Standart olmayan tipten interval değerli Fuzzy sayıların dizi uzayları üzerine

T.C.

NEV“EHR ÜNVERSTES

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

STANDART OLMAYAN TPTEN NTERVAL

DE‡ERL FUZZY SAYILARIN DZ UZAYLARI

ÜZERNE

Tezi Hazrlayan:

ZARFE ZARARSIZ

Tezi Yöneten:

Yrd. Doç. Dr. MEHMET “ENGÖNÜL

Matematik Anabilim Dal Yüksek Lisans Tezi

Aralk 2011 NEV“EHR

çindekiler

Bölüm 1. NTERVAL VE FUZZY SAYILARIN DZ UZAYLARI 1

Bölüm 2. NTERVAL DE‡ERL FUZZY CÜMLELER 20

Bölüm 3. ZWEIER YAKINSAK NTERVAL DE‡ERL FUZZY

SAYILARININ DZ UZAYLARI 30

Kaynakça 37

TE“EKKÜR

Bu çal³may bana vererek, yöneten ve çal³ma süresince yardmn benden esirge-meyen de§erli hocam Sayn Yrd. Doç. Dr. Mehmet “ENGÖNÜL' e te³ekkür eder sayglarm sunarm.

Ayrca çal³mam boyunca desteklerini hep yanmda hissetti§im canm aileme te³ekkür etmeyi bir borç bilirim.

ÖZET

Üç bölüm olarak hazrlanan bu çal³mann ilk bölümünde daha sonraki bölümlerde i³imize yarayacak ön bilgilere yer verildi.

kinci bölümde c0(E2), c(E2) ve `∞(E2) sras ile interval de§erli fuzzy saylarnn

θ_{'ya yaknsak, yaknsak ve snrl dizi cümlelerinin baz topolojik ve cebirsel}

özellik-leri incelendi.

Üçüncü bölümde Z = (znk), p. dereceden Zweier matrisi, u ∈ w(E2) ve

λ(E2_{) ∈ {`}

∞(E2), c(E2), c0(E2)} olmak üzere Zu ∈ λ(E2) olacak ³ekildeki,

srasyla `∞(E2, Zp), c(E2, Zp) ve c0(E2, Zp) ile gösterilen dizi cümleleri

tanmla-narak bu cümlelerin baz topolojik, kapsama, v. s. özellikleri ele alnd.

Anahtar Kelimeler: nterval de§erli fuzzy say, interval say, fuzzy cümle, fuzzy say, dizi uzay, tam metrik uzay, matris dönü³ümü, Zweier matrisi.

ABSTRACT

This thesis consists of three chapters. In the rst chapter some basic denitions and theorems which will be used in the later chapters are given.

In the second chapter, some topological and algebraic proporties of spaces of c0(E2),

c(E2_{)ve `}

∞(E2) which are convergent to θ, convergent and bounded sequence spaces

of interval valued fuzzy numbers are given, respectively.

In the third chapter by taking a non-negative, regular Zweier matrix Z = (znk),

u ∈ w(E2_{)and λ(E}2_{) ∈ {`}

∞(E2), c(E2), c0(E2)}, and in for Zu ∈ λ(E2), `∞(E2, Zp),

c(E2_{, Z}p_{)and c}

0(E2, Zp)sequence spaces are dened respectively. Finally some

topo-logical and inclusion problems of `∞(E2, Zp), c(E2, Zp) and c0(E2, Zp) sequence

spaces are investigated.

Keywords: Interval valued fuzzy number, interval number, fuzzy set, fuzzy number, sequence space, complete metric space, matrix transformation, Zweier matrix.

SEMBOLLER VE ANLAMLARI

N Do§al saylarn cümlesi R Reel saylarn cümlesi

w Bütün reel veya kompleks terimli dizilerin uzay

I Kapal ve snrl birim interval say

E _{Reel saylar cümlesi üzerindeki kapal interval saylarn cümlesi} F(X) X _{evrensel cümlesinin bütün fuzzy alt cümlelerinin cümlesi} F2_{(X) nterval de§erli fuzzy cümlelerin cümlesi}

E1 _{Fuzzy saylarn cümlesi}

E2 _{nterval de§erli fuzzy saylarn cümlesi}

w(E) _{nterval saylarn bütün dizilerinin uzay} w(E1_{) Fuzzy saylarn bütün dizilerinin uzay}

w(E2_{) nterval de§erli fuzzy saylarn bütün dizilerinin uzay}

`∞(E) nterval saylarn snrl dizilerinin uzay

c(E) _{nterval saylarn yaknsak dizilerinin uzay} d _{ki interval say arasndaki uzaklk}

¯

d ki fuzzy say arasndaki uzaklk

D ki fuzzy say dizisi arasndaki uzaklk

D ki interval de§erli fuzzy say arasndaki uzaklk e

D ki interval de§erli fuzzy say dizisi arasndaki uzaklk

||.|| Norm fonksiyonu

Zp _{p. dereceden Zweier matrisi}

α_{A Bir fuzzy cümlesinin α- kesim cümlesi}

α+_{A Bir fuzzy cümlesinin kuvvetli α- kesim cümlesi}

θi = [0, 0] nterval saylarn toplamaya göre etkisiz eleman

GR“

Bilindi§i gibi birçok matematiksel yap reel ve kompleks saylar üzerine in³a edilmi³tir. Ancak son zamanlarda fuzzy say ya da interval say krinin ortaya atlmasyla bu matematiksel yaplar de§i³ikli§e u§ram³tr. Fuzzy küme kri ilk olarak 1965 ylnda California Berkeley Üniversitesinden Zadeh tarafndan ortaya konulmu³tur. Bundan sonra fuzzy cümle teorisi üzerine yaplan ara³trmalar git gide ço§alm³, uygulamal matematikle beraber pür matematik alannda da birçok çal³maya konu olmu³tur. Örne§in; Matloka [14] fuzzy saylarnn snrl ve yaknsak dizilerini tant-m³, her yaknsak dizinin snrl oldu§unu söylemi³tir. Nanda [17], Matloka'nn çal³-malarn referans alarak fuzzy saylarn snrl ve yaknsak dizilerinin tam metrik uzay oldu§unu göstermi³tir. Talo ve Ba³ar [24] fuzzy say dizilerinin klasik kümelerinin du-allerini belirleyip baz matris dönü³ümlerini vermi³lerdir. Hong [9] ise fuzzy saylarn çekirde§ini incelemi³tir.

Al³lm³ matematiksel yöntemlerle kompleks sistemleri modellemek ve kontrol et-mek zordur zira veriler tam olmaldr. Oysa fuzzy cümle teorisi ki³iyi bu zorunlu-luktan kurtarr, her türlü durumu de§erlendirebilmemize olanak verir.

Uygulama alanlarnn çe³itlili§i nedeniyle de fuzzy cümle teorisi bilimsel çal³malarda önemli bir yere sahiptir. lk uygulama alan ise 1974 ylnda Mamdani'nin buhar makinas için geli³tirdi§i kontrol sistemidir. Foto§raf makinelerinden klimalara, asan-sörlerden çama³r makinelerine, havaclk endüstrisinden metro sistemlerinin kon-trolüne, motor sistemlerinden süpürgelere kadar fuzzy cümle teorisinin kullanld§ birçok alan bulunmaktadr. Ancak her ne kadar fuzzy cümle teorisi al³lm³ cümle teorisine göre bir çok karma³k durumu de§erlendirebilmemize olanak verse de özel-likle uygulama alanlarnda kar³la³lan problemlemleri çözmede yetersiz kalm³tr. Bunun üzerine fuzzy cümlelerinin iyi bilinen bir genellemesi olan interval de§erli

fuzzy cümle kri Gorzalczany [6] ve Turksen [25] tarafndan ortaya konmu³tur. Son zamanlarda Chen [1] interval de§erli fuzzy cümleler arasndaki uzakl§, Guijun ve Xiaoping [8] de interval de§erli fuzzy saylar tanmlam³tr. Hong ve Lee [12], Meenakshi ve Kaliraja [15] da interval de§erli fuzzy saylarn de§i³ik özellikleriyle ilgili çal³malar yapm³lardr.

Bu tezde interval say, fuzzy cümle, fuzzy say, interval de§erli fuzzy saylar için yaplan çal³malar incelenmi³, interval de§erli fuzzy saylarn Zweier snrl, Zweier yaknsak ve Zweier null dizilerinin uzaylar in³a edilerek baz özellikleri ara³trlm³tr.

BÖLÜM 1

NTERVAL VE FUZZY SAYILARIN DZ UZAYLARI

Bu bölümde çal³maya esas olacak hazrlk bilgileri verilecektir. 1.1 nterval Saylar ve nterval Saylarn Dizi Uzaylar

Reel saylarn kapal ve snrl intervali a, b ∈ R ve a ≤ b olmak üzere [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

biçiminde tanmlanan bir cümledir, [14].

Çal³mamz boyunca reel saylarn kapal ve snrl intervallerini, interval say olarak adlandraca§z. R üzerindeki bütün interval saylarn cümlesini E ile gösterelim.

