Zaman içeren problemlerin çözümüne bir nümerik yaklaşım

T.C ø1g1hh1ø9(56ø7(6ø )(1%ø/ø0/(5ø(167ø7h6h

=$0$1ød(5(1352%/(0/(5ø1dg=h0h1(

%ø51h0(5ø.<$./$ù,0

ù8/(+$1%$ù(5*h9(1 <h.6(./ø6$167(=ø 0$7(0$7ø.$1$%ø/ø0'$/, MALATYA 2005

Fen_{%LOLPOHUL(QVWLWV0GUO÷QH} B_{XoDOÕúPD-ULPL]WDUDIÕQGDQ0DWHPDWLN$nabiOLPGDOÕQGD<h.6(./ø6$167(=øolarak} NDEXOHGLOPLúWLU ____________________ øP]D %$ù.$1 ___________________ __________________ (øP]DøP]D ÜYE ÜYE ONAY <XNDUÕGDNLLP]DODUÕQDGÕJHoHQ|÷UHWLP\HOHULQHDLWROGX÷XQXRQD\ODUÕP. ..../..../2005 3URI'U$OLù$+ø1 Enstitü Müdürü

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

=$0$1ød(5(1352%/(0/(5ø1dg=h0h1( %ø51h0(5ø.<$./$ù,0 ùXOHKDQ%$ù(5*h9(1 øQ|QhQLYHUVLWHVL)HQ%LOLPOHUL(QVWLWV 0DWHPDWLN$QDELOLP'DOÕ 46+vii sayfa 2005 'DQÕúPDQ'Ro'U$OLg]GHú

%X oDOÕúPD EHú E|OPGHQ ROXúPDNWDGÕU Birinci bölümde sonraki bölümlerde NXOODQÕOPÕúRODQED]ÕWHPHONDYUDPYH\|QWHPOHUH\HUYHULOGL

øNLQFL bölümde diffusion-FRQYHFWLRQGHQNOHPLWDQÕWÕOGÕ veGHQNOHPLQELU\DUÕDQDOLWLN çözümü olan piecewise analitik çözümü verildi. Diffusion-convection denkleminin piecewise çözümü ile _{DQDOLWLNo|]PNDUúÕODúWÕUÕOPDODUÕWDEORODUKDOLQGHVXQXOGX}

Üçüncü bölümde MOL yöntemiyle diskrize edilen diffusion-convection denklemi Euler ve Runge-Kutta yöntemleri ile çözüldü. Diffusion-convection denkleminin nümerik ve analitik çözüm_{NDUúÕODúWÕUÕOPDODUÕWDEORODUKDOLQGHVXQXOGX}

Dördüncü bölümde Euler ve Runge-Kutta yöntemleri iç_{LQNDUDUOÕOÕNDQDOL]L\DSÕOGÕ} %HúLQFL E|OPGH oDOÕúPDPÕ]GD NXOODQÕODQ \|QWHPOHUGHQ HOGH HGLOHQ VRQXoODU GH÷HUOHQGLULOGL

$1$+7$5.(/ø0(LER : Diffusion-convection denklemi, MOL yöntemi, Euler yöntemi, Runge-Kutta yöntemi, Piecewise analitik yöntem

ABSTRACT

Master Thesis

A NUMERICAL APPROACH TO PROBLEMS INCLUDING TIME

ùXOHKDQ%$ù(5*h9(1 Inonu University

Institute of Natural and Applied Sciences Mathematics Department

46+vii pages 2005

Supervisor: Assoc. Prof. _{'U$OLg]GHú}

This study consists of five chapters. Chapter 1 includes some basic concepts and methods which were used in the latter chapters.

In chapter 2, diffusion-convection equation was introduced and piecewise analytical method which is the half-analytical solution of this equation was given. The comparison of piecewise analytical solution and analytical solution of diffusion-convection equation were presented in the tables.

In chapter 3, diffusion-convection equation which we obtained by discreazing with MOL method was solved with Euler and Runge-Kutta methods. The comparison of numerical and analytical solution of diffusion-convection equation were presented in the tables.

In chapter 4, stability analysis for Euler and Runge-Kutta methods was made. In chapter 5, the results obtained by the methods used in this study were evaluated.

7(ù(..h5

<NVHNOLVDQVVUHVLQFHELOJLOHULYHGHVWH÷L\OHEDQD\ROJ|VWHUHQWH]GDQÕúPDQÕP YH  oRN  GH÷HUOL  KRFDP  'Ro  'U  $OL g='(ù’e oDOÕúPDODUÕP  VUHVLQFH  ELOJLVLQGHQ ID\GDODQGÕ÷ÕPVHYJLOi hocam Dr. Alaattin ESEN’eoRNVHYGL÷LPDUNDGDúODUÕP6HOFHQ YÜKSEL, Yu_{VXI 8d$5  YH  0XKDUUHP  g=/h.¶H EWQ  E|OP KRFDODUÕPD, maddi} PDQHYLGHVWHNOHULQLHVLUJHPH\HQHúLPHYHDLOHPHWHúHNNUELUERUoELOLULP

ødø1'(.ø/(5 ÖZET……… i ABSTRACT………. ii iii _{7(ù(..h5 ... ødø1'(.ø/(5 ... iv ù(.ø/'ø=ø1ø………....} 7$%/2/$5'ø=ø1ø v vi 1 _{*ø5øù ………...} 1. BAZI TEMEL KAVRAM VE YÖNTEMLER ………... 3

1.1. _{7UHYOHUH6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ………... 3} 1.1.1 _{%LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ………... 3} 1.1.2._{øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ………... 4} 1.2. _{=DPDQD%D÷OÕ,VÕøOHWLP'HQNOHPLQLQ6RQOX)DUN*|VWHULPL ………...} 6 1.2.1._{$oÕN([SOLFLW<|QWHP ………...} 6 1.2.2._{.DSDOÕ,PSOLFLW<|QWHP ………...} 7 1.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………... 7 1.4. _{9HNW|UYH0DWULV1RUPODUÕ ………...} 8 1.5. _{%LU0DWULVLQg]GH÷HUYHg]YHNW|UOHULh]HULQH*HQHO7DQÕPYH7HRUHPOHU} 10 1.6. _{$GL7UHYOL'LIHUDQVL\HO'HQNOHPOHUøoLQd|]P<|QWHPOHUL …………...} 11 1.6.1.Euler Yöntemi ………... 11 1.6.2.Runge-Kutta Yöntemi ………... 11

1.7. Method Of Lines (MOL Yöntemi) ………... 12

2. DIFFFUSION-CONVECTION DENK_{/(0ø9(%ø5YARI $1$/ø7øK ÇÖZÜM 14} 2.1. _{Piecewise Analitik Çözüm ………...} 15 3. DIFFFUSION-CONVECTI_{21'(1./(0ø1ø11h0(5ø. dg=h0/(5ø} 23 3.1. _{Euler Yöntemi ………...} 23 3.2. Runge-Kutta Yöntemi ………... 29 4. _{.$5$5/,/,.$1$/ø=ø ………...} 35 4.1. _{(XOHU<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L ………...} 35 4.2. Runge-_{.XWWD<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L ………...} 38 5. _{6218d9(.$5ù,/$ù7,50$ ………...} 42 KAYNAKLAR ………... 44 _{g=*(d0øù«««««««««««««««««...} 46

ù(.ø/'ø=ø1ø

ùHNLOÖrnek 3.1 için t DQÕQGDh=0.01, k= 0.0025GH÷HUOHULLoLQ3iecewise ve Euler

_{\|QWHPOHULLOHHOGHHGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 25} ùHNLOÖrnek 3.2 için t DQÕQGDh=0.01, k= 0GH÷HUOHULLoLQ3LHFHZLVHYH(uler

_{\|QWHPOHULLOHHOGHHGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 27} ùHNLOÖrnek 3.3 için t DQÕQGDh=0.01 , k=GH÷HUOHULLoLQ3LHFHZLVHYH(uler

_{\|QWHPOHULLOHHOGHHGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 29} ùHNLOÖrnek 3.4 için t DQÕQGDh=0.01, k= 0GH÷HUOHULLoLQ3LHFHZLVHYH5XQJH-

Kutta yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analitik çözümle

k_{DUúÕODúWÕUÕOPDVÕ...31} ùHNLOÖrnek 3.5 için t DQÕQGDh=0.01, k GH÷HUOHULLoLQ3LHFHZLVHYH5unge-

Kutta yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analitik çözümle

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ...32} ùHNLOÖrnek 3.6 için t DQÕQGDh=0.01, k GH÷HUOHULLoLQ3LHFHZLVHYH5XQJH-

Kutta yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analitik çözümle

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ...34}

7$%/2/$5'ø=ø1ø

Tablo 2.1. Örnek 2.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( h=0.01, k=0.01 ) ...20 Tablo 2.2. Örnek 2.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ( h=0.005, k=0.005 ) ... 20} Tablo 2.3. Örnek 2.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( h=0.01, k=0.01 ) ...21 Tablo 2.4. Örnek 2.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ( h=0.005, k=0.005 ) ...21 Tablo 2.5. Örnek 2.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ( h=0.01, k=0.01 ) ... 22} Tablo 2.6. Örnek 2.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ( h=0.005, k=0.005 ) ... 22 Tablo 3.1. Örnek 3.1’in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

k_{DUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 )...24} Tablo 3.2. Örnek 3.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N=200, h=0.005, k= 0.0005 ) ...24 Tablo 3.3. Örnek 3.2’nin t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...26} Tablo 3.4. Örnek 3.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =200, h=0.005, k= 0.0005 )...26 Tablo 3.5. Örnek 3.3’ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...28} Tablo 3.6. Örnek 3.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =200, h=0.005, k= 0.0005 )...28 Tablo 3.7. Örnek 3.4’ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...30 Tablo 3.8. Örnek 3.4’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

Tablo 3.9. Örnek 3.5’in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ... 31 Tablo 3.10. Örnek 3.5’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =200, h=0.005, k= 0.0005 )...32} Tablo 3.11. gUQHN¶QÕQt=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...33

Tablo 3.12. gUQHN¶QÕQt=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

_{NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =200, h=0.005, k= 0.0005 )...33} Tablo 5.1. Örnek 2.1’in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...41 Tablo 5.2. Örnek 2.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...42 Tablo 5.3. Örnek 2.3’ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) ...42

*ø5øù

%LOLPGH YH PDWHPDWLNWH ELUoRN ROD\ÕQ PDWHPDWLNVHO PRGHOL RODUDN NXOODQÕODn diffusion-convection denklemi; ₂ , 2 x u a x u t u ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ _ε

úHNOLQGH ELU ER\XWOX SDUDEROLN OLQHHU ELU NÕVPL GLIHUDQVL\HO GHQNOHPGLU %XUDGDε,

(

0_{<ε ≤}1

)

_{GLI]\RQNDWVD\ÕVÕYH a LVHÕVÕLOHWLPKÕ]ÕGÕU}

'HQNOHP OLQHHU NÕVPL GLIHUDQVL\HO GHQNOHP ROPDVÕQD UD÷PHQ DQDOLWLN RODUDN NROD\FDo|]OHELOLUELUGHQNOHPGH÷LOGLU<DNODúÕNDQDOLWLNo|]PGH Siemieniuch ve Gladwell [1] _{WDUDIÕQGDQ YHULOPLúWLU $QFDN EX o|]P GHQNOHPL WDP RODUDN} VD÷ODPDVÕQD UD÷PHQ VÕQÕU úDUWODUÕQÕQ GH÷LúLN VHoLPL LoLQ ROXúWXUXODQ EDúODQJÕo-VÕQÕU GH÷HU SUREOHPOHULQL VD÷ODPDPDNWDGÕU >@ %X QHGHQOH GHQNOHP |]HOOLNOH \DNODúÕN çözüm v_{H\D VD\ÕVDO o|]POH X÷UDúDQ DUDúWÕUPDFÕODUÕQ LOJLVLQL oHNPLúWLU YH GHQNOHPLQ} JQP]HNDGDUSHNoRNVD\ÕVDOo|]PYHULOPLúWLU

Siemieniuch ve Gladwell [1] denklemin _{ELUDoÕNVRQOXIDUNo|]PQ6RXVD} [3] ise _{GHQNOHPLQ NDUDUOÕOÕN OLPLWOHULQL GH LoHUHQ oHúLWOL VRQOX IDUN Weknikleri ile} çözümünü verdi. Kriventsev ve Ninokata [4] da denklem için bir tam sonlu fark yöntemi verdi.

<DNODúÕN o|]P LoLQ VRQOX HOHPDQ \|QWHPOHUL GH \D\JÕQ RODUDN NXOODQÕOGÕ Keramidas ve Papatheodorou [5] sonlu eleman yöntemi üzer_{LQHNXUXOPXúELUPRGHOLOH} denklemin çözümünü ve hata tahminlerini verdi. _{'RQHDYHGL÷HUOHUL>@LVHGHQNOHPLQ} en küçük kareler üzerine kurulm_{Xú ELU VRQOX HOHPDQ o|]PQ Anziam [7]} Sinc-Galerkin sonlu eleman çözümünü, _{0XHOOHUYH6KRUHV>@LVH\LQHD\QÕ\ÕO6LQF-Galerkin} yöntemi ile denklemin çözümünü elde ettiler.

'HQNOHP LoLQ  \ÕOÕQGD 5Õ]ZDQ-8GGÕQ >@ bir integral yöntemi çözümü, Juncu ve _{3RSD >@ LVH VWDQGDUW VRQOX HOHPDQ WHNQL÷L ]HULQH NXUXODQ *UDP matris} \DNODúÕPÕQÕYHUGLOHU&RPSDQ\YHGL÷HUOHUL>@LVHGHQNOHPH6LPSVRQLQWHJUDOWHNQL÷L ]HULQHNXUXOPXúELUIRXULHUG|QúPX\JXOD\DUDNELU\DNODúÕNo|]PYHUGL

6RQ \ÕOODUGD SRSOHU RODQ \DUÕ DQDOLWLN o|]P \|QWHPOHUL GH GHQNOHPLQ çözü_{PQ EXOPDN LoLQ NXOODQÕOGÕ Adomian [12] decomposition yönteminin bir} X\JXODPDVÕQÕ \DSWÕ /HFRW YH 6FKPLG >@ ]DPDQÕ D\UÕúWÕUPD ]HULQH WHPHOOHQPLú SDUoDFÕN \DNODúÕP PHWRGXQX  NXOODQGÕ N.$ ,VPDLO YH GL÷HUOHUL >@ WDUDIÕQGDQ

<DNÕQ WDULKWH 5DPRV >@ WDUDIÕQGDQ EX WU GHQNOHPOHULQ \DUÕ DQDOLWLN o|]POHULQGHQHOGHHGLOPHVLQGHNXOODQÕODQELUo|]P\|QWHPLYHULOGL

%X oDOÕúPDGD D\UÕúWÕUPD WHNQL÷L ]HULQH NXUXOPXú QPHULN \|QWHPOHUOH diffusion-_{FRQYHFWLRQGHQNOHPLLoLQ\DNODúÕNo|]POHUYHULOGL$\UÕúWÕUPDWHNQL÷LRODUDN} method of lines (MOL) ve nümerik yöntemler olarak da Euler ve Runge-Kutta \|QWHPOHULNXOODQÕOGÕ'DKDVRQUD, NXOODQÕODQ\|QWHPOHULoLQNDUDUOÕOÕNDQDOL]L\DSÕOGÕ

1. BÖLÜM

BAZI TEMEL KAVRAM VE YÖNTEMLER

Bu bölümde, _{oDOÕúPDPÕ]DWHPHOWHúNLOHGHFHN, Analiz ve NümHULN$QDOL]LQED]Õ} temel teorem_{WDQÕPYH\|QWHPOHULQLNÕVDFDJ|]GHQJHoLUHFH÷L]}

1.1. TUHYOHUH6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

6RQOX IDUN \DNODúÕPODUÕQÕ ROXúWXUPDN LoLQ IRQNVL\RQODUÕQ 7D\ORU DoÕOÕPODUÕ NXOODQÕOÕU. U(x,t),x ve t ED÷ÕPVÕ] GH÷LúNHQOHULQH J|UH \HWHULQFH WUHYOHQHELOLU ELU

fonksiyon olsun. h ve k_{VÕUDVÕ\OD x ve t  \|QQGHNL DUWPD PLNWDUODUÕ ROPDN ]HUH} ) , (x h t U + ve U(x−h,t)IRQNVL\RQODUÕQÕQxFLYDUÕQGD7D\ORUVHULDoÕOÕPODUÕ dir. gQFHPHUWHEHGHQWUHYOHULoLQIDUN\DNODúÕPODUÕQÕYHUHOLP 1.1.1. %LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

( )

xt

U , fonksiyonunun x yönündeki 1. mertebeden ∂U ∂x türevini göz önüne

DODOÕP 6ÕUDVÕ\OD.1) ve (1.DoÕOÕPODUÕ∂U ∂xLoLQo|]OUVHYHGL÷HUWDUDIWDQ.1)

ve (1._{  HúLWOLNOHUL WDUDI WDUDID oÕNDUÕOÕS} ∂U ∂x için çözülürse, x_{ QRNWDVÕ FLYDUÕQGD}

( )

xt U , IRQNVL\RQXQXQPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPODUÕVÕUDVÕ\OD

(

)

( )

( )

(

)

( )

...

