GOCE

GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) g¨orevi Avrupa Uzay Ajansının (ESA–Europan Space Agency) Ya¸sayan Gezegen Programının (Living Planet Programme) ¸cekirdek projesidir. GOCE uydusu gravite alanı belirleme ama¸clı g¨onderilen uydu serisinin sonuncusudur (S¸ekil 2.15). GOCE uydusunun y¨or¨ungesi neredeyse dairesel ve g¨une¸s senkronizasyonlu olarak 17 Mart 2009 tarihinde Rusya’nın Plesetsk ¨uss¨unden g¨onderilmi¸stir. Gravite sinyalinin daha g¨u¸cl¨u ve daha hassas olması i¸cin uydunun y¨or¨unge y¨uksekli˘gi 250 km se¸cilmi¸stir. Uydunun izlenmesi ve kontrol¨u ˙Isve¸c’te bulunan Kiruna ve Norve¸c’te bulunan Svalbard yer istasyonları yardımıyla ESA/ESOC tarafından y¨ur¨ut¨ulmektedir. GOCE misyonunun temel amacı yer gravite alanının ¨ol¸c¨ulmesine ve jeoidin m¨ukemmel bir do˘gruluk ile modellenmesine katkıda bulunmaktır. Beklenen do˘gruluklar; gravite anomalilerin 1 mGal (10−5

ms−2

), jeoidin 1 − 2 cm duyarlı˘gında belirlenmesi ve 100 km’den daha iyi bir konumsal ¸c¨oz¨un¨url¨u˘ge ula¸sılmasıdır.

S¸ekil 2.15. GOCE uydusu (ESA/ESOC, 2012)

GOCE misyonu uydu tarihinde bir ilki ba¸sarmı¸stır. CHAMP ve GRACE misyonlarında olmayan s¨ur¨uklenmeden ba˘gımsız kontrol (drag-free control ) sistemi kullanılmı¸stır. GOCE uydusunun ¨uzerinde bulunan geli¸smi¸s elektrikli iyon itici g¨u¸c sistemi (electric ion propulsion system) ile uydu, yeryuvarı atmosferinden arta kalan kalıntılardan tamamen arındırılmı¸s bir halde hareketini s¨urd¨urebilmektedir;

yani, uydu d¨u¸s¨uk y¨or¨unge y¨uksekli˘ginde kalmaya ve yerin etrafında serbest d¨u¸sme (free fall ) hareketine devam edebilmektedir. B¨oylece, gelmi¸s ge¸cmi¸s en iyi gravite verilerini elde etmek m¨umk¨un hale gelmi¸stir (ESA, 2012). Di˘ger iki uyduya kıyasla GOCE uydusunun g¨orev s¨uresi 20 ay gibi olduk¸ca kısadır. Uydunun g¨orev s¨uresinin bu kadar kısa olmasının nedenlerinden biri y¨or¨unge y¨uksekli˘ginden (yakla¸sık 250 km) kaynaklanır. C¸ ¨unk¨u d¨u¸s¨uk y¨or¨ungelerde atmosferik s¨ur¨uklenmenin etkisi daha b¨uy¨ukt¨ur. Di˘ger bir neden ise uydunun g¨orev s¨uresinin iyon iticilerinin ya¸sam s¨uresine ba˘glı olmasıdır. GOCE uydusu yakla¸sık 5 m uzunlu˘gunda 1 m ¸capında sekizgen, ince bir uydu g¨or¨un¨um¨undedir. Uydudun di˘ger fiziksel ¨ozellikleri C¸ izelge 2.4’de verilmektedir (Drinkwater ve ark., 2003; ¨Ust¨un, 2006a; ILRS, 2012b; ESA, 2012; CNES, 2012).