E_{'nin herhangi bir elemann ¯x ³eklinde gösterece§iz. Bir ¯x interval saysn; uç (alt ve}

üst) noktalar srasyla x−_{, x}+ _{olmak üzere, [x}−_{, x}+_{] ³eklinde gösterece§iz.Herhangi}

bir r reel saysn [r, r] biçiminde verilmi³ interval says ile e³ tutaca§z.

nterval saylarn cümlesi, E, üzerindeki cebirsel i³lemler ¯x = [x−_{, x}+_{], ¯y = [y}−_{, y}+_{] ∈}

E _{ve α ∈ R için;} (1) x + ¯¯ y = {x ∈ R : x−_{+ y}− _{≤ x ≤ x}+_{+ y}+_}, (2) x − ¯¯ y = {x ∈ R : x−_{− y}+_{≤ x ≤ x}+_{− y}−_}, (3) α¯x =    [αx−_{, αx}+_{], α ≥ 0 ise;} [αx+_{, αx}−_{], α < 0 ise.} (4) x¯¯y = {x ∈ R : min{x−_y−_{, x}−_y+_{, x}+_y−_{, x}+_y+_{} ≤ x ≤ max{x}−_y−_{, x}−_y+_{, x}+ y−_{, x}+_y+_}},

(5) Bir ¯x interval saysnn negati -¯x;

−¯x = −[x−_{, x}+_{] = [−x}+_{, −x}−_{] = {−x : x ∈ ¯x},} (6) Sfr ihtiva etmeyen bir ¯x interval saysnn 1

¯ x tersi; x1¯ = ©₁ x : x ∈ ¯x ª dr.

(7) Bir ¯x interval saysnn ¯y interval saysna bölümü 0 /∈ ¯y olmak üzere ¯x1 ¯

y

³eklindedir.

(8) x¯_{ve ¯y interval saylar e³ittir ⇔ x}−_{= y}− _{ve x}+_{= y}+ _ise,

olarak tanmldr. ¯

xve ¯y interval saylarnn di§er ilginç iki özelli§i de a³a§daki gibidir.

(9) x¯_{ve ¯y interval saylarnn kesi³imi;}

[x−_{, x}+_{] ∩ [y}−_{, y}+_{] = [max{x}−_{, y}−_{}, min{x}+_{, y}+_}]

ve

[x−, x+] ∩ [y−, y+] = ∅ ⇔ x−_{> y}+ _{ya da y}− _{> x}+_,

(10) x¯ve ¯y interval saylarnn birle³imi;

[x−, x+] ∪ [y−, y+] = [min{x−, y−}, max{x+, y+}],

olarak tanmldr, [13].

Tanm 1.1 ¯x = [x−_{, x}+_{], ¯y = [y}−_{, y}+_{] ∈ E olsun. ¯x ≤ ¯y ⇔ x}− _{≤ y}− _{ve x}+ _{≤ y}+

ise, [14].

Tanm 1.2 ¯x = [x−_{, x}+_{] intervali verilsin. E§er x}− _{= x}+ _{= r ∈ R ise ¯x intervaline}

dejenere interval say denir, [13].

Bu aslnda R de bir noktay temsil eder. Buradan R deki her elemann bir dejenere interval say oldu§unu, dolaysyla reel saylar cümlesinin, interval saylar cümlesi içine gömülebilece§ini söyleriz.

Ancak her ne kadar interval saylarn cümlesi reel saylar cümlesini kapsasa da R'nin birçok ilginç cebirsel ve topolojik özelli§i interval saylarn cümlesi E' de görülmez. nterval say cümlelerinin cebirsel yapsn inceledi§imizde monoid oldu§unu görürüz. Ancak interval saylar cümlesi toplama i³lemine göre ters eleman özelli§ine sahip ol-mad§ndan lineer uzay de§ildir.

Gerçekten ¯x = [x−_{, x}+_{], ¯y = [y}−_{, y}+_{] iki interval olmak üzere;}

(1) x + ¯¯ y = [x− _{+ y}−_{, x}+ _{+ y}+_{] olup interval say tanmndan x}− _{≤ x}+ _ve

y−_{≤ y}+_{ifadelerini yazabiliriz. Bu iki ifade taraf tarafa toplanrsa x}−_+y− _≤

toplamlar da birer reel saydr. Böylece [x−_{+ y}−_{, x}+_{+ y}+_{]' nin bir interval}

say oldu§u sonucuna varrz. O halde E, interval saylar cümlesi toplama i³lemine göre kapaldr.

(2) x ∈ E¯ , 0 reel saylar cümlesi üzerindeki toplama i³leminin birim eleman ve θi = [0, 0] interval saylarn toplama i³lemine göre birim eleman olmak

üzere, ¯x + θi = θi+ ¯x = ¯x dir. Gerçekten ¯x = [x−, x+] ve θi = [0, 0]ise

¯

x + θi = [x−+ 0, x++ 0] = [x−, x+] (1.1)

θi+ ¯x = [0 + x−, 0 + x+] = [x−, x+] (1.2)

oldu§undan ¯x + θi = θi + ¯x = ¯x dir. Böylece (1) ve (2) den E, interval

saylarn cümlesi monoidtir. Fakat

(3) ∀¯x ∈ E için ¯x + ¯y = ¯y + ¯x = θi olacak ³ekilde ¯y ∈ E mevcut olmad§ndan

E toplama i³lemine göre grup de§ildir.

Lemma 1.1. Bütün interval saylarn cümlesi E, d : E × E → R ile tanml

d(¯x, ¯y) = max{|x−_{− y}−_{|, |x}+_{− y}+_{|}; (1.3)}

fonksiyonu ile beraber tam metrik uzaydr, [16].

E§er özel olarak ¯x = [x−_{, x}−_{]ve ¯y = [y}−_{, y}−_{]olarak seçilirse (1.3) de verilen d; R'nin}

mutlak de§er metri§ine indirgenir.

Tanm 1.3.Bir interval say dizisi, tanm cümlesi N ve de§er cümlesi E, kapal intervallerin cümlesi olan bir fonksiyondur, di§er bir söyleyi³le

f : N → E, k → f (k) = ¯xk, ¯xk = [x−k, x+k]

fonksiyonuna interval saylarn dizisi denir, [2].

Bütün interval saylarn dizilerinin cümlesini w(E) ile gösterelim.

Tanm 1.4. (¯xk) = ([x−k, x+k]) interval say dizisine snrldr denir ⇔ ∀k ∈ N için

x−

k ≥ m ve x+k ≤ M olacak ³ekilde m, M ∈ R var ise.

Tanm 1.5. (¯xk)interval saylarn bir dizisi ve ¯x0 bir interval say olsun. ∀² > 0 için

ve

lim

k x¯k = ¯x0 veya (¯xk) → ¯x0 (k → ∞)

³eklinde gösterilir, Yani; lim

k→∞x¯k= ¯x0 ⇔ limk→∞x −

k = x−0 ve lim_k→∞x+k = x+0

dr, [2].

nterval saylarn sfra yaknsak, yaknsak ve snrl dizilerinin uzaylar srasyla a³a§daki gibi tanmlanr,

c0(E) = {(¯xk) ∈ w(E) : lim

k x¯k = [0, 0] = θi}, c(E) = {(¯xk) ∈ w(E) : lim

k x¯k = ¯x0, ¯x0 ∈ E}, `∞(E) = {(¯xk) ∈ w(E) : sup

k {|x

−

k|, |x+k|} < ∞},

[20].

nterval saylarn c0(E), c(E) ve `∞(E)cümleleri, ∀(¯xk), (¯yk) ∈ `∞(E)

(veya c0(E), c(E)) olmak üzere;

e

d(¯xk, ¯yk) = sup k

max{|x−

k − yk−|, |x+k − yk+|} (1.4)

ile tanml ˜d fonksiyonu ile beraber birer tam metrik uzaydr, [20]. 1.2. Fuzzy Say ve Fuzzy Saylarn Dizi Uzaylar

Bilindi§i gibi al³lm³ cümle teorisinde belirsizliklerle de§il kesin verilerle çal³lr. Al³lm³ cümle teorisinde bir eleman için sadece cümleye ait olma ve ait olmama seçene§i varken fuzzy cümlelerde elemanlar cümleye ksmen ait olabilmektedir. Za-deh'in [27] yazd§ makalede belirsizlik kavram ele alnarak kesin snrlara sahip olmayan nesneler, fuzzy cümle teorisi ile de§erlendirilebilmi³tir. Bu de§erlendirme ise üyelik derecesi ile yaplr. Belirsizliklerede bir de§er veren fuzzy cümle teorisi bu nedenle çok ilgi görmü³tür. Üyelik derecesi temsili olarak u : X → [0, 1] ³eklinde tanml üyelik fonksiyonu ile ölçülür. Fiziksel dünyamzda birçok nesne tam olarak belirli bir snf içerisine dahil edilemeyip belirsiz bir konuma sahiptir. Örne§in köpek, at, ku³ hayvanlar aleminin içinde, snandrlrken bakteri hayvanlar alemi için be-lirsiz bir konumda kalmaktadr. Yine güzellik gibi göreceli bir kavram dü³ünürsek

birisi için çirkin olarak tanmlanan bir nesne bir ba³kas için güzel olabilmekte bir di§eri için ise orta derecede güzel olarak nitelendirilebilmektedir. Öyleyse güzellik, uzunluk, büyüklük, küçüklük gibi kavramlar da fuzzy cümle teorisi ba³l§ altnda üyelik fonksiyonuyla derecelendirebiliriz.

