Snandrma Teoremleri

Bu ksmda, do§rusal yüzeyler birinci çe³it noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinin yardmyla snandrlacaktr. M do§rusal yüzeyinin ∆G = F G ko³ulunu sa§- lad§ kabul edilsin. O halde, ∆G ifadesinin te§et bile³eni sfrdr, yani,

∆G − εh∆G, GiG = 0, ε = hG, Gi (3.3.1) olur. E3

1 Minkowski uzaynda do§rusal yüzeyler α taban e§risi ve β vektör

alannn karakterine göre üç belirli tipe ayrlr, yani, silindirik do§rusal yüzeylere, silindirik olmayan do§rusal yüzeylere ve null scroll yüzeylere.

Teorem 3.3.1. E31 Minkowski uzaynda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine

sahip, taban e§risi uzaysal ya da zamansal olan silindirik do§rusal yüzeyler sadece a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parçasndan ibarettir:

1. bir Öklid düzlemi, 2. bir Minkowski düzlemi, 3. hiperbolik silindir,

4. Lorentz çembersel silindir, 5. indeksi 1 olan çembersel silindir. spat. M, E3

1 Minkowski uzaynda silindirik do§rusal bir yüzey olsun. Yani,

α = α(s) uzaysal ya da zamansal bir e§ri, β = β(s) α e§risi boyunca α ya dik uzaysal ya da zamansal birim, sabit vektör alan ve s, α e§risinin yay uzunlu§u olsun. O halde, M yüzeyi

hα0, α0i = ε1(= ±1), hα0, βi = 0, hβ, βi = ε2(= ±1)

olmak üzere

x = x(s, t) = α(s) + tβ

³eklinde parametrelendirilir. M silindirik do§rusal yüzey oldu§u için β0

hβ0_{, β}0_{i = 0oldu§undan β}0_{null bir vektör alan de§ildir. Böylece M yüzeyi sadece}

M1

+, M+3 ya da M−1 tipindendir. spat iki duruma ayrlr.

1. Durum: M yüzeyi, M1

+ ya da M−1 tipinden silindirik bir yüzey olsun, yani,

ε2 = 1 olsun. Bir Lorentz dönü³ümü ile, genellik bozulmadan, β vektör alan

β = (0, 0, 1) ³eklinde seçilebilir. Böylece, silindirin taban e§risi β vektörüne dik olan düzlem içinde, yani, α(s) = (α1(s), α2(s), 0) olarak alnabilir. Taban e§risi

α(s), yay uzunlu§una göre alnd§ndan −α0₁2 + α0₂2 = ε1(= ±1) olur. Yüzeyin

koordinat vektörleri

xs = α0(s) = (α10(s), α 0

2(s), 0), xt= β = (0, 0, 1)

³eklindedir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt = (−α02, −α

0

1, 0) ve hxs× xt, xs× xti = −α02 2

+ α0₁2 = −ε1

elde edilir. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri

G = (−α0₂, −α0₁, 0), ε = hG, Gi = −ε1

³eklinde bulunur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = ε1, g12= g21 =

0, g22 = 1 olur. Buna göre G = det g = ε1 ve metrik tensörün tersinin bile³enleri

de g11 _{= ε}

1, g12 = g21 = 0, g22 = 1 olur. M yüzeyinin Laplace operatörü

hesaplanrsa ∆ = −ε1 ∂2 ∂s2 − ∂2 ∂t2

elde edilir. Bu operatör Gauss tasvirine uyguland§nda ∆G = (ε1α0002, ε1α0001, 0)

bulunur. ∆G = F G ko³ulu kullanlarak

(ε1α0002, ε1α0001, 0) = F (s, t)(−α 0 2, −α 0 1, 0) buradan da ε1α2000 = −F (s, t)α 0 2, ε1α0001 = −F (s, t)α 0 1 (3.3.2)

diferansiyel denklemleri elde edilir. Son ifadeden açkça görülüyor ki, F sadece s de§i³keninin bir fonksiyonudur.

Yukardaki denklemlerin çözülmesi için ilk olarak, M yüzeyinin M1

+ tipinden

oldu§u kabul edilsin, yani, ε1 = 1 olsun. Böylece, hα0, α0i = −α01 2

+ α0₂2 = 1 olur. Buna göre

α0₁(s) = sinh θ(s), α0₂(s) = cosh θ(s) seçilebilir. Buradan

α00₁ = θ0cosh θ, α000₁ = θ00cosh θ + θ02sinh θ ve

α00₂ = θ0sinh θ, α000₂ = θ00sinh θ + θ02cosh θ

türevleri bulunur. Bunlar (3.3.2) ile verilen denklemlerde yerine yazld§nda (θ02+ F (s, t)) cosh θ + θ00sinh θ = 0

ve

(θ02+ F (s, t)) sinh θ + θ00cosh θ = 0 elde edilir. Bu iki denklemin çözümü

θ00 = 0 ve θ02+ F (s, t) = 0

olmasn gerektirir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. Bu da M yüzeyinin sonlu tipten Gauss tasvirine sahip oldu§unu ifade eder. [4] nolu makaledeki 3.1 Önermesi göz önüne alnd§nda, M yüzeyinin, bir Öklid düzleminin veya bir hiperbolik silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr. “imdi M yüzeyinin M1

− tipinden oldu§u kabul edilsin, yani, ε1 = −1 olsun.

Böylece hα0_{, α}0_{i = −α}0 1 2

+ α₂02 = −1 olur. Buna göre α0₁(s) = cosh θ(s), α0₂(s) = sinh θ(s) seçilebilir. Buradan

α00₁ = θ0sinh θ, α000₁ = θ00sinh θ + θ02cosh θ ve

türevleri bulunur. Bunlar (3.3.2) ile verilen denklemlerde yerine yazld§nda (θ02− F (s, t)) sinh θ + θ00cosh θ = 0,

(θ02− F (s, t)) cosh θ + θ00sinh θ = 0 elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü

θ00= 0 ve θ02− F (s, t) = 0

denklemlerini verir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. [4] nolu makaledeki 3.1 Önermesi göz önüne alnd§nda, M yüzeyinin, bir Minkowski düzleminin veya bir Lorentz çembersel silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr.

2. Durum: M, M3

+ tipinden silindirik bir yüzey olsun, yani, ε1 = 1, ε2 = −1

olsun. Bir Lorentz dönü³ümüyle, genellik bozulmadan, β vektör alan β = (1, 0, 0) ³eklinde seçilebilir. Böylece silindirin taban e§risi β vektörüne dik olan düzlem içinde, yani, α(s) = (0, α2(s), α3(s)) olarak alnabilir. Taban e§risi α(s)

yay uzunlu§una göre alnd§ndan hα0_{, α}0_{i = α}0 2 2 + α₃02 = 1 olur. Yüzeyin koordinat vektörleri xs = α0(s) = (0, α02(s), α 0 3(s)), xt= β = (1, 0, 0)

³eklindedir. Bu vektörlerin vektörel çarpmndan xs× xt= (0, α03, −α

0

2) ve hxs× xt, xs× xti = α02 2

+ α0₃2 = 1 elde edilir. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri

G = (0, α0₃, −α0₂)

³eklinde bulunur. Bu yüzey için gij = δij, gij = δij, G = det g = 1 olur. M

yüzeyinin Laplace operatörü hesapland§nda ∆ = − ∂

2

∂s2 −

∂2 ∂t2

elde edilir ve bu operatör G tasvirine uygulanrsa ∆G = (0, −α000₃ , α000₂)

bulunur. ∆G = F G ko³ulu kullanlarak

α000₃ = −F (s, t)α0₃, α000₂ = −F (s, t)α0₂ (3.3.3) diferansiyel denklemleri elde edilir. Burada da F fonksiyonunun sadece s de§i³kenine ba§l oldu§u görülür. “imdi hα0_{, α}0_{i = α}0

2 2 + α0₃2 = 1 olmas göz önüne alnarak α₂0(s) = cos θ(s), α0₃(s) = sin θ(s) seçilebilir. Buradan

α00₂ = −θ0sin θ, α000₂ = −θ00sin θ − θ02cos θ ve

α00₃ = θ0cos θ, α000₃ = θ00cos θ − θ02sin θ türevleri bulunur. Bunlar (3.3.3) ifadesinde yerine yazld§nda

θ00cos θ − (θ02− F (s, t)) sin θ = 0 ve

θ00sin θ + (θ02− F (s, t)) cos θ = 0 denklemleri bulunur. Bu denklem sisteminin çözümünden

θ00 = 0 ve θ02− F (s, t) = 0

denklemleri elde edilir. Buradan da F fonksiyonunun sabit oldu§u görülür. [4] nolu makaledeki 3.2 Önermesi göz önüne alnrsa M yüzeyinin bir Minkowski düzleminin veya indeksi 1 olan çembersel bir silindirin açk bir parças oldu§u sonucuna varlr.

Teorem 3.3.2. E3

1 Minkowski uzaynda, M silindirik olmayan ve taban e§risi

uzaysal ya da zamansal olan do§rusal bir yüzey olsun. M yüzeyinin Gauss tasvirinin birinci çe³it noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parças olmasdr:

1. Birinci tip uzaysal ya da zamansal helikoid yüzeyi, 2. kinci tip uzaysal ya da zamansal helikoid yüzeyi,

3. Üçüncü tip zamansal helikoid yüzeyi,

4. kinci tip uzaysal ya da zamansal Enneper yüzeylerinin e³leni§i. spat. spat iki duruma ayrlr.

1. Durum: M, α taban e§risi ve β do§rultman vektörünün karakterine göre M1

+, M+3 ya da M−1 tiplerinden biri olan, silindirik olmayan do§rusal bir yüzey

olsun. Bu durumda srasyla,

1. α = α(s) uzaysal ve β = β(s) uzaysaldr, 2. α = α(s) uzaysal ve β = β(s) zamansaldr, 3. α = α(s) zamansal ve β = β(s) uzaysaldr,

burada s, β do§rultman vektörünün yay uzunlu§udur. Uygun bir kat harekete göre, M do§rusal yüzeyi

hα0, βi = 0, hβ, βi = ε2(= ±1), hβ0, β0i = ε3(= ±1)

olacak ³ekilde

x = x(s, t) = α(s) + tβ(s) ile ifade edilir. Yüzeyin koordinat vektörleri

xs = α0+ tβ0, xt = β (3.3.4)

yüzey üzerinde do§al bir te§et baz alan belirler. Sonradan kullanlmak üzere, q, u ve v dieransiyellenebilir fonksiyonlar a³a§daki ³ekilde tanmlansn:

q = kxsk2 = ε4hxs, xsi, u = hα0, β0i, v = hα0, α0i, (3.3.5)

burada ε4(= ±1), xs vektörünün i³aretidir. Yani,

hxs, xsi =hα0+ tβ0, α0+ tβ0i

=t2hβ0, β0i + 2thα0, β0i + hα0, α0i =ε3t2+ 2tu + v

q = ε4(ε3t2+ 2tu + v) (3.3.6)

olur. Dolaysyla, M üzerinde indirgenmi³ pseudo-Riemannian g metri§inin bile³enleri g11 = ε4q, g12= g21 = 0ve g22= ε2 elde edilir. Buna göre G = det g =

ε2ε4q ve metrik tensörün tersinin bile³enleri de g11=

ε4

q , g

12_{= g}21_{= 0, g}22_{= ε} 2

olur. M yüzeyinin xs ve xt koordinat vektörlerinin vektörel çarpmndan

xs× xt= (α0+ tβ0) × β = α0× β + tβ0× β = A + tB

elde edilir, burada A = α0_{× β ve B = β}0_{× β dir. Böylece}

hxs× xt, xs× xti = hxs, xti2− hxs, xsihxt, xti = −ε2ε4q

bulunur ve yüzeyin normalinin i³areti ε = −ε2ε4 elde edilir. Dolaysyla

kxs× xtk =

√

q ve yüzeyin Gauss tasviri

G = q−1/2(A + tB)

³eklinde bulunur. M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −ε4 1 q ∂2 ∂s2 − 1 2q2 ∂q ∂s ∂ ∂s
− ε2 ∂2 ∂t2 + 1 2q ∂q ∂t ∂ ∂t
(3.3.7) elde edilir. Bu operatörün G tasvirine uygulanmas için qs, qt, Gs, Gt, Gss, Gtt

türevleri hesapland§nda ∂q ∂s = ε4(2tu 0 + v0), ∂q ∂t = 2ε4(ε3t + u), ∂G ∂s = − 1 2ε4q −3/2 (2tu0+ v0)(A + tB) + q−1/2(A0+ tB0) (3.3.8) ∂G ∂t = −ε4q −3/2 (ε3t + u)(A + tB) + q−1/2B, (3.3.9) ∂2G ∂s2 = 3 4q −5/2 (2tu0+ v0)2−1 2ε4q −3/2 (2tu00+ v00)
(A + tB) − ε4q−3/2(2tu0+ v0)(A0+ tB0) + q−1/2(A00+ tB00), ∂2_G ∂t2 = 3q −5/2_(ε 3t + u)2(A + tB) − ε3ε4q−3/2(A + tB) − 2ε4q−3/2(ε3t + u)B

bulunur. Bu türevler (3.3.7) ifadesinde yerine yazld§nda ∆G = n ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2 + 1 2q −2 (2u00t + v00)oq−1/2(A + tB) + 1 2q −5/2n 2ε2ε4q (ε3t + u)B + ε3A − ε3A
− 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0 + tB0)

o ,

∆G =nε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2 +1 2q −2 (2u00t + v00) o q−1/2(A + tB) + ε2ε3ε4q−3/2(A + tB) +1 2q −5/2n 2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0) o , ∆G =n2ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2+ 1 2q −2 (2u00t + v00)oG + 1 2q −5/2n

2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)

o (3.3.10) olur. “imdi a = a(s) fonksiyonu ve −→b =−→b (s) vektörü

a = 2ε2ε3ε4q−1− 2ε2q−2(ε3t + u)2− ε4q−3(2u0t + v0)2+ 1 2q −2 (2u00t + v00), − → b = 1 2q −5/2_2ε

2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)

³eklinde alnrsa (3.3.10) ifadesi ∆G = aG +−→b olur. Sonra (3.3.1) e³itli§inden

∆G − εh∆G, GiG = aG +−→b − ε(aε + hb, Gi)G =−→b − εhb, GiG = 0

bulunur. Buradan 1

2q

−5/2n

2ε2ε4q(−ε3A + uB) − 2ε4q(A00+ tB00) + 3(2u0t + v0)(A0+ tB0)

o −1

2εq

−7/2

(A + tB)n2ε2ε4q − ε3hA, Ai − ε3thA, Bi + uhA, Bi + uthB, Bi

− 2ε4q hA00, Ai + thA00, Bi + thA, B00i + t2hB, B00i
+ 3(2u0t + v0) hA0, Ai

+ thA0, Bi + thA, B0i + t2_hB0

, Bi
o= 0 (3.3.11)

olur. Yukardaki denklemde geçen baz büyüklükler hesapland§nda hA, Ai = −ε2v, hA, Bi = −ε2u, hB, Bi = −ε2ε3,

hA0, Ai = −ε2 2v

0

, hB0, Bi = 0, hA0, Bi + hA, B0i = −ε2u0

yerine koyulursa n

2ε2ε4(ε3t2+ 2tu + v)2(−ε3A + uB) − 2ε4(ε3t2+ 2tu + v)2(A00+ tB00)

+ 3ε4(ε3t2+ 2tu + v)(2u0t + v0)(A0+ tB0)

o

− ε(A + tB)n2(ε3t2 + 2tu + v)(ε3v − u2) − 2(ε3t2+ 2tu + v) hA00, Ai

+ thA00, Bi + thA, B00i + t2_{hB, B}00_i
− 3 2ε2(2u 0 t + v0)2o= 0 olur ve buradan da (t4+ 4ε3ut3 + 4u2t2 + 2ε3vt2+ 4uvt + v2)(−2ε2ε3ε4A + 2uε2ε4B − 2ε4A00

− 2ε4tB00) + 3ε4(2ε3u0t3+ ε3t2v0+ 4uu0t2+ 2uv0t + 2u0vt + vv0)(A0+ tB0)

− ε(A + tB)n2(ε3t2+ 2tu + v) ε3v − u2− hA00, Ai − thA00, Bi − thA, B00i

− t2_{hB, B}00_i
− 3

2ε2(4u

02

t2+ v02+ 4u0v0t)o= 0 elde edilir. Bu ifade t de§i³kenine göre düzenlenirse

t5h− 2ε4B00+ 2εε3hB00, BiB i + t4 h − 2ε4A00− 2ε4(ε2ε3− εε3ε4hB00, Bi)A − 8ε3ε4uB00+ 6ε3ε4u0B0

+ 2ε4 ε2u + εε3ε4hA00, Bi + εε3ε4hA, B00i + 2εε4uhB, B00i
B

i + t3h− 8ε3ε4uA00+ 6ε3ε4u0A0− 8ε2ε4u − 2εε3hA00, Bi − 2εε3hA, B00i − 4εuhB, B00i
A − (4ε3ε4v + 8ε4u2)B00+ (12ε4uu0+ 3ε3ε4v0)B0 + 8ε2ε3ε4u2+ 2εε3u2− 2εv + 6εε2u02+ 2εε3hA, A00i + 4εuhA00, Bi + 4εuhA, B00i + 2εvhB00, Bi
Bi+ t2h− ε4(4ε3v + 8u2)A00+ ε4(12uu0+ 3ε3v0)A0− 4ε2ε4v + 8ε2ε3ε4u2

+ 2εv − 2εε3u2− 6εε2u02− 2εε3hA, A00i − 4εuhA00, Bi − 4εuhA, B00i

− 2εvhB00_{, Bi
A − 8ε}

4uvB00+ ε4(6u0v + 6uv0)B0+ 4ε2ε3ε4uv

+ 8ε2ε4u3− 4εε3uv + 4εu3+ 6εε2u0v0+ 4εuhA, A00i + 2εvhA00, Bi

+ 2εvhA, B00i
Bi+

− 4εuhA, A00i − 2εvhA00, Bi − 2εvhA, B00i
A − 2ε4v2B00+ 3ε4vv0B0 + 8ε2ε4u2v − 2εε3v2+ 2εu2v + 3 2εε2v 02 + 2εvhA, A00i
Bi+ h − 2ε4v2A00+ 3ε4vv0A0− 2ε2ε3ε4v2 + 2εε3v2− 2εu2v − 3 2εε2v 02 − 2εvhA, A00i
A + 2ε2ε4uv2B i = 0

bulunur. Bu da katsaylar s'nin fonksiyonu olan t de§i³kenine göre bir polinomdur. Bu polinomun katsaylar sfr olmaldr. Yani,

B00− εε3ε4hB00, BiB = 0, (3.3.12)

A00+ (ε2ε3− εε3ε4hB00, Bi)A + 4ε3uB00− 3ε3u0B0− (ε2u + εε3ε4hA00, Bi

+ εε3ε4hA, B00i + 2εε4uhB, B00i)B = 0, (3.3.13)

8ε3ε4uA00− 6ε3ε4u0A0+ 8ε2ε4u − 2εε3hA00, Bi − 2εε3hA, B00i

− 4εuhB, B00i
A + (4ε3ε4v + 8ε4u2)B00− (12ε4uu0+ 3ε3ε4v0)B0

− 8ε2ε3ε4u2+ 2εε3u2− 2εv + 6εε2u02+ 2εε3hA, A00i + 4εuhA00, Bi

+ 4εuhA, B00i + 2εvhB00, Bi
B = 0, _(3.3.14) ε4(4ε3v + 8u2)A00− ε4(12uu0+ 3ε3v0)A0+ 4ε2ε4v + 8ε2ε3ε4u2+ 2εv − 2εε3u2

− 6εε2u02− 2εε3hA, A00i − 4εuhA00, Bi − 4εuhA, B00i − 2εvhB00, Bi
A + 8ε4uvB00

− ε4(6u0v + 6uv0)B0− 4ε2ε3ε4uv + 8ε2ε4u3− 4εε3uv + 4εu3+ 6εε2u0v0

+ 4εuhA, A00i + 2εvhA00_{, Bi + 2εvhA, B}00_{i
B = 0, (3.3.15)}

16ε4uvA00− ε4(12u0v + 12uv0)A0+ 16ε2ε3ε4uv + 8εε3uv − 8εu3− 12εε2u0v0

− 8εuhA, A00i − 4εvhA00, Bi − 4εvhA, B00i
A + 4ε4v2B00− 6ε4vv0B0

− 16ε2ε4u2v − 4εε3v2+ 4εu2v + 3εε2v02+ 4εvhA, A00i
B = 0, (3.3.16)

4ε4v2A00− 6ε4vv0A0+ 4ε2ε3ε4v2+ 4εε3v2− 4εu2v − 3εε2v02− 4εvhA, A00i
A

− 4ε2ε4uv2B = 0, (3.3.17)

olur. Önceden hB0_{, Bi = 0 oldu§u biliniyor. Bu kullanlrsa (3.3.12)'den}

olur, yani bir c sabiti için hB0_{, B}0_{i = c dir. Ayrca hB}0_{, Bi = 0 ifadesinin türevi}

alnrsa

hB00, Bi + hB0, B0i = 0 ve hB00, Bi = −c (3.3.19) bulunur. Böylece (3.3.12) denklemi

B00 = −εε3ε4cB (3.3.20)

³eklinde yazlr. Bu ifadenin A ile iç çarpm alnrsa

hA, B00i = −εε3ε4chA, Bi = εε2ε3ε4cu (3.3.21)

olur. “imdi (3.3.18),(3.3.19),(3.3.20) ve (3.3.21) e³itlikleri kullanlarak A00_{, A}0

ve B0 _{ifadeleri yok edilsin. Sonra (3.3.13) denkleminin B ile iç çarpm alnr ve}

ilgili e³itlikler kullanlrsa hA00_{, Bi = −ε}

3cubulunur. Böylece (3.3.13) denklemi

A00+ (ε2ε3 + εε3ε4c)A − (ε2u + ε2cu + εε4cu)B − 3ε3u0B0 = 0 (3.3.22)

olur. Benzer ³ekilde (3.3.17) denkleminin A ile iç çarpm alnr ve ilgili e³itlikler kullanlrsa

hA00, Ai = − 3 4vε2v

02

+ ε3v − u2

elde edilir. Dolaysyla, (3.3.17) denklemi

4ε4v2A00− 6ε4vv0A0+ 4ε2ε3ε4v2A − 4ε2ε4uv2B = 0

olur. “imdi bu denklemde A00 _{yerine (3.3.22)'daki ifade yazlrsa}

4εε3cv2A − 4cuv2(ε + ε2ε4)B + 6ε4vv0A0− 12ε3ε4u0v2B0 = 0 (3.3.23)

elde edilir. Benzer düzenlemeler (3.3.14), (3.3.15) ve (3.3.16) denklemleri için yaplrsa srasyla a³a§daki denklemler elde edilir:

4cuv(ε + ε2ε4)A − (8ε3cu2v(ε + ε2ε4) − 4εcv2− 12εε2vu02+ 3εε2ε3v02)B + 12ε3ε4u0vA0− 6ε4v(4uu0− ε3v0)B0 = 0, (3.3.24) (4εcv2+ 8ε3cu2v(ε + ε2ε4) + 12εε2u02v − 3εε2ε3v02)A + (4ε3cuv2(ε − ε2ε4) − 16cu3_{v(ε + ε} 2ε4) + 6εε2v0(2u0v − uv0))B + 6ε4v(4uu0+ ε3v0)A0 + (12ε4v(uv0− u0v) − 48ε3ε4u2u0v)B0 = 0 (3.3.25)

ve

(4ε3cuv2(3ε + ε2ε4) + 6εε2v0(2u0v − uv0))A + (4εε3cv3 − 16cu2v2(ε + ε2ε4))B

+ 12ε4v(u0v + uv0)A0+ 6ε4v2(v0− 8ε3uu0)B0 = 0. (3.3.26)

[10] nolu makalede (3.3.13), (3.3.14), (3.3.15), (3.3.16) ve (3.3.17) ile belirtilen denklemlerde A0 _{ve B}0_{'lü ifadelerde ε çarpan hatal olarak yazlm³tr.}

Ayrca, (3.3.14) denkleminde B'li ilk ifadenin de ε4 çarpan yazlmam³tr.

Burada düzeltilmi³ hali yazldr.

Elde edilen (3.3.23),(3.3.24),(3.3.25),(3.3.26) denklemlerinde A0 _{ve B}0

terimleri yok edilirse

(v02− 4ε3u02v)A + (8vuu02− 4ε3u0vv0)B = 0 (3.3.27)

ve

(4u0vv0− 2uv02)A + (vv02− 4ε3u02v2)B = 0 (3.3.28)

denklemleri bulunur. A ve B vektörlerinin, I aral§na ait baz s de§erleri için lineer ba§ml oldu§u kabul edilsin. O halde, bir κ1 sabiti için A = κ1B yazlr.

Ave B vektörlerinin ifadeleri göz önüne alnrsa α0× β = κ1β0× β olur. Buradan

(α0− κ1β0) × β = 0

olur, yani bir κ2 sabiti için α0− κ1β0 = κ2β yazlr. Bu e³itli§in srasyla β0 ve α0

ile iç çarpm alnrsa u = ε3κ1 ve v = κ1u = ε3κ21 bulunur. “imdi (3.3.6) ifadesi

u ve v de§erleri kullanlarak

q =ε4(ε3t2+ 2tu + v)

=ε3ε4(t2+ 2κ1t + κ21)

=ε3ε4(t + κ1)2

³eklinde yazlabilir. Buna göre t = −κ1 için q = 0 olur, yani yüzeyin G normali

tanmsz olur. Bu da q fonksiyonunun pozitif bir fonksiyon olmasyla çeli³ir. O halde, A ve B vektörleri tüm s ∈ I için lineer ba§mszdr. Buradan (3.3.27) ve (3.3.28) denklemlerindeki A ve B vektörlerinin katsaylar sfr olmaldr, yani

u0v(2uu0− ε3v0) = 0, (3.3.30)

2u0vv0− uv02 = 0, (3.3.31) vv02− 4ε3u02v2 = 0 (3.3.32)

olur.

U = {p ∈ M | u0_{(p) 6= 0} açk kümesinin bo³ kümeden farkl oldu§u kabul}

edilsin. U kümesi üzerinde, (3.3.30) nolu denklemden v0 = 2ε3uu0

olur. Bu ifade kullanlarak (3.3.29) denkleminden u02_(u2 _{− ε}

3v) = 0 olur. U

kümesi üzerinde u0 _{6= 0 oldu§u için}

u2 = ε3v

elde edilir. “imdi u ve v ifadeleri kullanlrsa (3.3.6) denkleminden q =ε4(ε3t2+ 2tu + v)

=ε3ε4(t2+ 2ε3ut + u2)

=ε3ε4(t + ε3u)2

olur. Buna göre t = −ε3uiçin q = 0 olur, yani yüzeyin G normali tanmsz olur.

Bu da q fonksiyonunun pozitif bir fonksiyon olmasyla çeli³ir. O halde, U kümesi bo³ kümedir, yani u0 _{= 0 ve (3.3.29)'dan v}0 _{= 0 olur.}

“imdi B = β0_{× β vektöründen türev alnarak}

B0 = β00× β + β0× β0 = β00× β ve B00= β000× β + β00× β0

ifadeleri elde edilir. Ayrca, (3.3.20) e³itli§inin β ile iç çarpm alnr ve B00

vektörü kullanlrsa

hB00, βi = −εε3ε4chB, βi,

hβ000× β + β00× β0, βi = −εε3ε4chβ0× β, βi = 0

ve böylece

bulunur. Dolaysyla, β = κ1β0+κ2β00olacak ³ekilde κ1ve κ2 dieransiyellenebilir

fonksiyonlar vardr. Bu e³itli§in β0 _{ile iç çarpm alnr ve ilgili e³itlikler}

kullanlrsa

hβ, β0i = κ1hβ0, β0i + κ2hβ00, β0i = 0

ve böylece κ1 = 0 olur. Yani β = κ2β00 olup β ve β00 vektörleri paraleldir.

Ayrca, (3.3.5) denklemindeki u ve v fonksiyonlarnn türevi alnp, u0 _{= v}0 _{= 0}

ifadesi kullanlrsa hα00_{, α}0_{i = v}0 _{= 0 (3.3.33)} ve hα00, β0i + hα0, β00i = u0 = 0, hα00_{, β}0_{i + hα}0_, 1 κ2 βi = 0, hα00, β0i + 1 κ2 hα0, βi = 0, hα00, β0i = 0 (3.3.34)

oldu§u görülür. Buna göre α0_{, β, β}0 _{ve α}00 _{vektör alanlar için,}

α00 = κ1α0+ κ2β0+ κ3β

ifadesi baz κ1, κ2 ve κ3 türevlenebilir fonksiyonlar için yazlabilir. Bu e³itli§in

β ile iç çarpm alnrsa

hα00, βi = ε2κ3

olur. Bununla beraber (3.3.33) ve (3.3.34) denklemleri göz önüne alnrsa α00 = κ3β olur, yani α00 ve β vektörleri paraleldir.

M yüzeyinin H ortalama e§rilik vektörü hesaplansn. “imdi (3.3.8) e³itli§i Gs= q−1/2(A0+ tB0) = q−1/2(α00× β + α0× β0+ tβ00× β)

olup α00 _{ve β vektörleri ile β ve β}00 _{vektörleri paralel oldu§undan}

Gs= q−1/2(α0× β0)

bulunur. “ekil operatörünün {xs, xt} bazna göre bile³enleri aij ile gösterilirse

olur. Bu denklem, (3.3.4) ifadesindeki xs ve xt vektörleri ile srasyla çarplrsa

−q−1/2hα0 × β0, α0+ tβ0i = ε4a11q,

a11 = 0,

−q−1/2hα0 × β0, βi = ε2a21,

a21= −ε2q−1/2hα0 × β0, βi

bulunur. Benzer ³ekilde (3.3.9) kullanlrsa

ε4q−3/2(ε3t + u)(A + tB) − q−1/2B = a12xs+ a22xt

olur. Bu denklem, (3.3.4) ifadesindeki xs ve xt vektörleri ile srasyla çarplr ve

gerekli düzenlemeler yaplrsa

a12= −ε4q−3/2hα0× β0, βi ve a22 = 0

elde edilir. Böylece ³ekil operatörü

A =   0 −ε4q−3/2hα0 × β0, βi −ε2q−1/2hα0× β0, βi 0  

bulunur ve dolaysyla H = 0 oldu§u görülür. Sonuç olarak [12] nolu makalede minimal bir yüzeyin snandrma teoremi kullanlarak, M1

+ tipinden yüzeyler 1.

tip uzaysal helikoidin ve 2. tip uzaysal helikoidin açk bir parçasdr. Benzer ³ekilde, M1

− tipinden yüzeyler 1. tip zamansal helikoidin ve 2. tip zamansal

helikoidin açk bir parçasdr. M3

+ tipinden yüzey ise 3. tip zamansal helikoidin

açk bir parçasdr. Teoremin tersinin ispat 3.2. bölümde verilen örneklerden açkça görülür.

