü ile olu turulan son hali (2.31) numaral e itlikte gösterilmektedir.

(2.31)

E itlikte T_ref -18ºC, T son merkez s cakl ve _s H₁₈ ilk s cakl k T ve -18ºC _i aras ndaki hacimsel entalpi de i imini ifade eder. A rl kl ortalama s cakl k fark

T, Plank say s ve Stefan say s , H kullan larak hesaplanmaktad r. ₁₈

Pham (1984) donma süresinin hesaplanmas nda görünür s etkisini, ön so uma, faz de i imi ve son so uma süreleri için ayr ayr e itlikler geli tirerek Plank e itli ine benzer bir yöntem olu turmu tur. Ön so uma ve son so uma e itlikleri Newton’un so uma kanunun ve faz de i im süresini hesaplayan e itlik Plank e itli inin modifiye edilmesiyle elde edilmi tir. Ek olarak Pham, donma sürecinin tek bir s cakl kta de il de belirli s cakl k aral nda gerçekle ti ini hesaba katmak için g dan n ilk donma s cakl n n 1.5°C alt nda kabul etti i “ortalama donma s cakl ” kullan m n önermektedir. Pham' n donma süresi tahmin yöntemi, g dan n hacim, yüzey alan gibi veriler kullan larak hesaplama yapmay içerdi inden herhangi bir

ekle sahip g da maddesine uygulanabilmektedir. Yöntem (2.32) numaral e itlikle ifade edilmektedir.

(

Td Tc

)

T U = /

+

=

d

k

d

R

h

d

P

T

H

t

2 3 3 18 + = c ref c s d d T T T T k Ste k d R h d P T H t 1 1.65 ln 2 3 3 18

; i =1,2,3

(2.32)

E itlikte yer alan t₁ ön so uma, t₂ faz de i im ve t son so uma sürelerini ifade ₃ etmektedir, di er de i kenler Tablo 2.3’de gösterilmektedir.

Tablo 2.3: Donma Süresi Tahmin Yöntemindeki De i ken Tan mlamalar (Pham, 1984) 4lem De/i4kenler Ön So/uma

(

)

(

)

(

) (

)

= + = = = = c od c i c od c i o d s od i s T T T T T T T T T Bi Bi Bi V T T C Q k i ln 2 / 6 1 1 1 1 Faz De/i4imi d Bi Bi L Q k i = = = = 2 2 4 2 Son So/uma

(

)

(

) (

)

=

+

=

=

=

=

=

c os c od c os c od o d c s s os d os od d

T

T

T

T

T

T

T

T

T

Bi

T

T

T

T

Bi

Bi

V

T

T

C

Q

k

i

ln

4

2

6

3

3 3 3

+

=

6

1

1 1 1 1

Bi

T

hA

Q

t

o

(

)

+ = 4 1 2 2 2 Bi T T hA Q t c od + = 6 1 3 3 3 3 Bi T hA Q t o

+

=

i i oi i i

k

Bi

T

hA

Q

t

1

Uluslar aras So utma Enstitüsü 1986 y l nda Plank e itli inde yer alan L hacimsel gizli s yerine ilk donma s cakl ndan son so utulan s cakl a kadar olan entalpi de i iminin kullan ld (2.33) numaralar e itli i önermi tir. (LeBlanc ve di ., 1990).

(2.33)

Pham 1986 y l nda, 1984 y l nda geli tirdi i donma süresi tahmin yöntemini, ön so uma, faz de i imi ve son so uma periyotlar n içeren tek bir e itlik ile ifade ederek basitle tirmi tir (2.34 numaral e itlik).

(2.34)

(2.35)

(2.36), (2.37)

(2.38) (2.39) E itliklerde kullan lan C ve _s C s ras yla donma noktas n n üstünde ve alt nda _d hacimsel özgül s y , T g dan n ilk s cakl n , L hacimsel gizli s y ve V g da _i maddesinin hacmini ifade etmektedir. Pham (1986) var olan deneysel sonuçlara e ri yakla t rma yöntemini uygulayarak ortalama donma s cakl n T_od için (2.34) numaral e itli i geli tirmi tir. T_s s l merkezin son s cakl , T donma ortam _c s cakl d r.

