Yukarıdaki a¸cıklamalar ı¸sı˘gında genel olarak LEO uyduları i¸cin ¸su genellemeler yapılabilir:
• Troposfer tabakasının yery¨uz¨unden yakla¸sık 40 km y¨ukseklikte oldu˘gu ve LEO uydularının y¨uksekli˘ginin de yakla¸sık 450 km’den ba¸sladı˘gı (GOCE; 250 km) g¨oz ¨on¨une alınırsa, troposferik etkinin Tu
a(t) LEO uyduları ¨uzerinde etkisinin
olmadı˘gı kolayca anla¸sılabilir. Bu y¨uzden, GPS g¨ozlemlerinde troposferik etki de˘geri ortadan kalkmı¸s olur.
• C¸ izelge 3.3 ve 3.4’e bakıldı˘gında LEO uyduları ¨uzerinde en b¨uy¨uk etkinin iyonosferden kaynaklandı˘gı g¨or¨ulebilir. Bu nedenle, duyarlı y¨or¨unge ¸calı¸smalarında iyonosferden ba˘gımsız do˘grusal kombinasyonun (IBDK ) kullanılması yerinde olacaktır.
• Duyarlı y¨or¨unge bilgisi elde etmek i¸cin kullanılan verinin kalitesi do˘grudan y¨or¨unge sonu¸clarına yansır. Bundan dolayı, IGS ve CODE merkezlerinde t¨uretilen y¨uksek-frekanslı saat ve y¨or¨unge bilgilerinin kullanımı tercih edilmelidir.
4. DUYARLI Y ¨OR ¨UNGE BEL˙IRLEME
˙Ilk insan yapımı uzay aracı 1957 yılında fırlatılmasına ra˘gmen, uydu y¨or¨ungeleri ikiy¨uz yıldan beri ¸calı¸sılan konulardandır. Yer¸cekimi kanunlarının Newton tarafından ortaya konulmasıyla, bilim adamları g¨une¸sin etrafında dolanan g¨okcisimlerinden sadece birka¸cını ve yerin do˘gal uydusu ayın hareketini izleyebilmi¸slerdir. Oysa g¨un¨um¨uzde, yerin etrafında dolanan sayısız uzay enkazları ile birlikte binlerce insan yapımı uydu bulunmaktadır. Bunların ¸co˘gu genellikle 1500 km’den daha a¸sa˘gı y¨ukseklikte olup al¸cak y¨or¨unge uyduları (LEO) olarak isimlendirilir (S¸ekil 4.1). Bunların dı¸sında kalan ¸co˘gu uydu yakla¸sık 36000 km y¨uksekliktedir ve herhangi bir yer noktasına g¨ore dura˘gan (geostationary-GEO) y¨or¨ungede dolanırlar. Kuzey yarım k¨uredeki uydu bulutunun g¨uneye g¨ore yo˘gun olu¸su bu nedene dayanmaktadır. Uyduların b¨uy¨uk ¸co˘gunlu˘gu telekom¨unikasyon, konum belirleme, navigasyon ve bilimsel ama¸clarla kullanılmaktadır.
S¸ekil 4.1. Kuzey kutbundan bir g¨or¨un¨um (ESA/ESOC, 2012)
1960’lı yıllarda teknolojinin hen¨uz tam anlamıyla geli¸smemesinden ve hesaplama tekniklerinin ¸cok kaba olmasından dolayı y¨or¨unge belirleme duyarlı˘gı 100 m civarında seyretmekteydi. 1970’li yıllara gelindi˘ginde duyarlı˘gı kısıtlayıcı alanlarda bir takım iyile¸smeler kaydedildi. ¨Ozellikle bilgisayar teknolojisine dayalı sayısal analiz tekniklerindeki ilerleme ile uyduya uygulanan g¨u¸c modellerinin zenginle¸smesi ve dolayısıyla y¨or¨unge belirleme duyarlı˘gının ¨once 10 m seviyelerine,
1970’lerin sonuna do˘gru birka¸c metreye ula¸sması sa˘glandı. 1980’li yıllarda ise yer gravite alanı ve yery¨uzeyine etkiyen g¨u¸c alanları i¸cin yeni modeller geli¸stirilerek ¨onemli adımlar atıldı. G¨un¨um¨uzde ise bu geli¸smelerin ı¸sı˘gı altında yapılan iyile¸stirmeler ve geli¸stirilen y¨ontemler ile duyarlık de˘gerleri birka¸c cm seviyelerine kadar gerilemi¸stir (Tapley ve ark., 2004). Bu y¨ontemler genel olarak DYB olarak isimlendirilmektedir.
Konum belirleme uygulamalarında y¨or¨unge belirleme i¸sleminin ¨onemi sayısal olarak, σb b = σr ρu a (4.1) e¸sitli˘gi ile ortaya koyulabilir (Beutler ve ark., 2007). Burada b yery¨uz¨unde iki nokta arasındaki baz uzunlu˘gunu (km), σb baz hatasını (m), σr y¨or¨unge hatasını (m) ve ρua
uydu alıcı arasındaki uzaklı˘gı (km) ifade eder. (4.1)’den ¨orne˘gin bir GPS uydusunun y¨or¨unge belirlemesinde yapılacak hata miktarının baz uzunlu˘guna ne kadar etki etti˘gi hesaplanabilir. Buna g¨ore 2.5 m’lik y¨or¨unge hatası 1000 km’lik bir baz i¸cin 124 mm’ye kadar ¸cıkabilmektedir. E˘ger y¨or¨unge 0.05 m’lik bir hata ile belirlenirse hata miktarı aynı baz uzunlu˘gunda 2.5 mm’ye kadar gerilemektedir (C¸ izelge 4.1).
C¸ izelge 4.1. Baz uzunlu˘guna g¨ore hata miktarları
Y¨or¨unge Hatası Baz Uzunlu˘gu Baz Hatası
(m) (km) (mm) 2.5 1 - 2.5 10 1 2.5 100 12 2.5 1000 124 0.05 1 - 0.05 10 - 0.05 100 0.2 0.05 1000 2.5
Uydu hareketini bir¸cok bozucu kuvvet etkiler. Bu kuvvetler yer¸cekimiyle ili¸skili ve ili¸skisiz olmak ¨uzere sınıflandırılır. Al¸cak y¨or¨ungeli uydular yerin ¸cekim alanından kaynaklanan bozucu etkilere daha duyarlıdır. Tersinden bakıldı˘gında bu durum global gravite alanının modellenmesinde avantaj sa˘glar. Gravite alanının modellenmesi, gravite ile ili¸skili bazı m¨uhendislik problemlerine ¸c¨oz¨um bulunması demektir. Ortak bir referans y¨ukseklik sisteminin kurulması jeodezi bilimine
sa˘glanabilecek katkılardan ilk akla gelendir. Bu nedenle LEO uyduları jeodezik uygulamalar i¸cin ayrı bir ¨onem ta¸sır.
¨
Uzerindeki bir ya da birden fazla GPS alıcısı yardımıyla bir uydunun konum ve hız vekt¨orlerinin belirlenmesi, y¨or¨unge belirlemede ¸cok kullanı¸slı, robust ve hızlı bir tekniktir. Ba¸sarılı ilk denemeler TOPEX/POSEIDON uydularında ger¸cekle¸stirilmi¸stir. Bundan sonra bir¸cok uyduda s¨oz konusu teknik kullanılmı¸s, paralel olarak matematiksel tekniklerde de iyile¸smeler sa˘glanmı¸stır. Son on yıllık s¨ure¸cte LEO uyduları olarak CHAMP, GRACE ve GOCE’ye GPS alıcıları yerle¸stirilerek en geli¸smi¸s DYB uygulamaları ger¸cekle¸stirilmi¸stir.
DYB’de ¨u¸c temel y¨ontem kullanılır. Bunlar; • Kinematik veya geometrik
• Dinamik
• ˙Indirgenmi¸s dinamik
y¨or¨unge belirleme y¨ontemleri olarak sıralanır.
Kinematik veya geometrik yakla¸sım ayrı bir dı¸s modele (dinamik g¨u¸c modeli) ihtiya¸c duymadan uydunun y¨or¨ungesinin belirlenmesini hedef alır. Y¨or¨unge, uydu konumlarının bir zaman serisi olarak temsilidir (Bock ve ark., 2005). Ger¸cek y¨or¨unge bilgisi y¨uksek do˘grulukla kestirilen GPS konumlarından elde edilir (Seeber, 2003). Kinematik yakla¸sımın s¨ureklili˘gi ve kalitesi b¨uy¨uk ¨ol¸c¨ude GPS verilerinin elde edilebilirli˘gine ve g¨ozlemlerin kalitesine dayanır. GPS g¨ozlemlerindeki ¨ol¸c¨u ve a˘gırlıklandırma hataları, uygun olmayan uydu geometrisi ve veri bo¸slukları bu yakla¸sımın kalitesini d¨u¸s¨ur¨ur. Bu nedenle kinematik yakla¸sımda g¨ozlemler uyu¸sumsuz ¨ol¸c¨ulerden mutlaka arındırılmalıdır. Ayrıca GPS uyduları ile kar¸sıla¸stırıldı˘gında LEO uyduları yakla¸sık iki kat daha hızlı hareket eder. Yani geometrileri ¸cok hızlı bir bi¸cimde de˘gi¸sim g¨osterir. Sonu¸c olarak kinematik yakla¸sım ile iyi ve s¨urekli bir y¨or¨unge elde etmek olduk¸ca zordur (Bae, 2006). Bu dezavantajları ortadan kaldırabilmek i¸cin dinamik y¨or¨unge modeli ortaya atılmı¸stır. Kinematik yakla¸sım nokta tabanlı bir hesaplama ile y¨or¨ungeyi belirlerken dinamik yakla¸sım yay tabanlı bir hesaplama yapar. Kinematik yakla¸sımın aksine dinamik yakla¸sımda uyduya etki eden kuvvetler uydu hareket denklemi i¸cerisine ilave edilir. B¨oylece ba¸slangı¸c durum vekt¨or¨u, atmosferik s¨ur¨uklenme, g¨une¸s
radyasyon basıncı ve yer gravite alanından kaynaklanan ivmeler gibi gravite alanı ile ili¸skili olmayan parametreler belirlenir. Kesin y¨or¨unge ¸c¨oz¨um¨u uydunun ba¸slangı¸c durum vekt¨or¨u ile bu bilinmeyen parametrelerin birlikte kestirilmesiyle iyile¸stirilir.
¨
Ozetle, ¨once ba¸slangı¸c durum vekt¨or¨u ve di˘ger dinamik parametreler kestirilir ve buradan hareketle bir sonraki epoktaki durum vekt¨or¨u, kestirim modelinde dinamik parametreler kullanılarak ¨uretilir. Dinamik yakla¸sımda y¨or¨unge hataları, kestirim s¨ure uzunlu˘guna ba˘glıdır (Bock, 2003; Bae, 2006). Ayrıca, uydunun ¨onsel y¨or¨unge bilgisine ihtiya¸c duyulur. