T.C
FIRAT ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
EKONOMİK ALANLARDA DİFERANSİYEL
GEOMETRİNİN UYGULAMALARI
Doktora Tezi
Muhittin Evren AYDIN
Anabilim Dalı : Matematik
Programı : Geometri
Danışman : Prof. Dr. Mahmut ERGÜT
II
ÖNSÖZ
Bu çal••man•n planlanmas• ve yürütülmesi sürecinde benden destek ve ilgilerini esirgemeyen, lisansüstü e#itimim boyunca, bilgi ve ho•görülerinden yararland•#•m say•n hocam Prof. Dr. Mahmut ERGÜT’e •ükranlar•m• sunmay• bir borç bilirim.
Yurt d••• doktora ara•t•rma burs deste#inden dolay• Yüksek Ö#retim Kurumu (YÖK)’ e te•ekkürlerimi sunar•m.
YÖK doktora ara•t•rma bursu ile Technical University of Civil Engineering Bucharest’ de bulundu#um süre içerisinde, faydal• tavsiyeleri için say•n Adela MIHAI’ ye te•ekkür ederim.
Yurt d•••nda bulundu#um zaman diliminde ve öncesinde, bilgisini ve tecrübesini benimle cömertçe payla•an say•n hocam Prof. Dr. Bayram "AH#N’ e ayr•ca doktora e!itimim boyunca mesaisini, bilgi ve tavsiyelerini payla•mak için hiç dü•ünmeden harcayan say•n hocam Prof. Dr. Mehmet BEKTA"’ a te•ekkürlerimi sunar•m.
Ö!rencilik hayat•m•n ba••ndan beri, insanüstü çabas• ve deste!i için çok k•ymetli babac•!•m Memet Zeki AYDIN’ a; hayat•m boyunca ya•am•• oldu!um her zorlukta en az benim kadar stres ya•ayan, geceleri uykular kaç•ran s•navlar öncesinde ben uyumadan uyumayan, ömrünü sadece evlatlar• için harcayan çok k•ymetli anneci!im Sevgi AYDIN’a sonsuz te•ekkür ve minnettarl•!•m• sunar•m.
Muhittin Evren AYDIN ELAZI%–2014
III •Ç•NDEK•LER Sayfa No ÖNSÖZ ... II •Ç•NDEK•LER ... III ÖZET ... V SUMMARY ... VI •EK•LLER L•STES• ... VII TABLOLAR L•STES• ... VIII SEMBOLLER L•STES• ... IX
1. G•R••... 1
1.1.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 13
2. ÜRET•M TEOR•S• VE ÜRET•M FONKS•YONLARI ... 26
2.1.ÜRET#MFONKS#YONLARININÖZELL#KLER# ... 26
3. QUASI-TOPLAM ÜRET•M MODELLER• VE GEOMETR•K ÖZELL•KLER• 35 3.1.QUASI-TOPLAMÜRET#MFONKS#YONLARI#Ç#NGEOMETR#KSONUÇLAR ... 35
3.2.SAB#T#KAMEESNEKL#KÖZELL#$#N#SA$LAYAN QUASI-TOPLAMÜRET#M FONKS#YONLARI ... 37
3.3.ALLENDETERM#NANTLIQUASI-TOPLAMÜRET#MFONKS#YONLARI ... 40
4. HOMOTET•K FONKS•YONLARIN ALLEN DETERM•NANTLARI ... 46
4.1.CESÖZELL#$#VEHOMOJENMONGE-AMPÈREDENKLEM#N#SA$LAYAN HOMOTET#KFONKS#YONLAR ... 46
4.2.ALLENDETERM#NANTLARI#LEHOMOTET#KFONKS#YONLARIN SINIFLANDIRILMASI ... 50
4.3. ALLEN DETERM#NANTLIHOMOTET#KFONKS#YONLARINÜRET#M MODELLER#NEUYGULAMALARIVED#FERENS#YELGEOMETR#KSONUÇLAR ... 55
5. B•LE•KE FONKS•YONLAR •Ç•N ALLEN DETERM•NANT FORMÜLÜ VE UYGULAMALARI ... 68
IV
5.2. B#LE"KEFONKS#YONLARINALLENDETERM#NANTFORMÜLÜ#LE
SINIFLANDIRILMASI ... 71
5.3.ALLENDETERM#NANTLIB#LE"KEFONKS#YONLARINÜRET#MMODELLER#NE UYGULAMALARIVEBAZIGEOMETR#KSONUÇLAR ... 80
5.4.GENELLE"T#R#LM#"B#LE"KEFONKS#YONLAR ... 83
6. SONUÇ ... 86
KAYNAKLAR ... 87
V
ÖZET
Bu çal••ma alt• bölüm halinde düzenlenmi•tir.
Birinci bölümde; üretim fonksiyonlar•n•n tarihçesi ve bu fonksiyonlar•n geometrik özellikleri üzerine yap•lan çal••malar özet halinde ifade edilmi•tir. Tezde kullan•lacak olan çe•itli temel tan•m ve teoremler verilmi•tir.
#kinci bölümde; üretim teorisi ve üretim fonksiyonlar•n•n özellikleri incelenmi•tir. Üçüncü bölümde; quasi-toplam üretim fonksiyonlar• tan•t•lm••, sabit ikame esnekli!ini sa!layan quasi-toplam üretim fonksiyonlar• için bulunan sonuçlar ifade edilmi•tir.
Dördüncü ve be•inci bölümler tezin orijinal k•s•mlar•n• olu•turmaktad•r.
Dördüncü bölümde; homotetik üretim fonksiyonlar•, Allen determinantlar• kullan•larak s•n•fland•r•lm••t•r. Bu s•n•fland•rmalar•n üretim modellerine uygulamalar• verilerek, Cobb-Douglas ve ACMS üretim fonksiyonlar•n•n Allen matrislerinin singüler olamayaca!• ispatlanm••t•r. Üstelik homotetik üretim fonksiyonlar•na kar••l•k gelen üretim hiperyüzeylerine dair baz• sonuçlar elde edilmi•tir.
Be•inci bölümde; ݂ሺ࢞ሻ ൌ ܨ൫݄ଵሺݔଵሻ ൈ ǥ ൈ ݄ሺݔሻ൯ •eklindeki bile•ke fonksiyonlar için bir Allen determinant formülü verilmi• ve bu tür bile•ke fonksiyonlar•n tümü s•n•fland•r•lm••t•r. Bile•ke fonksiyonlar•n grafiklerine dair çe•itli geometrik sonuçlar elde edilmi•tir. Ayr•ca genelle•tirilmi• bile•ke fonksiyonlar• tan•mlanm•• ve bu tür fonksiyonlar için bir s•n•fland•rma teoremi elde edilmi•tir.
Alt•nc• bölümde ise elde edilen sonuçlar de!erlendirilmi• ve bu konuda ön görülen baz• aç•k problemler ortaya konulmu•tur.
Anahtar Kelimeler: Üretim fonksiyonu, Quasi-toplam üretim fonksiyonu, Homotetik
üretim fonksiyonu, Bile•ke fonksiyon, Homojen üretim fonksiyonu, Ölçe!e göre getiri, Mükemmel ikame, Hicks sabit ikame esnekli!i, Allen ikame esnekli!i, Allen matrisi, Allen determinant•, Gauss eliminasyon metodu, Üretim hiperyüzeyi, Öteleme hiperyüzeyi, Homotetiksel hiperyüzey, Gauss-Kronocker e!rili!i, Ortalama e!rilik, Minimal uzay, Riemann e!rilik tensörü, Kesitsel e!rilik, Ricci tensörü, Flat uzay, Ricci-Flat uzay.
VI
SUMMARY
Applications of Differential Geometry in Economic Fields
This study is constructed in six chapters.
In chapter one, it is expressed a historical analysis of production functions and works found on geometric properties of the production functions. Some fundamental definitions and theorems used in thesis are also given.
In chapter two, theory of production and the properties of production functions are investigated.
In chapter three, it is stated quasi-sum production functions. Besides, the results obtained for quasi-sum production functions satisfying the property CES are reconsidered.
Chapter four and chapter five form the original part of thesis.
In chapter four, the homothetic production functions are classified by using Allen determinants. It is proved that the Allen’s matrices of Cobb-Douglas and ACMS production functions are always regular. Morever, several results are derived regarding the graphs of homothetic production functions.
In chapter five, an Allen Determinant formula is obtained for the composite functions of the form ݂ሺ࢞ሻ ൌ ܨ൫݄ଵሺݔଵሻ ൈ ǥ ൈ ݄ሺݔሻ൯ and the composite functions completely are classified according to the formula. Some geometric results are also derived about graphs of composite functions. Besides, the notion of generalized composite function is introduced and a classification theorem is given for these kind functions.
In chapter six, obtained results are evaluated and open problems proposed in this subject are presented.
Key Words: Production function, Quasi-sum production function, Homothetic production
function, Composite function, Homogeneous production function, Return to scale, Perfect substitution, Hicks elasticity of substitution, Allen elasticity of substitution, Allen’s matrix, Allen determinant, Gauss elimination method, Production hypersurface, Translation hypersurface, Homotetical hypersurface, Gauss-Kronocker curvature, Mean curvature, Minimal space, Riemannian curvature tensor, Sectional curvature, Ricci tensor, Flat space, Ricci-Flat space.
VII
•EK•LLER L•STES•
Sayfa No •ekil 2.1.1. E•-ürün e!risi………...………30
VIII
TABLOLAR L•STES•
Sayfa No Tablo 2.1.1. Ç•kt•, ortalama ve marjinal verimlilikler………28
IX
SEMBOLLER•L•STES•
•
ܻ : Total üretim
ܮ : !• gücü girdisi
ܭ : Sermaye girdisi
Թା : Pozitif reel say•lar•n s•ral• n-liler cümlesi Թା : Pozitif reel say•lar cümlesi
ܪ : ݅ െyinci üretim girdisinin ݆ െyinci üretim girdisine göre Hicks ikame
esnekli•i
ܣ : ݅ െyinci üretim girdisinin ݆ െyinci üretim girdisine göre Allen ikame
esnekli•i
ܯሺ݂ሻ : ݂ üretim fonksiyonunun Allen matrisi
ߝ௦ : Faktörler aras• ikame esneklik katsay•s•
ܯܴܵ :݅ െyinci üretim girdisinin ݆ െyinci üretim girdisine göre Marjinal teknik
ikame oran•
ܪሺ݂ሻ :݂ üretim fonksiyonunun Hessiyan matrisi
ܬ : ݂ fonksiyonunun Jakobiyen matrisi
ॱାଵ : ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay•
ॺ : ॱାଵ Öklid uzay•n•n birim hiperküresi
ߥ : Gauss dönü•ümü
ܵ : %ekil operatörü
݃ : !ndirgenmi• metrik tensör
ܩ : Gauss-Kronocker e•rili•i
: Levi-Civita konneksiyonu
ሾǡ ሿ : Lie parantez operatörü
ܴ : Riemann e•rilik tensörü
ܸ݀ : Hacim elementi
ߪ : !kinci temel form
: Ortalama e•rilik
ܭ : డ
డ௫ ve
డ
డ௫ೕ vektörleri taraf•ndan gerilen düzlemin kesitsel e•rili•i
1. G•R••
Ekonomik alanlarda üretim fonksiyonlar•, bir i•letmenin kulland••• girdilerle yaratt••• ç•kt• aras•ndaki fiziki ili•kileri gösteren matematiksel ifadelerdir. Bu tür fonksiyonlar, i•letmenin çe•itli üretim teknikleri içinde en etkin’ inin seçilmi• oldu•u varsay•m•na dayan•r. Bir ba•ka de•i•le, üretim teknolojisi veridir. Buna göre üretimin art•r•labilmesi, üretim faktörlerinden en az birinin art•r•lmas• ile mümkündür, (Bulmu•, 2008).