Tanm 1.6. X genel eleman x ile gösterilen bo³tan farkl bir cümle olsun. X'in bir A fuzzy alt cümlesi X'in herbir elemann [0, 1] intervaline ait bir reel sayya kar³lk getiren µA fonksiyonu ile karakterize edilir, [27].

µ_A fonksiyonu

µ_A : X → [0, 1] (1.5)

³eklinde tanmland§ndan X'in A fuzzy alt cümlesi

A = {(x, µA(x)) : x ∈ X} (1.6)

biçiminde yazlabilir. Genel olarak µAfonksiyonu, x ∈ X'in üyelik fonksiyonu olarak

isimlendirilir. X evrensel cümlesi üzerinde tanml sonlu A fuzzy cümlesini,

n

X

i=1

ai

xi

biçiminde de yazabiliriz. Burada P toplamay de§il elemanlarn toplulu§unu, − kesri de§il ai ile xi' yi ayran bir ayrac gösterir. E§er X evrensel cümlesi saylabilir

sonsuz çoklukta eleman ihtiva ediyorsa X üzerinde bir A fuzzy cümlesi Z

x∈X

A(x) x

³eklinde ifade edilir, burada R integral sembolünü de§il, elemanlern sonsuz toplu-lu§unu ve − kesri de§il A(x) ile x'i ayran bir ayrac gösterir. [11].

Bir fuzzy cümle α- kesim cümleleri yardmyla iç içe geçmi³ intervallerin bir ailesi olarak dü³ünülebilir. Örne§in, B.S. Butkiewicz [28] bu ba§nty Fourier dönü³üm-lerini intervallere ve fuzzy saylarna geni³letmek için kullanm³tr.

Örnek 1.1. X = R ve µA : R → [0, 1]fonksiyonu µ_A(x) =          0 , x ≤ 1 ise, 1 99 , 1 < x ≤ 100 ise, 1 , 100 < x ise, (1.7) ³eklinde tanmlansn. (1.7) de tanml üyelik fonksiyonu R'nin bir A fuzzy alt cüm-lesini "1 den büyük reel saylarn cümlesi" olarak belirler, [3].

Çal³mamzda fuzzy cümleler ya R'nin ya da R'nin alt cümlelerinin fuzzy alt cüm-leleri olarak göz önüne alnacaktr.

Bir X evrensel cümlesinin bütün fuzzy alt cümlelerinin cümlesi F(X) olsun. A ∈

F(X) olmak üzere A'ya bo³tur denir ⇔ ∀x ∈ X için µA(x) = 0 ise, [27].

A ve B ∈ F(X) olsun. A'nn B'ye e³it olmas için gerek ve yeter ³art ∀x ∈ X için

µ_A(x) = µ_B(x) olmasdr, [27].

A ve B ∈ F(X) olsun. A'nn B'nin alt cümlesi olmas için gerek ve yeter ³art

∀x ∈ X _{için µA}(x) ≤ µ_B(x)_{olmasdr, [27].}

Örnek 1.2.

X = {−1, 1, 2, 3, 4, 5}

bir evrensel cümle ve X üzerinde tanml A ve B fuzzy alt cümleleri a³a§daki gibi olsun: A = ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1) ¾ , B = ½ (−1,1 2), (1, 7 10), (2, 1) ¾ ∀x ∈ X için µ_A(−1) = 0, µ_A(1) = 1 2, µA(2) = 1, µA(3) = µA(4) = µA(5) = 0 µ_B(−1) = 1 2, µB(1) = 7 10, µB(2) = 1, µB(3) = µB(4) = µB(5) = 0 dr. ∀x ∈ X için µA(x) ≤ µB(x)oldu§undan A ⊂ B dir.

Fuzzy cümleler üzerindeki tümleme, birle³im ve kesi³im tanmlar a³a§daki gibi ve-rilir.

Üyelik fonksiyonu µ_A0 = 1 − µ_A ³eklinde tanmlanan A 0

cümlesine A fuzzy cüm-lesinin tümleyeni denir, [27].

Örnek 1.3.

evrensel cümlesi üzerinde tanml A fuzzy cümlesi A = ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾

olarak alnrsa A'nn tümleyeni, tanmdan dolay A0 = ½ (−1, 1), (1,1 2), (2, 0), (3, 1), (4, 1), (5, 1) ¾ olur.

A ve B ∈ F(X) olmak üzere A ile B nin birle³imi

A ∪ B = C = {(x, µA∪B=C(x)) : µA∪B=C(x) = max{µA(x), µB(x)}, x ∈ X}

ve kesi³imi

A ∩ B = C = {(x, µA∩B=C(x)) : µA∩B=C(x) = min{µA(x), µB(x)}, x ∈ X}

³eklinde tanmlanr.

E§er A ∩ B = ∅ ise, A ve B fuzzy cümlelerine ayrktr denir.

Örnek 1.4. X evrensel cümlesini X = {−1, 1, 2, 3, 4, 5} olarak alalm. X'in iki fuzzy alt cümlesi A = ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ ve B = ½ (−1,1 2), (1, 7 10), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ ise A ∪ B = ½ (−1,1 2), (1, 7 10), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ ve A ∩ B = ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ olur.

Fuzzy cümleler üzerinde temel cebirsel i³lemler a³a§daki gibi tanmlanr. A ve B

∈ F(X) olmak üzere A ve B'nin A+B toplam,

A+B = {(x, µA+B(x)) : 0 ≤ µA(x) + µB(x) ≤ 1, x ∈ X}

ile tanml fuzzy cümledir, [27]. Bu toplam µA(x) + µB(x) ≤ 1 e³itsizli§ini sa§layan

x' ler için anlamldr.

Örnek 1.5. X evrensel cümlesini ve X üzerindeki A ve B fuzzy cümlelerini Örnek 1.4 deki gibi alrsak A ile B fuzzy cümlelerinin A+B toplam,

A+B = ½ (−1,1 2), (1, 6 5), (2, 2), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ olur.

A ve B ∈ F(X) olmak üzere A ve B'nin AB çarpm,

AB = {(x, µAB(x)) : 0 ≤ µA(x)µB(x) ≤ 1, x ∈ X}

olarak tanmlanan cümledir, [27].

Örnek 1.6. X evrensel cümlesini ve X üzerindeki A ve B fuzzy cümlelerini Örnek 1.4 deki gibi alrsak A ile B fuzzy cümlelerinin AB çarpm

AB = ½ (−1, 0), (1, 7 20), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ olur. Burada A ∩ B = ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾

oldu§u göz önüne alnrsa A.B ⊂ A ∩ B dir. Bu kapsama herhangi iki A ve B fuzzy cümleleri için her zaman geçerlidir.

Mutlak Fark:

A ve B fuzzy cümlelerinin mutlak fark ∀x ∈ X için

|_{A − B| = |µA}(x) − µ_B(x)| _(1.8)

ile tanmlanr.

Fuzzy cümle teorisindeki en önemli kavramlardan ikisi de α-kesim cümlesi ve kuvvetli

fuzzy cümlesinin α_{A ile gösterilen α- kesim ve} α+_{A ile gösterilen kuvvetli α- kesim}

cümleleri srasyla

α_{A = {x : A(x) ≥ α}, (1.9)}

α+_{A = {x : A(x) > α} (1.10)}

³eklinde tanmlanrlar, [11].

α- kesim ve kuvvetli α- kesim kavramlar fuzzy cümlelerle al³lm³ cümleler arasna geçi³te temel bir role sahiptir, hatta "bu iki cümle çe³idi arasnda bir köprü vazifesi görüyor" denebilir. Çünkü fuzzy cümleler üzerindeki iki temel kavram "aritmetik ve uzaklk" kavramlar bunlar vastasyla tanmlanr.

A ∈ F(X) ve α ∈ [0, 1] olmak üzere;

∧(A) = {α : A(x) = α , ∀x ∈ X} (1.11)

ile tanml cümleye A fuzzy cümlesinin seviye cümlesi denir, [11].

Teorem 1.1. A, B ∈ F(X) ve α, β ∈ [0, 1] olsun. Bu durumda a³a§daki özellikler mevcuttur, [11]:

(1) α+_{A ⊆} α_A,

(2) α ≤ β iseα_{A ⊇}β_{A ve}α+_{A ⊇}β+_A,

(3) α_{(A ∩ B) =}α_{A ∩}α_{B ve} α_{(A ∪ B) =}α_{A ∪}α_B,

(4) α+_{(A ∩ B) =}α+_{A ∩}α+_{B ve} α+_{(A ∪ B) =}α+_{A ∪}α+_B.