Lacroix ve Castaigne 1987 y l ndaki çal mas nda toplam donma süresini geli tirdikleri e itlikte, ön so uma, faz de i imi ve son so uma sürelerinin toplam olarak göstermi tir. Ön so uma süresini X/l =0.5 noktas n n ilk s cakl ktan g dan n ilk donma s cakl na kadar geçmesi gereken süre olarak, son so uma süresini ise ürünün merkezinin donmaya ba lad s cakl ktan gelmesi istenen son s cakl a

(

)

(

od s

)

d od i s T T C L H T T C H + = = 2 1 c od c od i

T

T

T

T

T

T

T

=

+

=

2 1

2

c s od

T

T

T

₌

1

.

8

₊

0

.

263

₊

0

.

105

+ + = 4 1 2 2 1 1 Bid T H T H hA V t

(

)

+ = +

(

(

)

)

+ = d c d c d d d c d s d k d R h d P T T T T C L k d R h d P T T H t 2 2

kadar geçmesi gereken süre olarak tan mlam t r. Levha eklindeki g dalar için Lacroix ve Castaigne X/l =0.4 kullan lmas n önermektedir (Lacroix ve Castaigne, 1987a, 1987b). Lacroix ve Castaigne’nin ara t rmas nda (Lacroix ve Castaigne, 1988) belirtilen Ball ve Olson; Pflug ve di .’in çal mas , g da maddesini so utmak için geçen sürenin (2.40) numaral e itlikte gösterildi i ekliyle hesaplanabilece ini bildirmi tir. Lacroix ve Castaigne, ön so uma ve son so uma sürelerini bu e itlikten yola ç karak benzer olarak (2.41) ve (2.42) numaral e itliklerle ifade etmektedir (Lacroix ve Castaigne, 1987a, 1988).

(2.40)

Ön so uma için:

(2.41)

Son so uma için:

(2.42)

Tablo 2.4, Tablo 2.5 ve Tablo 2.6’da sonsuz levha, sonsuz silindir ve küre için f ve j de erlerinin hesaplanmas için kullan lan e itlikler verilmektedir (Lacroix ve Castaigne, 1987a).

1

f ve j₁ faktörleri ortalama s iletkenlik katsay s , k_r kullan larak hesaplanan Biot say s , Bi_r, kullan larak bulunmaktad r. Ortalama s iletkenlik katsay s , k_r; donmam g dan n s iletkenlik katsay s , k_s ile

(

T_d +T_c

)

/2 s cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s , k_c’nin ortalamas olarak tan mlanmaktad r. Benzer olarak f₁ hesaplamas nda ortalama s l difüzivite katsay s _r kullan lmaktad r. Ortalama s l difüzivite katsay s _r, donmam g dan n s l difüzivite katsay s _sile

(

T_d +T_c

)

/2 s cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s _c’nin ortalamas olarak tan mlanmaktad r (Lacroix ve Castaigne, 1987a).

= d c i c T T T T j f t1 1log 1 = T T T T j f t c i c log = s c d c T T T T j f t_{3 3}log ₃

3

f ve j₃ faktörleri

(

T_d +T_c

)

/2 s cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s , k kullan larak bulunan Biot say s ,_c Bi ile hesaplanmaktad r. Benzer _c olarak f hesaplan rken ₃

(

T_d +T_c

)

/2 s cakl ndaki donmu g dan n s iletkenlik katsay s , _ckullan lmaktad r (Lacroix ve Castaigne, 1987a).

Lacroix ve Castaigne (1987a, 1987b, 1988) faz de i im süresi t₂’yi Plank e itli i ile modellemi tir:

(2.43) Tablo 2.4: Sonsuz Düzlemin Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin E itlikleri (Lacroix ve Castaigne, 1987a)

Biot say aral / f ve j Faktörleri için e4itlikler Bi! 0.1 0 . 1 10 ln 3 1 2 = = = j j Bi l f 0.1<Bi! 100

( )

( )

[

]

[

( )

]

( )

[

]

4

[

( )

]

5 3 2 3 1 3 2 2 ln 000581 . 0 ln 001190 . 0 ln 016192 . 0 ln 007986 . 0 ) ln( 312133 . 0 860972 . 0 2 / cos ; cos sin sin 2 10 ln Bi Bi Bi Bi Bi u u j j u u u u j u l f + + + = = + = = Bi>100 900 . 0 ; 273 . 1 9332 . 0 1 3 2 = = = j j l f

(

)

+ = 4 4 2 2 2Bi R P k T T Ld t c c c d

Tablo 2.5: Sonsuz Silindir Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin E itlikleri (Lacroix ve Castaigne, 1987a)

Biot say aral / f ve j Faktörleri için e4itlikler Bi! 0.1 0 . 1 2 10 ln 1 3 2 = = = j j Bi l f 0.1<Bi! 100

( )

( )

( )

[

]

( )

[

]

[

( )

]

( )

[

]

[

( )

]

9 7 5 3 1 8 6 4 2 0 5 4 3 2 0 3 1 2 1 2 0 1 3 2 2 ) 2 / ( 00035 . 0 ) 2 / ( 00693 . 0 ) 2 / ( 08333 . 0 ) 2 / ( 5 . 0 ) 2 / ( ) ( ) 2 / ( 00174 . 0 ) 2 / ( 02778 . 0 ) 2 / ( 25 . 0 ) 2 / ( 1 ) ( ln 001078 . 0 ln 002888 . 0 ln 026568 . 0 ln 025322 . 0 ) ln( 48794 . 0 257493 . 1 ) 2 / ( ; 2 10 ln x x x x x x J x x x x x J Bi Bi Bi Bi Bi v V J j j v J v J v v J j v l f + + = + + = + + + = = = =

( )

v

J0 veJ1( )v s ras yla s f r ve birinci dereceden Bessel Fonksiyonlar d r. Bi>100 0730 . 1 ; 6015 . 1 3982 . 0 1 3 2 = = = j j l f

Tablo 2.6: Küre Is l Merkez S cakl (çin f ve j Tahmin E itlikleri (Lacroix ve Castaigne, 1987a)

Biot say aral / f ve j Faktörleri için e4itlikler Bi! 0.1 0 . 1 3 10 ln 1 3 2 = = = j j Bi l f 0.1<Bi! 100

(

)

(

)

( )

[

]

[

( )

]

( )

[

]

4

[

( )

]

5 3 2 3 1 3 2 2 ln 001563 . 0 ln 004907 . 0 ln 03553 . 0 ln 047859 . 0 ) ln( 642906 . 0 573729 . 1 2 / 2 / sin ; cos sin cos sin 2 10 ln Bi Bi Bi Bi Bi w w w j j w w w w w w j w l f + + + = = = = Bi>100 2732 . 1 ; 0 . 2 2333 . 0 1 3 2 = = = j j l f

Lacroix ve Castaigne dikdörtgenler prizmas eklindeki g dalar n donma süresini hesaplamak için f ve j de erlerinin, dikdörtgenler prizmas n n her bir kenar için o kenar kal nl nda bir sonsuz levha olarak kabul edilerek hesaplama yap lmas n ve oradan a a da belirtildi i gibi f ve j de erlerine geçilmesini önermektedir (Lacroix ve Castaigne, 1977b):

(2.44) (2.45)

1

k

f , f ,_k2 f ;_k3 k₁, k₂ k₃ kenar uzunluklar na sahip dikdörtgenler prizmas n n bu kal nl klara sahip sonsuz levha eklinde kabul edilerek yap lan hesaplamalar sonucu bulunan de erlerdir. Ayn ekilde j_k1, j_k2, j_k3; k₁, k₂ k₃ kenar uzunluklar na sahip dikdörtgenler prizmas n n bu kal nl klara sahip sonsuz levha eklinde kabul edilerek bulunmaktad r (Lacroix ve Castaigne, 1987b).

