V- HESAPLAMA YÖNTEMĠ
3- Zarar Sürelerinin Belirlenmesi
Seja f ∈ C[x, y], f n˜ao constante. A curva alg´ebrica f(x, y) = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante (ou, em alguns casos, simplesmente curva invariante) do sistema F-polinomial (3.1) se existe K ∈ C[x, y] tal que
X(f ) = P∂f
∂x + Q
∂f
∂y = Kf.
Observa¸c˜ao 3 Se o sistema F-polinomial (3.1) tem grau m, ent˜ao o grau de qualquer cofator K ´e no m´aximo m − 1.
Note que, pela defini¸c˜ao, o campo vetorial X = (P, Q) ´e tangente `a curva alg´ebrica invariante f = 0 e, portanto, f = 0 ´e formada por ´orbitas de X. Ent˜ao, f = 0 ´e invariante pelo fluxo definido por X.
Exemplo 12 Seja X o campo vetorial associado ao sistema diferencial poli-
nomial quadr´atico
˙x = −y(1 + a2− r2) + 2axy,
˙y = x(1 + a2− r2) + a(−x2+ y2− 1), (3.6)
com a > 0 e r > 0.
Temos que as curvas f1, f2 : R2 → R dadas por f1(x, y) = x2+y2−1 = 0
e f2(x, y) = (x − a)2+ y2 − r2 = 0, ou seja, f1 ´e a circunferˆencia centrada
na origem com raio 1 e f2 ´e a circunferˆencia centrada no ponto (a, 0) com
raio r, s˜ao curvas alg´ebricas invariantes do sistema (3.6) com cofatores K1 =
K2 = 2ya. De fato,
X(f1) = 2x(−y(1 + a2− r2) + 2axy) + 2y(x(1 + a2− r2)
+a(−x2+ y2− 1)) = 2ya(x2+ y2− 1) = K1f1
e
X(f2) = 2(x − a)(−y(1 + a2− r2) + 2axy) + 2y(x(1 + a2 − r2)
+a(−x2+ y2− 1)) = 2ya((x − a)2+ y2− r2) = K2f2.
No Cap´ıtulo 4, analisaremos com mais detalhes a classe de sistemas apresentada no Exemplo 12.
Observa¸c˜ao 4 Na defini¸c˜ao da curva alg´ebrica invariante f = 0, sempre permitimos que esta curva seja complexa, ou seja, f ∈ C[x, y], mesmo no caso em que estivermos trabalhando com um sistema diferencial polinomial real. Isto porque, algumas vezes, para sistemas diferenciais polinomiais reais, a existˆencia de uma integral primeira real pode ser for¸cada pela existˆencia de curvas alg´ebricas invariantes complexas.
Na proposi¸c˜ao seguinte e no decorrer do cap´ıtulo, a conjuga¸c˜ao ¯f sig- nifica conjuga¸c˜ao apenas dos coeficientes do polinˆomio f .
Proposi¸c˜ao 5 Para um sistema polinomial real (3.1), f = 0 ´e uma curva
alg´ebrica invariante de (3.1) com cofator K se, e somente se, ¯f = 0 for uma curva alg´ebrica invariante de (3.1) com cofator ¯K.
Prova. Seja f = 0 uma curva alg´ebrica invariante do sistema polinomial
real (3.1) com cofator K. Ent˜ao, segue que
X(f ) = P∂f ∂x + Q ∂f ∂y = Kf. Logo, P∂f ∂x + Q ∂f ∂y = Kf ⇔ P ∂ ¯f ∂x + Q ∂ ¯f ∂y = ¯K ¯f ⇔ X( ¯f ) = ¯K ¯f , pois P, Q ∈ R[x, y]. Portanto, ¯f = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante de (3.1) com cofator ¯K.
A rec´ıproca segue de modo an´alogo.
