4.3 Dinamik Y¨or¨ unge Belirleme
4.3.3 Yer¸cekimi ile ˙Ili¸skili Olmayan D¨ uzensizlikler
Al¸cak y¨or¨ungedeki uydular i¸cin atmosfer, yer¸cekimini i¸cermeyen bozucu nedenler arasında en ba¸sta yer alır. Uydular a¸cısından atmosferik etkileri modellemek bir¸cok a¸cıdan olduk¸ca zordur. Atmosferik ortamın de˘gi¸skenli˘gi ve yo˘gunluk da˘gılımı d¨uzensizli˘gi, farklı uydu y¨uzeylerinin atmosferik gazlarla etkile¸simi, sıcaklık, uydu geometri ve hız bilgisinin tam olarak bilinememesi gibi ¸cok de˘gi¸sik olaylar s¨oz konusu zorlu˘gun nedenleri arasındadır (Bock, 2003; Swatschina, 2009).
Di˘ger atmosferik kuvvetler (kaldırma kuvveti, binormal kuvvetler) ile kar¸sıla¸stırıldı˘gında LEO uyduları ¨uzerindeki en ¨onemli atmosferik etki s¨ur¨uklenme etkisidir. Atmosferik s¨ur¨uklenme, uydunun hareket y¨on¨une kar¸sı bir etki olu¸sturur. Bundan dolayı uydu zamanla yava¸slar (Montenbruck ve ark., 2005). Atmosferik s¨ur¨uklenmeden kaynaklı ivme,
¨rdrag = − 1 2CD A mρ(r, t)|˙r| 2 ˙r |˙r| (4.25)
ile g¨osterilir (Seeber, 2003; Tapley ve ark., 2004; Montenbruck ve ark., 2005; Vallado, 2005; Beutler ve ark., 2005b; Swatschina, 2009). Burada,
m uydunun k¨utlesi CD s¨ur¨uklenme katsayısı
A uydunun kesit alanı
ρ(r, t) uydu konumundaki atmosferik yo˘gunluk r, ˙r uydunun konum ve hız vekt¨or¨un¨u ifade eder.
Kaldırma ve binormal kuvvetler uydunun hareket do˘grultusuna dik y¨onde bir etki yaratırlar; fakat, genelde ihmal edilirler. Bundan dolayı (4.25), g¨ulle (cannonball ) modeli olarak tanımlanır. (4.25)’de ge¸cen CD s¨ur¨uklenme katsayısı
uydunun y¨uzey malzemesi ile atmosferin etkile¸simini tanımlayan bir katsayıdır ve her bir uydu i¸cin ¨ozel tanımlanır. Genel olarak bu katsayı 1.5-3.0 aralı˘gında de˘gi¸sen de˘gerler alır ve y¨or¨unge belirleme i¸slemi i¸cerisinde kestirilebilir (Seeber, 2003; Montenbruck ve ark., 2005; Swatschina, 2009). Atmosferik yo˘gunluk ise uydunun
y¨uksekli˘gi, co˘grafi konum, zaman, mevsim gibi bir¸cok parametreye ba˘glı olarak de˘gi¸siklik g¨osterir. Uydu y¨uksekli˘gine g¨ore bazı yo˘gunluk de˘gerleri C¸ izelge 4.4’de verilmi¸stir (Seeber, 2003; Montenbruck ve ark., 2005).
C¸ izelge 4.4. Uydu y¨uksekli˘gine g¨ore atmosfer yo˘gunluk de˘gi¸simi (Seeber, 2003; Montenbruck ve ark., 2005)
Y¨ukseklik Yo˘gunluk Y¨ukseklik Yo˘gunluk (km) (g/km3) (km) (g/km3) 100 497400 600 0.081-0.639 200 255-316 700 0.020-0.218 300 17-35 800 0.007-0.081 400 2.2-7.5 900 0.003-0.036 500 0.4-2.0 1000 0.001-0.018
C¸ izelge 4.4’e bakıldı˘gında LEO uyduları ¨uzerinde atmosferik etkinin daha b¨uy¨uk de˘gerler aldı˘gı bunun yanında daha y¨uksek y¨or¨ungede bulunan uydular (¨orne˘gin GPS) i¸cinse bu etkinin ortadan kalktı˘gı s¨oylenebilir. Genel olarak bir¸cok uygulama i¸cin s¨ur¨uklenme modeli kabul edilebilir bir do˘grulukta modellenebilir. Bunlar arasında Harris-Priester modeli (Harris ve Priester, 1962) ve Jacchia 1971 yo˘gunluk modeli (Jacchia, 1971) en ¸cok bilinenlerdendir (Montenbruck ve ark., 2005).