( )

1.2 ! 3 ! 2 , , 1 . 1 ... ! 3 ! 2 , , 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U x U h x U h x U h t x U t h x U

(

) ( )

_{( )}

( ) (

)

_{( )}

(

) (

)

_{( )}

2 2 , , , , , , h O h t h x U t h x U x U h O h t h x U t x U x U h O h t x U t h x U x U + − − + = ∂ ∂ + − − = ∂ ∂ + − + = ∂ ∂

\DNODúÕPODUÕ \D]ÕODELOLU Burada “O´ VRQVX] WHULPOL ELU HúLWOL÷LQ sonlu bir terimde NHVLOGL÷LQL O(h)  WHULPL KDWDQÕQ h_→0_{ ROGX÷XQGD h ile orantÕOÕ ROGX÷XQX J|VWHULU YH} buna kesme (truncation_{KDWDVÕDGÕYHULOLU[16].}

%HQ]HUúHNLOGH U

(

x,t+k

)

ve U

(

x,t−k

)

IRQNVL\RQODUÕQÕQ t FLYDUÕQGDNL7D\ORU

DoÕOÕPÕ\DSÕOÕSJHUHNOLG]HQOHPHOHU\DSÕOÕUVDU

( )

x, fonksiyonunun t yönündeki 1. t

PHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPODUÕ,

(

) ( )

_{( )}

( ) (

)

_O

_{( )}

_k k k t x U t x U t U k O k t x U k t x U t U + − − = ∂ ∂ + − + = ∂ ∂ , , , ,

úHNOLQGHHOGHHGLOLU Burada O(kJ|VWHULPLKDWDQÕQkPHUWHEHVLQGHROGX÷XQXYHE|\OHFH

kLOHRUDQWÕOÕRODUDND]DODFD÷ÕQÕJ|VWHUPHNWHGLU 1.1.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

( )

x t U , fonksiyonunun 2 2 x U ∂ ∂  LNLQFLPHUWHEHGHQWUHY \DNODúÕPÕQÕEXOPDN için U

(

x+2h,t

)

ve U

(

x−2h,t

)

IRQNVL\RQODUÕQÕQxFLYDUÕQGDNL

(

x ht

)

U +_{2 ,} =

( )

...

( )

1.3 3 4 2 4 2 , ₃ 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + x U h x U h x U h t x U

(

x ht

)

U −2 , =

( )

...

( )

1.4 3 4 2 4 2 , ₃ 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − x U h x U h x U h t x U

7D\ORUVHULDoÕOÕPODUÕQÕJ|]|QQHDODOÕP (1.1) ve (1.3) denklemlerinden ∂U ∂x yok

edilir ve 2 2

x

U ∂

∂ için çözülürse_{ GL÷HU WDUDIWDQ  1.2) ve (1.4) denklemlerinden}

x U ∂

∂ yok edilir ve 2 2

x

U ∂

∂ için çözülürse ve_{\LQHEHQ]HUúHNLOGH.1) ve (1.2)} denklemlerinden ∂U ∂x yok edilir ∂2U ∂x2LoLQo|]OUVHVÕUDVÕ\OD

( )

(

) (

)

O

( )

h h t h x U t h x U t x U x U + + + + − = ∂ ∂ 2 2 2 , 2 , 2 ,

(

)

(

) ( )

_O

_{( )}

_h h t x U t h x U t h x U x U + + − − − = ∂ ∂ 2 2 2 _{2 , 2 , ,}

(

)

( ) (

)

_{( )}

2 2 2 2 , , 2 , h O h t h x U t x U t h x U x U + + + − − = ∂ ∂ \DNODúÕPODUÕEXOXQXU

Kabul edelim ki l_{ VRQOX ELU VD\Õ ROPDN üzere problemin çözüm bölgesi}

l x≤

≤

0 ve t_>0 olsun. 6RQOX IDUN \DNODúÕPÕQGD SUREOHPLQ o|]P E|OJHVL N alt

DUDOÕ÷D E|OQU *HQHOOLNOH LúOHPOHUGH NROD\OÕN EDNÕPÕQGDQ EX DUDOÕNODU KHU ]DPDQ DGÕPÕnda yani ∆t≡k de h≡∆x=l/NRODFDNúHNLOGHHúLWYH

(

x_i,t_j

)

PHVKQRNWDODUÕ,

, 0,1,2,... ,... 2 , 1 , 0 , = = ∆ = = = ∆ = j jk t j t N i ih x i x j i

RODUDN DOÕQÕU, öyle ki U

( )

x,t  ED÷ÕPOÕ GH÷LúNHQL VDGHFH EX PHVK QRNWDODUÕQGD

GH÷HUlendirilir.

Bir P

(

ih, jk

)

_{PHVKQRNWDVՁ]HULQGHU QXQGH÷HUL}

(

)

j i j i P U ih jk U U U = , ≅ _, ≅

ifadelerinin biri ile gösterilir.

%XJ|VWHULPLQNXOODQÕOPDVÕYHKDWDODUÕQLKPDOHGLOPHVL\OHYHPHUWHEHGHQ türevlere sonlu fa_{UN\DNODúÕPIRUPOOHUL}

h U U x U _ij − _ij ≅ ∂ ∂ +1 h U U x U _ij − _ij₋₁ ≅ ∂ ∂ h U U x U _ij _ij 2 1 1 − + − ≅ ∂ ∂ k U U t U _ij − _ij ≅ ∂ ∂ +1 k U U t U _ij − _ij−1 ≅ ∂ ∂

₂1 2 2 2 ₂ h U U U x U _ij − _ij₊ + _ij₊ ≅ ∂ ∂ 2 ₂ 1 2 2 ₂ h U U U x U _ij − _ij + _ij ≅ ∂ ∂ − − 1 ₂ 1 2 2 ₂ h U U U x U _ij₋ − _ij + _ij₊ ≅ ∂ ∂ úHNOLQGHLIDGH edilir.

1.2. =DPDQD%D÷OÕ,VÕøOHWLP'enkleminin Sonlu Fark Gösterimi

1.2.1. $oÕN(Explicit) Yöntem

( )

1.5 2 2 x U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ SDUDEROLNGHQNOHPLQGHNÕVPLWUHYOHU\HULQH k U U t U _ij − _ij = ∂ ∂ +1 2 1 1 2 2 ₂ h U U U x U _ij₊ − _ij + _ij₋ = ∂ ∂ LIDGHOHUL\D]ÕOÕUVD 2 1 1 1 ₂ h U U U k U U_ij+ _ij _ij₊ − _ij + _ij₋ = − olur. _{%XHúLWOLNWH} 2 / h k r= seçersek

sonlu fark formülü elde edilir. Burada ∆x≡h ve ∆t≡k GÕU

(

)

,... 2 , 1 , 0 1 ,... 2 , 1 2 1 ₁ 1 1 = − = + − + = + − + j N i rU U r rU U j i j i j i j i

1.2.2. .DSDOÕ(Implicit) Yöntem (1.5) denkleminde k U U t U _ij − _ij = ∂ ∂ +1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 h U U U x U _ij₊+ − _ij+ + _i−j+ = ∂ ∂ ifa_{GHOHUL\HULQH\D]ÕOÕUYH} 2 / h k r= seçilirse

(

)

j i j i j i j i rU rU U rU + + − = − + − + + + 1 1 1 1 1 1 2 elde edilir.

1.3. Crank-Nicolson Sonlu Fark Yöntemi

(1.5) _{denkleminde yine} k U U t U _ij − _ij = ∂ ∂ +1       − + ₊ − + = ∂ ∂ ++ + −+ + − 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 _{2 2} 2 1 h U U U h U U U x U _ij _ij _ij _ij _ij _ij DOÕQÕUVD,

[

2

]

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 h U U U h U U U k U U_ij _ij _ij _ij _ij _ij _ij _ij − + + − + + + + _{− +} + + − = − Crank-Nicolson so_{QOXIDUN\DNODúÕPÕHOGHHGLOLU}

1.4. 9HNW|UYH0DWULV1RUPODUÕ

1.4.1. 7DQÕP x=

(

x1,x2,...,xn

)

, n

IR üzerinde bir vektör olsun.

x

( )

x x IR IRn = → → :

LOH WDQÕPODQDQ G|QúPH ELU YHNW|U QRUPX GHQLU Vektör normu, vektörün E\NO÷QQSR]LWLIUHHOVD\ÕODUODYHULOHQELU|OoVGUYH x ile gösterilir. c∈ ve IR

∈

y

x, IRn olmak üzere vektör normu,

i) x_≠0 ise x _>0 ve x ₌0_⇔x₌0 ii) cx = c x

iii) x+y ≤ x+ y

özelliklerine sahiptir [17].

Bir x_∈IRn vektörünün p₋normu

p n i p i p x x 1 1       =

∑

=

ile _{WDQÕPODQÕUYHJHQHOOLNOH}p₌1,2,_∞ LoLQQRUPWDQÕPODUÕNXOODQÕOÕU[17]. %XQODUNÕVDFD 2 1, x x ve ∞ x VHPEROOHULLOHJ|VWHULOLUYHVÕUDVÕ\OD

∑

= = + + + = n i i n x x x x x 1 2 1 1 ...

(

)

2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ...       = + + + =

∑

= n i i n x x x x x ve

_i n i x x ≤ ≤ ∞ =max1 RODUDNWDQÕPODQÕU[18]. 1.4.2. 7DQÕP

[ ]

nxn ij a

A= reel bir matris olsun.

A

( )

A A IR IRn n = → → : úHNOLQGHWDQÕPODQDQG|QúPH n n

IR üzerinde bir matris normu denir. Matris normu, PDWULVLQE\NO÷QQSR]LWLIUHHOVD\ÕODUODYHULOHQELU|OoVGU. n

n

IR B

A, ∈ ve c∈ IR

olmak üzere bir matris normu,

i) A _≥0 ve A =0⇔ A=0_nxn

ii) cA = c A

iii) A+B ≤ A + B

iv) AB ≤ A B

özelliklerine sahiptir [17].

1.4.3. 7DQÕP , IRn üzerinde bir vektör normu ise A Ax

x 1 max

= =

ifadesi nxn WLSLQGHNL PDWULVOHULQ NPHVL ]HULQGH ELU PDWULV QRUPX WDQÕPODU Bu

norma ikincil (subordinateYH\DGR÷DOPDWULVQRUPXGHQLU[18].

Bir n n

IR

A∈ matrisi üzerinde genellikle A₁, A₂ ve ∞ A ile gösterilen VÕUDVÕ\OD

∑

= ≤ ≤ = n i ij n j a A 1 1 1 max

∑

= ≤ ≤ ∞ = n i ij n i a A 1 1 max

A = ρ

( )

ATA

2 GÕU

%LU0DWULVLQg]GH÷HUYHg]YHNW|UOHULh]HULQH*HQHO7DQÕPYH7HRUHPOHU

1.5.1. 7DQÕP A∈IRnn ve λ∈IR olmak üzere

P

( )

λ = det

(

A−λI_n

)

RODUDNWDQÕPODQDQ P polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir [17].

1.5.2. 7DQÕP: A∈IRnn matrisinin karakteristik polinomu P ise P polinomunun

köklerine A matrisinin karakteristik d_{H÷HUOHULYH\D|]GH÷HUOHULGHQLU>@.}

1.5.3 7DQÕP: A∈IRnn PDWULVLQLQ|]GH÷HUOHULλi

(

i=1,2,...,n

)

ROPDN]HUHVÕIÕUGDQ

IDUNOÕELU n

IR

x∈ vektörü için

(

A₋λI_n

)

x₌0

|]HOOL÷LQLVD÷OD\DQ x vektörüne A matrisinin _{λ|]GH÷HULQHNDUúÕOÕNJHOHQNDUDNWHULVWLN} vektörü denir [17].

1.5.4. 7DQÕP A∈IRnn matrisinin λi

(

i=1,2,...,n

)

|]GH÷HUOHULQLQ modülünün en

E\÷QH A PDWULVLQLQVSHNWUDO\DUÕoDSÕGHQLUYHρ

( )

A ile gösterilir. Buna göre A matrisinin ρ

( )

A VSHNWUDO\DUÕoDSÕ

ρ

( )

A = i

i λ

max dir [18].

1.5.5. Teorem ( Gerschgorin Teoremi )

Bir n n IR A∈ matrisinin |]GH÷HUOHULQLQPRGOQQHQE\÷PDWULVLQherhangi VDWÕUYH\DKHUKDQJLVWXQELOHúHQOHULQLQPRGOOHULWRSODPÕQÕJHoHPH]Yani,

( )

1 A A ≤ ρ veya

( )

∞ ≤ A A ρ GÕU[18].

1.5.6. Teorem (Gerschgorin Çember Teoremi veya Brauer Teoremi)

Bir

[ ]

n

n

ij IR

a

A= ∈ matrisinin a_ss GLDJRQDO HOHPDQÕ KDULo .s  VDWÕUÕQGDNL

ELOHúHQOHULQLQ PXWODN GH÷HUOHUL WRSODPÕ Ps ile gösterilsin. Bu takdirde A matrisinin

herbir λi |]GH÷HUL  λi −ass ≤Ps çemberlerinin en az birinin içinde veya üzerinde

bulunur [18].

1.5.7. Teorem: A∈IRnn matrisinin λi |]GH÷HUOHUL *HUVFKgorin Çember Teoremi

\DUGÕPÕ\ODWDKPLQHGLOGL÷LQGH_{λi ≤}1_{úDUWÕ, ≤}1 ∞

A veya 1

1 ≤

A ’ e denktir [18].

1.6. Birinci mertebeden adi türevli diferansiyel denklemler için çözüm yöntemleri

1.6.1. Euler Yöntemi

Euler yöntemi f

( )

x y dx

dy

,

= úHNOLQGH ELULQFL PHUWHEH adi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümünde oldukça etkili ve basit bir yöntemdir. _{$UWÕúPLNWDUÕ}

h QÕQ NoN GH÷HUOHUL LoLQ ROGXNoD L\i çözümler üretir. $OJRULWPDVÕ DúD÷ÕGDNL JLEL

verilebilir. Algoritma :

( )

( )

, , 0 0 y x y y x f dx dy = = EDúODQJÕoGH÷HUSUREOHPLYHULOVLQ , 0 > h n₌0,1,2,... için , 1 x h x_n = _n + +

(

n n

)

n n y hf x y y _{+1 = +} , hesa_{SODQÕU [17].} 1.6.2. Runge-Kutta Yöntemi %HQ]HUúHNLOGHRunge-Kutta yöntemi de f

( )

x y dx dy , = úHNOLQGHNLELULQFLPHUWHEH adi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümünde _{NXOODQÕODQ etkili yöntemlerden}

birisidir. _{$UWÕúPLNWDUÕhQÕQGXUXPXQDED÷OÕROPDNVÕ]ÕQROGXNoDL\Lo|]POHUYHUHQELU} yöntemdir. Algorit_{PDVÕDúD÷ÕGDNLJLEL\D]ÕODELOLU}

Algoritma:

( )

( )

, , 0 0 y x y y x f dx dy = = EDúODQJÕoGH÷HUSUREOHPLYHULOVLQ , 0 > h n₌0,1,2,... için h x x_n+1 = _n+ ve

(

)

(

)

(

1 2

)

1 1 2 1 2 1 , , k k h y y k y h x f k y x f k n n n n n n + + = + + = = + KHVDSODQÕU [17].

1.7. Method of Lines (MOL )

Bu yöntem, _{NÕVPLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPOHULQQPHULNo|]POHULQLHOGHHWPHNte} NXOODQÕODQ  ELU \DNODúÕPGÕU Yöntem, fen ve mühendislikte çok \D\JÕQODúPÕú W.E. Schiesser [19]_{YHDUNDGDúODUÕQÕQ oDOÕúPDODUÕQGDJHQLú\HUDOPÕúWÕU}

_{02/IDUNOÕWLSWHNLNÕVPLWUHYOLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPOerinEDúODQJÕoYHVÕQÕU} GH÷HUOHULQL LoHUHQ SUREOHPOHULQGH ROGXNoD JHQLú ELU X\JXODPD DODQÕ EXOPXúWXU [19]. Yöntemde_{NL WHPHO GúQFH NRQXP \|QQGHNL NÕVPL WUHYOHUin sonlu fark} yak_{ODúÕPODUÕ\OD \HQLGHQ G]HQOHQLS, sadece zaman türevlerinH YH\D H÷HU GHQNOHP} ]DPDQGDQED÷ÕPVÕ] ise konum yönündeki 1. türevlere ) ED÷OÕELUELULQFLPHUWHEHGHQDGL diferansiyel denklem sistemi_{ ROXúWXUPDNWÕU. BöyOHFH ELU NÕVPL WUHYOL GHQNOHP Gaha} NROD\o|]OHELOHQDGLWUHYOLGHQNOHPHG|QúWUOPúROXU

Bir örnek verecek olursak; diffusion-convection denklemi olarak bilinen x u a x u t u ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 ε denkleminde x’ _{HED÷OÕWUHYOHULQ\erine}

h U U x U h U U U x U i i i i i 2 2 1 1 2 1 1 2 2 − + − + − = ∂ ∂ + − = ∂ ∂ úHNOLQGHVRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕQÕ DOÕUVDN

(

1 1

)

(

1 1

)

2 + −2 + − −₂ + − − = i i i Ui Ui h a U U U h dt dU ε

elde edilir. B_{DúODQJÕo YH VÕQÕU GH÷HUOHULQGHQ GROD\Õ HúLWOL÷LQ VD÷ WDUDIÕ bilindL÷L J|]} önünde bulundurulursa t _{ED÷ÕPVÕ] GH÷LúNHQOL Eirinci mertebeden bir adi türevli} denklem sistemi elde edilir.

2. BÖLÜM

DIFFUSION-CONVECTI21'(1./(0ø9(%ø5<$5,$1$/ø7ø.dg=h0

Bu bölümde, bilimde ve mühendislikte bir_{oRN ROD\ÕQ PDWHPDWLNVHO PRGHOL} RODUDN NXOODQÕODQ  GLIIXVLon-FRQYHFWLRQ  GHQNOHPLQLQ  ELU \DUÕ DQDOLWLN ( piecewise ) çözümü verilecektir. Diffusion-convection denklemi, 0 , 1 0 , 2 2 ≥ ≤ ≤ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ _{x t} x u a x u t u ε (2.1) úHNOinde bir boyutlu, lineer, parabolik bir NÕVPLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPGLU

Denklem,

( )

( )

( )

1,

( )

, 0 0 , , 0 2 1 > = > = t t g t u t t g t u 'LULFKOHWVÕQÕUúDUWODUÕYH u

( )

x,0 ₌ f

( )

x, 0_≤ x_≤1, EDúODQJÕoúDUWÕQDED÷OÕRODUDNYHULOVLQBurada g₁

( )

t , g₂

( )

t ve f

( )

x IRQNVL\RQODUÕQÕQ YHULOGL÷LQLNDEXOHGHOLP

Denklemde ε_{GLI]\RQNDWVD\ÕVÕ olup, 0<ε ≤}1_{úHNOLQGHELUVDELW,} xNRQXPNRRUGLQDWÕ

t zaman, uED÷ÕPOÕGH÷LúNHQYHa∈IR ÕVÕLOHWLPKÕ]ÕGÕU

Diffusion-_{FRQYHFWLRQ GHQNOHPL ELUoRN DODQGDNL SUREOHPOHUGH X\JXODQPDNWDGÕU} gUQH÷LQkütle transferi, enerji transferi, nötron transferi, moment transferi gibi [14]. 'HQNOHP OLQHHU ELU NÕVPL GLIHUDQVL\HO GHQNOHP ROPDVÕQD UD÷PHQ DQDOLWLN RODUDN kolayca ç_{|]OHELOHQ ELU GHQNOHP GH÷LOGLU YaNODúÕN DQDOLWLN o|]P RODUDN J.L.} Siemieniuch ve I. Gladwell [1] _{WDUDIÕQGDQYHrilen}

( )

( )

( )

(

)

(

)

         ₋ − + −       − +          _{+ − +} +             + +       − = t t x t t t x erfc t x t t x erfc x t t x erfc t x u 4 2 exp 2 2 2 2 1 1 exp 2 exp 2 2 1 , 2 λ π λ λ λ λ λ λ λ λ

LIDGHVL NXOODQÕOPDNWDGÕU %X DVOÕQGD GHQNOHPL WDP RODUDN VD÷ODPDVÕQD UD÷PHQ VÕQÕU úDUWODUÕQÕQ GH÷LúLN VHoLPL LoLQ ROXúWXUXODQ EDúODQJÕo-VÕQÕU GH÷HU problemlerini VD÷ODPDPDNWDGÕU[1] .

Bu tür den_{NOHPOHULQ \DUÕ-analitik çözümünü elde etmek için J.I. Ramos} WDUDIÕQGDQJHQHOELU\DNODúÕP\|QWHPLYHULOGL>].

Biz diffusion-convection denklemi için bu yöntemi kullanarak bir analitik çözüm EXODFD÷Õ]

2.1. Piecewise-analitik çözüm

J.I. 5DPRV\ÕOÕQGDJHQHO denklemi

( )

( )

f

( )

x t x u u t x b x u t x a t u , , , ₂ 2 + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{ε , 0<x<1, t >0} EDúODQJÕoúDUWÕ u

( )

x,0 =u₀

( )

x , 0≤ x≤1 VÕQÕUúDUWODUÕ u

( ) ( )

0,t =u1,t =0, t≥0

úHNOLQGHNL NÕVPL GLIHUDQVL\HO SUREOHPOHULQ DQDOLWLN o|]P LoLQ ]DPDQD ED÷OÕ WUHY WHULPLQL GLVNUL]H HGLS NÕVPL WUHYOL GHQNOHPL KHU ELU ]DPDQ DGÕPÕQGD ELU DGL WUHYOL GHQNOHPH G|QúWUG YH E|\OHFH EX WU GHQNOHPOHU LoLQ EX úHNLOGH ELU \DUÕ DQDOLWLN o|]PEXOXQDELOHFH÷LQLJ|VWHUGL

ùLPGLEX\|QWHPL (2.1) GHQNOHPLQHX\JXOD\DOÕP

=DPDQD ED÷OÕ WUHY LoLQ LOHUL IDUN IRUPO NXOODQÕODUDN GHQNOHP GLVNUL]H HGLOLUVH DúD÷ÕGDNLOLQHHUDGLdiferansiyel denklem elde edilir.

1 , 0 1, 1, 2 2 + ≤ ≤ < < = − + n n n t t t x k u dx u d dx du a u k ε

HúLWOL÷LQGH k, t yönünde mesh X]XQOX÷X YH n, n]DPDQ DGÕPÕ olmak üzere _≡ n+1

u u , k u u t u n − n = ∂ ∂ +1 dir.