Üretim fonksiyonu kavram•, ilk olarak aç•k bir •ekilde, Philip Wicksteed (1894) taraf•ndan cebirsel olarak formülize edilmi•tir. Ancak 1840 l• y•llarda, Johann Von Thünen’ in üretim fonksiyonlar•n• formülle•tiren ilk ekonomist oldu•una dair baz• deliller de vard•r, (Mishra, 2010).
Üretim fonksiyonlar• aras•nda en ünlü olan•, 1928 de Cobb ve Douglas taraf•ndan ortaya konulan,
ܻ ൌ ܾܮܭଵି
Cobb-Douglas üretim fonksiyonudur. Burada ܮ i• gücü girdisi, ܭ sermaye girdisi, ܾ total
verimlilik katsay•s• ve ܻ ise total üretimdir, (Cobb ve Douglas, 1928). 1928 de ba•layan bu ara•t•rmalar, Douglas’ •n sonraki çal••malar• (Douglas, 1976) ve ba•ka yazarlar•n konuyla ilgili çe•itli yaz•lar•yla, mikroiktisat perspektifi içinde önemli yer kazanm••t•r.
Cobb-Douglas üretim fonksiyonu üzerindeki baz• k•s•tlamalar, birçok iktisatç•y• daha genel özellikler ta••yan üretim fonksiyonu türleri aramaya yöneltmi•tir. Bu nedenle 1961 y•l•nda, Arrow, Chenery, Minhas ve Solow iki-girdili
ܻ ൌ ܨሺܽܭ ሺͳ െ ܽሻܮሻଵ
CES üretim fonksiyonunu tan•mlam••lard•r. Burada ܻ ç•kt•, ܨ faktör verimlili•i, ܽ pay
parametresi, ܭǡ ܮ temel üretim faktörleri (sermaye ve i• gücü), ݎ ൌ ͳ െଵ
௦ olmak üzere ݏ ൌଵିଵ ikame esnekli•idir, (Arrow, Chenery, Minhas ve Solow, 1961).
2
Ekonomik analiz perspektifi içinde, Leontief, Lu-Fletcher, Liu-Hildebrand, Kadiyala ve VES gibi üretim fonksiyonlar•n•n önemli özellikleri Mishra taraf•ndan verilmi•tir, (Mishra, 2010).
Kabul edelim ki Թା ൌ ሼሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻǣ ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔ Ͳሽǡ Թାൌ ሼݎ א Թǣ ݎ Ͳሽ olsun. Buna göre bir üretim fonksiyonu,
ܳǣ Թା ื Թାǡ ܳ ൌ ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ
ile tan•mlanan ܥஶ s•n•f•ndan bir dönü•ümdür. Burada ܳ ç•kt• miktar•, ݊ girdi say•s• ve ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔ kullan•lan girdilerdir (i•gücü, sermaye, arazi, ham madde vb.), (Vilcu, 2011).
Her ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ üretim fonksiyonu; ॱାଵ, ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay•n•n ݂ ൌ ൫ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔǡ ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ൯
ile verilen, bir non-parametrik hiperyüzeyi ile tan•mlanabilir ve bu hiperyüzeye bir üretim hiperyüzeyi denir, (Chen, 2011).
Bir ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ üretim fonksiyonu için, e•er
ܳሺݐݔଵǡ ݐݔଶǡ ǥ ǡ ݐݔሻ ൌ ݐܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ
•art• sa•lan•yorsa, ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ fonksiyonuna ݄-homojen ya da ݄Ǥ •nc• dereceden
homojendir denir. Burada ݐ pozitif ve ݄ herhangi bir sabittir. E•er ݄ ͳ ise üretim
fonksiyonu, ölçe!e göre artan getiri ve e•er ݄ ൏ ͳ ise ölçe!e göre azalan getiri özelli•i gösterir. E•er üretim fonksiyonunun homojenlik derecesi 1 ise, ölçe!e göre sabit getiri özelli•ine sahiptir denir, (Chen, 2011).
Üretim fonksiyonlar•n• genelle•tiren ve uzayda diferensiyel geometri bak•• aç•s• ile inceleyen ilk çal••malar, 2005 y•l•nda Zakhirov ve daha sonra 2007 y•l•nda, Ioan taraf•ndan verilmi•tir, (Zakhirov, 2005 ve Ioan, 2007). Bu tarihlerden önce üretim fonksiyonlar• üzerine yap•lan tüm çal••malar düzleme izdü•ürme metodunu kulland•klar•ndan, sonuçlar istenilen ölçütte olmam••t•r ama diferensiyel geometriye ait metodlar•n kullan•lmas• daha faydal• olmu•tur.
3
Zakhirov, iki girdili ve sabit ölçek getirisine sahip Cobb-Douglas ve CES üretim fonksiyonlar•na kar••l•k gelen üretim yüzeylerinin parabolik tipten oldu•unu ifade etmi•tir, (Zakhirov, 2005).
Ioan; Cobb-Douglas, CES ve Sato üretim fonksiyonlar•n• tek bir formatta ifade etmi• ve bu formata kar••l•k gelen üretim yüzeylerinin temel elemanlar•n• hesaplam••t•r. Ayr•ca, sabit ölçekli Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun Gauss e•rili•inin s•f•r oldu•unu ifade etmi•tir, (Ioan, 2007).
Zakhirov’ un 2-girdili üretim fonksiyonlar• için verdi•i sonuç, Vilcu taraf•ndan ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ܾݔଵఈభǥ ݔఈ ile verilen ݊ െgirdili Cobb-Douglas üretim fonksiyonlar•na a•a••daki gibi genelle•tirilmi•tir:
(a) Genelle"tirilmi" Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun sabit ölçek getiri özelli!ine sahip olmas• için gerek ve yeter "art kar"•l•k gelen Cobb-Douglas üretim hiperyüzeyi aç•labilirdir.
(b) Genelle"tirilmi" Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun ölçe!e göre artan getiri (ölçe!e göre azalan getiri) özelli!ine sahip olmas• için gerek ve yeter "art kar"•l•k gelen Cobb– Douglas üretim hiperyüzeyi negatif (pozitif) Gauss-Kronocker e!riliklidir, (Vilcu, 2011).
1907 y•l•nda, Georghe Tzitzeica, 3-boyutlu Öklidyen uzayda bir oransal özelli•e sahip olan yüzeyleri s•n•fland•rm••t•r. Bu tür yüzeylere, günümüzde Tzitzeica yüzeyleri denilmektedir. Bu oransal özellik; bir ܲ noktas•nda yüzeyin Gauss e•rili•inin, bu ܲ noktas•nda ki te•et düzlemin sabit bir noktaya olan uzakl•••n•n dördüncü kuvvetine oran• olarak ifade edilmi•tir. Yüzeylerin bu s•n•f• hem matematikte hemde fizikte oldukça önemli özelliklere sahiptir. Tzitzeica yüzeyleri yüksek boyutlara a•a••daki gibi genelle•tirilir: ሺ݊ ͳሻ െboyutlu bir Öklid uzay•nda, bir Tzitzeica hiperyüzeyi
ܩሺݔሻ ݀ାଶሺݔሻ ൌ ݇
e•itli•ini sa•layan bir hiperyüzeydir. Burada ܩሺݔሻ hiperyüzeyinݔ noktas•ndaki Gauss-Kronocker e•rili•i, ݀ሺݔሻ hiperyüzeyin ݔ noktas•ndaki te•et hiperdüzlemi ile orijin aras•ndaki uzakl•k ve ݇ reel bir sabittir. ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay•n•n bilinen en basit Tzitzeica hiperyüzeyi
4
൬ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔǡݔଵݔଶͳǥ ݔ൰
denklemi ile ifade edilir (Constantinescu and Crasmareanu, 2011 ve Vilcu, 2011).
Vilcu, Cobb-Douglas üretim hiperyüzeyleri ve Tzitzeica hiperyüzeyler aras•ndaki ili•kiyi, a•a••daki teorem ile ifade etmi•tir: Genelle"tirilmi" Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun sabit ölçek getirisine sahip olmas• için gerek ve yeter "art kar"•l•k gelen Cobb-Douglas üretim hiperyüzeyi bir Tzitzeica hiperyüzeyidir, (Vilcu, 2011).
Daha sonra A.D. Vilcu ve G.E. Vilcu, Zakhirov’un sonucunu, ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ܾ൫ܽଵఘݔଵఘ ڮ ܽఘݔఘ൯
ഐ ile ifade edilen, genelle•tirilmi• CES (ACMS)
üretim fonksiyonlar• için a•a••daki •ekilde düzenlediler:
(a) Genelle•tirilmi• CES üretim fonksiyonunun sabit ölçek getirisine sahip olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen CES hiperyüzeyi aç!labilirdir.
(b) Genelle•tirilmi• CES üretim fonksiyonunun ölçe"e göre artan getiri (ölçe"e göre azalan getiri) özelli"ine sahip olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen CES üretim hiperyüzeyi negatif (pozitif) Gauss-Kronocker e"riliklidir, (Vilcu ve Vilcu, 2011).
Genelle•tirilmi• Cobb-Douglas ve genelle•tirilmi• ACMS üretim fonksiyonlar• homojen fonksiyonlard•r ve bu nedenle Chen yukar•daki bu tür üretim fonksiyonlar için elde edilen sonuçlar•, a•a••daki gibi genelle•tirmi•tir: Bir ݄-homojen üretim fonksiyonunun ölçe"e göre sabit getiri özelli"ine sahip olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen üretim hiperyüzeyi null Gauss-Kronocker e"riliklidir, (Chen, 2011).
Chen’ in yukar•da verdi•i sonuç do•ruydu fakat yine kendisi taraf•ndan bulunan bir eksikli•i vard•. Bu eksikli•i a•a••daki •ekilde gidererek elde etti•i sonucu kusursuz hale getirdi: Bir ݀-homojen üretim fonksiyonuna ሺ݀ ് Ͳሻ kar•!l!k gelen üretim hiperyüzeyinin null Gauss-Kronocker e"rilikli olmas! için gerek ve yeter •art üretim fonksiyonu ya ölçe"e göre sabit getiri özelli"ine sahiptir, ya da üretim fonksiyonu
݂ሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ቆݔଵ߶ ൬ݔଶݔଵǡ ǥ ǡݔݔଵ൰ቇ ௗ
5
•eklindedir. Burada ߶ሺݑଵǡ ǥ ǡ ݑሻ, ݀݁ݐ൫߶൯ ൌ Ͳ homojen Monge-Ampère denklemini
sa"layan, ሺ݊ െ ͳሻ െgirdili bir fonksiyondur, (Chen, 2012f).
Di•er yandan, ॱାଵ, ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay•n•n bir ܯ hiperyüzeyi verilsin. E•er ܯ,
݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ݂ଵሺݔଵሻ ൈ ǥ ൈ ݂ሺݔሻ
•eklinde tek de•i•kenli fonksiyonlar•n çarp•m•n•n grafi•i olarak elde edilebiliyorsa, ܯ ye bir homotetiksel hiperyüzey ad• verilir, (Saglam ve Sabuncuoglu, 2011). Burada ݂ଵǡ ǥ ǡ ݂ fonksiyonlar•na ݂ nin bile•en fonksiyonlar• denir ve ܯ homotetiksel hiperyüzeyi ሺܯǡ ݂ሻ ile gösterilir. Bu homotetiksel hiperyüzeylerin minimal olanlar• çe•itli uzaylarda çal•••lm••t•r (Van de Woestyne, 1995; Sa•lam ve Sabuncuo•lu, 2008, 2011; Jiu ve Sun, 2007; Geomans ve Van de Woestyne, 2011).
Buna göre genelle•tirilmi• Cobb-Douglas hiperyüzeyi de bir homotetiksel hiperyüzeydir. Böylece null Gauss-Kronocker e•rili•ine sahip tüm homotetiksel hiperyüzeyler a•a••daki teorem ile s•n•fland•r•l•r: ॱାଵ, ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay!nda bir ሺܯǡ ݂ሻ homotetiksel hiperyüzeyi null Gauss-Kronocker e"rili"ine sahip olmas! için gerek ve yeter •art ya
(a) s!f!rdan farkl! ߛǡ ߙଵǡ ߙଶ sabitleri için, ܯhomotetiksel hiperyüzeyi
߮ሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ቌݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔǡ ߛ݁ఈభ௫భାఈమ௫మൈ ෑ ݂൫ݔ൯
ୀଷ
ቍ •eklinde parametrize edilir, ya da
(b) ܯǡ sabit ölçek getirili bir Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun grafi"ine kar•!l!k gelen bir hiperyüzeydir, (Ayd•n ve Ergüt, incelemede(a)).
Dolay•s•yla, Vilcu’ nun Cobb-Douglas hiperyüzeyleri için elde etti•i sonuç, yukar•daki teorem ile tüm homotetiksel hiperyüzeylere genelle•tirilmektedir.
6
ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ܽݔ ୀଵ
formunda yaz•labiliyor ise, yani lineer olarak homojen ise, o zaman mükemmel ikame ad•n• al•r, (Chen, 2011).
!• gücü ve sermaye girdili bir mükemmel ikame, önemli özelliklere sahiptir. Bunlardan ilki, mükemmel ikame üretim fonksiyonu için, hem sermaye hem de i• gücünün marjinal ve fiziki verimlilikleri, yaln•zca i• gücü-sermaye katsay•s•n•n bir fonksiyonu olarak ifade edilebilirler. Bir di•eri ise, mükemmel ikame durumda, e•er her girdi için onun marjinal verimine e• bir oranda ödeme yap•l•rsa, firman•n gelirleri tamamiyle azalacak ve ek bir ekonomik kar olmayacakt•r, (Chen, 2011).
Chen bir ݄-homojen üretim fonksiyonunun mükemmel ikame olmas•na ili•kin a•a••da ki önemli sonuçlar• elde etmi•tir, (Chen, 2011):
(a) En az üç girdili bir ݄-homojen üretim fonksiyonunun bir mükemmel ikame olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen üretim hiperyüzeyi flatt!r.
(b) Üç girdili bir ݄-homojen üretim fonksiyonunun bir mükemmel ikame olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen üretim hiperyüzeyi Ricci-flatt!r.
(c) #ki girdili bir ݄-homojen üretim fonksiyonunun bir mükemmel ikame olmas! için gerek ve yeter •art kar•!l!k gelen üretim yüzeyi minimaldir.
Üretim fonksiyonlar•na kar••l•k gelen hiperyüzeylerinin flat, yani Riemann e•rilik tensörünün özde• olarak s•f•r, olmas•na ili•kin tam bir s•n•fland•rma Chen ve Vilcu taraf•ndan yap•lm••t•r. Bu s•n•fland•rma •öyledir: ݂ iki kez diferensiyellenebilir, sabit
olmayan, ݊-girdili bir ݄-homojen üretim fonksiyonu olsun. Buna göre ݂ nin üretim
hiperyüzeyinin flat olmas! için gerek ve yeter •art ya (a) ݂ lineer olarak homojendir, yani ݄ ൌ ͳ dir, ya da
(b) herhangi ܽଵǡ ǥ ǡ ܽ sabitleri için ݂ ൌ ሺܽଵݔଵ ڮ ܽݔሻǡ ݄ ് ͳ •eklindedir, (Chen ve Vilcu, 2013).
Üretim hiperyüzeylerinin minimalli•ine ili•kin, Mihai ve Sandu •u sonuçlar• elde ettiler:
7
(a) Mükemmel ikame olan bir ݄-homojen üretim fonksiyonuna kar•!l!k gelen üretim hiperyüzeyi minimaldir.
(b) Üretim hiperyüzeyi minimal olan bir ݄-homojen üretim fonksiyonu daima bir mükemmel ikame de"ildir, (Mihai ve Sandu, 2012).
ܨǡ ݄ଵǡ ǥ ǡ ݄ kesin monoton fonksiyonlar ve ܨ Ͳ olsun. Buna göre ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ܨ൫݄ଵሺݔଵሻ ڮ ݄ሺݔሻ൯
•eklinde ifade edilen ݂ üretim fonksiyonuna quasi-toplam üretim fonksiyonu ad• verilir, (Aczél ve Maksa, 1996). E•er ܨǡ ݄ଵǡ ǥ ǡ ݄ fonksiyonlar•ndan en çok biri lineer olmayan fonksiyon ise, quasi-toplam üretim fonksiyonuna quasi-lineer ad• verilir, (Chen, 2012a). Quasi-toplam formunda fonksiyonlar, genel bisimetri denkleminin çözümleri olarak kar••m•za ç•kmaktad•r ve bu tür fonksiyonlar, ekonomide ki, tutarl• agregasyon problemi ile ilgilidir, (Aczél ve Maksa, 1996).
Chen, quasi-toplam üretim fonksiyonlar•na kar••l•k gelen üretim hiperyüzeylerinin diferensiyel geometrisine dair önemli sonuçlar elde etti. Bu sonuçlardan üçüncü bölümde bahsedilecektir, (Chen,2012a).
2-girdili quasi-toplam üretim fonksiyonlar•n•n minimalli•ine dair belli varsay•mlar alt•nda çe•itli sonuçlar Mihai ve Sandu taraf•ndan elde edilmi•tir, (Mihai and Sandu, 2012).
Üretim faktörlerinin, ikame edilebilirlik aç•s•ndan, en genel say•sal belirteci ikame esnekli•idir. !kame esnekli•i orijinal olarak Hicks taraf•ndan ortaya konulmu•tur, (Chen, 2012b). Daha sonra Allen ve Hicks, Hicks’in iki girdili orijinal elastiklik kavram•n• a•a••daki yolla genelle•tirmi•tir: ݂ iki kez diferensiyellenebilir bir üretim fonksiyonu olsun. Ayr•ca, ࢞ ൌ ሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ א Թା ve ͳ ݅ ് ݆ ݊ için,
ܪሺ࢞ሻ ൌ ͳ ݔ݂௫ ͳݔ݂௫ೕ െ݂௫௫ ݂௫ଶ ʹ݂௫௫ೕ ݂௫݂௫ೕ െ ݂௫ೕ௫ೕ ݂௫ଶೕ
8 verilsin, burada ݂௫ൌ డ డ௫ǡ ݂௫௫ೕ ൌ డమ డ௫డ௫ೕ. Tüm k•smi türevler ࢞ א Թା noktas•nda al•n•r ve
payda s•f•rdan farkl• kabul edilir, (Allen ve Hicks, 1934).
Yukar•da verilen ܪ de•erine ݅ െyinci üretim faktörünün ݆ െyinci üretim faktörüne göre Hicks ikame esnekli"i denir, (Allen ve Hicks, 1934).
!ki kez diferensiyellenebilir bir ݂ǣ Թା ื Թା üretim fonksiyonu için, e•er ܪሺ࢞ሻ ൌ ߪǡ ሺ࢞ א Թାǡ ͳ ݅ ് ݆ ݊ሻ
olacak •ekilde s•f•rdan farkl• bir ߪ א Թ say•s• varsa, ݂ ye CES (sabit ikame esnekli•i) özelli•ini sa•l•yordur denir, (Losonczi, 2010). CES özelli•ini sa•layan iki girdili üretim fonksiyonlar• için, denilebilir ki; iki kez diferensiyellenebilen iki de"i•kenli ݄ െhomojen ሺ݄ ് Ͳሻüretim fonksiyonu, s!f!rdan farkl! bir ߪ א Թ için
ܪଵଶሺ࢞ሻ ൌ ߪǡ࢞ א Թାଶ özelli"ini sa"larsa, o zaman
݂ሺݔǡ ݕሻ ൌ ൞
ܥݔఈݕିఈǡ݂݅ߪ ൌ ͳǡ ቆߚଵݔఉ ߚଶݕఉቇ
ఉ
ǡ ݂݅ߪ ് ͳǡ
dir. Burada ߙ s!f!rdan farkl! keyfi bir sabit olup öyle ki; ݄ െ ߙ ് Ͳ ve ܥǡ ߚଵǡ ߚଶ keyfi pozitif
sabitlerdir, (Losonczi, 2010).
Losonczi; ikiden daha fazla girdili olan üretim fonksiyonlar•nda kendi ispat metodunun çal••mad•••n• ifade etmi•tir. Ama Chen, CES özelli•ini sa•layan herhangi say•da tüm ݄ െhomojen üretim fonksiyonlar•n• s•n•fland•rarak, bu problemi çözmü•tür. "öyle ki, ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ iki kez diferensiyellenebilir bir ݄ െhomojen üretim fonksiyonu olsun. E"er ݂ sabit ikame esnekli"i özelli"ini sa"larsa, o zaman f, ya
(a) genelle•tirilmi• Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, ya da (b) genelle•tirilmi• ACMS üretim fonksiyonudur, (Chen, 2012b).