Lema 1 Sejam f, g ∈ C[x, y]. Assuma que f e g s˜ao relativamente primos
no anel C[x, y]. Ent˜ao, f g = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante do sistema polinomial (3.1) com cofator Kf g se, e somente se, f = 0 e g = 0 s˜ao curvas
alg´ebricas invariantes com cofatores Kf e Kg, respectivamente. Al´em disso,
Kf g = Kf + Kg.
Prova. (⇒) Note que X(fg) = (X(f))g +f(X(g)). Se fg = 0 ´e uma curva
alg´ebrica invariante com cofator Kf g, ent˜ao
X(f g) = Kf gf g ⇒ (X(f))g + f(X(g)) = Kf gf g ⇒ f|X(f) e g|X(g),
pois f e g s˜ao relativamente primos. Logo, existem polinˆomios Kf e Kg
tais que X(f ) = Kff e X(g) = Kgg. Portanto, f e g s˜ao curvas alg´ebricas
(⇐) Agora, se f e g s˜ao curvas alg´ebricas invariantes com cofator Kf
e Kg, respectivamente, ent˜ao
X(f ) = Kff e X(g) = Kgg.
Assim,
X(f g) = (X(f ))g + f (X(g)) = (Kff )g + f (Kgg) = (Kf + Kg)f g.
Portanto, f g = 0 ´e curva alg´ebrica invariante de (3.1) com cofator
Kf g = Kf + Kg.
Corol´ario 1 Seja f ∈ C[x, y]. Se f = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante do sistema polinomial real (3.1), ent˜ao f ¯f = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante com cofator K + ¯K. Note que f ¯f ∈ R[x, y] e K + ¯K ∈ R[x, y].
Proposi¸c˜ao 6 Seja f ∈ C[x, y] e f = fn1
1 . . . frnr sua fatora¸c˜ao irredut´ıvel
sobre C[x, y]. Ent˜ao f = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante do sistema poli- nomial (3.1) com cofator Kf se, e somente se, fi = 0 ´e uma curva alg´ebrica
invariante de (3.1), para cada i = 1, ..., r, com cofator Kfi. Al´em disso,
Kf = n1Kf1 + ... + nrKfr.
Prova. Pelo Lema 1, temos que f = 0 ´e uma curva alg´ebrica invariante de
(3.1) com cofator Kf se, e somente se, fini for tamb´em uma curva alg´ebrica
invariante de (3.1) com cofator Kfini, para cada i = 1, ..., r. Al´em disso,
Kf = Kf1n1 + ... + Kfrnr.
A proposi¸c˜ao estar´a demonstrada se provarmos que, para cada i = 1, ..., r, fni
i ´e curva alg´ebrica invariante com cofator Kfini se, e somente se,
fi = 0 ´e curva alg´ebrica invariante com cofator Kfi e que Kfini = niKfi.
Observe que n˜ao podemos aplicar o Lema 1 novamente, pois fni
i n˜ao ´e
um produto de polinˆomios relativamente primos. Sendo assim, temos que
X(fni i ) = P nifini−1 ∂fi ∂x + Qnif ni−1 i ∂fi ∂y = nif ni−1 i X(fi). (3.7) (⇒) Logo, se fni
i = 0 for curva alg´ebrica invariante com cofator Kfini,
temos que
X(fni
i ) = Kfinif
ni
Substituindo em (3.7), obtemos Kfni i f ni i = nifini−1X(fi) ⇒ X(fi) = 1 ni Kfinifi.
Portanto, fi = 0 ´e curva alg´ebrica invariante com cofator Kfi =
1 ni
Kfini ⇒
Kfini = niKfi.
(⇐) Reciprocamente, se fi = 0 for curva alg´ebrica invariante com cofa-
tor Kfi, ent˜ao X(fi) = Kfifi. Substituindo em (3.7), obtemos
X(fni
i ) = nifini−1Kfifi = niKfif
ni
i .