α- kesim ve kuvvetli α- kesim cümlelerinin fuzzy cümle teorisindeki temel rolleri, fuzzy cümlelerini temsil etmektir. Bir fuzzy cümle onun kesim veya kuvvetli α-kesim cümleleriyle tek olarak temsil edilebilir. Bu temsillerin herbiri, bize al³lm³ cümle özelliklerini geni³leterek fuzzy cümlelere kar³lk getirmemize imkan verir. Al³lm³ cümleler yardm ile fuzzy cümleleri açklamann iki yolu vardr. Basit bir örnekle bunu açklayalm: X evrensel cümlesi X = {x1, x2, x3, x4, x5}olsun. X'in bir

A fuzzy alt cümlesini

A = 0.2/x1 + 0.4/x2+ 0.6/x3+ 0.8/x4+ 1/x5

biçiminde tanmlayalm. A'y onun α- kesim cümleleri ile

0.2_{A = 1/x}

1+ 1/x2+ 1/x3+ 1/x4 + 1/x5 0.4_{A = 0/x}

0.6_{A = 0/x} 1+ 0/x2+ 1/x3+ 1/x4 + 1/x5 0.8_{A = 0/x} 1+ 0/x2+ 0/x3+ 1/x4 + 1/x5 1_{A = 0/x} 1+ 0/x2+ 0/x3+ 0/x4 + 1/x5

³eklinde yazabiliriz. Her bir x ∈ X = {x1, x2, x3, x4, x5} için

αA(x) = ααA(x) (1.12)

e³itli§i mevcuttur, [11]. Buradan

0.2A = 0.2/x1+ 0.2/x2+ 0.2/x3+ 0.2/x4+ 0.2/x5 0.4A = 0/x1 + 0.4/x2+ 0.4/x3+ 0.4/x4+ 0.4/x5 0.6A = 0/x1 + 0/x2+ 0.6/x3+ 0.6/x4+ 0.6/x5 0.8A = 0/x1 + 0/x2+ 0/x3+ 0.8/x4+ 0.8/x5

1A = 0/x1 + 0/x2+ 0/x3+ 0/x4+ 1/x5

olur. Böylece kolaylkla görülür ki yukardaki be³ fuzzy cümlenin standart fuzzy birle³imi tam olarak A fuzzy cümlesidir. Yani;

A =0.2A [ 0.4A [ 0.6A [ 0.8A [ 1A

dir. Burada fuzzy cümleler α- kesim cümleleriyle temsil edilmi³tir, [11].

Teorem 1.2. (Birinci Ayr³m Teoremi): F(X), X'in fuzzy alt cümlelerinin ailesi olmak üzere her bir A ∈ F(X) için

A = [

α∈[0,1]

αA (1.13)

dir, burada αA, (1.12) ile tanml ve

S

standart fuzzy birle³imidir, [11]. spat: Her bir x ∈ X için a = A(x) olsun. O zaman

   [ α∈[0,1] αA  

(x) = sup_α∈[0,1]αA(x) = max[ sup_α∈[0,a]αA(x), sup_α∈(a,1]αA(x)].

her bir α ∈ [0, a] için A(x) = a ≥ α dr. Buradan da αA(x) = α olur. Böylece    [ α∈[0,1] αA  

(x) = sup_α∈[0,a]α = a =A(x)

dir. Her bir x ∈ X için ayn durum geçerli oldu§undan ispat tamamlanr. “imdi bu teoremi bir örnekle açklayalm.

Örnek 1.7. Bir A fuzzy cümlesi a³a§daki üyelik fonksiyonu ile tanmlansn. A(x) =          x − 1 , x ∈ [1, 2] ise, 3 − x , x ∈ [2, 3] ise, 0 , di§er durumlarda, (1.14) Her bir α ∈ (0, 1] için A fuzzy cümlesinin α- kesim cümlesi

α_{A = [α + 1, 3 − α],}

³eklindedir. Ayrca (1.13) de verilen özel fuzzy cümle αA

αA =          α , x ∈ [α + 1, 3 − α] ise, 0 , di§er durumlarda, (1.15) ile belirli üyelik fonksiyonu ile tanmlanr. Birinci ayr³m teoremine göre her α ∈ [0, 1] için A fuzzy cümlesi, αA cümlelerinin standart fuzzy birle³imi alnarak elde

edilir.

Teorem 1.3. (kinci Ayr³m Teoremi): F(X), X'in fuzzy alt cümlelerinin ailesi olmak üzere her bir A ∈ F(X) için

A = [

α∈[0,1]

α+A (1.16)

dr, burada α+A, α+A = αα+A(x) ile tanml özel fuzzy cümledir ve

S

standart fuzzy birle³imidir, [11].

Teorem 1.4. (Üçüncü Ayr³m Teoremi): F(X), X'in fuzzy alt cümlelerinin ailesi ve ∧(A), A fuzzy cümlesinin seviye cümlesi olmak üzere A fuzzy cümlesi için

A = [

α∈∧(A)

αA (1.17)

Tanm 1.7. A fuzzy cümlesinin α- kesim cümlesi ∀ α ∈ [0, 1] için X'in konveks alt cümlesi ise X üzerinde tanml A fuzzy cümlesi konvekstir denir, [11].

Teorem 1.5. R üzerinde tanml bir A fuzzy cümlesi ∀ x1, x2 ∈ R ve λ ∈ [0, 1] için

konvekstir ⇔ A(λx1+ (1 − λ)x2) ≥ min[A(x1),A(x2)], [11].

Burada ³una dikkat etmeliyiz ki bir fonksiyonun konveksli§i ile bir cümlenin kon-veksli§i farkl kavramlardr.

Tanm 1.8.(Fuzzy Say:) Fuzzy cümleleri bir çok bilim dalnda, elastiki yaplarndan dolay, çok geni³ uygulama alanlarna sahiptir. Ancak baz önemli ve özel sonuçlar elde edebilmek için fuzzy cümleleri üzerine baz kstlamalar yaplr. A³a§da tanmn verdi§imiz fuzzy normal cümle, fuzzy konveks cümle gibi kavramlar bu kstlamalar-dan bazlardr.

X = R, evrensel cümle olmak üzere µ : R → [0, 1] fonksiyonu;

FS1. µ fonksiyonu normal, yani en az bir x0 ∈ R için µ(x0) = 1,

FS2. µ fuzzy konvekstir, yani ∀x, y ∈ R ve ∀η ∈ [0, 1] için

µ [ηx + (1 − η)y] ≥ min{µ(x), µ(y)},

FS3. µ üstten yar sürekli,

FS4. µ0 _{= {x ∈ R : µ(x) ≥ 0} kompakttr,}

³artlarn sa§lasn.

Tanm 1.9. FS1, FS2, FS3 ve FS4 ³artlarn sa§layan µ : X → [0, 1] fonksiyonuna bir fuzzy say denir. Bütün fuzzy saylarnn cümlesi E1 _{ile gösterilir. ¯r : R → [0, 1]}

fonksiyonu r(x) =    1 , x = r ise, 0 , x 6= r ise,

ile tanmlansn. ¯r fonksiyonu FS1, FS2, FS3 ve FS4 ³artlarn sa§lar. Dolays ile her bir r ∈ R reel says aslnda bir fuzzy say olarak tanmlanabilir. Bu gerçek reel saylar cümlesi, R'nin, E1_{'in içine gömülebilece§ini gösterir.}

1.4. Fuzzy Say Cümlesi Üzerindeki Aritmetik ³lemler

Teorem 1.6. (Fuzzy Saylarn Temsil Teoremi): u ∈ E1 _{ve herbir α ∈ [0, 1] için}

α_{u = [u}−_{(α), u}+_{(α)]olsun. O halde a³a§daki ³artlar sa§lanr:}

(1) u−_{(α); (0, 1] üzerinde snrl, soldan sürekli ve azalmayan bir fonksiyondur,} (2) u+_{(α); (0, 1] üzerinde snrl, soldan sürekli ve artmayan bir fonksiyondur,}

(3) u−_{(α) ve u}+_{(α) fonksiyonlar, α = 0 noktasnda sa§dan süreklidir,}

(4) u−_{(1) ≤ u}+_(1).

E§er, µ ve β yukardaki ³artlar sa§layan iki fonksiyon ise o zamanα_{u = [µ(α), β(α)]}

olacak ³ekilde bir tek u ∈ E1 _{vardr. µ ve β'ya kar³lk gelen u fuzzy says;}

u : R → [0, 1], u(x) = sup{µ : µ(α) ≤ x ≤ β(α)}

olarak tanmlanr, [5].

α- kesim cümleleri fuzzy cümlelerle al³lm³ cümleler arasnda bir köprü oldu§undan, fuzzy cümleler üzerindeki cebirsel i³lemler α- kesim cümleleri ile tanmlanr. “imdi fuzzy saylar üzerindeki cebirsel i³lemleri inceleyelim. ∀u, v ∈ E1_{, λ ∈ R ve her bir}

α ∈ [0, 1] için α_{u = [u}−_{(α), u}+_(α)], α_{v = [v}−_{(α), v}+_{(α)] olsun. u, v ∈ E}1 _eleman

çiftinin

Toplam: α_{(u + v) =}α_{u +}α_{v = [u}−_{(α) + v}−_{(α), u}+_{(α) + v}+_(α)]

Fark: α_{(u − v) =} α_{u −}α_{v = [u}−_{(α) − v}+_{(α), u}+_{(α) − v}−_(α)] Skalar ile çarpm: (λα_{u) = λ}α_{u =}

  

[λα_u−_{, λ}α_u+_{], λ ≥ 0ise;}

[λα_u+_{, λ}α_u−_{], λ < 0 ise.}

Mutlak De§eri: α_{(|u|) = [max{0, u}−_{(α), −u}+_{(α)}, max{|u}−_{(α)|, |u}+_(α)|}]

ile tanmlanr, [10].

Örnek 1.8. u, v fuzzy saylarnn üyelik fonksiyonlar a³a§daki gibi tanmlansn.

u(x) =          0 , x ≤ −1 ve x > 3 ise, x+1 2 , x ∈ (−1, 1] ise, 3−x 2 , x ∈ (1, 3] ise. (1.18) (1.19)

v(x) =          0 , x ≤ 1 ve x > 5 ise, x−1 2 , x ∈ (1, 3] ise, 5−x 2 , x ∈ (3, 5] ise. (1.20) (1.21) α_{u = [2α − 1, 3 − 2α],}α_{v = [2α + 1, 5 − 2α] oldu§undan} α_{(u + v) = [2α − 1, 3 − 2α] + [2α + 1, 5 − 2α]} = [4α, 8 − 4α]

olur. [2α + 3, 8 − 3α]' ya kar³lk gelen fuzzy says ise; (u + v)(x) =          0 , x ≤ 0 ve x > 8 ise, x 4 , x ∈ (0, 4] ise, 8−x 4 , x ∈ (4, 8] ise. (1.22) (1.23) fonksiyonudur. Ve bu fonksiyon FS1 − FS4 ³artlarn sa§lar.

α_{(u − v) = [2α − 1, 3 − 2α] − [2α + 1, 5 − 2α]}

= [4α − 6, 2 − 4α]

olur. [4α − 6, 2 − 4α]' ya kar³lk gelen fuzzy says ise; (u − v)(x) =          0 , x ≤ −6 ve x > 2 ise, x+6 4 , x ∈ (−6, −2] ise, 2−x 4 , x ∈ (−2, 2] ise. (1.24) (1.25) fonksiyonudur. Ve bu fonksiyon FS1 − FS4 ³artlarn sa§lar.

α_{(uv) =}    [−4α2_{+ 12α − 5, 4α}2_{− 16α + 15], α ∈ (0, 0.5] ise;} [ − 4α2_{− 1, 4α}2_{− 16α + 15], α ∈ (0.5, 1] ise.}

olur. α_{(uv)' ya kar³lk gelen fuzzy says ise;}

(uv)(x) =                0 , x < −5 ve x ≥ 15 ise, [3−(4−x)12_] 2 , x ∈ [−5, 0) ise, (1+x)12 2 , x ∈ [0, 3) ise, [4−(1+x)12] 2 , x ∈ [3, 15) ise. (1.26)

fonksiyonudur. Ve bu fonksiyon FS1 − FS4 ³artlarn sa§lar.

Tanm 1.10. u, v ∈ E1 _{ve ∀ t ∈ R için u(t) = v(t) ise u ile v fuzzy saylar e³ittir}

denir ve u= v yazlr, [14].

Tanm 1.11. u ∈ E1 _{olsun. E§er x < 0 olan her x için u(x) = 0 ise u fuzzy saysna}

negatif olmayan fuzzy says denir, [18].

Bilindi§i gibi bir cümle üzerinde bir uzaklk fonksiyonu tanmland§nda analizin önemli kavramlarna geçi³ yaplr. Bu nedenle fuzzy cümle üzerindeki uzaklk tanmn burada verece§iz.

Tanm 1.12. u, v E1_{'in iki eleman olsun. u ve v arasndaki d(u, v) uzakl§,}

d(u, v) = sup

0≤α≤1

max{|u−_{(α) − v}−_{(α)|, |u}+_{(α) − v}+_{(α)|} (1.27)}

ile verilen

d : E1_{× E}1 _{−→ R (1.28)}

fonksiyonu ile tanmlanr.

Lemma 1.2. Bütün fuzzy saylarn cümlesi E1_{, (1.27) de verilen d metri§i ile}

be-raber tam metrik uzaydr, [14]. Teorem 1.7. u, v ∈ E1 _{olmak üzere}

d(uv, 0) ≤ d(u, 0)d(v, 0) (1.29)

spat Her λ ∈ [0, 1] için |u−_{(λ)| ≤ d(u, 0) ve |u}+_{(λ)| ≤ d(u, 0) oldu§u açktr.} Buradan d(uv, 0) = sup λ∈[0,1] max{|(uv)−_{(λ)|, |(uv)}+_(λ)|} ≤ sup λ∈[0,1] max{|u−(λ)||v−(λ)|, |u−(λ)||v+(λ)|, |u+_(λ)||v−_{(λ)|, |u}+_(λ)||v+_(λ)|} ≤ sup λ∈[0,1] max{d(u, 0)|(v)−_{(λ)|, d(u, 0)|v}+_(λ)|, d(u, 0)|v−(λ)|, d(u, 0)|v+(λ)|} = d(u, 0) sup λ∈[0,1] max{|v−(λ)|, |v+(λ)|} = d(u, 0)d(v, 0) olur. Böylece ispat tamamlanm³ olur. Tanm 1.13.(Fuzzy Say Dizileri)

f : N → E1_{, k → f (k) = u}

k, u = (uk) ³eklinde tanmlanan fonksiyona genel terimi

uk olan fuzzy saylarn bir dizisi denir, [14].

Örnek 1.9. (uk) =              k 2k−1(x − 1) , x ∈ [1, 3k−1 k ] ise, −k 2k−1(x − 5) , x ∈ [3k+1k , 5] ise, 1 , x ∈ [3k−1 k ,3k+1k ] ise, 0 , _{di§er durumlarda.} (1.30)

ile tanml (uk) fuzzy saylarn bir dizisidir.

Bütün fuzzy saylarnn dizilerinin cümlesini w(E1_{) ile gösterelim.}

Tanm 1.14. Fuzzy saylarn u = (uk) dizisi snrldr ⇔ ∀k ∈ N için m ≤ uk ≤ M

olacak ³ekilde iki m ve M fuzzy says vardr. Bu ise u−

k ve u+k fonksiyonlarnn [0, 1]

üzerinde düzgün snrl olmas demektir. Yani her α ∈ [0, 1] için α_m− _{≤ u}−

k ≤ αM− ve αm+ ≤ u+k ≤ αM+ dir, [24]. Böylece

bir u = (uk)fuzzy say dizisinin snrll§ ∀ k ∈ N için sup α∈[0,1]

max{|α_u−

k|, |αu+k|} ≤ M

u = (uk), v = (vk) ∈ w(E1) olmak üzere, u ve v arasndaki uzaklk; D(u, v) = sup k∈N ¯ d(uk, vk) (1.31) olarak tanmlanr, [17].

Tanm 1.15.(Fuzzy Say Dizisinin Limiti)

{un} ⊂ E1 ve u0 ∈ E1 olsun. E§er ∀² > 0 için en az bir n0∈ Npozitif do§al says her

n > n0 için D(un, u0) < ²olacak ³ekilde bulunabiliyorsa (un)dizisi u0'a yaknsaktr

denir ve lim

n→∞ un = u0 veya un → u0(n → ∞) biçiminde gösterilir, [14].

Örnek 1 da verilen fuzzy saylarn (uk) dizisi

u0 =              1 2(x − 1) , x ∈ [1, 3] ise, 1 , x = 3 ise, −1 2(x − 5) , x ∈ (3, 5] ise, 0 , _{di§er durumlarda.} (1.32)

limitine yaknsar. “ekil 1' yi inceleyiniz.

0 1 3 5 u₀

1

Þekil 1.4

Teorem 1.8. Fuzzy saylarn (un) dizisi yaknsak ise sadece bir tek limit noktas

vardr, [14].

Teorem 1.9. ∀n ≥ n0 iken un ≤ wn ≤ vn olacak ³ekilde bir n0 ∈ N mevcut ve

lim

n un = limn vn = u0 ise o zaman limn wn= u0 dr, [14].

Tanm 1.16. (un) bir fuzzy say dizisi ve (nk) da do§al saylarn artan bir dizisi

olsun. O zaman (unk) dizisine (un)dizisinin bir alt dizisi denir.

Teorem 1.11. Bir fuzzy say dizisi yaknsak ise her alt dizisi de ayn noktaya yakn-saktr, [14].

Teorem 1.12. u = (un), v = (vn) ∈ w(E1), lim

n un = u0, limn vn = v0 ve k ∈ R olsun.

O zaman a³a§dakiler mevcuttur: (1) lim n (un∓ vn) = u0 ∓ v0, (2) lim n (kun) = ku0, (3) lim n (unvn) = u0v0, (4) lim n ( un vn ) = u0 v0, (∀n ∈ N için vn 6= 0, v0 6= 0 için),[14].

Fuzzy saylarnn snrl, yaknsak, sfra yaknsak dizilerinin cümleleri, ki bunlar

w(E2_{) nin baz özel altcümleleridir, sras ile a³a§daki gibi tanmlanr, [24]:}

`∞(E1) = ½ (uk) ∈ w(E1) : sup k∈N ¯ d(uk, ¯0) < ∞ ¾ , (1.33) c(E1_{) =} n_(u

k) ∈ w(E1) : ∃u0 ∈ E1 3 lim

k→∞ ¯ d(uk, u0) = 0 o , (1.34) c0(E1) = n (uk) ∈ w(E1) : lim k→∞ ¯ d(uk, ¯0) = 0 o . (1.35)

Nanda fuzzy saylarn snrl ve yaknsak dizilerinin uzay hakknda çal³malar yap-m³, [17] ve bu uzaylarn (1.31) metri§iyle beraber tam metrik uzay oldu§unu göster-mi³tir.

Bundan ba³ka fuzzy saylarn `p(E1) cümlesi 1 ≤ p < ∞ olmak üzere

`p(E1) = ( (uk) ∈ w(E1) : X k ¯ d(uk, ¯0)p < ∞ ) (1.36) ile tanmlanr, [24].

Tanm 1.17. λ(E1_{) ⊂ w(E}1_{), R}+ _{pozitif fuzzy saylarn cümlesi ve ||.||, λ(E}1_{) den}

R+ _{ye tanml bir fonksiyon olsun. A³a§daki ³artlar sa§layan ||.|| : λ(E}1_{) → R}+

fonksiyonuna quasi modül ya da quasi norm denir, [7]. FN1. ||u|| = θ ⇔ u = θ,

FN3. ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||. E§er ||.|| : λ(E1_{) → Gfonksiyonu FN1, FN2, FN3}

³art-larn sa§lyorsa (λ(E1_{), ||.||) ikilisine fuzzy saylarn fuzzy modül dizi uzay denir.}

Ayrca λ(E1_{) cümlesi fuzzy modül ile beraber tam ise λ(E}2_{), tam fuzzy modül dizi}

uzay olarak adlandrlr.

Tanm 1.18. u fuzzy saysnn fuzzy modülü u'nun ¯0 fuzzy sfra olan uzakl§ ile tanmlanr. Yani; ||u||E1 = sup k ¯ d(uk, ¯0) dr, [23].

Tanm 1.19. (uk) ∈ w(E1) olsun.

X

k

uk ifadesi fuzzy saylarn serisi olarak

ad-landrlr. Her n ∈ N için sn = n

X

k=0

uk olsun. E§er (sn) dizisi u0 fuzzy saysna

yaknsak ise fuzzy saylarn X

k

uk serisi de u0 fuzzy saysna yaknsaktr denir ve

X

k

uk = u0 ³eklinde gösterilir. Yani, n → ∞ ve λ ∈ [0, 1] için

n X k=0 α_u− k →αu−0 ve n X k=0 α_u+ k →αu+0

serileri düzgün yaknsaktr. Tersine, e§er α ∈ [0, 1] ve uk = {(αu−_k,αu+_k) : α ∈ [0, 1]},

cümlesi için X k α_u− k = αu−0 , X k α_u+

k = αu+0 serileri düzgün yaknsak oluyorsa o

halde u0 = {(αu−0,αu+0) : α ∈ [0, 1]} e³itli§i u0 =

X

k

uk olacak ³ekilde bir u0 fuzzy

says tanmlar. Aksi takirde fuzzy saylarn serisi raksaktr denir, [24].

Tanm 1.20.(Cauchy Dizisi) (un), bir fuzzy say dizisi olsun. E§er her ² > 0 için

∃ n0 ∈ N varsa öyleki ∀ n, m > n0 için D(un, um) < ² oluyorsa (un) dizisine fuzzy

BÖLÜM 2

NTERVAL DE‡ERL FUZZY CÜMLELER

X evrensel cümlesinin bir A fuzzy alt cümlesini belirlerken, A cümlesini olu³turan elemanlarn görüntüleri [0, 1] aral§ndaki bir reel say ile belirlenir. Fuzzy cüm-lelerin belirlenmesinde kulland§mz üyelik fonksiyonlar X de alnan her elemana [0, 1]aral§nda kesin ve tek bir de§er kar³lk getirir. Ancak üyelik derecelerini kesin bir de§erle belirlemek yerine, bu elemanlara de§er cümlesinde birden fazla de§er kar³lk getirilmesi krinin, fuzzy cümlelerin çe³itli uygulamalarnda , i³leri çok daha kolayla³traca§ görülmü³tür, [11]. Böylece fuzzy cümlelerin bir geni³letmesi olan ve interval de§erli fuzzy cümle olarak adlandrlan yeni bir cümle tanm verilmi³tir, [25,27].

Fuzzy cümleleri günlük konu³mada kullanlan belirsiz kavramlar, örne§in iyi, kötü, scak, so§uk, v.s tanmlamak için in³a edilmi³tir. Mesela, büyüklük ve küçüklük kavram baz x de§erleri için kesin olarak küçük iken baz de§erler için kesin olarak büyük olabilmektedir. Peki ya kesin olmayp, büyüklü§ü ya da küçüklü§üne tam olarak karar veremedi§imiz de§erleri hangi kategoriye koymalyz? Bir uzman her zaman verilen bir x de§erinin küçük ya da büyük mü oldu§una karar veremeye-bilir ve üyeli§inin derecesini de do§ru olarak saptayamayaveremeye-bilir veya elemann bir cümleye üyeli§inin derecesini etkileyen bir çok faktör bir arada bulunabilir. ³te bu problemlerden kurtulmak için üyelik derecelerinin hepsini ihtiva eden bir intervali

x elemannn üyeli§i olarak ele alma dü³üncesi geli³mi³tir. Bu dü³ünceden hareket-le ortaya çkan interval de§erli fuzzy cümhareket-le teorisi özellikhareket-le uygulamalarda aktif olarak kullanlm³tr. Birçok uygulama alannda uzmanlarn taleplerini kar³lama noktasnda interval de§erli fuzzy cümlelerin al³lm³ fuzzy cümlelerden çok daha kullan³l oldu§u tespit edilmi³tir. C. Lynch, H. Hargas ve V. Callagan dizel marine motorlarnn performansn artrmak için interval de§erli fuzzy cümlelerini kullan-m³lardr, [28].

Yine G.Prasad, P. Herman ve T. M. McGinnity interval de§erli fuzzy cümleler tarafndan formülüze edilen komutlarn kullancnn beyin dalgalarn yorumlamada

çok kullan³l oldu§unu göstermi³lerdir, [28]. nterval de§erli fuzzy cümleler bu özel-likleriyle kullancya sadece dü³ünce yoluyla bilgisayar kontrol edebilme yetene§i kazandrm³tr.

Tanm 2.1. (nterval De§erli Fuzzy Cümle): I = [0, 1] intervalinin kapal alt inter-vallerinin cümlesi [I] ve X de bir evrensel cümle olmak üzere u : X → [I], x → u(x) fonksiyonuna veya ba³ka bir ifade ile

A = {(x, [α1, α2]) : x ∈ X, 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1}

cümlesine X üzerinde interval de§erli fuzzy cümle denir, [25].

∀x ∈ X için α1 = α2 oldu§unda interval de§erli fuzzy cümle bildi§imiz klâsik fuzzy

cümleye dönü³ür.

nterval de§erli fuzzy cümlelerde bir elemann cümleye üyeli§inin derecesi, fuzzy cümleler de oldu§u gibi kesin de§ildir. “ekil 2.1. de bir interval de§erli fuzzy cümle gösterilmi³tir ve burada "a" elemannn üyeli§inin derecesinin [α1, α2]oldu§u

görülmek-tedir. Bir X cümlesi üzerindeki bütün interval de§erli fuzzy cümlelerin cümlesini

u ( x ) u ( x ) -+ 1 a 1 a 2 0 a u(x)

Þekil 2.1 Ýnterval deðerli fuzzy cümle

F2_{(X) ile gösterelim. u ∈ F}2_{(X) eleman için u}−_{(x) = α}

1 ≤ α2 = u+(x)

oldu§un-dan, E1 _{üzerindeki ksmi sralama göz önünde tutulursa, u(x) = [u}−_{(x), u}+_(x)]

yazlabilir.

u = [u−_{(x), u}+_{(x)], v = [v}−_{(x), v}+_{(x)], X evrensel cümlesi üzerinde iki interval}

de§erli fuzzy cümle olsun. Her x ∈ X için;

(u ∩ v)(x) = [min(u−_{(x), v}−_{(x)), min(u}+_{(x), v}+_(x))]

u0(x) = [1 − u+_{(x), 1 − u}−_(x)]

³eklinde tanmldr, [4].

ÖRNEK 2.1. X evrensel cümlesi

X = {−1, 1, 2, 3, 4, 5}

olarak verilsin. u = [u−_{(x), u}+_{(x)], v = [v}−_{(x), v}+_{(x)]iki interval de§erli fuzzy cümle}

olsun. Burada u−_{, u}+_{, v}−_,v+ _{a³a§daki ³ekildedir;}

u−₌ ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ , u+₌ ½ (−1, 1 2), (1, 7 10), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ , v− = ½ (−1,1 3), (1, 1), (2, 0), (3, 1), (4, 0), (5, 0) ¾ , v+₌ ½ (−1, 0), (1, 0), (2,1 2), (3, 1 3), (4, 0), (5, 0) ¾ , min{u−_{, v}−_{} =} ½ (−1, 0), (1,1 2), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ , min{u+_{, v}+_{} =} ½ (−1, 0), (1, 0), (2,1 2), (3, 0), (4, 0), (5, 0) ¾ , max{u−, v−} = ½ (−1,1 3), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 0), (5, 0) ¾ , max{u+_{, v}+_{} =} ½ (−1,1 2), (1, 7 10), (2, 1), (3, 1 3), (4, 0), (5, 0) ¾ ,

olmak üzere u = [u−_{(x), u}+_{(x)]ile v = [v}−_{(x), v}+_{(x)]interval de§erli fuzzy}

cüm-lelerinin, u ∩ v, kesi³imi,

u ∩ v = [min(u−, v−), min(u+, v+)]

u ∪ v birle³imi,

u ∪ v = [max(u−_{, v}−_{), max(u}+_{, v}+_)]

Fuzzy cümlelerde oldu§u gibi interval de§erli fuzzy cümlelerin kesim cümleleri a³a§-daki gibi tanmlanr.

Tanm 2.2. u bir interval de§erli fuzzy cümle ve [α, β] ∈ [I] olsun.