Bir ݂ fonksiyonun ikinci mertebeden k•smi türevlerinden olu•an ൫݂൯ karesel matrisine Hessiyan matrisi (ya da k•saca Hessiyan!) ad• verilir ve ܪሺ݂ሻ ile gösterilir. E•er
9
݂ nin ikinci mertebeden k•smi türevleri bir ܦ bölgesi üzerinde sürekli ise, o zaman ݂ nin Hessiyan• simetrik bir matristir, (Chen, 2012c).
Fonksiyonlar•n Hessiyan matrisleri matemati•in birçok alan•nda önemli roller oynar. Örne•in, Newton-tipi metodlar içerisinde büyük ölçek optimizasyon problemlerinde kullan•l•r, çünkü
݂ሺ࢞ ο࢞ሻ ൎ ݂ሺ࢞ሻ ܬሺ࢞ሻο࢞ ͳʹ ο்࢞ܪሺ࢞ሻο࢞
denkleminden de görüldü•ü gibi, Hessiyan matrisleri bir fonksiyonun lokal Taylor aç•l•m•n•n kuadratik teriminin katsay•lar•d•r. Bu denklemde ܬ Jakobiyen matrisidir. Bir di•er örnek, Hessian matrislerinin Morse teorisindeki uygulamas•d•r. E•er bir manifold üzerinde ݂ nin gradiyenti bir ࢞ noktas•nda s•f•r ise, o zaman ݂ bu ࢞ noktas•nda bir kritik noktaya sahiptir denir. ࢞ noktas•nda Hessiyan matrisinin determinant•na diskriminant ad• verilir. E•er bu diskriminant s•f•r ise, o zaman ࢞ noktas•na݂ nin dejenere kritik noktas! denir, üstelik bu nokta ݂ nin bir Morse olmayan kritik noktas• diye de adland•r•l•r. Aksi taktirde bu nokta dejenere olmayand•r ve ݂ nin bir Morse kritik noktas! ad• verilir. Morse teorisi, Morse kritik noktalar yard•m•yla manifoldlar üzerinde diferensiyellenebilir fonksiyonlar•n•n çal•••lma alan• ile ilgilidir. Bu teori manifoldlar•n topolojisini analiz etmek için elveri•li bir metodtur.
݄ଵሺݔଵሻǡ ǥ ǡ ݄ሺݔሻ ve ܨሺݑሻǡ ܨԢሺݑሻ ് Ͳǡ iki kez diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve ࢞ ൌ ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ א Թ olsun. ݂ሺ࢞ሻ ൌ ܨሺ݄ଵሺݔଵሻ ڮ ݄ሺݔሻሻ formunda bile•ke
fonksiyonlar•n Hessiyan determinantlar• için oldukça aç•k bir formül Chen taraf•ndan verildi; ൫ܪሺ݂ሻ൯ ൌ ሺܨԢሻ݄ ଵᇱᇱڄڄڄ ݄ᇱᇱ ሺܨᇱሻିଵܨԢԢ ݄ଵᇱᇱڄڄڄ ݄ିଵᇱᇱ ୀଵ ݄ᇱଶ݄ାଵᇱᇱ ڄڄڄ ݄ᇱᇱሺͳǤͳሻ dir. Burada ݄ᇱൌௗೕ ௗ௫ೕǡ ݄ ᇱᇱ ൌௗమೕ ௗ௫ೕమ ve ݑ ൌ ݄ଵሺݔଵሻ ڮ ݄ሺݔሻ için ܨᇱ ൌ ܨԢሺݑሻ, ܨԢԢ ൌ ܨᇱᇱሺݑሻ.
Chen, bu Hessiyan determinant formülünü Cobb-Douglas ve ACMS (CES) gibi önemli üretim modellerine uygulayarak çe•itli sonuçlar elde etmi•tir, (Chen, 2012c).
10
݄ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ herhangi dereceden bir homojen fonksiyon ve ܨ kesin monoton artan bir fonksiyon olsun. Bu taktirde, ࢞ ൌ ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ א Թ için, ݂ሺ࢞ሻ ൌ ܨ൫݄ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ൯
•eklindeki üretim fonksiyonlar•na bir homotetik fonksiyon ad• verilir, (Lindberg, Eriksson ve Mattsson, 2002).
Ekonomilerde e•-ürün e!rileri, belli bir üretim düzeyinin gerçekle•mesini sa!layan faktör bile•imlerinin geometrik yeridir. Homotetik üretim fonksiyonlar•na ili•kin e•-ürün e!rileriyle homojen üretim fonksiyonlar•na ait e•-ürün e!rileri, •ekil ve konum olarak, birbirine benzer. Bunlar aras•ndaki tek fark, ayn• e• ürün e!risi; homojen üretim fonksiyonunda ba•ka, homotetik üretim fonksiyonunda daha ba•ka üretim düzeyini gösterir, (Bulmu•, 2008).
Chen, sabit ikame esneklikli homotetik fonksiyonlar•n• s•n•fland•rm•• ve bu tür fonksiyonlara kar••l•k gelen üretim hiperyüzeylere ili•kin, çe•itli sonuçlar elde etmi•tir, (Chen, 2012d). Bu sonuçlardan dördüncü bölümde bahsedilecektir.
Sabit ikame esnekli!ini sa!layan quasi-toplam üretim fonksiyonlar• tam anlam•yla Chen taraf•ndan s•n•fland•r•lm••t•r. Ayr•ca Chen, bu s•n•fland•rman•n çe•itli geometrik uygulamalar•n• ifade etmi•tir, (Chen, 2012e). Üçüncü bölümde, bu sonuçlar ifade edilecektir.
݊ െboyutlu Monge-Ampère denkleminin orijinal formu ݀݁ݐ ቀ݂௫௫ೕቁ ൌ ߟ൫݂ǡ ݂௫ǡ ݔ൯ሺͳ ݅ǡ ݆ ሻǡ
•eklindedir, burada ݔଵǡ ǥ ǡ ݔ koordinatlar ve ݂௫ ൌ డ
డ௫ǡ ݂௫௫ೕൌ
డమ
డ௫డ௫ೕ dir. E!er ߟ ൌ Ͳ ise,
bu denkleme homojen Monge-Ampère denklemi denir, (Chen, 2013).
Monge-Ampère denklemleri Riemannian geometri, konformal geometri ve Cauchy-Riemann geometrideki baz• problemlerde kar••m•za ç•kmaktad•r. Bu uygulamalar•n en basit örneklerinden biri Gauss e!rili!i ile ilgilidir. Böyle diferensiyel denklemler ilk olarak 1784 y•l•nda G. Monge ve 1820 y•l•nda A.-M. Ampère taraf•ndan çal•••lm••t•r, (Chen, 2013).
Chen homojen Monge-Ampère denklemini sa!layan homotetik fonksiyonlar• tamamiyle s•n•fland•rm••; ayr•ca, ekonomilerdeki üretim modellerine ve onlar•n grafikleri
11
olan hiperyüzeylerine ili•kin çe•itli uygulamalar vermi•tir, (Chen, 2013). Dördüncü bölümde bu s•n•fland•rmaya yer verilecektir.
Ekonomilerde, üretimin faktör esneklik katsay•lar•; faktörlerden biri sabitken, ötekinde ortaya ç•kan oransal de!i•meye kar•• üretimin ne ölçüde duyarl• oldu!unu gösterir. "ktisatç•lar, üretim fonksiyonlar•na ili•kin birçok soruya, esneklik katsay•lar• yard•m•yla cevap aram••lard•r, (Bulmu•, 2008).
"ki girdili bir üretim fonksiyonu için, marjinal teknik ikame oran•; ürün miktar• ayn• kalmak üzere, i• gücünden azalt•lacak bir birim yerine sermaye faktöründen art•r•lmas• gereken miktar• göstermektedir, (Uluatam, 1998).
A.D. Vilcu ve G.E. Vilcu, sabit esneklik katsay•l• ve nispi marjinal teknik ikame özelli!ini sa!layan, homojen üretim fonksiyonlar•n• tamamiyle s•n•fland•rm••lard•r, (Vilcu ve Vilcu, 2013). "kinci bölümde bu s•n•fland•rmadan bahsedilecektir.
Mihai ve Olteanu iki girdili baz• bilinen üretim fonksiyonlar•na kar••l•k gelen üretim yüzeylerini, sabit Gauss e!rilikli kabul ederek ele alm•• ve bu konuda çe•itli sonuçlar elde etmi•lerdir. Ayr•ca iki girdili baz• özel üretim yüzeylerinin ortalama e!riliklerini hesaplam••lard•r, (Mihai ve Olteanu, 2013).
Allen ve Uzawa taraf•ndan incelenmi• olan bir di!er ikame esnekli!i kavram• a•a!•daki gibi tan•mlanm••t•r, (Uzawa, 1962).
݂ǣ Թା ื Թା bir üretim fonksiyonu olsun. ࢞ ൌ ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ א Թା ve ݅ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ǡ ݅ ് ݆ için,
ܣሺ࢞ሻ ൌ െݔଵ݂௫భ ڮ ݔ݂௫
ݔݔ
ܨ ܨ
fonksiyonuna ݅ െyinci üretim faktörünün ݆ െyinci üretim faktörüne göre Allen ikame
esnekli!i denir. Burada ܨ ile
ܯ ൌ ۉ ۇ Ͳ ݂௫భ ǥ ݂௫ ݂௫భ ݂௫భ௫భ ǥ ݂௫భ௫ ڭ ڭ ǥ ڭ ݂௫ ݂௫௫భ ǥ ݂௫௫ی ۊ
12
matrisinin determinant• ve ܨ ile de ݂௫௫ೕ eleman•n•n ko-faktörü gösterilmektedir. Ayr•ca ݅ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ǡ ݅ ് ݆ için, ݂௫ൌ
డ
డ௫ǡ ݂௫௫ೕ ൌ
డమ
డ௫డ௫ೕdir, (Losonczi, 2010).
ܯሺ݂ሻ matrisine ݂ üretim fonksiyonun Allen matrisi ve bu matrisin ݀݁ݐܯሺ݂ሻ determinant•na ise Allen determinant• ad• verilir, (Ayd•n ve Mihai, kabul edildi).
Ayd•n ve Mihai quasi-toplam üretim fonksiyonlar• için, Chen taraf•ndan (1.1) ile verilen Hessiyan Determinant Formülüne benzer bir Allen Determiant Formülü vermi•tir. Ayr•ca bu formüle göre quasi-toplam üretim fonksiyonlar• için tam bir s•n•fland•rma elde etmi•tir. Üstelik bu sonuçlar•n baz• geometrik uygulamalar• verilmi•tir, (Ayd•n ve Mihai, kabul edildi). Üçüncü bölümde bu sonuçlar ifade edilecektir.
