Tamamlanmamış Tribonacci sayıları ve determinantları

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ SAYILARI VE DETERMĠNANTLARI

Nazmiye YILMAZ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı

Temmuz-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ KABUL VE ONAYI

Nazmiye YILMAZ tarafından hazırlanan “Tamamlanmamış Tribonacci Sayıları ve Determinantları” adlı tez çalışması 15/07/2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Nazmiye YILMAZ Tarih: 15. 07. 2011

iv ÖZET

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ SAYILARI VE DETERMĠNANTLARI

Nazmiye YILMAZ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Yrd. Doç. Dr. Necati TAġKARA 2011, 46 Sayfa

Jüri

Yrd. Doç. Dr. Necati TAġKARA Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK

Doç. Dr. Ahmet TEKCAN

Bu çalışmada, ilk olarak Tribonacci ve Tribonacci-Lucas sayıları üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla elde edildi. Daha sonra da, tamamlanmamış Tribonacci ve tamamlanmamış Tribonacci-Lucas sayıları tanımlandı. Tribonacci ailesinin genellemesi olan bu yeni sayıların bazı özellikleri incelenerek üreteç fonksiyonları bulundu.

Anahtar Kelimeler: determinant, tamamlanmamış Tribonacci sayıları, tamamlanmamış Tribonacci-Lucas sayıları, üçlü bant matris, üreteç fonksiyonu.

v ABSTRACT MS THESIS

INCOMPLETE TRIBONACCI NUMBERS AND ITS DETERMINANTS

Nazmiye YILMAZ

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advisor: Asistant Prof. Dr. Necati TAġKARA

2011, 46 Pages

Jury

Asst. Prof. Dr. Necati TASKARA Prof. Dr. Ahmet Sinan CEVIK Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEKCAN

In this study, Tribonacci and Tribonacci-Lucas numbers obtained by means of determinant of tridiagonal matrices. Then, incomplete Tribonacci and incomplete Tribonacci-Lucas numbers defined and generating functions of incomplete Tribonacci and incomplete Tribonacci-Lucas numbers derived.

Keywords: determinant, generating function, incomplete Tribonacci numbers, incomplete Tribonacci-Lucas numbers, tridiagonal matrix.

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Ana Bilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Bu tez; 1. Bölüm Giriş bölümü, 2. Bölüm Kaynak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Tribonacci Sayıları ve Üçlü Bant Matrisler, 5. Bölüm Tamamlanmamış Tribonacci ve Tamamlanmamış Tribonacci-Lucas Sayıları, 6. Bölüm Sonuç ve Öneriler, 7. Bölüm Kaynaklar olmak üzere toplam yedi bölümden oluşmaktadır.

Çalışmalarım boyunca beni yönlendiren ve desteklerini esirgemeyen danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA’ ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Nazmiye YILMAZ

vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii

SĠMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GĠRĠġ ... 1

1.1. Tezin Yapısı ... 2

2. KAYNAK ARAġTIRMASI ... 3

3. TEMEL KAVRAMLAR ... 5

3.1. Fibonacci Sayıları ... 5

3.1.1. Üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla Fibonacci sayıları ... 7

3.1.2. Tamamlanmamış (Incomplete) Fibonacci sayıları ... 10

3.2. Lucas Sayıları ... 11

3.2.1. Üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla Lucas sayıları ... 12

3.2.2. Tamamlanmamış Lucas sayıları ... 14

3.3. Tribonacci Sayıları ... 15

3.4. Tribonacci-Lucas Sayıları ... 17

4.TRĠBONACCĠ SAYILARI VE ÜÇLÜ BANT MATRĠSLER ... 17

4.1. Üçlü Bant Matrislerin Determinantları Yardımıyla Tribonacci Sayıları ... 18

4.2. Üçlü Bant Matrislerin Determinantları Yardımıyla Tribonacci-Lucas Sayıları .. 24

5.TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ VE TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ-LUCAS SAYILARI ... 29

5.1. Tamamlanmamış Tribonacci Sayıları ... 29

5.2. Tamamlanmamış Tribonacci-Lucas Sayıları ... 35

6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 43

6.1. Sonuçlar ... 43

6.2. Öneriler ... 43

KAYNAKLAR ... 44

viii

SĠMGELER VE KISALTMALAR

Simgeler

: Pozitif tam sayılar : Doğal sayılar : Kompleks sayılar n F : n . Fibonacci sayısı n L : n . Lucas sayısı n T : n . Tribonacci sayısı n K : n . Tribonacci-Lucas sayısı

 

n

F k : n . tamamlanmamış Fibonacci sayısı

 

n

L k : n . tamamlanmamış Lucas sayısı

 

k

R t : Tamamlanmamış Fibonacci sayılarının üreteç fonksiyonu

 

k

S t : Tamamlanmamış Lucas sayılarının üreteç fonksiyonu

 

,

n

T k t : n . tamamlanmamış Tribonacci sayısı

 

,

n

K k t : n . tamamlanmamış Tribonacci-Lucas sayısı

 

,

k t

R x : Tamamlanmamış Tribonacci sayılarının üreteç fonksiyonu

 

,

k t

1. GĠRĠġ

Günümüzde Fibonacci sayı dizisi ve onun türevleri, sayılar teorisinde büyük öneme sahip olmasının yanı sıra, matematiğin diğer dallarında, fizik, mühendislik ve hatta sanat biliminin de birçok dalında sıklıkla kullanılan ve uygulama alanı bulan dizilerdir.

Fibonacci sayı dizisi sadece sanat ve mimaride değil, aynı zamanda Öklit (Euclidean) algoritmasında en büyük ortak bölen hesaplaması, müziğin tonunu belirleme gibi diğer başka alanlarda da karşımıza çıkmaktadır. Fibonacci sayılarının bilim dünyasında bu kadar ilgi görmesi üç nedenle ifade edilebilir. Bunlardan ilki, dizinin bazı terimleri doğada beklenmedik şekillerde ve yerlerde karşımıza çıkmasıdır. Örneğin papatyadaki yaprakların sayıları, ayçiçeğindeki sarmalların sayısı Fibonacci sayılarıdır. Yapılan çalışmalarda bu tür sıralanmanın güneşi en verimli şekilde kullanmayı sağladığı, polen taşıyan böceklerin bu tür bir düzeni tercih ettiği sonucuna varılmıştır.

İkinci olarak ise, ardışık iki Fibonacci sayısının oranının altın oran diye bilinen, insan vücudun da bulunan, sanat ve mimaride güzel sonuçlar veren 1,61803… sayısına yakınsamasıdır.

Üçüncüsü ise matematikte ve fizikteki uygulamalarıdır. İtalyan matematikçi Edouardo Lucas (1842-1891) “Fibonacci sayı sisteminde kullanılan ardışık iki terimin toplamı bir sonraki terimi verir” kuralını, başlangıç koşullarını değiştirerek uygulamış ve Lucas sayı dizileri denilen yeni bir sayı sistemi tanımlamıştır. Bu sayı sistemi

0 2, 1 1

L  L  şartları altında L_n L_n1L_n2 formülüyle de elde edilir.

Bu dizilere benzer olarak tanımlanan ve bilim dünyasının ilgisini çeken başka sayı dizileri de vardır. Örneğin ardışık üç terimin toplamı bir sonraki terimi verir kuralıyla ifade edilen Tribonacci sayılarıyla ilgili literatürde bir çok çalışmalar vardır.

Bu çalışmada, elemanları Tribonacci ve Tribonacci-Lucas sayıları olan üçlü bant matrisler ele alınarak bu matrislerin determinantları yardımıyla Tribonacci ve Tribonacci-Lucas sayıları elde edildi. Ayrıca, Tribonacci sayıları ile ilgili yeni tanımlar yani tamamlanmamış Tribonacci ve tamamlanmamış Tribonacci-Lucas sayıları verilerek, bu sayıların üreteç fonksiyonları incelenmiştir.

1.1. Tezin Yapısı

Bu tez; 1. Bölüm Giriş bölümü, 2. Bölüm Kaynak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Tribonacci Sayıları ve Üçlü Bant Matrisler, 5. Bölüm Tamamlanmamış Tribonacci ve Tamamlanmamış Tribonacci-Lucas Sayıları, 6. Bölüm Sonuç ve Öneriler, 7. Bölüm Kaynaklar olmak üzere toplam yedi bölümden oluşmaktadır.

2. KAYNAK ARAġTIRMASI

Feinberg M. (1963) Bu çalışmada, Tribonacci dizisi için verilen rekürans bağıntısı üzerinde çalışılarak yeni bir bağıntı verilmiştir ve gümüş orandan bahsedilmiştir.

Philippou A.N., Muwafi A.A. (1982) Bu çalışmada, Fibonacci ve Tribonacci gibi dizilerin genellemesi olan k. mertebeden Fibonacci dizileri tanımlanıp, bu diziler için binomial eşitlikler verilmiştir.

Spickerman W.R. (1982) Bu çalışmada, üreteç fonksiyonu yardımıyla Tribonacci sayılarının Binet benzeri formülü bulunmuş ayrıca Tribonacci dizisi için

0, 0.6184

n   ve  1.8393 olmak üzere n + 0.5

n

u   _ kısa formu elde edilmiştir.

Filipponi P. (1996) Bu çalışmada yazar, 0 1 , 1, 2, 2

n

k    n

 _{ } 

  olmak üzere,

tamamlanmamış Fibonacci sayılarını,

 





0 1 k n j n j F k j    



şeklinde tanımlamış ve rekürans bağıntılarını elde etmiştir. Benzer şekilde

0 , 1, 2,

2

n

k   n

 _{ } 

  olmak üzere, tamamlanmamış Lucas sayıları,

 

 

0 k n j n _{n j} L k j n j    



şeklinde tanımlanmış ve özellikleri incelenmiştir.

Pinter A., Srivastava H.M. (1999) Bu çalışmada, tamamlanmamış Fibonacci ve Lucas sayılarının üreteç fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi bulunmuştur.

 

 















1 ₂ 2 2 1 2 1 1 ₂ 0 1 , 1 1 k k k j k k k k j F F t t t R t F j t t t t t              



 

 



















1 ₂ 2 1 2 2 2 1 ₂ 0 1 2 . 1 1 k k k j k k k k j L L t t t t S t L j t t t t t               



Cahill N.D., Narayan D.A. (2004) Bu çalışmada, determinantı Fibonacci sayılarını veren üçlü bant matrisler verilmiştir.

Tasci D., Firengiz M.C. (2010) Bu çalışmada, tamamlanmamış Fibonacci ve Lucas p-sayıları tanıtılarak çeşitli özellikleri ve rekürans ilişkileri araştırılmıştır.

Nalli A., Civciv H. (2009) Bu çalışmada, elemanları negatif indisli Fibonacci ve Lucas sayıları olan üçlü bant matrislerin determinantlarını hesaplamışlardır.

Catalani M. (2002) Yazar, Tribonacci ve Tribonacci-Lucas sayıları arasındaki ilişkiyi bularak Tribonacci-Lucas sayılarının çarpımlarının toplamını ele almıştır.

Djordjevic G.B., Srivastava H.M. (2005) Yazarlar bu çalışmada, tamamlanmamış genelleştirilmiş Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarını tanımlayarak bu sayıların bazı özelliklerini ve üreteç fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Kilic E. (2008) Bu çalışmada, Tribonacci sayılarının toplamlarının ve indisli Tribonacci dizisinin üreteç matrisleri çalışılmış ve indisli Tribonacci dizisi için yeni rekürans ilişkileri elde edilmiştir.

3. TEMEL KAVRAMLAR

Adı orta çağın en büyük matematikçileri arasında geçen Fibonacci’nin hayatı ile ilgili pek fazla bilgi bulunmamaktadır. İtalya’nın Pisa şehrinde 1170’li yıllarda doğduğu sanılmakta, babasının işi nedeniyle Kuzey Afrika’ya ve Cezayir’e gitttiği ve burada Arap hocalardan matematik dersleri aldığı bilinmektedir. Hint-Arap sayılarını öğrenerek, bunları Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp Avrupa’ya tanıtan kişi olarak da anılır.

Fibonacci sayıları ve özellikle Altın Oran, matematikçilerin oldukça ilgisini çekmiş ve birçok araştırmaya konu olmuş bulgulardır. Bunun sebepleri; Fibonacci dizisindeki ardışık sayıların oranı olan 0,61803... sayısının -ki buna Altın Oran denilmektedir- tarihte oyun kartlarından piramitlerin yapımına kadar birçok alanda kullanılmış olması, sayı teorilerinde ortaya çıkması ve doğada birçok varlıkta gözlemlenmesidir. Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Daha da ilginci bu sayılara Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan’ın eserlerinde, Da Vinci’nin resimlerinde de rastlanmaktadır.

3.1. Fibonacci Sayıları

Son yıllarda bilim dünyasının ilgisini çeken, sanat ve mimari gibi birçok alanda karşımıza çıkan Fibonacci sayıları, İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (1170-1250) tarafından aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. Daha sonra bu sayılar üzerine birçok çalışmalar yapılmış ve bu çalışmaların sonuçlarından bazıları aşağıda verilmiştir.

Tanım 3.1.1. F₀ 0, F₁ 1 ve n2 için

1 2

n n n

F  F_ F_ (3.1.1)

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

F 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

tabloda görüldüğü gibidir. Fibonacci sayılarının bazı özellikleri aşağıda verilmiştir. için, ardışık Fibonacci sayılarının sonlu toplamı,

2 1 1 n i n i F F_   



ve için, ardışık Fibonacci sayılarının kareleri toplamı,

2 1 1 n i n n i F F F_  



şeklindedir. için Fibonacci sayılarının çarpımlarının toplamı,

1 1 n m n m m n F F _ F F_  F _ ve için (1 5) 2 1    ve (1 5) 2 1    , x2 x10 denkleminin kökleri olmak üzere, n n n F       

(1 5) (1 5)

2 5

n n

n _n

F    

olarak verilir ve bu formül Binet Fibonacci formülü olarak bilinir. Negatif Fibonacci sayıları ise,

1

( 1)n

n n

F_    F

eşitliği ile bulunur. Bunların yanı sıra Fibonacci sayıları ile ilgili Koshy (2001)’de birçok çalışmalar yapılmış olup biz burada üçlü bant matrislerden ve tamamlanmamış Fibonacci sayılarından bahsedeceğiz.

3.1.1. Üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla Fibonacci sayıları

Burada öncelikle üçlü bant matrisin tanımı verilerek, bu sayılar ve bazı özel üçlü bant matrislerin ilişkisi üzerinde durulacaktır.

Tanım 3.1.1.1. A _{ }a_ij M_n matrisinin elemanları i j 1 iken  a_ij 0 ise bu A, n -kare matrisine üçlü bant matris denir. Yani,

11 12 21 22 23 32 33 , 1 , 1 n n n n nn a a a a a a a A a a a               

matrisi bir üçlü bant matristir (Strang, 1988).

Bilindiği gibi Fibonacci sayılarıyla ilgili birçok alanda çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan biri de Cahill ve ark. (2002)’nın çalışmaları olup, Fibonacci sayılarını matris teoriye taşıyarak aşağıdaki üçlü bant matrisin determinantı yardımıyla bu sayıları elde etmişlerdir.

 

1 1 1 1 i i i H n i i i              olmak üzere

 





1 det H n Fn

dir. Daha sonra Cahill ve Narayan (2004)’ın başka bir çalışmalarında, üçlü bant matrisler için determinant formülü elde edilmiştir. Yani, herhangi bir üçlü bant matrisi olan

 

1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 , 1 , 1 , k k k k k k a a a a a a a A k a a a                matrisinin determinantını,

 





 





 

















1,1 2,2 1,1 2,1 1,2 , , 1 1, det 1 , det 2 ,

det _{k k}det( 1 ) _{k k k k}det 2 , 3

A a A a a a a A k a A k a _a _ A k k         (3.1.1.1)

olarak bulmuşlardır. Ayrıca yazarlar, determinantı Fibonacci sayılarının her alt dizisini veren yeni bir üçlü bant matris ailesi tanıtmışlardır. ve k1, 2, olmak üzere, M_{ ,}

 

k matrisi ve determinantı,

 

 

 

 

 

2,2 2 2 2,2 2 , 1 1 1 1 F m F F F m F F F M k L L                               _   _{ }   _{   }   _{ }              _      ise

 



,



det M  k  Fk

dır. Nalli ve Civciv (2009) ise çalışmalarında, ve k1, 2, olmak üzere, elemanları negatif indisli Fibonacci sayıları olan yeni bir simetrik üçlü bant matris M_{  ,}

 

k tanımlayarak bu matrisin determinantını incelemişlerdir. Bu

 

,

M_{  } k matrisi aynı zamanda [3]’de sunulan matrisinde bir genellemesi olup elemanları,

 

1,1 2 2,2 1,2 2,1 2,2 2 , , 1 1, , , , , 3 , 1 , 2 j j j j j j m F F m F m m m F F m L j k m m j k                                                dır. Bu M_{  ,}

 

k matrisinin determinantı, ,

  tek ise, det



_,

 



, tek , çift k k F k M k F k                , tek,

  çift ise, det



_,

 



, tek , çift k k F k M k F k             _  , ,

çift, tek

  ise, det



M_{  ,}

 

k



F_k

olarak elde edilmiştir.

3.1.2. TamamlanmamıĢ (Incomplete) Fibonacci sayıları

Filipponi (1996), Fibonacci sayılarını farklı bir alana taşıyarak tamamlanmamış Fibonacci sayılarını aşağıdaki gibi elde etmiş ve bu yeni sayıların özelliklerini incelemiştir. Tanım 3.1.2.1. 0 1 , 1, 2, 2 n k    n  _{ }    olmak üzere

 





0 1 k n j n j F k j    



şeklinde tanımlanan sayılara tamamlanmamış Fibonacci sayıları denir (Filipponi, 1996). Bu sayıların homojen olmayan rekürans bağıntısı,

 

1

 

2

 





3 , 2 3 3 2 n n n n k F k F k F k n k n k        _{ }  

ve homojen olan rekürans bağıntısı,



1



1



1



2

 

n n n

F k F_ k F_ k

olarak verilmiştir. Ayrıca bu sayıların üreteç fonksiyonunun,

 

 















1 ₂ 2 2 1 2 1 1 ₂ 0 1 1 1 k k k j k k k k j F F t t t R t F j t t t t t              



3.2. Lucas Sayıları

İtalyan matematikçi Edouardo Lucas (1842-1891), Fibonacci sayı sisteminde kullanılan son iki terimin toplamı bir sonraki terimi verir kuralını, başlangıç koşullarını değiştirerek uygulamış ve yeni bir sayı sistemini aşağıdaki gibi tanımlamıştır.

Tanım 3.2.1. L₀ 2, L₁ 1 ve n2 için

1 2

n n n

L L _ L_ (3.2.1)

şeklinde tanımlanan sayılara Lucas sayıları denir. Bazı Lucas sayıları,

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

L 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76

şeklinde verlir. Lucas sayılarının bazı özellikleri aşağıda verilmiştir. için, ardışık Lucas sayılarının toplamı,

1 1 0 1 n i n i L L     



için, ardışık Lucas sayılarının kareleri toplamı,

1 2 1 0 2 n i n n i L L L     



şeklindedir. için, Lucas sayılarının ardışık terimlerinin çarpımlarının toplamı,

1 1 5

n m n m m n

ve için, (1 5) 2 1    ve (1 5) 2 1    , x2 x10 denkleminin kökleri olmak üzere, n n n L  

dir. Böylece kapalı form

1 5 1 5 ( ) ( ) 2 2 n n n L    

olarak verilir. Negatif Lucas sayıları,

( 1)n

n n

L_   L

eşitliği ile bulunur. Şimdi de Lucas sayılarının farklı alanlardaki çalışmalarından bahsedilecek ve bu sayıların matris teorideki uygulamalarını ele alınacaktır.

3.2.1. Üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla Lucas sayıları

Fibonacci sayılarına benzer olarak Lucas sayıları da üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla elde edilmiştir. Örneğin, A n n n

 

 kare matris olmak üzere,

 

3 1 1 1 i i i A n i i i             

matrisinin determinantı det



A n

 



Ln1 olur (Byrd, 1963). Ayrıca Cahill ve Narayan

(2004) determinantı Lucas sayılarının her alt dizisini veren yeni bir üçlü bant matris ailesi vermişlerdir. ve k1, 2, olmak üzere, bu matris şu şekildedir:

 

 

 

 

 

2,2 2 2 2,2 2 , 1 1 1 1 L t L L L t L L L T k L L                               _   _{ }   _{   }   _{ }              _      ise

 



,



det T  k Lk.

Nalli ve Civciv (2009) ise çalışmalarında elemanları negatif indisli Lucas sayıları olan yeni bir simetrik üçlü bant matris, ve k1, 2, olmak üzere, T_{  ,}

 

k tanımlayarak bu matrisin determinantını  , , ve k’nın durumuna göre incelemişlerdir. Bu T_{  ,}

 

k matrisi aynı zamanda [3]’de sunulan matrisinde bir genellemesi olup elemanları şu şekilde alınmıştır:

 

1,1 2 2,2 1,2 2,1 2,2 2 , , 1 1, , , , , 3 , 1 , 2 . j j j j j j t L L t L t t t L L t L j k t t j k                                                Bu T_{  ,}

 

k matrisinin determinantı, ,

  tek ise, det



_,

 



, tek , çift k k L k T k L k             _  ,

tek, çift ise,

  det



_,

 



, tek , çift k k L k T k L k                , ,

çift, tek ise,

  det



T_{  ,}

 

k



 L_k

olarak elde edilmiştir.

3.2.2. TamamlanmamıĢ Lucas sayıları

Filipponi (1996), Fibonacci sayılarına benzer şekilde Lucas sayılarını da farklı bir alana taşıyarak tamamlanmamış Lucas sayılarını aşağıdaki gibi elde etmiş ve bu yeni sayıların özelliklerini incelemiştir.

Tanım 3.2.2.1. 0 , 1, 2, 2 n k   n  _{ }    olmak üzere,

 

 

0 k n j n _{n j} L k j n j    



şeklinde tanımlanan sayılara tamamlanmamış Lucas sayıları denir (Filipponi, 1996). Bu sayıların homojen olmayan rekürans bağıntısı,

 

1

 

2

 





2 ₂ , 2 2 2 2 2 n n n n _{n k} L k L k L k n k n k n k    _{ }    _{ }    

ve homojen olan rekürans bağıntısı,



1



1



1



2

 

n n n

L k L _ k L_ k

olarak elde edilmiştir. Ayrıca bu sayıların üreteç fonksiyonunun,

 

 



















1 ₂ 2 1 2 2 2 1 ₂ 0 1 2 1 1 k k k j k k k k j L L t t t t S t L j t t t t t               



şeklinde olduğu Pinter ve Srivastava (1999) tarafından ispatlanmıştır. Bu sayılarla ilgili yapılan çalışmalar bunlarla sınırlı olmayıp daha birçok çalışma vardır. Örneğin, Tasci ve Firengiz (2010) tamamlanmamış Fibonacci ve Lucas p-sayılarını tanımlayarak üreteç

fonksiyonlarını, rekürans bağıntılarını ve binomial toplamlarını incelemişlerdir. Ayrıca Djordjevic ve Srivastava (2005) tamamlanmamış genelleştirilmiş Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları üzerine çalışmalar yapmışlardır. Koshy (2001) ise Fibonacci, Lucas, Tribonacci ve Tribonacci-Lucas sayılarının uygulamaları için geniş kapsamlı bir kaynaktır.

3.3. Tribonacci Sayıları

Tribonacci sayıları ise ilk olarak Feinberg (1963) tarafından çalışılmıştır. Bu çalışmada yazar Tribonacci sayılarını ele almış ve ardışık iki Tribonacci sayısının oranına “Gümüş Oran” adını vermiştir.

Tanım 3.3.1. T₀ 0, T₁ T₂ 1 ve n2 için

1 1 2

n n n n

T T T T (3.3.1)

şeklinde tanımlanan sayılara Tribonacci sayıları denir. Bazı Tribonacci sayıları 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81 dir.

Tribonacci sayılarının bazı özellikleri aşağıda verilmiştir.

2 3 3 3 3 2 3 3 1 19 3 33 19 3 33 1 19 3 33 19 3 33 , , 3 3 1 19 3 33 19 3 33 1 3 , 3 2 w w w w i w                     

olmak üzere, Binet benzeri formülü,

1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n T                            (3.3.2) ve binomial toplamı,

 



2 2 3 1 0 0 2 n n i n i j i j n i j T i i j                    

 

_ (3.3.3)

şeklindedir (Spickerman, 1982; Phillippou ve Muwafi, 1982). , ve olmak üzere Tribonacci sayılarının farklı bir binomial toplamının da,

  

1 2



3 2



0 0 n i i k k n i rn m r r r r k i m i k n i T T T T T T i k            





şeklinde olduğu yazarlar tarafından kanıtlanmıştır (Yılmaz, Yazlık ve Taşkara, 2011). Ayrıca Kilic (2008) çalışmasında Tribonacci sayılarının toplamları ve T dizisi için _4n üreteç matrisleri elde etmiştir ve T dizisinin _4n T₀ 0, T₄ 4, T₈ 44 ve n1 olmak üzere, rekürans bağıntısının

  4    

4n 1 11 n 5 4n 1 4n 2

T _  T  T _ T _

şeklinde ve klasik Tribonacci sayılarının toplamının

2 0 1 2 n n n n k k T T S T     





şeklinde olduğunu göstermiştir. Bu bilgilere ek olarak negatif indisli Tribonacci sayıları da olmak üzere, B_11, B₀ B₁ 0 başlangıç koşulları altında

1 2 3

n n n n

B  B_ B_ B_

rekürans bağıntısı ile tanımlanır. Burada T_n B_n dir. Daha sonraki yıllarda ise iyi bilinen Lucas sayılarının bir üst sınıfı olan Tribonacci-Lucas sayıları ele alınmış ve çeşitli özellikleri incelenmiştir.

3.4. Tribonacci-Lucas Sayıları

Tanım 3.4.1. K₀ 3, K₁ 1, K₂ 3 ve n2 için

1 1 2

n n n n

K _ K K _ K _ (3.4.1)

şeklinde tanımlanan sayılara Tribonacci-Lucas sayıları denir. Bazı Tribonacci-Lucas sayıları 3, 1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131, 241 dir.

Bu sayıların Binet benzeri formülü ise

n n n

n

K    (3.4.2) olarak elde edilmiştir, burada

2 3 3 3 3 2 3 3 1 19 3 33 19 3 33 1 19 3 33 19 3 33 , , 3 3 1 19 3 33 19 3 33 1 3 , 3 2 w w w w i w                     

şeklindedir (Catalani, 2002; Elia, 2001). Ayrıca , ve r olmak üzere, Tribonacci-Lucas sayılarının binomial toplamı

  





1 1 2 3 2 1 0 0 n i i k k n i rn m r r r r k i m i k n i K T T T T K i k              





şeklinde formülüze edilmiştir (Yılmaz, Yazlık ve Taşkara, 2011). Bu bilgilere ek olarak negatif indisli Tribonacci sayılarına benzer şekilde ve C_11, C₀ 3, C₁  1 olmak üzere negatif indisli Tribonacci-Lucas sayıları da C_n  C_n1C_n2C_n3 rekürans bağıntısı ile tanımlanır. Burada K_n C_n dir. (Catalani, 2002).

4.TRĠBONACCĠ SAYILARI VE ÜÇLÜ BANT MATRĠSLER

Bu bölüm tezin esas kısmını oluşturan ilk bölüm olup, iki alt başlık altında toplanmıştır. İlk olarak Tribonacci sayılarını matris teoriye taşıyarak, üçlü bant matrislerin determinantları yardımıyla bu sayılar elde edilmiştir. Daha sonra da benzer metod Tribonacci-Lucas sayıları için uygulanmıştır.

4.1. Üçlü Bant Matrislerin Determinantları Yardımıyla Tribonacci Sayıları

Bu kısımda, determinantı Tribonacci sayılarını veren iki değişik üçlü bant matris verilecektir. Bu çalışma yapılırken Cahill, Narayan (2004)’ın ve Nalli, Civciv (2009)’in Fibonacci sayıları ve üçlü bant matrislerin determinantları ile ilgili olan çalışmalarından yararlanılmıştır. Esas sonuçta matrisin determinantı bulabilmek için aşağıdaki lemmaya ihtiyaç duyulmaktadır.

Lemma 4.1.1. ve n n n n n n n

C       olmak üzere, Tribonacci sayıları aşağıdaki eşitliği sağlar:

2

k n k n k n n k n

T T K T C T .

Ġspat Eşitliğimizi ispatlamak için (3.3.2) ve (3.4.2) eşitliklerinde







,







,







P      R      S       alarak eşitliğin sağ

tarafını yeniden yazarsak,









1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 k k k n n n k n k n n k n k n k n k n n n n n n n k n k n k n T K T C T P R S P R S P R S    _{  }    _{     }                         _   _       _   _       

1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 k n n n n k n n n n k n k n k n n k n k n k n k n k n T K T C T T P R S P R S                                    

yazabiliriz. Son eşitliği tekrar düzenlersek,





2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 k n k n k n n k n k n n k n k n k n k n k n T K T C T T P R S P R S                             _   _     

elde edilir ve  1 olduğundan,

2

k n k n n k n k n

T K T_ C T _ T_ olur.

Teorem 4.1.1. olmak üzere, T_{r s,}

 

n üçlü bant matris olsun. Yani,

    2 1,1 2, 2 , 1, 2 2,1 2, 2 2 2 , 1 1, 1 , , , 3 , , , 2 , r s r s r s j j r r s r s j r s j j j j r j r s T t T t T t K j n t t t T T T t t C j n T               _{  }              ise

 



,



det T_{r s} n T_{nr s} olur.

Ġspat İspat için n üzerinden tümevarım kullanalım. n1 ve n2için,

 





 





, 2, 2 2 , 2 2 2, 2 2 det 1 , det 2 det , r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s T T T t T T T T T t T T T            _     _   _  _{ }  _{ }   

olur. Eşitliğimizin n m için doğru olduğunu kabul edelim. Yani,

 



,



det T_{r s} m T_{mr s}

olsun. Şimdi de n m 1 için doğru olduğunu gösterelim. Denklem (3.1.1.1) den,







,



1, 1



,

 



1, , 1



,







det T_{r s} m1 t_{m m} det T_{r s} m t_{m m m m}t _ det T_{r s} m1 yazabiliriz ve kabulümüzden









          2 , 1 1 1 2 det _{r s} 1 _{r mr s r} m r s _{m r s} m r s r mr s r m r s m r s T T m K T C T T K T C T T                           

olur. O halde lemma 4.1.1’den,







,



 1

det T_{r s} m1 T_{m r s}

Teorem 4.1.2. T n

 

n n üçlü bant matrisi,

 



2 1



1 1 1 2 1 1 n n n T T T i i i i T n i i                  olmak üzere,

 





1 det T n Tn olur.

Ġspat n üzerinden tümevarımla gösterelim. n1 için açık olup det



T

 

1



 1 T₂ ve 2

n için det



 

2



det 1 2 ₃ 1 i T T i    _{ } 

  olur. Şimdi nm için doğru olduğunu

kabul edelim. Yani det



T m

 



T_m1 olsun. O halde n m 1 için doğru olduğunu gösterelim. Denklem (3.1.1.1) den,









1, 1



 



, 1 1,









det T m1 t_{m m} det T m t_{m m}t_{m m}det T m1

yazabiliriz. Kabulümüzden,









1 1 1 1 m+2 det 1 m m m m m m m m T T T m T T T T T T T          _{  }      

Uygulama 4.1.1. Teorem 4.1.1.’de r s 1 için,

 

2 1,1 1 2 1 1 0 0 2 2 2 1 1 1 1 n n n n i i T T n i T T i T                _      _      ise det



T_1,1

 

n



T_n1. 2, 1 r s için,

 

2,1 2 5 2 3 2 5 2 3 2 1 3 1 4 2 3 3 2 1 1 3 n n n n i i T n T i T T i T                                  ise det



T_2,1

 

n



T_2n1. 2, 0 r s için,

 

2 6 2,0 2 4 2 6 2 4 1 0 0 4 3 1 1 3 n n n n i i T T n i T T i T                           ise det



T_2,0

 

n



T₂n.

Uygulama 4.1.2. Teorem 4.1.2.’de , n2 için,

 

1 2 1 i T i     _{ }

matrisinin determinantı det



T

 

2



 2 T₃, 3 n için,

 

3 1 1 20 0 1 i T i i i         

matrisinin determinantı det



T

 

3



 4 T4,

4 n için,

 

1 0 0 1 2 0 4 ₃ 0 1 2 0 0 1 i i i T _i i i           

matrisinin determinantı det



T

 

4



 7 T_5,

5 n için,

 

1 1 2 3 1 5 ₂ 3 1 2 1 i i i i i T i i i                 

matrisinin determinantı det



T

 

5



13T₆ olur. Benzer şekilde, n nin farklı değerleri için örnekler çoğaltılabilir.

4.2. Üçlü Bant Matrislerin Determinantları Yardımıyla Tribonacci-Lucas Sayıları

Bu kısımda ise determinantı Tribonacci-Lucas sayılarını veren iki tane değişik üçlü bant matris verilecektir. Yukarıdaki kısma benzer şekilde, bu çalışma yapılırken Cahill, Narayan (2004)’ın ve Nalli, Civciv (2009)’in çalışmalarından yararlanılmıştır. Esas sonuçta matrisin determinantı bulabilmek için aşağıdaki lemmaya ihtiyaç duyulmaktadır.

Lemma 4.2.1. [4] , n n n n n n n

C       ve K n. Tribonacci-Lucas _n sayısı olmak üzere, Tribonacci-Lucas sayıları aşağıdaki eşitliği sağlar:

2

k n k n k n n n k

K _ K K K _ C C _ .

Teorem 4.2.1. olmak üzere, K_{r s,}

 

n üçlü bant matrisi,

    2 1,1 2, 2 , 1, 2 2,1 2, 2 2 2 , 1 1, 1 , , , 3 , , , 2 , r s r s r s j j r r s r s j r s j j j j r j r s K k K k K k K j n k k k K K C k k C j n K                _{  }              olsun. O halde

 



,



det K_{r s} n K_{nr s} olur.

Ġspat İspat için n üzerinden tümevarım kullanalım.

1 n için det



K_{r s,}

 

1



K_{r s} , 2 n



 



2, 2 2 , 2 2 2, 2 2 det 2 det r s r s r s r s r s r s r s r s r s K k K K K K K k K K K          _     _   _  _{ }  _{ }    ,

olup açıktır. Eşitliğimizin n m için doğru olduğunu kabul edelim. Yani,

 



,



det Kr s m Kmr s

olsun. Şimdi de n m 1 için doğru olduğunu gösterelim. Denklem (3.1.1.1) den,







,



1, 1



,

 



1, , 1



,







det Kr s m1 km m det Kr s m km mkm m det Kr s m1 yazabiliriz ve kabulümüzden









          2 , 1 1 1 2 det _{r s} 1 _{r mr s r} m r s _{m r s} m r s r mr s r m r s m r s C K m K K C K K K K C K C                             

olur. O halde lemma 4.2.1.’den,







,



 1

det K_{r s} m1 K_{m r s}

elde edilir.

Teorem 4.2.2. K n

 

n n üçlü bant matrisi

 



2 1



1 4 3 3 4 1 1 1 n n n K K K i i i i K n i i           _{ }       olmak üzere,

 





1 det K n K_n olur.

Ġspat n üzerinden tümevarımla gösterelim. n1 için açık olup det



K

 

1



 3 K₂ ve 2

n için det



 

2



det 3 4 7 ₃ 1 i K K i    _{ } 

  olur. Şimdi nm için doğru olduğunu

kabul edelim. Yani det



K m

 



 K_m1 olsun. O halde n m 1 için doğru olduğunu gösterelim. Denklem (3.1.1.1) den,









1, 1



 



, 1 1,









det K m1 k_{m m} det K m k_{m m}k_{m m}det K m1 yazabiliriz. Kabulümüzden,









1 1 1 1 2 det 1 m m m m m m m m m K K K m K K K K K K K           _{  }      

elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.

Uygulama 4.2.1. Teorem 4.2.1.’de r s 1 için,

 

2 1,1 1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 n n n n i i i i C K n i K C i K                  _      _      ise det



K_1,1

 

n



Kn₁.

2, 1 r s için,

 

2,1 2 5 2 3 2 5 2 3 7 0 8 0 3 7 8 3 7 1 1 3 n n n n i i K n C i K C i K                                    ise det



K_2,1

 

n



K_2n1. 2, 0 r s için,

 

2 6 2,0 2 4 2 6 2 4 3 1 1 4 2 2 3 1 1 3 n n n n i i C K n i K C i K                  _      _      ise det



K_2,0

 

n



K_2n.

Uygulama 4.2.2. Teorem 4.2.2.’de, n2 için,

 

3 4 2 1 i K i    _ _

matrisinin determinantı det



K

 

2



 7 K₃, 3 n için,

 

₃ 3 4₁ 40 3 0 1 i i K i i         

matrisinin determinantı det



K

 

3



11K₄, 4 n için,

 

3 4 0 0 4 1 0 3 4 10 0 1 7 0 0 1 i i i K i i i             

matrisinin determinantı det



K

 

4



21K_5,

5 n için,

 

3 4 4 1 3 10 5 1 7 18 1 11 1 i i i i K i i i i                 

5.TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ VE TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ-LUCAS SAYILARI

Bu bölüm tezin esas kısmını oluşturan ikinci bölüm olmak üzere yine iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda farklı bir bakış açısıyla Tribonacci sayılarını geliştirmek için tamamlanmamış Tribonacci sayıları tanımlanarak bu yeni sayıların üreteç fonksiyonu elde edilmiştir. İkinci kısmında ise benzer şekilde tamamlanmamış Tribonacci-Lucas sayılarını tanımlanarak üreteç fonksiyonu çalışılmıştır.

5.1. TamamlanmamıĢ Tribonacci Sayıları

Bu kısımda, Filipponi (1996), Pinter-Srivastava (1999), Djordjevic-Srivastava (2005) ve Tasci-Firengiz (2010)’in çalışmalarından yararlanılmıştır. İlk olarak, Tribonacci sayılarının binomial toplamını kullanarak tamamlanmamış Tribonacci sayılarının tanımını verelim.

Tanım 5.1.1. 1 1 2

2 3

0 _k  n , 0 _t n  i

    ve n1, 2,3, . olmak üzere,

tamamlanmamış Tribonacci sayıları T k t ,_n

 

,

 

 



0 0 1 2 , k t n i j i j n i j T k t i i j       



_ (5.1.1) ile tanımlanır.  1 , 1 2 2 3 n n n n i T __   _{ }    __ T        T_n

 

0, 0 1  3 2 2 t i k  _  _ alınırsa, T_{3t 2 1i}

 

k t, T_{3t 2 1i}

Lemma 5.1.1. 1 1 2

2 3

0 _k  n , 0 _t n  i

    için,

i) Tamamlanmamış Tribonacci sayılarının homojen rekürans bağıntısı,

















1 1, 1 1, 1 1 , 1 2 1, ,

n n n n

T_ k t T k t T_ k t T_ k t

ii) Tamamlanmamış Tribonacci sayılarının homojen olmayan rekürans bağıntısı,

 

 

 

 

 



 



1 2 3 0 0 , , , , 4 2 3 2 n n n n t k j i T k t T k t T k t T k t t i n i t k j n k j k k j t t i                 



_ 



_ şeklindedir. Ġspat i) AT k_n



1,t 1



T_n1



k t,  1



T_n2



k1,t



olsun. (5.1.1) eşitliğini kullanarak,

 



 



 



 















1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 2 3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 k t k t i j i j k t i j k t k t i j i j k t i j k t i j i j n i j i j n i j A i i j i i j i j n i j i i j i j n i j i j n i j i i j i i j i j n i j i i j                                    _  _      _           _  _{  }       _{ } 















 













  



 



1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 _, 1 k t i j k t t i j j k i i j n i j i j n i j i i j i i j i j n i j j n j i i j j i n i i i                 _                   _{ }  _{ }     _











yazılabilir.

     

1 1 n n n r r r   _  ve

 

1

 

1 0 1 i j i    

 



 



 







1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1, 1 k t k t i j i j k t i j n i j n i j i j n i j A i i j i i j i j n i j i i j T k t                       _  _{ }     _   







elde edilir.

ii) BT k t_n

 

, T_n1

 

k t, T_n2

 

k t, T_n3

 

k t, ele alalım. (5.1.1) eşitliğini kullanarak,

 



 



 



 



  

 









0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 k t k t i j i j k t k t i j i j k t k t i j i j k t i j i j n i j i j n i j B i i j i i j i j n i j i j n i j i i j i i j i j n i j n i j i j n i j i i j i j i i j i j                          _  _          _  _                _{ }  _{ } _{  }     





















 









 









 



0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 1 4 2 k t k t i j i j t k t j i j k i n i j i i j i j n i j i j n i j i i j i i j k j n k j i j n i j k k j i i j i t n i j i t i                        _{ }  _{  }           _  _{ }      _











yazabiliriz.

     

1 1 n n n r r r   _  ve

 

1

 

1 0 1 i j i    

 









 

  









 



 



 



0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 4 2 2 2 1 k t k t i j i j t t j j k t k i j i k i k t i j i j n i j i j n i j B i i j i i j j n j k j n k j j k k j i n i i j n i j i i j i i i t n i t i i t i j n i j i i j                       _{ }  _{  }         _{ }  _          _{ }  _      _      _{ } 

















 



 



 



 



 



1 0 0 0 0 0 2 2 1 4 2 3 2 3 2 4 2 k t i j t k j i t k j i i j n i j i i j i t n i t k j n k j k k j i i t i t k j n k j n i j k k j i i t                      _  _           _  _











olur. Dolayısıyla,

 

 

 

 

 



 



1 2 3 0 0 , , , , 4 2 3 2 n n n n t k j i T k t T k t T k t T k t t i n i t k j n k j k k j t t i                 



_ 



_ sonucuna ulaşılır.

Aşağıdaki lemmaya tamamlanmamış Tribonacci sayılarının üreteç fonksiyonunun ispatında ihtiyaç duyulacaktır.

Lemma 5.1.2. , n3 ve için, homojen olmayan

 

Sn n ₀

  kompleks dizisinin, 1 2 3 , n n n n n S aS _ bS _ cS _ r üreteç fonksiyonu U x( ),

 

0 0



1 0 1



2



2 1 0 2



 

2 3 1 S r x S aS r x S aS bS r G x U x ax bx cx             