Minkowski uzayının genelleştirilmiş topolojileri

MİNKOWSKİ UZAYININ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Merve BİLGİN

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK Enstitü Bilim Dalı : GEOMETRİ

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Soley ERSOY

Haziran 2015

i

TEŞEKKÜR

Benim için emek veren ve ilgisini hiç esirgemeyen sevgili danışmanım Doç. Dr.

Soley ERSOY’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bana her zaman destek olan anne, baba ve aile büyüklerime teşekkürü bir borç bilirim.

ii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... i

İÇİNDEKİLER... ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... iv

ÖZET... v

SUMMARY... vi

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

BÖLÜM 2. MİNKOWSKİ UZAYI ÜZERİNDE TOPOLOJİLER………..…... 4

BÖLÜM 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ AÇIK KÜMELER VE GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLER….………...………..………..…... 20

3.1. Genelleştirilmiş Açık Kümeler……….….…….…………...….…….. 20

3.2.  Açık Kümeler……….………....……….…... 22

3.3. Genelleştirilmiş Topoloji……….…………..……... 24

3.4. Genelleştirilmiş Bağlantılılık... 25

3.5. Genelleştirilmiş Ayırma Aksiyomları... 26

BÖLÜM 4. MİNKOWSKİ UZAYININ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERİ……... 30

4.1. Minkowski Uzayındaki Genelleştirilmiş Açık Kümeler... 30

4.2. Minkowski Uzayının Genelleştirilmiş Bağlantılılığı...……...….. 47

4.3. Minkowski Uzayında Genelleştirilmiş Ayırma Aksiyomları... 50

iii

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

 

CL x : Minkowski uzayının x noktasındaki ışık konisi

 

CS x : Minkowski uzayının x noktasındaki uzay konisi

 

CT x : Minkowski uzayının x noktasındaki zaman konisi ce : Öklidyen topolojiye göre kapanış operatörü

cs : stopolojisine göre kapanış operatörü ct : ttopolojisine göre kapanış operatörü dE : Öklidyen uzaklık fonksiyonu

g : İç çarpım fonksiyonu

 

^X

 : X kümesi üzerinde tanımlı  fonksiyonlarının ailesi ie : Öklidyen topolojiye göre iç operatörü

is : stopolojisine göre iç operatörü it : ttopolojisine göre iç operatörü M : nboyutlu Minkowski uzayı

M E : Öklidyen topoloji ile birlikte Minkowski uzayı M s : stopolojisi ile birlikte Minkowski uzayı M t : ttopolojisi ile birlikte Minkowski uzayı

 

N_E x : x noktasının yarıçaplı Öklidyen komşuluğu

 

N_s x : x noktasının yarıçaplı skomşuluğu

 

N_t x : x noktasının yarıçaplı tkomşuluğu

 

P X : X kümesinin kuvvet kümesi

n : nboyutlu Öklid uzayı

v

ÖZET

Anahtar Kelimeler: Minkowski Uzayının Topolojisi, Genelleştirilmiş Topoloji, Genelleştirilmiş Açık Kümeler.

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Minkowski uzayı ve Minkowski uzayı üzerindeki s t, ve etopolojileri tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde  açık kümeler, genelleştirilmiş açık kümeler, genelleştirilmiş topoloji, genelleştirilmiş bağlantılılık ve genelleştirilmiş topolojik uzaylardaki ayırma aksiyomları tanıtılmıştır.

Dördüncü bölüm bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturmaktadır ve üç alt bölüm halinde düzenlenmiştir. Dördüncü bölümün birinci alt bölümünde Minkowski uzayının bazı önemli alt kümelerinin, bu uzay üzerinde tanımlanan s t, ve etopolojilerine göre iç ve kapanış kümeleri araştırılmıştır. Bu alt kümelerinin s t, ve etopolojilerine göre genelleştirilmiş açık küme olup olmadıkları belirlenmiştir.

Böylece, Minkowski uzayı üzerinde tanımlanan genelleştirilmiş topolojiler karşılaştırılmıştır. Dördüncü bölümün ikinci alt bölümünde Minkowski uzayının genelleştirilmiş bağlantılılığı incelenmiştir. Son olarak üçüncü alt bölümde ise Minkowski uzayı üzerinde genelleştirilmiş s t, ve etopolojileri ile ayrı ayrı tanımlanan topolojik uzaylar ayırma aksiyomları ile sınıflandırılmıştır.

vi

GENERALIZED TOPOLOGIES OF MINKOWSKI SPACE

SUMMARY

Keywords: Topology of Minkowski Space, Generalized Topology, Generalized Open Sets.

This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, Minkowski space and s t e, , topologies on Minkowski space are introduced. In the third chapter  open sets, generalized open sets, generalized topology, generalized connectedness and separation axioms in the generalized topological spaces are recalled.

The fourth chapter constitutes original part of this thesis and it is arranged as three subsections. In the first subsection of the fourth chapter, the interior and the closure sets of some important subsets of Minkowski space are examined with respect to

,

s t and etopologies defined on this space. It is determined that whether these subsets of Minkowski space are generalized open sets or not with respect to s t, and etopologies. Thus, the generalized topologies on Minkowski space are compared with each other. In the second subsection of the fourth chapter, the generalized connectedness of Minkowski space is investigated. Finally, in the third subsection of the fourth chapter, the topological spaces defined by generalized s t, and etopologies on Minkowski space, respectively, are classified with the separation axioms.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

H. Minkowski 1909’da özel bir metrikle donatılmış dört boyutlu bir uzay tanımlayarak Einstein’ın özel görelilik kuramını geometrik olarak yorumlamış ve bilinen üç boyuta dördüncü boyutu ekleyerek doğanın tasvir edilebileceğini ifade etmiştir.

Einstein 1915 yılında genel görelilik kuramı ile uzay-zaman kavramını ortaya koymuştur.

3uzay+1zaman olmak üzere tanımlanmış olan 4boyutlu uzay Minkowski uzay-zamanı olarak adlandırılmış ve ortaya konulan geometrik model fizikçiler, geometriciler kadar topolojiciler için de ilham kaynağı olmuştur.

C. Zeeman [1] Minkowski uzayzamanı üzerinde 4boyutlu Öklid uzayının alışılmış topolojisini almanın doğru olmadığını aşağıdaki nedenlerle ortaya koymuştur:

i. 4boyutlu Öklid topolojisi yerel homojen olmasına rağmen Minkowski uzayı, her noktasında uzay benzeri vektörleri zaman benzeri vektörlerden ayıran ışık konisi var olduğundan yerel homojen değildir.

ii. Öklid uzayının homeomorfizmler grubu uzay benzeri ve zaman benzeri doğrultuları birbirine dönüştüren her çeşit elemanı içerir ki bu fiziksel olarak mümkün değildir.

Böylece Zeeman Minkowski uzayzamanında zaman benzeri doğru üzerine 1 boyutlu Öklidyen topoloji ve uzay benzeri hiperdüzlem üzerine 3boyutlu Öklidyen topoloji indirgeyen bir topoloji tanımlamıştır [2]. Bu topolojinin ışık ışını üzerine indirgediği topoloji ayrık topolojidir. Zeeman topolojisi yerel homojen değildir ve bu topolojinin homeomorfizmalar grubu homojen olmayan Lorentz grubu ve radyal

dönüşümler tarafından üretilir. Öklid topolojisinden kesin ince olan Zeeman topolojisi ile birlikte Minkowski uzayzamanı Hausdorff uzayıdır. Ayrıca, bağlantılı ve yerel bağlantılıdır. Ancak normal, yerel kompakt veya birinci sayılabilir değildir [2].

Sonuç olarak Zeeman aynı bakış açısı ile bazı alternatif topolojiler önermiştir [2]. Bu topolojiler Nanda tarafından ttopolojisi ve stopolojisi olarak adlandırılmış ve homeomorfizmler grubu incelenmiştir [3, 4].

Dossena, Zeeman topolojisi ile birlikte nboyutlu Minkowski uzayının ayrılabilir Hausdorff uzayı olduğunu ancak normal, yerel kompakt, birinci sayılabilir veya Lindelöf uzay olmadığını göstermiş ve 2boyuttaki durumları da incelemiştir [5].

G. Agrawal ve S. Shirivastava, sırasıyla, [6] ve [7] çalışmalarında [3] ve [4]

çalışmalarını göz önüne alarak ttopolojisi ve stopolojisi ile verilen Minkowski uzayının topolojik özelliklerini araştırarak kompakt kümeleri karakterize etmiştir.

Literatürde birçok çalışma topolojik uzaylarda tanımlanan açık benzeri kümeleri incelemeye ayrılmıştır. Bu özel açık benzeri kümeler iç ve kapanış operatörleri ile tanımlanırlar. N. Levine [8], bir topolojik uzayda yarıaçık kümeyi ve buradan yola çıkarak yarısüreklilik kavramını tanımlamıştır. Daha sonra yarıaçık kümeler gibi açık benzeri kümeler olan açık ve



açık kümeler O. Njastad tarafından [9]

tanımlanmış ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir.

Abd El-Monsef, El-Deep ve Mahmoud tarafından



açık kümeler incelenmiş ve



süreklilik kavramı sunulmuştur [10].

M. H. Stone 1937’de düzenli açık kümeleri tanıtmış ve ardından düzenli açık kümelerle ilgili birçok çalışma yapılmıştır. 2012’de R. Jamunarani ve P. Jeyanthi, ,



,  ve öndüzenli kümeleri tanıtmıştır [11].

D. Andrijevic, [12]’de baçık kümeleri tanımlamış ve yukarıda belirtilen diğer açık benzeri kümeler ile baçık kümeleri karşılaştırmıştır.

Literatürde yoğun olarak çalışılmış olan açık benzeri kümeler farklı kurallarla tanımlanmış olmalarına rağmen ortak özelliklere sahiptirler. Açık benzeri kümelerin bu ortak özellikleri Császár tarafından 1997 yılında yayınladığı [13]’de incelenmiştir.

Császár  açık kümeleri tanıtmış ve  fonksiyonunun özel seçimleriyle adı geçen açık benzeri kümelerin elde edilebileceğini ortaya koymuştur [13]. Böylece [14]’de genelleştirilmiş topolojik yapı tanımlanmış ve [15]’de açık benzeri kümelerin ailelerinin birer genelleştirilmiş topoloji oluşturdukları gösterilmiş ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir.

Genelleştirilmiş topolojik uzay kavramı ile birlikte genelleştirilmiş bağlantılılık, sırasıyla, bağlantılılık [17],



bağlantılılık [18], yarıbağlantılılık [19], ön bağlantılılık [20], bbağlantılılık [21] olarak incelenmiştir. Bunlarla birlikte genelleştirilmiş topolojik uzaylarda ayırma aksiyomları da literatürde pek çok kez çalışılmıştır [22, 23, 24, 25, 26, 27].

Bu çalışmada ise Minkowski uzayı üzerinde s t, ve etopolojileri tanıtılarak bu topolojilere göre Minkowski uzayının bazı özel alt kümelerinin iç ve kapanış kümeleri araştırılmıştır. Böylece bu kümelerin genelleştirilmiş açık küme olup olmadıkları incelenmiştir. Minkowski uzayı üzerindeki genelleştirilmiş topolojiler karşılaştırılmıştır. Ayrıca, Minkowski uzayı üzerinde genelleştirilmiş bağlantılılık ve ayırma aksiyomları incelenmiştir.

BÖLÜM 2. MİNKOWSKİ UZAYI ÜZERİNDE TOPOLOJİLER

Tanım 2.1. ⁿ, nboyutlu standart reel vektör uzayı olsun. x



x x0, ,...,1 x_n1



ve



0, 1,..., _n1



y y y y_ olmak üzere

   

0 0 ¹

1

:

, ,

n n

n i i i

g

x y g x y x y x y





 

   



şeklinde tanımlı simetrik, dejenere olmayan, bilineer forma Lorentz iç çarpımı adı verilir. Bu iç çarpım ile verilen



^n,g uzayına



nboyutlu Minkowski uzayı denir [28]. Çalışmamız boyunca nboyutlu Minkowski uzayı M ile gösterilecektir.

Tanım 2.2. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x



x x0, ,...,1 x_n1



M olsun. Eğer i. ^{g x x}

 

^{, 0 veya x0 ise x} uzay benzeri (spacelike) vektör,

ii. ^{g x x}

 

^{, 0 ve x0 ise x} ışık benzeri (lightlike) vektör, iii. ^{g x x}

 

^{, 0 ise x} zaman benzeri (timelike) vektör

olarak adlandırılır [28].

Tanım 2.3. M , nboyutlu Minkowski uzayında x M için

  

CS x  yM yx veya ^{g y}



^{x y, x}



^0



biçiminde tanımlanan ^CS

 

^x cümlesine M ’nin x’deki uzay konisi denir [6].

Tanım 2.4. M , nboyutlu Minkowski uzayında x M için

   

^,



⁰



CL x  yM g yx yx 

biçiminde tanımlanan ^CL

 

^x cümlesine M ’nin x’deki ışık konisi denir [6].

Tanım 2.5. M , nboyutlu Minkowski uzayında x M için

  

CT x  yM yx veya ^{g y}



^{x y,  x}



⁰



biçiminde tanımlanan ^CT

 

^x cümlesine M ’nin x’deki zaman konisi denir [6].

Tanım 2.6. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x y, M olsun. Eğer

i. ^{g y}



^{x y, x}



^{0 ise}



^{x t y x t}



^



^



kümesine uzay benzeri doğru, ii. ^{g y}



^{x y, x}



^{0 ise}



^{x t y x t}



^



^



kümesine ışık benzeri doğru, iii. ^{g y}



^{x y,  x}



^{0 ise}



^{x t y x t}



^



^



kümesine zaman benzeri doğru denir [6].

