BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK
TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK
TRİGONOMETRİK
TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ
FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ
FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLÜ TEST
BİR NOKTADA
BİR NOKTADA
SÜREKLİLİK
SÜREKLİLİK
Tanım:
Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:
1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.
2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.
R
A
a
A
f
:
A
R
f(a)
f(x)
lim
xa
ANA MENÜL=f(a) 0 a x y f(x) 1. f(a)=L 2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir. L 0 a x • x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir. L 0 a x y f(a )
için f, x=a noktasında süreksizdir.
x
x
x
f(x)
ÖRNEK ÖRNEKFonksiyonu x=1’de sürekl midir?
L f(a) f(x) limxa
lim
xaf(x)
L
f(a)
f(x)
lim
xa
y ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜÇÖZÜM ÇÖZÜM
f fonksiyonu x=1’de süreklidir.
1
f(x)
lim
1
1
1
1
)
x
-x
x
(
lim
f(x)
lim
1
0
-1
0
)
x
x
x
(
lim
f(x)
lim
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x - -
ANA MENÜSOLDAN VE SAĞDAN
SOLDAN VE SAĞDAN
SÜREKLİLİK
SÜREKLİLİK
Tanım:
Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:
1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan süreklidir, denir.
2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.
R
A
a
A
f
:
A
R
f(a)
f(x)
lim
xa-
f(a)
f(x)
lim
xa
ANA MENÜTanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz. y x L=f(a) a 0 x L=f(a) a y f f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir. f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir. ÖRNEK ÖRNEK
1
x
1,
-2x
1
x
,
1
x
f(x)
R,
R
:
f
2fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.
0
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM ÇÖZÜM 1 1 -2.1) ( f(1) 1 ) 1 -x 2 ( lim f(x) lim 2 ) 1 x ( lim f(x) lim 1 x 1 x 2 1 x 1 x - - 1. olduğundan, fonksiyon x=1de soldan sürekli
değildir.
2.
olduğundan, fonksiyon x=1de sağdan süreklidir.
f(1)
f(x)
lim
x1
1
f(1)
f(x)
lim
x1
ANA MENÜKAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
Tanım:
Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir, denir.
Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.
0 x y L=f(a) f(x)0 K=f(b) a x0 b y=f(x) ÖRNEK ÖRNEK fonksiyonunun kapalı aralığında sürekli olduğunu gösterelim.
-
1,
3
R,
f(x)
x
4
:
f
2
a,
b
R
:
f
x
a,
b
a,b
-1,3
ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜÇÖZÜM
ÇÖZÜM
için olduğundan, f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir.
1
,
3
x
0
1
,
3
x y 5 3 2 -3 -4 -1 0 4 x f(x) 2 ANA MENÜTANIM KÜMESİNDE
TANIM KÜMESİNDE
SÜREKLİLİK
SÜREKLİLİK
Tanım:Tanım: , fonksiyonu A tanım kümesinin,
her noktasında sürekli ise f, tanım kümesinde süreklidir, denir. ÖRNEK
ÖRNEK
birer reel sayı olmak üzere ile tanımlı fonksiyonunun R’de sürekli olduğunu gösterelim.
0 1 1 -n n
,
a
,...
a
,
a
a
0 1 1 -n 1 -n n nx
a
x
....
a
x
a
a
f(x)
R
A
f
:
A
R
R
n
R
R
:
f
Teorem 1
Teorem 1
Teorem 2
Teorem 2
Teorem 3
Teorem 3
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
R
x
0
lim
xx0f(x)
a
nx
0n
a
n-1x
0n-1
...
a
1x
0
a
0
f(x
0)
için olduğundan f fonksiyonu Rde süreklidir.
NOT: R Rye polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer.
f(x)= c c y x 0 y x 0 y x 0 f(x)= ax+b f(x) ax2bxc ANA MENÜ
Teorem1:
Teorem1: , olmak üzere; Adan Rye tanımlı f ve g fonksiyonları x=a noktasında sürekli iseler;
1. için k .f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
2. f + g ve f - g fonksiyonları x = a noktasında süreklidir.
3. f . g fonksiyonu x=a noktasında süreklidir.
4. olmak üzere, f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. ÖRNEK
ÖRNEK
fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olup olmadığını araştıralım.
1 x . 2) -(x f(x) 2 2
R
A
a
A
R
k
0
g(a)
ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ve olmak üzere, h(x)=f(x).g(x) olur.
olduğundan; f ve g, x=2 noktasında süreklidir. Teoreme göre f ve g’nin çarpımından oluşan h=f.g fonksiyonu da x=2
nokasında süreklidir. 2 2) -(x f(x)
g(x)
x
2
1
3
g(2)
g(x)
lim
ve
0
f(2)
f(x)
lim
x2
x2
ANA MENÜTeorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):
Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):
, fonksiyonları ile ,
olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında ve g fonksiyonu da f(a)nokasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir.
B
A
:
f
g
:
B
R
a
A
f(a)
B
ÖRNEK ÖRNEK ise 2 x a, bx ise 2 x 8, 3x ise 2 x 2, 3ax f(x)Fonksiyonu için sürekli ise (a,b)ilişkisi ne olmalıdır?
x
R
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
a
bx
)
x
(
f
,
8
x
3
)
x
(
f
,
2
ax
3
)
x
(
f
1
2
3
fonksiyonları
için süreklidir. O halde f fonksiyonu eğer x=2’de sürekli olursa, f fonksiyonu için sürekli olur. Buna göre, olmalıdır.
O halde (a,b)=(2,6) bulunur.
)
2
(
f
)
x
(
f
lim
x2
R
x
R
x
14
8
)
2
(
3
)
2
(
f
a
b
2
)
a
bx
(
lim
2
a
6
)
2
ax
3
(
lim
2 x 2 x6
b
14
2
b
2
14
a
b
2
2
a
14
2
a
6
ANA MENÜTeorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)
Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)
ve birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise, fonksiyonu da B kümesinde süreklidir.
İspat:
İspat: Bir fonksiyonla bunun tersinin grafiği y=x doğrusuna göre simetriktir. f’in grafiği devamlı bir eğri ise
grafiği de devamlı bir eğri olacaktır. Bunun için f sürekli ise de sürekli olur.
B
A
:
f
f
-1:
B
A
-1f
-1f
-1f
a
a
b
b
c
c
d
d
x
y
-1f
f
ANA MENÜTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
1. f(x) = sinx için;olduğundan, sinx fonksiyonu
R’de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.
2. f(x) = cosx için; olduğundan, cosx fonksiyonu
R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
R
x
-1 0 y x 2 2 1 f(x) = sinx y x 1 2 2 0 f(x) =cosxa
sin
)
a
(
f
x
sin
lim
)
x
(
f
lim
xa
xa
ANA MENÜ3. olduğundan, tanx
fonksiyonu paydayı 0 yapan eğerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir.
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle
süreksizdir. Bu durum grafikten de görülebilir. f(x)=tanx fonksiyonunun sürekli olduğu küme:
4. olduğundan, cotx fonksiyonu paydayı 0 yapan değerlerde
tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir.
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle
süreksizdir. f(x)=cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme: cosx sinx tanx f(x)
x x (2k-1) ,k Z
Ç 0 x cos 2
x x (2k -1) ,k Z
-R 2 sinx cosx cotx f(x)
x
x
k
,
k
Z
Ç
0
sinx
x x k ,k Z
-R y x 2 2 2 3 2 3 ANA MENÜ ÖRNEK ÖRNEKÖRNEK ÖRNEK
sinx
2
x
cos
cosx
-1
sinx
f(x)
Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız. ÇÖZÜMÇÖZÜM
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
x : x 2k ,k Z
Ç Ç Ç Ç 0 Ç -2 sinx 0 sinx 2 Z k , 2k x : x Ç 1 cosx 0 cosx 1 2 1 2 1 f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.
olduğundan kümesinde fonksiyon süreksizdir.
O halde kümesinde fonksiyon
süreksizdir.
x
:
x
2k
,
k
Z
-R
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
Tanım 1:
Tanım 1: fonksiyonu için olmak üzere f(a)
tanımlı ve ise f fonksiyonunun x=a’da
kaldırılabilir süreksizliği vardır, denir.
Eğer olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni fonksiyon x=a’da sürekli olur.
R
A
:
f
a
A
L
f(x)
lim
xa
f(a)
L
L
f(a)
ÖRNEK ÖRNEK
2
x
,
2
-x
2
x
,
1
2
x
x,
2
x
f(x)
R,
R
:
f
2Fonksiyonunun x=2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu
gösterelim. ÇÖZÜMÇÖZÜM
ANA MENÜ
Tanım 2
ÇÖZÜM ÇÖZÜM 0 f(x) lim 0 2) -x ( lim f(x) lim 0 x) 2 x ( lim f(x) lim 1 f(2) 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x - -
f(2)
f(x)
lim
olduğundan x=2’de kaldırılabilir süreksizlikx2
vardır. f(2)=1 yerine f(2)=0 olarak tanımlanırsa elde edilenfonksiyonu sürekli olur.
2
x
2
-x
2
x
0
2
x x
2
x
f(x)
2 ANA MENÜTanım2:
Tanım2: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı fakat ise, x=a’da sıçrama süreksizliği vardır, denir.
R
A
:
f
a
A
R
L
f(x)
lim
R,
L
f(x)
lim
xa-
1
xa
2
L1 L2 ÖRNEK ÖRNEK
1
x
4
x
-1
x
2
1
x
x
f(x)
R,
R
:
f
2Fonksiyonu x=1’de hangi tür süreksizliğe sahiptir? ÇÖZÜMÇÖZÜM
f(x)
lim
f(x)
lim
3
4)
-x
(
lim
f(x)
lim
2
x
lim
f(x)
lim
2
f(1)
1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x -
ÇÖZÜM ÇÖZÜMf fonksiyonu x=1’de soldan ve sağdan limitleri farklı olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyelim. 3 2 1 0 1 x y y=f(x) ANA MENÜ
Tanım3:
Tanım3: fonksiyonu için olmak üzere x=a’daki soldan ve sağdan limitlerinden en az biri veya ise
fonksiyonun x=a’da sonsuz süreksizliği vardır, denir.
R
A
:
f
a
A
ÖRNEK ÖRNEK
0
x
1
x
0
x
2
0
x
x
1
f(x)
R,
R
:
f
Fonksiyonu x=0’da hangi tür süreksizliğe sahiptir?ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
x
)
1
(
lim
f(x)
lim
x 0- x 0-olduğundan, f fonksiyonu x=0’da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten inceleyiniz.
1 2 0 y x ANA MENÜ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN
ÖZELLİKLERİ
ÖZELLİKLERİ
Tanım:
Tanım: fonksiyonunda
1. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu sayılarının en
büyüğüne f fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir.
2. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu sayılarının en
küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınır denir.
3. Eğer için olacak biçimde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonu sınırlıdır.
A
x
m
f(x)
m
R
R
m
A
x
A
x
M
f(x)
M
R
R
M
M
f(x)
m
R
A
:
f
R
A
Teorem1
Teorem1
Teorem2
Teorem2
Teorem3
Teorem3
Teorem1:
Teorem1: Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.
•Teoreme göre fonksiyonu sürekli ise için olacak biçimde bir sayısı vardır. Bu
teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.
a,b R : f x
a,bR
M
f(x)
M
R
ÖRNEK ÖRNEKf(x)= 2cosx+3 fonksiyonu sınırlıdır? Sınırlı ise
fonksiyonun en büyük alt ve en küçük üst sınırını bulalım.
R
R
:
f
ÇÖZÜM ÇÖZÜMf(x)=2cosx+3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı
bir fonksiyondur.
O halde f fonksiyonun en alt sınırı 1, en küçük üst sınırı 4’tür.
R
R
:
f
4
f(x)
1
4
3
2cosx
1
2
2cosx
-2
1
cosx
1
-için
R
x
ANA MENÜTeorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi
Teorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi
fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
•Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri
denir.
a,
b
R
:
f
a,b ) m,M
f(
a,b
a,b m f(b) f(a) M a b x y 0 x1 x2 max min ANA MENÜTeorem 3: (Ara Değer Teoremi)
Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)
fonksiyonu aralığında sürekli ve
ise f fonksiyonu, ile arasındaki her değeri en az bir kez alır.
Eğer değeri vardır ki f(c)=0’dır. Yani fonksiyonun grafiği Ox eksenin bir noktada keser.
a,
b
R
:
f
a,ba
x
1
x
2
b
)
f(x
1f(x
2)
)
x
,
(x
c
ise
)
f(x
0
)
f(x
1
2
1 2 ANA MENÜÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLÜ TEST
f(x)
lim
x31. fonksiyonunun x=1 için limiti nedir?
4
x
x
7
3x
f(x)
2
-1 x 4 bx -1 x a -1 x 2 x x f(x) 22. f’in R’de sürekli olması için a+b ne olmalıdır.
3
x
1
-x
x
3
x
x
3
f(x)
23. f fonksiyonu için değeri nedir?
4
x
1
-x
3
4
x
3
-x
3
2x
f(x)
4. f fonksiyonun sürekli olduğu küme
nedir? 5. değeri nedir? 1 x 2 x 1 x 5 -2x 1 x 1 3x f(x) 2
f(x)
lim
x1 ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ6. f fonksiyonu x’in kaç reel değeri için süreksizdir?
6
5
-x
x
2
x
f(x)
3
7. f(x) sgn(x2 3x -4) x2 2 lim x4- değeri nedir?f(x)
8. f(x) 2x 3sgn(x2 4x 4) limx2f(x) değeri nedir?
9. değeri nedir?
-2x sgn(sinx) sgn(cosx) f(x) lim f(x) 2 x 10. f’in süreksiz olduğu x değerlerinin kümesi nedir? 4 -x x -3 sgn f(x)
11. f(x)’in değeri nedir?
2
3x
-5
f(x)
12. değeri nedir? 9 x ) x -sgn(9 lim 2 2 3 x - ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ13.
f’in x=2’de sürekli olması için m ne olmalıdır? 2 x 3 mx 2 x 1 2 x 3) -sgn(mx f(x) 14. x 0 2 2 2 değeri nedir? x sinx x sin lim
15. aralığında fonksiyonunun süreksiz
olduğu x değerleri nedir? 2sin x 1
cos3x sin5x f(x)
0,2
ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜÇÖZÜM 1 ÇÖZÜM 1
2
5
4
1
1
7
3
4)
x
(x
lim
7)
x
3
(
lim
4
x
x
7
x
3
lim
2 1 x 1 x 2 1 x
ÇÖZÜM 2
ÇÖZÜM 2
için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir.
için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir. f’nin R’de sürekli olması için x=-1’de de sürekli olması gerekir. Buna göre: -1 x
f(x)
x
2
x
2
-1 x f(x) bx 4f(-1)
f(x)
lim
f(x)
lim
x1
x1
2
b
2
a
a
2
1
-1
4
-b
4
2
2
b
a
ÇÖZÜM 3
ÇÖZÜM 3
x=3 fonksiyonunun kritik noktası olduğundan bu noktada soldan ve sağdan limit alınır.
6
3
3
x)
3
(
lim
f(x)
lim
x3
x3
11
1
-3
9
1)
-x
(x
lim
f(x)
lim
x3
x3 2
f(x)
lim
f(x)
lim
f(x)
lim
x3
x3
x3ÇÖZÜM 4
ÇÖZÜM 4
olduğundan x=4 için f fonksiyonu süreklidir.
için f(x)=3x-1 polinom fonksiyonu olduğundan süreklidir. fonksiyonu x=3 için tanımsızdır. Ancak x=3 değeri aralığında olmadığından f fonksiyonu içinde
süreklidir. Buna göre f fonksiyonu R’de süreklidir.
11
f(x)
lim
f(x)
lim
11
1
-12
f(4)
11
1
-12
1)
-x
3
(
lim
f(x)
lim
11
3
4
3
8
3
-x
3
x
2
lim
f(x)
lim
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x
4 x 3 -x 3 2x f(x) 4
x
x
4
ÇÖZÜM 5 ÇÖZÜM 5
2
f(x)
lim
2
f(x)
lim
f(x)
lim
2
1
1
x)
x
(
lim
f(x)
lim
2
4
1
x
3
lim
f(x)
lim
1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x
ÇÖZÜM 6
ÇÖZÜM 6
Pay ve payda her için sürekli olduğundan f fonksiyonu yalnızca paydayı 0 yapan değerler için tanımsız ve süreksizdir.
denklemini çözelim
x=-1 kökü koşuluna uymadığından kök değildir. x<5 için
Süreksiz olduğu x değerleri 6,3,2’dir.
0 6 5 -x x
-1
x
6,
x
0
6
-x
5
x
5
x
2
5
x
2
x
3,
x
0
6
x
5
x
0
6
-5)
x(-x
2
R x ÇÖZÜM 7
ÇÖZÜM 7
x -1 4
+ - +
4’ün solunda ve olduğu
görülüyor. Buna göre olur.
4 -x 3 x2 -
0
4
-x
3
x
2
-1 4) -x 3 sgn(x2 17
2
16
-1
f(x)
lim
x4
ÇÖZÜM 8
ÇÖZÜM 8
x 2
+ +
1 1
için ve olduğu görülüyor.
4 x 4 x2 4) x 4 sgn(x2 2 x
x
2
4
x
4
0
sgn(x
2
4
x
4)
1
8
f(x)
lim
8
1
3
4
f(x)
lim
8
1
3
4
f(x)
lim
2 x 2 x 2 x
ÇÖZÜM 9
ÇÖZÜM 9
olduğundan x 2. bölgededir. Bu bölgede sinx>0 ve cosx<0 ve sgn(sinx)=1, sgn(cosx)=-1’dir.
Buna göre; 2 1 3 4
2
x
2
x
0
2
2.
1
-1
f(x)
2
lim
x
ÇÖZÜM 10 ÇÖZÜM 10 x-4=0 x=4 için tanımsızdır. x 3 4 - + --1 1 -1
yoktur ve x=3 için fonksiyon süreksizdir. Bu iki değerin dışında fonksiyon süreklidir.
1
f(x)
lim
3 x
4
-x
x
-3
4 -x x -3 sgn-1
f(x)
lim
3 x
f(x)
lim
x3ÇÖZÜM 11 ÇÖZÜM 11
3
1
2
)
2
h
3
2
(
lim
2
h
3
2
lim
2
h
3
4
lim
2
)
h
3
(
3
5
lim
h)
f(3
lim
f(x)
lim
0 h 0 h 0 h 0 h 0 h 3 x
ÇÖZÜM 12 ÇÖZÜM 12
7
1
9
16
1
9
)
4
(
1
9
x
)
x
-9
sgn(
lim
1
)
x
-9
sgn(
0
x
-9
9
x
9
x
4
x
-3
x
3
x
2 2 2 3 x 2 2 2 2-
ÇÖZÜM 13
ÇÖZÜM 13
x=2’de sürekli olması için olmalıdır.
3
m
2
3
3
m
2
3
ve
2
3
m
2
3
2m
1
ve
0
3
-m
2
1
3
2m
f(x)
lim
1
3)
-sgn(2m
f(x)
lim
1
f(2)
f(2)
f(x)
lim
f(x)
lim
2 x 2 x 2 x 2 x
ÇÖZÜM 14 ÇÖZÜM 14
2
1
1
x
x
sin
lim
)
x
x
sin
(
lim
)
x
x
sin
x
x
sin
(
x
x
sin
x
sin
lim
2 2 0 x 2 0 x 2 2 2 2 2 2 2 0 x
ÇÖZÜM 15
ÇÖZÜM 15
Pay ve payda daima süreklidir. Paydanın 0 olduğu x değerleri için f fonksiyonu süreksiz olur.
için f süreksizdir.
Sinüsü olan x reel sayıları 3. bölge ile 4. bölgededir. Buradan;