• Sonuç bulunamadı

SÜREKLİLİK 01

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "SÜREKLİLİK 01"

Copied!
49
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)
(2)

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK

TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK

TRİGONOMETRİK

TRİGONOMETRİK

FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ

FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ

FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ

ÇÖZÜMLÜ TEST

ÇÖZÜMLÜ TEST

(3)

BİR NOKTADA

BİR NOKTADA

SÜREKLİLİK

SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.

Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:

1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.

2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.

3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.

Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.

R

A

a

A

f

:

A

R

f(a)

f(x)

lim

xa

ANA MENÜ

(4)

L=f(a) 0 a x y f(x) 1. f(a)=L 2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir. L 0 a x • x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir. L 0 a x y f(a )

için f, x=a noktasında süreksizdir.

x

x 

 x

f(x)

ÖRNEK ÖRNEK

Fonksiyonu x=1’de sürekl midir?

L f(a) f(x) limxa  

lim

xa

f(x)

L

f(a)

f(x)

lim

xa

y ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(5)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

f fonksiyonu x=1’de süreklidir.

1

f(x)

lim

1

1

1

1

)

x

-x

x

(

lim

f(x)

lim

1

0

-1

0

)

x

x

x

(

lim

f(x)

lim

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x - -



       ANA MENÜ

(6)

SOLDAN VE SAĞDAN

SOLDAN VE SAĞDAN

SÜREKLİLİK

SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:

1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan süreklidir, denir.

2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.

R

A

a

A

f

:

A

R

f(a)

f(x)

lim

xa-

f(a)

f(x)

lim

xa

ANA MENÜ

(7)

Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz. y x L=f(a) a 0 x L=f(a) a y f f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir. f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir. ÖRNEK ÖRNEK

1

x

1,

-2x

1

x

,

1

x

f(x)

R,

R

:

f

2

fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.

0

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

(8)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM                  1 1 -2.1) ( f(1) 1 ) 1 -x 2 ( lim f(x) lim 2 ) 1 x ( lim f(x) lim 1 x 1 x 2 1 x 1 x - - 1. olduğundan, fonksiyon x=1de soldan sürekli

değildir.

2.

olduğundan, fonksiyon x=1de sağdan süreklidir.

f(1)

f(x)

lim

x1

1

f(1)

f(x)

lim

x1

ANA MENÜ

(9)

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir, denir.

Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.

0 x y L=f(a) f(x)0 K=f(b) a x0 b y=f(x) ÖRNEK ÖRNEK fonksiyonunun kapalı aralığında sürekli olduğunu gösterelim.

-

1,

3

R,

f(x)

x

4

:

f

2

 

a,

b

R

:

f

x

 

a,

b

a,b

-1,3

ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(10)

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

için olduğundan, f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir.

1

,

3

x

0

1

,

3

x y 5 3 2 -3 -4 -1 0 4 x f(x)  2  ANA MENÜ

(11)

TANIM KÜMESİNDE

TANIM KÜMESİNDE

SÜREKLİLİK

SÜREKLİLİK

Tanım:

Tanım: , fonksiyonu A tanım kümesinin,

her noktasında sürekli ise f, tanım kümesinde süreklidir, denir. ÖRNEK

ÖRNEK

birer reel sayı olmak üzere ile tanımlı fonksiyonunun R’de sürekli olduğunu gösterelim.

0 1 1 -n n

,

a

,...

a

,

a

a

0 1 1 -n 1 -n n n

x

a

x

....

a

x

a

a

f(x)

R

A

f

:

A

R

R

n

R

R

:

f

Teorem 1

Teorem 1

Teorem 2

Teorem 2

Teorem 3

Teorem 3

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

(12)

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

R

x

0

lim

xx0

f(x)

a

n

x

0n

a

n-1

x

0n-1

...

a

1

x

0

a

0

f(x

0

)

için olduğundan f fonksiyonu Rde süreklidir.

NOT: R Rye polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer.

f(x)= c c y x 0 y x 0 y x 0 f(x)= ax+b f(x)ax2bxc ANA MENÜ

(13)

Teorem1:

Teorem1: , olmak üzere; Adan Rye tanımlı f ve g fonksiyonları x=a noktasında sürekli iseler;

1. için k .f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.

2. f + g ve f - g fonksiyonları x = a noktasında süreklidir.

3. f . g fonksiyonu x=a noktasında süreklidir.

4. olmak üzere, f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. ÖRNEK

ÖRNEK

fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olup olmadığını araştıralım.

1 x . 2) -(x f(x) 2 2

R

A

a

A

R

k

0

g(a)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(14)

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

ve olmak üzere, h(x)=f(x).g(x) olur.

olduğundan; f ve g, x=2 noktasında süreklidir. Teoreme göre f ve g’nin çarpımından oluşan h=f.g fonksiyonu da x=2

nokasında süreklidir. 2 2) -(x f(x) 

g(x)

x

2

1

3

g(2)

g(x)

lim

ve

0

f(2)

f(x)

lim

x2

x2

ANA MENÜ

(15)

Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):

Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):

, fonksiyonları ile ,

olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında ve g fonksiyonu da f(a)nokasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir.

B

A

:

f

g

:

B

R

a

A

f(a)

B

ÖRNEK ÖRNEK             ise 2 x a, bx ise 2 x 8, 3x ise 2 x 2, 3ax f(x)

Fonksiyonu için sürekli ise (a,b)ilişkisi ne olmalıdır?

x

R

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

(16)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

a

bx

)

x

(

f

,

8

x

3

)

x

(

f

,

2

ax

3

)

x

(

f

1

2

3

fonksiyonları

için süreklidir. O halde f fonksiyonu eğer x=2’de sürekli olursa, f fonksiyonu için sürekli olur. Buna göre, olmalıdır.

O halde (a,b)=(2,6) bulunur.

)

2

(

f

)

x

(

f

lim

x2

R

x

R

x

   

14

8

)

2

(

3

)

2

(

f

a

b

2

)

a

bx

(

lim

2

a

6

)

2

ax

3

(

lim

2 x 2 x

6

b

14

2

b

2

14

a

b

2

2

a

14

2

a

6

ANA MENÜ

(17)

Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)

Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)

ve birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise, fonksiyonu da B kümesinde süreklidir.

İspat:

İspat: Bir fonksiyonla bunun tersinin grafiği y=x doğrusuna göre simetriktir. f’in grafiği devamlı bir eğri ise

grafiği de devamlı bir eğri olacaktır. Bunun için f sürekli ise de sürekli olur.

B

A

:

f

f

-1

:

B

A

-1

f

-1

f

-1

f

a

a

b

b

c

c

d

d

x

y

-1

f

f

ANA MENÜ

(18)

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

1. f(x) = sinx için;

olduğundan, sinx fonksiyonu

R’de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.

2. f(x) = cosx için; olduğundan, cosx fonksiyonu

R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.

R

x 

-1 0 y x 2   2     1 f(x) = sinx    y x 1 2   2  0 f(x) =cosx

a

sin

)

a

(

f

x

sin

lim

)

x

(

f

lim

xa

xa

ANA MENÜ

(19)

3. olduğundan, tanx

fonksiyonu paydayı 0 yapan eğerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir.

kümesinde tanımsız olup, bu nedenle

süreksizdir. Bu durum grafikten de görülebilir. f(x)=tanx fonksiyonunun sürekli olduğu küme:

4. olduğundan, cotx fonksiyonu paydayı 0 yapan değerlerde

tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir.

kümesinde tanımsız olup, bu nedenle

süreksizdir. f(x)=cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme: cosx sinx tanx f(x)  

x x (2k-1) ,k Z

Ç 0 x cos     2

x x (2k -1) ,k Z

-R  2  sinx cosx cotx f(x) 

x

x

k

,

k

Z

Ç

0

sinx

x x k ,k Z

-R    y x 2   2     2 3   2 3  ANA MENÜ ÖRNEK ÖRNEK

(20)

ÖRNEK ÖRNEK

sinx

2

x

cos

cosx

-1

sinx

f(x)

Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız. ÇÖZÜMÇÖZÜM

(21)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

x : x 2k ,k Z

Ç Ç Ç Ç 0 Ç -2 sinx 0 sinx 2 Z k , 2k x : x Ç 1 cosx 0 cosx 1 2 1 2 1                     

f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.

olduğundan kümesinde fonksiyon süreksizdir.

O halde kümesinde fonksiyon

süreksizdir.

x

:

x

2k

,

k

Z

-R

(22)

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ

Tanım 1:

Tanım 1: fonksiyonu için olmak üzere f(a)

tanımlı ve ise f fonksiyonunun x=a’da

kaldırılabilir süreksizliği vardır, denir.

Eğer olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni fonksiyon x=a’da sürekli olur.

R

A

:

f

a

A

L

f(x)

lim

xa

f(a)

L

L

f(a)

ÖRNEK ÖRNEK

2

x

,

2

-x

2

x

,

1

2

x

x,

2

x

f(x)

R,

R

:

f

2

Fonksiyonunun x=2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu

gösterelim. ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

Tanım 2

(23)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM 0 f(x) lim 0 2) -x ( lim f(x) lim 0 x) 2 x ( lim f(x) lim 1 f(2) 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x - -                 

f(2)

f(x)

lim

olduğundan x=2’de kaldırılabilir süreksizlikx2

vardır. f(2)=1 yerine f(2)=0 olarak tanımlanırsa elde edilen

fonksiyonu sürekli olur.

2

x

2

-x

2

x

0

2

x x

2

x

f(x)

2 ANA MENÜ

(24)

Tanım2:

Tanım2: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı fakat ise, x=a’da sıçrama süreksizliği vardır, denir.

R

A

:

f

a

A

R

L

f(x)

lim

R,

L

f(x)

lim

xa-

1

xa

2

L1  L2 ÖRNEK ÖRNEK

1

x

4

x

-1

x

2

1

x

x

f(x)

R,

R

:

f

2

Fonksiyonu x=1’de hangi tür süreksizliğe sahiptir? ÇÖZÜMÇÖZÜM

(25)

f(x)

lim

f(x)

lim

3

4)

-x

(

lim

f(x)

lim

2

x

lim

f(x)

lim

2

f(1)

1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x -        



ÇÖZÜM ÇÖZÜM

f fonksiyonu x=1’de soldan ve sağdan limitleri farklı olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyelim. 3 2 1 0 1 x y y=f(x) ANA MENÜ

(26)

Tanım3:

Tanım3: fonksiyonu için olmak üzere x=a’daki soldan ve sağdan limitlerinden en az biri veya ise

fonksiyonun x=a’da sonsuz süreksizliği vardır, denir.

R

A

:

f

a

A

 

ÖRNEK ÖRNEK

0

x

1

x

0

x

2

0

x

x

1

f(x)

R,

R

:

f

Fonksiyonu x=0’da hangi tür süreksizliğe sahiptir?

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM

(27)

ÇÖZÜM ÇÖZÜM



x

)

1

(

lim

f(x)

lim

x 0- x 0

-olduğundan, f fonksiyonu x=0’da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten inceleyiniz.

1 2 0 y x ANA MENÜ

(28)

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN

ÖZELLİKLERİ

ÖZELLİKLERİ

Tanım:

Tanım: fonksiyonunda

1. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu sayılarının en

büyüğüne f fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir.

2. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu sayılarının en

küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınır denir.

3. Eğer için olacak biçimde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonu sınırlıdır.

A

x 

m

f(x)

m

R

R

m

A

x 

A

x 

M

f(x)

M

R

R

M

M

f(x)

m

R

A

:

f

R

A

Teorem1

Teorem1

Teorem2

Teorem2

Teorem3

Teorem3

(29)

Teorem1:

Teorem1: Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.

•Teoreme göre fonksiyonu sürekli ise için olacak biçimde bir sayısı vardır. Bu

teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.

 

a,b R : f   x 

 

a,b

R

M

f(x)

M

R

ÖRNEK ÖRNEK

f(x)= 2cosx+3 fonksiyonu sınırlıdır? Sınırlı ise

fonksiyonun en büyük alt ve en küçük üst sınırını bulalım.

R

R

:

f

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

f(x)=2cosx+3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı

bir fonksiyondur.

O halde f fonksiyonun en alt sınırı 1, en küçük üst sınırı 4’tür.

R

R

:

f

4

f(x)

1

4

3

2cosx

1

2

2cosx

-2

1

cosx

1

-için

R

x

ANA MENÜ

(30)

Teorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi

Teorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi

fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.

•Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük

(minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri

denir.

 

a,

b

R

:

f

  

a,b ) m,M

f( 

 

a,b

 

a,b m f(b) f(a) M a b x y 0 x1 x2 max min ANA MENÜ

(31)

Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)

Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)

fonksiyonu aralığında sürekli ve

ise f fonksiyonu, ile arasındaki her değeri en az bir kez alır.

Eğer değeri vardır ki f(c)=0’dır. Yani fonksiyonun grafiği Ox eksenin bir noktada keser.

 

a,

b

R

:

f

 

a,b

a

x

1

x

2

b

)

f(x

1

f(x

2

)

)

x

,

(x

c

ise

)

f(x

0

)

f(x

1

2

1 2 ANA MENÜ

(32)

ÇÖZÜMLÜ TEST

ÇÖZÜMLÜ TEST

f(x)

lim

x3

1. fonksiyonunun x=1 için limiti nedir?

4

x

x

7

3x

f(x)

2

            -1 x 4 bx -1 x a -1 x 2 x x f(x) 2

2. f’in R’de sürekli olması için a+b ne olmalıdır.

3

x

1

-x

x

3

x

x

3

f(x)

2

3. f fonksiyonu için değeri nedir?



4

x

1

-x

3

4

x

3

-x

3

2x

f(x)

4. f fonksiyonun sürekli olduğu küme

nedir? 5. değeri nedir?            1 x 2 x 1 x 5 -2x 1 x 1 3x f(x) 2

f(x)

lim

x1 ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(33)

6. f fonksiyonu x’in kaç reel değeri için süreksizdir?

6

5

-x

x

2

x

f(x)

3

7. f(x)  sgn(x2 3x -4)  x2  2 lim x4- değeri nedir?f(x)

8. f(x)  2x 3sgn(x2 4x  4) limx2f(x) değeri nedir?

9. değeri nedir?

-2x sgn(sinx) sgn(cosx) f(x)    lim f(x) 2 x  

10. f’in süreksiz olduğu x değerlerinin kümesi nedir? 4 -x x -3 sgn f(x) 

11. f(x)’in değeri nedir?

2

3x

-5

f(x)

12. değeri nedir? 9 x ) x -sgn(9 lim 2 2 3 x - ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(34)

13.

f’in x=2’de sürekli olması için m ne olmalıdır?             2 x 3 mx 2 x 1 2 x 3) -sgn(mx f(x) 14. x 0 2 2 2 değeri nedir? x sinx x sin lim

15. aralığında fonksiyonunun süreksiz

olduğu x değerleri nedir? 2sin x 1

cos3x sin5x f(x)   

0,2

ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ

(35)

ÇÖZÜM 1 ÇÖZÜM 1

2

5

4

1

1

7

3

4)

x

(x

lim

7)

x

3

(

lim

4

x

x

7

x

3

lim

2 1 x 1 x 2 1 x

  

(36)

ÇÖZÜM 2

ÇÖZÜM 2

için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir.

için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir. f’nin R’de sürekli olması için x=-1’de de sürekli olması gerekir. Buna göre: -1 x 

f(x)

x

2

x

2

-1 x  f(x) bx 4

f(-1)

f(x)

lim

f(x)

lim

x1

x1

2

b

2

a

a

2

1

-1

4

-b

4

2

2

b

a

(37)

ÇÖZÜM 3

ÇÖZÜM 3

x=3 fonksiyonunun kritik noktası olduğundan bu noktada soldan ve sağdan limit alınır.

6

3

3

x)

3

(

lim

f(x)

lim

x3

x3

11

1

-3

9

1)

-x

(x

lim

f(x)

lim

x3

x3 2

f(x)

lim

f(x)

lim

f(x)

lim

x3

x3

x3

(38)

ÇÖZÜM 4

ÇÖZÜM 4

olduğundan x=4 için f fonksiyonu süreklidir.

için f(x)=3x-1 polinom fonksiyonu olduğundan süreklidir. fonksiyonu x=3 için tanımsızdır. Ancak x=3 değeri aralığında olmadığından f fonksiyonu içinde

süreklidir. Buna göre f fonksiyonu R’de süreklidir.

11

f(x)

lim

f(x)

lim

11

1

-12

f(4)

11

1

-12

1)

-x

3

(

lim

f(x)

lim

11

3

4

3

8

3

-x

3

x

2

lim

f(x)

lim

4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x

            4 x  3 -x 3 2x f(x)  

4

x

x

4

(39)

ÇÖZÜM 5 ÇÖZÜM 5

2

f(x)

lim

2

f(x)

lim

f(x)

lim

2

1

1

x)

x

(

lim

f(x)

lim

2

4

1

x

3

lim

f(x)

lim

1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x

            

(40)

ÇÖZÜM 6

ÇÖZÜM 6

Pay ve payda her için sürekli olduğundan f fonksiyonu yalnızca paydayı 0 yapan değerler için tanımsız ve süreksizdir.

denklemini çözelim

x=-1 kökü koşuluna uymadığından kök değildir. x<5 için

Süreksiz olduğu x değerleri 6,3,2’dir.

0 6 5 -x x  

-1

x

6,

x

0

6

-x

5

x

5

x

2

5

x

2

x

3,

x

0

6

x

5

x

0

6

-5)

x(-x

2

R x 

(41)

ÇÖZÜM 7

ÇÖZÜM 7

x -1 4

+ - +

4’ün solunda ve olduğu

görülüyor. Buna göre olur.

4 -x 3 x2  -

0

4

-x

3

x

2

-1 4) -x 3 sgn(x2  

17

2

16

-1

f(x)

lim

x4

(42)

ÇÖZÜM 8

ÇÖZÜM 8

x 2

+ +

1 1

için ve olduğu görülüyor.

4 x 4 x2   4) x 4 sgn(x2   2 x 

x

2

4

x

4

0

sgn(x

2

4

x

4)

1

8

f(x)

lim

8

1

3

4

f(x)

lim

8

1

3

4

f(x)

lim

2 x 2 x 2 x



    

(43)

ÇÖZÜM 9

ÇÖZÜM 9

olduğundan x 2. bölgededir. Bu bölgede sinx>0 ve cosx<0 ve sgn(sinx)=1, sgn(cosx)=-1’dir.

Buna göre; 2 1 3 4

2

x

2

x

0

2

2.

1

-1

f(x)

2

lim

x  

 

(44)

ÇÖZÜM 10 ÇÖZÜM 10 x-4=0 x=4 için tanımsızdır. x 3 4 - + --1 1 -1

yoktur ve x=3 için fonksiyon süreksizdir. Bu iki değerin dışında fonksiyon süreklidir.

1

f(x)

lim

3 x 

4

-x

x

-3

4 -x x -3 sgn

-1

f(x)

lim

3 x 

f(x)

lim

x3

(45)

ÇÖZÜM 11 ÇÖZÜM 11

3

1

2

)

2

h

3

2

(

lim

2

h

3

2

lim

2

h

3

4

lim

2

)

h

3

(

3

5

lim

h)

f(3

lim

f(x)

lim

0 h 0 h 0 h 0 h 0 h 3 x

      

(46)

ÇÖZÜM 12 ÇÖZÜM 12

7

1

9

16

1

9

)

4

(

1

9

x

)

x

-9

sgn(

lim

1

)

x

-9

sgn(

0

x

-9

9

x

9

x

4

x

-3

x

3

x

2 2 2 3 x 2 2 2 2

-

  

(47)

ÇÖZÜM 13

ÇÖZÜM 13

x=2’de sürekli olması için olmalıdır.

3

m

2

3

3

m

2

3

ve

2

3

m

2

3

2m

1

ve

0

3

-m

2

1

3

2m

f(x)

lim

1

3)

-sgn(2m

f(x)

lim

1

f(2)

f(2)

f(x)

lim

f(x)

lim

2 x 2 x 2 x 2 x

       

(48)

ÇÖZÜM 14 ÇÖZÜM 14

2

1

1

x

x

sin

lim

)

x

x

sin

(

lim

)

x

x

sin

x

x

sin

(

x

x

sin

x

sin

lim

2 2 0 x 2 0 x 2 2 2 2 2 2 2 0 x

  

(49)

ÇÖZÜM 15

ÇÖZÜM 15

Pay ve payda daima süreklidir. Paydanın 0 olduğu x değerleri için f fonksiyonu süreksiz olur.

için f süreksizdir.

Sinüsü olan x reel sayıları 3. bölge ile 4. bölgededir. Buradan;

2

1

-sinx

0

1

x

sin

2

0 0 0 0 0 0

330

x

veya

210

x

30

360

x

veya

30

180

x

2 1

Referanslar

Benzer Belgeler

[r]

Bu bölümde, klasik analizde farkl¬ olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yakla¸ s¬mlar ifade edilecektir.. elde edilir.Bu ifade p-katl¬integrali

Bir açının trigonometrik oranlarından herhangi birisi biliniyorken bu açının diğer trigonometrik oranları, dik üçgen yardımıyla bulunabilir.. bölgede

Verilen f(x) fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları söylemeye çalışınız. Fonksiyonun -4, -2, 1 ve 5 apsisli noktalarda limitleri varsa bulunuz. Bulduğunuz

Bu polinom yardm ile f(0.5) de§erine bir yakla³mda bulununuz ve yakla³mda olu³an hata için bir üst snr

· Integrasyon s¬ras¬ de¼ gi¸ stirilirse; yani önce y, sonra x de¼ gi¸ skenine göre integral al¬n¬rsa sonuç de¼ gi¸ smez... A¸ sa¼ g¬daki integrallerin integrasyon

olarak tan¬mlanan fonksiyon x 0 noktas¬nda sürekli olur..

f fonksiyonu [a; b] aral¬¼ g¬nda sürekli oldu¼ gundan bu aral¬k üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de¼ gerlerini al¬rx. O zaman c bir yerel minimum nokta olup bir