>@DUDOÕ÷Õh= xi₊₁−xi olmak üzere, NHúLWSDUoD\DE|OQVQBu durumda, i n i S k u ≡

1 1 1 2 2 , , 1 ₊ + − < < ≤ ≤ ≡ = − + n n i i i n i t t t x x x S k u dx u d dx du a u k ε úHNOLQGH\D]ÕODELOLUGerekli düzenlemeler\DSÕOÕUVD, u Si k dx du a dx u d − = − − 1 2 2 ε veya ₂ 1

( )

2.2 2 ε ε ε i S u k dx du a dx u d − = − −

elde edilir. Bu denklem, u _{ED÷ÕPOÕ x ED÷ÕPVÕ] GH÷LúNHQOL VDELW NDWVD\ÕOÕ homojen} olmayan bir adi türevli denklemdir.

IR

m∈ veya m∈C olmak üzere _u=_em(x−xi)úHNOLQGHNLçözümleri bulmak için

( )

2.2 denkleminde _{WUHYOHU\HULQH\D]ÕOÕUVD} ( ) ( ) ( ) ( ) 1 _, 1 2 2 ε ε ε ε ε ε i x x m i x x m x x m x x m S k m a m e S e k me a e m i i i i − =       _{− −} − = − − − − − − elde edilir. Burada, k H ve a G_{i i} ε ε 1 2 _{=− =− úHNOLQGHDOÕQÕUVDGHQNOHPLQkarakteristik} polinomu 2 2 0 = + + Gim Hi m

úHNOLQGH \D]ÕODELOLU. _∆>0 ve Hi _≠0 ROGX÷XQGan karakteristik polinomun LNL IDUNOÕ kökü m₁ ve m₂ ise

( )

2.2 nin genel çözümü

( ) ( ) i x x m x x m i _{c e} i e c u= 1 − + 2 − +α 2 1 úHNOLQGHGLU

Burada αi özel çözüm olup

i i i H S ε α =− dir. _ù|\OHNL

i i i i i i i u H S u H S u k S u S u k α ε ε ε ε ε ε = − =       − = = − = − 1 1 olur. _{(÷HUJHQHO çözüm} u

( )

xi_{−1 =}ui₋₁ , u

( )

xi ₌ui,u

( )

xi_{+1 =}ui₊₁

RODFDNúHNLOGHGH÷HUOHQGLULOLUVH c1 ve c2 sabitleri için

%XoGHQNOHPDUDVÕQGDQc1 yok edilirse;

(

)

(

)

_{( )}

(

)

(

)

i h m h m h m i h m i i i h m h m i i i h m h m i h m i i i i h m h m h m i h m i i i h m h m i h m h m i i h m h m i i i e e c e e u u e c e c u u ve e e e u u c e e c e e u u e c e e c e u e c e c u u α α α α α α α α α α α α + − − − = + + − − = − − − − = − + − − − = + + − − = + + − − = + + − − − − − − − − − − − − − − − − 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 3 . 2 ) (

(

)

( )

2.4 2 1 1 1 2 mh mh i h m i i i e e e u u c − − − − = − + α α

olarak elde edilir.

( )

2.3 ve

( )

2.4 _{HúLWOL÷LQGHQ}

(

)

(

_mh

)

_mh i h m i i i h m h m i h m i i i e e e u u e e e u u 2 1 1 2 1 1 1 1 − − − − = − − − − + − − − − α α α α

cebirsel denklem sistemi b_{XOXQPXúROXUGerekli düzenlemeler\DSÕOÕUVD}

i h m h m i i i i h m h m i e c e c u c c u e c e c u α α α + + = + + = + + = + − − − 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1

(

)

(

)

h m h m h m i i h m i h m h m h m h m h m i i h m i h m h m e e e u e u e e e e e u e u e e 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − − + − + − = − − + − + − − − + − − − − − α α ) 1 1 ( ) ( 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 h m h m h m h m h m h m i i h m h m h m h m h m h m i h m h m i h m h m e e e e e e u e e e e e e u e e u e e − − + − + − = − + − − + − − − − − − − − − + − − − α

úHNOLQGH genel formda ifade edilebilir. Burada ui−1 QLQ NDWVD\ÕVÕQD p, ui+1 nin NDWVD\ÕVÕQDq,α_iQLQNDWVD\ÕVÕQDGDs denilirse p = _{mh mh} e e 1 2 1 − − ₋ q = _{mh mh} e e 1 2 1 − s = _p

(

1−_e−m1h

) (

+_qem1h −1

)

olmak üzere, A= ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 − − − − − −                                 + − − + − − + − − + − N x N h m h m h m h m h m h m h m h m qe pe p q qe pe p q qe pe p q qe pe U=                                 − − 1 2 2 1 . . . N N u u u u ve B=                                 − − s s s s N N 1 2 2 1 . . . α α α α

úHNOLQGHDOÕQÕUVD AU=B HúLWOL÷LDúD÷ÕGDNLPDWULVIRUPXQGD\D]ÕODELOLU.                                 + − − + − − + − − + − − − − − h m h m h m h m h m h m h m h m qe pe p q qe pe p q qe pe p q qe pe 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0                                 − − 1 2 2 1 . . . N N u u u u =                                 − − s s s s N N 1 2 2 1 . . . α α α α (2.5)

(÷HUEDúODQJÕoYHVÕQÕUGH÷HUOHULLOHdenklemdeki ε ve a sabitleri verilirse bu sistem bilinen bir yolla çözülerek diffusion-_{FRQYHFWLRQ GHQNOHPL LoLQ \DNODúÕN} çözümler elde edilir. _{%L]EXUDGDDúD÷ÕGDNLo|UQHNLoLQ\DUÕDQDOLWLNo|]POHUHOGHHWWLN} YHGHQNOHPOHULQDQDOLWLNo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUPDVÕQÕGDWDEORODUKDlinde verdik. Örnek 2.1. ₂ 2 02 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0_,

d_{HQNOHPLJ|]|QQHDOÕQVÕQ. Denklemin analitik çözümü} u( tx, ) = e1.1771243444677046x−0.09t

dir [14]. _{'HQNOHPEDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLOHGúQOUVH, çözüm sistemi (2.5) den} VÕUDVÕ\ODN ₌100 ve N ₌200 için Crout yöntemi ile çözüldü ve sonuçlar Tablo 2.1 ve Tablo 2.2 _{GHGH÷HUOHQGLULOGL}

Tablo 2.1. Örnek 2.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕh=0.01, k=0.01 )

x Piecewise analitik çözüm Tam çözüm

0.0 0.91393118 0.91393118 0.1 1.03076857 1.02810000 0.2 1.16042563 1.15653085 0.3 1.30573634 1.30100537 0.4 1.46894492 1.46352770 0.5 1.65245936 1.64635242 0.6 1.85887819 1.85201577 0.7 2.09102599 2.08337057 0.8 2.35184426 2.34362650 0.9 2.64391685 2.63639357 1.0 2.96573347 2.96573347

Tablo 2.2. Örnek 2.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕh=0.005, k=0.005 ) Örnek 2.2. ₂ 2 01 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0_,

denklemi _{J|] |QQH DOÕQVÕQ. Denklemin analitik çözümü}

( )

x t

e t x

u , = 9 −0.09 [14] olup Örnek 2._{ LoLQ \DSÕODQ LúOemler tekrarlanarak, sonuçlar Tablo 2.3 ve Tablo 2.4 de} NDUúÕODúWÕUÕOGÕ

x Piecewise analitik çözüm Tam çözüm

0.0 0.91393118 0.91393118 0.1 1.02944006 1.02810000 0.2 1.15849404 1.15653085 0.3 1.30339553 1.30100537 0.4 1.46626702 1.46352770 0.5 1.64944101 1.64635242 0.6 1.85548614 1.85201577 0.7 2.08724034 2.08337057 0.8 2.34777459 2.34362650 0.9 2.64017959 2.63639357 1.0 2.96573347 2.96573347

Tablo 2.3. Örnek 2.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕh=0.01, k=0.01 )

x Piecewise analitik çözüm Tam çözüm

0.0 0.91393118 0.91393118 0.1 2.26194762 2.24790801 0.2 5.56825362 5.52896161 0.3 13.69694246 13.59905226 0.4 33.68924268 33.44826946 0.5 82.86217733 82.26946321 0.6 203.80706893 202.35027108 0.7 501.25312608 497.70119611 0.8 1232.37294801 1224.14767305 0.9 3026.18372703 3010.91645604 1.0 7405.66107180 7405.66107180

Tablo 2.4. Örnek 2.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕh=0.005, k=0.005 )

x Piecewise analitik çözüm Tam çözüm

0.0 0.91393118 0.91393118 0.1 2.25504962 2.24790801 0.2 5.54903591 5.52896161 0.3 13.64911383 13.59905226 0.4 33.57151859 33.44826946 0.5 82.57261911 82.26946321 0.6 203.09527655 202.35027108 0.7 499.51568416 497.70119611 0.8 1228.33015391 1224.14767305 0.9 3018.60864316 3010.91645604 1.0 7405.66107180 7405.66107180 Örnek 2.3. ₂ 2 022 . 0 5 . 3 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0_,

denklemi ele_{DOÕQVÕQ. Denklemin analitik çözümü} u( tx, ) =e0.028547979919275532x−0.0999t dir [14]_{%HQ]HUúHNLOGH, Örnek 2.1 ve Örnek 2.2GH\DSÕODQLúOHPOHUWHNUDUODQDUDNEXOXQDQ} çözümler tablolar_{GDNDUúÕODúWÕUÕOPÕúWÕU}

Tablo 2.5. Örnek 2.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕh=0.01, k=0.01 )

x Piecewise analitikçözüm Tam çözüm

0.0 0.90492791 0.90492791 0.1 0.90851925 0.90751498 0.2 0.91121409 0.91010946 0.3 0.91391693 0.91271135 0.4 0.91662778 0.91532068 0.5 0.91934667 0.91793747 0.6 0.92207363 0.92056174 0.7 0.92480868 0.92319351 0.8 0.92755183 0.92583281 0.9 0.93030313 0.92847965 1.0 0.93113406 0.93113406

Tablo 2.6. Örnek 2.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve tam çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( h=0.005, k=0.005 )

x Piecewise analitik çözüm Tam çözüm

0.0 0.90492791 0.90492791 0.1 0.90801805 0.90751498 0.2 0.91066375 0.91010946 0.3 0.91331716 0.91271135 0.4 0.91597830 0.91532068 0.5 0.91864720 0.91793747 0.6 0.92132387 0.92056174 0.7 0.92400834 0.92319351 0.8 0.92670063 0.92583281 0.9 0.92940077 0.92847965 1.0 0.93113406 0.93113406

3. BÖLÜM

DIFFUSION-CONVECTI21'(1./(0ø1ø11h0(5ø.dg=h0/(5ø

Bu bölümde MOL yöntemiyle diskrize edilerek birinci mertebe bir adi GLIHUDQVL\HO GHQNOHPH G|QúWUOPú RODQ GLIIXVLRQ-convection denkleminLQ \DNODúÕN çözümleri; 1.Bölümde verilen Euler ve Runge-_{.XWWD DOJRULWPDODUÕ X\JXODnarak elde} edilecektir. 3.1. Euler Yöntemi ₂ , 0 1, 0 2 ≥ ≤ ≤ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ _{x t} x u a x u t u ε %XGHQNOHPLoLQ'LULFKOHWVÕQÕUúDUWODUÕ

( )

( )

( )

1,

( )

, 0 0 , , 0 2 1 > = > = t t g t u t t g t u EDúODQJÕoúDUWÕ u

( )

x,0 ₌ f

( )

x, 0_≤ x_≤1

EDúODQJÕoGH÷HUSUREOHPLQi göz önüne DODOÕP'HQNOHP MOL yöntemi ile diskrize edilirse; 1 2 2 1 2 ₂ 2 2 + _ −     ₊ + −       ₋ = i i Ui h a h U h U h a h dt dU ε ε ε i₌1,2,...,N₋1

adi türevli diferansiyel denklem sistemi elde edilir. Bu sisteme Euler yöntemi DOJRULWPDVÕQÕQX\JXODQPDVÕLOH j i j i j i j i j i U h ah k U h k U h ah k U U ₁ 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 − + + _      + + −       − + = ε ε ε i₌1,2,...,N ₋1 (3.1) çözüm formülü bulunur.

Örnek 3.1. ₂ 2 02 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0, 1 . 0 =

a _{ve ε =}0.02 de_{÷HUOHUL için diffusion-convection denkleminin analitik} çözümünün

u( tx, ) = e1.1771243444677046x−0.09t

ROGX÷X%|OPGHYHULOPLúWLSeçilen bu ε ve a_{GH÷HUOHULLoLQdiffusion-convection} denkleminin nümerik çözümleri_{LIDGHVLNXOODQÕODUDN,} t₌1 GH÷HULQGH,NDUDUOÕOÕN úDUWÕVD÷ODQDFDNúHNLOGHDOÕQDUDNHOGHHGLOGL Sonuçlar Tablo 3.1 ve Tablo 3.2 de analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOGÕ

Tablo 3.1. Örnek 3.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 1.03616297 1.16993119 1.31802825 1.48337792 1.66887137 1.87731016 2.11134798 2.37282985 2.66066831 2.96573347 0.91393118 1.02809323 1.15651916 1.30099014 1.46350971 1.64633191 1.85199269 2.08334528 2.34360044 2.63637264 2.96573347 0.91393118 1.02810000 1.15653085 1.30100537 1.46352770 1.64635242 1.85201577 2.08337057 2.34362650 2.63639357 2.96573347

Tablo 3.2. Örnek 3.1’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 1.03795406 1.17296881 1.32185810 1.48781085 1.67388367 1.88294132 2.11759849 2.37939002 2.66606079 2.96573347 0.91393118 1.02809858 1.15652839 1.30100216 1.46352392 1.64634812 1.85201089 2.08336529 2.34362101 2.63638924 2.96573347 0.91393118 1.02810000 1.15653085 1.30100537 1.46352770 1.64635242 1.85201577 2.08337057 2.34362650 2.63639357 2.96573347

                  [ X HXOHU DQDOLWLN SLHFHZLVH

ùHNLO 3.1. Örnek 3.1 için t  DQÕQGD h=0.01, k= 0.0025 GH÷HUOHUL LoLQ Piecewise ve Euler yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin ana_{OLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ}

Örnek 3.2. ₂ 2 01 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0, 1 . 0 =

a ve ε =0.01 GH÷HUOHUL için diffusion-convection denkleminin analitik çözümünün

( )

x t e t x u , ₌ 9 −0.09

ROGX÷X  %|OP  GH YHULOPLúWL %HQ]HU úHNLOGH t₌1 GH÷HULQGH NDUDUOÕOÕN úDUWÕ VD÷ODQDFDNúHNLOGH DOÕQDUDN elde edilen nümerik çözümler Tablo 3.3 ve Tablo 3.4 de DQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOGÕ

Tablo 3.3. Örnek 3.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 2.29663533 5.66629840 13.94086812 34.28955877 84.33870433 207.43708929 510.12535877 1253.04006246 3063.35821344 7405.66107180 0.91393118 2.24665479 5.52529717 13.58984145 33.42557047 82.21364602 202.21335367 497.37152743 1223.41317774 3009.68504138 7405.66107180 0.91393118 2.24790801 5.52896161 13.59905226 33.44826946 82.26946321 202.35027108 497.70119611 1224.14767305 3010.91645604 7405.66107180

Tablo 3.4. Örnek 3.2’ nin t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 2.30681564 5.69390039 14.00888686 34.45679037 84.75003667 208.44959545 512.62569383 1259.11613179 3075.25703098 7405.66107180 0.91393118 2.24759569 5.52804831 13.59675577 33.44261138 82.25555336 202.31611955 497.61909477 1223.96460391 3010.61026046 7405.66107180 0.91393118 2.24790801 5.52896161 13.59905226 33.44826946 82.26946321 202.35027108 497.70119611 1224.14767305 3010.91645604 7405.66107180

                    [ X HXOHU DQDOLWLN SLHFHZLVH

ùHNLO 2. Örnek 3.2 için t  DQÕQGD h=0.01, k   GH÷HUOHUL LoLQ Piecewise ve Euler yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analiti_{No|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ}

Örnek 3.3. ₂ 2 022 . 0 5 . 3 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0, 5 . 3 =

a _{ve ε =}0.022_{ GH÷HUOHUL LoLQ GLIIXVLRQ-convection denkleminin analitik} çözümünün

u( tx, )=e0.028547979919275532x−0.0999t

ROGX÷X  %|OP  GH YHULOPLúWL Örnek 3.1 ve Örnek  GHNL LúOHPOHU WHNUDUODQDUDN, sonuçlar Tablo 3.5 ve Tablo 3.6 da analitik çözümle _{NDUúÕODúWÕUÕOGÕ}

Tablo 3.5. Örnek 3.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.90492791 0.90814253 0.91114099 0.91414936 0.91716765 0.92019591 0.92323417 0.92628246 0.92934081 0.93240926 0.93113406 0.90492791 0.90751466 0.91010881 0.91271037 0.91531937 0.91793583 0.92055977 0.92319120 0.92583014 0.92847651 0.93113406 0.90492791 0.90751498 0.91010946 0.91271135 0.91532068 0.91793747 0.92056174 0.92319351 0.92583281 0.92847965 0.93113406

Tablo 3.6. Örnek 3.3’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Euler çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.90492791 0.90808444 0.91120647 0.91433923 0.91748276 0.92063710 0.92380228 0.92697835 0.93016533 0.93336327 0.93113406 0.90492791 0.90751492 0.91010933 0.91271115 0.91532042 0.91793714 0.92056134 0.92319305 0.92583228 0.92847905 0.93113406 0.90492791 0.90751498 0.91010946 0.91271135 0.91532068 0.91793747 0.92056174 0.92319351 0.92583281 0.92847965 0.93113406

                [ X SLHFHZLVH DQDOLWLN HXOHU

ùHNLO3.3. Örnek 3.3 için t DQÕQGDh=0.01, k GH÷HUOHULLoLQ Piecewise ve E_{XOHU\|QWHPOHULLOHHOGHHGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ}

3.2. Runge- Kutta Yöntemi

_{2 1 2 2 1} 2 2 2 + _ −     ₊ + −       ₋ = i i Ui h a h U h U h a h dt dU ε ε ε i₌1,2,...,N₋1

úHNOLQGHGLVNUL]HHGLOPLúdiffusion-convection denklemine ikinci mertebe Runge-Kutta \|QWHPLDOJRULWPDVÕQÕX\JXODGÕ÷ÕPÕ]GD j i j i j i j i j i j i U h ak h k U h k U h ak h k U h ak h k U h ak h k U h k 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 4 2 1 4 2 4 2 4 2 1 + − + − + + +       ₋ +       − +       ₊ =      − ₋ +      − ₊ +       + ε ε ε ε ε ε 1 ,..., 2 , 1 ₋ = N

i çözüm formülü bulunur. Bu ifade, NDSDOÕIRUPGDELUFHELUVHOGHQNOHP

sistemi göstermektedir. Bu cebirsel denklem sistemini yine _ε ve a_{ QÕQ IDUNOÕ} GH÷HUOHULQGHDúD÷ÕGaki örnekler için Crout yöntemi kullanÕODUDNo|]OG. Sonuçlar tablo ve grafiklerle verildi.

Örnek 3.4. ₂ 2 02 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ , 0≤ x≤1, t≥0, diffusion-convection

denkleminin _{IDUNOÕh ve k GH÷HUOHULLoLQanalitik çözümü ve nümerik çözümleri Tablo 3.7} ve Tablo 3.8 de verildi.

Tablo 3.7. Örnek 3.4’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Runge-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 1.03616297 1.16993119 1.31802825 1.48337792 1.66887137 1.87731016 2.11134798 2.37282985 2.66066831 2.96573347 0.91393118 1.02809870 1.15652861 1.30100243 1.46352424 1.64634849 1.85201130 2.08336574 2.34362148 2.63638962 2.96573347 0.91393118 1.02810000 1.15653085 1.30100537 1.46352770 1.64635242 1.85201577 2.08337057 2.34362650 2.63639357 2.96573347

Tablo 3.8. Örnek 3.4’ ün t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Runge-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 1.03795406 1.17296881 1.32185810 1.48781085 1.67388367 1.88294132 2.11759849 2.37939002 2.66606079 2.96573347 0.91393118 1.02809967 1.15653028 1.30100462 1.46352683 1.64635143 1.85201461 2.08336939 2.34362522 2.63639264 2.96573347 0.91393118 1.02810000 1.15653085 1.30100537 1.46352770 1.64635242 1.85201577 2.08337057 2.34362650 2.63639357 2.96573347

                  [ X UXQJH DQDOLWLN SLHFHZLVH

ùHNLO3.4. Örnek 3.4 için t DQÕQGD h=0.01, k= 0GH÷HUOHULLoLQ Piecewise ve Runge-Kutta yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analitik çözümle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ Örnek 3.5. ₂ 2 01 . 0 1 . 0 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0_{, diffusion-convection}

denkleminin analitik çö_{]PYHQPHULNo|]POHULDúD÷ÕGDNLWDEORODUGDYHULOGL}

Tablo 3.9. Örnek 3.5’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Runge-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 2.29663533 5.66629840 13.94086812 34.28955877 84.33870433 207.43708929 510.12535877 1253.04006246 3063.35821344 7405.66107180 0.91393118 2.24667395 5.52535295 13.58998106 33.42591409 82.21449185 202.21543915 497.37661609 1223.42465627 3009.70426629 7405.66107180 0.91393118 2.24790801 5.52896161 13.59905226 33.44826946 82.26946321 202.35027108 497.70119611 1224.14767305 3010.91645604 7405.66107180

Tablo 3.10. Örnek 3.5’ in t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Runge-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.91393118 2.30681564 5.69390039 14.00888686 34.45679037 84.75003667 208.44959545 512.62569383 1259.11613179 3075.25703098 7405.66107180 0.91393118 2.24759945 5.52805930 13.59678336 33.44267935 82.25572056 202.31653010 497.62008691 1223.96682039 3010.61397649 7405.66107180 0.91393118 2.24790801 5.52896161 13.59905226 33.44826946 82.26946321 202.35027108 497.70119611 1224.14767305 3010.91645604 7405.66107180                     [ X SLHFHZLVH DQDOLWLN UXQJH

ùHNLO3.5. Örnek 3.5 için t DQÕQGD h=0.01, k GH÷HUOHULLoLQ Piecewise ve Runge-Kutta yöntemleri ile elde edilen nümerik çözümlerin analitik çözümle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

Örnek 3.6. ₂ 2 022 . 0 5 . 3 x u x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0≤ x≤1, t≥0, diffusion-convection

denklemi için bulunan analitik çözüm ve analitik çözümler Tablo 3.11 ve Tablo 3.12 GHNDUúÕODúWÕUÕOGÕ

Tablo 3.11. Örnek 3.6¶ QÕn t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =100, h=0.01, k= 0.0025 ) x Piecewise analitik çözüm Runge-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.90492791 0.90814253 0.91114099 0.91414936 0.91716765 0.92019591 0.92323417 0.92628246 0.92934081 0.93240926 0.93113406 0.904927906 0.907514984 0.910109457 0.912711348 0.915320677 0.917937466 0.920561736 0.923193509 0.925832805 0.928479647 0.931134057 0.904927906 0.907514984 0.910109458 0.912711349 0.915320678 0.917937467 0.920561737 0.923193509 0.925832806 0.928479647 0.931134057

Tablo 3.12. Örnek 3.6¶ QÕn t=1 için elde edilen nümerik ve analitik çözümlerinin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ( N =200, h=0.005, k= 0.0005 ) x Piecewise analitik çözüm Runga-Kutta çözümü Analitik çözüm 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.90492791 0.90808444 0.91120647 0.91433923 0.91748276 0.92063710 0.92380228 0.92697835 0.93016533 0.93336327 0.93113406 0.904927906 0.907514984 0.910109457 0.912711348 0.915320677 0.917937467 0.920561737 0.923193509 0.925832806 0.928479648 0.931134057 0.904927906 0.907514984 0.910109458 0.912711349 0.915320678 0.917937467 0.920561737 0.923193509 0.925832806 0.928479647 0.931134057