13
1.1. Temel Tan•m ve Teoremler
Tan•m 1.1.1. (Kovaryant ve Kontravaryant Tensör): ܸ bir vektör uzay• ve ܸכ da ܸ vektör uzay•n•n dual uzay• olsun. Bu durumda
߶ǣ ܸ ൈ ܸ ൈ ǥ ൈ ܸᇩᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇫ ௧
ൈ ܸᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫכൈ ܸ௧כൈ ǥ ൈ ܸכ ื Թ
ile tan•mlanan ve ߣଵǡ ߣଶא Թǡ ݒଵǡ ݒଶǡ ǥ ǡ ݒא ܸ ve ݒଵכǡ ݒଶכǡ ǥ ǡ ݒכ א ܸכ olmak üzere ߶ሺݒଵǡ ǥ ǡ ߣଵݒ ߣଶݒᇱǡ ǥ ሻ ൌ ߣଵ߶ሺݒଵǡ ǥ ǡ ݒǡ ǥ ሻ ߣଶ߶ሺݒଵǡ ǥ ǡ ݒᇱǡ ǥ ሻ
•art•n• sa•layan ߶ dönü•ümüne ݉Ǥ mertebeden kovaryant ve ݊Ǥ mertebeden kontravaryant tensör ad• verilir, (#ahin, 2012).
Tan•m 1.1.2. (Diferensiyellenebilir Fonksiyonlar): ݂ǡ Թ uzay•ndan Թ ye giden bir fonksiyon olsun. ݂ sürekli ise ݂ fonksiyonu ܥ s•n•f•ndan bir fonksiyondur denir. Թ dan Թ ye giden ܥ s•n•f•ndan bütün fonksiyonlar•n cümlesi ܥሺԹǡ Թሻ •eklinde gösterilir.
Թ n•n her noktas•nda ݂ fonksiyonunun k•smi türevleri var ve bu türevler sürekli fonksiyonlar ise ݂ fonksiyonu ܥଵ s•n•f•ndand•r denir.
݂ fonksiyonunun Թ n•n her bir noktas•nda ݇ •nc• basamaktan k•smi türevleri var ve bu türevler sürekli fonksiyonlar ise ݂ fonksiyonu ܥ s•n•f•ndand•r denir. Թ dan Թ ye giden ܥ s•n•f•ndan bütün fonksiyonlar•n cümlesi ܥሺԹǡ Թሻ •eklinde gösterilir.
Թ n•n her bir noktas•nda ݂ fonksiyonunun her basamaktan k•smi türevleri var ve bu türevler sürekli fonksiyonlar ise ݂ fonksiyonu ܥஶ s•n•f•ndand•r denir. Թ dan Թ ye giden ܥஶ s•n•f•ndan bütün fonksiyonlar•n cümlesi ܥஶሺԹǡ Թሻ •eklinde gösterilir, (Sabuncuo•lu, 2006).
Tan•m 1.1.3. (Topolojik Manifold): ܯ bir topolojik uzay olsun. ܯ için a•a••daki
önermeler do•ru ise ܯ bir ݊ െboyutlu topolojik manifold (veya k•saca topolojik ݊ െmanifold) dur denir
(1) ܯ bir Hausdorff uzay•d•r,
(2) ܯ nin herbir aç•k alt cümlesi Թ e veya Թ in bir aç•k altcümlesine homeomorftur, (3) ܯ say•labilir çoklukta aç•k cümlelerle örtülebilir, (Hac•saliho•lu, 1998).
14
Tan•m 1.1.4. (Diferensiyellenebilir Manifold): ܯ bir ݉ െboyutlu manifold olsun. E•er ܯ
üzerinde haritalar•n bir ailesi olan ८ ൌ ሼሺܷǡ ߮ሻǡ ሺܸǡ ߰ሻǡ ሺܹǡ ߶ሻǡ ǥ ሽ cümlesi için a•a••daki •artlar sa•lan•yorsa ८ koleksiyonuna ܯ üzerinde ݎǤ mertebeden diferensiyellenebilir yap• (veya atlas) ad• verilir.
(1) ሼܷǡ ܸǡ ܹǡ ǥ ሽ aç•k cümlelerinin koleksiyonu ܯ manifoldunun bir aç•k örtüsüdür. (2) ८ daki herhangi iki harita ݎǤ mertebeden uyumludur.
(3) ८ maksimaldir, yani e•er bir ሺ߮തǡ ܷഥሻ haritas• ८ daki bütün koordinat atlaslar• ile uyumlu ise bu durumda ሺ߮തǡ ܷഥሻ א ८ d•r.
E•er bir ܯ manifoldu üzerinde ݎǤ mertebeden diferensiyellenebilir bir atlas varsa ܯ manifolduna ݎǤ mertebeden diferensiyellenebilir manifold denir. Diferensiyellenebilir
yap•n•n her bir haritas•na ܯ manifoldunun uyumlu haritas• ad• verilir. E•er atlas her mertebeden diferensiyellenebiliyorsa ܯ manifolduna ܥஶ manifold (veya
diferensiyellenebilir manifold) ad• verilir, (#ahin 2012).
Tan•m 1.1.5. (Tanjant vektör): ܯ bir manifold ve manifold üzerindeki diferensiyellenebilir fonksiyonlar•n cümlesi ܥஶሺܯǡ Թሻ olsun. Bu durumda her ݂ǡ ݃ א ܥஶሺܯǡ Թሻ ve ܽǡ ܾ א Թ için,
(1) ܸሺ݂ܽ ܾ݃ሻ ൌ ܸ݂ܽ ܾܸ݃, (2)ܸሺ݂݃ሻ ൌ ܸሺ݂ሻ݃ ݂ܸ݃,
•artlar•n• sa•layan ܸǣ ܥஶሺܯǡ Թሻ ื Թ dönü•ümüne ܯ manifoldunun noktas•ndaki tanjant vektörü denir.
Kolayca görülebilir ki tanjant vektörlerinin uzay• bir vektör uzay• yap•s•na sahiptir. Tanjant uzay•n boyutu manifoldun boyutuna e•ittir. Bunun nedeni esas olarak manifoldun bir noktas•ndaki tanjant uzay• ile Öklidyen uzay izomorfiktir, (#ahin, 2012).
Tan•m 1.1.6. (Vektör Alan!): ܯ bir manifold ve ܶܯ manifoldun noktas•ndaki tanjant
uzay• olsun. Bu durumda her א ܯ noktas•na ܶܯ uzay•nda bir tanjant vektörü kar••l•k getiren ܺ diferensiyellenebilir dönü•ümüne vektör alan• denir. Böylece ܯ manifoldu üzerinde bir vektör alan•
15
ܺǣ ܯ ืאெܶܯ diferensiyellenebilir bir dönü•ümdür, (•ahin, 2012).
Tan•m 1.1.7. (Türev Dönü•ümü): ܯ ve ܰ diferensiyellenebilir manifoldlar ve ܨǣ ܯ ื ܰ
diferensiyellenebilir dönü!üm olsun. ܺ א ܶܯ için, ܯ de seçilen ߙሺݐሻ e"risine ߙሺݐሻ ൌ noktas#nda ܺ vektörü te"et olsun. Bu durumda ܨሺሻ ൌ ܨ൫ߙሺݐሻ൯ noktas#nda ܨ൫ߙሺݐሻ൯ e"risine te"et olacak !ekilde ܨכሺܺሻvektörüne kar!#l#k getiren ܨכǣ ܶܯ ื ܶிሺሻܰ dönü!ümüne, türev dönü!ümü denir. Türev dönü!ümü ݀ܨ ile gösterilir, (•ahin, 2012).
Tan•m 1.1.8. (!mmersiyon): ܯ ve ܰ, s#ras# ile ݉ ve ݊ boyutlu diferensiyellenebilir
manifoldlar ve ܨǣ ܯ ื ܰ diferensiyellenebilir dönü!üm olsun. Bu durumda ܨ dönü!ümünün א ܯ noktas#ndaki rank#, ܨכ dönü!ümünün rank# olarak tan#mlan#r. E"er her noktas#nda ܨ dönü!ümünün rank# ݉ ise, ܨ dönü!ümüne dolgulama veya immersiyon ad# verilir. E"er ܨǡ ܯ manifoldundan ܨሺܯሻ ye bir homeomorfizm ve ܨሺܯሻ altuzay topolojisine sahip ise ܨ dönü!ümüne yerle!tirme (imbedding) denir, (•ahin, 2012).
Tan•m 1.1.9. (Jakobien Matris): ܨǣ ॱื ॱ dönü!ümünün türev dönü!ümü א ॱ için ܨכ olsun. S#ras#yla, ܶॱ ve ܶிሺሻॱ de Ȱ ൌ ቊ߲ݔଵ߲ ฬ ǡ ǥ ǡ ߲ ߲ݔฬቋ ǡ Ȳ ൌ ൝ ߲ ߲ݕଵฬிሺሻǡ ǥ ǡ ߲ ߲ݕฬிሺሻൡ
standart bazlar# için ܨכ nin kar!#l#k geldi"i matris ܬሺܨǡ ܲሻ ile gösterilir ve ܬሺܨǡ ܲሻ matrisine ܨ nin noktas#nda ki Jakobien matrisi ve bu matrise kar!#l#k gelen lineer dönü!üme de ܨ nin Jakobien dönü!ümü denir, (Hac#saliho"lu, 1998).
Tan•m 1.1.10. (Semi-Riemann Manifold): ܯǡ bir diferensiyellenebilir manifold olsun. ܯ
üzerinde (2,0) tipinde, simetrik, sabit indeksli ve non-dejenere tensör alan#na metrik tensör ad# verilir. ݃ bir metrik tensör ve ܯ bir diferensiyellenebilir manifold olsun. ሺܯǡ ݃ሻ ikilisine semi-Riemann manifoldu denir. E"er ݃ nin indeksi s#f#r ise ሺܯǡ ݃ሻ ikilisine bir Riemann manifoldu denir, (O’ Neill, 1983).
Tan•m 1.1.11. (Lie Parantez Operatörü): ܸ bir ॶ cismi üzerinde vektör uzay# ve
ሾǡ ሿǣ ൈ ื dönü!ümü de; a) 2-lineer
16 b) Alterne (ܺǡ ܻ א ܸ için ሾܺǡ ܻሿ ൌ െሾܻǡ ܺሿ)
c) ܺǡ ܻǡ ܼ א ܸ için; ൣܺǡ ሾܻǡ ܼሿ൧ ൣܻǡ ሾܼǡ ܺሿ൧ ൣܼǡ ሾܺǡ ܻሿ൧ ൌ Ͳǡ
olarak verilsin. ሾǡ ሿ dönü!ümüne, ܸ üstünde bir Lie parantez operatörü denir, (Hac•saliho#lu, 1998).
Tan•m 1.1.12. (Afin Konneksiyon): ܯ bir manifold ve manifold üzerinde vektör alanlar•
cümlesi ߯ሺܯሻ olsun. Bu durumda ܺǡ ܻǡ ܼ א ߯ሺܯሻ vektör alanlar• ve ݂ א ܥஶሺܯǡ Թሻ için ǣ ߯ሺܯሻ ื ߯ሺܯሻ ile tan•ml• ve (1) ାܼ ൌ ܼ ܼ ሺʹሻ ሺܻ ܼሻ ൌ ܻ ܼ (3) ܻ ൌ ݂ܻ (4) ሺ݂ܻሻ ൌ ܺሾ݂ሿܻ ݂ܻ
!artlar"n" sa•layan dönü!ümüne afin veya lineer konneksiyon ad" verilir. ܻ vektör alan"na ܻ vektör alan"n"n ܺ vektör alan" boyunca kovaryant türevi denir, ($ahin, 2012).