C¸ izelge 2.4. GOCE uydusunun genel ¨ozellikleri ve y¨or¨unge bilgisi

Parametre B¨uy¨ukl¨uk

Toplam k¨utle 1100 kg

Toplam boy 5 m

Fırlatma tarihi 17 Mart 2009 Yerberi (perigee) uzaklı˘gı 270 km Yer¨ote (apogee) uzaklı˘gı 270 km E˘gim (ekvatorla) 96◦

.5

CHAMP ve GRACE g¨orevlerinin tersine, y¨uksek ¸c¨oz¨un¨url¨ukl¨u gravite alanını belirlemek i¸cin GOCE uydusunun kendisi temel bir bilimsel donanım olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir. GOCE uydusunun ¨uzerinde ¨ozellikle iki donanım dikkat ¸cekicidir. Bunlardan ilki uydu gravite gradyometresi (SGG–Satellite Gravity Gradiometry) di˘geri de bir GNSS alıcısıdır. GNSS alıcısı, Alcatel Alenia Space (¨onceki adı Laben) tarafından ¨uretilen ¸cift frekanslı Lagrange GPS alıcısıdır. Lagrange GPS alıcısı 1 Hz frekans ile 12 kanal ¨uzerinden faz ve s¨ozde-uzunluk ¨ol¸c¨ulerini toplar. CHAMP ve GRACE misyonlarının tersine alıcı maksimum 12 GPS uydusunu izleyebilir. Alıcının iki temel g¨orevi vardır. GPS verileri 1 cm hassasiyetinde DYB i¸cin kullanılır ki; bu, gravite gradyometresinin konumunu da belirler. Di˘ger bir g¨orevi ise SST- hl tekni˘gine dayanarak gravite alanının uzun ve orta dalga boyunun ¨ozelliklerinin analizine yardımcı olur. Ba¸ska bir deyi¸sle, ilk g¨orevinden elde etti˘gi duyarlı y¨or¨unge bilgisinden (y¨or¨unge bozulma analizlerinden) gravite bilgisini elde eder (Seeber, 2003; Hofmann-Wellenhof ve Moritz, 2005; J¨aggi, 2007).

Di˘ger ¨onemli donanım SGG ise olduk¸ca y¨uksek duyarlılıkta ¨u¸c ¸cift ivme¨ol¸cerden meydana gelir. Bu ¨u¸c ¸cift ivme¨ol¸cer ile ¨u¸c ana eksen ¨uzerinde gravite gradyentleri ¨ol¸c¨ul¨ur. Her ¸cift birbirinden yakla¸sık 50 cm uzaklıktadır. ˙Ivme¨ol¸cerler uydunun a˘gırlık merkezine elmas yapılandırma ¸seklinde yerle¸stirilmi¸slerdir. B¨oylece her eksen ¨uzerine iki adet ivme¨ol¸cer yerle¸stirilmi¸s olur. ˙Iki ivme¨ol¸cer ¸ciftinin herbiri tarafından ¨ol¸c¨ulen ivmeler arasındaki farklar ger¸cek gradyometre ¨ol¸c¨uleridir ve ¨ol¸c¨ulen ivme de˘gerlerinin toplamının yarısı uyduya etki eden t¨um dı¸s ivmeleri temsil eder (J¨aggi, 2007). ˙Ivme¨ol¸cerlerin hassasiyeti 10−₁₂

m/s2_/√_{Hz’dir (Drinkwater ve}

ark., 2007). T¨um ¨u¸c eksende yer¸cekimi ivmelerinin farkları ¨ol¸c¨ul¨urse, bu ¨ol¸c¨uler gravite potansiyelinin ikinci t¨urevlerini (t¨um matris elemanlarını) t¨uretmek i¸cin kullanılabilir (Liu, 2008). GOCE uydusu bu iki donanımdan ba¸ska SLR izlemeleri i¸cin bir LRR, konum belirleme i¸cin yıldız kamerası, iyon iticiler, manyetik torklar ve bazı sens¨orler ile donatılmı¸stır. Uydunun i¸c yapısı ve genel donanımı S¸ekil 2.16’da verilmektedir. İyon iticiler Zenon tank İyon iticilerin kontrol ünitesi Manyetik torklar Gravite Gradyometre