Lacroix ve Castaigne sonlu silindir eklindeki g dalar n donma süresini hesaplamak için f ve j de erlerinin, sonlu silindirin yüksekli i kadar kal nl a sahip sonsuz levha ve sonlu silindirin çap kadar çap olan sonsuz bir silindir kabulü yap larak hesaplama yap lmas n ve oradan a a da belirtildi i gibi f ve j de erlerine geçilmesini önermektedir (Lacroix ve Castaigne, 1977b):

(2.46)

(2.47)

y

f ve f_c s ras yla; sonlu silindirin yüksekli inde kal nl a sahip sonsuz levha için ve sonlu silindirin çap uzunlu unda çap olan sonsuz silindir için hesaplanan de erlerdir. Ayn ekilde j_y ve j_c de erleri hesaplanmaktad r (Lacroix ve Castaigne, 1987b).

Lacroix ve Castaigne (1987a, 1987b) P ve R olan Plank geometrik faktörlerinde düzeltmeler yap larak tahmin edilen donma süreleri ile deneysel olarak hesaplanm

c y f f f 1 1 1 + = c y j j j = 3 2 1 1 1 1 1 k k k f f f f = + + 3 2 1 k k k j j j j=

verilerin birbirlerine daha fazla uyum gösterece ini belirtmi tir. Regresyon analizi kullanarak hesaplad klar P4 ve R4 geometrik faktörleri Tablo 2.7’de belirtildi i gibidir.

Tablo 2.7: Geometrik 7ekiller (çin P4ve R4Sabitleri (Lacroix ve Castaigne, 1987a)

?ekil P4 R4

Sonsuz levha 0.51233 0.15396

Sonsuz silindir 0.27553 0.07212

Küre 0.19665 0.03939

Lacroix ve Castaigne 1987a y l ndaki çal malar nda geli tirdikleri P4 ve R4 ekil faktörleri yerine, yüzey ta n m katsay s ve donma i leminin gerçekle ti i ortam s cakl n n etkisini donma süresi hesab na katmay amaçlayarak boyutsuz Bi ve _c

Ste say lar n içeren P5ve R5 ekil faktörünü a a daki formüllerde gösterildi i gibi tan mlam t r:

(2.48)

(2.49)

López-Leiva ve Hallström 2003 y l ndaki çal malar nda, Plank E itli i’nde yer alan P ve R geometrik ekil faktörlerinin oran n n, P/R, düzgün ekilli g dalar ile düzgün olmayan ekilli g dalar için 3.5 ile 4 (düzgün ekiller için) aras nda de i ti ini göstermektedir. Çal malar nda ortalama P/R oran olarak 3.7’yi kabul edip R=P/3.7 ve P=V/Ad tan m n kullanarak (2.50) ve (2.51) numaral e itli i geli tirmi lerdir (López-Leiva ve Hallström, 2003). (2.50) (2.51) + = 7 . 3 1 ) ( Bi P T T h Ld t c d

+

=

7

.

3

1

)

(

Bi

A

T

T

h

LV

t

c d = 0.02175 1 0.01956 1 1.69657 5 Ste Bi P P c + + = 5.57519 1 0.02932 1 1.58247 5 Ste Bi R R c

2.2.1.3 Deneysel yöntemler kullan larak elde edilmi4 e4itlikler

Becker ve Fricke 1999 y l ndaki çal malar nda, g dalar n donma zaman n n tahmin edilmesi amac yla birçok deneysel yöntem geli tirildi ini ancak bu yöntemleri ço unun yaln zca baz g dalar veya baz ekiller için uygulanabilir oldu unu veya kullan mlar n n zor ve pratik olmad n belirtmi tir. Bu yöntemlerden Salvadori ve Mascheroni taraf ndan geli tirilen yöntem, istisnai olarak de i ik ekillerdeki çe itli g dalarda kullan labilmektedir (Salvadori ve Mascheroni, 1991).