Tan•m 1.1.13. (Torsiyon ve E•rilik Tensörleri): ܯ bir manifold ve manifold üzerinde
bir afin konneksiyon olsun. Bu durumda
ܶǣ ߯ሺܯሻൈ ߯ሺܯሻ ื ߯ሺܯሻǡ ܶሺܺǡ ܻሻ ൌ ܻ െ ܺ െ ሾܺǡ ܻሿ ve
ܴǣ ߯ሺܯሻൈ ߯ሺܯሻൈ ߯ሺܯሻ ื ߯ሺܯሻǡ ܴሺܺǡ ܻሻܼ ൌ ܼ െ ܼ െ ሾǡሿܼ ile tan"ml" ܶ ve ܴ tensör alanlar"na afin konneksiyonunun, s"ras"yla, torsiyon tensörü ve e•rilik tensörü denir. Aç"k bir !ekilde ܶǡ (2,1) mertebeli tensör alan" ve ܴ, (3,1) mertebeli tensör alan"d"r. ܶ ൌ Ͳ olmas" durumunda afin konneksiyonununa torsiyonsuz ve ܴ ൌ Ͳ olmas" durumunda ise flatt"r (düzlemsel) denir, ($ahin, 2012).
17
Teorem 1.1.1. Verilen bir ሺܯǡ ݃ሻ Riemann manifoldu için, ܯ üzerinde a!a"#daki !artlar#
sa"layan bir tek afin konneksiyon vard#r: (1) simetriktir; yani her ܺǡ ܻ א ߯ሺܯሻ için
ܻ െ ܺ ൌ ሾܺǡ ܻሿǡ (2) metrik ile uyumludur; her ܺǡ ܻǡ ܼ א ߯ሺܯሻ için
ܺ݃ሺܻǡ ܼሻ ൌ ݃ሺܻǡ ܼሻ ݃ሺܻǡ ܼሻǡ (do Carmo, 1992).
Tan•m 1.1.14. (Levi-Civita Konneksiyon): ܯ bir Riemann manifoldu ve ܯ üzerinde bir
afin konneksiyon olsun. E"er a!a"#daki !artlar# sa"larsa, dönü!ümüne bir Levi-Civita konneksiyon veya Riemann konneksiyon denir:
(1) simetriktir,
(2) metrik ile uyumludur, (do Carmo, 1992).
Tan•m 1.1.15. (Riemann-Christoffel E•rilik Tensör): ሺܯǡ ݃ሻ bir Riemann manifoldu ve
ܴǡ ܯ üzerinde tan#ml# e"rilik tensör alan# olsun. Bu durumda ܺǡ ܻǡ ܼ א ߯ሺܯሻ için ܭሺܺǡ ܻǡ ܼǡ ܹሻ ൌ ݃ሺܴሺܺǡ ܻሻܼǡ ܹሻ ile tan#ml# tensör alan#na Riemann-Christoffel e"rilik tensör alan# ad# verilir, (•ahin, 2012).
Diferensiyel geometride, Riemann e"rilik tensör alan# ya da Riemann-Christoffel tensör alan#, Riemann manifoldlar#n#n e"rili"ini ifade etmek için en standart yoldur. Bu tensör alan#, Riemann manifoldunun her noktas#na bir tensör ta!#r öyle ki bu tensör; Riemann manifoldunun metrik tensörünün bir Öklidyen uzay#n metri"inden lokal olarak ne kadar farkl# oldu"unu ölçer.
Tan•m 1.1.16. (Ricci Tensör): ሺܯǡ ݃ሻǡ ݊ െboyutlu bir Riemann manifoldu ve ܯ üzerinde
lokal ortonormal vektör alanlar# ݁ଵǡ ǥ ǡ ݁ olsun. Bu durumda ܺǡ ܻ א ߯ሺܯሻ için ܵǣ ߯ሺܯሻ ൈ ߯ሺܯሻ ื ܥஶሺܯǡ Թሻǡܵሺܺǡ ܻሻ ൌ ݅ݖܴሺǤ ǡ ܺሻܻ dönü!ümü ile tan#ml# ሺʹǡͲሻ െmertebeli
ܵሺܺǡ ܻሻ ൌ ݃ሺܴሺ݁ǡ ܺሻܻǡ ݁ሻ
18
tensör alan•na ሺܯǡ ݃ሻ manifoldunun Ricci tensörü ad• verilir. ܯ manifoldunun Ricci operatörü ܴ݅ܿ ise,
݃ሺܴ݅ܿܺǡ ܻሻ ൌ ܵሺܺǡ ܻሻ ile tan•mlan•r, (!ahin, 2012).
Ricci e"rilik tensörü özde# olarak s•f•r olan Riemann manifolduna Ricci-flatt•r denir. Ricci-flat 3-manifoldlar ayn• zamanda flat manifoldlard•r, (Chen, 2011).
Tan•m 1.1.17. (Kesitsel E•rilik): ሺܯǡ ݃ሻǡ ݊ െboyutlu bir Riemann manifoldu ve ܯ
manifoldunun bir noktas•ndaki tanjant uzay• ܶܯ olsun. ܶܯ uzay•n•n ʹ െboyutlu bir altuzay• ܲ olsun. ܲ düzlemini geren birim vektörler ݔ ve ݕ olmak üzere
ܭሺܲሻ ൌ ܭሺݔǡ ݕሻ ൌ݃ሺݔǡ ݔሻ݃ሺݕǡ ݕሻ െ ݃ሺݔǡ ݕሻ݃ሺܴሺݔǡ ݕሻݕǡ ݔሻ ଶ
de!erine ܯ manifoldunun ܲ düzlemine göre kesitsel e!rili!i denir, ("ahin, 2012).
ܯ bir semi-Riemann manifoldu olsun. ܯ flat bir uzayd•r gerek ve yeter #art ܯ nin kesitsel e•rilik fonksiyonu özde• olarak s•f•rd•r, (O’ Neill, 1983).
Tan•m 1.1.18. (Skaler E•rilik): ሺܯǡ ݃ሻ bir Riemann manifoldu ve א ܯ noktas•ndaki
noktas•ndaki tanjant uzay ܶܯ olsun. ܶܯ uzay•n•n ʹ െboyutlu altuzaylar•na göre kesitsel e•riliklerinin toplam•na ܯ manifoldunun skaler e•rili•i denir ve ݎ ile gösterilir. Buna ܶܯ uzay•n•n ortonormal baz• ሼ݁ଵǡ ǥ ǡ ݁ሽ olmak üzere
ݎ ൌ ܵሺ݁ǡ ݁ሻ
ୀଵ
dir. Di!er taraftan manifoldun ܺ do!rultusundaki Ricci e!rili!i ݇ሺܺሻ ݇ሺܺሻ ൌ݃ሺܺǡ ܺሻܵሺܺǡ ܺሻ
ile tan•mlan•r, ("ahin, 2012).
ሺܯഥǡ ݃ሻ ve ܯ s•ras• ile ݉ boyutlu Riemann manifoldu ve ݊ boyutlu keyfi manifold olsun. ݅ǣ ܯ ื ܯഥ inclusion dönü•ümü ele al•n•rsa ݅ሺሻ ile özde• kabul edilebilir. Bu
19
durumda ܶܯ, ܶܯഥ tanjant uzay•n•n altvektör uzay•d•r. noktas•nda ܶܯ uzay•na dik olan tamamlayan uzay• ܶܯୄ ile gösterilsin. ܶܯୄ uzay•na normal uzay ve bu uzay•n meydana getirdi•i ܶܯୄ tanjant demetine normal demet denir. Böylece ܶܯഥ uzay• için
ܶܯഥ ൌ ܶܯ۩ܶܯୄ veya
ܶܯഥ ൌ ܶܯ۩ܶܯୄ
ayr•••m• geçerlidir. ܸ א ܶܯୄ vektörüne normal vektör ve birim normal vektöre de normal kesit denir. Normal vektör alanlar•n•n cümlesi ߯ሺܯሻୄ ile gösterilir. ܯഥ üzerindeki Levi-Civita konneksiyonu ഥ ile gösterilsin ve ܺǡ ܻ א ߯ሺܯሻǡ ܸ א ߯ሺܯሻୄ için
ሺഥܻሻ் ൌ ܻǡ ሺഥܸሻୄ ൌ ୄܸ
tan•mlans•n, burada T ve ٣ s•ras• ile altmanifoldun tanjant demeti ve normal demeti üzerindeki izdü•ümleri gösterilmektedir. Di!er taraftan
ሺഥܻሻୄൌ ݄ሺܺǡ ܻሻ ve
ሺഥܸሻ் ൌ െܣܺ
tan•mlans•n. Bu durumda ݄ n•n simetrik ve bilineer oldu•u gösterilebilinir. Böylece ഥܻ ൌ ܻ ݄ሺܺǡ ܻሻ
ve
ഥܸ ൌ െܣܺ ୄܸ elde edilir, ("ahin, 2012).
Yard•mc• Teorem 1.1.2. , ܯ üzerinde Levi-Civita konneksiyonudur, ("ahin, 2012). Yard•mc• Teorem 1.1.3. ሺܯഥǡ ݃ሻ bir Riemann manifoldu ve ܯǡ ܯഥ manifoldunun
altmanifoldu olsun. Bu durumda ܺǡ ܻ א ߯ሺܯሻ ve ܸ א ߯ሺܯሻୄ için ݃ሺܣܺǡ ܻሻ ൌ ݃ሺ݄ሺܺǡ ܻሻǡ ܸሻ
20 dir, ("ahin, 2012).
Tan•m 1.1.19. (Ortalama E•rilik Vektör Alan!): ܯഥ bir Riemann manifoldu olsun. ܯഥ nin
bir altmanifoldu ܯ ve ܯ nin ortonormal çat•s• ሼ݁ଵǡ ǥ ǡ ݁ሽ olmak üzere ܪ ൌ݊ ݅ݖ݄ ൌͳ ݊ ݄ͳ ሺ݁ǡ ݁ሻ
ୀଵ
•eklinde tan•ml• ܪ vektör alan•na, ki bu vektör alan• normal demetin kesitidir, ortalama e•rilik vektör alan• denir, ("ahin, 2012).
Tan•m 1.1.20. (Jeodezik): ܯ bir Riemann manifoldu olsun. E•er ߙǣ ܫ ื ܯ e•risinin te•et
vektör alan• ߙ boyunca paralel ise e•riye jeodeziktir denir, ("ahin, 2012).
Bir ܯ Riemann manifoldu üzerinde, jeodezik e•riler, uç noktalar• aras•ndaki uzunlu•u minimize edilmi# olan e•rilerdir. Bu e•riler, iki noktas! aras!nda gerilmi# bir elastik bant görünümündedir. Matematiksel olarak jeodezikler, varyasyonlar hesab!ndan k!smi diferensiyel denklemler kullan!larak ifade edilebilirler. Verilen bir ݑ א ܶܰ birim tanjant vektörü için, noktas!ndan geçen ve ܰ içinde birim h!zl! olan, bir tek ߛ௨ሺݐሻ jeodezi•i vard!r, öyle ki
ߛ௨ᇱሺͲሻ ൌ ݑ
dir. ܶܰ tanjant uzay!n!n verilen bir ߨ kesiti (2-düzlem) için, noktas!ndan geçen ve ߨ ye te•et olan tüm jeodezikler, nin herhangi bir kom#ulu•unda bir yüzey olu#turur. Bu yüzeyin noktas!ndaki Gauss e•rili•i, ߨ nin kesitsel e•rili•idir, (Chen, 2011).
Tan•m 1.1.21. (Hiperyüzey): ॱାଵǡ ሺ݊ ͳሻ െboyutlu Öklid uzay!nda ݊ െboyutlu bir
yüzey, veya ݊ െyüzey diye ॱ deki bo# olmayan bir ܯ cümlesine denir, öyle ki bu ܯ cümlesi
ܯ ൌ ሼ࢞ א ܷ ؿ ॱାଵȁ݂ǣ ܷ ื Թǡ ݂ሺ࢞ሻ ൌ ܿǡ ܷܿÇ òሽ
݂ȁ ് Ͳǡ ܲ א ܯ #eklinde tan!mlan!r. ॱାଵ de bir ݊ െyüzey, ݊ ʹ olmas! halinde bir hiperyüzey olarak adland!r!l!r, (Hac!saliho•lu, 1983).
21 ॺ ൌ ൜ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔǡ ݔାଵሻȁ ݔ
ଶ ൌ ݎଶ ାଵ
ୀଵ ǡ ݎ א Թǡ ݎ ൌ ݏܾܽ݅ݐൠ
nokta cümlesine bir ݊ െboyutlu hiperküre veya k!saca ݊ െküre denir, (Hac!saliho•lu, 1983).
Tan•m 1.1.23. (Üretim Hiperyüzeyi): Her ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ üretim fonksiyonu, ॱାଵ
Öklidyen ሺ݊ ͳሻ-uzay•n•n
݂ ൌ ൫ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔǡ ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ൯ሺͳǤͳǤͳሻ ile verilen bir non-parametrik hiperyüzeyi ile tan•mlanabilir. Bu hiperyüzeye, bir üretim hiperyüzeyi ad• verilir, (Chen, 2011).
Daha aç•k olarak, ݂ nin Jakobiyen matrisi
ܬ ൌ ۉ ۈ ۈ ۈ ۈ ۇͳ Ͳ ǥ Ͳ ߲ܳ ߲ݔଵ Ͳ ͳ ǥ Ͳ ߲ݔଶ߲ܳ ڭ ڭ ǥ ڭ ڭ Ͳ Ͳ ǥ ͳ ߲ݔی߲ܳ ۋ ۋ ۋ ۋ ۊ
•eklindedir ve bu matrisin rank• n dir. Dolay•s•yla ݂ bir immersiyondur ve bir hiperyüzey tan•mlar, (Vilcu ve Vilcu, 2011).
Tan•m 1.1.24. (Gauss Dönü!ümü): ॱାଵ de yönlendirilmi• bir hiperyüzey ܯ ve ܯ nin diferensiyellenebilir birim normal vektörü ߦ olsun.
߭ǣ ܯ ื ॺ ؿ ॱାଵǡ ߭ሺሻ ൌ ߦሺሻ
diferensiyellenebilir dönü•ümüne Gauss dönü•ümü denir, (Hac•saliho•lu, 1983).
Gauss dönü•ümü sürekli bir dönü•ümdür öyle ki ߥሺሻǡ ܯ nin noktas•ndaki ߦሺሻ birim vektörüne kar••l•k gelir. Gauss dönü•ümü lokal olarak, yani hiperyüzeyin küçük bir parças• üzerinde, daima tan•mlanabilir. E•er hiperyüzey yönlendirilebilir ise o zaman Gauss dönü•ümü global olarak tan•mlanabilir.
Tan•m 1.1.25. (Gauss-Kronocker e"rili"i): ॱାଵ de bir hiperyüzey ܯ ve ܯ nin Gauss dönü•ümü ߥ olsun. ߥ Gauss dönü•ümünün ݀ߥ diferensiyeli, •ekil operatörü (ya da
22
Weingarten dönü•ümü) olarak tan•mlan•r. Her א ܯ noktas•nda, ܶܯ tanjant uzay• bir iç çarp•m uzay•d•r. Ayr•ca ܵ •ekil operatörü, bu uzay üzerinde, ݔǡ ݕ א ܶܯ için,
݃൫ܵሺݔሻǡ ݕ൯ ൌ ݃ሺ݀ߥሺݔሻǡ ݕሻ
formülü ile verilen bir lineer operatör olarak tan•mlan•r. Burada ݃ǡ ॱାଵ in Öklidyen metri"inden ܯ üzerine indirgenmi• olan metrik tensördür. ܯ nin ߪ ikinci temel formu ile ܵ •ekil operatörü aras•nda , ݔǡ ݕ א ܶܯ için,
݃൫ߪሺݔǡ ݕሻǡ ߦሺሻ൯ ൌ ݃൫ܵሺݔሻǡ ݕ൯
•eklinde bir ba"•nt• vard•r. ܵ •ekil operatörünün özde"erleri asli e"rilikler olarak bilinir. ܵ •ekil operatörünün determinant•na Gauss-Kronocker e"rili"i denir ve ܩሺሻ notasyonu ile gösterilir. Dolay•s•yla ܩሺሻ Gauss-Kronocker e"rili"i, noktas•ndaki asli e"riliklerin çarp•m•na kar••l•k gelir. ݊ ൌ ʹ durumunda, Gauss-Kronocker e"rili"ine k•saca Gauss e"rili"i denir, (Chen, 2011).
Tan•m 1.1.26. (Ortalama e•rilik): ॱାଵǡ Öklid uzay•nda bir ܯ hiperyüzeyi verilsin. ܯ nin
•ekil operatörünün izinin hiperyüzeyin boyutuna bölümüne ortalama e"rilik denir. Bir hiperyüzeyin ortalama e"rili"i özde• olarak s•f•rsa, bu hiperyüzeye minimaldir denir, (Chen, 2011).
Gauss e"rili"inin tersine, ortalama e"rilik hiperyüzeyin immersiyonuna ba"l• olan bir d•• niceliktir.
ॱାଵ uzay•n•n bir ܯ hiperyüzeyi için, Gauss denklemi
݃ሺܴሺݑǡ ݒሻݓǡ ݔሻ ൌ ݃൫ߪሺݑǡ ݔሻǡ ߪሺݒǡ ݓሻ൯ െ ݃൫ߪሺݑǡ ݓሻǡ ߪሺݒǡ ݔሻ൯ •eklindedir.
(1.1.1) ile verilen ݂ dönü•ümünün ݂௫ǡ ݂௫௫ೕǡ ǥ k•smi türevleri డ డ௫ǡ
డమ
డ௫డ௫ೕǡ ǥ ile
gösterilsin. O zaman ݂ nin Hessiyan matrisi ቀ݂௫௫ೕቁǡ simetrik bir matris olur. Ayr•ca bunun için
ݓ ൌ ඨͳ ݂ݔଶ݅
23 •eklinde bir notasyon kullan•l•r.
Teorem 1.1.4.ॱାଵ Öklid uzay•nda
ܮሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ ൌ ൫ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔǡ ݂ሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ൯
•eklinde tan•mlanan bir üretim hiperyüzeyi ve (1.1.2) de verilen ݓ fonksiyonu için a•a!•daki e•itlikler ifade edilebilir:
(a) ߦ birim normali;
ߦ ൌെͳݓ ൫݂௫భǡ ǥ ǡ ݂௫ǡ െͳ൯Ǥ (b) Metrik tensörün ݃ൌ ݃ ൬ డ డ௫ǡ డ డ௫ೕ൰ katsay•s•; ݃ൌ ߜ ݂௫݂௫ೕǡ ߜൌ ൜ͳǡ ݁º݁ݎ݅ ൌ ݆Ǣ Ͳǡ ݁º݁ݎ݅ ് ݆Ǥ (c) Hacim elementi; ܸ݀ ൌ ඥ݃݀ݔଵר ǥ ר ݀ݔൌ ݓ݀ݔଵר ǥ ר ݀ݔǤ (ç) ൫݃൯ nin ൫݃൯ invers matrisi;
݃ൌ ߜെ݂௫݂௫ೕ
ݓଶ Ǥ (d) ߪ ikinci temel formun matrisi;
ߪ ൌ݂௫ݓ Ǥ௫ೕ (e) ܵ •ekil operatörü matrisi;
ܽൌ ߪ݃ ൌ݂௫ݓ െ ௫ೕ ݂௫௫ೖݓ݂௫ଷೖ݂௫ೕ Ǥ (f) ܪ ortalama e!rili!i;
24 ܪ ൌͳ݊ ߲ݔ߲ ቆ ݂௫ೕ ݓ ቇ ୀଵ Ǥ (g) ܩ Gauss-Kronocker e!rili!i; ܩ ൌ݀݁ݐ൫ߪ൯ ݀݁ݐ൫݃൯ൌ ݀݁ݐ ቀ݂௫௫ೕቁ ݓାଶ Ǥ (h) డ డ௫ ve డ
డ௫ೕ vektörleri taraf•ndan gerilen bir düzlem kesitinin ܭ kesitsel e!rili!i;
ܭ ൌ ݂௫௫݂௫ೕ௫ೕെ ݂௫ଶ௫ೕ ݓଶቀͳ ݂௫ ଶ ݂௫ ೕ ଶቁǤ (•) ܴǡ Riemann e!rilik tensörü;
݃ ቆܴ ቆ߲ݔ߲ ǡ߲ݔ߲ ቇ߲ݔ߲ ǡ߲ݔ߲ ቇ ൌ݂௫௫݂௫ೕ௫ೖെ ݂௫௫ೖ݂௫ೕ௫
ݓସ denklemini sa!lar, (Chen, 2011).
Tan•m 1.1.27. (Sat•rca Basamak Matrisi): ܣ א ॶ olsun. Burada ॶ bir cisim ve ॶǡ ݉ ൈ ݊ tipinde matrislerin cümlesidir. ͳ ݆ଵ൏ ڮ ൏ ݆ ݊ e•itsizli!ini sa!layan ݆ଵǡ ǥ ǡ ݆ do!al say•lar•, a•a!•daki iki önerme do!ru olacak •ekilde bulunabiliyorsa bu matrise sat•rca basamak matrisi denir.
(1) Son ݉ െ ݎ tane sat•r•n tümü s•f•rd•r.
