K-Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant ve negacyclic matrisler

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI

CİRCULANT VE NEGACYCLİC MATRİSLER

Habip Mehmet SEVGİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI

CİRCULANT VE NEGACYCLİC MATRİSLER

Habip Mehmet SEVGİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI

KONYA, 2010

Bu tez 18 / 01 / 2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Doç. Dr. Süleyman SOLAK

(Danışman) (Üye)

Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR (Üye)

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI

CİRCULANT VE NEGACYCLİC MATRİSLER

Habip Mehmet SEVGİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İlköğretim Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER

2010, 37 sayfa

Jüri:

Doç. Dr. Süleyman SOLAK Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR

Bu çalışmada, ilk olarak kFibonacci sayıları ile circulant ve negacyclic matrisler tanımlanmıştır. Daha sonra, tanımlanan bu matrislerin özdeğerleri, determinantları ve normları (spektral, Euclidean, satır, sütun) araştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Circulant matris, Negacyclic matris, kFibonacci sayıları, Özdeğer, Norm, Determinant.

ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

CIRCULANT AND NEGACYCLIC MATRICES WITH THE k FIBONACCI NUMBERS

Habip Mehmet SEVGI

Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Primary Education

Advisor: Asist. Prof. Dr. E. Gokcen KOCER

2010, 37 Pages

Jury:

Assoc. Prof. Dr. Suleyman SOLAK Asist. Prof. Dr. E. Gokcen KOCER Asist. Prof. Dr. Ahmet CIHANGIR

In this study firstly, we defined the circulant and negacyclic matrices with the 

k Fibonacci numbers. Afterwards, investigated eigenvalues, determinants and norms (spectral, Euclidean, row, column) of these matrices.

Key Words: Circulant matrices, Negacyclic matrices, kFibonacci numbers, Eigenvalue, Norms, Determinant.

ÖNSÖZ

Circulant matrisler, matematik literatüründe ilk kez 1846 yılında E. Catalan’ın bir çalışmasında karşımıza çıkmaktadır. O yıllardan günümüze kadar matematiğin birçok dalında ve fizikte uygulama alanına sahip olan circulant matrisler hakkında birçok çalışmalar yapılmıştır. Biz de bu çalışmamızda circulant matrisleri ve ters circulant matris de denilen negacyclic matrisleri kFibonacci sayılarıyla tanımlayarak elde edilen matrislerin özelliklerini inceledik.

Çalışmamız dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmamızla ilgili literatür incelemesi yapılmıştır. İkinci bölümde circulant matrisler, negacyclic matrisler, kFibonacci sayıları ve bazı matris özellikleri hakkında bilgi verilmiştir.

Çalışmamızın esas kısmını üçüncü ve dördüncü bölüm oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde circulant matrisler kFibonacci sayılarıyla tanımlanarak elde edilen matrisin özdeğerleri, determinantları ve normu (spektral, Euclidean, satır, sütun) elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise kFibonacci sayılarıyla tanımladığımız negacyclic matrislerin özdeğeri, normu ve determinantı bulunmuştur. Bu tezin oluşmasında büyük katkıları olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Emine Gökçen KOÇER’e ve yüksek lisans çalışmalarım sırasında beni maddi açıdan destekleyen TÜBİTAK Bilim İnsanını Destekleme Dairesi Başkanlığı’na teşekkür ederim.

Habip Mehmet SEVGİ Konya, 2010

İÇİNDEKİLER ÖZET………..………iii ABSTRACT………..………..…iv ÖNSÖZ………..………..……….v İÇİNDEKİLER………..………..vi 1. GİRİŞ...………..………...1 2. ÖN BİLGİLER………..………...9

3. k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI CİRCULANT MATRİSLER…...16

4. k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI NEGACYCLİC MATRİSLER…..23

Orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi Leonardo’nun 1170 yılında İtalya'nın Pisa şehrinde doğduğu tahmin edilmektedir. Babası Guglielmo'nun takma adı Bonaccio idi ve bu ad, iyi tabiatlı veya sade ruhlu anlamına gelmekteydi. Annesi Alessandra Leonardo 9 yaşındayken öldü. Leonardo babasının takma adını miras olarak aldı. İtalyanca Filius Bonacci, Bonacci'nin oğlu anlamına gelmekteydi ve Leonardo bu nedenle Fibonacci diye anılmaya başlandı. Babası Guglielmo Cezayir'in Béjaïa limanı ile İtalya'nın Bugia kenti arasında bir ticaret postasını idare etmekteydi. Genç bir çocuk olan Leonardo babasına yardım etmek için onunla seyahat ederdi. Burası Leonardo'nun Hint-Arap sayı sistemini öğrendiği yerdir. Fibonacci, Hint-Arap sayıları ile aritmetik işlemler yapmanın Roma rakamları ile hesap yapmaktan çok daha basit ve kullanışlı olduğunu gördü. Leonardo bütün Akdeniz bölgesini gezdi ve dönemin önde gelen Arap matematikçileri ile çalışma imkânı buldu. Leonardo yaklaşık olarak 1200 yılında bu seyahatinden döndü. 1202 yılında, öğrendiklerini "Abaküs Kitabı" veya "Hesaplama Kitabı" anlamına gelen Liber Abaci isimli eserinde topladı. Yayınladığı bu eserinde Hint-Arap Sayı Sistemi'ni Avrupa'ya duyurdu. Liber Abaci'de (1202) Fibonacci, modus indium (Hintlilerin Yöntemi) adını verdiği ve günümüzde Hint-Arap sayıları diye bilinen modern ondalık sayı sistemini tanıtır. Bu kitap gündelik hayatta ticari defter tutma, ölçü birimlerini çevirme, faiz hesaplama, para bozma ve değiştirme ve benzeri işlemlerde önemini göstermiştir. Kitap Avrupa'da tahsilli insanlar arasında hızlı bir şekilde yayılmış ve Avrupa'nın müspet bilimde ilerlemesine önemli etkileri olmuştur. Ayrıca Fibonacci bu kitabında kapalı bir ortamdaki bir tavşan ailesinin artışını şu problemle dile getirmiştir. Biri erkek biri dişi bir çift tavşanımız var, bir aylıkken çok genç olduklarından üreyemiyorlar, ama ikinci ayın sonunda erginleşip üremeye başlıyorlar. Her ay ergin her çiftin biri erkek biri dişi olmak üzere yeni bir çift ürettiğini ve hiç ölmediklerini varsayalım. Tavşanlar bu şekilde üremeye devam ederlerse bir yılın sonunda kaç çift tavşanınız olur? Sorunun devamı, bu sorunun genelleştirilmiş hali olan, n ay sonra kaç çift tavşanınız olur?

