TABAKALI KOMPOZİT DAİRESEL PLAKLARDA STATİK STABİLİTE ANALİZİ

Tam metin

(1)DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 8 Sayı: 3 s. 99-108 Ekim 2006. TABAKALI KOMPOZİT DAİRESEL PLAKLARDA STATİK STABİLİTE ANALİZİ (STATIC STABILITY ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE CIRCULAR PLATES) Aysun BALTACI, Mehmet SARIKANAT ÖZET/ABSTRACT Bu çalışmada, tabakalı kompozit dairesel plakların radyal doğrultuda etkiyen düzlem içi yükler altında statik stabilitesi, sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Analiz için 8 düğüm noktalı 24 serbestlik dereceli izoparametrik sektör eleman kullanılmıştır. Delik boyutunun ve farklı fiber oryantasyonlarının dairesel plağın stabilitesine etkileri irdelenmiştir. In this study, the static stability analysis of laminated composite circular plates subjected to periodic in-plane loads was investigated by using the finite element method. The isoparametric sector element used in this analysis has 8 nodes and 24 degrees of freedom. The effects of hole size and different fiber orientations on the static stability analysis of laminated composite circular plates were investigated. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Kompozit malzemeler, Sonlu elemanlar yöntemi, Stabilite analizi Composite materials, Finite element method, Stability analysis. *Ege Üniversitesi, Mühendislik Fak., Makine Müh. Bölümü, 35100, Bornova, İZMİR..

(2) Sayfa No: 100. A. BALTACI, M. SARIKANAT. 1. GİRİŞ Kompozit malzemelerin düşük ağırlığa, yüksek dayanıma sahip olmaları ve çeşitli doğrultulardaki istenilen özellikleri fiber takviyeleri ile sağlanabilmesi, bu malzemeleri, diğer malzemelerden ayıran temel özelliklerdir. Son yıllarda teknolojinin gelişimiyle birlikte, fiber takviyeli kompozit malzemelerin birçok mühendislik alanında kullanımı artmaktadır. Örneğin uzay yapılarında, basınçlı kazanlarda, spor ekipmanlarında, otomobillerde ve daha bir çok alanda kullanılmaktadır. Özellikle üzerinde delik bulunan fiber takviyeli kompozit plaklar, uzay yapılarında daha yaygın olarak kullanılmaktadır (Daniel ve Ishai, 1994; Reddy, 1997). Günümüzde fiber takviyeli tabakalı kompozit plak problemlerinin analizi için çeşitli nümerik çözüm metotları mevcuttur. Bu nümerik analiz metotlarından en önemlisi 'sonlu elemanlar' yöntemidir. Bilgisayarların kullanımının yaygınlaşması ile bu yöntemin kullanımı daha da artmaktadır. Bu çalışmada; radyal doğrultuda düzgün yayılı yüke maruz tabakalı kompozit malzemeden yapılmış dairesel plakların statik stabiliteleri, sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Tabakalı kompozit malzemeden yapılmış dairesel plakların statik stabilitesi incelenirken, delik büyüklüklerinin kritik burkulma yüküne etkileri irdelenmiştir. Bu analizler yapılırken, 8 düğüm noktalı 24 serbeslik dereceli izoparametrik sektör eleman kullanılmıştır. 2. DAİRESEL TABAKALI KOMPOZİT PLAKALAR İÇİN KLASİK VE BİRİNCİ MERTEBE TEORİLERİ 2.1. Silindirik Koordinatlarda Kompozit Tabakaların Yapısal Denklemleri Silindirik koordinatlarda birim şekil değiştirme-gerilme ilişkileri  1  E  r  υr θ −  ε r   Er     εθ   − υrz  ε z   Er  = εθz   0 εrz      εr θ   0    0  . υθr Eθ. −. υzr Ez. 0. 0. 1 Eθ. −. υ zθ Ez. 0. 0. υθz Eθ. 1 Ez. 0. 0. 0. 0. 1 Gθz. 0. 0. 0. 0. 1 Grz. 0. 0. 0. 0. −. −.  0    0    σr    σθ   0    σ z   σ  θz  0   σrz    σ  0   rθ    1  Gr θ . (1). şeklinde verilmektedir. Burada Er, Eθ, Ez sırasıyla radyal, çevresel ve kalınlık doğrultusunda Young modüllerini, νij Poisson oranlarını, Gij ise kayma modüllerini göstermektedir. Genelde, geometri ve yüklemede eksenel simetriye sahip yapılarda, silindirik koordinatlar (r, θ ,z), kartezyen koordinatlara (x, y, z) göre daha fazla tercih edilir. Buna göre, bu çalışmada, silindirik koordinat sistemi tercih edilmiş ve bütün teoriler ve formülasyonlar silindirik koordinatlarda verilmiştir (Şekil 1)..

(3) Fen ve Mühendislik Dergisi. Cilt : 8 Sayı : 3. Sayfa No: 101. z θ r. h. Şekil 1. Delikli dairesel bir kompozit plak ve silindirik koordinat sistemi. Silindirik koordinatlarda Kirchoff varsayımına göre (u, v, w) yer değiştirmeleri u (r, θ , z, t ) = u 0 (r, θ , t ) − z. ∂w0 ∂r. v(r, θ , z, t ) = v 0 (r, θ , t ) − z. ∂w0 r∂θ. (2). w(r, θ , z, t ) = w0 (r, θ , t ). şeklinde yazılabilir. Burada (u0, v0, w0), orta düzlemdeki yer değiştirmeler olarak bilinmektedir. Küçük birim şekil değiştirmeler için birim şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkileri; 0 = ∂u ε rL ∂r. ε r0θL =. κ rL = −. ∂u ∂v v + − r∂θ ∂r r. ∂v u ε θ0L = + r∂θ r. ∂ 2w ∂r 2 κ θL = −. ∂2w r 2 ∂θ 2. −. ∂w r∂r. (3). ∂2w ∂w κ rθL = −2 + r∂r∂θ r 2 ∂θ. olur. Bütün birim şekil değiştirmeler, tabaka kalınlığına bağlı olarak lineer bir şekilde değişir ve malzeme değişkenlerinden kalınlık boyunca bağımsızdır. 2.2. Tabaka Temel Denklemleri Teorinin Euler-Langrange denklemleri virtüel iş ifadelerini kullanarak statik durum için;. ∂N r 1 ∂N rθ + =0 ∂r r ∂θ ∂N rθ 1 ∂Nθ + =0 ∂r r ∂θ ∂2M r ∂r 2. +. 2 ∂ 2 M rθ 1 ∂ 2Mθ + + N ( w) + q = 0 r ∂θ∂r r 2 ∂θ 2. şeklinde elde edilir.. (4).

(4) Sayfa No: 102. A. BALTACI, M. SARIKANAT. Tabaka temel denklemleri, kuvvet ve moment bileşenleri ile birim şekil değiştirmeler arasında ilişki kurar. Kuvvet bileşenleri; Q16   ε r0 + zε r1    Q26   εθ0 + zεθ1  dz Q66  ε r0θ + zε r1θ .  Q11 Q12  N r  N hk  σr  N hk       Nθ  = ∑ ∫  σθ  dz = ∑ ∫ Q12 Q22 k =1 hk −1  N  k =1 hk −1 σ  Q16 Q26  rθ   rθ    N r   A11     Nθ  =  A12 N   A  rθ   16. A12 A22 A26. A16   ε r0   B11   A26   ε θ0  +  B12 A66  ε 0   B16  rθ . B12 B22 B26. (5). B16   ε 1r    B26   ε θ1  B66  ε 1   rθ . ile verilir. Moment bileşenleri ise.  Q11 Q12  M r  N hk  σr  N hk       M θ  = ∑ ∫  σθ  zdz = ∑ ∫ Q12 Q22 k =1 hk −1   k =1 hk −1 σ  Q16 Q26  M rθ   rθ    M r   B11     M θ  =  B12 M   B  rθ   16 N ( w) =. B12 B22 B26. 0 B16   ε r   D11    B26   ε θ0  +  D12 B66  ε 0   D16  rθ . D12 D22 D26. Q16   ε r0 + zε r1    Q26   εθ0 + zεθ1  zdz Q66  ε r0θ + zε r1θ  1 D16   ε r     D26   ε θ1  D66  ε 1   rθ . (6). ∂  ∂w ∂w  ∂  ∂w ∂w  + N rθ + Nθ  Nr +  N rθ  h∂θ  ∂θ  h∂θ  ∂r  ∂r ∂r. denklemiyle gösterilir. Burada Aij boyuna uzama direngenliği, Dij eğilme direngenliği, Bij ise eğilme-boyuna uzama eşleşmesi direngenliği ve Qij(k ) tabaka direngenliği cinsinden hesaplanır (Calcote, 1969; Gould, 1999): N. Aij = ∑ Qij( k ) ( zk − zk −1 ) k =1. Bij =. 1 N (k ) 2 2 ∑ Qij ( zk − zk −1 ) 2 k =1. Dij =. 1 N (k ) 3 3 ∑ Qij zk − zk −1 3 k =1. (. (7). ). Burada N tabaka sayısı, (hk-1, hk) ise k. tabakanın en alt ve en üstünün koordinatıdır (Şekil 2). 3. DAİRESEL TABAKALI KOMPOZİT PLAKALARIN SONLU ELEMANLAR ANALİZİ Sonlu elemanlar metodu; karmaşık olan problemlerin daha basit alt problemlere ayrılarak her birinin kendi içinde çözülmesiyle tam çözümün bulunduğu bir çözüm şeklidir. Bu metot, bilgisayarlar çağının bir ürünüdür. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte data iletim hızlarının sürekli olarak artmasına bağlı olarak, bu metotla çözüm yapan paket programların sayısı gittikçe artmaktadır. Günümüzde, çeşitli analizler için bu paket programların kullanımı yaygınlaşmaktadır..

(5) Fen ve Mühendislik Dergisi. Cilt : 8 Sayı : 3. Sayfa No: 103. 1 2. ho. 3 h1. h/2. h3. h2. hk-1. k-1 k. hk. k+1. Orta Düzlem. h/2. hn-1 hn. z. n. Şekil 2. Levhadaki tabakaların koordinatları. Sanal yer değiştirmeler ilkesi, Eşitlik 4’deki diferansiyel denklemin weak formunu verir. Bu denklemdeki eşitlikler, (r, θ, z) doğrultularındaki kuvvetlerin dengesine karşılık gelir. Bu yüzden, bu eşitliklerin ağırlık fonksiyonları, sırasıyla δu, δv, δw sanal yer değişimleridir. e Eşitlik 4, δu ağırlık fonksiyonuyla çarpılır, Ω elaman alanı üzerinde integre edilir ve gerekli düzenlemeler yapılırsa, Eşitlik 4’ün weak formu  ∂δu ∂δu N rθ  Nr + rdrdθ − ∫ e δuN n ds  Ω  ∂r Γ ∂θ r . 0=∫. e. (8). şeklinde olur. u, v, w yerdeğiştirmeleri, eleman üzerinde interpolasyonla yaklaştırılırsa. u = ∑ u iψ i ( r ,θ ). v = ∑ viψ i (r ,θ ). (9). w = ∑ ∆ iψ i (r , θ ) eşitlikleri yazılabilir. Burada (uj ve vj), u ve v’nin nodal değerlerini, ∆j ise w ve türevlerinin nodal değerlerini gösterir. Tüm yer değiştirmeler ve dönmeler, genelleştirilmiş yer değiştirmeler adını alır ve Ωe elemanı ile ilişkilidir. Eşitlik 4’ün sonlu eleman modeli, u, v, w ve δu=ψI,δv=ψI,δw=φI değerleri için Eşitlik 9’daki ifadelerin Eşitlik 8’de yerine konulması ile; 1 ∂ψ i  ∂ψ i  Nr + + N rθ rdrdθ −  ∂r r ∂θ  e. ∫. Ω. 0=. −. Γe. 1 ∂ψ i  ∂ψ i  N rθ + N r rdrdθ −  ∂r r ∂θ  e. ∫. Ω. ∫ N nψ i ds = 0. ∫ N nsψ i ds = 0. Γe. 2  ∂ 2φ  i M + 2 ∂ φi M rdrdθ  ∫  2 r r ∂r∂θ rθ   Ω e  ∂r.  1 ∂ 2φ  ∂φ   i M + φ q rdrdθ − − ∫ +  φiVn + i M n ds = 0 θ i ∫   2 2 ∂n    Ω e  r ∂θ Γe. (10).

(6) Sayfa No: 104. A. BALTACI, M. SARIKANAT. eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler, aşağıdaki formda ifade edilebilir. 3 n( β ). ∑∑K β =1 j =1. αβ ij. ∆ βj − Fiα = 0,. i = 1, 2, ........n(α ). (11). veya. [K e ]{∆e }= {F e }. (12). Burada α=1, 2, 3; n(1)=n(2)=4 ve n(3)=16 dır. ∆βi değişkenleri ve K ijαβ direngenlik katsayıları; ∆1j = u j. ∆2j = v j. ∆3j = ∆ j. (13). ve Kij1α =.  ∂ψ α 1 ∂Ψi α  N rj + N rdrdθ  r ∂θ rθj  e  ∂r. ∫. Ω. ∂ψ j ∂ψ j + A16 ∂r ∂θ ∂Ψ j ∂Ψj = A16 + A12 ∂r ∂θ 2  ∂ φ  = − B11  ∂   . N 1rj = A11 2 N rj 3 N rj.  ∂2φ j ∂2φ j ∂2φ j Nrj3 = −  B11 2 + 2B16 + B12  ∂r ∂θ ∂r ∂θ2  1 ∂ψ i α   ∂ψ K ij2 α = ∫ e  i Nrαθj + Nθj rdrd θ Ω r ∂θ  ∂r  Nr1θj = A16. ∂ψ j. + A66. ∂r. ∂ψ j. Nr2θj = A66. ∂θ.   . ∂ψ j. + A26. ∂ψ j. ∂r ∂θ  ∂ φj ∂ φj ∂ φj  Nr3θj = −  B16 + 2B66 + B26  2  ∂r ∂θ ∂r ∂θ2   ∂ψ j ∂ψ j ∂ψ j ∂ψ j Nθ1j = A12 + A26 Nθ2j = A26 + A22 ∂r ∂θ ∂r ∂θ 2 2 2  ∂ φj ∂ φj ∂ φj  Nθ3j = −  B12 + 2B26 + B22  2  ∂r ∂θ ∂r ∂θ2   2. 2. 2.  ∂2φ 2 ∂ 2 φi α  K ij3 α = − ∫ e  2i M rjα + M r θj rdrd θ Ω r ∂r ∂θ  ∂r . (14).  1 ∂ 2 φi α  −∫ e 2 Mθj rdrd θ 2 Ω  r ∂θ  Mrj1 = B11. ∂ψ j ∂r. + B16. ∂ψ j. Mθ2j = B16. ∂r  ∂ φj ∂ φj ∂ φj  Mrj3 = −  D11 2 + 2D16 + D12   ∂r ∂θ ∂r ∂θ2   ∂ψ j ∂ψ j Mr1θj = B16 + B66 ∂r ∂θ 2. ∂θ. ∂ψ j. 2. 2. + B12. ∂ψ j ∂θ.

(7) Fen ve Mühendislik Dergisi Mr2θj = B66. ∂ψ j ∂r. + B26. Cilt : 8 Sayı : 3. ∂ψ j ∂θ.  ∂ φj ∂2φ j ∂2φ j Mr3θj = −  D16 + 2 D + D 66 26  ∂r ∂θ ∂r 2 ∂θ2 .   . 2. Mθ1j = B12 Mθ2j = B26. ∂ψ j ∂r ∂ψ j ∂r. + B26 + B22. ∂ψ j. (15). ∂θ ∂ψ j ∂θ.  ∂2φ j ∂2φ j ∂2φ j Mθ3j = −  D12 + 2 D + D 26 22  ∂r ∂θ ∂r 2 ∂θ2  Fi1 =. ∫. Fi e =. ∫. Γe. Nn ψ i ds. Γe. Sayfa No: 105. Fi 2 =. ∫. Γe.   . Nns ψ i ds. ∂φi    φiVn + ∂n Mn  ds − ∫Ωe φi qrdrd θ  . (16). ifadeleriyle tanımlanır ve diğer katsayılar sıfırdır. Eşitlik 14, Eşitlik 15, Eşitlik 16’daki katsayıların hesabı, her bir elemanın integral değerinin elde edilmesini gerektirir. İntegraller, nümerik integrasyon yöntemleriyle hesaplanır. Eşitlik 11 ve Eşitlik 12’nin elemanları, düğümlerdeki yerdeğiştirmelerin ve düğümlerdeki kuvvet dengesinin sürekliliği kullanılarak birleştirilir. Problemin kuvvet ve yerdeğiştirme sınır şartları, birleşmiş sistemin denklemine uygulanır ve bu denklem tüm sistemin düğümlerinin yerdeğiştirmeleri için çözülür. Statik stabilite için. (  K. e. ). (17).  − λ  S e  = 0. eşitliğinin çözümü kritik burkulma yükü parametresini verir. Eşitlik 17’de λ kritik burkulma yükü parametresi, [Se] geometrik direngenlik matrisi olup  0  0  0   0  0    S 33  S e  =       sym   . 0  0    0  0    0  0    0  0   0  . (. (18). ). şeklinde verilir. Burada Nr , Nθ , Nr θ uygulanan kuvvetlerdir ve Sij33 =.  ∂ψi ∂ψ j ∂ψ i + Nθ Nr ∂r ∂r ∂θ Ωe    ∂ψ ∂ψ j ∂ψi + + Nr θ  i ∂ r ∂θ ∂θ Ωe   . ∫ ∫. ∂ψ j.  + rdrd θ ∂θ  ∂ψ j    rdrd θ ∂r  . (19). eşitliğiyle verilir. Bu durumda, λ özdeğeri, gerçek burkulma yükünün uygulanan kuvvete oranını gösterir.. λ=. Nr Nr. =. Nθ Nθ. =. Nr θ Nr θ. (20).

(8) Sayfa No: 106. A. BALTACI, M. SARIKANAT. 4. SONUÇLAR Bu çalışmada; radyal doğrultuda üniform yayılı yüke maruz, tabakalı AS/3501 kompozit malzemesinden yapılmış, düzgün kalınlığa sahip dairesel plakların statik stabilitesi sonlu elemanlar yöntemiyle incelenmiştir. Bu analiz yapılırken, 8 düğüm noktalı 24 serbestlik dereceli izoparametrik sektör eleman kullanılmıştır (Şekil 3a , 3b). η. 6. 7. 5 4. 2. 8 1. +α -α. ξ 3. Şekil 3a. İzoparametrik bir eleman. Şekil 3b. İzoparametrik bir elemanla diskin modellenmesi. Bu elemanın şekil fonkiyonları; köşelerdeki düğüm noktaları için ψ i (ξ ,η ) =. 1 (1 + ξ0 )(1 + η0 )(ξ0 + η0 − 1) i = 1,3,5, 7 4. (21). ve orta noktalardaki düğüm noktaları için ψ i (ξ ,η ) = ψ i (ξ ,η ) =. 1 1 + ξ 2 ) (1 + η0 ) ( 2. 1 (1 + ξ0 ) (1 + η 2 ) 2. i = 2, 6 i = 4,8. (22). olarak yazılır. Burada, ξ0 = ξξi , η0 = ηηi olarak verilmiştir. (ξi, ηi ) ise düğüm noktalarının doğal (eğrisel) koordinatlarda aldığı değerlerdir ve Çizelge 1’de verilmiştir. Çizelge 1. (ξi, ηi ) düğüm noktalarının doğal koordinatlarda aldığı değerler i ξi ηi. 1 -1 -1. 2 0 -1. 3 1 -1. 4 1 0. 5 1 1. 6 0 1. 7 -1 1. 8 -1 0. Farklı fiber doğrultularında, farklı ri/rd oranlarındaki AS/3501 malzemesinden yapılmış sabit kalınlıklı iç kenardan ankastre, dış kenardan serbest (C-F) kompozit diskin (Şekil 4), kritik burkulma yükü parametreleri, Çizelge 2’de verilmiştir. İç delik çapı çok küçük tutulursa, deliksiz dairesel plakların sonuçları elde edilir. Kompozit deliksiz bir diskin ilk 6 mod şekli, Şekil 5’de verilmiştir. Şekil 6’da; dış kenardan uniform yükleme altındaki sabit kalınlıklı (C-F) sınır koşuluna sahip kompozit diskin, farklı fiber doğrultuları için kritik burkulma yükü parametrelerinin değişimi verilmiştir. Kritik burkulma yükü parametresi, ri/rd oranına bağlı olarak, şekilde görüldüğü gibi artmaktadır..

(9) Fen ve Mühendislik Dergisi. Cilt : 8 Sayı : 3. Sayfa No: 107. rd ri. Şekil 4. Kompozit bir disk Çizelge 2. Kritik burkulma yükü parametreleri. Mod 1. (90/0/0/90)s. (90/0/90/0)s. C-F 0,79 1,25 1,8 2,58 3,72 5,45 8,77 15,4. C-F 0,82 1,30 1,87 2,68 3,87 5,67 9,13 16. C-F 0,74 1,18 1,70 2,43 3,50 5,13 8,26 14,50. C-F 0,69 1,09 1,57 2,25 3,24 4,75 7,64 13,4. Mod 2. (45/-45/-45/45)s. Mod 4. Mod 1. Mod 1. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8. (45/-45/45/-45)s. Mod 6. ri/rd. Şekil 5. Kompozit bir diskin ilk 6 mod şekli.

(10) Sayfa No: 108. A. BALTACI, M. SARIKANAT. l (Kritik Burkulma Yükü Parametresi). 18. 9. (45/-45/45/45)s (45/-45/45/45)s (90/0/0/90)s. 6. (90/0/90/0)s. 15 12. 3 0 0.10. 0.30. 0.50 (ri/rd). 0.70. 0.90. Şekil 6. (C-F) Sınır koşuluna sahip kompozit diskin kritik burkulma yükü parametresi değişimi. KAYNAKLAR Calcote L.R. (1969): “The Analysis of Laminated Composite Structures”, Van Nostrand Reinhold Company, New York. Daniel I.M., Ishai O. (1994): “Engineering Mechanics of Composite Materials”, Oxford University Press, New York. Gould P.l. (1999): “Analysis of Plates and Shells”, Prentice Hall, New Jersey. Reddy, J.N. (1997): “Mechanics of Laminated Composite Plates”, Theory and Analysis, CRC Press, New York..

(11)