Teorem 2.1. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun.

i. p x, M olmak üzere d , ₁ p noktasını x noktasına bağlayan uzay benzeri doğru olsun. Bu durumda u v, d₁ için u v uzay benzeri bir vektördür.

ii. p x, M olmak üzere d , ₂ p noktasını x noktasına bağlayan zaman benzeri doğru olsun. Bu durumda u v, d₂ için u v zaman benzeri bir vektördür.

iii. p x, M olmak üzere d , ₃ p noktasını x noktasına bağlayan ışık benzeri doğru olsun. Bu durumda u v, d₃ için u v ışık benzeri bir vektördür [6].

İspat.

i. u v, d₁ için

 

u p a xp ve ^{v p b x}



^p



olacak şekilde a b, vardır. Bu durumda

  

u v  xp a b

olur. Ayrıca

     

       

2 1 2

0 0

1

2 2 1 2 2

0 0

1

,

n

i i

i

n

i i

i

g u v u v u v u v

x p a b x p a b









      

      





olduğundan



^,

   

^{2 ,}



g u v u v   a b g xp xp

elde edilir. Burada



^{a b}



^{2 0 ve g x}



^{p x, p}



^0

olduğundan



^,



⁰

g u v u v  

bulunur. Bu yüzden u v uzay benzeri bir vektördür.

ii. Benzer şekilde u v, d₂ için



^,

   

^{2 ,}



g u v u v   a b g xp xp

olup



^{a b}



^{2 0 ve g x}



^{p x, p}



^0

dır. Böylece



^,



⁰

g u v u v  

bulunur. Bu u v vektörünün zaman benzeri bir vektör olduğunu gösterir.

iii. u v, d₃ için



^,

   

^{2 ,}



g u v u v   a b g xp xp

ve



^,



⁰

g xp xp 

olduğundan



^,



⁰

g u v u v  

bulunur. Böylece u v ışık benzeri bir vektördür.

Teorem 2.2. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun.

i. d uzay benzeri doğru olsun. Bu durumda ₁ d₁ için ^CS

 

^ uzay konisi d ₁ doğrusunu içerir.

ii. d zaman benzeri doğru olsun. Bu durumda ₂ d₂ için ^CT

 

^{ zaman}

konisi d doğrusunu içerir. ₂

iii. d ışık benzeri doğru olsun. Bu durumda ₃ d₃ için ^CL

 

^ ışık konisi d ₃ doğrusunu içerir [6].

Literatüre girişi Zeeman tarafından [1, 2]’de gerçekleştirilen Minkowski uzayı üzerindeki topoloji kavramı [3, 4, 5, 6, 7]’de ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.

Tanım 2.6. nboyutlu Minkowski uzayı M olsun. xM için ^N^E

 

^x , x noktasının yarıçaplı Öklidyen komşuluğu olmak üzere

     

Β^E x  N_^E x : 0 (2.1)

yerel tabanı tarafından üretilen topolojiye M üzerindeki Öklidyen topoloji denir [6].

Çalışmamız boyunca ^N^E

 

^x , x noktasının yarıçaplı Öklidyen komşuluğu e komşuluk olarak adlandırılacaktır. Ayrıca, M Minkowski uzayı üzerinde verilen Öklidyen topoloji, etopolojisi veya _e ile gösterilirken etopolojisi ile birlikte Minkowski uzayı M^E ile gösterilecektir. _e ailesinin her bir elemanı eaçık olarak adlandırılacaktır. Ayrıca M , ^E etopolojik uzayında bir A M kümesinin içi

 

i A ve kapanışı e c A ile gösterilecektir. e

 

Tanım 2.7. M^E topolojik uzay ve UM olmak üzere her x U noktasının

 

N_E x U olacak şekilde en az bir ekomşuluğu varsa U alt kümesine e topolojisine göre açıktır denir [6].

Tanım 2.8. nboyutlu Minkowski uzayı M üzerindeki stopolojisi

     

B^S x  N_^s x : 0 (2.2)

şeklindeki x M noktasının komşuluklar ailesi olan yerel taban tarafından üretilir.

Burada

     

s E S

N_ x N_ x C x

dir. ^N^s

 

^x cümlesine x noktasının yarıçaplı skomşuluğu adı verilir. M Minkowski uzayı üzerinde (2.2) yerel tabanı tarafından üretilen topolojiye s topolojisi denir ve üzerindeki stopolojisi ile birlikte Minkowski uzayı M^s ile gösterilir [2]. stopolojisi _s ve stopolojisine göre bir A M kümesinin içi

 

i A ve kapanışı s c A ile gösterilecektir. Ayrıca s

 

_s ailesinin her bir elemanına saçık denir.

Tanım 2.9.



M^,s



topolojik uzay olmak üzere UM alt kümesinin s topolojisine göre açık olması için gerek ve yeter şart her x U için x noktasının

 

N_s x U olacak şekilde en az bir skomşuluğunun olmasıdır [6].