[α,β]_{u = {x ∈ X : α ≤ u}−_{(x) ve β ≤ u}+_(x)}

e³itli§ine u' nun [α, β]- kesimi denir. Burada

α_u− _{= {x ∈ X : u}−_{(x) ≥ α},} β_u+_{= {x ∈ X : u}+_{(x) ≥ β}}

ile tanml cümleler olup

[α,β]_{u =}α_u−_∩ β_u+

e³itli§i mevcuttur, [19].

Açk olarak α = β ise [α, β]- kesimi fuzzy cümlelerdeki α- kesim tanmna indirgen-mi³ olur.

Tanm 2.3.(nterval De§erli Fuzzy Say)

u : R → [I]

fonksiyonu a³a§daki DFS1, DFS2, DFS3 ve DFS4 ³artlarn sa§lyorsa u'ya interval de§erli fuzzy say denir, [12].

DFS1. u fonksiyonu normaldir. Yani en az bir x0 ∈ R vardr öyleki u(x0) =

[u−_(x

0), u+(x0)] = [1, 1]dir.

DFS2. u fonksiyonu fuzzy konvekstir. Yani ∀x, y ∈ R ve µ ∈ [0, 1] için

u [µx + (1 − µ)y] ≥ min{u(x), u(y)} dir. DFS3. u− _{ve u}+ _{üstten yar süreklidir.}

DFS4. {x ∈ R : u−_{(x) > 0, u}+_{(x) > 0} cümlesinin kapan³ kompakttr.}

Çal³mamz boyunca bütün interval de§erli fuzzy saylarnn cümlesini E2 _ile

göstere-ce§iz. Her bir u ∈ E2 _{için u(x) = [u}−_{(x), u}+_{(x)] , u}−_{(x) ≤ u}+_{(x) ve x ∈ R dir. O}

halde

u−_{(x) : R → I ve u}+_{(x) : R → I, (2.1)}

“imdi interval de§erli fuzzy sayya bir örnek verelim. Örnek 2.2. u =               x − 2, x ∈ [2, 3] 4 − x, x ∈ (3, 4] 0, di§er durumlarda ,          x−1 2 , x ∈ [1, 3] 5−x 2 , x ∈ [3, 5] 0, di§er durumlarda     .

nterval de§erli fuzzy say tanm göz önüne alnd§nda, "u ∈ E2 _{⇔ u}− _{∈ E}1_{, u}+ _∈

E1 _{ise" önermesi geçerlidir, [26].}

Tanm 2.4. E2 _{üzerindeki ksmi sralama ba§nts a³a§daki ³ekilde tanmlanr:}

u ≤ v ⇔ [u−_{, u}+_{] ≤ [v}−_{, v}+_{] ⇔ u}− _{≤ v}− _{ve u}+ _{≤ v}+_.

Tanm 2.5. (Dejenere nterval De§erli Fuzzy Say): u = [u−_{, u}+_{] ∈ E}2 _{olsun. E§er}

u− _{= u}+ _{ise o zaman u'ya dejenere interval de§erli fuzzy say denir.}

Teorem 2.1. Bütün fuzzy saylarn cümlesi E1_{, interval de§erli fuzzy saylarnn}

cümlesi, E2_{'nin içine gömülebilir, [21].}

Tanm 2.6. u bir interval de§erli fuzzy say olsun.

(1) E§er her bir x ≤ 0 için u+_{(x) = 0 ise u ya pozitif interval de§erli fuzzy say}

denir.

(2) E§er her bir x ≥ 0 için u+_{(x) = 0 ise u ya negatif interval de§erli fuzzy say}

denir, [19].

u, v ∈ E2 _{olmak üzere iki interval de§erli fuzzy say arasndaki uzaklk;}

D(u, v) = max ( sup α∈[0,1] d(αu−,αv−), sup α∈[0,1] d(αu+,αv+) ) (2.2) ile verilir, [12].

Lemma 2.1. Bütün interval de§erli fuzzy saylarn cümlesi E2_{, (2.2) de verilen}

metrikle beraber bir metrik uzaydr, [12].

2.1.nterval De§erli Fuzzy Say Cümleleri Üzerindeki Cebirsel ³lemler

u, v ∈ E2 _{ve λ ∈ R olmak üzere iki interval de§erli fuzzy saynn toplam,}

u + v = [u−(x), u+(x)] + [v−(x), v+(x)] = [(αu−+αv−), (αu++αv+)], çarpm,

u.v = [α_u−_,α_u+_][α_v−_,α_v+_{] = [min{}α_u−α_v−_,α_u−α_v+_,α_u+α_v−_,α_u+α_v+_},

max{αu−αv−,αu−αv+,αu+αv−,αu+αv+}],

skalerle çarpm,

(1) λ ≥ 0 için u = [u−_{(x), u}+_{(x)] ⇒ λ.u = [λu}−_{(x), λu}+_(x)]

(2) λ < 0 için u = [u−_{(x), u}+_{(x)] ⇒ λ.u = [λu}+_{(x), λu}−_(x)]

olarak tanmlanr.

“imdi iki interval de§erli fuzzy saynn toplamna bir örnek verelim.

Örnek 2.3. u = [u−_{(x), u}+_{(x)], v = [v}−_{(x), v}+_{(x)] ∈ E}2 _{sras ile a³a§daki gibi}

olsun: u = u(x) =               x − 2 , x ∈ [2, 3] ise, 4 − x , x ∈ (3, 4] ise, 0 , di§er durumlarda.          x−1 2 , x ∈ [1, 3] ise, 5−x 2 , x ∈ (3, 5] ise, 0 , di§er durumlarda.     , (2.3) v = v(x) =               x − 6 , x ∈ [6, 7] ise, 8 − x , x ∈ (7, 8] ise, 0 , di§er durumlarda. ,          x−5 2 , x ∈ [5, 7] ise, 9−x 2 , x ∈ (7, 9] ise, 0 , di§er durumlarda.     . (2.4) O halde α_{(u + v) := [}α_u−₊α_v−_,α_u+₊α_v+_] = [[4α + 6, 14 − 4α], [8 + 2α, 12 − 2α]]

olur. u ve v interval de§erli fuzzy saylarnn u + v toplamna kar³lk gelen üyelik fonksiyonu a³a§daki gibidir:

(u + v)(x) =               x−6 4 , x ∈ [6, 10] ise, 14−x 4 , x ∈ (10, 14] ise, 0 , di§er durumlarda. ,          x−8 2 , x ∈ [8, 10] ise, 12−x 2 , x ∈ (10, 12] ise, 0 , di§er durumlarda.      (2.5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 u v u+v

2.2. nterval De§erli Fuzzy Saylarn Dizileri

Bu bölümde interval de§erli fuzzy saylarnn dizileri tanmlanacak ve arkasndan interval de§erli fuzzy saylarnn baz özel dizi uzaylar tantlacaktr.

Tanm 2.7.

w(E2_{) = {(u}

k) = ([u−k, u+k]) : u : N → E2, k → u(k) = [u−k, u+k] ve u−k, u+k ∈ E1}

cümlesine interval de§erli fuzzy saylarn dizilerinin cümlesi denir, [21].

Tanm 2.8. u = (uk) ∈ w(E2) olsun. u'ya snrldr denir ⇔ em, fM ∈ E2 3 ∀k ∈ N

için em ≤ uk ≤ fM ise, [21].

Tanm 2.9. u = (uk) interval de§erli fuzzy say dizisi, u0 ∈ E2' ye yaknsaktr

⇔ ∀² > 0için m pozitif tamsays vardr öyleki ∀k ≥ m için eD(uk, u0) < ²ise. E§er

bu limit mevcutsa ksaca, lim

k uk = u0, ³eklinde gösterilir.

Ba³ka bir ifade ile e§er ∀² > 0 için k ≥ m olacak ³ekilde m ∈ N mevcut öyleki e

D(uk, u0) = sup

k∈N

max©d(u¯ −_k, v_k−), ¯d(u+_k, v_k+)ª < ² (2.6)

Tanm 2.10. nterval de§erli fuzzy saylarnn u dizisine Cauchy dizisi denir ⇔

∀² > 0 _{ve i, j > k olacak ³ekilde i, j pozitif tamsaylar için e}D(ui, uj) < ²ise, [21].

2.3. nterval De§erli Fuzzy Saylarn Dizi Uzaylar

nterval de§erli fuzzy saylarnn, yaknsak, sfra yaknsak ve snrl dizilerinin uzay-lar, srasyla c(E2_{), c}

0(E2) ve `∞(E2) ile temsil edilen; a³a§daki biçimde tanml

cümlelerdir:

c(E2) = {u ∈ w(E2) : lim

k max{d(u − k, u−0), d(u+k, u+0)} = 0}, (2.7) c0(E2) = {u ∈ w(E2) : lim k max{d(u − k, θ−), d(u+k, θ+)} = 0}, (2.8) `∞(E2) = {u ∈ w(E2) : sup k max{d(u− k, θ−), d(u+k, θ+) < ∞} (2.9)

ile tanml cümlelerdir, burada θ = [θ−_{, θ}+_{]dir, [21].}

Teorem 2.2. c0(E2) ⊂ c(E2) ⊂ `∞(E2) kapsamalar mevcuttur, [21].

