STANBUL TEKNK ÜNVERSTES F FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
3-BOYUTLU MNKOWSK UZAYININ
NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS
TASVRNE SAHP YÜZEYLER
YÜKSEK LSANS TEZ Emel COKUN
Anabilim Dal : Matematik Mühendisli§i Program : Matematik Mühendisli§i
Tez Dan³man : Doç. Dr. U§ur Dursun
STANBUL TEKNK ÜNVERSTES F FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
3-BOYUTLU MNKOWSK UZAYININ
NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS
TASVRNE SAHP YÜZEYLER
YÜKSEK LSANS TEZ Emel COKUN
(509061008)
Tezin Enstitüye Verildi§i Tarih : 06 A§ustos 2009 Tezin Savunuldu§u Tarih : 31 A§ustos 2009
Tez Dan³man : Doç. Dr. U§ur DURSUN (TÜ)
Di§er Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Mehmet ERDOAN (BEYKENT) Doç. Dr. Fatma ÖZDEMR (TÜ)
ÖNSÖZ
Bu çal³mada bana yol gösteren ve yardmlarn esirgemeyen hocam Sayn Doç. Dr. U§ur Dursun'a, tezin yazmnda teknik olarak yardmc olan arkada³larm Ara³. Gör. Sibel Klçarslan Cansu'ya ve Ara³. Gör. Kaan Esin'e, her zaman deste§iyle yanmda olan ve beni cesaretlendiren aileme te³ekkürlerimi sunarm. Ayrca, yüksek lisans e§itimim boyunca beni nansal olarak destekleyen Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Ara³trma Kurumuna te³ekkür ederim.
ÇNDEKLER
Sayfa
ÖNSÖZ . . . iii
ÇNDEKLER . . . v
SEMBOL LSTES . . . vii
ÖZET . . . ix
SUMMARY . . . xi
1. GR . . . 1
2. ALT MANFOLDLAR TEORSNE AT BAZI TEMEL KAVRAMLAR . . . 5
3. E3 1 MNKOWSK UZAYININ NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS TASVRNE SAHP DORUSAL YÜZEYLER . . . 9
3.1. Do§rusal Yüzeylerin Sn andrlmas . . . 9
3.2. Do§rusal Yüzey Örnekleri . . . 10
3.3. Sn andrma Teoremleri . . . 19
4. E3 1 MNKOWSK UZAYININ NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS TASVRNE SAHP DÖNEL YÜZEYLER . . . 45
4.1. Dönel Yüzeylerin Sn andrlmas . . . 45
4.2. Dönel Yüzey Örnekleri . . . 52
4.3. E3 1 Minkowski Uzaynn Birinci Çe³it Noktasal 1-Tipinden Gauss Tasvirine Sahip Dönel Yüzeyleri . . . 55
4.4. E3 1 Minkowski Uzaynn kinci Çe³it Noktasal 1-Tipinden Gauss Tasvirine Sahip Dönel Yüzeyleri . . . 65
5. SONUÇ VE ÖNERLER . . . 75
SEMBOL LSTES
e
∇ : Minkowski Uzaynn Konneksiyonu G : Gauss Tasviri
AG: Weingarten Tasviri
∆ : Laplace Operatörü Γ : Christoell Sembolü H : Ortalama E§rilik Vektörü K : Gauss E§rili§i
3-BOYUTLU MNKOWSK UZAYININ NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS TASVRNE SAHP YÜZEYLER
ÖZET
Sonlu tipten alt manifoldlar kri, 1970 yllarnn sonlarna do§ru B.Y. Chen tarafndan ortaya atlm³ ve Öklidiyen ve yar Öklidiyen uzaylarnn alt manifoldlarnn incelenmesinde çok geni³ olarak kullanlan bir kavram olmu³tur. Ayrca, bu kavram gerek Öklidiyen gerekse yar Öklidiyen uzaylarn alt manifoldlar üzerinde tanml türevlenebilir tasvirlere geni³letilmi³tir. Bu tasvirler arasnda alt manifoldlarn Gauss tasvirleri oldukça önemli yer tutmaktadr. Sonlu tipten Gauss tasvirleri alt manifoldlarn incelenmesinde oldukça geni³ bir ³ekilde kullanlmaktadr.
Bir alt manifodun Gauss tasviri, türevlenebilir bir F fonksiyonu ve çevreleyen uzaya ait sabit bir C vektörü için ∆G = F (G + C) diferansiyel denklemini sa§larsa, alt manifolda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine, e§er C vektörü sfr ise birinci çe³it aksi durumda ise ikinci çe³ittir denir. Bu tez çal³masnda, E3
1 Minkowski uzaynn
noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzeyleri ve dönel yüzeyleri incelenmektedir.
E31 Minkowski uzaynn birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip
do§rusal yüzeylerinin sn andrlmas için ³u sonuçlar ispatlanm³tr: E3 1
Minkowski uzaynda bir M uzaysal do§rusal yüzeyin Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin bir Öklid düzleminin, hiperbolik silindirin, 1. tip uzaysal helikoidin, 2. tip uzaysal helikoidin veya 2. tip uzaysal Enneper yüzeyin e³leni§inin açk bir parças olmasdr. E3
1 Minkowski uzaynda bir M zamansal do§rusal yüzeyin Gauss
tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin bir Minkowski düzleminin, Lorentz çembersel silindirin, indeksi 1 olan çembersel silindirin, 1. tip zamansal helikoidin, 2. tip zamansal helikoidin, 3. tip zamansal helikoidin, 2. tip zamansal Enneper yüzeylerin e³leni§inin, e§er B0
null ise bir düz B-scroll'un veya e§er B0 null de§ilse bir düz olmayan B-scroll'un
açk bir parças olmasdr.
E31 Minkowski uzaynn noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel
yüzeylerinin karekterizasyon ve sn andrlmas için ³u sonuçlar ispatlanm³tr: E31 Minkowski uzaynda bir M dönel yüzeyinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden
Gauss tasvirine sahip olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin ortalama e§rili§inin sabit olmasdr. Ayrca, I. tip rasyonel bir dönel yüzeyin birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmas için gerek ve yeter ko³ulun yüzeyin bir düzlemin ya da bir hiperbolik silindirin açk bir parças olmas gerekti§i; II. tip rasyonel bir dönel yüzeyin birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmas için gerek ve yeter ko³ulun yüzeyin bir düzlemin ya da bir çembersel silindirin açk bir parças olmas gerekti§i; III. tip rasyonel bir dönel yüzeyin birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmas için gerek ve yeter ko³ulun yüzeyin, kat bir harekete göre, ikinci tip bir Enneper yüzeyin, bir de Sitter uzayn ya da bir anti-de Sitter uzayn açk bir parças olmas gerekti§i gösterilmi³tir. Son olarak, E3
1Minkowski uzaynda bir M rasyonel dönel
yüzeyinin ikinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmas için gerek ve yeter ko³ulun M yüzeyinin bir dik koni ya da bir hiperbolik koninin açk bir parças olmas gerekti§i ispatlanm³tr.
SURFACES WITH POINTWISE 1-TYPE GAUSS MAP IN MINKOWSKI SPACE E3
1
SUMMARY
The notion of nite type submanifolds was introduced by B.Y. Chen during late 1970's, and it has become a useful tool for investigation of submanifolds of Euclidean and pseudo-Euclidean spaces. Also, this notion has been extended to dierentiable maps de ned on submanifolds of Euclidean and pseudo-Euclidean spaces. Among them Gauss maps of submanifolds are very useful. The nite type Gauss maps are a very extensively used to deal with submanifolds.
The Gauss map of a submanifold is said to have pointwise 1-type Gauss map if it satis es the dierential equation ∆G = F (G + C) for some dierentiable map F and some constant vector C of ambiant space. The pointwise 1-type Gauss map is said to be of the rst kind if the vector C is zero vector. Otherwise, the pointwise 1-type Gauss map is said to be of the second kind. In this thesis, the ruled surfaces and surfaces of revolution in Minkowski space E3
1 with pointwise
1-type Gauss map are studied.
The following results are proved for classi cation of ruled surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the rst kind in Minkowski space E3
1: The Gauss map of a
space-like ruled surface M in Minkowski space E3
1 is of pointwise 1-type Gauss
map of the rst kind if and only if the surface M is an open part of a Euclidean plane, the hyperbolic cylinder, space-like helicoid of the 1st kind, space-like helicoid of the 2nd kind or the conjugate of space-like Enneper's surface of the 2nd kind. The Gauss map of a time-like ruled surface M in Minkowski space E3 1
is of pointwise 1-type Gauss map of the rst kind if and only if the surface M is an open part of a Minkowski plane, the Lorentz circular cylinder, the circular cylinder of index 1, time-like helicoid of the 1st kind, time-like helicoid of the 2nd kind, time-like helicoid of the 3rd kind, the conjugate of time-like Enneper's surfaces of the 2nd kind, a at B-scroll if B0 is light-like or a non- at B-scroll if
B0 is non-null.
For classi cation and characterization of surfaces of revolution with pointwise 1-type Gauss map in Minkowski space E3
1, the following results are proved: A
surface of revolution M in Minkowski space E3
1 has pointwise 1-type Gauss map
of the rst kind if and only if M has constant mean curvature. Besides, it is proved that a rational surface of revolution of type I has pointwise 1-type Gauss
map of the rst kind if and only if it is an open part of a plane or a hyperbolic cylinder; a rational surface of revolution of type II has pointwise 1-type Gauss map of the rst kind if and only if it is an open part of a plane or a circular cylinder; a rational surface of revolution of type III has pointwise 1-type Gauss map of the rst kind if and only if it is an open part of an Enneper's surface of the second kind, a de-Sitter space or an anti-de Sitter space up to a rigid motion. Finally, it is also proved that a surface of revolution M in Minkowski space E3 1
has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if the surface M is an open part of a right cone or a hyperbolic cone.
1. GR
Sonlu tipten alt manifoldlar kavram 1970'li yllarn sonlarna do§ru B.Y. Chen tarafndan tantldktan sonra yo§un olarak geometri ile u§ra³an pek çok ki³i tarafndan çal³lm³ ve oldukça önemli sonuçlar elde edilmi³tir. Bu kavram kullanlarak Öklid ve yar Öklid uzaylarn alt manifoldlarnn birçok karekterizasyonu verilmi³ ve önemli sonuçlar bulunmu³tur.
M, indeksi s olan Em
s yar Öklidiyen uzaynn n-boyutlu bir alt manifoldu olsun.
M alt manifoldunun Ems yar Öklidiyen uzayndaki x yer vektörü, alt manifoldun ∆Laplace operatörüne göre, ∆xi = λixi, i = 1, . . . , k olmak üzere
x = x0+ x1+ · · · + xk
³eklinde ayr³trlabilirse M manifolduna sonlu tipten alt manifold denir, burada x0 sabit bir tasvir, x1, . . . , xk sabit olmayan tasvirler ve λ1, . . . , λk sfr olmayan
sabitlerdir. E§er λ1, . . . , λk özde§erlerinin hepsi birbirinden farkl ise M alt
manifolduna k-tipinden alt manifold denir. E§er k sonsuz ise M alt manifolduna sonsuz tipten alt manifold denir. Bu konudaki ilk sonuçlar, B.Y. Chen'in [1] kitabnda toparlanm³tr. Daha sonra, geni³ kapsaml bir derleme yine B.Y. Chen'in [2] raporunda yaynlanm³tr. Sonlu tipten kavram kullanlarak alt manifoldlar karekterize etmek veya sn andrmak için birçok çal³ma yaplm³tr.
Sonlu tip kavram daha sonra alt manifoldlar üzerinde tanml türevlenebilir tasvirlere geni³letilmi³tir. Em
s uzaynn n-boyutlu bir alt manifoldu üzerinde
düzgün bir φ tasviri, ∆ Laplace operatörünün Em
s -de§erli özfonksiyonlarnn sonlu
bir toplam ³eklinde yazlabilirse φ tasvirine sonlu tipten tasvir denir. Sonlu tipten Gauss tasvirine sahip Öklid veya yar Öklid uzaylarnn alt manifoldlar
birçok geometrici tarafndan çal³lm³tr [3-7]. Chen ve Piccinni, sonlu tipten Gauss tasvirine sahip Öklid uzaylarnn alt manifoldlar üzerine genel bir çal³ma yaparak sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar teorisinin temelini olu³turmu³tur ve 1-tipinden Gauss tasvirine sahip kompakt yüzeyleri sn andrm³tr [8].
Bir Öklidiyen veya yar Öklidiyen uzaynn bir alt manifoldu 1-tipinden G Gauss tasvirine sahipse, G Gauss tasviri ∆G = λ(G + C) denklemini baz λ ∈ R ve baz sabit C vektörleri için sa§lar [1, 7, 8]. Ancak birçok yüzeyin Gauss tasviri, F türevlenebilir bir fonksiyon ve C vektörü de sabit olmak üzere
∆G = F (G + C) (1.1)
denklemini sa§lar. Örne§in, E3 uzaynda katenoid ve dik koniler [9], ayrca E3 1
yar Öklid uzaynda 1., 2. ve 3. tip helikoidler, 2. tip Enneper yüzeylerin e³leni§i ve B-scroll [10] yüzeyinin Gauss tasvirleri (1.1) denklemini sa§lar. Bir Öklid veya yar Öklid uzaynn bir alt manifoldunun G Gauss tasviri, türevlenebilir bir F fonksiyonu ve bir sabit C vektörü için (1.1) denklemini sa§larsa, M manifolduna noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Noktasal 1-tipinden Gauss tasviri C vektörünün sfr veya sfrdan farkl olmasna göre, srasyla, birinci veya ikinci çe³ittendir denir.
Bu tez çal³masnda, E3
1 Minkowski uzaynn noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine
sahip do§rusal yüzeylerin ve dönel yüzeylerin sn andrlmas ele alnm³ ve bu amaçla [10] ve [11] nolu makaleler detayl olarak incelenmi³tir.
Tezin ikinci bölümünde, daha sonra kullanlacak olan alt manifoldlar teorisine ait baz temel tanm ve formüller verilmi³tir.
Üçüncü bölümde, E3
1 Minkowski uzaynn do§rusal yüzeylerinin tanm ve
sn andrlmas verilmi³, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzeylerin örnekleri ve genel sn andrmasn veren temel teoremler geni³ bir ³ekilde incelenmi³tir.
Dördüncü bölümde, E3
sahip dönel yüzeyleri ele alnm³tr. Bu yüzeylerin tanm ve sn andrlmas verilmi³; noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel yüzeylerin örnekleri, genel karekterizasyonunu ve sn andrmasn veren temel teoremler geni³ bir ³ekilde incelenmi³tir.
2. ALT MANFOLDLAR TEORSNE AT BAZI TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, Minkowski uzaynn alt manifoldlarna ait baz temel tanm ve formüller verilmektedir. Bunlar, di§er bölümlerde noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzeylerin ve dönel yüzeylerin incelenmesinde kullanlacaktr.
Rn, n-boyutlu reel vektör uzay, X = (X1, X2, . . . , Xn) ve Y = (Y1, Y2, . . . , Yn)
bu uzaya ait iki vektör olsun. Rn uzaynda
hX, Y i = −X1Y1+ X2Y2+ · · · + XnYn
ile tanmlanan h , i metri§i göz önüne alnsn. (Rn, h , i) metrik uzayna
Lorentz-Minkowski uzay denir ve En
1 ile gösterilir. Dejenere olmayan ve indeksi 1 olan
h , imetri§ine Lorentzian metrik veya Lorentz çarpm denir.
En1 uzayna ait bir X vektörüne, hX, Xi > 0 veya X = 0 ise uzaysal, hX, Xi < 0
ise zamansal, hX, Xi = 0, X 6= 0 ise ³ksal veya null vektör denir. E3
1 uzaynda
zamansal veya ³ksal bir vektör causal vektör olarak adlandrlr. E3
1 uzaynda
zamansal bir vektöre dik olan bir causal vektör yoktur.
Tanm 2.1. E31 Minkowski uzaynda dejenere olmayan indirgenmi³ metri§e
sahip bir M yüzeyinin normal vektörü zamansal ise M yüzeyine uzaysal, normal vektörü uzaysal ise M yüzeyine zamansal yüzey denir.
Zamansal yüzey üzerindeki indirgenmi³ metri§in indeksi 1 dir. E3
1 uzaynda
dejenere olmayan metri§e sahip bir yüzeye yar Riemannian yüzey denir.
Tanm 2.2. I, R reel saylar kümesinde açk bir aralk olmak üzere, E31 uzaynda düzgün bir α : I → E3
1 e§risi göz önüne alnsn. Bu e§rinin te§et
zamansal veya ³ksal(null) e§ri denir.
Yardmc Teorem 2.1. ki ³ksal vektörün birbirine dik olmas için gerek ve yeter ko³ul bu vektörlerin lineer ba§ml olmasdr.
E31, 3-boyutlu Minkowski uzayna ait iki vektör X = (X1, . . . , Xn), Y =
(Y1, . . . , Yn) olsun. X ve Y vektörlerinin Lorentz vektörel çarpm
X × Y = (−X2Y3+ X3Y2, X3Y1− X1Y3, X1Y2− X2Y1)
³eklinde tanmlanr. Lorentz vektörel çarpm a³a§daki özellikleri sa§lar. Yardmc Teorem 2.2. E3
1 uzaynda X, Y, Z ve W vektör alanlar için
X × Y = 0 ⇔ X ve Y lineer ba§mldr, X × Y = −Y × X, hX × Y, Zi = hY × Z, Xi, hX × Y, Xi = hX × Y, Y i = 0, hX × Y, Z × W i = hX, W ihY, Zi − hX, ZihY, W i özellikleri sa§lanr. E31 Minkowski uzaynda S12(1) = {p ∈ E31| hp, pi = 1} ve H2(−1) = {p ∈ E31| hp, pi = −1}
³eklinde tanmlanan kuadratik yüzeylere, srasyla, de Sitter uzay ve hiperbolik uzay (anti-de Sitter uzay) denir.
M, E3
1 Minkowski uzaynn bir yar Riemannian yüzeyi olsun. M yüzeyinin her
noktasn yine ayn noktadaki birim normal vektörüne götüren G : M → Q2(ε) ⊂ E31
i³aretini göstermek üzere, Q2(ε) = S2 1(1) e§er ε = 1 ise, H2(−1) e§er ε = −1 ise, dir. Em
1 Minkowski uzaynda n-boyutlu bir yar Riemannian M alt manifoldu göz
önüne alnsn. M alt manifoldunun üzerindeki (x1, . . . , xn) yerel koordinatlarna
göre, M alt manifoldunun ∆ Laplace operatörü ∆ = − n X i,j=1 gij ∂ 2 ∂xi∂xj − n X k=1 Γkij ∂ xk ! (2.1) ³eklinde verilir; burada gij fonksiyonlar g
ij metri§inin tersinin bile³enlerini ve
Γk ij fonksiyonlar da Γkij = n X r=1 1 2g kr ∂gjr ∂xi + ∂gri ∂xj − ∂gij ∂xr
³eklinde tanmlanan Christoell fonksiyonlarn göstermektedir. Bununla beraber, (2.1) ifadesi ∆ = − 1 p|G| X i,j ∂ ∂xi p |G|gij ∂ ∂xj (2.2) ³eklinde de yazlabilir, burada G = det(g) = det(gij) dir.
G, M yüzeyinin birim normal vektör alan ve X'de M yüzeyinin bir te§et vektör alan olsun. M yüzeyinin E3
1 Minkowski uzayndaki Weingarten formülü
e
∇X G = −AG(X)
³eklinde tanmlanr, burada AG ifadesine M yüzeyinin Weingarten tasviri veya
³ekil operatörü denir. E3
1 uzaynn bir M yüzeyi üzerinde yerel olarak tanml
{e1, e2} ortonormal te§et baz alan göz önüne alnd§nda, M yüzeyinin H
ortalama e§rili§i ve K Gauss e§rili§i H = 1 2trAG= 1 2 2 X i=1 εihAG(ei), eii ve K = εdetAG
3. E3
1 MNKOWSK UZAYININ NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS
TASVRNE SAHP DORUSAL YÜZEYLER
Bu bölümde, E3
1 Minkowski uzaynn do§rusal yüzeylerinin tanm ve
sn andrlmas verilmi³, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzeylerin örnekleri ve genel sn andrmasn veren temel teoremler detayl olarak incelenmi³tir. Noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeyler daha sonra iki çe³ide ayrlm³tr ve bu bölümde verilenler, birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzeyleri içermektedir.
3.1. Do§rusal Yüzeylerin Sn andrlmas
lk olarak üç boyutlu, E3
1, Minkowski uzaynda do§rusal yüzey tanm verilsin.
I, R reel do§rusu üzerinde açk bir aralk olsun ve α = α(s), I üzerinde tanml E31 uzaynda bir e§ri ve β = β(s), α boyunca tanml bir vektör alan olsun. Reel
saylar kümesinin bir J açk aral§ için, E3
1 uzaynn bir M do§rusal yüzeyi s ∈ I
ve t ∈ J olmak üzere
x = x(s, t) = α(s) + tβ(s)
olarak parametrelendirilir. Burada α = α(s) e§risine yüzeyin taban e§risi ve β = β(s) vektör alanna da yüzeyin do§rultman vektörü veya do§rultman e§risi denir. Do§rultman vektörünün sabit olmas veya sabit olmamas durumuna göre do§rusal yüzeye, srasyla, silindirik yüzey veya silindirik olmayan yüzey denir. Öncelikle taban e§risinin uzaysal veya zamansal olmas durumu göz önüne alnsn. Taban e§risinin ve do§rultman vektörünün karakterine göre be³ çe³it do§rusal yüzey vardr. Taban e§risinin, α(s), uzaysal veya zamansal olmas durumuna göre M yüzeyine, srasyla, M+ veya M− tipinden do§rusal yüzey
uzaysal oldu§u zaman e§er β0 vektörü ³ksal de§ilse yüzeye M1
+tipinden veya β 0
vektörü ³ksal ise M2
+ tipinden do§rusal yüzey denir. E§er, β vektörü zamansal
ise β0 vektörü uzaysaldr. Bu durumda, M
+ do§rusal yüzeye M+3 tipinden
do§rusal yüzey denir.
Di§er taraftan, M− do§rusal yüzeyi için β0 vektörünün ³ksal olmamas veya
³ksal olmas durumuna göre srasyla, M1
− tipinden veya M−2 tipinden do§rusal
yüzey denir. M1
+ ve M+2 tipinden do§rusal yüzeyleri uzaysal yüzeylerdir ve M+3, M−1 ve M−2
tipinden yüzeyleri de zamansal yüzeylerdir.
Bir M do§rusal yüzeyinin taban e§risinin ve do§rultman vektörünün ³ksal(null) olmas durumunda M yüzeyine bir null scroll denir. Cartan bazna sahip bir null scroll yüzeye B-scroll denir ve bu yüzey de zamansaldr.
3.2. Do§rusal Yüzey Örnekleri
Bu ksmda, birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip do§rusal yüzey örnekleri incelenecektir. Bu örnekler daha sonra verilecek sn andrma teoreminde kullanlacaktr.
Örnek 3.2.1. (1. Tip Uzaysal Helikoid) E3
1 Minkowski uzaynda |a| > |b| > 0
ko³ulunu sa§layan a ve b sabitleri için
x(s, t) = (−bs, (t + a) cos s, (t + a) sin s) ile tanmlanan bir M do§rusal yüzeyi göz önüne alnsn, burada
t <min(−a − b, −a + b) ya da t > max(−a − b, −a + b) dr. Bu parametrelendirme E3
1 uzaynda M+1 tipinden silindirik olmayan bir
do§rusal yüzey tanmlar. Bu yüzey 1. tip uzaysal helikoid olarak adlandrlr. Burada, |a| > |b| ko³ulunun niçin gerekli oldu§u açklansn. M1
+ yüzeyi do§rusal
oldu§undan x(s, t) ifadesi x(s, t) = α(s) + tβ(s) ³eklinde yazlrsa α(s) = (−bs, a cos s, a sin s), β(s) = (0, cos s, sin s)
olur. M1
+ tipinden yüzey için α e§risi uzaysal oldu§undan
α0(s) = (−b, −a sin s, a cos s)
te§et vektörü uzaysal olmaldr. Dolaysyla hα0, α0i = −b2 + a2 > 0 ko³ulundan
a2 > b2 , buradan da |a| > |b| olmas gerekti§i görülür. M1
+ yüzeyinin koordinat vektörleri
xs = (−b, −(t + a) sin s, (t + a) cos s), xt= (0, cos s, sin s)
³eklindedir. Verilen aralk üzerinde
hxs, xsi = −b2+ (t + a)2 > 0 ve hxt, xti = 1 > 0
oldu§undan yüzey uzaysaldr. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt= (t + a, b sin s, −b cos s)
elde edilir. Yüzey uzaysal oldu§undan yüzeyin normal vektörü zamansaldr, yani hxs× xt, xs× xti = −(t + a)2+ b2 < 0
olur. Böylece, kxs× xtk =p(t + a)2− b2 dr. Dolaysyla, M+1 yüzeyinin Gauss
tasviri
G = 1
p(t + a)2− b2(t + a, b sin s, −b cos s)
³eklinde bulunur. M1
+ yüzeyin metrik tensörünün bile³enleri g11 = (t + a)2 −
b2, g12= g21 = 0, g22= 1 olarak bulunur. Buna göre, G = det g = (t + a)2− b2
ve metrik tensörün tersinin bile³enleri g11= 1
(t + a)2− b2, g
12 = g21= 0, g22=
1 olur. M yüzeyinin Laplace operatörü (2.2) formülünden yararlanlarak hesaplanrsa ∆ = − 1 (t + a)2− b2 ∂2 ∂s2 + (t + a) ∂ ∂t+ (t + a) 2− b2 ∂ 2 ∂t2 (3.2.1) ³eklinde elde edilir. imdi ∆ Laplace operatörü Gauss tasvirine uygulansn. Gauss tasvirinin Gs, Gss, Gt, Gtt türevleri hesaplanrsa
∂G ∂s = 1 p(t + a)2− b2(0, b cos s, b sin s), ∂2G ∂s2 = 1 p(t + a)2− b2(0, −b sin s, b cos s),
∂G
∂t = (t + a)
2− b2−3/2
− b2, −(t + a)b sin s, (t + a)b cos s,
∂2G
∂t2 = (t + a)
2− b2−5/2
3b2(t + a), 2b(t + a)2sin s + b3sin s, − 2b(t + a)2cos s − b3cos s
elde edilir. Bu türevler (3.2.1) ifadesinde yerine yazld§nda
∆G = 1
((t + a)2− b2)5/2
(t + a)2− b2
0, b sin s, −b cos s) + t + a b2, (t + a)b sin s, −(t + a)b cos s
+ − 3b2(t + a), −2b(t + a)2sin s − b3sin s, 2b(t + a)2cos s + b3cos s
= −2b 2 ((t + a)2− b2)5/2 t + a, b sin s, −b cos s bulunur. Buradan da ∆G = −2b 2 ((t + a)2− b2)2G
elde edilir. Bu da G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.2. (2. Tip Uzaysal Helikoid) E3
1 Minkowski uzaynda |b| > |a| > 0
ko³ulunu sa§layan a ve b sabitleri için
x(s, t) = ((t + a) sinh s, (t + a) cosh s, −bs) ile tanmlanan bir M yüzeyi göz önüne alnsn, burada
min(−a − b, −a + b) < t < max(−a − b, −a + b) dr. Bu parametrelendirme E3
1 uzaynda M+1 tipinden silindirik olmayan bir
do§rusal yüzey tanmlar. Bu yüzey 2. tip uzaysal helikoid olarak adlandrlr. M1
+ yüzeyinin koordinat vektörleri
xs = ((t + a) cosh s, (t + a) sinh s, −b), xt= (sinh s, cosh s, 0)
³eklindedir. Bu vektörlerin uzaysal oldu§u kolayca görülebilir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan
elde edilir. Yüzeyin normal vektörü zamansal oldu§undan hxs× xt, xs× xti = −b2+ (t + a)2 < 0
dr ve buradan da
min(−a − b, −a + b) < t < max(−a − b, −a + b)
oldu§u görülür. Böylece, kxs × xtk = pb2− (t + a)2 olur. Önceki örnekte
yaplanlara benzer i³lemlerle bu yüzey için
∆G = −2b
2
(b2− (t + a)2)2G
elde edilir. Bu da, G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.3. (2. Tip Uzaysal Enneper Yüzeyin E³leni§i) E3
1 Minkowski uza-ynda x(s, t) = (1 6s 3+ ts, −1 6s 3 − ts + s, 1 2s 2 + t) ile tanmlanan M2
+ tipinden silindirik olmayan bir yüzey ele alnsn. Bu yüzey 2.
tip uzaysal Enneper yüzeyin e³leni§i olarak adlandrlr. M+2 yüzeyinin xs = ( 1 2s 2+ t, −1 2s 2− t + 1, s), x t= (s, −s, 1)
koordinat vektörleri uzaysaldr. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt= (− 1 2s 2+ t − 1,1 2s 2− t, −s)
elde edilir. Yüzeyin normal vektörü zamansal oldu§undan hxs× xt, xs× xti = 2t − 1 < 0 dr; yani t < 1 2 ve kxs× xtk = √ −2t + 1olur. Dolaysyla, M2 + yüzeyinin Gauss tasviri G = √ 1 −2t + 1(− 1 2s 2+ t − 1,1 2s 2− t, −s)
³eklinde bulunur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11= −2t + 1, g12=
g21 = 0, g22 = 1 olarak bulunur. Buna göre, G = det g = −2t + 1 ve metrik
tensörün tersinin bile³enleri de g11 = 1
−2t + 1, g
yüzeyinin ∆ Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = − 1 −2t + 1( ∂2 ∂s2 − ∂ ∂t+ (−2t + 1) ∂2 ∂t2) (3.2.2) elde edilir.
Gauss tasvirinin Gs, Gss, Gt, Gtt türevleri hesaplanrsa
∂G ∂s = 1 √ −2t + 1(−s, s, −1), ∂2G ∂s2 = 1 √ −2t + 1(−1, 1, 0), ∂G ∂t = −(−2t + 1) −3/2 t + 1 2s 2, −1 2s 2− t + 1, s ∂2G ∂t2 = −(−2t + 1) −5/2 3 2s 2 + t + 1, −3 2s 2− t + 2, 3s elde edilir. Bu türevler (3.2.2) ifadesinde yerine yazld§nda
∆G = 1 (−2t + 1)5/2 (2t − 1)(−1, 1, 0) − (t + 1 2s 2, −1 2s 2− t + 1, s) + (3 2s 2+ t + 1, −3 2s 2− t + 2, 3s) = − 2 (−2t + 1)5/2(− 1 2s 2+ t − 1,1 2s 2− t, −s) bulunur. Buradan da ∆G = −2 (−2t + 1)2 G, t < 1 2
elde edilir ki bu da, G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.4. (1. Tip Zamansal Helikoid) E3
1 Minkowski uzaynda |a| < |b|
ko³ulunu sa§layan a ve b sabitleri için
x(s, t) = (−bs, (t + a) cos s, (t + a) sin s) ile tanmlanan bir M yüzeyi göz önüne alnsn, burada
min(−a − b, −a + b) < t < max(−a − b, −a + b) dr. Bu parametrelendirme E3
1uzaynda M−1 tipinden silindirik olmayan bir yüzey
M1
− yüzeyinin koordinat vektörleri
xs = (−b, −(t + a) sin s, (t + a) cos s), xt= (0, cos s, sin s)
³eklindedir. Verilen aralk üzerinde xs vektörü zamansaldr. Ayrca xt
vektörü-nün uzaysal oldu§u açk olarak görülür. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt= (t + a, b sin s, −b cos s)
bulunur. Yüzeyin normali uzaysal oldu§undan
hxs× xt, xs× xti = b2− (t + a)2 > 0
dr. Buradan da min(−a − b, −a + b) < t < max(−a − b, −a + b) olmaldr. Dolaysyla, kxs× xtk =pb2− (t + a)2 oldu§undan M−1 yüzeyinin Gauss tasviri
G = 1
pb2− (t + a)2(t + a, b sin s, −b cos s)
³eklinde bulunur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = (t + a)2 −
b2, g12 = g21= 0, g22= 1olarak bulunur. Buna göre, G = det g = (t+a)2− b2ve
metrik tensörün tersinin bile³enleri de g11 = 1
(t + a)2− b2, g
12 = g21 = 0, g22 = 1
olur. M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa
∆ = − 1 b2− (t + a)2 ∂2 ∂s2 − (t + a) ∂ ∂t + b 2− (t + a)2 ∂ 2 ∂t2 (3.2.3) elde edilir.
Gauss tasvirinin Gs, Gss, Gt, Gtt türevleri hesapland§nda
∂G ∂s = 1 pb2− (t + a)2(0, b cos s, b sin s), ∂2G ∂s2 = 1 pb2− (t + a)2(0, −b sin s, b cos s), ∂G ∂t = b 2− (t + a)2−3/2
b2, (t + a)b sin s, −(t + a)b cos s,
∂2G
∂t2 = b
2−(t+a)2−5/2
elde edilir. Bu türevler (3.2.3) ifadesinde yerine yazld§nda ∆G = 1 (b2− (t + a)2)5/2 b2− (t + a)2 0, −b sin s, b cos s) + t + a b2, (t + a)b sin s, −(t + a)b cos s
− 3b2(t + a), 2b(t + a)2sin s + b3sin s, −2b(t + a)2cos s − b3cos s
= − 2b 2 (b2− (t + a)2)5/2 t + a, b sin s, −b cos s bulunur. Buradan da ∆G = −2b 2 (b2− (t + a)2)2G
elde edilir. Bu da G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
A³a§daki örneklerin hesaplar öncekilere benzedi§i için hesaplarn detaylar verilmeyecektir.
Örnek 3.2.5. (2. Tip Zamansal Helikoid) E3
1 Minkowski uzaynda |a| > |b| > 0
ko³ulunu sa§layan a ve b sabitleri için
x(s, t) = ((t + a) sinh s, (t + a) cosh s, −bs) ile tanmlanan bir M yüzeyi göz önüne alnsn, burada
t <min(−a − b, −a + b) ya da t > max(−a − b, −a + b) dr. Bu parametrelendirme E3
1uzaynda M−1 tipinden silindirik olmayan bir yüzey
tanmlar. Bu yüzey 2. tip zamansal helikoid olarak adlandrlr. M1
− yüzeyinin Gauss tasvirinin ∆G Laplasiyeni
∆G = −2b
2
((t + a)2− b2)2G
olarak belirlenir. Bu da G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.6. (3. Tip Zamansal Helikoid) E3
1 Minkowski uzaynda |a| < |b|
ko³ulunu sa§layan a ve b sabitleri için
ile tanmlanan bir M yüzeyi göz önüne alnsn, burada
min(−a − b, −a + b) < t < max(−a − b, −a + b) dr. Bu parametrelendirme E3
1uzaynda M+3 tipinden silindirik olmayan bir yüzey
tanmlar. Bu yüzey 3. tip zamansal helikoid olarak adlandrlr. M3
+ yüzeyinin Gauss tasvirinin ∆G Laplasiyeni
∆G = 2b
2
(b2− (t + a)2)2G
olarak belirlenir. Bu da G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.7. (2. Tip Zamansal Enneper Yüzeyin E³leni§i) E3
1 Minkowski uzaynda x(s, t) = (1 6s 3+ ts + s, −1 6s 3− ts, 1 2s 2 + t) ile tanmlanan M2
− tipinden silindirik olmayan bir yüzey ele alnsn. Bu yüzey,
2. tip zamansal Enneper yüzeyin e³leni§i olarak adlandrlr. M2
− yüzeyinin Gauss tasvirinin ∆G Laplasiyeni
∆G = −2
(2t + 1)2G
olarak belirlenir, burada t > −1
2 dir. Bu da, G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
Örnek 3.2.8. (B-scroll [3]) E3
1Minkowski uzaynda γ = γ(s) ³ksal(null) bir e§ri
olsun. Bu e§ri boyunca tanml ve a³a§daki özellikleri sa§layan A(s), B(s), C(s) vektör alanlarna γ(s) üzerinde Cartan çats denir:
hA, Ai = hB, Bi = 0, hA, Bi = 1, hA, Ci = hB, Ci = 0,
hC, Ci = 1, C = A × B, γ0 = A, C0 = −aA − k(s)B,
burada a bir sabit ve k(s) sfrdan farkl bir fonksiyondur. Bu A, B, C vektörleri için A0
(s) = k(s)C ve B0(s) = aC ifadeleri de sa§lanr. O halde, x = x(s, t) = γ (s) + tB(s) yüzeyi E3
1 Minkowski uzaynda zamansal bir
Bu yüzeyin koordinat vektörleri
xs= γ0+ tB0 = A + atC, xt = B
³eklindedir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan
xs× xt = (A + atC) × B = C − atB
elde edilir. Yüzey zamansal oldu§undan yüzeyin normal vektörü uzaysaldr, yani, hxs× xt, xs× xti = kxs× xtk = 1 dir. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri
G = −atB(s) + C(s)
³eklinde bulunur. Gauss tasvirinin Gs ve Gt türevleri srasyla
Gs= −atB0+ C0
= −at(aC) − aA − k(s)B = −a(A + atC) − k(s)B = −axs− k(s)xt
ve
Gt= −aB = −axt
olur. Yüzeyin ³ekil operatörü AG ile gösterilirse
AG(xs) = −Gs = axs+ k(s)xt, AG(xt) = −Gt = axt
bulunur. Böylece AG ³ekil operatörü
AG= a 0 k(s) a
olarak yazlr ve buradan H = a ve K = a2 olup, yüzeyin ortalama e§ri§inin ve
Gauss e§rili§inin sabit oldu§u görülür. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = a2t2, g12 = g21= 1, g22 = 0 olarak bulunur. Buna göre G = det g = −1 ve
metrik tensörün tersinin bile³enleri de g11= 0, g12 = g21= 1, g22 = −a2t2 olur.
Bu yüzeyin ∆ Laplace operatörü hesapland§nda ∆ = −2 ∂ 2 ∂s∂t + 2a 2t∂ ∂t+ a 2t2 ∂ 2 ∂t2
elde edilir ve bu operatör Gauss tasvirine uyguland§nda ∆G = 2a2C − 2a3tB = 2a2(C − atB) = 2a2G
bulunur ki bu da, G Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden oldu§unu ifade eder.
3.3 Sn andrma Teoremleri
Bu ksmda, do§rusal yüzeyler birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinin yardmyla sn andrlacaktr. M do§rusal yüzeyinin ∆G = F G ko³ulunu sa§-lad§ kabul edilsin. O halde, ∆G ifadesinin te§et bile³eni sfrdr, yani,
∆G − εh∆G, GiG = 0, ε = hG, Gi (3.3.1) olur. E3
1 Minkowski uzaynda do§rusal yüzeyler α taban e§risi ve β vektör
alannn karakterine göre üç belirli tipe ayrlr, yani, silindirik do§rusal yüzeylere, silindirik olmayan do§rusal yüzeylere ve null scroll yüzeylere.
Teorem 3.3.1. E31 Minkowski uzaynda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine
sahip, taban e§risi uzaysal ya da zamansal olan silindirik do§rusal yüzeyler sadece a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parçasndan ibarettir:
1. bir Öklid düzlemi, 2. bir Minkowski düzlemi, 3. hiperbolik silindir,
4. Lorentz çembersel silindir, 5. indeksi 1 olan çembersel silindir. spat. M, E3
1 Minkowski uzaynda silindirik do§rusal bir yüzey olsun. Yani,
α = α(s) uzaysal ya da zamansal bir e§ri, β = β(s) α e§risi boyunca α ya dik uzaysal ya da zamansal birim, sabit vektör alan ve s, α e§risinin yay uzunlu§u olsun. O halde, M yüzeyi
hα0, α0i = ε1(= ±1), hα0, βi = 0, hβ, βi = ε2(= ±1)
olmak üzere
x = x(s, t) = α(s) + tβ
³eklinde parametrelendirilir. M silindirik do§rusal yüzey oldu§u için β0
hβ0, β0i = 0oldu§undan β0null bir vektör alan de§ildir. Böylece M yüzeyi sadece
M1
+, M+3 ya da M−1 tipindendir. spat iki duruma ayrlr.
1. Durum: M yüzeyi, M1
+ ya da M−1 tipinden silindirik bir yüzey olsun, yani,
ε2 = 1 olsun. Bir Lorentz dönü³ümü ile, genellik bozulmadan, β vektör alan
β = (0, 0, 1) ³eklinde seçilebilir. Böylece, silindirin taban e§risi β vektörüne dik olan düzlem içinde, yani, α(s) = (α1(s), α2(s), 0) olarak alnabilir. Taban e§risi
α(s), yay uzunlu§una göre alnd§ndan −α012 + α022 = ε1(= ±1) olur. Yüzeyin
koordinat vektörleri
xs = α0(s) = (α10(s), α 0
2(s), 0), xt= β = (0, 0, 1)
³eklindedir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt = (−α02, −α
0
1, 0) ve hxs× xt, xs× xti = −α02 2
+ α012 = −ε1
elde edilir. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri
G = (−α02, −α01, 0), ε = hG, Gi = −ε1
³eklinde bulunur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = ε1, g12= g21 =
0, g22 = 1 olur. Buna göre G = det g = ε1 ve metrik tensörün tersinin bile³enleri
de g11 = ε
1, g12 = g21 = 0, g22 = 1 olur. M yüzeyinin Laplace operatörü
hesaplanrsa ∆ = −ε1 ∂2 ∂s2 − ∂2 ∂t2
elde edilir. Bu operatör Gauss tasvirine uyguland§nda ∆G = (ε1α0002, ε1α0001, 0)
bulunur. ∆G = F G ko³ulu kullanlarak
(ε1α0002, ε1α0001, 0) = F (s, t)(−α 0 2, −α 0 1, 0) buradan da ε1α2000 = −F (s, t)α 0 2, ε1α0001 = −F (s, t)α 0 1 (3.3.2)
diferansiyel denklemleri elde edilir. Son ifadeden açkça görülüyor ki, F sadece s de§i³keninin bir fonksiyonudur.
Yukardaki denklemlerin çözülmesi için ilk olarak, M yüzeyinin M1
+ tipinden
oldu§u kabul edilsin, yani, ε1 = 1 olsun. Böylece, hα0, α0i = −α01 2
+ α022 = 1 olur. Buna göre
α01(s) = sinh θ(s), α02(s) = cosh θ(s) seçilebilir. Buradan
α001 = θ0cosh θ, α0001 = θ00cosh θ + θ02sinh θ ve
α002 = θ0sinh θ, α0002 = θ00sinh θ + θ02cosh θ
türevleri bulunur. Bunlar (3.3.2) ile verilen denklemlerde yerine yazld§nda (θ02+ F (s, t)) cosh θ + θ00sinh θ = 0
ve
(θ02+ F (s, t)) sinh θ + θ00cosh θ = 0 elde edilir. Bu iki denklemin çözümü
θ00 = 0 ve θ02+ F (s, t) = 0
olmasn gerektirir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. Bu da M yüzeyinin sonlu tipten Gauss tasvirine sahip oldu§unu ifade eder. [4] nolu makaledeki 3.1 Önermesi göz önüne alnd§nda, M yüzeyinin, bir Öklid düzleminin veya bir hiperbolik silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr. imdi M yüzeyinin M1
− tipinden oldu§u kabul edilsin, yani, ε1 = −1 olsun.
Böylece hα0, α0i = −α0 1 2
+ α202 = −1 olur. Buna göre α01(s) = cosh θ(s), α02(s) = sinh θ(s) seçilebilir. Buradan
α001 = θ0sinh θ, α0001 = θ00sinh θ + θ02cosh θ ve
türevleri bulunur. Bunlar (3.3.2) ile verilen denklemlerde yerine yazld§nda (θ02− F (s, t)) sinh θ + θ00cosh θ = 0,
(θ02− F (s, t)) cosh θ + θ00sinh θ = 0 elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü
θ00= 0 ve θ02− F (s, t) = 0
denklemlerini verir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. [4] nolu makaledeki 3.1 Önermesi göz önüne alnd§nda, M yüzeyinin, bir Minkowski düzleminin veya bir Lorentz çembersel silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr.
2. Durum: M, M3
+ tipinden silindirik bir yüzey olsun, yani, ε1 = 1, ε2 = −1
olsun. Bir Lorentz dönü³ümüyle, genellik bozulmadan, β vektör alan β = (1, 0, 0) ³eklinde seçilebilir. Böylece silindirin taban e§risi β vektörüne dik olan düzlem içinde, yani, α(s) = (0, α2(s), α3(s)) olarak alnabilir. Taban e§risi α(s)
yay uzunlu§una göre alnd§ndan hα0, α0i = α0 2 2 + α302 = 1 olur. Yüzeyin koordinat vektörleri xs = α0(s) = (0, α02(s), α 0 3(s)), xt= β = (1, 0, 0)
³eklindedir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt= (0, α03, −α
0
2) ve hxs× xt, xs× xti = α02 2
+ α032 = 1 elde edilir. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri
G = (0, α03, −α02)
³eklinde bulunur. Bu yüzey için gij = δij, gij = δij, G = det g = 1 olur. M
yüzeyinin Laplace operatörü hesapland§nda ∆ = − ∂
2
∂s2 −
∂2 ∂t2
elde edilir ve bu operatör G tasvirine uygulanrsa ∆G = (0, −α0003 , α0002)
bulunur. ∆G = F G ko³ulu kullanlarak
α0003 = −F (s, t)α03, α0002 = −F (s, t)α02 (3.3.3) diferansiyel denklemleri elde edilir. Burada da F fonksiyonunun sadece s de§i³kenine ba§l oldu§u görülür. imdi hα0, α0i = α0
2 2 + α032 = 1 olmas göz önüne alnarak α20(s) = cos θ(s), α03(s) = sin θ(s) seçilebilir. Buradan
α002 = −θ0sin θ, α0002 = −θ00sin θ − θ02cos θ ve
α003 = θ0cos θ, α0003 = θ00cos θ − θ02sin θ türevleri bulunur. Bunlar (3.3.3) ifadesinde yerine yazld§nda
θ00cos θ − (θ02− F (s, t)) sin θ = 0 ve
θ00sin θ + (θ02− F (s, t)) cos θ = 0 denklemleri bulunur. Bu denklem sisteminin çözümünden
θ00 = 0 ve θ02− F (s, t) = 0
denklemleri elde edilir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. [4] nolu makaledeki 3.2 Önermesi göz önüne alnrsa M yüzeyinin bir Minkowski düzleminin veya indeksi 1 olan çembersel bir silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr.
Teorem 3.3.2. E3
1 Minkowski uzaynda, M silindirik olmayan ve taban e§risi
uzaysal ya da zamansal olan do§rusal bir yüzey olsun. M yüzeyinin Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parças olmasdr:
1. Birinci tip uzaysal ya da zamansal helikoid yüzeyi, 2. kinci tip uzaysal ya da zamansal helikoid yüzeyi,
3. Üçüncü tip zamansal helikoid yüzeyi,
4. kinci tip uzaysal ya da zamansal Enneper yüzeylerinin e³leni§i. spat. spat iki duruma ayrlr.
1. Durum: M, α taban e§risi ve β do§rultman vektörünün karakterine göre M1
+, M+3 ya da M−1 tiplerinden biri olan, silindirik olmayan do§rusal bir yüzey
olsun. Bu durumda srasyla,
1. α = α(s) uzaysal ve β = β(s) uzaysaldr, 2. α = α(s) uzaysal ve β = β(s) zamansaldr, 3. α = α(s) zamansal ve β = β(s) uzaysaldr,
burada s, β do§rultman vektörünün yay uzunlu§udur. Uygun bir kat harekete göre, M do§rusal yüzeyi
hα0, βi = 0, hβ, βi = ε2(= ±1), hβ0, β0i = ε3(= ±1)
olacak ³ekilde
x = x(s, t) = α(s) + tβ(s) ile ifade edilir. Yüzeyin koordinat vektörleri
xs = α0+ tβ0, xt = β (3.3.4)
yüzey üzerinde do§al bir te§et baz alan belirler. Sonradan kullanlmak üzere, q, u ve v dieransiyellenebilir fonksiyonlar a³a§daki ³ekilde tanmlansn:
q = kxsk2 = ε4hxs, xsi, u = hα0, β0i, v = hα0, α0i, (3.3.5)
burada ε4(= ±1), xs vektörünün i³aretidir. Yani,
hxs, xsi =hα0+ tβ0, α0+ tβ0i
=t2hβ0, β0i + 2thα0, β0i + hα0, α0i =ε3t2+ 2tu + v
q = ε4(ε3t2+ 2tu + v) (3.3.6)
olur. Dolaysyla, M üzerinde indirgenmi³ pseudo-Riemannian g metri§inin bile³enleri g11 = ε4q, g12= g21 = 0ve g22= ε2 elde edilir. Buna göre G = det g =
ε2ε4q ve metrik tensörün tersinin bile³enleri de g11=
ε4
q , g
12= g21= 0, g22= ε 2
olur. M yüzeyinin xs ve xt koordinat vektörlerinin vektörel çarpmndan
xs× xt= (α0+ tβ0) × β = α0× β + tβ0× β = A + tB
elde edilir, burada A = α0× β ve B = β0× β dir. Böylece
hxs× xt, xs× xti = hxs, xti2− hxs, xsihxt, xti = −ε2ε4q
bulunur ve yüzeyin normalinin i³areti ε = −ε2ε4 elde edilir. Dolaysyla
kxs× xtk =
√
q ve yüzeyin Gauss tasviri
G = q−1/2(A + tB)
³eklinde bulunur. M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −ε4 1 q ∂2 ∂s2 − 1 2q2 ∂q ∂s ∂ ∂s − ε2 ∂2 ∂t2 + 1 2q ∂q ∂t ∂ ∂t (3.3.7) elde edilir. Bu operatörün G tasvirine uygulanmas için qs, qt, Gs, Gt, Gss, Gtt
türevleri hesapland§nda ∂q ∂s = ε4(2tu 0 + v0), ∂q ∂t = 2ε4(ε3t + u), ∂G ∂s = − 1 2ε4q −3/2 (2tu0+ v0)(A + tB) + q−1/2(A0+ tB0) (3.3.8) ∂G ∂t = −ε4q −3/2 (ε3t + u)(A + tB) + q−1/2B, (3.3.9) ∂2G ∂s2 = 3 4q −5/2 (2tu0+ v0)2−1 2ε4q −3/2 (2tu00+ v00)(A + tB) − ε4q−3/2(2tu0+ v0)(A0+ tB0) + q−1/2(A00+ tB00), ∂2G ∂t2 = 3q −5/2(ε 3t + u)2(A + tB) − ε3ε4q−3/2(A + tB) − 2ε4q−3/2(ε3t + u)B
bulunur. Bu türevler (3.3.7) ifadesinde yerine yazld§nda ∆G = n ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2 + 1 2q −2 (2u00t + v00)oq−1/2(A + tB) + 1 2q −5/2n 2ε2ε4q (ε3t + u)B + ε3A − ε3A − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0 + tB0)
o ,
∆G =nε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2 +1 2q −2 (2u00t + v00) o q−1/2(A + tB) + ε2ε3ε4q−3/2(A + tB) +1 2q −5/2n 2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0) o , ∆G =n2ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2+ 1 2q −2 (2u00t + v00)oG + 1 2q −5/2n
2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)
o (3.3.10) olur. imdi a = a(s) fonksiyonu ve −→b =−→b (s) vektörü
a = 2ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2+ 1 2q −2 (2u00t + v00), − → b = 1 2q −5/22ε
2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)
³eklinde alnrsa (3.3.10) ifadesi ∆G = aG +−→b olur. Sonra (3.3.1) e³itli§inden
∆G − εh∆G, GiG = aG +−→b − ε(aε + hb, Gi)G =−→b − εhb, GiG = 0
bulunur. Buradan 1
2q
−5/2n
2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)
o −1
2εq
−7/2
(A + tB)n2ε2ε4q − ε3hA, Ai − ε3thA, Bi + uhA, Bi + uthB, Bi
− 2ε4q hA00, Ai + thA00, Bi + thA, B00i + t2hB, B00i + 3(2u0t + v0) hA0, Ai
+ thA0, Bi + thA, B0i + t2hB0
, Bio= 0 (3.3.11)
olur. Yukardaki denklemde geçen baz büyüklükler hesapland§nda hA, Ai = −ε2v, hA, Bi = −ε2u, hB, Bi = −ε2ε3,
hA0, Ai = −ε2 2v
0
, hB0, Bi = 0, hA0, Bi + hA, B0i = −ε2u0
yerine koyulursa n
2ε2ε4(ε3t2+ 2tu + v)2(−ε3A + uB) − 2ε4(ε3t2+ 2tu + v)2(A00+ tB00)
+ 3ε4(ε3t2+ 2tu + v)(2u0t + v0)(A0+ tB0)
o
− ε(A + tB)n2(ε3t2 + 2tu + v)(ε3v − u2) − 2(ε3t2+ 2tu + v) hA00, Ai
+ thA00, Bi + thA, B00i + t2hB, B00i − 3 2ε2(2u 0 t + v0)2o= 0 olur ve buradan da (t4+ 4ε3ut3 + 4u2t2 + 2ε3vt2+ 4uvt + v2)(−2ε2ε3ε4A + 2uε2ε4B − 2ε4A00
− 2ε4tB00) + 3ε4(2ε3u0t3+ ε3t2v0+ 4uu0t2+ 2uv0t + 2u0vt + vv0)(A0+ tB0)
− ε(A + tB)n2(ε3t2+ 2tu + v) ε3v − u2− hA00, Ai − thA00, Bi − thA, B00i
− t2hB, B00i − 3
2ε2(4u
02
t2+ v02+ 4u0v0t)o= 0 elde edilir. Bu ifade t de§i³kenine göre düzenlenirse
t5h− 2ε4B00+ 2εε3hB00, BiB i + t4 h − 2ε4A00− 2ε4(ε2ε3− εε3ε4hB00, Bi)A − 8ε3ε4uB00+ 6ε3ε4u0B0
+ 2ε4 ε2u + εε3ε4hA00, Bi + εε3ε4hA, B00i + 2εε4uhB, B00iB
i + t3h− 8ε3ε4uA00+ 6ε3ε4u0A0− 8ε2ε4u − 2εε3hA00, Bi − 2εε3hA, B00i − 4εuhB, B00iA − (4ε3ε4v + 8ε4u2)B00+ (12ε4uu0+ 3ε3ε4v0)B0 + 8ε2ε3ε4u2+ 2εε3u2− 2εv + 6εε2u02+ 2εε3hA, A00i + 4εuhA00, Bi + 4εuhA, B00i + 2εvhB00, BiBi+ t2h− ε4(4ε3v + 8u2)A00+ ε4(12uu0+ 3ε3v0)A0− 4ε2ε4v + 8ε2ε3ε4u2
+ 2εv − 2εε3u2− 6εε2u02− 2εε3hA, A00i − 4εuhA00, Bi − 4εuhA, B00i
− 2εvhB00, BiA − 8ε
4uvB00+ ε4(6u0v + 6uv0)B0+ 4ε2ε3ε4uv
+ 8ε2ε4u3− 4εε3uv + 4εu3+ 6εε2u0v0+ 4εuhA, A00i + 2εvhA00, Bi
+ 2εvhA, B00iBi+
− 4εuhA, A00i − 2εvhA00, Bi − 2εvhA, B00iA − 2ε4v2B00+ 3ε4vv0B0 + 8ε2ε4u2v − 2εε3v2+ 2εu2v + 3 2εε2v 02 + 2εvhA, A00iBi+ h − 2ε4v2A00+ 3ε4vv0A0− 2ε2ε3ε4v2 + 2εε3v2− 2εu2v − 3 2εε2v 02 − 2εvhA, A00iA + 2ε2ε4uv2B i = 0
bulunur. Bu da katsaylar s'nin fonksiyonu olan t de§i³kenine göre bir polinomdur. Bu polinomun katsaylar sfr olmaldr. Yani,
B00− εε3ε4hB00, BiB = 0, (3.3.12)
A00+ (ε2ε3− εε3ε4hB00, Bi)A + 4ε3uB00− 3ε3u0B0− (ε2u + εε3ε4hA00, Bi
+ εε3ε4hA, B00i + 2εε4uhB, B00i)B = 0, (3.3.13)
8ε3ε4uA00− 6ε3ε4u0A0+ 8ε2ε4u − 2εε3hA00, Bi − 2εε3hA, B00i
− 4εuhB, B00iA + (4ε3ε4v + 8ε4u2)B00− (12ε4uu0+ 3ε3ε4v0)B0
− 8ε2ε3ε4u2+ 2εε3u2− 2εv + 6εε2u02+ 2εε3hA, A00i + 4εuhA00, Bi
+ 4εuhA, B00i + 2εvhB00, BiB = 0, (3.3.14) ε4(4ε3v + 8u2)A00− ε4(12uu0+ 3ε3v0)A0+ 4ε2ε4v + 8ε2ε3ε4u2+ 2εv − 2εε3u2
− 6εε2u02− 2εε3hA, A00i − 4εuhA00, Bi − 4εuhA, B00i − 2εvhB00, BiA + 8ε4uvB00
− ε4(6u0v + 6uv0)B0− 4ε2ε3ε4uv + 8ε2ε4u3− 4εε3uv + 4εu3+ 6εε2u0v0
+ 4εuhA, A00i + 2εvhA00, Bi + 2εvhA, B00iB = 0, (3.3.15)
16ε4uvA00− ε4(12u0v + 12uv0)A0+ 16ε2ε3ε4uv + 8εε3uv − 8εu3− 12εε2u0v0
− 8εuhA, A00i − 4εvhA00, Bi − 4εvhA, B00iA + 4ε4v2B00− 6ε4vv0B0
− 16ε2ε4u2v − 4εε3v2+ 4εu2v + 3εε2v02+ 4εvhA, A00iB = 0, (3.3.16)
4ε4v2A00− 6ε4vv0A0+ 4ε2ε3ε4v2+ 4εε3v2− 4εu2v − 3εε2v02− 4εvhA, A00iA
− 4ε2ε4uv2B = 0, (3.3.17)
olur. Önceden hB0, Bi = 0 oldu§u biliniyor. Bu kullanlrsa (3.3.12)'den
olur, yani bir c sabiti için hB0, B0i = c dir. Ayrca hB0, Bi = 0 ifadesinin türevi
alnrsa
hB00, Bi + hB0, B0i = 0 ve hB00, Bi = −c (3.3.19) bulunur. Böylece (3.3.12) denklemi
B00 = −εε3ε4cB (3.3.20)
³eklinde yazlr. Bu ifadenin A ile iç çarpm alnrsa
hA, B00i = −εε3ε4chA, Bi = εε2ε3ε4cu (3.3.21)
olur. imdi (3.3.18),(3.3.19),(3.3.20) ve (3.3.21) e³itlikleri kullanlarak A00, A0
ve B0 ifadeleri yok edilsin. Sonra (3.3.13) denkleminin B ile iç çarpm alnr ve
ilgili e³itlikler kullanlrsa hA00, Bi = −ε
3cubulunur. Böylece (3.3.13) denklemi
A00+ (ε2ε3 + εε3ε4c)A − (ε2u + ε2cu + εε4cu)B − 3ε3u0B0 = 0 (3.3.22)
olur. Benzer ³ekilde (3.3.17) denkleminin A ile iç çarpm alnr ve ilgili e³itlikler kullanlrsa
hA00, Ai = − 3 4vε2v
02
+ ε3v − u2
elde edilir. Dolaysyla, (3.3.17) denklemi
4ε4v2A00− 6ε4vv0A0+ 4ε2ε3ε4v2A − 4ε2ε4uv2B = 0
olur. imdi bu denklemde A00 yerine (3.3.22)'daki ifade yazlrsa
4εε3cv2A − 4cuv2(ε + ε2ε4)B + 6ε4vv0A0− 12ε3ε4u0v2B0 = 0 (3.3.23)
elde edilir. Benzer düzenlemeler (3.3.14), (3.3.15) ve (3.3.16) denklemleri için yaplrsa srasyla a³a§daki denklemler elde edilir:
4cuv(ε + ε2ε4)A − (8ε3cu2v(ε + ε2ε4) − 4εcv2− 12εε2vu02+ 3εε2ε3v02)B + 12ε3ε4u0vA0− 6ε4v(4uu0− ε3v0)B0 = 0, (3.3.24) (4εcv2+ 8ε3cu2v(ε + ε2ε4) + 12εε2u02v − 3εε2ε3v02)A + (4ε3cuv2(ε − ε2ε4) − 16cu3v(ε + ε 2ε4) + 6εε2v0(2u0v − uv0))B + 6ε4v(4uu0+ ε3v0)A0 + (12ε4v(uv0− u0v) − 48ε3ε4u2u0v)B0 = 0 (3.3.25)
ve
(4ε3cuv2(3ε + ε2ε4) + 6εε2v0(2u0v − uv0))A + (4εε3cv3 − 16cu2v2(ε + ε2ε4))B
+ 12ε4v(u0v + uv0)A0+ 6ε4v2(v0− 8ε3uu0)B0 = 0. (3.3.26)
[10] nolu makalede (3.3.13), (3.3.14), (3.3.15), (3.3.16) ve (3.3.17) ile belirtilen denklemlerde A0 ve B0'lü ifadelerde ε çarpan hatal olarak yazlm³tr.
Ayrca, (3.3.14) denkleminde B'li ilk ifadenin de ε4 çarpan yazlmam³tr.
Burada düzeltilmi³ hali yazldr.
Elde edilen (3.3.23),(3.3.24),(3.3.25),(3.3.26) denklemlerinde A0 ve B0
terimleri yok edilirse
(v02− 4ε3u02v)A + (8vuu02− 4ε3u0vv0)B = 0 (3.3.27)
ve
(4u0vv0− 2uv02)A + (vv02− 4ε3u02v2)B = 0 (3.3.28)
denklemleri bulunur. A ve B vektörlerinin, I aral§na ait baz s de§erleri için lineer ba§ml oldu§u kabul edilsin. O halde, bir κ1 sabiti için A = κ1B yazlr.
Ave B vektörlerinin ifadeleri göz önüne alnrsa α0× β = κ1β0× β olur. Buradan
(α0− κ1β0) × β = 0
olur, yani bir κ2 sabiti için α0− κ1β0 = κ2β yazlr. Bu e³itli§in srasyla β0 ve α0
ile iç çarpm alnrsa u = ε3κ1 ve v = κ1u = ε3κ21 bulunur. imdi (3.3.6) ifadesi
u ve v de§erleri kullanlarak
q =ε4(ε3t2+ 2tu + v)
=ε3ε4(t2+ 2κ1t + κ21)
=ε3ε4(t + κ1)2
³eklinde yazlabilir. Buna göre t = −κ1 için q = 0 olur, yani yüzeyin G normali
tanmsz olur. Bu da q fonksiyonunun pozitif bir fonksiyon olmasyla çeli³ir. O halde, A ve B vektörleri tüm s ∈ I için lineer ba§mszdr. Buradan (3.3.27) ve (3.3.28) denklemlerindeki A ve B vektörlerinin katsaylar sfr olmaldr, yani
u0v(2uu0− ε3v0) = 0, (3.3.30)
2u0vv0− uv02 = 0, (3.3.31) vv02− 4ε3u02v2 = 0 (3.3.32)
olur.