Tanım 2.10. nboyutlu Minkowski uzayı M üzerindeki ttopolojisi

     

B^T x  N_^t x : 0 (2.3)

şeklindeki x M noktasının komşuluklar ailesi olan yerel tabanı tarafından üretilir.

Burada

     

t E T

N_ x N_ x C x

dir. M Minkowski uzayı üzerinde (2.3) yerel tabanı tarafından üretilen topolojiye ttopolojisi ve ^N^t

 

^x cümlesine x noktasının yarıçaplı tkomşuluğu adı verilir [7]. Üzerindeki ttopolojisi ile birlikte Minkowski uzayı M^t ile gösterilir.

ttopolojisini _t ile gösterelim. _t ailesinin her bir elemanına taçık denir. M , ^t ttopolojik uzayında bir A M kümesinin içi ve kapanışı, sırasıyla, i A ve t

 

t

 

c A ile gösterilecektir.

Tanım 2.11.



M^,t



topolojik uzay olmak üzere UM alt kümesinin t topolojisine göre açık olması için gerek ve yeter şart her x U için x noktasının

 

N_t x U olacak şekilde bazı ^N^t

 

^x komşuluğunun olmasıdır [7].

Minkowski uzayındaki konilerin, sırasıyla, , ve e s ttopolojilerine göre açıklık veya kapalılık durumları [6, 7]’ de incelenmiştir.

Teorem 2.3. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x M olsun. ^CT

   

^{x  x ve}

   

CS x  x kümeleri M^E topolojik uzayında açık, ^CL

 

^x ışık konisi M^E topolojik uzayında kapalı kümedir [6].

İspat. u



u u0, ,...,1 u_n1



ve x



x x0, ,...,1 x_n1



M^E olmak üzere

  

0 0



^{2 1}

 

²

1

: ^E

n

i i

i

f M

u f u u x u x







    





fonksiyonu tanımlansın. Böylece ^{f u}

 

^{g u}



^{x u, x}



olup bu fonksiyon süreklidir.

Buradan

     

1 0, ^S

f^  C x  x ,

     

1 ,0 ^T

f^  C x  x ,

     

1 0 ^L

f^ C x

olduğu görülür. f fonksiyonu sürekli ve



^0,



^,



^,0



açık aralıkları ’de birer eaçık küme olduğu için f fonksiyonu altındaki ters görüntüleri de M^E topolojik uzayında eaçık küme olur. O halde ^CS

   

^{x  x ve CT}

   

^{x  x} alt kümeleri de birer eaçık küme olur. Ancak

 

⁰ tek nokta kümesi ’de ekapalı küme olduğu

için f altındaki ters görüntüsü yani ^CL

 

^{x , ME} topolojik uzayında ekapalı kümedir.

Teorem 2.4. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x M olsun.  0 olmak üzere x noktasının yarıçaplı skomşuluğu olan ^N^s

 

^x , M^s topolojik uzayında açıktır [6].

İspat. x noktasının yarıçaplı skomşuluğunun M^s topolojik uzayında açık olması için gerek ve yeter şart her ^y^N^s

 

^x için ^N^s

 

^y ^N^s

 

^x olacak şekilde y noktasının en az bir  yarıçaplı skomşuluğu olmasıdır. O halde keyfi ^y^N^s

 

^x

noktasını y x olacak şekilde alalım.

           

s E S

N_ x  x N_ x  C x  x

ve bir önceki teoremden ^CS

   

^{x  x kümesi ME} topolojik uzayında açık olduğundan ^N^s

   

^x  ^x kümesi eaçıktır. Böylece her ^y



^N^s

   

^x  ^x



için

     

E s

N_ y N_ x  x olacak şekilde  yarıçaplı ekomşuluğu ^N^E

 

^y

mevcuttur.

     

s E S

N_ y N_ y C y

ve

     

E s

N_ y N_ x  x

olduğu için

     

s E s

N_ y N_ y N_ x

elde edilir.

Diğer taraftan ^y^N^s

 

^x ve yx alınırsa ^N^s

 

^y ^N^s

 

^x olur. Dolayısıyla her

 

yN_s x noktasının yarıçaplı skomşuluğu ^N^s

 

^y ^N^s

 

^x olacak şekilde vardır.

Teorem 2.5. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x M olsun.

i. ^CS

 

^{x , ME} topolojik uzayında açık küme değildir, ii. ^CS

 

^{x , Ms} topolojik uzayında açık kümedir [6].

İspat.

i. ^xCS

 

^x olmasına rağmen x noktasının ^N^E

 

^x ^CS

 

^x olacak şekilde  yarıçaplı bir ekomşuluğu yoktur.

Dolayısıyla ^xCS

 

^{x için N}^E

 

^x ^CS

 

^x olacak şekilde bir ekomşuluk bulunamadığından ^CS

 

^x uzay konisi M^E topolojik uzayında açık küme değildir.

ii. ^CS

 

^x uzay konisinin M^s topolojik uzayında açık olabilmesi için her ^yCS

 

^x

noktasının ^N^s

 

^y ^CS

 

^x olacak şekilde en az bir yarıçaplı skomşuluğunun olması gerekir. O halde keyfi ^yCS

 

^x noktası alalım. Bu durumda ya

   



^S



y C x  x ya da yx şeklindedir.

   



^S



y C x  x ise ^CS

   

^{x  x kümesi eaçık} olduğundan

     

E S

N_ y C x  x olacak şekilde yarıçaplı ekomşuluk mevcuttur.

     

s E S

N_ y N_ y C y olarak tanımlandığından ^N^s

 

^y ^CS

   

^x  ^x yazılabilir. Böylece ^N^s

 

^y ^CS

 

^x olduğu görülür.

Diğer taraftan y x ise ^N^s

 

^x ^N^E

 

^x ^CS

 

^x olduğundan ^N^s

 

^x ^CS

 

^x elde edilir. Sonuç olarak her ^yCS

 

^x noktası için ^N^s

 

^y ^CS

 

^x olacak şekilde en az bir yarıçaplı skomşuluk vardır.

Teorem 2.6. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki stopolojisi M üzerindeki etopolojisinden kesin incedir



e s^, e s



[6].

İspat. M üzerindeki stopolojisinin M üzerindeki etopolojisinden kesin ince olabilmesi için _e_s ve _e _s olmalıdır. Herhangi G_e kümesi ve herhangi xG noktası alalım. O halde x noktasının yarıçaplı bir ekomşuluğu

 

N_E x G olacak şekilde mevcuttur. Böylece ^N^s

 

^x ^N^E

 

^x ^CS

 

^x olarak tanımlı olduğundan ^N^s

 

^x ^N^E

 

^x olur. Buradan da ^N^s

 

^x ^N^E

 

^x ^G ve

 

N_s x G elde edilir. Dolayısıyla G_s dir. G_e iken G_s olduğundan

e s

  mevcuttur. Ayrıca bir önceki teoremden ^CS

 

^x uzay konisi M^s topolojik uzayında açık olup M^E topolojik uzayında açık olmadığından _e _s dir.

Dolayısıyla ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.7. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki s topolojisinin uzay benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji Öklidyen topolojidir [6].

İspat. d , ₁ x noktasını y noktasına bağlayan uzay benzeri bir doğru olsun. Her xM ve her  0 için d doğrusu üzerine ₁ stopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji

  

1



N_s x d

olacak şekilde mevcuttur. Ancak

     

s E S

N_ x N_ x C x

 

1

   

1

s E S

N_ x  d N_ x C x d

ve

 

1 1

CS x  d d

olduğundan

 

1

 

1

s E

N_ x  d N_ x d

olur. Dolayısıyla

 

s d1 e

  olup stopolojisinin d doğrusu üzerine indirgediği ₁ topoloji Öklidyen topolojidir.

Teorem 2.8. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki s topolojisinin ışık benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji ayrık topolojidir [6].

İspat. d ışık benzeri bir doğru ve ₃ pd₃ olsun. O halde 3

 

d CL p olur. d ₃ doğrusu üzerine stopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji

   



^{Ns p d3 p pd3,  0}



şeklindeki topoloji tabanı tarafından üretilen ayrık topolojidir.

Teorem 2.9. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki s topolojisinin zaman benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji ayrık topolojidir [6].

İspat. d zaman benzeri bir doğru ve ₂ pd₂ olsun. O halde 2

 

d CT p olur. d ₂ üzerine stopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji

   



^{Ns p d2  p pd2,  0}



şeklindeki topoloji tabanı tarafından üretilen ayrık topolojidir.

Teorem 2.10. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M eğrisel bağlantılıdır [6]. ^s

İspat. Her x y, M için x noktasını y noktasına bağlayan bir f sürekli fonksiyonu bulunmalıdır. Herhangi x y, M alalım. Bu durumda ^{g y}



^{x y, x}



^0

veya ^{g y}



^{x y,  x}



⁰ olur. İlk olarak ^{g y}



^{x y, x}



^0 alalım. Bu durumda

 

: 0,1 ^s

f M dönüşümü

   

f t  x t yx ,

olacak şekilde tanımlanırsa ^f

 

^{0 x, f}

 

^{1 y} olur ve ^{f : 0,1}

   

^{ x y,}

dönüşümü süreklidir [Teorem 2.7.]. O halde ^{f : 0,1}

 

^Ms dönüşümü de süreklidir.

Böylece M topolojik uzayında ^s x noktasını y noktasına bağlayan bir eğri bulunmuş olur.

İkinci olarak ^{g y}



^{x y,  x}



^{0 ve zCS}

 

^{x CS}

 

^y noktası alalım.

 

1: 0,1 ^s

f M ve f2: 0,1

 

M^s

dönüşümleri, sırasıyla,

   

f t1  x t zx ve f t2

 

 y t y



z



, ^t

 

^0,1

olacak şekilde tanımlansın. Böylece Teorem 2.7.’den f1: 0,1

   

 x z, ve

   

2: 0,1 ,

f  z y dönüşümleri süreklidir. Dolayısıyla f1: 0,1

 

M^s ve

 

2: 0,1 ^s

f M dönüşümleri sürekli olup, sırasıyla, x ile z noktalarını ve z ile y noktalarını bağlayan eğrilerdir. Bu fonksiyonların bileşkesi M topolojik uzayında ^s

x noktasını y noktasına bağlayan eğridir.

Sonuç 2.1. M topolojik uzayı bağlantılıdır. ^s

Teorem 2.11. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x M olsun.  0 olmak üzere x noktasının yarıçaplı tkomşuluğu ^N^t

 

^x , M^t topolojik uzayında açıktır [7].

İspat. x noktasının yarıçaplı tkomşuluğunun M^t topolojik uzayında açık olması için gerek ve yeter şart her ^y^N^t

 

^x noktasının ^N^t

 

^y ^N^t

 

^x olacak şekilde en az bir ^N^t

 

^y ,  yarıçaplı tkomşuluğunun olmasıdır.

O halde keyfi ^y^N^t

 

^x , y x olacak şekilde alalım.

           

t E T

N_ x  x N_ x  C x  x

ve Teorem 2.3.’den M^E topolojik uzayında ^CT

   

^{x  x} açık olduğu için

   

N_t x  x kümesi de açıktır. Dolayısıyla her ^y



^N^t

   

^x  ^x



için

     

E t

N_ y N_ x  x olacak şekilde y noktasının  yarıçaplı ekomşuluğu

 

N_E y mevcuttur. ^N^t

 

^y ^N^E

 

^y ^CT

 

^y ve ^N^E

 

^y ^N^t

   

^x  ^x olduğu için

     

t E t

N_ y N_ y N_ x

elde edilir.

 

yN_t x ve yx alınırsa ^N^t

 

^y ^N^t

 

^x olur. Sonuç olarak her ^y^N^t

 

^x

noktası için ^N^t

 

^y ^N^t

 

^x olacak şekilde en az bir yarıçaplı tkomşuluk vardır.

Teorem 2.12. M , nboyutlu Minkowski uzayı ve x M olsun.

i. ^CT

 

^{x , ME} topolojik uzayında açık küme değildir, ii. ^CT

 

^{x , Mt} topolojik uzayında açık kümedir [7].

İspat.

i. ^xCT

 

^x olmasına rağmen x noktasının ^N^E

 

^x ^CT

 

^x olacak şekilde  yarıçaplı bir ekomşuluğu yoktur. Dolayısıyla ^xCT

 

^x noktası için

   

E T

N_ x C x olacak şekilde bir ekomşuluk bulunamadığından ^CT

 

^{x zaman}

konisi M^E topolojik uzayında açık değildir.

ii. ^CT

 

^x zaman konisinin M^t topolojik uzayında açık olabilmesi için her

 

yCT x noktasının ^N^t

 

^y ^CT

 

^x olacak şekilde en az bir ^N^t

 

^y yarıçaplı tkomşuluğunun olması gerekir. O halde keyfi ^yCT

 

^x noktası alalım. Bu durumda ya ^y



^CT

   

^{x  x}



^{ya da yx olur.}

Varsayalım ki ^y



^CT

   

^{x  x}



olsun. Bu durumda ^CT

   

^{x  x kümesi eaçık}

olduğundan ^N^E

 

^y ^CT

   

^x  ^x olacak şekilde yarıçaplı ekomşuluk mevcuttur.

     

t E T

N_ y N_ y C y

ve

     

E T

N_ y C x  x

olduğu için ^N^t

 

^y ^CT

 

^x kapsaması mevcuttur.

Diğer taraftan yx alınırsa ^N^t

 

^x ^N^E

 

^x ^CT

 

^x olduğundan ^N^t

 

^x ^CT

 

^x

vardır. Sonuç olarak her ^yCT

 

^x noktası için ^N^t

 

^y ^CT

 

^x olacak şekilde en az bir yarıçaplı tkomşuluk vardır.

Teorem 2.13. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki ttopolojisi M üzerindeki etopolojisinden kesin incedir



e t^, et



[7].

İspat. M , nboyutlu Minkowski uzayı üzerindeki ttopolojisinin M üzerindeki etopolojisinden kesin ince olabilmesi için _e_t ve _e _t olmalıdır. Herhangi Ge kümesi ve xG noktası alalım. O halde yarıçaplı bir ekomşuluk

 

N_E x G olacak şekilde mevcuttur. ^N^E

 

^x ekomşuluğu,

     

t E T

N_ x N_ x C x olarak tanımlı olduğundan ^N^t

 

^x ^N^E

 

^x vardır.

Buradan ^N^t

 

^x ^N^E

 

^x ^G olup ^N^t

 

^x ^G’dir. Dolayısıyla G_t olduğu görülür. G_e iken G_t olduğundan _e_t elde edilir. Ayrıca bir önceki teoremden ^CT

 

^x zaman konisi eaçık olmayıp taçık olduğu için _e _t’dir.

Dolayısıyla ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.14. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki t topolojisinin zaman benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji Öklidyen topolojidir [7].

İspat. d , ₂ x noktasını y noktasına bağlayan zaman benzeri bir doğru olsun. d ₂ doğrusu üzerine ttopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji



^Nt

 

^{x d2 xd2,  0}



olacak şekilde mevcuttur. Ancak

     

t E T

N_ x N_ x C x ,

 

2

   

2

t E T

N_ x d N_ x C x d ,

ve

 

2 2

CT x d d

olduğundan

 

2

 

2

t E

N_ x d N_ x d

olur. Dolayısıyla

 

t d2 e

  olup ttopolojisinin d doğrusu üzerine indirgediği ₂ topoloji Öklidyen topolojidir.

Teorem 2.15. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki t topolojisinin ışık benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji ayrık topolojidir [7].

İspat. d ışık benzeri bir doğru ve ₃ pd₃ olsun. O halde 3

 

d CL p ’dir. d ₃ doğrusu üzerine ttopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji

   



^{Nt p d3  p pd3,  0}



şeklindeki topoloji tabanı tarafından üretilen ayrık topolojidir.

Teorem 2.16. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. M üzerindeki t topolojisinin uzay benzeri bir doğru üzerine indirgediği topoloji ayrık topolojidir [7].

İspat. d uzay benzeri bir doğru ve ₁ pd₁ olsun. O halde 1

 

d CS p ’dir. d ₁ doğrusu üzerine ttopolojisi tarafından indirgenmiş topoloji

   



^{Nt p d1  p pd1,  0}



şeklindeki topoloji tabanı tarafından üretilen ayrık topolojidir.

Teorem 2.17. M , nboyutlu Minkowski uzayı olsun. Bu durumda M eğrisel ^t bağlantılıdır [7].

Sonuç 2.2. M topolojik uzayı bağlantılıdır. ^t

BÖLÜM 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ AÇIK KÜMELER VE GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLER

3.1. Genelleştirilmiş Açık Kümeler

Genelleştirilmiş açık kümeler topolojik uzaylardaki açık kümelere benzer kümelerdir. Açık benzeri kümelerin ilk örneği olan yarıaçık kümeler Levine tarafından 1963’te verilmiştir [8]. Daha sonra devam eden çalışmalarda önaçık kümeler, açık kümeler,  açık kümeler, düzenli kümeler ve baçık kümeler tanımlanmış ve bu kümelerin özelliklerini inceleyen ilgili pek çok çalışma yapılarak literatür genişlemiştir [9, 10, 11, 12]. İç ve kapanış operatörleri yardımı ile oluşturulan bu kümelere genelleştirilmiş açık küme adı verilmesi Császár’ın sahip oldukları ortak özellikleri göz önüne alarak  fonksiyonunu,  açık kümeleri ve genelleştirilmiş topoloji kavramlarını literatüre kazandırması ve ardından  açık kümelerin genelleştirilmiş topoloji oluşturduğunu ortaya koyması ile gerçekleşmiştir [13, 14].  fonksiyonunun özel seçimleriyle yarıaçık kümeler, önaçık kümeler,

açık kümeler,  açık kümeler elde edilebilmekte ve böylece bu kümelerin genelleştirilmiş açık küme olduğu görülmektedir. Adı geçen açık benzeri kümelerin tanımları ve birbirleri ile olan ilişkileri aşağıda verilmiştir.

Tanım 3.1.1.



^X,



bir topolojik uzay ve AX için ^{c A}

 

^{ve i A}

 

, sırasıyla, A kümesinin kapanışı ve içi olmak üzere

a) [8] A , yarı( ) ^açık kümedir:  ^{Ac i A}

   

^,

b) [29] A , önaçık kümedir:  ^{Ai c A}

   

^,

c) [9] A , açık kümedir:  ^{Ai c i A}

     

^,

d) [10] A ,  açık (yarı ön açık) kümedir:  ^{Ac i c A}

     

^,