2. Durum: M, M2

+ ya da M−2 tipinden silindirik olmayan do§rusal bir yüzey

olsun. M do§rusal yüzeyi

hβ, βi = 1, hα0, βi = 0, hα0, α0i = ε1(= ±1)

ve β0 _{null olacak ³ekilde}

ile ifade edilebilir. Yüzeyin koordinat vektörleri xs = α0+ tβ0, xt = β

³eklindedir. Yüzey üzerinde

q = kxsk2 = ε4hxs, xsi, u = hα0, β0i

dieransiyellenebilir fonksiyonlar tanmlansn, burada ε4(= ±1), xsvektörünün

i³aretidir. Yani, hxs, xsi =hα0+ tβ0, α0+ tβ0i =t2hβ0, β0i + 2thα0, β0i + hα0, α0i =2tu + ε1 ve q = ε4(2tu + ε1)

olur. Yüzeyin g metrik tensörünün bile³enleri g11 = ε4q, g12 = g21 = 0, g22= 1

olarak bulunur. Buna göre G = det g = ε4qve metrik tensörün tersinin bile³enleri

g11 = ε4 q , g 12_{= g}21 _{= 0, g}22_{= 1 olur. Yüzeyin x} s ve xt koordinat vektörlerinin vektörel çarpmndan xs× xt= (α0+ tβ0) × β = α0× β + tβ0× β = A + tB

elde edilir, burada A = α0 _{× β ve B = β}0_{× β dir. Buna göre}

hxs× xt, xs× xti = hxs, xti2− hxs, xsihxt, xti = −ε4q

ve ε = −ε4 oldu§undan kxs × xtk =

√

q bulunur. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri

G = q−1/2(A + tB)

³eklinde bulunur. M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −ε4 − 1 2q2 ∂q ∂s ∂ ∂s+ 1 q ∂2 ∂s2
− − 1 2q ∂q ∂t ∂ ∂t+ ∂2 ∂t2

elde edilir:

∆G = − 2u2_q−2

+ u00tq−2− 4ε4u02t2q−3 G

+ q−5/2ε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q . (3.3.35)

E§er a = a(s) fonksiyonu ve −→b =−→b (s) vektörü

a = −2u2q−2+ u00tq−2− 4ε4u02t2q−3,

− →

b = q−5/2ε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q

³eklinde alnrsa, (3.3.35) ifadesi ∆G = aG + −→b olur. Dolaysyla, (3.3.1) e³itli§inden

∆G − εh∆G, GiG = aG +→−b − ε(aε + hb, Gi)G =−→b − εhb, GiG = 0

olur. Buradan da

q−5/2nε4uBq + 3u0t(A0+ tB0) − ε4(A00+ tB00)q

o

− εq−7/2(A + tB)nε4uq(hA, Bi + thB, Bi) + 3u0t(hA0, Ai + thA0, Bi

+ thA, B0i + t2_hB0_{, Bi) − ε}

4q(hA00, Ai + thA00, Bi + thA, B00i

+ t2hB, B00_i
o

= 0 (3.3.36)

elde edilir. A³a§daki büyüklükler hesaplamalarda kullanlacaktr: hA, Ai = −ε1, hA, Bi = −u, hB, Bi = 0,

hA0, Ai = 0, hB0, Bi = 0, hA0, Bi + hA, B0i = −u0.

E§er (3.3.36) e³itli§inin her iki taraf q7/2_{ile çarplp, yukardaki iç çarpmlar ve}

q fonksiyonu yerine koyulursa

ε4uB(2ut + ε1)2+ 3ε4u0t(2ut + ε1)(A0+ tB0) − ε4(2ut + ε1)2(A00+ tB00)

+ ε(A + tB)nu2(2ut + ε1) + 3u02t2+ (2ut + ε1)(hA00, Ai + thA00, Bi

+ thA, B00i + t2hB, B00i)o= 0

t4 h

2εuhB00, BiB i

+

t3h2εuhB00, BiA − 4ε4u2B00+ 6ε4uu0B0+ ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i

+ ε1hB, B00i)B

i +

t2h− 4ε4u2A00+ 6ε4uu0A0+ ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i + ε1hB, B00i)A

− 4ε1ε4uB00+ 3ε1ε4u0B0+ (4ε4u3+ 2εu3 + 2εuhA, A00i + εε1hA00, Bi

+ εε1hA, B00i)B

i +

th− 4ε1ε4uA00+ 3ε1ε4u0A0+ ε(2u3+ 2uhA, A00i + ε1hA00, Bi + ε1hA, B00i)A

− ε4B00+ (4ε1ε4u2 + εε1u2+ εε1hA, A00i)B i + h − ε4A00+ εε1(u2+ hA, A00i)A + ε4uB i = 0

elde edilir ki bu da katsaylar s'e ba§l olan t de§i³kenine göre bir polinomdur. Bu polinomun katsaylar sfr olmaldr. Dolaysyla

εuhB00, BiB = 0, (3.3.37)

2εuhB00, BiA − 4ε4u2B00+ 6ε4uu0B0 + ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i

+ ε1hB, B00i)B = 0, (3.3.38)

4ε4u2A00− 6ε4uu0A0− ε(3u02+ 2uhA00, Bi + 2uhA, B00i + ε1hB, B00i)A

+ 4ε1ε4uB00− 3ε1ε4u0B0− (4ε4u3+ 2εu3+ 2εuhA, A00i + εε1hA00, Bi

+ εε1hA, B00i)B = 0, (3.3.39)

4ε1ε4uA00− 3ε1ε4u0A0− ε(2u3+ 2uhA, A00i + ε1hA00, Bi + ε1hA, B00i)A

+ ε4B00− (4ε1ε4u2+ εε1u2+ εε1hA, A00i)B = 0, (3.3.40)

A00− εε1ε4(u2+ hA, A00i)A − uB = 0 (3.3.41)

denklemleri elde edilir. [10] nolu makalede (3.3.40) ile belirtilen denklemde A00_'lü

ifadenin u çarpan yazlmam³tr. Burada düzeltilmi³ hali yazldr.

B = β0× β vektörünün bir s ∈ I noktasnda sfr oldu§u kabul edilsin. O halde, β ve β0 vektörleri paraleldir, yani β0 = λβ olacak ³ekilde bir λ says vardr.

Buna göre hβ0_{, β}0_{i = hλβ, λβi = λ}2_{hβ, βi = λ}2 _{> 0 olur. Bu da β}0 _{vektörünün}

null olmas ile çeli³ir. Böylece B vektörünün sfrdan farkl bir vektör oldu§u sonucuna ula³lr.

“imdi U = {p ∈ M | hB, B00_{i(p) 6= 0} kümesi göz önüne alnsn. E§er U bo³}

kümeden farklysa, (3.3.37) denkleminden U kümesi üzerinde u = 0 ve (3.3.38) denkleminden ise hB, B00_{iB = 0 elde edilir. Bu da U kümesinin bo³ kümeden}

farkl olmas ile çeli³ir. Yani U bo³ kümedir. Böylece hB, B00_{i = 0 elde edilir.}

“imdi bu ifade kullanlarak (3.3.38), (3.3.39), (3.3.40) ve (3.3.41) denklemle- rindeki A00_{, B}00_{, A}0 _{ve B}0 _{ifadeleri yok edilirse}

2ε1uu02A − u02B = 0 (3.3.42)

bulunur. I aral§na ait baz s de§erleri için A ve B vektörlerinin lineer ba§ml oldu§u kabul edilsin, yani A = κ1B olacak ³ekilde bir κ1 sabiti vardr. Buradan

α0× β = κ1β0× β ifadesi (α0− κ1β0) × β = 0 ³eklinde yazlrsa

α0 − κ1β0 = κ2β

olacak ³ekilde bir κ2 sabiti vardr. Bu e³itli§in β ile iç çarpm alnrsa, α ve β'nn

özellikleri kullanlrsa

hα0, βi − κ1hβ0, βi = κ2hβ, βi = κ2,

κ2 = 0, α0 = κ1β0

ve

hα0, α0i = hκ1β0, κ1β0i = κ21hβ 0

, β0i = 0

olur, yani α0 _{null vektördür; bu da bir çeli³kidir. Dolaysyla, A ve B vektörleri}

lineer ba§mszdr ve (3.3.42) denkleminden 2ε1uu02 = 0, u02= 0

elde edilir, yani u0 _{= 0'dr. B = β}0_{× β vektörünün türevi alnrsa}

ve dolaysyla

hB, B0i = hβ0× β, β00× βi

= hβ0, βihβ, β00i − hβ0, β00ihβ, βi = −hβ0, β00i

ve

hB, B00i = hβ0× β, β000× β + β00× β0i

= hβ0× β, β000× βi + hβ0× β, β00× β0i = −hβ0, β000i

bulunur. Ayrca hB, B0_{i = hB, B}00_{i = 0 oldu§u kullanlarak}

hβ0, β00i = hβ0, β000i = 0

elde edilir. Bunlar kullanlarak hβ0_{, β}00_{i = 0 ifadesinin türevinden hβ}00_{, β}00_{i = 0}

oldu§u görülür, yani, β00 _{null ya da sfr vektördür.}

“imdi β00 _{vektörünün null oldu§u kabul edilsin. Yardmc Teorem 2.1. ve}

hβ0_{, β}00_{i = 0 ifadesinden β}00 _{= κβ}0 _{olacak ³ekilde sfrdan farkl differansiyelle-}

nebilir bir κ = κ(s) fonksiyonu vardr ve β = (β1, β2, β3) olmak üzere i = 1, 2, 3

için β00

i = κβi0 diferansiyel denklemleri yazlr. Bu denklemlerin çözümünden

βi = F (s)di, yani, β = F (s)D olacak ³ekilde pozitif dieransiyellenebilir bir

F (s) fonksiyonu ve E3₁ uzaynda D = (d1, d2, d3) sabit bir null vektörü vardr.

Dolaysyla hβ, βi = F2_{hD, Di = 0 olup, β vektörünün zamansal olmas ile çeli³ir.}

O halde, β00 _{sfr vektördür.}

Bir önceki durumda oldu§u gibi, α0_{, β, β}0 _{ve α}00 _{vektörleri arasndaki ili³ki}

incelenirse α00 _{ve β vektörlerinin paralel oldu§u bulunur. Bir önceki durumda}

yaplanlara benzer hesaplarla, α ve β'nn özellikleri göz önüne alnd§nda yüzeyin ³ekil operatörü A =   0 −ε4q−3/2hα0× β0, βi −q−1/2_hα0 _{× β}0_{, βi 0}  

bulunur. Buradan da H = 0 olur. [12] nolu makalede minimal bir yüzeyin snandrma teoremi kullanlarak M2

yüzeylerin e³leni§inin açk bir parçasdr. Benzer ³ekilde, M2

− tipinden yüzeyler

2. tip zamansal Enneper yüzeylerin e³leni§inin açk bir parçasdr. Teoremin tersinin ispat 3.2. bölümde verilen örneklerden açkça görülür.

Teorem 3.3.3. M, E3

1 Minkowski uzaynda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine

sahip bir null scroll olsun. O halde, M yüzeyi a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parçasdr:

1. bir Minkowski düzlemi,

2. bir düz B-scroll e§er B0 _{null ise,}

3. bir düz olmayan B-scroll e§er B0 _{null de§ilse.}

spat. E3

1 Minkowski uzaynda α taban e§risi null bir e§ri ve B = B(s), α

boyunca null bir vektör alan olsun. M null scrollu

hα0, α0i = 0, hB, Bi = 0, hα0, Bi = 1 olacak ³ekilde

x = x(s, t) = α(s) + tB(s) ile ifade edilir. Yüzeyin

xs= α0+ tB0, xt= B

koordinat vektörleri yüzey üzerinde bir baz alan belirler. Yüzey üzerinde tekrar q, u ve v differansiyellenebilir fonksiyonlar tanmlansn:

q = kxsk2 = hxs, xsi, u = hα0, B0i, v = hB0, B0i.

Do§rudan hesapla q = t2_{v + 2tu oldu§u görülür. Yüzeyin g metrik tensörünün}

bile³enleri g11 = t2v + 2tu, g12 = g21 = 1, g22 = 0 olarak bulunur. Buna göre,

G = det g = −1 ve metrik tensörün tersinin bile³enleri g11 _{= 0, g}12 _{= g}21 ₌

1, g22 = −t2v − 2tu olur. Yüzeyin xs ve xt vektörlerinin vektörel çarpmndan

xs× xt= (α0+ tB0) × B = α0× B + tB0× B = C + tD

elde edilir, burada C = α0_{× B ve D = B}0_{× B dir. Yüzey üzerinde}

oldu§undan yüzeyin normali uzaysaldr. Dolaysyla, yüzeyin Gauss tasviri

G = C + tD (3.3.43)

³eklinde bulunur. Öncekilere benzer ³ekilde M yüzeyinin Laplace operatörü hesaplanrsa ∆ = −2 ∂ 2 ∂s∂t + ∂q ∂t ∂ ∂t+ q ∂2 ∂t2

elde edilir. Bu operatör G Gauss tasvirine uygulanrsa

∆G = −2D0 + 2(vt + u)D (3.3.44)

bulunur. M yüzeyinin noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip oldu§u kabul edilsin. O halde, (3.3.43) ifadesi kullanlarak

∆G = F G = F (C + tD) = F C + F tD ve (3.3.44) ifadesi de göz önüne alnrsa

2D0+ (F t − 2u − 2vt)D + F C = 0

olur ve bu ifadenin srasyla C0 _{ve D}0 _{ile iç çarpmlar alnr ve gerekli i³lemler}

yaplrsa

v0+ F vt − 2v2t = 0 (3.3.45) ve

2v2− F v = 0 (3.3.46)

denklemleri bulunur.

“imdi U = {p ∈ M | v(p) 6= 0} açk kümesi göz önüne alnsn. U kümesinin bo³ kümeden farkl oldu§u kabul edilsin. O halde (3.3.46) ifadesi kullanlarak U kümesinin bir C bile³eni üzerinde F = 2v bulunur ve (3.3.45) ifadesi kullanlarak v'nin sabit oldu§u görülür. Sonuç olarak, süreklilik göz önüne alnrsa C, M

uzaynn tümünden ibaret olmaldr. Bu durumda E3 1 uzaynda hα0, α0i = hB, Bi = 0, hα0, Bi = 1, hα0, Ci = hB, Ci = 0, hC, Ci = 1, α00= −uα0+ hα00, α0× BiC, B0 = uB + hα0 × B, B0iC, C0 = −hα0× B, B0iα0− hα00, α0× BiB

olacak ³ekilde {α0_{, B, C} null çats vardr. E§er v ifadesi hesaplanrsa}

v = hB0, B0i = uhB, B0i + hα0× B, B0ihC, B0i = hα0 × B, B0i2

bulunur ve v'nin sabit olmasndan dolay hα0 _{× B, B}0_{i sabittir. Ayrca, u = 0}

olacak ³ekilde α0 _{ifadesinin bir de§i³ken dönü³ümü vardr [13]. Böylece M bir}

B-scroll'dur.

[10] nolu makalede 2v = hα0 _{× B, B}0_{i yazlm³tr. Burada düzeltilmi³ hali}

yazldr.

lk olarak v = 0 oldu§u kabul edilsin. O halde, B0 _{sfr ya da null bir vektördür.}

B0 vektörünün sfr vektör oldu§u kabul edilsin, yani B sabit bir vektördür. Dolaysyla D = B0_{× B = 0 ve (3.3.44)'den ∆G = 0 olur. Sonuç olarak, M bir}

Minkowski düzlemidir.

B0 vektörünün null oldu§u kabul edilsin. Yardmc Teorem 2.1.'den B0 ve B vektörleri lineer ba§mldr. Dolaysyla D = B0 × B = 0 ve (3.3.44) denkleminden ∆G = 0 bulunur.

M yüzeyinin H ortalama e§rili§inin ve K Gauss e§rili§inin bulunmas için yüzeyin ³ekil operatörü hesaplansn. Yüzeyin {xs, xt} te§et bazna göre

k(s)B = a11xs+ a21xt

yazlr ve

a11= 0, a21 = k(s)

bulunur, burada k(s) = hα00_{, α}0_{× Bi dir. Benzer ³ekilde}

yazlr ve a12= 0, a22 = 0 bulunur. Böylece A =   0 0 k(s) 0  

bulunur. Buradan da H = 0 ve K = 0 olur. O halde, M bir düz B-scroll'dur. “imdi v 6= 0 oldu§u kabul edilsin. O halde, B0 _{null bir vektör de§ildir. Yüzeyin}

{xs, xt} te§et bazna göre

√ vα0+ k(s)B + tvC = a11xs+ a21xt yazlr ve a11 = √ v, a21 = k(s)

bulunur, burada k(s) = hα00_{, α}0_{× Bi dir. Benzer ³ekilde}

−D = a12xs+ a22xt yazlr ve a12= 0, a22 = √ v bulunur. Böylece A =   √ v 0 k(s) √v  

bulunur. Buradan da H =√v ve K = v 6= 0 olur. O halde, M bir düz olmayan B-scroll'dur. Dolaysyla ispat tamamlanm³ olur.

Teorem 3.3.1., Teorem 3.3.2. ve Teorem 3.3.3.'ün sonuçlar birle³tirilerek a³a§- daki snandrma teoremleri ifade edilebilir.

Teorem 3.3.4. M, E3

1 Minkowski uzaynda uzaysal do§rusal bir yüzey olsun.

Bu durumda yüzeyin Gauss tasvirinin noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parças olmasdr: 1. bir Öklid düzlemi,

3. 1. tip uzaysal helikoid, 4. 2. tip uzaysal helikoid,

5. 2. tip uzaysal Enneper yüzeyin e³leni§i. Teorem 3.3.5. M, E3

1 Minkowski uzaynda zamansal do§rusal bir yüzey olsun.

Bu durumda yüzeyin Gauss tasvirinin noktasal 1-tipinden olmas için gerek ve yeter ko³ul M yüzeyinin a³a§daki yüzeylerden birinin açk bir parças olmasdr: 1. bir Minkowski düzlemi,

2. Lorentz çembersel silindir, 3. indeksi 1 olan çembersel silindir, 4. 1. tip zamansal helikoid,

5. 2. tip zamansal helikoid, 6. 3. tip zamansal helikoid,

7. 2. tip zamansal Enneper yüzeylerin e³leni§i, 8. bir düz B-scroll e§er B0 _{null ise,}

4. E3

1 MNKOWSK UZAYININ NOKTASAL 1-TPNDEN GAUSS

TASVRNE SAHP DÖNEL YÜZEYLER

Bu bölümde, E3

1 Minkowski uzaynn dönel yüzeylerinin tanm ve snf-

landrlmas verilmi³, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel yüzeylerin örnekleri ve genel karekterizasyonunu veren temel teoremler geni³ bir ³ekilde incelenmi³tir.

Belgede 3-boyutlu Minkowski Uzayının Noktasal 1-tipinden Gauss Tasvirine Sahip Yüzeyleri (sayfa 33-59)