Birinci ay 1 çift, ikinci ay üreyemediklerinden yine 1 çift ve üçüncü ay 2 çift ve bu şekilde devam edilirse her ayda kaç çift tavşan olduğunu hesaplarsak aşağıdaki diziyi buluruz.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,...

Görüldüğü üzere, üçüncü terimden itibaren her sayı kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. F , _n n - inci aydaki çift sayısı ve F_n1, n 1- inci aydaki çift sayısı olmak üzere, n 2- inci aydaki çift sayısını

F_n2 F_n1F_n (1.1) şeklinde tanımlayabiliriz (Koshy 2001).

Tanım 1.1. n 2 için

F_n F_n1F_n2 ; F  , ₀ 0 F  (1.2) ₁ 1 ile tanımlanan diziye Fibonacci dizisi, dizinin terimlerine de Fibonacci sayıları denir (Vajda 1989).

n ’in negatif ve pozitif değerleri için Fibonacci dizisinin birkaç elemanını aşağıdaki tablo ile verebiliriz.

Tablo 1.1.

n … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …

n

F … 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 …

Dikkat edilecek olursa n ’in pozitif ve negatif değerleri için

F_n  

 

1 n1F_n (1.3) dir (Vajda 1989).

Daha önce 6. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından bulunmuş olan bu sayı dizisi Liber Abaci kitabında tavşanların üremesiyle ilgili problemin hesaplanması sonucu Fibonacci tarafından 1202 yılında ortaya konulmuştur. Bu

dizinin ileri elemanlarında, bir sonraki elemanın bir öncekine oranı olan ve altın oran adı verilen ve yaklaşık 1,618 değerine eşit bir sayıyı verir. Altın oran matematikte genellikle  1,618033988749894... ile gösterilir (Koshy 2001).

Tabiattaki canlılarda, insan vücudunda ve mimari yapılarda altın oranı görmek mümkündür. Örneğin ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir. Papatya çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci dizisi mevcuttur. Ayrıca antik mimari eserler ve bazı modern mimari eserler bu orana uygun tasarlanmışlardır. Örneğin, Mimar Sinan’ın Selimiye ve Süleymaniye camilerinin minarelerinde Fibonacci dizisi mevcuttur. Kısacası altın orana uygun ölçülerdeki nesnelerin ve canlıların daha estetik olduğu ve güzel göründüğü savunulmaktadır (Duran 2008).

Bugüne kadar Fibonacci sayılarının çeşitli genelleştirmeleri tanımlanmıştır. Bu genelleştirmelerden bir tanesi 2006 yılında Stakhov tarafından m  Fibonacci sayıları olarak tanımlanmıştır (Stakhov 2006). Daha sonraki yıllarda Falcon ve Plaza tarafından k Fibonacci sayıları olarak isimlendirilmiş olup üzerinde birçok araştırma yapılmıştır (Falcon ve Plaza 2007).

Tanım 1.2. k 1 ve n 1 için

F_{k n, 1} kF_{k n,} F_{k n, 1} (1.4) rekürans bağıntısı ve

F_k,0 0 ve F_k,11 (1.5) başlangıç koşulları ile tanımlanan diziye k Fibonacci dizisi denir ve

 

N n n k F  ,

şeklinde gösterilir (Falcon ve Plaza 2007).

k Fibonacci dizisi Fibonacci dizisinin bir genelleştirmesi olup, k 1 tamsayı değerleri için farklı diziler elde edilecektir. Eğer (1.4) denkleminde k 1 alırsak

1,n 1 1,n 1,n 1

F _ F F _ ; F_1,0 0, F _1,1 1

şeklindeki Fibonacci dizisi elde edilir ve kısaca

_{ }

F_n ile gösterilir. Eğer (1.4) denkleminde k 2 alırsak

2,n 1 2 2,n 2,n 1

F _  F F _ ; F_2,0 0, F_2,11

ile tanımlanan Pell dizisi elde edilir ve

_{ }

P_n ile gösterilir. Son olarak (1.4) denkleminde k 3 alırsak

3,n 1 3 3,n 3,n 1

F _  F F _ ; F_3,0 0, F _3,1 1

şeklindeki dizi elde edilir ve bu dizi

_{ }

H_n ile gösterilebilir (Falcon ve Plaza 2007).

 

Fn Fibonacci,

 

Pn Pell ve

 

Hn dizilerinin ilk birkaç elemanını aşağıdaki

tabloda verebiliriz. Tablo 1.2. n 0 1 2 3 4 5 6 7 … n F _{0 1 1 2 3 5 8 13 …} n P _{0 1 2 5 12 29 70 169 …} n H _{0 1 3 10 33 109 360 1189 …}

(1.4) rekürans bağıntısının karakteristik denklemi

_x2_{kx  1 0 (1.6)}

dir. Bu denklemin kökleri

2 4 2 k k k     ve 2 1 4 2 k k k k        dir. (1.6)

denkleminin pozitif kökü olan  ’ya _k k altın oran adı verilir. k 1, 2, 3 tamsayı

değerleri için  oranı özel olarak isimlendirilmiştir. Yani _k 1

1 5 2    altın oran, 2 1 2    gümüş oran ve 3 3 13 2

   bronz oran olarak adlandırılmıştır (Falcon ve Plaza 2007).

Tanım 1.3. a₀,a₁,a₂, bir reel sayı dizisi olsun.       a ax a x a_nxn x g( ) _{0 1 2} 2

ifadesine

 

a dizisinin üreteç fonksiyonu denir (Koshy 2001). _n

Teorem 1.1. k 1 ve n 1 için k Fibonacci dizisinin üreteç fonksiyonu



2



1

( ) 1

g x x kxx  dir.

İspat : Tanım 1.3 den kFibonacci dizisinin üreteç fonksiyonu

2 , ,0 ,1 ,2 , 0 ( ) _{k n} n _{k k k} ... _{k n} n ... n g x F x F F x F x F x   

_

      dir. O halde . x _{, 1 ,0 ,1} 2 _,2 3 _, 1 . ( ) _{k n} n _{k k k} ... _{k n} n ... n k g x kF x kF x kF x kF x kF x    

_

      2 2 3 4 , 2 ,0 ,1 ,2 , 2 2 . ( ) k n n k k k ... k n n ... n x g x F x F x F x F x F x     



     

dir. Bu üç eşitliği göz önüne alırsak









2 2 ,0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0 ( ) ( ) ( ) _{k k k k k k} g x kxg x x g x F  F kF x F kF F x





3 ,3 ,2 ,1 ... k k k F kF F x    

olur. k Fibonacci dizisinin başlangıç şartları F_k,0 0 ve F_k,11 olduğundan



2







( ) 1 0 1 .0

g x kxx  x k  x elde edilir. Dolayısıyla k Fibonacci dizisi için üreteç fonksiyonu

2 ( ) 1 x g x kx x    dir.

k Fibonacci sayılarının Binet formülünü üreteç fonksiyonu yardımıyla elde etmek mümkündür.  ve _k  (1.6) denkleminin kökleri olmak üzere ( )k g x üreteç

fonksiyonunu basit kesirlere ayırırsak

2 ( ) 1 1 _k 1 _k x A B g x kx x  x  x       

olur. Gerekli işlemler yapıldığında

2 1 4 A B k    

2 2 0 0 1 1 ( ) 4 4 n n n n k k n n g x x x k k         







dir. Daha sonra





        0 2 0 , 4 ) ( n n n k n k n n n k x k x F x g  

elde edilir. Buradan _k _k  k24 olmak üzere F_{k n,} k Fibonacci sayılarının Binet formülü k k n k n k n k F        , (1.7)

dir. Dikkat edilecek olursa k 1 için Fibonacci sayılarının, k 2 için Pell sayılarının Binet formülü kolayca elde edilebilir.

Tanım 1.4. aRn ve a(a₀,a₁,...,a_n)T olsun. ij elemanı  ) (mod n i j ij a c  _

olan n  tipindeki n C(a)(c_ij) matrisine circulant matris denir (Davis 1979). ) (a C circulant matrisi                 0 2 1 2 0 1 1 1 0 ) ( a a a a a a a a a a C n n n      

şeklinde gösterilir. C(a) circulant matrisi, Toeplitz matrisinin özel bir hali olup circulant matrisinin her bir satırının elemanı aynıdır. Satırlar arasındaki tek fark ise elemanların sağa doğru bir adım kaymasıdır. Bu nedenle tüm circulant matrisler ilk satır (ya da sütun) tarafından tanımlanabilir (Davis 1979).

Tanım 1.5. aRn _ve T

n

a a a

a( ₀, ₁,..., ) olsun. Esas köşegeninin altındaki elemanlarının işaretleri değiştirilmiş, n  tipindeki circulant matrise ters circulant n matris ya da negacyclic matris denir (Davis 1979).

) (a N negacyclic matrisi                                 0 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 3 2 1 0 ) ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a N n n n n n n      

şeklinde gösterilir (Davis 1979).

H. Karner, J. Schneid ve C. W. Ueberhuber (2003) çalışmalarında, circulant matrisleri sağ ve sol circulant matris olarak sınıflandırmışlardır. Bu sağ circulant matris aslında çalışmamızda göz önüne aldığımız yukarıda tanımlanan circulant matristir. Ayrıca ters sağ circulant ve ters sol circulant matrisler tanımlanarak, bu matrislerin özdeğer ve singüler değer ayrışımları Fourier matrisleri kullanılarak elde edilmiştir. Bu bahsedilen ters sağ circulant matris ise yukarıda tanımını verdiğimiz negacylic matristir.

D. Geller, I. Kra, S. Popescu ve S. Simanca, circulant matrislerin determinantını ve karakteristik polinomunu, birimin n dereceden primitif kökünü . kullanarak elde etmişlerdir. Circulant matrislerin oluşturduğu uzayın sonlu boyutlu değişmeli bir cebir yapısında olduğunu göstermişlerdir. Circulant matrislerin düzgün olması için gerek ve yeter şartlar verilmiş, circulant matrislerin determinantı ve kompleks projektif uzaydaki eğriler arasındaki ilişki incelenmiştir.

D. A. Lind (1970), circulant ve ters circulant matrisi, Fibonacci sayısı ile tanımlayarak bu matrislerin determinantlarını birimin n dereceden pirimitif kökünü . kullanarak elde etmiştir.

Solak (2005), Fibonacci sayıları ile circulant matrisleri tanımlayarak, bu matrisin normlarını incelemiştir.

Alptekin (2005), Pell sayıları ile circulant ve semicirculant matrisleri tanımlayarak, bu matrislerin özdeğerleri, normları ve determinantlarını incelemiştir.

Koçer (2007), Modified Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları ile tanımlı circulant, negacyclic ve semicirculant matrislerin özdeğerleri, determinantları ve normlarını elde etmiştir.

2. ÖNBİLGİLER

Tanım 2.1. F, reel ya da kompleks sayılar cismi ve M_mn(F) m  tipindeki n matrislerin kümesi olmak üzere

  ( ) : . M_mn F R

 

0 A A  şeklinde ifade edilen ve

i ) AM_mn(F) için A0 ise A 0 ve A0 A 0 olmasıdır. ii ) AM_mn(F) ve F için, A   A dır.

iii ) A,BM_mn(F) ve A ile B aynı mertebeden matrisler olmak üzere, B

A B

A   dir.

iv) A,BM_mn(F) ve A ile B çarpılabilir matrisler olmak üzere, A

AB  B dir.

aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne matris normu denir ve AM_mn(F) için A şeklinde gösterilir. Sadece ilk üç aksiyom sağlanıyorsa bu norma genelleştirilmiş matris normu denir (Horn ve Johnson 1985).

) (a_ij

A  n  tipinde bir matris olmak üzere bazı matris normlarını n aşağıdaki gibi verebiliriz.

i )

_

    n i ij n j a A 1 1

1 max | | (Sütun Normu)

ii )

_

     n j ij n i a A 1 1 | |

max (Satır Normu)

iii ) 2 / 1 2 1 , | |         

_

 n j i ij E a

A (Euclidean veya Frobenius Normu)

iv )





2 / 1 * 1 2 max _        A A A _i n i  (Spektral Norm)

v ) p p n j i ij p a A / 1 1 , | |         

_

 (1 p , l_p Normu)

Tanım 2.2.  , birimin .n dereceden primitif kökü olmak üzere ij elemanı 

 1 1 1 _{ }  i j ij n f  şeklinde tanımlanan       _                     2 1 1 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n F                  

matrisine Fourier matrisi denir (Davis 1979).

Aynı zamanda  nin özelliklerini kullanarak bu matris

                                       2 1 2 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n F şeklinde de yazılabilir. ) (a

C circulant matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri, y y a C( )  denkleminin ya da 1 ,..., 1 , 0 ; 1 1 0    

_



       y a y y j n a _j n j k k j k j k k k j n 

fark denklemlerinin kökleridir. Burada toplamların sınırlarında değişiklik yapılırsa

_{ } ; 0,1,..., 1 1 1 0    

_



         a y y j n y a _j n j n k j n k k j n k j k k  (2.1)

elde edilir. Denklem sabit katsayılı lineer bir denklem olduğu için y_k k dir. Bu ifade (2.1) denkleminde yerine yazılırsa

    

_





       1 1 0 n j n k k k n j n k k k a a

elde edilir.  birimin .n dereceden primitif kökü olup, C(a) circulant matrisinin özdeğerleri



   1 0 n k k k a  

ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler ise

) , , , , 1 ( 2 1 2 / 1   n n y    

dir.  e2i/n birimin n dereceden primitif kökü olmak üzere . _j e2ij/n j olarak seçilirse j 0,1,,n1 için C(a) circulant matrisinin özdeğerleri





_

  



1 0

)

(

n k jk k j

C

a

a





ve bu özdeğere karşılık gelen özvektörler

 j 1 _(1, j_, 2j_{, ,} n1j₎

n

y _{ } _ _{ } 

dir (Gray 2002).

Teorem 2.1. C(a), n  tipindeki bir circulant matris ve n



( )



, 0,1,..., 1 1 0   

_

   n j a a C n k jk k j   ) (a

C nın özdeğerleri olsun. O zaman



C(a)



diag



₀



C(a)

 

, ₁ C(a)



,..., _n1



C(a)





   

ve FFourier matrisi olmak üzere



C a



F F

a

C_{( )} H_{ ( )}

dir (Karner, Schneid ve Ueberhuber 2003).

Teorem 2.2. C(a) n  tipinde bir circulant matris ve n _k e2ki/n birimin n . dereceden primitif kökü olsun. j 0,1,,n1 için





_{ }

              1 0 1 0 ) ( det n k n j j k j a a C  dir (Lind 1970).

Tanım 2.3.  e2i/n birimin n dereceden primitif kökü olmak üzere . pqelemanı

        2 1 2 1 p q pq n g 

olarak tanımlanan G 

 

g_pq matrisine üniter matris denir. G üniter matris ve F Fourier matrisi olmak üzere

 





F diag

G  1,1/2,..., n1/2 dir (Karner, Schneid ve Ueberhuber 2003).

Teorem 2.3. N(a), n  tipindeki bir negacyclic matris ve n



_{( )}



1   _{, 0,1, , 1} 0 2 / 1 2   

_

   n j a a N n k k j k j    ) (a

N ’nın özdeğerleri olsun. O zaman



N(a)



diag



₀



N(a)

 

, ₁ N(a)



,..., ₁



N(a)





M    _n

ve G üniter matris olmak üzere





H G a N GM a N( ) ( ) dir (Karner, Schneid ve Ueberhuber 2003).

Teorem 2.4. n  tipinde bir n A matrisinin circulant matris olması için gerek ve yeter şart                      0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0            

permütasyon matrisi olmak üzere

A A  şartının sağlanmasıdır (Davis 1979).

Sonuç 2.1. A matrisinin circulant olması için gerek ve yeter şart A* matrisinin de circulant olmasıdır (Davis 1979).

Sonuç 2.2. A ve B, n  tipinde circulant matrisler ise n AB matrisi de circulanttır (Davis 1979).

İspat. A circulant matris ise Teorem 2.4 den A A dir. Eşitliğin her iki yanı sağdan B matrisi ile çarpılırsa ABAB olur. B matrisi de circulant olduğu için

B

B  dir. Dolayısıyla AB AB olur. AB matrisi Teorem 2.4 den circulant matristir.

Ayrıca aynı mertebeli circulant matrisler değişmelidir. Dolayısıyla bu özellik ve Sonuç 2.1 den circulant matrislerin normal matrisler olduğu sonucuna varılabilir. Yani A circulant matris ise AA*  A*A şartı sağlanır.

Teorem 2.5. A matrisinin özdeğerleri ₁,₂,...,_n olsun. A nın normal bir matris olması için gerek ve yeter şart AA matrisinin özdeğerlerinin * ₁2,₂2,...,_n2 olmasıdır (Taşçı 2005).

Teorem 2.6. n  tipinde bir n A matrisinin negacyclic matris olması için gerek ve yeter şart                                     1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 n n I I I I         olmak üzere A A  şartının sağlanmasıdır (Davis 1979).

Teorem 2.7. F_{k n,} , n. k Fibonacci sayısı olmak üzere

_

      1 0 1 , , , 1 n i n k n k i k k F F F (2.2)

dir (Mong, Tang ve Brown 2003).

Teorem 2.8. F_{k n,} , n. k Fibonacci sayısı olmak üzere _,2



_{,2 1}



1 1 1 n k i k n i F F k    



(2.3) dir (Falcon ve Plaza 2007).

Teorem 2.9. Fk n, , n. k Fibonacci sayısı olmak üzere tek k Fibonacci sayılarının

toplamı ,2 1 ,2 2 0 1 n k i k n i F F k    



(2.4) dir (Falcon ve Plaza 2007).

Teorem 2.10 ( Cassini Eşitliği ). F_{k n,} , n. k Fibonacci sayısı olmak üzere

F_{k n, 1}F_{k n, 1}F_{k n}2_,  

 

1n (2.5) dir (Falcon ve Plaza 2007).

İspat. F_{k n, 1}F_{k n, 1}F_{k n}2_, C olsun. k Fibonacci sayılarının Binet formülünü kullanırsak 2 1 1 1 1                                k k n k n k k k n k n k k k n k n k C            





2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 k k n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k                        

















n k k k k n k k k k n ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2                    olur. Dolayısıyla

 

2 , 1 , 1 , 1 n k n k n k n F _F _ F   dir. Lemma 2.1. n 1 için

 

 

1 1 2 1 1 n n i i  

_

 

dir (Mong, Tang ve Brown 2003).

Teorem 2.11. F_{k n,} , n. k Fibonacci sayısı olmak üzere

_

    1 0 1 , , 2 , n i n k n k i k k F F F (2.6) dir (Mong, Tang ve Brown 2003).

İspat :



,



2 1 n k i i T F 





olsun. k Fibonacci sayılarının (1.4) ile verilen rekürans bağıntısından , 1 , 1 , k i k i k i F F F k     dir. Bu ifade T ’de yerine yazılırsa

2 2 , 1 , 1 , 1 , 1 2 1 2 n k i k i k i k i i F F F F T k        

_

elde edilir. (2.5) ifadesinden F_{k i, 1}.F_{k i, 1} F_{k i}2_,  

_{ }

1 i dir. Bu ifadeyi T’de yerine yazarsak

 





2 2 2 , 1 , 1 , 2 1 1 1 1 2 1 n n n i k i k i k i i i i T F F F k         _     _ 







 olur. Buradan

 

1 1 2 2 2 , , , 2 2 0 1 1 1 2 2 1 n n n n i k m k p k i m p i i T F F F k          _     _ 













2 2

 