GPS alıcısı Kontrol ünitesi Güç kaynağı Nitrojen tank

Yıldız sensör

S¸ekil 2.16. GOCE uydusunun i¸c yapısı (ESA/ESOC, 2012)

Yukarıda da de˘ginildi˘gi ¨uzere GOCE uydusunun y¨or¨unge analizlerinden gravite alanının uzun-dalgaboyu bilgisi elde edilirken (SST-hl), uydu gravite gradyometresinden (SGG) kısa-dalgaboyu bilgisi elde edilmektedir. GOCE uydusuna dayalı gravite alanı modelleme ¸calı¸smalarında SST-hl ve SGG tekni˘gi birlikte kullanılmaktadır (bkz. B¨ol¨um 3.1).

3. YAKIN YER UYDULARI ˙IC¸ ˙IN GPS VER˙ILER˙IN˙IN

DE ˘GERLEND˙IR˙ILMES˙I

GPS (K¨uresel Konum Belirleme Sistemi-Global Positioning System), ABD Savunma Dairesi tarafından y¨ur¨ut¨ulen ve altı y¨or¨unge d¨uzlemine yerle¸stirilmi¸s 24 uydudan olu¸san uydu bazlı bir radyo navigasyon sistemidir. Y¨or¨unge d¨uzlemleri ekvatorla 55◦

a¸cı yaparlar ve her bir y¨or¨unge d¨uzlemi ¨uzerinde e¸sit sayıda, d¨ort uydu bulunur (S¸ekil 3.1). GPS y¨or¨ungeleri yakla¸sık dairesel olup b¨uy¨uk yarı eksen uzunlu˘gu 26600 km civarındadır. GPS uydularının y¨or¨unge periyodu 11h₅₈m_’dır.

Dolanım s¨uresi bir yıldız g¨un¨un¨un yarısına kar¸sılık gelir ve sonu¸cta her uydu g¨unde iki kez yerin etrafını dolanmı¸s olur (Seeber, 2003; Leick, 2004; Kaplan ve Hegarty, 2006; Kroes, 2006; Kahveci ve Yıldız, 2012).

GPS uydularına g¨ore ¸cok daha al¸cak y¨or¨ungeli LEO uyduları ise yerin ¸cekim etkisini kar¸sılayabilmek i¸cin ¸cok daha y¨uksek y¨or¨unge hızına sahip olmalıdırlar. 250-500 km y¨or¨unge y¨uksekli˘gindeki uydular i¸cin dolanım periyodu yakla¸sık 90-100 dakikaya kar¸sılık gelir. Buna g¨ore LEO uyduları bir g¨unde 15-16 kez yerin etrafını dolanabilmektedir. ¨Uzerlerindeki alıcılar sayesinde LEO uydu y¨or¨unge davranı¸sları kesintisiz olarak GPS uyduları tarafından izlenebilir. Bu sonu¸c, ba¸sta gravite alanı olmak ¨uzere uydulara etki eden dinamik kuvvetlerin anla¸sılmasında b¨uy¨uk ¨onem ta¸sır.

S¸ekil 3.1. GPS uydu yapılandırması (Seeber, 2003)

GPS tekni˘gine dayalı DYB ¸calı¸smaları g¨un¨um¨uzde cm mertebesinde do˘gruluk ¨

anlatılacaktır. Bunun i¸cin ¨oncelikle uydudan uyduya izleme teknikleri, GPS y¨or¨ungeleri ve saatleri, GPS g¨ozlem modelleri ayrıntılı olarak a¸cıklanacaktır.

3.1 Uydudan Uyduya ˙Izleme Tekni˘gi

GPS sistemindeki modernizasyon ¸calı¸smaları, geli¸sen teknoloji ve ¨ozellikle yakın yer uydularında bulunan y¨uksek duyarlıklı sens¨orler sayesinde gravite alanı belirleme do˘grulu˘gu g¨un ge¸ctik¸ce artmaktadır. Son yıllarda gravite alanı belirleme ama¸clı uzaya g¨onderilen s¨oz konusu ¨u¸c uydu, bu g¨orevin en iyi ¸sekilde ger¸cekle¸smesini ¨

ustlenmi¸stir.