Salvadori ve Macheroni taraf ndan geli tirilen bu yöntem, pratikteki endüstriyel dondurma ko ullar için uygulanabilmektedir. Çal ma, g da içerisindeki s cakl k de i iminin boyutsuz X de i keninin bir fonksiyonu olarak gösterildi i genelle tirilmi bir grafi i temel almaktad r (Salvadori ve di ., 1987). Ayr ca hesaplamalarda g dan n donmam haldeki özelliklerini dikkate almaktad r (Salvadori ve Mascheroni, 1996).

Boyutsuz donma süresi parametresi X , süre, proses parametreleri, g dan n termofiziksel özellikleri ve boyutlar n n bir fonksiyonu olarak a a daki ekilde tan mlanmaktad r (Salvadori ve Mascheroni, 1991):

(2.52)

E itlikteki m, n ve c g dan n ekline ba l olarak de i en deneysel katsay lard r ve Tablo 2.8’de de erleri verilmektedir.

Salvadori ve Macheroni 1991 y l ndaki çal mas nda, boyutsuz donma zaman parametresi X ile g dan n termal merkezindeki son s cakl k aras nda lineer bir ili ki kurmu tur (Salvadori ve Mascheroni, 1991). Bu ili ki (2.53) numaral e itlikte görülmektedir. (2.53) b aT X = _s+ n d i d ls m d d c s

T

T

T

c

Bi

T

T

T

Fo

X

+

=

1

E itlikteki a ve b katsay lar ayn ekilde g dan n ekline ba l olarak de i mektedir ve Tablo 2.8’de de erleri verilmektedir. (2.52) ve (2.53) numaral e itliklerin birle tirilmesiyle e itlik a a daki halini almaktad r:

(2.54)

Salvadori ve Mascheroni, (2.52), (2.53) ve (2.54) numaral e itliklerin 5

18!T_s ! °C aral nda geçerli oldu unu belirtmi tir (Salvadori ve Mascheroni, 1991).

Tablo 2.8: Salvadori ve Mascheroni Donma Zaman Tahmin Yönteminde Kullan lan Parametreler (Salvadori, 1994)

?ekil a b c m n

Sonsuz levha -1.272 65.489 0.184 1.070 0.096 Sonsuz silindir -0.750 32.198 0.179 1.032 0.037 Küre -0.439 24.804 0.167 1.078 0.073

2.2.2 G dalar için iki a4amal donma zaman tahmin yöntemleri

Çe itli ekillerde g da maddeleri endüstriyel olarak dondurulmaktad r. Çok boyutlu ve düzgün ekilli olmayan g dalar n donma sürelerinin belirlenebilmesi için Cleland ve Earle, basit ekiller için geli tirilmi yöntemlerin ekil faktörleri vas tas yla donma süresini hesaplamak istedi imiz g dalar için uyarlanmas n önermektedir (Cleland ve Earle, 1982).

7ekil faktörü EHTD ya da E, e de er s transfer boyutu olarak tan mlanm t r. Sonuç olarak herhangi bir ekle sahip g da maddesinin donma süresi a a daki e itlik yordam yla hesaplanabilmektedir (Cleland ve Earle, 1982).

(2.55)

E parametresi, çok boyutlu g da maddesinin tüm yüzeylerinden olan s transferinin toplam katk s n , ayn ko ullarda, k sa kenara e it uzunlukta, levha eklindeki g da maddesi ile kar la t rmaktad r. Sonsuz düzlem plaka için E =1, sonsuz silindir

m c n i ls s s

T

T

c

Bi

b

aT

l

t

=

(

+

)

1

+

(

1

+

)

(

1

)

2 E t t ₌ levha