Teorem 2.3. Sfra yaknsak fuzzy saylarn cümlesi c0(E1), yaknsak fuzzy saylarn

cümlesi c(E1_{) ve snrl fuzzy saylarn cümlesi `}

∞(E1) srasyla c0(E2), c(E2) ve

`∞(E2) cümleleri içine gömülebilir, [21].

spat: c0(E1)(veya c(E1), `∞(E1)) dizi uzaylarnn bütün elemanlar Tanm 1.23

ve Önerme 2 de görülebilece§i gibi interval de§erli fuzzy saylarnn dejenere dizi uzaylar olaca§ndan ispat açktr.

Teorem 2.4. Her (uk), (vk) ∈ w(E2) için e§er (uk) → u0, (k → ∞) ve (vk) →

v0, (k → ∞) ise a³a§daki özellikler mevcuttur, [21]:

(1) uk+ vk → u0+ v0, k → ∞ ,

(2) uk− vk→ u0− v0, k → ∞,

(3) ukvk→ u0v0, k → ∞.

Teorem 2.5. u, v, w ∈ c(E2_{), (veya c}

0(E2), `∞(E2)) ve ρ ∈ R için a³a§dakiler

mevcuttur, [21]:

D(ρu, ρv) = |ρ|D(u, v),

D(u + v, w + z) ≤ D(u, w) + D(v, z) ve D(uv, θ) = D(u, θ)D(v, θ)_.

spat: (1), (2), (3) ve (4)'ün ispat birbirine benzedi§inden biz sadece (3) numaral durumu ispatlayaca§z.

D(u + v, w + z) = sup

k

max{ ¯d(u−_k + v_k−, w−_k + z_k−), ¯d(u+_k + v+_k, w_k++ z_k+)}

≤ sup k max{( ¯d(u− k, w−k), ¯d(u+k, wk+)) + ( ¯d(vk−+ zk−), ¯d(v+k + zk+))} ≤ sup k max{( ¯d(u− k, w−k), ¯d(u+k, wk+))} + sup k max{( ¯d(v− k + zk−), ¯d(v+k + zk+))} = D(u, w) + D(v, z).

BÖLÜM 3

ZWEIER YAKINSAK NTERVAL DE‡ERL FUZZY

SAYILARININ DZ UZAYLARI

Bu bölümde her terimi pozitif olan sonsuz bir matrisin etki alanndan faydalanarak yeni interval de§erli fuzzy say dizi cümleleri in³a edece§iz.

3.1. Bir Matrisin Etki Alan

λ(E2_{)ve µ(E}2_{)interval de§erli fuzzy saylarn iki dizi uzay ve A = (a}

nk)da ank reel

saylarn sonsuz matrisi olsun, (n, k ∈ N). E§er her bir u = (uk) ∈ λ(E2) için u'nun

A altndaki resmi, Au = {(Au)n} ∈ µ(E2) ise A' ya λ(E2) den µ(E2) ye bir matris

dönü³ümü denir.

nterval de§erli fuzzy saylarn λ(E2_{) dizi uzay verilsin.}

λA(E2) =

©

u = (uk) ∈ w(E2) : Au ∈ λ(E2)

ª

(3.1)

ile tanml λA(E2) cümlesi, A matrisinin etki alan olarak adlandrlr. p 6= 1 olmak

üzere Zp_; Zp _{= (z} nk) =          p, n = k ise, 1 − p, n − 1 = k; ise, (i, k ∈ N) 0, di§er durumlarda. (3.2)

³eklinde tanmlanan sonsuz matrise Zweier matrisi denir. E§er A = Z olarak alnrsa (3.1) ile tanml cümle genel Zweier matrisinin etki alan olarak adlandrlr.

Genel Zweier yaknsak interval de§erli fuzzy saylarn yaknsak, sfra yaknsak ve snrl dizi cümleleri srasyla,

c(E2_{, Z}p_{) = {u = (u}

c0(E2, Zp) = {u = (uk) ∈ w(E2) : (Zpu) ∈ c0(E2)} ve (3.4)

`∞(E2, Zp) = {u = (uk) ∈ w(E2) : (Zpu) ∈ `∞(E2)} (3.5)

ile tanmlanr. Çal³mamzn bundan sonraki ksmnda p = 1

2 alnacaktr. u = (ui)dizisinin Z 1 2- dönü³ümü v = (v_i)olsun, yani vi = 1 2ui+ 1 2ui−1= 1 2(ui+ ui−1) olacaktr. (3.6) Teorem 3.1. c(E2_{, Z}1

2), c₀(E2, Z12) ve `_∞(E2, Z12) uzaylar srasyla c(E2), c₀(E2)

ve `∞(E2) quasilineer uzaylarna lineer olarak izomorktir. Yani;

c(E2, Z12) ∼= c(E2), c₀(E2, Z 1 2) ∼= c₀(E2), `<sub>∞</sub>(E2, Z 1 2) ∼= `_∞(E2) dir.

spat: Bunun için ilk olarak `∞(E2, Z

1

2) ve `_∞(E2)uzaylar arasnda lineer, birebir,

örten bir dönü³ümün varl§n göstermeliyiz. Bu dönü³ümü T ile gösterelim, yani;

T : `∞(E2, Z 1 2) → `_∞(E2), T u = z, z = (z_i), i ∈ N, zi = 1 2(ui+ ui−1) = 1 2([u − i , u+i ] + [u−i−1, u+i−1]) = 1 2[u − i + u−i−1, u+i + u+i−1] olsun. Öncelikle u, v ∈ `∞(E2, Z 1 2) olmak üzere; (1) T (u + v) = T u + T v ve (2) T (αu) = αT u,

³artlarnn sa§land§n göstermeliyiz. (1) T (u + v) = 1

2[(ui+ vi) + (ui−1+ vi−1)] = 1

2{[u

−

i + vi−, u+i + vi+] + [u−i−1+ vi−1− , u+i−1+ v+i−1]}

= 1 2{[u

−

i + u−i−1, u+i + u+i−1] + [vi−+ v−i−1, vi++ v+i−1]}

= 1

2(ui+ ui−1) + 1

2(vi+ vi−1) = T u + T v. (2)E§er α ∈ R ise

T (α[u−_i , u+_i ]) = T ([αu−_i , αu+_i ]) = 1 2([αu

−

i , αu+i ] + [αu−i−1, αu+i−1])

(1) ve (2) den T dönü³ümü lineerdir. “imdi T : `∞(E2, Z

1

2) → `_∞(E2), T u = v dönü³ümünün birebirli§ini ara³tralm.

T (ui) = T (vi) ⇒ ui = vi midir? T (ui) = 1₂ui + 1₂ui−1, T (vi) = 1₂vi + 1₂vi−1 dir.

T (ui) = T (vi) ise 1₂ui+1₂ui−1 = 1₂vi+1₂vi−1 e³itli§i i = 0 için 1₂u0 = 1₂v0 ⇒ u0 = v0,

i = 1 için 1

2u1+ 12u0 = 12v1 + 12v0 ⇒ u1 = v1 dir. i = r için do§ru oldu§unu kabul

edelim. Yani ur = vr olsun. Buradan 1₂ur+1 + 1₂ur = 1₂vr+1 + 1₂vr ⇒ ur+1 = vr+1

oldu§undan matematik indiksiyon prensibi gere§ince ∀i için ui = vi olur. O halde

T birebirdir. Son olarak T'nin örten olup olmad§n inceleyelim. v ∈ `∞(E2) için

ui = 2 i

X

j=0

(−1)i−j_v

j, i ∈ Ndizisini göz önüne alalm.

lim i→∞ 1 2(ui+ ui−1) = 1 2i→∞lim 2 i X j=0 (−1)i−j_v j + 1 2i→∞lim 2 i−1 X j=0 (−1)i−1−j_v j = lim i→∞vi ⇒ u ∈ `∞(E 2<sub>, Z</sub>1<sub>2) dir. Yani `</sub> ∞(E2, Z 1 2) ∼= `_∞(E2) dir.

Benzer olarak c(E2_{, Z}1

2) ∼= c(E2), c₀(E2, Z12) ∼= c₀(E2) oldu§u görülür.

Teorem 3.2. (un) fuzzy saylarn bir dizisi olsun. E§er n → ∞ için ¯d(un, u0) → 0

ise o zaman n → ∞ için ¯d(pun+ (1 − p)un−1, u0) → 0 dr. Yani Z

1

2, Zweier matrisi

regülerdir,1_[21].

spat: Fuzzy saylarn undizisi u0fuzzy saysna yaknsak olsun. O zaman ∀² > 0 için

bir n0 pozitif tamsays vardr öyleki ∀n ≥ n0 için ¯d(un, u0) < _2M² olur. ¯d(Z

1

2u, u₀) =

¯

d(pun+(1−p)un−1, u0) ≤ p ¯d(un, u0)+(1−p) ¯d(un−1, u0)yazlabilir. M = max{p, (1−

p)} olarak seçilirse ¯d(Z12u, u₀) < ² olur. Yani lim

n (pun + (1 − p)un−1) = u0 e³itli§i

sa§lanr. 3.2. Kapsama Ba§ntlar Teorem 3.3. c0(E2, Z 1 2) ⊂ c(E2, Z 1 2) ⊂ `_∞(E2, Z 1 2) kapsamalar geçerlidir. spat: c0(E2, Z 1

2) ⊂ c(E2, Z12) oldu§u açktr. c(E2, Z12) ⊂ `_∞(E2, Z12) oldu§unu

gösterelim: