T.C.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDAT.C.
f-CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ
ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER
ESRA ULUOCAK
DANIŞMANNURTEN BAYRAK
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
MATEMATİK PROGRAMI
DANIŞMAN
PROF. DR. ÖMER GÖK
İSTANBUL, 2014
İSTANBUL, 2011
T.C.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
f-CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ
ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER
Esra ULUOCAK tarafından hazırlanan tez çalışması ………. tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Tez Danışmanı Prof. Dr. Ömer GÖK Yıldız Teknik Üniversitesi
Jüri Üyeleri
Prof. Dr. Ömer GÖK
Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________
Prof. Dr. Yasemin KAHRAMANER
İstanbul Ticaret Üniversitesi _____________________
Doç. Dr. Bayram Ali ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________
Doç. Dr. Erdal GÜL
Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________
Doç. Dr. Bülent KÖKLÜCE
ÖNSÖZ
Bu tezin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Ömer GÖK’e ve çalışmalarım sırasında manevi desteğini eksik etmeyip her zaman yanımda olan eşime ve aileme teşekkürü bir borç bilirim.
Eylül, 2014
iv
İÇİNDEKİLER
Sayfa SİMGE LİSTESİ ...v ÖZET ... vii ABSTRACT ... viii BÖLÜM 1 1 GİRİŞ ... 1 1.1 Literatür Özeti ... 1 1.2 Tezin Amacı ... 2 1.3 Hipotez ... 3 BÖLÜM 2 4 ÖN BİLGİLER ... 4 BÖLÜM 3 30f-CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ ... 30
BÖLÜM 4 34
BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ... 34
SONUÇ VE ÖNERİLER ... 41
v
SİMGE LİSTESİ
E E uzayının topolojik duali E E uzayının topolojik ikinci duali Kompleks sayılar kümesi Reel sayılar kümesi Doğal sayılar kümesi
İnfimum
Supremum E E kümesinin pozitif konisi
x x elemanının mutlak değeri T T operatörünün normu 0 Sıralı yakınsama
Toplam dA A kümesinin ayrık tümleyeni
) (L
Orth L deki bütün ortomorfizmaların kümesi
LLb L deki tüm sıralı sınırlı operatörlerin kümesi
XC X üzerindeki tüm sürekli fonksiyoların kümesi
L L nin Dedekind tamlaması
ddu u kümesinin ikinci ayrık tümleyeni
Büyüktür
vi Küçüktür Küçüktür veya eşittir x x elemanının pozitif kısmı x x elemanının negatif kısmı Kesişim Birleşim Her
vii
ÖZET
f-CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ
ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER
Esra ULUOCAK
Matematik Anabilim Dalı Doktora Tezi
Tez Danışmanı: Prof. Dr. Ömer GÖK
Bu çalışmada, A f cebirlerinin ikinci sıralı dualleri ve Banach A modülleri üzerindeki lineer operatörler incelenmiştir. X bir Archimedean f cebiri olmak üzere, in ikinci duali X de tanımlı Arens çarpımları verilmiştir. Bu çarpımlardan faydalanarak, TOrth(X), xX için :Orth(X)Orth(X),
T xTxdönüşümü ve FX, fOrth(X) için :XOrth(X), (F)(f)F(fX) olmak üzere dönüşümünün bir cebir homomorfizması olduğu gösterilmiştir.
A, Banach olmak üzere Banach f modül üzerindeki Alineer operatör tanımı verilmiştir. X ve Y Banach Amodül olduğunda X ve X nin birer Banach
A modül olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, lineer T:X Y operatörü ise onun sürekli adjoint operatörü T:YX nin de Alineer operatör olduğu gösterilmiştir. Son olarak, TOrthA
X ise TOrthA
X olduğu gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler:Arens çarpımları, , ortomorfizma, sıralı dual, Banach Amodülleri, ayrıklığı koruyan operatör.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
X cebiri f lineer A cebiri f
viii
ABSTRACT
ORDER BIDUAL OF f-ALGEBRAS AND A-LINEAR OPERATORS ON
BANACH A-MODULES
Esra ULUOCAK
Department of Mathematics Ph.D. Thesis
Adviser: Prof. Dr. Ömer GÖK
In this thesis, order bidual of f algebra A and Alinear operators on Banach A
modules are investigated. Let X be an Archimedean f algebra. The Arens multiplication in the order bidual X is given. With this multiplication it is shown that the mapping :Orth
X Orth
X ,
T xTx for TOrth
X , xX and the mapping are algebra homomorphism, where :X Orth
X ,
F f F
fX . Let A be a Banach f algebra. The definition of A linear operator on Banach f modul is given. Let X and Y be a Banach A modul. It is shown that X and X are Banach A modul. Also, it is shown that if a linear operatör is anA linear, then its continuous adjoint operator
X Y
T: is an A linear operator. And also, it is shown that if TOrthA
X , then TOrthA
X .Keywords: Arens multiplication, f-algebra, orthomorphism, order dual, Banach A
modules, disjointness preserving operator .
YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES Y
X T:
1
BÖLÜM 1
GİRİŞ
1.1 Literatür ÖzetiPozitif operatörlerin başlangıcı 19. yüzyılın başlarına dayanır. Başlarda pozitif operatörler, integral operatörlerle ( çalışmaları fonksiyonel analizi başlatan ) bağlantı kurularak çalışılmıştır. Ancak çok sonraları pozitif operatörler sistematik bir biçimde araştırılmıştır. Özellikle pozitif operatörlerin gelişimi, Riesz uzaylarının gelişmesiyle hız kazanmıştır.
f halka teori ve f cebir teori, bir çok yazar tarafından çalışılmıştır. Örneğin [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9] bazı yazarlar [3] bir f-halkayı, uv0, w0 ise
uw v
wu v0 özelliğiyle birlikte bir latis sıralı halkası olarak tanımlar. Diğerleri ( 9.11 [2] A. Bigard, K. Keimel ve S. Wolfenstein ve Bölüm IX, [4] L. Fuchs ) bir
f halkayı, tamamıyla sıralı halkaların bir altdirekt izomorfik olan bir latis sıralı halkası olarak tanımlar. Bu iki tanım eşdeğer olarak da görülebilir. Ancak, herhangi bilinen eşdeğer kanıt Zorn Önermesi’ ndeki iddialara dayanır. Eğer ikinci tanım kullanılırsa, ‘ her tamamıyla sıralı halkada sağlanan bir özdeşlik, her f halkada sağlanır’ matematiksel yorumu aracılığıyla f halkalar üzerindeki belli sayıdaki standart teoremleri kanıtlamak mümkündür.
1928 yılında F. Riesz, ‘Doğrusal Fonksiyonların Ayrışması Üzerine‘ [10] ( pozitif ve negatif kısımlar ) konulu çalışmayı, Riesz uzayları ve pozitif operatörlerin başlangıcını, Bologna’da Uluslararası Matematikçiler Konferansı’nda sunmuştur. 1930 ların ortalarında, Riesz uzaylarının teorisi H. Freudenthal ve L.V. Kantorovic tarafından aksiyomatik olarak geliştirilmiştir. Ayrıca, pozitif operatörler 1930 ların ortalarında yine L. Kantorovich tarafından sunulmuş ve çalışılmıştır. Yaptıkları çalışmayı ilk olarak G. Birkhoff’un Latis Teorisi [11] kitabının baskısıyla ders kitabı olarak sunmuşlarıdır. Şüphesiz ki, pozitif operatörlerin en kapsamlı çalışması 1930 larda F. Riesz, L. V. Kantorovich, ve G. Birkhoff tarafından yapılmıştır.
1940 larda ve 1950 lerin başlarında pozitif operatörler üzerine çok az çalışma yapılmıştır. Bu periyotta önemli katkılar Sovyet okulundan ( L. V. Kantorovich, M. G. Krein, A. G. Pinsker, M. A. Rutman, B. Z. Vulik ) ve Japon okulundan ( H. Nakano, K. Yosida, T. Ogasuwara ve öğrencileri ) gelmiştir. 1954 yılında, Kısmi Sıralı Uzaylarda
2
Fonksiyonel Analiz kitabı [12] L. V. Kantorovich, B. Z. Vulikh ve A. G. Pinsker tarafından Sovyet Literatürüne girmiştir. Bu kitap pozitif operatörler ve onların uygulamalarının mükemmel işlemlerini içerir.
1950 lerin ortalarından beri pozitif operatörlerin araştırılması kaydadeğer bir ivme kazanmıştır. 1955 ten 1970 yılına kadar önemli katkılar T. Ando, C. Goffman, S. Kaplan, S. Karlin, P. P. Korovkin, M. A. Krasnoseskii, P. P. Zabreiko, E. I. Pustylnik ve P. E. Sobolevskii, U. Krengel, G. Y. Lozanorskii, W.A, J. Luxemburg ve A. C. Zaanen, H. Nakano, L. Namiska, A. Pressini, H. H. Shaefer ve B. Z. Vulikh’ ten gelmiştir. Böylece 1960 ların sonuna kadar pozitif operatörlerin ‘ alt yapısı ’ iyi kurulmuştur.
1970 li yıllar, pozitif operatörler teorisi için ‘ olgunluk periyodu ‘ olarak ifade edilebilir. 1974 yılında, ilk monografi tamamen, literatürde çıkan konuya adanmıştır. Bu pozitif operatörlerin gelişmesinde büyük etkisi olan H. H. Schaefer in ‘Banach Lattices and Positive Operators’ [13] kitabıdır. Bu dönemde, bu alanda çalışan matematikçi sayısı artmıştır ve araştırmalar daha sistematik şekilde yürütülmüştür. Konunun gelişimi çok hızlanmıştır; ve buna ek olarak diğer disiplinlere olan uygulamaları gelişmeye başlamıştır. 1970 lerin kilometre taşı P. G. Dodds ve D. H. Fremlin’ in pozitif kompakt operatörlerle ilgili makalesidir [14]. 1970 lerde pozitif operatör teorisiyle ilgili çalışanların listesi Ju. A. A Abromovich, C.D. Aliprantis, S. J. Bernau, A.V. Buhvalov, O. Burkinshaw, D. I. Cartwright, P. G. Dodds, M. Dohoux, P. Van Elik, J. J. Grobler, D. H. Fremlin, H.P. Lotz, W. A. J. Luxemburg, M. Meyer, P. Meyer-Nieberg, R.J. Nagel, U. Schlotterback, H. H. Schaefer, A. R. Schep, C. T. Tucker, A.I. Veksler, A. W. Wickstead, M. Wolff ve A. C. Zaanen’ i içerir.
1980 ler pozitif operatörler teorisi için çok iyi başladı. Pozitif kompakt operatörler üzerine önemli makalelerin bir serisi C. D. Aliprantis ve O. Burkinshaw tarafından yazılmıştır [15] ,[16] ,[17] ,[18]. Pozitif operatörler üzerine bir diğer seçkin kitap, pozitif operatörler literatürüne eklenmiştir. Bu A. C. Zaanen’ in Riesz Uzayları II [19] kitabıdır. Banach uzayları teorisini çalışan pek çok matematikçi pozitif operatörleri çalışmaktadır; ve bu durum konuya ekstra bir destek vermiştir. Buna ek olarak, pozitif operatörler teorisi, matematiksel fizikten ekonomiye kadar pek çok disiplinde bazı önemli uygulama alanları bulmuştur.
1.2 Tezin Amacı
Bu çalışmanın amacı, X bir Archimedean f cebiri ve X, X in duali olduğunda
X den Orth
X Orth e tanımladığımız dönüşümünün ve
den Orth X
X e tanımlanan olmak üzere
dönüşümünün lineer, birebir bir cebir homorfizması olduklarını göstermektir. Diğer bölümde Banach Amodül tanımını verip, X ve X nün birer Banach Amodül olduğunu ispatlamaktır. Ayrıca, X ve Y Banach Amodülü olduğunda, lineer
Y X
T: operatörü Alineer ise onun sürekli adjoint operatörü T:YX nün de Alineer operatör olduğunu ispatlamaktır.
T xTx
Orth X X : 3 1.3 Hipotez
Archimedean f cebiri ve in duali de olduğunda
X , x X için,Orth
T :Orth
X Orth
X , dönüşümülineer, birebir bir cebir homomorfizmadır. xX ve f X alındığında Orth
X için, f.x:Orth
X R,
f.x f
x dönüşümü ile fxOrth
X olur. Ayrıca herFX, f Orth
X için ,
F f F
fXdönüşümünü aldığımızda :Orth
X Orth
X olmak üzere, bir cebir homomorfizmadır.
f
gOrth
X : 0g ve gx f
olmak üzere X in sıralı duali X den
f 0 olacak şekilde bir f elemanı alındığında xX için,0 .x
f olduğunda f
x 0 olur.X , bir Banach Amodül olduğunda her aA için m*:AL
X ,m*
a f a.f tanımlandığında *
*a m a
m olur. Ayrıca , ve birer Banach A
modüllerdir. t
w*
zayıf * operatör topoloji olmak üzere her aA için m*
a , A
A,A
den L
X
w*
t ye süreklidir. Ve, Banach A modülü olduğunda, lineeroperatörü Alineer ise onun sürekli adjoint operatörü de
A lineer operatördür.
X , bir Banach Amodül ve T:X X operatörü bir Alineer operatör olduğunda, T:XX operatörü T operatörünün adjointi olmak üzere her
,
,x X
X
x için Tx.xx.Txolur. Ayrıca Eğer, TOrthA
X , ise o zaman
X Orth T A olur. X X X
T xTx
Orth X X : X X Y ve X Y X T: T:YX4
BÖLÜM 2
ÖN BİLGİLER
Bu bölümde çalışmamızın içinde yer alan temel tanım ve teoremleri vereceğiz.Tanım 2.1 E boş olmayan bir küme ve K cismi veya olsun.
, . , , : . , , : x a x a E E K y x y x E E E dönüşümleri ile toplama ve çarpma işlemlerini tanımlayalım. Aşağıdaki koşullar sağlansın.
)
a Her x,y,zE için x
yz
xy
z ( toplamada birleşme özelliği ))
b Her x,yE için xy yx ( toplamada değişme özelliği )
)
c Her xE için x0x eşitliğini sağlayan E içinde bir tek 0 ( sıfır ) elemanı vardır. ( Burada 0 elemanı, etkisiz elemandır.)
)
d Her xE için x
x 0 eşitliğini sağlayan bir tek xE vardır. (x toplamada ters elemandır. ))
e Her xE için 1.xx ( 1 çarpmada birim ya da etkisiz elemandır. )
) f Her xE ve a,bK için
ab xa
bx . ) g Her xE ve a,bK için a
x y
axay. ) h Her xE ve a,bK için
ab
xaxbx.Bu durumda E ye K üzerinde bir vektör uzayı ( lineer uzay ) ve elemanlarına da vektör denir. alınırsa E ye bir reel vektör uzayı , alınırsa E ye bir kompleks vektör uzayı adı verilir [22].
5 Örnekler 2.2
)
1 Reel sayılar kümesi ve kompleks sayılar kümesi bildiğimiz çarpma ve toplama işlemlerine göre birer vektör uzayıdır.
)
2 olsun.
x x x
y
y y y
Ex 1, 2,..., n , 1, 2,..., n için toplama işlemini şu şekilde tanımlayalım: x y
x1 y1,...,xn yn
.Bir aR sayısı ile x
x1,...,xn
E vektörünün çarpımını da şu şekilde tanımlayalım: a.x
ax1,...axn
.Bu çarpma ve toplama tanımları ile bir vektör uzayıdır.
)
3 K, veya ve X boş olmayan bir küme olsun. X kümesinden K kümesine tanımlı tüm fonksiyonların kümesi E olsun. Yani ;
E
f f :X K
. Eg
f, için
f g
x f x g x , xX olarak toplam tanımlansın.Bir aK ve f E için çarpımı
af x af
x olarak tanımlansın. Bu çarpma ve toplama işlemlerinin tanımları ile E bir vektör uzayıdır. Çünkü,) a Her f,gEiçin,
f gh
x f x gh
x f x
g
x hx
f
x g x
h
x ,xX. O halde f
g h
f g
h sağlanır. ) b Her f,gE için,
f g
x f x g x g x f x g f
x ,xX. O halde f gg f sağlanır. )c 0
x 0,xX. O halde sıfır fonksiyonu 0,E nin sıfırıdır.)
d f E için f E fonksiyonu
f x f
x eşitliğini sağlar.)
e Her f E için
1.f x 1f
x f x ,xX olduğundan 1.f f özelliği sağlanır. X x E f ve K b a f ) , , için,
ab f
x ab f x a
bf
x
abf x olduğundan
ab f a
bf sağlanır. X x ve K a E g f g) , , için,
a f g
x a f g
x a
f
x g x
af
x ag
x af ag
x olduğundan6
f g
af ag a sağlanır. X x ve E f K b a h) , , için
ab f
x ab
f x af
x bf
x af bf
x olduğundan
ab
f af bf sağlanır.O halde E bir vektör uzayıdır [22].
Tanım 2.3 Boştan farklı bir küme üzerinde yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa bağıntısına bu küme üzerinde sıralama bağıntısı denir. Boştan farklı E kümesi üzerindeki sıralama bağıntısı şu özellikleri sağlar :
i) Her xE için xx olur. ( yansıma )
ii) Her x,yE için xy ve yx sağlanıyorsa x y olur. ( ters simetri ) iii) Her x,yE için xy ve yz sağlanıyorsa xz olur. ( geçişme )
Herhangi bir küme sıralama bağıntısı özelliklerini sağlıyor ise bu kümeye kısmi sıralı küme denir. Üzerinde sıralama tanımlanmış reel vektör uzayına da kısmi sıralı reel vektör uzayı denir [20].
Tanım 2.4 E, bir reel vektör uzayı ve E üzerinde bir sıralama bağıntısı olsun. Her ve
E z y
x, , a0 reel sayısı için,
)
i xy xz yz
)
i
i xy axay
aksiyomları sağlanıyorsa E ye sıralı vektör uzayı denir [20].
Tanım 2.5 E bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
x x R E , :
. , tanımlı dönüşümüne aşağıdaki koşulları sağlarsa E üzerinde bir norm adı verilir.
i Her xE için x 0
ii Her xE için x 0 ise x0.
iii Her xE ve aK için ax a x
iv Her x,yE için xy x y ( üçgen eşitsizliği )Bu durumda
E, .
çiftine bir normlu vektör uzayı denir. Üzerinde norm tanımlanmış bir uzaya normlu bir uzay adı verilir [22].7 Örnek 2.6
1) olsun. xRiçin x xtanımı ile . üzerinde bir norm belirtir. 2) olsun. xCiçin x x tanımı ile . üzerinde bir norm belirtir. 3) olsun. x
x1,...,xn
E için, 2 1 1 2
n i i x xtanımı ile E üzerinde bir normdur.
4) 1 p için Elp olsun. x
xn lp için p i p n x x 1 1
tanımı ile lp üzerinde bir normdur.
5) X boş olmayan bir küme ve B
X , X üzerinde tanımlı sınırlı reel değerli fonksiyonların vektör uzayı olsun.
X Bf için f suptX f
t tanımı ile B
X üzerinde bir normdur. İspat:Reel sayıların özelliğinden üstten sınırlı bir kümenin en küçük üst sınırı olduğundan norm iyi tanımlıdır. Şimdi sıra ile norm aksiyomlarını sağladığını görelim:
i ) Mutlak değerin tanımından dolayı her f B
X için f 0.ii) f B
X için 0 f f
t olduğundan her tX için f
t 0 dır. O halde f 0 ( sıfır ) fonksiyonudur.iii) f B
X ,aKiçinaf suptX af
t a f . iv) f,gB
X içinf
t g t f
t g
t olduğundan dolayı f g f g üçgen eşitsizliği elde edilir [22]..
.
8
Tanım 2.7
E, .
normlu bir uzay ve
xn E içinde bir dizi olsun. Verilen her 0için bir n0 bulunduğunda her n,mn0 için xn xm oluyorsa dizisine içinde bir Cauchy dizisi denir. Eğer içindeki her Cauchy dizisi deki norma göre yakınsak ise uzayına bir Banach uzayı ( veya Tam uzay ) adı verilir. O halde bir normlu uzayının Banach uzayı olması için gerek ve yeter koşul xnE ve verilen her için bir sayısı bulunabilir ki her için eşitsizliği sağlandığında bir xE ve bir n1 sayısı bulunabilir ki her nn1için xn x
eşitsizliğinin sağlanmasıdır [22]. Örnek 2.8
1 ) 1 p için lp uzayı bir Banach uzayıdır.
İspat:
, içinde bir Cauchy dizisi olsun, yani
,
1,2...
1 y n x j jn n . verilsin.
Bu durumda sayısı bulunabilir ki için,
sağlanır. O halde n,mn0 için
p j p jn jm y y
1 olur. Dolayısıyla her k 0 içinp p j jn jm p kn km y y y y
olur.
ykn n reel sayılarda bir Cauchy dizisi olduğundan yakınsar, yani,
1,2...
, limykn yk R k
n olsun. Serinin kısmi toplamlar dizisini düşünelim.
Bunun için keyfi bir0K sayısı için,
p p j jn jm p K j jn jm y y y y
1 1yazalım. Her nn0 için
p p K j jn jm p K j jn jm y y y y
1olur. keyfi olduğundan her için
j yj yjn p serisi yakınsar. O halde heriçin p p j jn j y y
xn E E E E E 0 n0 n,mn0 xn xm
xn lp 0 0 n n,mn0 m n x x K 0 nn0 0 n n9 olduğundan
,
1,2...
0
y l j
yj jn p elde edilir. Aynı zamanda
,
1,2...
0 l j
yjn p ve lp bir vektör uzayı olduğundan
yj
yj yjn0
yjn0 lp olur. x
yj olsun. O zaman için
p j p j jn n x y y x 1 olduğundan xn x n lim elde edilir. O halde lp uzayı bir Banach uzayıdır.
2) Sınırlı dizilerin uzayı l üzerindeki supremum normuna göre bir Banach uzayıdır, yani, x
xn l için,x supn xn .
3) Yakınsak dizilerin uzayı c üzerinde tanımlanan supremum normuna göre bir Banach uzayıdır, yani, x
xn c için,.
Tanım 2.9 ve A sıralı bir vektör uzayı olsun. Her xA için x y olacak şekilde bir varsa ye A için bir üst sınır denir. A kümesine de üstten sınırlı küme denir. Her xA için xz, zR olduğunda yz ise y ye A nın en küçük üst sınırı ( supremumu ) denir ve supA ile gösterilir [22].
Tanım 2.10 ve B sıralı bir vektör uzayı olsun. Her xB için yx olacak şekilde bir varsa ye B için bir alt sınır denir. B kümesine de alttan sınırlı küme denir. Her xB için zx,zR olduğunda zy oluyorsa y ye B kümesinin en büyük alt sınırı ( infimumu ) denir ve inf B ile gösterilir [22].
Tanım 2.11 , toplamsal özelliklere sahip bir sıralı vektör uzayı olsun. Her x,yE çifti için
x y kümesinin supremumu ve infimumu yine , E nin elemanı ise E ye bir Riesz uzayı ( vektör latis ) denir.
: sup , x y x y
: inf , x y x y şeklinde gösterilir [21].Tanım 2.12 E, bir sıralı vektör uzayı ise; E
x E x: 0
kümesine, E nin pozitif konisi denir. Her xE için x in pozitif kısmı , x in negatif kısmı ve mutlak değeri şu şekildedir: 0 x x
0 x x 0 n n n n x x sup E10
x xx [21].
Tanım 2.13 E, bir Riesz uzayı olsun.
nx:nN
kümesi üstten sınırlı olduğunda0
x oluyorsa , E ye Archimedean Riesz uzayı denir [21] .
Tanım 2.14 E bir Riesz uzayı olsun. G, E nin bir vektör alt uzayı olsun. Eğer G, E deki latis işlemleri altında kapalı
yani her x,yGiçin xyG ve x yG
iseG ye E nin bir Riesz alt uzayı denir [21].
Tanım 2.15 E bir Riesz uzayı olsun. x,yE alalım. Eğer, x y 0 ise x,y ye diktir denir ve x y şeklinde gösterilir [21].
Tanım 2.16 E bir Riesz uzayı olsun. E nin boştan farklı bir alt kümesi A olsun. A nın ayrık tümleyeni Ad ile gösterilir ve Ad
xE:her yAiçin xy
şeklinde tanımlanır [20].Tanım 2.17 E bir Riesz uzayı ve x,yE olsun. E nin boştan farklı bir alt kümesi A olsun. x y ve yA iken xA oluyorsa A ya solid ( katı ) denir [20].
E nin bir solid vektör alt uzayına E de bir ideal denir.
Tanım 2.18 E bir Riesz uzayı olsun. A,E içerisinde bir ideal olsun.
xa Ave 0 xax iken xA oluyorsa A ya E de band denir [20].Örnek 2.19 ELp
0,1 , 0 p1 ve GL
0,1 olsun. O zaman GEL1
0,1 eşitsizliği ile G, E nin idealidir, de L1
0,1 in idealidir. ( Burada f g eşitsizliği ile Lebesgue ölçümüne göre her x için f
x g x olduğu gösterilmektedir.)Tanım 2.20 Bir Riesz uzayı E üzerinde tanımlı . norma; x,yE için x y
olduğunda x y oluyorsa; latis norm denir. Latis normu içeren Riesz uzaya da normlu Riesz uzayı denir [21].
Tanım 2.21 Normlu Riesz uzayına tam ise Banach latis denir [21].
Tanım 2.22 Bir Riesz uzayına, uzayın üstten sınırlı her boştan farklı alt kümesi bir
supremuma ( ya da alttan sınırlı her boştan farklı alt kümesi bir infimuma ) sahipse Dedekind tam Riesz uzayı denir [21].
Tanım 2.23 Bir Riesz uzayına, uzayın üstten sınırlı her sayılabilir alt kümesi bir supremuma sahipse -Dedekind tam Riesz uzayı denir [21].
11
Tanım 2.24 Bir Y sıralı vektör uzayına eğer her n için nx y ifadesi x0 olmasını gerektiriyorsa Archimedean sıralı vektör uzayı denir [21].
Tanım 2.25 E, bir vektör uzayı ve K reel veya kompleks sayıların cismi olsun. K
E
f: lineer operatörüne bir lineer fonksiyonel denir [20].
Tanım 2.26 f :ER bir lineer fonksiyonel olsun. Her xE için f
x 0 oluyorsa f fonksiyoneline pozitiftir denir [20].R E
f : bir lineer fonksiyonel olsun. f ,E nin sıralı sınırlı alt uzaylarını R nin sınırlı alt uzaylarına örterek eşliyorsa f ye sıralı sınırlı fonksiyonel denir [20].
Tanım 2.27 E, bir Riesz uzayı olsun.
i E üzerindeki tüm sıralı sınırlı lineer fonksiyonellerin vektör uzayına E nin sıralı duali denir. E ile gösterilir.
ii E üzerindeki sıralı sürekli lineer fonksiyonellerin vektör uzayı En ile gösterilir. nE E üzerinde bandtır. En bandına, E nin sıralı sürekli duali denir.
iii E bir Riesz uzayı ise onun sıralı duali Ede yine bir Riesz uzayıdır. E üzerindeki tüm sıralı sınırlı lineer fonksiyonellerin Riesz uzayına E nin ikinci sıralı duali denir ve E ile gösterilir. E , E nün sıralı dualidir [20].Örnekler 2.28 1 0 ) c l a olduğunu gösterelim. İspat: 0 c f olsun. f
en yn ve y
yn yazalım.
sgn
,
0,...1,0,....
1
n n N n n N y e e x olsun. O zaman,
N N n n N y f x x f
1eşitsizliğinden y
yn l1 ve y f elde edilir.
1 0, n n n n c x x y xx için f nin lineer ve sürekliliğinden
1 1 n n n n n n f e x y x x f yazılabilir. Buradan da
x x y x y f n n
1eşitsizliğinde x 1 üzerinden supremum alınırsa f y
12
f en
yn Tf f l c T: 0 1 , dönüşümü lineer izometri olduğundan T nin örten olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için y
yn l1 alalım. O zaman,
1 1 , x x e l y x x g n n n n n n y
tanımıyla gy sürekli lineer bir fonksiyoneldir.
Bu nedenle T
gy gy
en yn y ile T örtendir. O halde c0 l1 dir. 1 ) c l b olduğunu gösterelim. İspat :
x c x n , n n x x 0lim ve e
1,1,1,...
olmak üzere,
n N n x n n x e e x x
10 lim 0 yazalım. Bir f c için,
n N n x n n x f e e f x x f
1 0 lim 0 , f
en bn, f
e b0 olsun. c0 c olduğundan
, 1 0 0 0 n n c xx kabul edelim. O zaman,
0 0 1 n n n n b x f ve buradan da f
xn xn f 00 eşitsizliği
bn l1 olmasını gerektirir.0 1 0 b a b n n
olsun. Bu durumda f
x x a x b x
x c n n n n
1 0 0 , ve buradan da a0
bn f olur.
y l ve y a b ise b x x y f
x f c y n n n y y n n n 1 0
0lim
, olduğundan örtendir [22] . l l c) 1 dir. İspat : 1l uzayının Schauder tabanı
en olsun. O halde xl1 vektörü
n n ne
a
x olacak
şekilde tek bir biçimde
an sayı dizisi bulunabilir. Böylece,
f en
Tf l l T:1 , ve f
en bn olarak tanımlansın. f lineer ve sınırlı olduğundan,
1
, n n n f e e b ve bundan dolayı,13 f
bn n
sup elde edilir. O halde
bn l dir.
i i n n nb x b a x f
sup 1 x üzerinden supremum alınırsa f
x fx
1
sup elde edilir.
O halde Tf
bn f , yani bir y
yn l için g
x a y , x
an l1n n n
y
olacak biçimde bir g lineer ve sınırlı fonksiyoneli vardır. g nin lineerliliği açık olduğundan g nin sınırlılığını verelim:
x a y x
y g
n n . O halde gl1 dür.Teorem 2.29 E, bir reel vektör uzayı ve F, E nin bir özalt uzayı ve p:ER bir altlineer fonksiyonel ve f:F R bir lineer fonksiyonel ve her xF için f
x p x olsun.O zaman, bir fˆ:ER lineer fonksiyoneli bulunabilir ki her xE için fˆ
x p xsağlanır ve her xF için fˆ
x f x dir [22]. İspat:Bu teoremi ispat etmek için önce şu iddiayı ispat edelim. F
E
z olsun.
z ve F ile üretilen altuzay Molsun, yani, M span
z F
. RF
f : bir lineer fonksiyonel ve p:ER bir altlineer fonksiyonel , ve her xF için f
x p x olsun. O zaman f fonksiyonelini Maltuzayına genişletebiliriz, yani;R M
fˆ: lineer fonksiyoneli bulunabilir ki, her xM için fˆ
x p x eşitsizliği sağlanır ve fˆ
x f x dır.
x p xf olsun. yuF için
y u
f
y f u p y u
p y z
p u z
f eşitsizliği elde edilir. O halde,
p
uz
f u p yz
f y eşitsizliği doğrudur. Fy elemanını sabit tutup uF üzerinden supremum alalım. Sol tarafın bir üst sınırı olduğundan en küçük üst sınırı vardır, bu a olsun.
asup
p
uz
f u :uF
.Şimdi uF elemanını sabit tutup üzerinden infimum alalım. Sağ tarafın bir alt sınırı olduğundan en büyük alt sınırı vardır, bu b olsun.
binf
p
yz
f y :yF
.O halde bir cR bulunabilir ki acb eşitsizliği sağlanır. Bir tF için, F
14
p
tz
f t c p
tz
f t olur. FE
z olduğundan bir aK için,
x yaz, yM yazılabilir.
R M
fˆ: dönüşümü fˆ
yaz
f y ac olarak tanımlansın. f ,ˆ M üzerinde iyi tanımlı, lineer fonksiyoneldir. a0 alınırsa fˆ
y f y olduğundan f ,ˆ ffonksiyonelinin bir genişlemesidir, yani , her yM için eşitliği sağlanır. Bir xM alalım. O halde x yaz biçimindedir. Burada a sayısı
0 0
,
0a a veya a dır.
1 a0 olsun. O zaman fˆ
yaz
fˆ y f y olduğundan fˆ
y p y eşitsizliği sağlanır.
2 a0 olsun. Bu durumda c p
yz
f y eşitsizliğinde F a y yazılırsa a y f z a y p colması gerekir. Böylece,
f
y ac p
yaz
yani, fˆ
x p x elde edilir.
3 a0 olsun. Bu durumda p
yz
f y c eşitsizliğinde F a y yazılırsa a y f c z a y p bulunur. a0 olduğundan, fˆ
y ac f
y p yaz
elde edilir. f fonksiyonelinin genişlemesi olan lineer fonksiyonellerin kümesi S
f :I
y f y fˆ 15
olsun ve her x için f
x p x sağlansın. f S olduğundan S kümesi boş değildir.S f
f, için,
f f Tf Tf ,f T f
bağıntısını tanımlayalım. Burada Tfa ile f nın tanım kümesi belirtilmektedir. , S üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlar. fˆS veTfˆ T bir altuzaydır.
T
x olsun. O zaman, bir için xTf ve fˆ
x f
x dır. S lineer olarak sıralı olduğundan, Tf Tf veya Tf Tf sağlanır. Tf Tf olsun.
f T y x, alalım. Bu durumda x,yTf ve xyTf olduğundan
fT y
x elde edilir. bir skaler ve
f T x ise
f T axolduğu da benzer biçimde gösterilir. Böylece
fT bir altuzaydır. fˆ iyi tanımlıdır. Bunun için xTf ve xTf alalım. O zaman fˆ
x f
x ve fˆ
x f
x olur. Bu durumda ya f , f nin genişlemesi veya f , f nın genişlemesi olduğundan , fa
x f
xbulunur. O halde her xTf için
fˆ
a p xVe fˆ lineer bir fonksiyoneldir. Her I için f fˆ
sağladığından S üstten sınırlıdır. Bu nedenle Zorn Yardımcı Özelliğinden dolayı bir S
G olduğundan G, f nin bir genişlemesi ve G
x p x ve TG E dir. TG
E olsaydı bir y1E, y1TG vektörü bulunabilirdi. O zaman f nin genişlemesi bir başka H lineer fonksiyoneli olacaktı ve her x
TG
y1
için16
eşitsizliği sağlanacaktı. Bu durumda HS olması gerekirdi ki bu G nin maksimal eleman olması ile çelişir. O halde TG Edir.
Teorem 2.30 (Hanh-Banach Teoremi ) E , bir kompleks vektör uzayı, F de E nin bir alt uzayı ve p , E üzerinde bir semi-norm olsun. f :FK lineer fonksiyonel ve her xF için f
x p
x olsun. O zaman bir H:EK lineer fonksiyoneli bulunabilir ki, H fF ve her xE için H
x p
x sağlanır. Buradaki Hfonksiyoneline f nin genişlemesi adı verilir [22]. İspat :
2 1 if
f
f olarak yazalım. Burada f1 ve f2 reel değerli lineer fonksiyonellerdir. R
a için,
f
ax f1
ax if2
ax af1
x iaf2
x af
x elde edilir.E y x, için,
x f y f y if x if y f x f y x if y x f y x f 2 2 1 1 2 1sağlandığından f lineer fonksiyoneldir. Burada f1 ile f2 reel lineer fonksiyonellerdir. f
ix f1
ix if2
ix if
x if1
x f2
x eşitliğinden
2
, 1 ix f x f
ix if
x f2 1 bulunur. Hipotezden, f1
x p x , xF elde edilir.Hanh-Banach ın reel drumundan f1 lineer fonksiyonelinin genişlemesi bir G lineer fonksiyoneli bulunabilir ki her xE için
G
x p x sağlanır.Şimdi, H
x G1
x iG1
ix tanımlayalım. xF olsun. O zaman,
x f
x ve G1 1
ix f
ix f
xG1 1 2 elde edilir. Bu yüzden,
H
x f1
x if2
x f x eşitsizliği bize H nin f nin bir genişlemesiolduğunu gösterir.
H
ix G1
ix iG2
ix G1
ix iG1
x iH
x eşitsizliği bize H nin bir lineer fonksiyonel olduğunu verir. H
x 0 olsun. H
x rei yazalım.
e x
r H
x17
G1
x p
x H
x G1
ei p ei p
x eşitsizliği sağlanır. Eğer, H
x 0 ise açıktır.Önerme 2.31 f normlu bir E uzayının bir F alt uzayında sınırlı lineer bir fonksiyonel olsun. O zaman f fonksiyonelini uzayına normları korumak üzere genişletebiliriz. O halde, bir fˆ:EK lineer fonksiyoneli bulunabilir ki her xF için
x f
x ve f ffˆ ˆ sağlanır [22].
Tanım 2.32 T X: Y operatörü iki vektör uzayı arasında tanımlansın. Her x y, X ve her , skaleri için; T
xy
T x
T y
oluyorsa; T ye lineer operatör denir [20].Tanım 2.33 X ve Y normlu uzaylar ve T X: Y operatörü bir lineer operatör olsun nin normu; 1 1 sup sup x x T Tx Tx ile tanımlanır.
Eğer; T ise T ye sınırlı operatör denir [20].
Tanım 2.34 İki sıralı vektör uzayı arasında tanımlanmış T E: F operatörüne; x 0
için T
x 0 oluyorsa pozitif operatör denir.Eğer; x 0 için T
x 0 oluyorsa, operatörüne tam pozitif operatör denir [20]. Tanım 2.35 T X: Y iki sıralı vektör uzayı arasında tanımlı bir operatör olmak üzere;T, X in sıralı sınırlı alt kümelerini, Y nin sıralı sınırlı alt kümelerine taşıyorsa, T ye sıralı sınırlı operatör denir [20].
Tanım 2.36 E , F normlu uzaylar ve T:EF lineer sınırlı bir operatör olsun. O zaman T operatörünün adjointi, T, T:FE, gF için TggT ile tanımlanır [22].
g h
x g h
Tx gTx hTx Tg Th
x x E T için F h g, , olduğundan T toplamayı korur. aK, f F için T
af x af Tx af
Tx aTf
x , xEolması T nin çarpmayı koruduğunu gösterir. Böylece T lineer bir operatördür. E
T
18 g
Tx g Txeşitsizliğinden TgE olduğu görülür.
Tanım 2.37
xa E de bir net olsun. Eğer xa x ya 0 olacak şekilde aynı indekslikümede bir
ya neti varsa
xa , x e sıralı yakınsar denir ve xa
x0
ile gösterilir.
İki Riesz uzayı arasında tanımlı T E: F operatörüne; E de 0 o
x olduğu sürece F
de 0
o
Tx oluyorsa, sıralı sürekli operatör denir [22].
Örnek 2.38
1) T:l l, T
x1,x2,....
x1x2,x1x3,...
ile tanımlı T operatörü lineer ve sınırlıdır. 2) T C
R T
f
f
xdx 1 0 , 1 , 0: tanımıyla T sınırlı lineer bir operatördür.
3) E
p p: RR polinom
uzayı veriliyor. T:ER, T
p p t ,tRtanımıyla T bir lineer operatördür.
4) T: C
0,1 için T:C
0,1 C
0,1 operatörü Tf
x f sinx
f cosx
tanımıyla süreklidir.Tanım 2.39 İki Riesz uzayı arasında tanımlı T E: F operatörüne, her x, yE için;
x y
Tx TyT oluyorsa, latis homomorfizma ( Riesz homomorfizma ) denir [20]. Tanım 2.40
xi:1 i n
ve
yj :1 j m
bir Riesz uzayında tanımlı pozitifelemanların iki sınırlı altkümeleri olsun. Eğer;
1 1 n m i j i j x y
sağlanıyorsa; o zaman bu pozitif elemanların
:1 ;1
j i z i n j m olacak şekilde, 1 1 ; 1,..., ; 1,..., j j m i i j n j i i x z i n y z j m
19
Tanım 2.41 L , bir Archimedean Riesz uzayı olsun. L de tanımlı operatörü L deki her B bandı için
B B yi sağlıyorsa ye band genişleyen denir. nin band genişleyen operatör olması için gerek ve yeter koşul L deki f ve g için g
f olduğunda f golmasıdır [19].
Teorem 2.42 L, bir Archimedean Riesz uzayı olsun. L de tanımlı operatoru için aşağıdaki durumlar denktir:
i , band genişleyendir.
ii L nin boştan farklı her D alt kümesi için
d dD
D
sağlanır.
iii L de uv0 ise uv olur.
iv L de f g ise f g olur.
v L deki her f elemanı için f
f dd sağlanır.Eğer bu koşullar sağlanıyorsa, her f L için f
f sağlanır [19]. İspat :
i
ii dD band olduğundan bu durum aşikardır.
Eğer uv0 ise u
v dolur. Bundan dolayı u
v d elde edilir. Yani;v u
dir.
iii iv f g olduğu için f g 0 ve f g 0 eşitlikleri sağlanır. O zaman f g ve fg olur. Bundan dolayı f
f f
g olduğu görülür.
iv v
f d den herhangi bir g elemanı alalım. O zaman f g olduğundan gf
sağlanır. Bu durum f
f dd olduğunu gösterir.
v i L den bir B bandı alalım. fL olsun. f f olduğu için f f ve f f
elde edilir. Fakat o zaman,
f f
f
f
olur. Yani, f
f dir.Tanım 2.43 E ve F vektör uzayları ve T:EF lineer operatör olsun.
: 0
x E Tx T
Çek kümesine T nin sıfır uzayı ( çekirdeği ) adı verilir [20].
20
Tanım 2.44 L, bir Archimedean Riesz uzayı olsun. L deki sıralı sınırlı band genişleyen operatöre ortomorfizma denir [19].
Özellikler :
*L , bir Archimedean Riesz uzayı olsun. Eğer , L de bir pozitif operator ise; o zaman nin ortomofizma olması için gerek ve yeter koşul, L de uv0olduğunda
0
v u
olmasıdır.
* Orth(L) ile L deki bütün ortomorfizmalar kümesi gösterilir. Orth(L) , L deki tüm sıralı sınırlı operatörlerin kümesi olan Lb
L vektör uzayının lineer alt uzayıdır.* Lb
L den 1,2 operatörlerini alalım.Eğer ; her uL için 1u2u iken 1 2 oluyorsa , Orth
L vektör uzayı sıralı vektör uzayı olur.* Lb
L den alınan 1,2 operatörleri için , 012 ve 2 ortomorfizma ise 1 operatörü de ortomorfizmadır.
* Özel olarak eğer L Dedekind tam ise , Lb
L uzayı Dedekind tam Riesz uzayıdır. Bu durumda L deki sıralı sınırlı operatörünün ortomorfizma olması için gerek ve yeter koşul ve operatörlerinin ortomorfizma olmalarıdır. Diğer bir ifadeyle ; nin ortomorfizma olması için gerek ve yeter koşul nin ortomorfizma olmasıdır. Bu durumu Lb
L de tanımlı Orth
L nin ideal ( ve band ) olması takip eder. Aslında
LOrth , Lb
L nin birim operatörü tarafından üretilen band genişlemesidir. * N ve R ile sıfır uzayı ve ortomorfizma nin görüntüsü ifade edilmek üzere ;
N
N ve N L de bir bandtır. Aynı zamanda Orth
L de N Rd ve 2 1 olması 2 1 R R olmasını gerektirir. * Orth
L , bir Riesz uzayıdır.Tanım 2.45 E bir kompleks vektör uzayı ve E nin elemanlarının çarpımı şu aksiyomları sağlasın. x,yE için xyE olsun.
1) x
yz xy z, 2) x
yz
xyxz , 3)
xy
zxzyz, 4) aK için a
xy x ay .O zaman ye bir cebir denir. Her xE için exxexeşitliğini sağlayan 0eE varsa ye birimli cebir denir. Her için xyyx ise ye değişmeli cebir denir [19].
E