G¨une¸sin Radyasyon Basıncı
G¨une¸s tarafından s¨urekli olarak yayılan radyasyon molek¨ulleri uydu ¨uzerinde dolaysız ve dolaylı olmak ¨uzere iki etkiye sebep olur. Uydu ile g¨une¸s radyasyonunun etkile¸simi sonucunda dolaysız, yeryuvarından yansıması sonucunda ise dolaylı radyasyon basıncı (albedo) ortaya ¸cıkar. Dolaysız radyasyon basıncı modellemesi de atmosferik s¨ur¨uklenme modellemesine benzer ¸sekilde zorluklar i¸cerir. Modellemenin yapılabilmesi i¸cin G¨une¸s ve uydunun konumu, radyasyona maruz kalan uydu kesit alanı ve uydunun yansıtma katsayısı gibi parametrelerin bilinmesi gereklidir. ˙Ivme de˘geri, ¨rsrp = − CsrS A AU2 2 c m r − rgn |r − rgn|3 (4.26) e¸sitli˘gi ile hesaplanabilir (Seeber, 2003; Beutler ve ark., 2005b; Swatschina, 2009). Burada,
Csr uydu y¨uzeyinin yansıtma ¨ozelliklerini tanımlayan katsayı
AU astronomik birim (AU = 149597870610 m) S G¨une¸s sabitesi (S = 1367.7 w/m2)
c ı¸sık hızı (299792458 m/sn) A uydu kesit alanı
m uydu k¨utlesi
r uydunun yermerkezli konum vekt¨or¨u
rgn G¨une¸s’in yermerkezli konum vekt¨or¨un¨u ifade eder.
(4.26) genel olarak radyasyon basıncı i¸cin ilk yakla¸sım olarak d¨u¸s¨un¨ul¨ur. Daha detaylı deneysel bir yakla¸sım GPS uydularında da olduk¸ca kullanılan ve ivmeleri ¨u¸c y¨onde ifade eden yakla¸sımdır. Detaylı bilgi i¸cin Ziebart (2001); Bock (2003); Swatschina (2009)’a bakılabilir.
Albedo ise uydu ¨uzerinde k¨u¸c¨uk bir basınca sahip olmasına ra˘gmen kara, deniz ve bulutların zamansal de˘gi¸simlerinden dolayı olduk¸ca zor modellenen bir kısımdır. Bir¸cok ¸calı¸sma i¸cin dolaysız radyasyon basıncının %10’nundan daha k¨u¸c¨uk olarak d¨u¸s¨un¨ul¨ur. GPS uydularının y¨or¨unge kestirimlerinde %1−%2 arasında etkiye sebep oldu˘gundan bu etki GPS uydularında genelde ihmal edilir (Seeber, 2003).
4.4 ˙Indirgenmi¸s Dinamik Y¨or¨unge Belirleme
Dinamik modelin kalitesi, kurulan g¨u¸c modeline ve GPS izleme verilerine ba˘glıdır. Benzer ¸sekilde kinematik modelin kalitesi de GPS ¨ol¸c¨umlerinin kalitesine, uydu geometrisine ba˘glı olarak de˘gi¸sir. G¨un¨um¨uzde LEO uydularına ait GPS izleme verileri s¨urekli ve y¨uksek duyarlıkta elde edilebilir ve LEO uydularına etki eden bozucu kuvvetler olabildi˘gince giderilir. Fakat dinamik modelde kestirim s¨uresi arttık¸ca modelin duyarlılı˘gı s¨ureye ba˘glı olarak azalır. Kinematik modelde ise GPS ¨ol¸c¨ulerindeki veri bo¸slukları, GPS uydu da˘gılımı, GPS uydu ve saat bilgisi kalitesi yanında modelin s¨urekli olmaması model duyarlılı˘gını etkileyen fakt¨orlerdendir.