1957 yılında Sputnik 1 uydusunun g¨onderilmesinden bu yana uydu teknolojisindeki geli¸smelere paralel olarak ¨ol¸cme tekniklerinde de bir takım ¨onemli geli¸smeler ya¸sanmı¸stır. Ozellikle uydudan uyduya ¨ol¸cme tekni˘gi (Satellite-¨ to-Satellite Tracking-SST ) ve uydu gravite gradyometresi (Satellite Gravity Gradiometry-SGG) en ¨onemlileridir. SST tekni˘gi, y¨uksek-al¸cak (SST-hl ) ve al¸cak- al¸cak (SST-ll ) olmak ¨uzere iki farklı bi¸cimde uygulanmaktadır (S¸ekil 3.2). Gravite alanı belirleme ama¸clı uydu g¨orevleri hakkında detaylı bilgi Seeber (2003); Hofmann- Wellenhof ve Moritz (2005); ¨Ust¨un (2006a) ve Shabanloui (2012)’de bulunabilir. A¸sa˘gıda bu g¨ozlem teknikleri hakkında ¨ozet bir bilgi verilmektedir.

SST - ll

SST - hl

Yeryuvarı Kitle

Sapması

S¸ekil 3.2. Farklı ¨ol¸cme teknikleri: SST-ll, SST-hl ve SGG

SST-hl : Bir LEO uydusunun ivmeleri ¨ol¸c¨ul¨ur ve gravite potansiyelinin ilk t¨urevleri belirlenir. Al¸cak y¨or¨ungede bulunan bir LEO uydusu GPS, GLONASS veya GALILEO gibi y¨uksek y¨or¨ungede bulunan uydular tarafından ¨u¸c boyutta kesintisiz olarak izlenir. LEO uyduları ¨uzerinde bulunan GPS alıcısı ve ivme¨ol¸cer konum ve

gravite alanı ile ili¸skili olmayan kuvvetleri ¨ol¸cer. B¨oylece g¨ozlemlenen artık ivmeler yer¸cekimi ivmelerine kar¸sılık gelir.

SST-ll : ˙Iki LEO uydusu arasındaki ivme farkları ¨ol¸c¨ul¨ur ve gravite potansiyeline ait ilk t¨urevlerin farkları belirlenir. SST-ll modunda aynı al¸cak y¨or¨ungede bulunan iki LEO uydu arasındaki uzaklık de˘gi¸simi radyo dalgaları (inter satellite link ) yardımıyla olabildi˘gince y¨uksek duyarlıkta ¨ol¸c¨ul¨ur ve gravite potansiyelinin birinci t¨urevleri belirlenir. SST-hl tekni˘gindeki gibi gravite alanı ile ili¸skili olmayan kuvvetler ivme¨ol¸cer tarafından ¨ol¸c¨ul¨ur. Sonu¸c olarak SST-ll modunda iki LEO uydusu arasındaki ivme farkları ¨ol¸c¨ulm¨u¸s olur.

SGG: Bir LEO uydusu i¸cerisinde ivme gradyentleri yerinde ¨ol¸c¨ul¨ur ve gravite potansiyelinin ikinci t¨urevleri belirlenir. LEO uydusunda bulunan gradyometre yardımıyla do˘grudan ivme farklarının ¨ol¸c¨ulmesi anla¸sılır. Bu da gravite potansiyelinin ikinci t¨urevlerine (Marussi tens¨or bile¸senleri) kar¸sılık gelir. SST tekni˘gi ile kar¸sıla¸stırıldı˘gında, bu tekni˘gin ¨ust¨unl¨u˘g¨u ¸s¨oyledir; gravite alanı ile ili¸skili olmayan ivmeler uydu i¸cerisinde aynıdır ve b¨oylece fark alma i¸slemi ortadan kalkar. Yukarıda bahsedilen gravite alanı belirleme ama¸clı g¨onderilen uydu misyonlarından CHAMP uydusu SST-hl tekni˘gini, GRACE uydusu y¨or¨ungeler i¸cin SST-ll tekni˘gini, gravite alanındaki de˘gi¸simler i¸cin SST-hl tekni˘gini ve GOCE uydusu ise SGG tekni˘gini kullanır. Ayrıca uydular yardımıyla gravite alanı belirlenirken uydu y¨uksekli˘ginin etkisi ¨onemli bir etkendir. Uydudan gelen sinyal ve g¨ur¨ult¨uleri i¸ceren ¨ol¸c¨uler uydu y¨uksekli˘gine ba˘glı olarak (R/r)n+1 _oranında

etkilenirler. Daha ¨oncede s¨oz edildi˘gi gibi burada R yeryuvarının ekvatoral yarı¸capını, r uydu konumunun normunu (r = px2_{+ y}2_{+ z}2_{) ve n ¸cekim}

potansiyelinin derecesini g¨osterir. Gravite sinyalinin ¸siddeti (b¨uy¨ukl¨u˘g¨u) uydu y¨uksekli˘gi ile ters orantılı olup, y¨ukseklik arttık¸ca alınan sinyalin ¸siddeti azalırken g¨ozlemlerdeki g¨ur¨ult¨u seviyesi artmaktadır. Bu y¨uzden olabildi˘gince d¨u¸s¨uk y¨or¨ungeli uydular kullanıldı˘gında alınan sinyal ¸siddeti y¨uksek, ¨ol¸c¨ulerdeki g¨ur¨ult¨u seviyesi azaltılmı¸s olur.

Uydudan uyduya izleme tekni˘ginin amacı, iki uydu arasındaki uzaklık ve uzaklık de˘gi¸simini y¨uksek do˘grulukla ¨ol¸cmektir. Yukarıda da ifade edildi˘gi gibi y¨uksek-al¸cak (SST-hl) ve al¸cak-al¸cak (SST-ll) izleme tekniklerinin her ikisinde de yakın yer uyduları, yer gravite alanı i¸cin birer algılayıcıdır. S¨oz konusu izleme

y¨ontemleri ile ba˘gıl hızlar belirlenir ve bu hızların d¨uzensiz de˘gi¸simlerinden de gravite bilgisi edinilir. ˙Iki uydu arasında uzaklık de˘gi¸simi i¸cin temel g¨ozlem e¸sitli˘gi a¸sa˘gıdaki bi¸cimde olu¸sturulur (Jekeli, 1999; Sneeuw, 2000; Jeongrae, 2000; Seeber, 2003; Austen ve Grafarend, 2004; Liu, 2008). ˙Inersiyal sistemde 1. uyduya ait konum vekt¨or¨u r1, 2. uyduya ait konum vekt¨or¨u ise r2 olarak tanımlansın; b¨oylece,

uydular arasındaki uzaklık,

ρ =p(r2− r1) · (r2− r1) (3.1)

uzaklık vekt¨or¨u,

r12 = r2− r1 (3.2)

veya

r12 = ρe12 (3.3)

e¸sitlikleriyle yazılır. Burada, e12, birinci uydudan ikinci uyduya, bakı¸s

do˘grultusundaki (line-of-sight) birim vekt¨ord¨ur:

e12 =

r2− r1

|r2− r1|

= r12

ρ (3.4)

Bu durumda uzaklık-oranı (range-rate) g¨ozlemlenebilir uzunlu˘gun t¨urevi,

˙ρ = ˙r12e12 (3.5)

elde edilir. Buradaki ˙r12 terimi iki uyduya ait hızlar arasındaki farkları tanımlar ve

˙r12 = ˙r2− ˙r1’dir. Buna g¨ore, uzaklık-oran-de˘gi¸simi (range-rate-change), (3.5)’in bir

kez daha t¨urevinin alınmasıyla,

¨

ρ = ¨r12e12+ ˙r12˙e12 (3.6)

olur. Burada, ˙e12 ifadesi

˙e12= d dt(r12ρ −₁ ) = (˙r12− ˙ρe12)ρ −₁ = cρ−₁ (3.7)

olarak yazılabilir. Bu durumda (3.6) e¸sitli˘gi a¸sa˘gıdaki bi¸cime d¨on¨u¸s¨ur;

¨

ρ = ¨r12e12+ ˙r12(˙r12− ˙ρe12)ρ−1

= ¨r12e12+ [(˙r12)2− ( ˙ρ)2]ρ−1

(3.8)

SST ¨ol¸c¨ulerine dayanarak de˘gerlendirme yapılabilmesi i¸cin (3.1), (3.5) ve (3.8)’in uydu durum vekt¨orlerine g¨ore kısmi t¨urevlerinin hesaplanması gerekir. SST ¨ol¸c¨uleri, uzaklık (range), uzaklık-oranı (range-rate) ve uzaklık-oran-de˘gi¸simi (range-rate-change) veya uzaklık-ivme ¨ol¸c¨us¨u (range-acceleration) olarak ifade edilir. Uzaklık, sadece konumun bir fonksiyonu oldu˘gundan hıza g¨ore t¨urev de˘gerleri sıfır olur. Bu durumda uzaklı˘ga ait kısmi t¨urevler i¸cin:

∂ρ ∂r1 = (r1 − r2 ρ ) T ∂ρ ∂r2 = − ∂ρ ∂r1 ∂ρ ∂v1 = 0 ∂ρ ∂v2 = 0 (3.9)

e¸sitlikleri ge¸cerlidir. Benzer ¸sekilde uzaklık-oranına ait kısmi t¨urevler yazılabilir. (3.9)’dan farklı olarak hız ¨ol¸c¨us¨un¨un kısmi t¨urevleri,

∂ ˙ρ ∂r1 = 1 ρ(˙r12− r12 ρ ˙ρ) T ∂ ˙ρ ∂r2 = − ∂ ˙ρ ∂r1 ∂ ˙ρ ∂v1 = (r12 ρ ) T ∂ ˙ρ ∂v2 = − ∂ ˙ρ ∂v1 (3.10)

¸cıkar. Son olarak uzaklık-oran-de˘gi¸simine ait kısmi t¨urevler belirlenmelidir. Bu kısmi t¨urevler ¨oncekilere g¨ore biraz daha karma¸sık bir g¨or¨un¨um alır (Jeongrae, 2000).

∂ ¨ρ ∂r1 = (∂¨r12 ∂r1 e12)T + 1 ρ(a − 2 ˙ρ ρ c − 1 ρc 2_e 12)T ∂ ¨ρ ∂r2 = (∂¨r12 ∂r2 e12)T − 1 ρ(a − 2 ˙ρ ρ c − 1 ρc 2_e 12)T ∂ ¨ρ ∂v1 = (∂¨r12 ∂v1 e12)T + 2 ρc 2 ∂ ¨ρ ∂v2 = (∂¨r12 ∂v2 e12)T − 2 ρc 2 (3.11)

Burada kullanılan a ve c vekt¨orleri a¸sa˘gıdaki e¸sitliklerle ifade edilirler:

c = ˙r12− ˙ρe12 (3.12)

a = ¨r12− (˙r12e12)e12 (3.13)

SST metodunun temeli yersel gravite alanı parametreleri ve g¨ozlemler ( ˙ρ, ¨

ρ) arasında bir ili¸ski kurmaktır. Gravite alanı parametreleri k¨uresel harmonik katsayıları Cnm ve Snm parametreleri ile temsil edilir. Bu ili¸skinin kolay

kurulabilmesi i¸cin Cnm, Snm katsayıları, tek bir parametre, ¨orne˘gin Bn olarak ifade

edilebilir. Yakla¸sık de˘gerler rs_{, ˙r}s

ve ˙ρs_{, ¨ρ}s_{, her iki uydunun ba¸slangı¸c ko¸sullarından}

elde edilir ve gravite alanı i¸cin yakla¸sık de˘ger Bs

n ile g¨osterilirse, gravite alanı

spektrumu

Bn = Bns+ ∆Bn, n = 1, ..., N. (3.14)

e¸sitli˘gine indirgenmi¸s olur. Yukarıda verilen kısmi t¨urevlerden yaralanarak (3.5) ve (3.8)’in do˘grusalla¸stırılmasıyla ∆ ˙ρ = ˙ρ − ˙ρs= ∂ ∂Bn (˙r12e12)∆Bn = (e12 ∂ ˙r12 ∂Bn + ρ−₁ c∂r12 ∂Bn )∆Bn (3.15) ∆¨ρ = ¨_{ρ − ¨}ρs₌ ∂ ∂Bn [(¨r12e12+ ((˙r12)2− ( ˙ρ)2))ρ−1]∆Bn = (e12 ∂¨r12 ∂Bn + 2ρ−₁ c∂ ˙r12 ∂Bn + ρ−₁ (a − 2 ˙ρρ−₁ c − ρ−₁ (c)2e12) ∂r12 ∂Bn )∆Bn (3.16) sonu¸c e¸sitlikleri bulunur (Seeber, 2003). (3.15) ve (3.16), parametre kestirimine konu olacak fonksiyonel model e¸sitlikleridir ve EKK kestiriminden bilinmeyen ∆Bn

parametreleri bulunur.

Uydu Gravite Gradyometresi

Gradyometre uzayda gravite ivmesinin de˘gi¸simini ¨ol¸cebilen bir sens¨ord¨ur. V=V(x,y,z) yer¸cekim potansiyelinin ilk t¨urevleri (g) ¸cekim ivmesini verir (uzayda merkezka¸c ivmesinden ba˘gımsız). Gradyometre ile gravite ivmesinin de˘gi¸simi, yani gravite potansiyelinin ikinci t¨urevleri, ba¸ska bir deyi¸sle gravite gradyentleri (gravite

tens¨or bile¸senleri) ¨ol¸c¨ulm¨u¸s olur. Gravite gradyentleri, gravite vekt¨or¨un¨un eksenler boyunca t¨urevleri olarak ifade edilebilir. GOCE uydusunda bulunan gradyometrenin temel prensibi, ¸cok kısa bir baz i¸cin (50 cm) ivme farklarının ¨ol¸c¨ulmesine dayanır. Bir eksen ¨uzerinde 50 cm ile ayrılmı¸s iki ivme¨ol¸cer d¨u¸s¨un¨ul¨urse iki adet g¨ozlem denklemi yazılabilir (Seeber, 2003; Hofmann-Wellenhof ve Moritz, 2005).

a1 = [M + ˙Ω + ΩΩ]∆x + fng

a2 = −[M + ˙Ω + ΩΩ]∆x + fng

(3.17)

Burada a1 ve a2, bir eksen ¨uzerinde iki ivme¨ol¸cerin ¨ol¸c¨ulen ivmelerini, M, Marussi

tens¨or¨un¨u yani gravite potansiyelinin ikinci t¨urevlerini (gravite gradyent veya E¨otv¨os tens¨orlerini ) M =      ∂2_V ∂x2 ∂2_V ∂x∂y ∂2_V ∂x∂z ∂2 V ∂x∂y ∂2 V ∂y2 ∂2 V ∂y∂z ∂2_V ∂x∂z ∂2_V ∂y∂z ∂2_V ∂z2      =      Vxx Vxy Vxz Vxy Vyy Vyz Vxz Vyz Vzz      (3.18)

temsil eder (ESA, 1999; Bobojc ve Drozyner, 2003). Matrise bakıldı˘gında 9 elemanın sadece 5 tanesinin belirlenmesi gereklidir. C¸ ¨unk¨u matris simetriktir. Ayrıca Laplace ko¸suluna g¨ore, matrisin izinin toplamı ¸cekim potansiyeli g¨oz ¨on¨une alınırsa sıfır olacaktır (Seeber, 2003; Lumley ve ark., 2010).

Vxx+ Vyy+ Vzz = 0 (3.19)

(3.17) e¸sitli˘ginde ge¸cen Ω ifadesi gradyometrenin y¨onlendirmesini tanımlamak i¸cin kullanılan ve a¸cısal hız bile¸senlerinden olu¸san bir asimetrik matrisi g¨osterir. Asimetrik matrisin tens¨or¨u (ΩΩ) ise simetrik olacaktır.

Ω =      0 ω3 −ω2 −ω3 0 ω1 ω2 −ω1 0      (3.20)

Burada Ω a¸cısal hız, ˙Ω ise a¸cısal ivmeyi temsil eder. (3.17) e¸sitli˘gine bakıldı˘gında geriye bilinmeyen iki parametre kalmı¸stır. Bunlardan ilki ∆x, her bir ivme¨ol¸cerden ¨

ile ili¸skili olmayan t¨um etkileri (g¨une¸s radyasyon basıncı, atmosferik s¨ur¨uklenme, albedo vs.) i¸ceren bilinmeyeni temsil eder. Burada ama¸c Marussi tens¨orlerini ba¸ska ifadeyle gravite potansiyelinin ikinci t¨urevlerini elde etmektir. Bunun i¸cin (3.17) e¸sitli˘gindeki ivmeler bir kez taraf tarafa toplanıp (ortak mod) bir kez de ¸cıkarılacak (diferansiyel mod) olursa,

(a1+ a2)/2 = fng (3.21)

(a1 − a2)/2 = [M + ˙Ω + ΩΩ]∆x (3.22)

sonu¸c denklemleri bulunur (Seeber, 2003; Hofmann-Wellenhof ve Moritz, 2005). ¨

Ol¸c¨ulen ivme de˘gerlerinin toplamının yarısı uyduya etki eden t¨um dı¸s ivmeleri temsil eder (E¸sitlik 3.21, bkz. Sayfa 33). B¨oylece yer¸cekimiyle ili¸skin olmayan etkiler elde edilmi¸s olur. Sonu¸c denklemler elde edilirken kolaylık olması a¸cısından (3.22) e¸sitli˘ginde Γ = [M + ˙Ω + ΩΩ] tanımlaması yapılsın. (3.22)’de gradyometrenin geometrisinin, yani ∆x’in bilindi˘gi kabul edilirse, geriye sadece Γ i¸cindeki gravite gradyentlerinin (M) belirlenmesi kalır. Bunun i¸cin ¨oncelikle Γ teriminden ve tranposesinden yararlanarak ortak ve diferansiyel mod uygulaması ile a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler elde edilir:

Γ = [M + ˙Ω + ΩΩ] (3.23) ΓT _{= [M − ˙Ω + ΩΩ]} (3.24) (Γ + ΓT) = 2M + 2ΩΩ (3.25) (Γ − ΓT) = 2 ˙Ω (3.26) (Γ + ΓT)/2 = M + ΩΩ (3.27) (Γ − ΓT)/2 = ˙Ω (3.28)

Son iki e¸sitlik (3.27) ve (3.28) yardımıyla ¸c¨oz¨um ger¸cekle¸stirilir. ¨Oncelikle (3.28) ile ˙

Ω a¸cısal ivme de˘geri, sonrasında ise integrasyon i¸sleminden,

Ω(t) = Ω(t0) +

Z t t0

˙

hesaplanır. Burada, Ω(t0) ba¸slangı¸c y¨onelimidir ve yıldız sens¨orlerinden t¨uretilir.

Ω(t)’nin karesi ΩΩ ve son olarak (3.27) e¸sitli˘ginden gravite gradyent tens¨or¨u

M = (Γ + ΓT_{)/2 − ΩΩ} (3.30)

bulunur (Hofmann-Wellenhof ve Moritz, 2005). Detaylı bilgi i¸cin ESA (1999); Bobojc ve Drozyner (2003); Seeber (2003); Hofmann-Wellenhof ve Moritz (2005); Lumley ve ark. (2010) kaynaklarına bakılabilir.