(2) Her ݄ א ሼͳǡ ǥ ǡ ݎሽ için ݄ െy•nc• sat•rdaki ݆െy•nc• bile•en 1 dir. Bu bile•enden önceki bile•enlerin tümü s•f•rd•r, (Sabuncuo!lu, 2011).
Tan•m 1.1.28. (Gauss Eliminasyon Metodu): Bir lineer denklem siteminin geni•letilmi•
matrisinde elementer sat•r i•lemleri yaparak bu matrisi, sat•rca basamak matrisi •ekline getirip lineer denklem sisteminin çözümünü bulmaya, Gauss eliminasyon metodu denir, (Sabuncuo•lu, 2011).
Tan•m 1.1.29. (Öteleme Fonksiyonu): ݑ uzayda bir vektör olmak üzere
25
fonksiyonuna, uzayda öteleme vektörü ݑ olan bir öteleme fonksiyonu denir, (Sabuncuo•lu, 2009).
Tan•m 1.1.30. (Tam Diferensiyel Denklem): E•er ݔǡ ݕ א ܦ için
ܯሺݔǡ ݕሻ݀ݔ ܰሺݔǡ ݕሻ݀ݕ
ifadesi, ݀ݑሺݔǡ ݕሻ toplam diferensiyeline e!it olacak !ekilde iki reel de•i!kenli bir ݑ fonksiyonu varsa, bu ifadeye ܦ bölgesinde bir tam diferensiyel denir. Yani;
߲ݑ ߲ݔ ൌ ܯǡ
߲ݑ ߲ݕ ൌ ܰ
olacak !ekilde bir ݑ fonksiyonu varsa yukar"daki toplam bir tam diferensiyeldir. E•er ܯሺݔǡ ݕሻ݀ݔ ܰሺݔǡ ݕሻ݀ݕ ൌ Ͳ
denkleminin sol taraf" bir tam diferensiyel ise diferensiyel denkleme tam diferensiyel denklem denir, (Sezer ve Da•c•o•lu, 2010).
Tan•m 1.1.31. (Homojen Fonksiyon): Bir ݂ሺݔǡ ݕሻ fonksiyonunda, e•er ݔ yerine ݔݐ; ݕ
yerine ݕݐ konuldu•unda ݂ሺݔݐǡ ݕݐሻ ൌ ݐ݂ሺݔǡ ݕሻǡ ݊ א Թ oluyorsa, fonksiyona ݊Ǥ dereceden homojendir denir, (Sezer ve Da•c•o•lu, 2010).
Teorem 1.1.5. (Euler Homojen Fonksiyon Teoremi): E•er ݂ሺݔǡ ݕሻ fonksiyonu ݊Ǥ
dereceden homojen ve birinci k•smi türevleri var ise, o zaman
ݔ݂௫ ݕ݂௬ൌ ݂݊ dir, (Hiwarekar, 2009).
Tan•m 1.1.32. (Kesin Monoton Fonksiyon): Bir aral•••n herhangi iki noktas• ݔଵ ve ݔଶ oldu•una göre, e•er ݔଵ൏ ݔଶ oldukça ݂ሺݔଵሻ ݂ሺݔଶሻ ise ݂ሺݔሻ fonksiyonu bu aral•kta monoton artand•r denir. E•er ݂ሺݔଵሻ ൏ ݂ሺݔଶሻ ise fonksiyona kesin olarak artand•r denir. Benzer •ekilde e•er ݔଵ൏ ݔଶ oldukça ݂ሺݔଵሻ ݂ሺݔଶሻ ise ݂ሺݔሻ fonksiyonu bu aral•kta monoton azaland•r denir; e•er ݂ሺݔଵሻ ݂ሺݔଶሻ ise fonksiyona kesin olarak azaland•r denir, (Süray, 1978).
2. ÜRET•M TEOR•S• VE ÜRET•M FONKS•YONLARI
Üretim oldukça geni• kapsaml• bir kavramd•r. Bu kavram• k•saca a•a••daki gibi izah edebiliriz:
Bir ihtiyac•n kar••lanmas• için gerekli olan nesnelere mal ad• verilir. Bir mal•n ya da mallar•n faydal•klar•n• art•racak •ekilde farkl• bir mala dönü•türülmesine üretim denir. Üretimi gerçekle•tiren ekonomik birime, i•letme denir. $•letmenin üretti•i mal ise, ç•kt• olarak adland•r•l•r. Mal•n• üretebilmek için i•letmenin gereksinme duydu•u mal ve hizmetlerin tümüne girdiler denir. Bu girdilerin bir bölümü, üretilen mallar•n niteli•inden ba••ms•zd•r. Bu tür girdilere; üretimin temel girdileri denir. Üretimin temel girdileri; i• gücü, sermaye, do•a ve giri•imden olu•ur. Üretimin temel girdilerine ayn• zamanda üretim faktörleri de denir. Üretim faktörleri içinde yer alan sermaye, ba•ka i•letmelerce üretilmi• mallardan olu•ur. Buna kar••l•k, üretimin sermaye d•••nda kalan faktörleri üretilmemi•tir, (Bulmu•, 2008).
2. 1. Üretim Fonksiyonlar!n!n Özellikleri
Tan!m 2.1.1. (Mikroiktisat): $ktisad•n, insan davran••• ve insanlar•n piyasa, endüstri, firma
ve birey gibi nispeten küçük birimlerle ili•kili tercihlerini inceleyen bölümüne mikroiktisat denir, (Paras•z ve Özer, 2005).
Tan!m 2.1.2. (Üretim fonksiyonu): Mikroiktisatta, bir üretim fonksiyonu; bir firman•n, bir
endüstrinin ya da bir ekonominin üretti•i ç•kt• ile bu ç•kt•y• olu•turan girdiler aras•ndaki ili•kiyi veren matematiksel bir formüldür, (Vilcu, 2011).
Böylece bir üretim fonksiyonu
ܳǣ Թା ื Թାǡܳ ൌ ܳሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻ
ile tan•mlanan ܥஶ s•n•f•ndan diferensiyellenebilir bir dönü•ümdür. Burada ܳ ile ç•kt• miktar•, ݊ girdi say•s• ve ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔ ler ise kullan•lan girdilerdir (i•gücü, kapital, arazi, ham madde vb. gibi). Ayr•ca Թା ve Թା notasyonlar• ile
Թା ൌ ሼሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔሻǣ ݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔ Ͳሽ ve
27
Թାൌ ሼݎ א Թǣ ݎ Ͳሽ gösterilmektedir, (Vilcu, 2011).
Üretim fonksiyonlar•n•n baz• özellikleri a•a••daki gibidir:
(a) Herhangi bir girdinin yoklu•unda üretim durur, yani Q özde• olarak s•f•r olur. Bu ise her bir girdinin üretim sürecinde zorunlu olmas• demektir.
(b) ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ için డொ
డ௫ Ͳ dir. Bu her bir üretim faktörüne göre üretim fonksiyonunun
kesin monoton artan oldu•unu gösterir.
(c) ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ için డమொ
డ௫మ൏ Ͳ dir, yani herhangi bir üretim faktörüne göre üretim
fonksiyonu azalan bir etkiye sahiptir.
(d)࢞ ൌ ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻǡ ࢟ ൌ ሺݕǡ ǥ ǡ ݕሻ א Թା için, ܳሺ࢞ ࢟ሻ ܳሺ࢞ሻ ܳሺ࢟ሻ dir. Bu ise üretim fonksiyonunun azalmayan bir global etkiye sahip oldu•unu gösterir.
(e) ܳ homojen bir fonksiyondur, yani her ࢞ א Թା ve ߣ א Թ için ܳሺߣ࢞ሻ ൌ ߣܳሺ࢞ሻ
olacak •ekilde bir reel say•s• vard•r. Bu ise, girdilerin bir skalerle çarp•lmas• durumunda olu•an ç•kt•n•n da, ayn• sabitin bir kuvveti kadar çarp•laca•• anlam•na gelir, (Vilcu, 2011).
E•er ൌ ͳ ise, o zaman üretim fonksiyonu sabit ölçek getirisine sahiptir denir. E•er ͳ ise, artan ölçek getirisine ve son olarak e•er ൏ ͳ ise üretim fonksiyonuna azalan ölçek getirisine sahiptir denir, (Vilcu, 2011).
Ölçe•e göre artan, azalan ve sabit getirileri •u örnekle izah edebiliriz: Tüm girdilerin miktar• Ψͷ art•r•ld•••nda, ç•kt• Ψͷ den daha fazla artarsa ölçe•e göre artan getiri söz konusu olur. E•er tüm girdilerin miktar• Ψͷ art•r•ld•••nda, ç•kt• Ψͷ den daha az artarsa ölçe•e göre azalan getiriden söz edilir. Ölçe•e göre sabit getiri ise, tüm girdilerin miktar• Ψͷ art•r•ld•••nda, ç•kt•n•n yaln•zca Ψͷ oranda artmas• demektir, (Paras•z ve Özer, 2005).
Yukar•daki be• özellikten (c) ile belirtilen d•••ndakiler aç•kt•r. (c) ••kk•n• aç•klamadan önce baz• kavramlar•n verilmesi gerekir.
28
!ki girdili üretim yapan bir i•letme ele al•ns•n. !•letmenin üretti•i mal• ܳ, kulland••• girdileri de ܭ ve ܮ ile gösterelim. Buna göre i•letmenin üretim fonksiyonu;
ܳ ൌ ݂ሺܭǡ ܮሻ
ile ifade edilebilir. Burada, s•ras•yla, ܭ ve ܮ ile sermaye ve i• gücü girdileri gösterilmektedir.
Tan•m 2.1.3. (Ortalama ve marjinal verimlilik): Bir faktörün ya da girdinin ortalama
verimlili•i a•a••daki gibi ifade edilir: Faktörlerden birinin, örne•in, ܭ faktörünün ortalama verimlili•i: ܮ nin ܮ ൌ ܮ gibi bir sabit de•eri için de•i•en ܭ de•erlerine ba•l• olarak birim ܭ ba••na elde edilen ܳ olarak ifade edilir, yani,
ൌܭ ൌܳ ݂ሺܭǡ ܮܭ ሻ
dir. ܭ faktörünün marjinal verimlili•i; ܮ nin ܮ ൌ ܮ gibi bir sabit de•eri için,
ൌ߲߲ܳܭሺʹǤͳǤͳሻ •eklinde tan•mlan•r, (Bulmu•, 2008).
!imdi yukar•da (c) ile verilen özellik, a•a••da verilen bir tablo ile izah edilebilinir:
Tablo 2. 1.1. Ç•kt•, Ortalama ve Marjinal verimlilikler
De•i•ken Girdi (L) Ç•kt• (Q) Ortalama Verimlilik(ொ ) Marjinal Verimlilikቀడொ డቁ 0 0 0,00 0 1 12 12,00 12 2 28 14,00 16 3 52 17,33 24 4 74 18,50 22 5 91 18,20 17 6 104 17,33 13 7 114 16,29 10 8 120 15,00 6