Portanto, fni
i = 0 ´e curva alg´ebrica invariante com cofator Kfini = niKfi.
Uma curva alg´ebrica invariante irredut´ıvel f = 0 do sistema polinomial (3.1) ´e uma curva alg´ebrica invariante f tal que f ´e irredut´ıvel sobre o anel C[x, y].
No exemplo a seguir, trataremos do chamado Problema Inverso, isto ´e, dado um conjunto S de curvas alg´ebricas ou uma fun¸c˜ao H, determi- nar os campos vetoriais que tˆem o conjunto S como um conjunto de cur- vas alg´ebricas invariantes ou a fun¸c˜ao H como uma integral primeira (para maiores detalhes, ver [10] ou [31]).
Exemplo 13 Consideremos o sistema diferencial polinomial dado por
˙x = P (x, y),
˙y = Q(x, y), (3.8)
onde P, Q ∈ R[x, y].
Vamos caracterizar o sistema (3.8) no caso em que este apresenta os seguintes conjuntos de retas como curvas alg´ebricas invariantes
(a) duas retas reais interceptando-se em um ponto; (b) duas retas reais paralelas;
(a) Suponha que o sistema (3.8) tenha duas retas reais invariantes interceptando-se em um ponto. Ent˜ao, ap´os uma mudan¸ca afim de vari´aveis,
podemos assumir que f1 = x = 0 e f2 = y = 0 s˜ao as retas invariantes do
sistema (3.8) interceptando-se na origem com cofatores K1 e K2, respectiva-
mente. Logo, P∂f1 ∂x + Q ∂f1 ∂y = K1f1 ⇒ P = K1x. Analogamente, P∂f2 ∂x + Q ∂f2 ∂y = K2f2 ⇒ Q = K2y.
Portanto, podemos escrever o sistema (3.8) como ˙x = xK1(x, y),
˙y = yK2(x, y),
(3.9) onde K1, K2 ∈ R[x, y]. O sistema (3.9) ´e dito sistema do tipo Lotka-Volterra.
(b) Agora, suponha que o sistema (3.8) tenha duas retas reais invari- antes paralelas. Ent˜ao, ap´os uma mudan¸ca afim de vari´aveis, podemos tomar f1 = x − 1 = 0 e f2 = x + 1 = 0 como as retas invariantes do sistema (3.8)
com cofatores K1 e K2, respectivamente. Logo,
P∂f1 ∂x + Q ∂f1 ∂y = K1f1 ⇒ P = K1(x − 1). Analogamente, P∂f2 ∂x + Q ∂f2 ∂y = K2f2 ⇒ P = K2(x + 1).
Como K1 e K2 s˜ao polinˆomios ent˜ao temos que (x − 1)|P e (x + 1)|P . Logo,
podemos escrever P (x, y) = (x2 − 1)g(x, y), com g ∈ R[x, y]. Portanto,
podemos escrever o sistema (3.8) como
˙x = (x2− 1)g(x, y),
˙y = Q(x, y). (3.10)
(c) Por fim, suponha que o sistema (3.8) tenha duas retas complexas invariantes paralelas. Ent˜ao, ap´os uma mudan¸ca afim de vari´aveis, podemos
considerar f1 = x − i = 0 e f2 = x + i = 0 como as retas invariantes do
sistema (3.8) com cofatores K1 e K2, respectivamente. Usando os mesmos
argumentos do caso anterior, podemos assumir P (x, y) = (x2+1)g(x, y), com
g ∈ R[x, y]. Portanto, podemos escrever o sistema (3.8) como ˙x = (x2 + 1)g(x, y),
˙y = Q(x, y). (3.11)
Os casos apresentados no Exemplo 13 fazem parte de um estudo mais amplo, desenvolvido por este autor e colaboradores em [22], sobre sistemas diferenciais polinomiais com uma cˆonica como curva alg´ebrica invariante e que possuem um invariante de Darboux (que definiremos adiante).