Bu iki yakla¸sımın dezavantajlarını giderecek ve GPS ¨ol¸cme duyarlılı˘gından yararlanılabilecek bir ¸c¨oz¨um ¨onerisi olarak indirgenmi¸s dinamik (reduced-dynamic) yakla¸sımı geli¸stirilmi¸stir. Bu yakla¸sım ardı¸sık Kalman filtreleme tekni˘gini kullanarak y¨or¨unge ¸c¨oz¨umlerini elde eder. Tekni˘gin zaman ve ¨ol¸c¨u g¨uncellemesi adı altında iki
¨onemli adımı bulunur (Yunck ve ark., 1990; Wu ve ark., 1990, 1991). Yakla¸sım s¨urekli GPS verileri ile dinamik ¸c¨oz¨um¨un tekrar d¨uzeltilmesi ¨uzerine kuruludur. Kalman filtreleme tekni˘gindeki g¨ur¨ult¨ulerin do˘gru ya da uygun a˘gırlıklandırılması y¨ontemin ¨onemli bir a¸samasıdır. G¨ur¨ult¨u modeli, varyans ve zaman sabiti olmak ¨
uzere iki parametre ile tanımlanır. Zaman sabiti b¨uy¨uk ve varyans yakla¸sık olarak sıfır oldu˘gunda geometrik bilgiler ortadan yok olur ve model yalnızca dinamik stratejiye ba˘glı olur. Zaman sabiti sıfır (white-noise) ve varyans y¨uksek oldu˘gunda ise ¸c¨oz¨um b¨uy¨uk ¨ol¸c¨ude geometrik verilere ba˘glı olur (Seeber, 2003).
(4.7)’de dinamik y¨or¨unge parametreleri (q1, ..., qd), analitik bir ivme modeli
ile ili¸skili olması durumunda deterministik parametreler adını alır. ˙Indirgenmi¸s dinamik yakla¸sımda (4.7)’ye deterministik parametreler ile birlikte dengelemeye ek stokastik parametreler ilave edilir. Bu ek parametreler uydunun y¨or¨ungesi i¸cin ¸c¨oz¨um duyarlılı˘gını arttırır. Bu ek parametrelere s¨ozde stokastik parametreler adı verilir. B¨oylece (4.7),
¨r = −GM
r3 r + f1(t, r, ˙r, q1, ..., qd, p1, ..., ps) = f (4.27)
¸seklini alır. ˙Indirgenmi¸s dinamik model ¸c¨oz¨um¨u s¨ozde stokastik parametrelere ve bu parametreler ¨uzerindeki kısıtlamalara ba˘glıdır (Swatschina, 2009). (4.27)’deki gibi, dinamik g¨u¸c modeline ilave edilen ¸cok sayıda s¨ozde stokastik g¨u¸c modeli geli¸stirilmi¸stir (J¨aggi, 2007). S¨ozde stokastik parametreler g¨u¸c alanı eksikliklerin etkisini belli bir ¨ol¸c¨ude azaltabilir. Bu y¨ontemlerden en ¸cok kullanılanları par¸calı sabit ivmeler (piecewise constant accelerations), par¸calı do˘grusal ivmeler (piecewise linear accelerations) ve s¨ozde stokastik sinyaller (pseudo-stochastic pulses) veya anlık hız de˘gi¸simleridir (instantaneous velocity changes). Bu ¨u¸c modelleme tekni˘gi de, uydu dinamiklerindeki modelleme eksikliklerini azaltmak i¸cin uygundur (J¨aggi, 2007).
Bernese v5.0 programında LEO uydularının indirgenmi¸s dinamik y¨or¨unge belirleme i¸slemleri s¨ozde stokastik sinyaller (anlık hız de˘gi¸simleri) yardımıyla GPSEST mod¨ul¨unde ger¸cekle¸stirilir. S¨ozde stokastik sinyaller radial, along-track ve cross-track bile¸senleri ¨uzerinde kurulur ve klasik en k¨u¸c¨uk kareler dengeleme i¸sleminde bilinmeyen parametre olarak alınır. Her bir s¨ozde stokastik sinyal i¸cin bir ¨onc¨ul varyans tanımlanır (Bock, 2003). Bu sistem Beutler ve ark. (1994) tarafından
GPS uydularının y¨or¨unge kalitesinin iyile¸stirilmesi ve g¨une¸s radyasyon basıncı modellemesindeki eksiklikleri telafi etmek i¸cin tanımlanmı¸stır. Daha sonrasında ¸cok sayıda sinyalin verimli bir bi¸cimde kurulması y¨on¨unden LEO uydularının indirgenmi¸s dinamik DYB ¸calı¸smalarında da etkili olabilece˘gi anla¸sılmı¸stır (J¨aggi ve ark., 2006).
S¨ozde stokastik sinyaller y¨onteminin en belirgin ¨ozellikleri genel olarak ¸su ba¸slıklar altında tanımlanır (Beutler ve ark., 2005a):
• Y¨or¨unge yayları s¨ureklidir ve diferansiyel denklem sistemleri (hareket denklemi) ile temsil edilir.
• Sinyaller daha ¨onceden belirlenen y¨onlerde (RAC) kurulur ve en k¨u¸c¨uk kareler dengelemesinde parametre olarak dengelemeye dahil edilir.
• Sinyaller, sıfır ¨umit de˘geri ve varyans ile tanımlanır.
Hız de˘gi¸simlerinin (δv) b¨uy¨ukl¨u˘g¨u, yapay g¨ozlem denklemleri (4.28) ve ¨onsel a˘gırlıklar (4.29) ile kontrol edilir.
δv = 0 (4.28) w = σ 2 0 σ2 δv (4.29)
B¨oylece hız de˘gi¸simleri, varyans (σ2
δv) ve ¨umit de˘geri sıfır olan rasgele
de˘gi¸skenlerle kısıtlanmı¸s olur. Burada σ0, birim a˘gırlıklı ¨ol¸c¨un¨un ortalama hatasıdır.
E˘ger σδv b¨uy¨ukse a˘gırlık w k¨u¸c¨uk olacaktır. Bu durumda hız de˘gi¸simlerinin
(δv) b¨uy¨uk de˘gerler aldı˘gı farz edilir. E˘ger σδv k¨u¸c¨ukse sadece k¨u¸c¨uk hız
de˘gi¸simlerinin m¨umk¨un oldu˘gu s¨oylenebilir (Beutler ve ark., 2005a). Ayrıca, anlık hız de˘gi¸simlerinin (s¨ozde stokastik parametreler) kurulmasının temel amacı g¨u¸c modeli eksikliklerinin giderilmesidir.
¨
Onceden tanımlanmı¸s e(ti) (radial, along-track ve cross-track) y¨onlerindeki
ti zamanına ili¸skin bir sinyal vi olarak alınırsa, (4.27)’deki f1 i¸cerisinde yer alan pi
parametreleri vi sinyallerine e¸sitlenerek (pi = vi), vi·δ(t−ti)·e(t) yazılabilir. Burada
¸sekilde sistemin varyasyon denklemi
¨
zvi = A0· zvi+ A1· ˙zvi + δ(t − ti) · e(t) (4.30)
¸seklinde olu¸sturulur. Fakat pi parametresi hıza ba˘gımlı olmadı˘gından sıfır ba¸slangı¸c
de˘gerleri ile varyasyon denklemi
¨zvi = A0· zvi + δ(t − ti) · e(t) (4.31)
daha sade bir bi¸cimde yazılabilir (J¨aggi ve ark., 2006). zvi, t0 zamanına ait
altı ba¸slangı¸c ko¸sulunu tanımlayan altı parametreye g¨ore ¨onc¨ul y¨or¨ungenin kısmi t¨urevlerinin do˘grusal bir kombinasyonu olarak yazılır. Bu durumda (4.31) etkili bir bi¸cimde ¸c¨oz¨ulebilir. Fakat konum vekt¨or¨u r(t) s¨urekli elde edilirken, iyile¸stirilmi¸s y¨or¨ungenin hız vekt¨or¨u ˙r(t) s¨ureksizlikler i¸cerir. Bu durum y¨ontemin dezavantajı olarak g¨or¨ulebilir. Bu s¨ureksizlik ise ti sinyal epoklarında ger¸cekle¸sir (Beutler ve
ark., 1994; J¨aggi ve ark., 2006; J¨aggi, 2007). S¨ozde stokastik y¨or¨unge modellemesi i¸cin temel e¸sitlikler, y¨ontemlerin ayrıntılı tanıtımları ve etkili ¸c¨oz¨umler Beutler ve ark. (1994); J¨aggi ve ark. (2003, 2005); Beutler ve ark. (2005a); J¨aggi ve ark. (2006); J¨aggi (2007); J¨aggi ve ark. (2010)’de bulunabilir.