Matris Kondisyon Sayısında Bölge Büyüklüğünün Rolü

MATRS KONDSYON SAYISINDA BÖLGE BÜYÜKL܇ÜNÜN ROLÜ

FURKAN ERDEN

YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2014 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Osman ERO‡UL Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR Anabilim Dal Ba³kan

FURKAN ERDEN tarafndan hazrlanan MATRS KONDSYON SAYISINDA BÖLGE BÜYÜKL܇ÜNÜN ROLÜ adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Doç. Dr. Burak AKSOYLU Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Prof. Dr. Oktay DUMAN

Üye : Doç. Dr. Burak AKSOYLU

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Matematik

Tez Dan³man : Doç. Dr. Burak AKSOYLU

Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A‡USTOS 2014

Furkan ERDEN

MATRS KONDSYON SAYISINDA BÖLGE BÜYÜKL܇ÜNÜN ROLÜ

ÖZET

Peridinamik, malzemelerdeki çatlak ve krklar belirlemek için kullanlan, ba-³ars birçok uygulamada snanm³ oldukça etkin bir modelleme yöntemidir. Peridinami§in ba³ars, çatlaklar gibi ³iddetli süreksizlikleri türev yerine yerel olmayan integral operatörü kullanarak modelleyebilmesidir. Peridinami§e olan ilgi son yllarda oldukça artm³, teorik ve uygulamal bir çok ara³trma yaplm³tr. Peridinamik kullanlarak elde edilen saysal çözümlerde ayrkla³trma ilk adm olu³turmaktadr. Ayrkla³trma neticesinde ortaya çkan matrisin kondisyon says, kullanlan saysal yöntemin yaknsama performansn belirlemektedir. Bu sebeple kondisyon saysnda yer alan tüm parametre ba§mllklarnn açk bir ³ekilde ortaya çkartlmas büyük önem arz etmektedir. Aksoylu ve Unlu [3] kondisyon saysnn davran³n belirlemi³ ve kondisyon says için kesirli Sobolev uzaynn mertebesi s, ufuk ölçüsü δ ve adm ölçüsü h parametrelerine ba§l keskin bir üst snr elde etmi³lerdir ve elde ettikleri snrn keskinli§ini hem teorik hem de saysal olarak ispatlam³lardr. Bu çal³mamzda, Aksoylu ve Unlu'nun ortaya çkard§ parametrelere ba§mllklarnn üzerine, bölge büyüklü§ü parametresi H'a olan ba§mll§ ortaya çkarttk.

Anahtar Kelimeler: Bölge büyüklü§ü, kondisyon says, yerel olamayan opera-törler, peridinamik, bölgelere ayrma.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Burak AKSOYLU

Degree Awarded and Date : M.Sc.  AUGUST 2014

Furkan ERDEN

ACT OF DOMAIN SIZE TO CONDITION NUMBER OF MATRIX

ABSTRACT

Peridynamics is used for cracks which occur from materials, and it is a powerful and challenged method for a lot of applications. Its success is coming from modeling the discontinuities like cracks with using nonlocal integral operators instead of derivatives. In the recent years, interest for peridynamics is increasing, and there are a lot of researches in theory and applications. In peridynamics, discretization of an equation constitutes the rst step in obtaining numerical solutions of a problem. The condition number resulting from the discretization determines the convergence performance of the numerical solution of the problem. For this reason, the studies on understanding and obtaining the condition number of a discretized peridynamics problem gains importance. Aksoylu and Unlu (2014) identied the behavior of the condition number and found a sharp upper bound depending on "regularity of the fractional Sobolev space s, mesh size h and size of nonlocality δ", and they proved the sharpness of upper bound both in theory and numerically. In this study, we deduce the dependence of subdomain size H adding to the results of dependence parameters found by Aksoylu and Unlu (2014).

Keywords: Subdomain size, condition number, nonlocal operators, peridyna-mics, domain decomposition.

TE“EKKÜR

Ara³trmalarmn her a³amasnda de§erli bilgi ve yardmlarn esirgemeyen, çal³-malarm katklaryla yönlendiren tez dan³manm Doç.Dr. Burak AKSOYLU'ya,

Yüksek lisans e§itimi srasnda kymetli tecrübelerinden yararland§m TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Matematik Bölümü ö§retim üyelerine ve tüm asistan arkada³larma,

Tüm hayatm boyunca maddi manevi hiçbir yardm esirgemeyen ve bugünlere gelmemde büyük rol oynayan aileme te³ekkür ederim.

Bu tez "TBAG 112T240, Peridinamik Uygulamalar için Çözücüler" ba³lkl proje ile TÜBTAK tarafndan desteklenmi³tir. Bu proje ve tezime desteklerinden dolay TÜBTAK'a te³ekkür etmeyi bir borç bilirim.

çindekiler

TEZ BLDRM ii

ÖZET iv

ABSTRACT v

1 Giri³ 1

2 Alt Bölge Büyüklü§ü 9

3 Kondisyon Saysnn Üst Snr 12 3.1 Yerel Bölüm . . . 12 3.2 Yerel Olmayan Bölüm . . . 14 3.3 Integrallenebilir Çekirdek . . . 16 4 SONUÇ 20 KAYNAKLAR 22

Semboller

Ω := Yerel bir tanm kümesi

Ω := Yerel olmayan bir tanm kümesi

Cm(a, b) := (a, b)arasndaki olan tüm m. dereceden sürekli fonksiyonlar kümesi κ(A) := A matrisinin kondisyon says

kAk_n := Amatrisinin n matris normu δ := Ufuk ölçüsü

h := Adm ölçüsü

s := Kesirli Sobolev uzaynn mertebesi Wk,p _{:=Sobolev uzay}

W₀k,p :=Kompakt Sobolev uzay Hk _{:=Sobolev uzay(Hilbert)}

H₀k :=Kompakt Sobolev uzay(Hilbert) α := Çoklu indis

1. Giri³

2000'li yllarda bulunmu³ olan peridinami§e verilen önem gün geçtikçe artmak-tadr. Bu teoriyi ilk ortaya atan Silling [10] olmu³tur. Peridinamik teorisi, klasik sürekli ortamlar mekani§inden farkldr. Peridinamik teorisi, parçal diferansiyel denklemlere ba§l olan klasik sürekli ortamlar mekani§i teorisinin aksine integral operatörlerine ba§ldr. Çatlaklar üzerinde yaplm³ olan i³lemlerde, ksmi tü-revlerin kullanlamad§ görülmü³tür. Ksmi türevler, çatlak yüzeyler üzerinde mevcut olmadklarndan ötürü, deformasyon ile ilgili i³lemlerde klasik sürekli ortamlar mekani§i denklemleri kulanlamamaktadr. Peridinamik teorisinde in-tegral denklemler kullanlabilmektedir, çünkü inin-tegral denklemler ksmi türev içermezler. Deforme olan yüzeylerde yaplan matematiksel modellemeler, integral denklemlerle kolayca uygulanabilir hale gelmi³tir. Basit bir peridinamik denklemi örne§i verilecek olursa:

p(x)u(x, t) = Z

Rf (u(x0, t) − u(x, t), x0− x, x)dVx0 + b(x, t)

x, R'de bir nokta, t zaman, u yer de§i³tirme vektörü ve p'de deforme olmam³ gövdede ki kütle yo§unlu§u olsun. Vektör de§erli f fonksiyonu x'den x0_'e

olan kuvvet yo§unlu§udur. Bu ve benzer denklemlerle yeni bir tanm ortaya konuldu: yerel olmayan operatörler. Bu operatörler, Siling'in makalesi gibi birçok makale [1113] ile birlikte yerel olmayan modellemelerin geli³tirilmesine öncülük edip, çoklu ölçekli modellemeler ile birlikte kullanlmaya ba³land. Peridinamik teorisinden bir örnek verilecek olursa:

utt(x, t) = L(u(x, t)) − b(x),

olmak üzere lineer yerel olmayan L operatörü

L(u)(x) := − Z

Ω∩BΩ

C(x, x0) = (u(x0) − u(x))dx0

olarak tanmlanmaktadr. Bu tanmda Ω, Rd_{'de snrl bir bölge olmak üzere,}

BΩ yerel olmayan snr göstermektedir. Ölçülebilir vektör de§erli fonksiyon u, yer de§i³tirme alann simgelemektedir. Çekirdek fonksiyonu olan C, materyalin ziksel özelli§ini nitelemektedir. Yerel olmama, x0_{(= x) noktasnn x ile}

etkile-³imde olabilmesi üzerine ortaya çkm³tr. Böylece ufuk ölçüsü tanmlanm³tr. δ > 0 ufuk ölçüsü olmak üzere, ufuk ölçüsü büyüklü§ü,

Hx := x0 : kx0− xk < δ

³eklinde tanmlanmaktadr. Yerel snr ile yerel olmayan snrlarnn önemli bir fark vardr: Yerel bir bölge d boyutlu ise bölgenin snr d−1 boyutlu olurken, yerel olmayan bir bölgenin boyutu d iken bu bölgenin snr da d boyutlu olmaktadr. Bu sebepten dolay BΩ snrnn bir kalnl§ mevcuttur. Biz de bu kalnl§n boyu ufuk ölçüsü olarak tanmlanmakta ve δ ile gösterilmektedir. Bir bölgenin yerel olmayan kapan³n da,

Ω = Ω ∩ BΩ ³eklinde tanmlanm³ olur.

Bu tanmlardan sonra bu tezdeki bulgularla ilgili olan sonlu elemanlar yöntemin-den bahsedilecektir. Sonlu elemanlar yöntemi, bilim ve mühendislik alanlarnda birçok problemde kullanlmaktadr. Sonlu elemanlar analizi, esas itibariyle yap mühendisli§i ile ilgili problemlerde kullanlm³, günümüzde bu mühendislik alannda temel rolü oynamaya ba³lam³tr. Bu teknik, diferansiyel denklemlerde

saysal çözümler bulunmasnda çok yaygn kullanlmaya ba³lanarak ve de günü-müze kadar geli³tirilerek güçlü bir soru çözme yöntemi olmu³tur. Bu tezde bu yöntem derinlemesine kullanlmasa da bu yöntemle ilgili birkaç kaynaktan [4, 6, 8, 9] yararlanlm³tr. Bu yöntem, kondisyon saysna snr bulurken yararlanlan bir yöntemdir.

Bu tezdeki i³lemler, esas itibari ile kondüsyonyon says ile alakaldr. Numerik analizin bir alan olan fonksiyonun kondisyon says, esas olarak fonksiyona koyulan de§erlerin arasndaki küçük farklarn fonksiyonun görüntüsünü ne kadar etkiledi§ini ölçmeye yarar. Böylece, bu say ile çözüm aranlan denklemlerin çözümlerindeki hata paynn aral§ kolaylkla belirlenmektedir. Bu saynn en önemli uygulama alanlarndan biri de matrisler üzerindedir. Kondisyon says, matrisler üzerinden yaplan lineer i³lemlerde sonuca dair olan yakla³mlarn hata payn hesaplamada kullanlr. A matrisinin kondisyon says κ(A),

Ax = b

denkleminin x çözümündeki de§i³likli§in miktarn belirlemede önemli bir rol oynar. Buradaki e³itlikte A, n × n'lik bir matris, x n × 1'lik bir bilinmeyen ve b de n × 1 bir yük vektörüdür. Önceden verilmi³ olan b ne kadar de§i³ir ise x bilinmeyeni de b'de olan de§i³ikli§in mikterna ve kondisyon saysna ba§l olarak de§i³ir. Kondisyon saysnn tanm:

Tanm 1. M tekil olmayan n × n matris olsun. k·k matris normu olmak üzere

κ(M ) = kM k M−1 saysna kondisyon says denir.

Kondisyon says, matrisin tüm elemanlar bilindi§i takdirde hesaplanabilir. “imdi kondisyon says örnekler ile daha detayl anlatlacak olursa:

Örnek 1. A = " 1000 999 999 998 # olsun.

A−1 = "

−998 999 999 −1000

#

oldu§u kolayca bulunur.

kAk_∞= kAk₁ = 1999 = kA−1k_∞= kA−1k₁

oldu§u için kondisyon says

κ∞(A) = κ1(A) = (1999)2 = 3.996 × 106

bulunur.

Örnekte ki A matrisinin kondisyon says, k·k2 matris normuna göre hesaplanacak

olursa κ2(A)yakla³k 3.992×106 bulunur. Yani kondisyon says, kullanlan norma

ba§l de§ildir. Ayrca A matrisinin kondisyon says 106 ile orantldr. Yani Ax = b

denkleminde b vektöründeki az bir de§i³im x çözümünde büyük de§i³iklik 106 ile

orantl bir de§i³ikli§e yol açar. Bu sebepten dolay kondisyon says ne kadar dü³ük olursa Ax = b denklemindeki b vektörünün de§i³mesi x çözümünü o kadar az etkiler.

Ama bu alanda yaplan çal³malarda, belirli özellikleri bilinen matrislerin kondis-yon saylarnn snrlandrlmas kullanlm³tr. Bu snrlandrmalarda kullanlan e³itsizliklerde matrise ba§l de§i³kenler, ba§l olmayan de§i³kenler, içeri§i bilinen sabitler, bilinmeyen sabitler bulunmaktadr. Aksoylu'nun [3] makalesinde bulunan direngenlik matrisinin kondisyon saysna yerel ve yerel olmayan bölümlerine ve integrallenebilir çekirde§in kondisyon saysna bulunmu³ snrlar vardr. Bu tezde yaplan ise bulunmu³ olan e³itsizliklerdeki sabitleri biraz daha bilinir klmaktr. Bu e³itsizlikler tekrar olu³turulurken yaplan i³lemler 3. bölümde verilecektir. Bu alanlarla ilgili genel bilgiler verildikten sonra, bu tezin yazlmasnn amac verilecek olursa: "Aksoylu'nun [3] makalesinde kondisyon saysna bulunmu³ olan üst snrda bulunan sabitlerde, yukarda tanmlad§mz H de§i³keni ne kadar bulunmaktadr ve bu H de§i³kenini bu sabitlerin içinden tamamen ayr³trabilir

miyiz?" sorusunu cevaplandrmaktr. Bu sorunun tam olarak cevab 3. bölümde hesaplamalar sonucunda verilecektir.

Kullanlacak bir kaç teorem ve tanma baklacak olursa:

Norm uzaylar bu tezde önemli bir rol oynamaktadr. Bu sebepten dolay norm uzaylarna biraz de§inilecektir. Örnek verilecek olursa, Cm_{[a, b], m ≤ 0 için bir}

norm uzay

kf k_∞= maxa≤x≤b|f (x)| , f ∈ Cm[a, b]

normuna göre bir Banach uzaydr. Örnek 2. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere,

kf k = " _m X j=0 f(i) p p #_p1

dönü³ümü Cm_{[a, b]} uzayna göre bir normdur. Ama Cm_{[a, b]} norm uzay bu

norma göre Banach uzay de§ildir. Cm_{[a, b] uzaynn bu norma göre tamlamas,}

Wm,p_{(a, b) uzaydr. Bu uzay Sobolev uzaylarna bir örnektir.}

Sobelev uzaylar tanmlanmadan önce birkaç tanma daha ihitiyaç vardr. Tanm 2. Lp _{uzaylar, sonlu boyutlu olan fonksiyonlar uzaydr ve}

Lp(Ω) =    [f ] | Z Ω fpx < ∞ ve f ∈ Ω    ³eklinde tanmlanr.

Tanm 3. α1, α2, . . . , αn∈ Z ∪ {0} olmak üzere,

ifadesine çoklu indis denir.

Bir ba³ka ifade ile α, n boyutlu do§al saylar kümesinin(Nn

0) bir elemann ifade

eder. Artk Sobolev uzaylar tanmlanabilir.

Tanm 4. k negatif olmayan bir tamsay ve p ∈ [1, ∞] olsun. α çoklu indis olmak üzere, |α| ≤ k olan tüm α'lar için v'nin zayf türevi Dα_{v varsa ve D}α _{∈ L}p_(Ω)

ise bu ko³ullar sa§layan tüm v ∈ Lp_{(Ω)'leri içeren uzaya Sobolev Uzay denir}

ve Wk,p ile gösterilir. Wk,p uzay, kvk_Wk,p_(Ω) =        P |α|<k kDα_vkp Lp_(Ω) !1_p 1 ≤ p < ∞ max_|α|<kkDα_vk L∞_(Ω) p = ∞

normuna göre bir norm uzay olarak tanmlanmaktadr [5]. Ayrca p = 2 için Wk,2_{(Ω) ≡ H}k_{(Ω) olmaktadr. H}k _{iç çarpm uzay,}

(u, v)_Hk =

k

X

i=0

(Diu, Div)_L2

iç çarpmna göre Hilbert uzaydr. Wk,p

0 (Ω) kümesi, C0∞(Ω) kümesinin kapan³

olmak üzere Wk,p_(Ω) kümesinin alt kümesidir. Wk,p

0 (Ω) kümesinin daha genel

tanm verilecek olursa:

Tanm 5. α çoklu indis olmak üzere Wk,p

0 (Ω) kümesi, W₀k,p(Ω) = {v | v ∈ Wk,p(Ω), ∀v ∈ ∂Ω , ∀α ∈ Nd _{ve |α| ≤ k − 1 için D} αv(x) = 0} ³eklinde tanmlanr. p = 2 seçildi§i takdirde, W₀k,2(Ω) ≡ Hk 0(Ω) olmaktadr.

Tanm 6. V = H1

0(Ω) olmak üzere, a(·, ·) : V × V −→ R olan bilinear form

a(u, v) = Z

Ω

∇u · ∇vdx , ∀u, v ∈ V

³eklinde tanmlanr.

Teorem 1. (Yerel Poincaré, [ [7],Lemma.A14]) Ω ⊂ Rd _{snrl bir bölge ve u ∈}

H1_(Ω) olmak üzere, öyle bir λ

P ncr > 0 says vardr ki,

λP ncrkuk_L2_(Ω)≤ k∇uk_L2_(Ω) (1.0.1)

e³itsizli§ini sa§lar.

Teorem 2. (Yerel Olmayan Poincaré,[ [3], Denk. (3.1)] ) Ω ⊂ Rd _{snrl bir bölge}

ve u ∈ L2,0(Ω) olmak üzere, öyle bir λP ncr= λP ncr(Ω, λ) > 0 says vardr ki,

λP ncrkuk 2

L2(Ω) ≤ a(u, u)

e³itsizli§ini sa§lar.

Tanm 7. E vektör uzay olmak üzere, kka ve kkb normlar denktir ancak ve ancak

c1kuk_a≤ kuk_b ≤ c2kuk_a , ∀u ∈ E

e³itsizliklerini sa§layan c1, c2 ∈ R > 0 saylar vardr.

Teorem 3. (Ters E³itsizlik) Ω ⊂ Rd _{snrl bir bölge ve u ∈ H}1_{(Ω) olmak üzere,}

öyle bir sabit c > 0 says vardr ki,

k∇uk_L2_(Ω) ≤ c kuk_L2_(Ω)

Tanm 8. {φi} N

i=1 kümesi, VN sonlu boyutlu uzaynn bir baz olsun. AN ×N =

2. Alt Bölge Büyüklü§ü

Bu bölümde alt bölge büyüklü§ü ayrntl bir ³ekilde anlatlp, bu büyüklük ile ilgili i³lemlerde kullanlacak bulgular hesaplanacaktr. Alt bölge büyüklü§ü tanmlanacak olursa:

Tanm 9. Ω herhangi bir bölge olmak üzere, bu kümeyi barndran en küçük çemberin yarçapna alt bölge büyüklü§ü denir ve H notasyonu ile gösterilir.

Öncelikle |Ω| = H'nin de§i³kenlerde yapt§ de§i³iklikler ve "³apka" kavramnn ne anlama geldi§i detayl anlatlacaktr. ˆx ile x'in bulundu§u bölge birim çemberin içine ta³nm³ olur. Yani x, Ω'y çevreleyen çemberin yarçap(H) oran ile küçültülmektedir. Böylece ˆΩ'y barndran en küçük çemberin yarçap 1 oluyor. Bu çember ise birim çemberdir. x ile ˆx'in ili³kilerine bakld§nda benzer bulgular elde edilmektedir.

|ˆx| = 1 ve x = H ˆx olmak üzere |x| = H bulunmu³ olur. Ayn uygulama, ufuk ölçüsü(δ) ve adm ölçüsü(h) için yaplacak olursa h = Hˆh ve δ = Hˆδ bulunur. H ile tekrar yazma, fonksiyonlara da uygulanabilmektedir. u(x)'in gradyan H ile tekrar düzenlenirse,

∇xu(x) = ∇xu(H ˆx) = ∇xu(ˆˆ x)

³eklinde bulunur. Bir sonraki adm, normal gradyanda nasl bir de§i³ikli§e neden oldu§unun hesaplanmasdr. Öncelikle 1-boyut için

∂ ∂x = ∂ ∂ ˆx ∂ ˆx dx = ˆ∇ 1 H =⇒ ∇ = ˆ∇ · 1 H bulunur. 2-boyutta bir örnek üzerinde baklacak olursa: Örnek 3. Jacobian dönü³ümünü kullanarak d(x1, x2):

d(x1, x2) = d(H ˆx1, H ˆx2) =      H 0 0 H      d(ˆx1, ˆx2) = H2d(ˆx1, ˆx2)

³eklinde hesaplanm³ olur.

2-boyuttaki de§i³iklik d(x1, x2) = H2ˆd(ˆx1, ˆx2)³eklinde bulunur.

Benzer ³ekilde n-boyutta bir örnek üzerinde incelenecek olursa: Örnek 4. Jacobian dönü³ümünü kullanarak d(x1, x2, ..., xn):

d(x1, x2, ..., xn) =d(H ˆx1, H ˆx2, ..., H ˆx1) =            H 0 · · · 0 0 H · · · 0 ... 0 ... ... 0 0 · · · H            d(ˆx1, ˆx2, ..., ˆx1) =Hnd(ˆx1, ˆx2, ..., ˆx1)

³eklinde bulunmu³ olur.

n-boyuttaki de§i³iklik d(ˆx1, ˆx2, ..., ˆx1) = Hnd(ˆx1, ˆx2, ..., ˆx1) ³eklinde bulunur.

Dikkat edilirse, dx de§i³ikliklerden etkilenmemi³ olup, sadece içinde bulunan de§i³kenler etkilenmi³tir. Bunun sebebi, d dönü³ümünün verilen bölgenin ilk halindeki i³levi ne ise bölgenin birim çember içine s§drlm³ halindeki i³levi de odur. Baz fonksiyonlar bu de§i³iklerden etkilenebilir. Bunun örnekleri tezin ilerleyen ksmlarnda gösterilecektir.

Görüldü§ü gibi alt bölge büyüklü§ü olan H, de§i³kenlerde ve fonksiyonlarda boyuta ba§l bir birimdir.

`(u, u) ve kuk2_L2_(Ω)'nin benzer ³ekilde H'a ba§ll§n hesaplanacak olursa:

`(u, u) = Z Ω |∇u(x)|2dx = 1 H2 Z ˆ Ω    ˆ ∇ˆu(ˆx)    2 Hddˆx = Hd−2 Z ˆ Ω    ˆ ∇ˆu    2 dˆx = Hd−2`(ˆˆu, ˆu) (2.0.1) kuk2_L2_(Ω) = Z Ω |u(x, x)|2dx = Z ˆ Ω |ˆu(ˆx, ˆx)|2Hddˆx = Hdkˆuk2_L2_{( ˆΩ)} (2.0.2)

3. Kondisyon Saysnn Üst Snr

“imdiye kadar kondisyon says, üst snr bulmak için kullanlacak birkaç materyal ve bölge büyüklü§ü tantld. Bu bölümde, bulunmu³ olan sonuçlar ve bu sonuçlarla ilgili i³lemler bulunmaktadr. Üç ana bölümden olu³maktadr. Bu üç bölüm, farkl ba³lklar altnda verilecek olmasna ra§men benzer sonuçlar içermektedir.

3.1 Yerel Bölüm

Bu bölümde sras ile Poincaré e³itsizli§i ve ters dönü³üm, alt bölge büyüklü§üne(H) ba§l olarak tekrar yazlacak ve ardndan yerel bölümün kondisyon saysnn üst snr H'a ba§l olarak tekrar hesaplanacaktr. Öncelikle Ω := ˆΩ olarak seçilecek olursa, Poincaré e³itsizli§inden (1.0.1),

cP ncr( ˆΩ) kˆuk 2 L2( ˆΩ) ≤ ˆ`(ˆu, ˆu) + kˆuk 2 L2( ˆΩ) (cP ncr( ˆΩ) − 1) kˆuk 2 L2( ˆΩ) ≤ ˆ`(ˆu, ˆu)

bulunur. Notasyonda kolaylk olmas için c1( ˆΩ) = (cP ncr( ˆΩ)−1)denilirse, çal³lan

boyut 1 oldu§u için d = 1 alnr. (2.0.1), (2.0.2) lar kullanlrsa, c1( ˆΩ)H−dkuk2_{L2( ˆΩ)} ≤ H2−d`(u, u) c1( ˆΩ)H−1kuk2<sub>L2( ˆΩ)</sub> ≤ H1`(u, u) c1( ˆΩ)H−2kuk 2 L2 ≤ `(u, u) (3.1.1)

elde edilmi³ olur. Ters yakla³m e³itsizli§i, benzer ³ekilde alt bölge büyüklü§üne(H) ba§l olarak yazld§nda, tekrar Ω := ˆΩ olarak seçilerek, adm ölçüsü(h) için yaplan h = Hˆh dönü³ümü, (2.0.1) ve (2.0.2) e³itlikleri yukardaki e³itsizli§e uygulanrsa(d = 1), ˆ `(ˆu, ˆu) + kˆuk2<sub>L</sub> 2( ˆΩ)≤ c2( ˆΩ)ˆh −2<sub>kˆ</sub> uk2<sub>L</sub> 2( ˆΩ) ˆ `(ˆu, ˆu) ≤ c2( ˆΩ)ˆh−2kˆuk_L2_{2( ˆΩ)}− kˆuk2_{L2( ˆΩ)} ˆ `(ˆu, ˆu) ≤ c2( ˆΩ)ˆh−2kˆuk2<sub>L2( ˆΩ)</sub> H1`(u, u) ≤ c2( ˆΩ)H1h−2kuk2_L2(Ω) `(u, u) ≤ c2( ˆΩ)h−2kuk2_L2(Ω) (3.1.2)

elde edilmi³ olur. (3.1.1) ve (3.1.2) de bulunan iki sonuç ayn e³itsizlikte yazlrsa,

⇒ c1( ˆΩ)H−2kuk 2

L2(Ω)≤ `(u, u) ≤ c2( ˆΩ)h

−2_kuk2 L2(Ω)

L2 ile l2 arasndaki h'a ba§l

kuk2_L

2(Ω)

∼

= hdkuk2_`

2(Ω)

norm denkli§i de kullanlrsa, (d = 1) olmak üzere,

c1( ˆΩ)H−2h1c3kuk 2 `2(Ω) ≤ `(u, u) ≤ c2( ˆΩ)h −2 h1c4kuk 2 `2_(Ω)

iki tarafta da `(u, u) kuk2

`2(Ω) ile bölünürse, c1c3h1H−2 ≤ `(u, u) kuk2_` 2(Ω) ≤ c2c4h−1

bulunmu³ olur. c3 ve c4 norm e³itli§inden gelmektedir. Norm e³itsizli§inden gelen

bu sabitler Ω'ya ba§l de§illerdir, yani H çarpan içermemektedirler. Böylece kondisyon saysnn üst snr

κ(K) ≤ c2c4h

−1

c1c3h1H−2

. H2h−2

olacak ³ekilde h ve H'a ba§l bulunur ve e³itsizlikte bulunan c1, c2, c3 ve c4

sabitleri H ve h'larn ikisine de ba§l de§ildir.

3.2 Yerel Olmayan Bölüm

Yerel Olmayan direngenlik matrisi'nin kondisyon says için bulunan üst snr, H'a ba§l olarak tekrar yazlacaktr. Aksoylu'nun [3] makalesinde

c(Ω)h kuk2 L2(Ω) ≤ a(u, u) ≤ c(Ω)  8(21−2s_{− 1)} s(1 − 2s)(3 − 2s)h 1−2s_δ−(2−2s)₋ 8(1 − s) 3s hδ −2  kuk2 L2(Ω)

e³itsizli§i bulunmaktadr. Gösterimde kolaylk olmas için

c+=

8(21−2s− 1)

s(1 − 2s)(3 − 2s) , c− =

8(1 − s) 3s ³eklinde sabitler ile tekrar yazlacak olursa,

c(Ω)h kuk2

L2(Ω) ≤ a(u, u) ≤ c(Ω)hc+h

−2s

δ−(2−2s)− c−δ−2 kuk2_L

2(Ω)

bulunur. Bu e³itsizlikte bölge de§i³tirilerek, yani Ω =Ωˆ seçilerek, h = Hˆh, δ = Hˆδ de§i³iklikleri de göz önünde bulundurularak yukardaki e³itsizlik tekrar yazlacak olursa, c(Ω)ˆˆ h kˆuk2 L2( ˆ Ω) ≤ ˆa(ˆu, ˆu) ≤ c( ˆ Ω)ˆh n c+ˆh−2sˆδ−(2−2s)+ c−δˆ−2 o kˆuk2 L2( ˆ Ω) (3.2.1)

bulunur. Burada ˆ

a(ˆu, ˆu)'y H'a ba§l olarak tekrar yazlsn.

ˆ a(ˆu, ˆu) = 1 − s ˆ δ2−2s Z ˆ Ω Z ˆ Ω∩|ˆx−ˆy|≤ˆδ

(ˆu(ˆx) − ˆu(ˆy))2 |ˆx − ˆy|1+2s dˆydˆx = H2−2s1 − s δ2−2s Z Ω Z Ω∩|x−y|≤δ (u(x) − u(y))2 |x − y|1+2s H −2d dydx = H3−2da(u, u) (3.2.2) ˆ

a(ˆu, ˆu)'yu (3.2.1) e³itsizli§inde yerine yazlrsa ve (d = 1) alnrsa,

c(Ω)Hˆ −1H−1h kuk2 L2(Ω) ≤ H 1_{a(ˆu, ˆu)} ≤ c(Ω)Hˆ −1hc+H2sh−2sH2−2sδ−(2−2s)+ c−H2δ−2 H−1kuk2_L 2(Ω) c(Ω)Hˆ −3h kuk2_L 2(Ω) ≤ a(ˆu, ˆu) ≤ c(Ω)hˆ c+H2sh−2sH2−2sδ−(2−2s)+ c−H2δ−2 H−3kuk2_L 2(Ω)

bulunur. Tekrar L2 ile l2 arasndaki h'a ba§l

kuk2_L

2(Ω)

∼

= hdkuk2_`

2(Ω)

norm denkli§i kullanlrsa, (d = 1) ve c1, c2 norm denkli§inden gelen H'a ba§l

olmayan sabitler olmak üzere,

c(Ω)Hˆ −3c1h2kuk2_`

2(Ω) ≤ a(ˆu, ˆu)

≤ c(Ω)ˆ c+h−2sH2δ−(2−2s)+ c−H2δ−2 H−3c2h2kuk2_`

2(Ω)

c(Ω)Hˆ −3c1h2 ≤

a(ˆu, ˆu) kuk2

`2(Ω)

≤ c(Ω)ˆ c+h−2sH2δ−(2−2s)+ c−H2δ−2 H−3c2h2

olur. Böylece kondisyon saysnn üst snr,

κ(K) ≤ c( ˆ Ω)c+h−2sH2δ−(2−2s)+ c−H2δ−2 c(Ω)ˆ H−3 H−3 c1h2 c2h2 κ(K) ≤ c( ˆ Ω)c1{c+h−2sδ2s+ c−} c(Ω)cˆ 2 δ−2H2

olacak ³ekilde bulunmu³ olur. En ba³ta i³lemlere ba³larken kulland§mz [3] makalesinde bulunmu³ olan kondisyon saysnn üst snr ile ³imdi bulunan bulgu alt alta yazlrsa,

κ(K) ≤ c(Ω) c(Ω) c1{c+h−2sδ2s+ c−} c2 δ−2 κ(K) ≤ c( ˆ Ω) c(Ω)ˆ H2c1{c+h −2s_δ2s_{+ c} −} c2 δ−2

olur. Yaplan i³lemlerde sadece e³itlikler kullanld§ için üstte bulunan iki üst snr birbirine e³ittir. c(Ω)ˆ

c(Ω)ˆ sabiti sadece (

ˆ

Ω) bölgesine ba§l oldu§u için içerisinde H bulunmamaktadr. Aksoylu'nun makalesinde bulunmu³ olan kondisyon saysnn üst snrnda bulunan c(Ω)

c(Ω) sabitinin içerisindeki tüm H'lar bulunup çarpan olarak

yazlm³tr. Böylece snrda bulunan sabitlerin içeri§i daha bilinir hale getirilmi³ oldu.

3.3 Integrallenebilir Çekirdek

Bu bölümde, Aksoylu'nun [3] makalesinde bulunmu³ olan yerel olmayan bölümde integrallenebilir çekirde§in kondisyon saysnn üst snrn H de§i³keni eklenerek

tekrar hesaplanacaktr. Öncelikle üst snr bulunan e³itsizlik hatrlanacak olursa: c(Ω)h kuk2 L2(Ω) ≤ b(u, u) ≤ c(Ω)(5δ −2_{− 6hδ}−3 )h kuk2 L2(Ω) (3.3.1)

Bu e³itsizlik, bölge de§i³tirilerek yazcalak olursa, Ω :=Ωˆ seçildi§inde,

c(Ω)ˆˆ h kˆuk2 L2( ˆ Ω) ≤ ˆb(ˆu, ˆu) ≤ c( ˆ Ω)(5ˆδ−2− 6ˆhˆδ−3)ˆh kuk2 L2(Ω)

bulunur. ˆb(ˆu, ˆu)'yu H'a ba§l olarak tekrar yazlrsa,

ˆ b(ˆu, ˆu) = 3 2ˆδ3 Z ˆ Ω Z ˆ Ω∩|ˆx−ˆy|<ˆδ

(ˆu(ˆx) − ˆu(ˆy))2dˆydˆx

= H3 3 2δ3 Z Ω Z Ω∩|x−y|<δ

(u(x) − u(y))2H−2ddydx

= H3−2db(u, u)

bulunur. ˆb(ˆu, ˆu)'nun H ile tekrar yazlm³ hali, h = Hˆh ve δ = Hˆδ de§i³iklikleri ve (2.0.1), (2.0.2) e³itlikleri kullanlarak, (3.3.1) e³itsizli§i tekrar yazlacak olursa(d = 1), c(Ω)Hˆ −2h kuk2_L 2(Ω) ≤ H 1 b(u, u) ≤ c(Ω)(5Hˆ 2δ−2− 6H−1hH3δ−3)H−2h kuk2_L 2(Ω)

bulunur. L2 ile l2 arasndaki h'a ba§l

kuk2_L

2(Ω)

∼

= hdkuk2_`

2(Ω)

norm denkli§i kullanrsa(d = 1), c3 ve c4 norm denkli§inden gelen sabitler olmak

c(Ω)Hˆ −2c3h2kuk2_{`2(Ω)</sub>≤ H1b(u, u) ≤ c(Ω)(5Hˆ 2δ−2− 6H−1hH3δ−3)H−2h2c4kuk2<sub>`2(Ω)} c(Ω)Hˆ −3h2c3kuk 2 `2(Ω)≤ b(u, u) ≤ c(Ω)(5Hˆ 2δ−2− 6hH2<sub>δ</sub>−3 )H−3h2c4kuk2<sub>`2(Ω)</sub>

bulunur. Her taraf kuk2

`2(Ω) ile bölünürse, c(Ω)Hˆ −3h2c3 ≤ b(u, u) kuk2_l 2(Ω) ≤ c(Ω)(5Hˆ 2δ−2− 6hH2δ−3)H−3h2c4

olur. Böylece kondisyon saysnn üst snr,

⇒ λmax λmin ≤ c( ˆ Ω)H2δ−2(5 − 6hδ−1) c(Ω)ˆ · H −3 H−3 c3h2 c4h2 ≤ c( ˆ Ω)c3δ−2(5 − 6hδ−1) c(Ω)cˆ 4 H2

olacak ³ekilde bulunmu³ olur. En ba³ta i³lemlere ba³lanrken kullanlan Ak-soylu'nun makalesinde bulunmu³ olan kondisyon saysnn üst snr ile ³üst ksmda elde edilmi³ bulguyu alt alta yazarsak,

κ(K) ≤ c(Ω) c(Ω) c3{5 − 6hδ−1} c4 δ−2 κ(K) ≤ c(Ω) c(Ω) c3{5 − 6hδ−1} c4 H2δ−2

olur. Yaplan i³lemlerde sadece e³itlikler kullanld§ için üstte bulunmu³ olan iki üst snr birbirine e³ittir. c(Ω)ˆ

c(Ω)ˆ sabiti sadece (

ˆ

Ω) bölgesine ba§l oldu§u için içerisinde H bulunmamaktadr. Aksoylu'nun makalesindeki denklemde bulunmu³ olan kondisyon saysnn üst snrnda bulunan c(Ω)

H'lar bulunup çarpan olarak yazlm³tr. Böylece snrda bulunan sabitin içeri§i daha bilinir hale getirilmi³tir.

4. SONUÇ

Bu bölüme kadar bulgular, nasl bulunduklar ve bulurken neler kullanld§ gösterildi. Bu tezin amac [3] makalesinde bulunmu³ olan kondisyon saysnn üst snrnda, alt bölge büyüklü§ü(H)nün rolünü göstermek idi. H'nin bölgeye, fonksiyonlara, de§i³kenlere ve sabitlere ne kadar etkisi oldu§u, bunlarn içerisinde hangi miktarlarda bulundu§u ara³trld ve hesapland. Bu bulgular yerel ve yerel olmayan direngenlik matrislerinin kondisyon saysnn üst snrn yeniden hesaplamada kullanld. En önemlisi de H de§i³keni, kondisyon saylarnn üst snrlarnda bulunan de§i³kenlerden ve sabitlerden tamamiyle ayr³trlm³ oldu. Yerel olmayan integrallenebilir çekirdek de dahil toplam üç bölümde snrdaki tüm alt bölge büyüklü§ü katsay miktarnn H2 _{oldu§u, bir ba³ka deyi³le kondisyon}

saysnn snrnn H2 _{ile orantl oldu§u bulundu. Alt bölge büyüklü§ü(H) ne}

kadar de§i³tirilirse, karesi orannda kondisyon saysnn da de§i³ti§i görüldü. Kon-disyon saysnn daha fazla snrlanmas istenildi§inde, alt bölge büyüklü§ünün küçültülmesi, kondisyon saysnn snrn küçültecektir; di§er bir söylemle i³lem yaplan bölge daha fazla alt bölgeye ayrld§nda alt bölge büyüklü§ü azalacak, dolays ile kondisyon saysnn üst snr da küçülecektir. Bu sonuç, i³lemlerin bilgisayar hesaplamalar ile yapld§ problemlerin daha kolay çözülmesine yarar sa§lamaktadr. Özellikle deforme olmu³ yüzeylerde çatlaklarla ilgili günümüzde kullanlan bilgisayarlarn kapasitesini a³acak hesaplamalar yaplmak istedi§inde, bu hesaplamalar küçük bölgelere ayrlp yaplmaktadr. ³lem yaplmak istenen bölge, küçük bölgelere ayrld§nda ise kondisyon saysnn ne kadar etkilenece§i, bölgelere ayrma yöntemi ile ilgili ara³trmalara katk sa§layc niteliktedir. Bu tezdeki sonuçlar 1-boyutlu bölgeler için olup benzer bulgularn 2 ve daha fazla boyutlar için de geçerli olup olmad§ ara³trmaya açktr. Çok boyutlu bölgeler

için bulunacak sonuçlar, mühendislik ve de bilim uygulamalar için son derece yararl olabilecek yakla³mlar ve modellemeleri ortaya çkaracaktr.

Kaynakça

[1] B. Aksoylu ve T. Mengesha, Results on nonlocal boundary value problems, Numerical Functional Analysis and Optimization, 31 (2010), pp. 1301-1317 [2] B. Aksoylu ve M. L. Parks, Variational theory and domain decomposition for

nonlocal problems, Applied Mathematics and Computation, 217 (2011), pp. 6498-6515

[3] B. Aksoylu ve Z. Unlu, Conditioning Analysis of Nonlocal Integral Operators In Fractional Sobolev Spaces, SIAM Journal on Numerical Analysis, 52 (2014), pp. 653-677

[4] M. S. Gockenbach, Understanding and Implementing the Finite Element Method, SIAM, (2006)

[5] K. Atkinson ve W. Han, Theoretical Numerical Analysis, Springer, 2nd Edition (2000)

[6] S. C. Brenner ve L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 3rd Edition (2008)

[7] A. Toselli ve O. Windlund, Domain Decomposition Method-Algorithms and Theory, Springer, Verlag Berlin Heidelberg(2005)

[8] P. Solin, Partial Dierential Equantions and the Finite Elemen Method, Wiley & Sons(2006)

[9] D. Braess, Finite Elements, Theory, Fast Solvers and Applications in Solid Mechanics, Cambridge University Press, 3rd Edition(2007)

[10] S. A. Silling, "Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces." Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 48.1 (2000): 175-209.

[11] M. L. Parks,R. B. Lehoucq, S. J. Plimpton, S. A. Silling , Implementing peridynamics within a molecular dynamics code, Computer Physics Communications, 179(11) (2008), 777-783.

[12] Q. Du, M. Gunzburger, R. B. Lehoucq, and K. Zhou, A nonlocal vector calculus, nonlocal volume-constrained problems, and nonlocal balance laws, Math. Mod. Meth. Appl. Sci., SIAM Rev., 23 (2013), pp. 493-540

[13] Q. Du, M. Gunzburger, R. B. Lehoucq, and K. Zhou, Analysis and approximation of nonlocal diusion problems with volume constraints, SIAM Rev., 54 (2012), pp. 667-696

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Soyad, Ad : ERDEN, Furkan

Uyru§u : T.C.

Do§um tarihi ve yeri : 28.06.1988 zmir Medeni hali : Bekar

Telefon : 05078916356

e-mail : [email protected]

E§itim

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi

Y. Lisans TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi 2014

Lisans Orta Do§u Teknik Üniversitesi 2012

³ Deneyimi

Yl Yer Görev

2012-2014 TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Proje Bursiyeri

Yabanc Dil ngilizce (yi)

Projeler

Tubitak 1001 TBAG 112T240, Peridinamik Uygulamalar için Çözücüler, (01.12.2012-30.11.2014)

Yaynlar

27. Ulusal Matematik Sempozyumu, (26.08.2014-29.08.2014)

"Matris Kondisyon Saysnn Üst Snrnda Bölge Büyüklü§ünün Rolü"

Ödüller

Snav Yl Madalya

13. Tubitak Ulusal Matematik Olimpiyat 2005 Bronz Madalya 10. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatlar 2005 Mansiyon stanbul Bilgi Üniversitesi Cahit Arf Matematik Günleri 2004 Bronz Madalya stanbul Bilgi Üniversitesi Cahit Arf Matematik Günleri 2003 Mansiyon

8. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatlar 2003 Gümü³ Madalya 7. Tubitak Ulusal lkö§retim Matematik Olimpiyat 2002 Gümü³ Madalya 7. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatlar 2002 Gümü³ Madalya