U = {p ∈ M | u0(p) 6= 0} açk kümesinin bo³ kümeden farkl oldu§u kabul
edilsin. U kümesi üzerinde, (3.3.30) nolu denklemden v0 = 2ε3uu0
olur. Bu ifade kullanlarak (3.3.29) denkleminden u02(u2 − ε
3v) = 0 olur. U
kümesi üzerinde u0 6= 0 oldu§u için
u2 = ε3v
elde edilir. imdi u ve v ifadeleri kullanlrsa (3.3.6) denkleminden q =ε4(ε3t2+ 2tu + v)
=ε3ε4(t2+ 2ε3ut + u2)
=ε3ε4(t + ε3u)2
olur. Buna göre t = −ε3uiçin q = 0 olur, yani yüzeyin G normali tanmsz olur.
Bu da q fonksiyonunun pozitif bir fonksiyon olmasyla çeli³ir. O halde, U kümesi bo³ kümedir, yani u0 = 0 ve (3.3.29)'dan v0 = 0 olur.
imdi B = β0× β vektöründen türev alnarak
B0 = β00× β + β0× β0 = β00× β ve B00= β000× β + β00× β0
ifadeleri elde edilir. Ayrca, (3.3.20) e³itli§inin β ile iç çarpm alnr ve B00
vektörü kullanlrsa
hB00, βi = −εε3ε4chB, βi,
hβ000× β + β00× β0, βi = −εε3ε4chβ0× β, βi = 0
ve böylece
bulunur. Dolaysyla, β = κ1β0+κ2β00olacak ³ekilde κ1ve κ2 dieransiyellenebilir
fonksiyonlar vardr. Bu e³itli§in β0 ile iç çarpm alnr ve ilgili e³itlikler
kullanlrsa
hβ, β0i = κ1hβ0, β0i + κ2hβ00, β0i = 0
ve böylece κ1 = 0 olur. Yani β = κ2β00 olup β ve β00 vektörleri paraleldir.
Ayrca, (3.3.5) denklemindeki u ve v fonksiyonlarnn türevi alnp, u0 = v0 = 0
ifadesi kullanlrsa hα00, α0i = v0 = 0 (3.3.33) ve hα00, β0i + hα0, β00i = u0 = 0, hα00, β0i + hα0, 1 κ2 βi = 0, hα00, β0i + 1 κ2 hα0, βi = 0, hα00, β0i = 0 (3.3.34)
oldu§u görülür. Buna göre α0, β, β0 ve α00 vektör alanlar için,
α00 = κ1α0+ κ2β0+ κ3β
ifadesi baz κ1, κ2 ve κ3 türevlenebilir fonksiyonlar için yazlabilir. Bu e³itli§in
β ile iç çarpm alnrsa
hα00, βi = ε2κ3
olur. Bununla beraber (3.3.33) ve (3.3.34) denklemleri göz önüne alnrsa α00 = κ3β olur, yani α00 ve β vektörleri paraleldir.
M yüzeyinin H ortalama e§rilik vektörü hesaplansn. imdi (3.3.8) e³itli§i Gs= q−1/2(A0+ tB0) = q−1/2(α00× β + α0× β0+ tβ00× β)
olup α00 ve β vektörleri ile β ve β00 vektörleri paralel oldu§undan
Gs= q−1/2(α0× β0)
bulunur. ekil operatörünün {xs, xt} bazna göre bile³enleri aij ile gösterilirse
olur. Bu denklem, (3.3.4) ifadesindeki xs ve xt vektörleri ile srasyla çarplrsa
−q−1/2hα0 × β0, α0+ tβ0i = ε4a11q,
a11 = 0,
−q−1/2hα0 × β0, βi = ε2a21,
a21= −ε2q−1/2hα0 × β0, βi
bulunur. Benzer ³ekilde (3.3.9) kullanlrsa
ε4q−3/2(ε3t + u)(A + tB) − q−1/2B = a12xs+ a22xt
olur. Bu denklem, (3.3.4) ifadesindeki xs ve xt vektörleri ile srasyla çarplr ve
gerekli düzenlemeler yaplrsa
a12= −ε4q−3/2hα0× β0, βi ve a22 = 0
elde edilir. Böylece ³ekil operatörü
A = 0 −ε4q−3/2hα0 × β0, βi −ε2q−1/2hα0× β0, βi 0
bulunur ve dolaysyla H = 0 oldu§u görülür. Sonuç olarak [12] nolu makalede minimal bir yüzeyin sn andrma teoremi kullanlarak, M1
+ tipinden yüzeyler 1.
tip uzaysal helikoidin ve 2. tip uzaysal helikoidin açk bir parçasdr. Benzer ³ekilde, M1
− tipinden yüzeyler 1. tip zamansal helikoidin ve 2. tip zamansal
helikoidin açk bir parçasdr. M3
+ tipinden yüzey ise 3. tip zamansal helikoidin
açk bir parçasdr. Teoremin tersinin ispat 3.2. bölümde verilen örneklerden açkça görülür.
2. Durum: M, M2
+ ya da M−2 tipinden silindirik olmayan do§rusal bir yüzey
olsun. M do§rusal yüzeyi
hβ, βi = 1, hα0, βi = 0, hα0, α0i = ε1(= ±1)
ve β0 null olacak ³ekilde
ile ifade edilebilir. Yüzeyin koordinat vektörleri xs = α0+ tβ0, xt = β
³eklindedir. Yüzey üzerinde
q = kxsk2 = ε4hxs, xsi, u = hα0, β0i
dieransiyellenebilir fonksiyonlar tanmlansn, burada ε4(= ±1), xsvektörünün
i³aretidir. Yani, hxs, xsi =hα0+ tβ0, α0+ tβ0i =t2hβ0, β0i + 2thα0, β0i + hα0, α0i =2tu + ε1 ve q = ε4(2tu + ε1)
olur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = ε4q, g12 = g21 = 0, g22= 1
olarak bulunur. Buna göre G = det g = ε4qve metrik tensörün tersinin bile³enleri
g11 = ε4 q , g 12= g21 = 0, g22= 1 olur. Yüzeyin x s ve xt koordinat vektörlerinin vektörel çarpmndan xs× xt= (α0+ tβ0) × β = α0× β + tβ0× β = A + tB
elde edilir, burada A = α0 × β ve B = β0× β dir. Buna göre
hxs× xt, xs× xti = hxs, xti2− hxs, xsihxt, xti = −ε4q
ve ε = −ε4 oldu§undan kxs × xtk =
√
q bulunur. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri
G = q−1/2(A + tB)
³eklinde bulunur. M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −ε4 − 1 2q2 ∂q ∂s ∂ ∂s+ 1 q ∂2 ∂s2 − − 1 2q ∂q ∂t ∂ ∂t+ ∂2 ∂t2
elde edilir:
∆G = − 2u2q−2
+ u00tq−2− 4ε4u02t2q−3 G
+ q−5/2ε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q . (3.3.35)
E§er a = a(s) fonksiyonu ve −→b =−→b (s) vektörü
a = −2u2q−2+ u00tq−2− 4ε4u02t2q−3,
− →
b = q−5/2ε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q
³eklinde alnrsa, (3.3.35) ifadesi ∆G = aG + −→b olur. Dolaysyla, (3.3.1) e³itli§inden
∆G − εh∆G, GiG = aG +→−b − ε(aε + hb, Gi)G =−→b − εhb, GiG = 0
olur. Buradan da
q−5/2nε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q
o
− εq−7/2(A + tB)nε4uq(hA, Bi + thB, Bi) + 3u0t(hA0, Ai + thA0, Bi
+ thA, B0i + t2hB0, Bi) − ε
4q(hA00, Ai + thA00, Bi + thA, B00i
+ t2hB, B00io
= 0 (3.3.36)
elde edilir. A³a§daki büyüklükler hesaplamalarda kullanlacaktr: hA, Ai = −ε1, hA, Bi = −u, hB, Bi = 0,
hA0, Ai = 0, hB0, Bi = 0, hA0, Bi + hA, B0i = −u0.
E§er (3.3.36) e³itli§inin her iki taraf q7/2ile çarplp, yukardaki iç çarpmlar ve
q fonksiyonu yerine koyulursa
ε4uB(2ut + ε1)2+ 3ε4u0t(2ut + ε1)(A0+ tB0) − ε4(2ut + ε1)2(A00+ tB00)
+ ε(A + tB)nu2(2ut + ε1) + 3u02t2+ (2ut + ε1)(hA00, Ai + thA00, Bi
+ thA, B00i + t2hB, B00i)o= 0
t4 h
2εuhB00, BiB i
+
t3h2εuhB00, BiA − 4ε4u2B00+ 6ε4uu0B0+ ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i
+ ε1hB, B00i)B
i +
t2h− 4ε4u2A00+ 6ε4uu0A0+ ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i + ε1hB, B00i)A
− 4ε1ε4uB00+ 3ε1ε4u0B0+ (4ε4u3+ 2εu3 + 2εuhA, A00i + εε1hA00, Bi
+ εε1hA, B00i)B
i +
th− 4ε1ε4uA00+ 3ε1ε4u0A0+ ε(2u3+ 2uhA, A00i + ε1hA00, Bi + ε1hA, B00i)A
− ε4B00+ (4ε1ε4u2 + εε1u2+ εε1hA, A00i)B i + h − ε4A00+ εε1(u2+ hA, A00i)A + ε4uB i = 0
elde edilir ki bu da katsaylar s'e ba§l olan t de§i³kenine göre bir polinomdur. Bu polinomun katsaylar sfr olmaldr. Dolaysyla
εuhB00, BiB = 0, (3.3.37)
2εuhB00, BiA − 4ε4u2B00+ 6ε4uu0B0 + ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i
+ ε1hB, B00i)B = 0, (3.3.38)
4ε4u2A00− 6ε4uu0A0− ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i + ε1hB, B00i)A
+ 4ε1ε4uB00− 3ε1ε4u0B0− (4ε4u3+ 2εu3+ 2εuhA, A00i + εε1hA00, Bi
+ εε1hA, B00i)B = 0, (3.3.39)
4ε1ε4uA00− 3ε1ε4u0A0− ε(2u3+ 2uhA, A00i + ε1hA00, Bi + ε1hA, B00i)A
+ ε4B00− (4ε1ε4u2+ εε1u2+ εε1hA, A00i)B = 0, (3.3.40)
A00− εε1ε4(u2+ hA, A00i)A − uB = 0 (3.3.41)
denklemleri elde edilir. [10] nolu makalede (3.3.40) ile belirtilen denklemde A00'lü
ifadenin u çarpan yazlmam³tr. Burada düzeltilmi³ hali yazldr.
B = β0× β vektörünün bir s ∈ I noktasnda sfr oldu§u kabul edilsin. O halde, β ve β0 vektörleri paraleldir, yani β0 = λβ olacak ³ekilde bir λ says vardr.
Buna göre hβ0, β0i = hλβ, λβi = λ2hβ, βi = λ2 > 0 olur. Bu da β0 vektörünün
null olmas ile çeli³ir. Böylece B vektörünün sfrdan farkl bir vektör oldu§u sonucuna ula³lr.
imdi U = {p ∈ M | hB, B00i(p) 6= 0} kümesi göz önüne alnsn. E§er U bo³
kümeden farklysa, (3.3.37) denkleminden U kümesi üzerinde u = 0 ve (3.3.38) denkleminden ise hB, B00iB = 0 elde edilir. Bu da U kümesinin bo³ kümeden
farkl olmas ile çeli³ir. Yani U bo³ kümedir. Böylece hB, B00i = 0 elde edilir.
imdi bu ifade kullanlarak (3.3.38), (3.3.39), (3.3.40) ve (3.3.41) denklemle-rindeki A00, B00, A0 ve B0 ifadeleri yok edilirse
2ε1uu02A − u02B = 0 (3.3.42)
bulunur. I aral§na ait baz s de§erleri için A ve B vektörlerinin lineer ba§ml oldu§u kabul edilsin, yani A = κ1B olacak ³ekilde bir κ1 sabiti vardr. Buradan
α0× β = κ1β0× β ifadesi (α0− κ1β0) × β = 0 ³eklinde yazlrsa
α0 − κ1β0 = κ2β
olacak ³ekilde bir κ2 sabiti vardr. Bu e³itli§in β ile iç çarpm alnrsa, α ve β'nn
özellikleri kullanlrsa
hα0, βi − κ1hβ0, βi = κ2hβ, βi = κ2,
κ2 = 0, α0 = κ1β0
ve
hα0, α0i = hκ1β0, κ1β0i = κ21hβ 0
, β0i = 0
olur, yani α0 null vektördür; bu da bir çeli³kidir. Dolaysyla, A ve B vektörleri
lineer ba§mszdr ve (3.3.42) denkleminden 2ε1uu02 = 0, u02= 0
elde edilir, yani u0 = 0'dr. B = β0× β vektörünün türevi alnrsa
ve dolaysyla
hB, B0i = hβ0× β, β00× βi
= hβ0, βihβ, β00i − hβ0, β00ihβ, βi = −hβ0, β00i
ve
hB, B00i = hβ0× β, β000× β + β00× β0i
= hβ0× β, β000× βi + hβ0× β, β00× β0i = −hβ0, β000i
bulunur. Ayrca hB, B0i = hB, B00i = 0 oldu§u kullanlarak
hβ0, β00i = hβ0, β000i = 0
elde edilir. Bunlar kullanlarak hβ0, β00i = 0 ifadesinin türevinden hβ00, β00i = 0
oldu§u görülür, yani, β00 null ya da sfr vektördür.
imdi β00 vektörünün null oldu§u kabul edilsin. Yardmc Teorem 2.1. ve
hβ0, β00i = 0 ifadesinden β00 = κβ0 olacak ³ekilde sfrdan farkl
differansiyelle-nebilir bir κ = κ(s) fonksiyonu vardr ve β = (β1, β2, β3) olmak üzere i = 1, 2, 3
için β00
i = κβi0 diferansiyel denklemleri yazlr. Bu denklemlerin çözümünden
βi = F (s)di, yani, β = F (s)D olacak ³ekilde pozitif dieransiyellenebilir bir
F (s) fonksiyonu ve E31 uzaynda D = (d1, d2, d3) sabit bir null vektörü vardr.
Dolaysyla hβ, βi = F2hD, Di = 0 olup, β vektörünün zamansal olmas ile çeli³ir.
O halde, β00 sfr vektördür.
Bir önceki durumda oldu§u gibi, α0, β, β0 ve α00 vektörleri arasndaki ili³ki
incelenirse α00 ve β vektörlerinin paralel oldu§u bulunur. Bir önceki durumda
yaplanlara benzer hesaplarla, α ve β'nn özellikleri göz önüne alnd§nda yüzeyin ³ekil operatörü A = 0 −ε4q−3/2hα0× β0, βi −q−1/2hα0 × β0, βi 0
bulunur. Buradan da H = 0 olur. [12] nolu makalede minimal bir yüzeyin sn andrma teoremi kullanlarak M2
yüzeylerin e³leni§inin açk bir parçasdr. Benzer ³ekilde, M2
− tipinden yüzeyler
2. tip zamansal Enneper yüzeylerin e³leni§inin açk bir parçasdr. Teoremin tersinin ispat 3.2. bölümde verilen örneklerden açkça görülür.
Teorem 3.3.3. M, E3
1 Minkowski uzaynda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine
sahip bir null scroll olsun. O halde, M yüzeyi a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parçasdr:
1. bir Minkowski düzlemi,
2. bir düz B-scroll e§er B0 null ise,
3. bir düz olmayan B-scroll e§er B0 null de§ilse.
spat. E3
1 Minkowski uzaynda α taban e§risi null bir e§ri ve B = B(s), α
boyunca null bir vektör alan olsun. M null scrollu
hα0, α0i = 0, hB, Bi = 0, hα0, Bi = 1 olacak ³ekilde
x = x(s, t) = α(s) + tB(s) ile ifade edilir. Yüzeyin
xs= α0+ tB0, xt= B
koordinat vektörleri yüzey üzerinde bir baz alan belirler. Yüzey üzerinde tekrar q, u ve v differansiyellenebilir fonksiyonlar tanmlansn:
q = kxsk2 = hxs, xsi, u = hα0, B0i, v = hB0, B0i.
Do§rudan hesapla q = t2v + 2tu oldu§u görülür. Yüzeyin g metrik tensörünün
bile³enleri g11 = t2v + 2tu, g12 = g21 = 1, g22 = 0 olarak bulunur. Buna göre,
G = det g = −1 ve metrik tensörün tersinin bile³enleri g11 = 0, g12 = g21 =
1, g22 = −t2v − 2tu olur. Yüzeyin xs ve xt vektörlerinin vektörel çarpmndan
xs× xt= (α0+ tB0) × B = α0× B + tB0× B = C + tD
elde edilir, burada C = α0× B ve D = B0× B dir. Yüzey üzerinde
oldu§undan yüzeyin normali uzaysaldr. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri
G = C + tD (3.3.43)
³eklinde bulunur. Öncekilere benzer ³ekilde M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −2 ∂ 2 ∂s∂t + ∂q ∂t ∂ ∂t+ q ∂2 ∂t2
elde edilir. Bu operatör G Gauss tasvirine uygulanrsa
∆G = −2D0 + 2(vt + u)D (3.3.44)
bulunur. M yüzeyinin noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip oldu§u kabul edilsin. O halde, (3.3.43) ifadesi kullanlarak
∆G = F G = F (C + tD) = F C + F tD ve (3.3.44) ifadesi de göz önüne alnrsa
2D0+ (F t − 2u − 2vt)D + F C = 0
olur ve bu ifadenin srasyla C0 ve D0 ile iç çarpmlar alnr ve gerekli i³lemler
yaplrsa
v0+ F vt − 2v2t = 0 (3.3.45) ve
2v2− F v = 0 (3.3.46)
denklemleri bulunur.
imdi U = {p ∈ M | v(p) 6= 0} açk kümesi göz önüne alnsn. U kümesinin bo³ kümeden farkl oldu§u kabul edilsin. O halde (3.3.46) ifadesi kullanlarak U kümesinin bir C bile³eni üzerinde F = 2v bulunur ve (3.3.45) ifadesi kullanlarak v'nin sabit oldu§u görülür. Sonuç olarak, süreklilik göz önüne alnrsa C, M
uzaynn tümünden ibaret olmaldr. Bu durumda E3 1 uzaynda hα0, α0i = hB, Bi = 0, hα0, Bi = 1, hα0, Ci = hB, Ci = 0, hC, Ci = 1, α00= −uα0+ hα00, α0× BiC, B0 = uB + hα0 × B, B0iC, C0 = −hα0× B, B0iα0− hα00, α0× BiB
olacak ³ekilde {α0, B, C} null çats vardr. E§er v ifadesi hesaplanrsa
v = hB0, B0i = uhB, B0i + hα0× B, B0ihC, B0i = hα0 × B, B0i2
bulunur ve v'nin sabit olmasndan dolay hα0 × B, B0i sabittir. Ayrca, u = 0
olacak ³ekilde α0 ifadesinin bir de§i³ken dönü³ümü vardr [13]. Böylece M bir
B-scroll'dur.
[10] nolu makalede 2v = hα0 × B, B0i yazlm³tr. Burada düzeltilmi³ hali
yazldr.
lk olarak v = 0 oldu§u kabul edilsin. O halde, B0 sfr ya da null bir vektördür.
B0 vektörünün sfr vektör oldu§u kabul edilsin, yani B sabit bir vektördür. Dolaysyla D = B0× B = 0 ve (3.3.44)'den ∆G = 0 olur. Sonuç olarak, M bir
Minkowski düzlemidir.
B0 vektörünün null oldu§u kabul edilsin. Yardmc Teorem 2.1.'den B0 ve B vektörleri lineer ba§mldr. Dolaysyla D = B0 × B = 0 ve (3.3.44) denkleminden ∆G = 0 bulunur.
M yüzeyinin H ortalama e§rili§inin ve K Gauss e§rili§inin bulunmas için yüzeyin ³ekil operatörü hesaplansn. Yüzeyin {xs, xt} te§et bazna göre
k(s)B = a11xs+ a21xt
yazlr ve
a11= 0, a21 = k(s)
bulunur, burada k(s) = hα00, α0× Bi dir. Benzer ³ekilde
yazlr ve a12= 0, a22 = 0 bulunur. Böylece A = 0 0 k(s) 0
bulunur. Buradan da H = 0 ve K = 0 olur. O halde, M bir düz B-scroll'dur. imdi v 6= 0 oldu§u kabul edilsin. O halde, B0 null bir vektör de§ildir. Yüzeyin
{xs, xt} te§et bazna göre
√ vα0+ k(s)B + tvC = a11xs+ a21xt yazlr ve a11 = √ v, a21 = k(s)
bulunur, burada k(s) = hα00, α0× Bi dir. Benzer ³ekilde
−D = a12xs+ a22xt yazlr ve a12= 0, a22 = √ v bulunur. Böylece A = √ v 0 k(s) √v
bulunur. Buradan da H =√v ve K = v 6= 0 olur. O halde, M bir düz olmayan B-scroll'dur. Dolaysyla ispat tamamlanm³ olur.
Teorem 3.3.1., Teorem 3.3.2. ve Teorem 3.3.3.'ün sonuçlar birle³tirilerek a³a§-daki sn andrma teoremleri ifade edilebilir.
Teorem 3.3.4. M, E3
1 Minkowski uzaynda uzaysal do§rusal bir yüzey olsun.
Bu durumda yüzeyin Gauss tasvirinin noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parças olmasdr: 1. bir Öklid düzlemi,