2 2



_{ }

, 1 ,1 , ,0 2 1 1 2 2 1 n i k n k k n k i T F F T F F T k      _         _ 





elde edilir. k Fibonacci sayılarının başlangıç şartları göz önüne alınırsa

 

2 2 , 1 , 2 1 1 1 2 1 n i k n k n i T F F k      _     _ 





bulunur. k Fibonacci sayıları için Cassini Eşitliği’nden

 

2 , 1 , 1 , 1 n k n k n k n F F _F _    

dir. Bu ifadeyi T’de yerine yazarsak

 

 

2 . 1 , 1 , 1 2 1 1 1 1 2 1 n n i k n k n k n i T F F F k        _       _ 



 _{2 , 1}



_{, 1 , 1}



_{ }

_{ }

1 1 1 1 2 1 n n i k n k n k n i F F F k        _       _ 





elde edilir. Lemma 2.1 ve k Fibonacci sayılarının rekürans bağıntısından







, 1 ,



2 1 1 1 k n k n T F kF k     k F F_{k,n k,n1}  bulunur.

(2.6) ifadesinde k 1 alınırsa, Fibonacci sayılarının karelerinin toplamı

 

1, 2 1, 1, 1 1 1 n i n n n n i F F F _ F F_   



olarak bulunur. Eğer (2.6) ifadesinde k 2 alınırsa, Pell sayılarının karelerinin toplamı





2 2, 2, 1 1 2, 1 2 2 n n n n n i i F F P P F     



olarak bulunur.

3. k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI CİRCULANT MATRİSLER

Tanım 3.1. F_k,n, n. k Fibonacci sayısı olsun. ijelemanı

) (mod ,j i n k ij F c  _

olan n  tipindeki n C(F_k)(c_ij) matrisine k Fibonacci sayıları ile tanımlı circulant matris denir ve

                0 , 2 , 1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , ) ( k k k n k k n k n k k k k F F F F F F F F F F C      (3.1) şeklinde gösterilir.

Örneğin kFibonacci sayıları ile tanımlı 5 5 tipindeki circulant matris

                           0 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 ) ( 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k F C _k şeklindedir.

Eğer (3.1) de k 1 alınırsa C(F) yani Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant matris elde edilir. Bu matrislerin normları Solak (2005) tarafından incelenmiştir.

Eğer k 2 alınırsa C(P) yani Pell sayılarıyla tanımlı circulant matris elde edilir. Alptekin’de (2005) bu matrisin determinantını, özdeğerlerini ve normlarını çalışmıştır.

Teorem 3.1.  birimin .n dereceden primitif kökü, j0,1,...,n1 ve F_k,n, n . 

k Fibonacci sayısı olmak üzere (3.1) ile tanımlı C(F_k) circulant matrisinin özdeğerleri 1 ) 1 ( )) ( ( , ₂ , 1      _{ }   j j j n k n k k j k F F F C     (3.2) dir.

İspat. Teorem 2.1 den kFibonacci sayısı ile tanımlı circulant matrisin özdeğeri 1 , , 1 , 0   n j  için



    1 0 , )) ( ( n s js s k k j C F F  

olup, kFibonacci sayısının Binet formülünü kullanırsak



            1 0 )) ( ( n s js k k s k s k k j C F               





      1 0 1 0 ) ( ) ( 1 n s s j k n s s j k k k                    _{ } 1 1 1 1 1 j k n k j k n k k k                        _{ }   ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 j k j k n k j k j k n k k k                               _{  }     1 1 1 1 2 j k j k j k k n k j k j n k k j k n k j k n k k k                                       _{ }     1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 1 k k j j k k j n k n k n k n k j k k k k                





               _{ }    1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 1 j j n k n k k k n k n k j k k  k          1 ) 1 ( 2 1 , ,      _{ }   j j j n k n k k F F    elde edilir.

Örnek 3.1. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı

                   0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F C _k

circulant matrisini göz önüne alırsak bu matrisin özdeğerleri Teorem 3.1 den 3 , 2 , 1 , 0  j için

1 ) 1 ( )) ( ( , ₂ , 1      _{ }   j j j n k n k k j k F F F C     dir. Buradan 0  j için 2 2 1 )) ( ( 2 2 3 3 , 4 , 0          k k k k k k k F F F C _k k k  1  j için 1 ) 1 ( ) )( 1 1 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 1 2 1 3 , 4 , 1               _{ }  ki i k k k k F F F C _k k k     k i k ki k i k k        2 2 3 2 2 2  j için 1 ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 1 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 2 4 2 3 , 4 , 2               _{ }  k k k k k F F F C _k k k     2 2 2 2 3         k k k k k k 3  j için 1 ) 1 ( ) 1 1 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 3 6 3 3 , 4 , 3              _{ }  ki i k k k k F F F C _k k k     k i k ki k i k k        2 2 3 2 2 elde edilir.

Eğer Teorem 3.1’de k 1 alınırsa C(F) yani Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant matrisin özdeğerleri elde edilir. Teorem 3.1 ifadesinde k 2 alınırsa C(P) yani Pell sayılarıyla tanımlı circulant matrisin özdeğerleri elde edilir (Alptekin 2005).

Teorem 3.2. (3.1) ile tanımlı n  tipindeki n C(F_k) circulant matrisinin spektral normu k F F F C( _k) k,n k,n 1 1 2     (3.3) dır.

İspat. Spektral normun tanımından







    max ( ) ( ) ) ( 1 0 2 2 j k k n j k C F C F F C  dır. Teorem 2.5’ten





2 1 0 2 2 max ( ) ) ( _{j k} n j k C F F C     

olur. j 0 için C(F_k) matrisinin özdeğerleri maksimum değerini alır. Bu nedenle ) ( ) ( ₀ 2 k k C F F C   k F F_k,n  _{k,n 1}1   dir.

Örnek 3.2. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı

                   0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F C _k

circulant matrisinin spektral normu

2 1 1 2 1 ) ( 2 2 3 3 , 4 , 2            k k k k k k k F F F C _k k k dir.

Özel olarak (3.3) ifadesinde k 1 alınırsa Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant matrisin spektral normu bulunur. Eğer k 2 alınırsa Pell sayılarıyla tanımlı circulant matrisin spektral normu elde edilir (Alptekin 2005).

Teorem 3.3. F_k,n, n.kFibonacci sayısı olmak üzere (3.1) ile tanımlanan C(F_k) circulant matrisinin Euclidean normu

) ( ) (  _{k,n k,n1} E k F F k n F C (3.4) dir.

İspat. Euclidean normunun tanımından,



   1 0 2 , 2 ) ( n s s k E k n F F C dir. Teorem 2.11’den

k F F F kn kn n s s k 1 , , 1 0 2 ,    



olup, k F nF F C kn kn E k 1 , , 2 ) (   dir. Böylece ) ( ) (  _{k,n k,n1} E k F F k n F C elde edilir.

Örnek 3.3. 5 5 tipindeki kFibonacci sayıları ile tanımlı

                           0 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 ) ( 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k F C _k

circulant matrisinin Euclidean normu

) 2 )( 1 3 ( 5 ) ( 5 ) ( _{,5 ,4} k4 k2 k3 k k F F k F C _{k k} E k      dır.

(3.4) ifadesinde k 1 alınırsa Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant matrisin Euclidean normu elde edilir (Solak 2005). Eğer k 2 alınırsa Pell sayılarıyla tanımlı circulant matrisin Euclidean normu bulunur (Alptekin 2005).

Sonuç 3.1. n  tipindeki n C(F_k) circulant matrisinin sütun (ya da satır) normu

k F F F C F C( _k) ( _k) k,n k,n 1 1 1       (3.5) dır.

İspat. Sütun normun tanımından

      

_

    n i i j k n j k F F C 1 , 0 1 max ) (



   1 0 , n s s k F olur. (2.2) ifadesinden k F F F C( _k) k,n k,n 1 1 1     dir.

Örnek 3.4. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı                    0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F C _k

circulant matrisinin sütun (ya da satır) normu

2 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) ( ) ( 2 2 3 3 , 4 , 1              _k k k k k k k F F F C F C _{k k} k k dır.

Teorem 3.2 ve Sonuç 3.1 den görülebileceği gibi C(F_k)matrisinin spektral normu ve sütun (ya da satır) normu birbirine eşittir.

Teorem 3.4. (3.1) ile tanımlanan n  tipindeki n C(F_k) circulant matrisinin determinantı n n k n k n n k n n k k F F F F F C ) 1 ( 1 ) 1 ( )) ( ( det , 2 , , 1 ,                (3.6) dir.

İspat. Bir matrisin determinantı, matrisin özdeğerlerinin çarpımı olduğundan

 

            1 0 1 0 , )) ( ( det n j n s js s k k F F C 

dir. F_k,n, n. kFibonacci sayısı olmak üzere F_k,nnin Binet formülünü kullanırsak

_

_

               1 0 1 0 ) ) ( ) (( 1 )) ( ( det n j s j k n s s j k k k k F C      

_

    _              1 0 1 1 1 1 1 n j j k n k j k n k k k        

_

               1 0 ( )( 1)( 1) ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( n j j k j k k k j k n k j k n k            

_

           1 0 , 1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( n j j k j k n k j n k F F     

n n n n n n j n j j n j y x y x y y x y y x _                 





      1 ) ( 1 0 1 0   ifadesinden hareketle



          1 0 , 1 , , 1 , ) ) (1 ) 1 (( n j n n k n n k n k j n k F F F F  dir. Ayrıca n n k n k n k n k n j j k n j j k 1) ( 1) (1 )(1 ) 1 ( ) ( 1) ( 1 0 1 0          

_



      _{     }   n n k n k F F ) 1 ( 1 , 2 ,             ifadelerini kullanırsak, n n k n k n n k n n k k F F F F F C ) 1 ( 1 ) 1 ( )) ( ( det , 2 , , 1 ,                elde edilir.

Örnek 3.5. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı

                   0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F C _k

circulant matrisinin determinantı



4 2



1 1 ) 2 ( 1 2 4 10 6 1 ) 2 ( ) 1 1 ( 1 1 ) 1 ( )) ( ( det _{4 2} 4 3 8 3 3 5 7 4 3 4 2 4 , 8 , 4 4 , 4 3 ,                                      k k k k k k k k k k k k k k F F F F F C k k k k k _{4 2} 8 4 3 2 4 4 3 8 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( k k k k k k k k k k          dır.

(3.6) ifadesinde özel olarak k 1 alınırsa Fibonacci sayılarıyla tanımlı circulant matrisin determinantı elde edilir. Eğer k 2 alınırsa Pell sayılarıyla tanımlı circulant matrisin determinantı bulunur (Alptekin 2005).

4. k FİBONACCİ SAYILARI İLE TANIMLI NEGACYCLİC MATRİSLER

Tanım 4.1.F_k,n, n. k Fibonacci sayısı olsun. n  tipindeki n

                   0 , 2 , 1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , ) ( k k k n k k n k n k k k k F F F F F F F F F F N       (4.1)

matrisine k Fibonacci sayıları ile tanımlı negacyclic matris denir.

Örneğin kFibonacci sayıları ile tanımlı 5 5 tipindeki negacyclic matris





























                                     0 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 ) ( 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k F N _k şeklindedir.

(4.1) ifadesinde k 1 alınırsa N(F) yani Fibonacci sayılarıyla tanımlı negacyclic matris elde edilir. Eğer k 2 alınırsa N(P) yani Pell sayılarıyla tanımlı negacyclic matris elde edilir.

Teorem 4.1.  birimin .n dereceden primitif kökü, j0,1,...,n1 ve F_k,n, n . 

k Fibonacci sayısı olmak üzere (4.1) ile tanımlı N(F_k) negacyclic matrisinin özdeğerleri 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 , , 1 ) 1 ( )) ( ( _{ }        _{j j} j n k n k k j k F F F N     (4.2) dir.

İspat. Teorem 2.3 den kFibonacci sayısı ile tanımlı negacyclic matrisin özdeğeri 1 , , 1 , 0   n j  için



    1 0 2 / ) 1 2 ( , )) ( ( n s s j s k k j N F F  

olup, kFibonacci sayısının Binet formülünü kullanırsak



            1 0 2 / ) 1 2 ( )) ( ( n s s j k k s k s k k j N F               





      1 0 2 / ) 1 2 ( 1 0 2 / ) 1 2 ( ) ( ) ( 1 n s s j k n s s j k k k                    _    2 / ) 1 2 ( 2 / ). 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ). 1 2 ( 1 1 1 1 1 j k n j n k j k n j n k k k                        _{(2 1)/2 (2 1)/2} 1 1 1 1 1 j k n k j k n k k k       





                _{ }    1 ) ( ) ( ) ( 1 2 / ) 1 2 ( 1 2 2 / ) 1 2 ( 1 1 j j j k k n k n k n k n k k k  k          _{(2 1)/2 2 1} 2 / ) 1 2 ( 1 , , 1 ) 1 (          _{j j} j n k n k k F F    elde edilir.

Örnek 4.1. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı













                        0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F N _k

negacyclic matrisini göz önüne alırsak bu matrisin özdeğerleri (4.2) ifadesinden 3 , 2 , 1 , 0  j için 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 , , 1 ) 1 ( )) ( ( _{ }        _{j j} j n k n k k j k F F F N    

dir. Buradan j0 için

i i k i k k k k F F F N _k k k                2 1 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 1 2 / 1 2 / 1 3 , 4 , 0     k i i i k i k k           ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 3

1  j için i i k i k k k k F F F N _k k k                2 1 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 3 2 / 3 2 / 3 3 , 4 , 1     k i i i i k k k ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 3          2  j için i i k i k k k k F F F N _k k k                  2 1 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 5 2 / 5 2 / 5 3 , 4 , 2     k i i i i k k k ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 3          3  j için i i k i k k k k F F F N _k k k                  2 1 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( )) ( ( 2 3 7 2 / 7 2 / 7 3 , 4 , 3     k i i i i k k k ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 3             elde edilir.

(4.2) ifadesinde k 1 alınırsa N(F) yani Fibonacci sayılarıyla tanımlı negacyclic matrisin özdeğerleri, k 2 alınırsa N(P) Pell sayılarıyla tanımlı negacyclic matrisin özdeğerleri elde edilir.

Teorem 4.2. (4.1) ile tanımlı n  tipindeki n N(F_k) negacyclic matrisinin spektral normu         ₁_/2 2 / 1 1 , , 2 ₁ ) 1 ( ) ( k F F F N _k kn kn (4.3) dır.

İspat. Spektral normun tanımından







    max ( ) ( ) ) ( 1 0 2 2 j k k n j k N F N F F N  dır. Teorem 2.5’ten





2 1 0 2 2 max ( ( )) ) ( _{j k} n j k N F F N     

olur. j 0 için N(F_k) matrisinin özdeğerleri maksimum değerini alır. Bu nedenle





          ₁_/2 2 / 1 1 , , 0 2 ₁ ) 1 ( ) ( ) ( k F F F N F N _{k k} kn kn bulunur.

Örnek 4.2. 44 tipindeki kFibonacci sayısı ile tanımlı













                        0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 2 2 2 2 k k k k k k k k F N _k

negacyclic matrisinin spektral normu

2 2 3 2 1 2 / 1 2 / 1 3 , 4 , 2 2 2 1 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( ) (                                    i i k i k k k k F F F N _k k k    2 2 2 3 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 (                  i k k i k k k k 2 2 2 3 4 2 4 4 2 ) 2 4 4 2 4 2 2 ( ) 2 2 2 (                  k i k k k k k k

olur. Eğer _{K }(_ 2_k4_2 2_k2) _{ve L( 2k}4_2k3_{4 2k}2_{4k4 2) kabul}

edersek, 2 2 2 2 _{2 4} ) (          k Li K F N _k



₂



2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 _         k L K k Li K k Li K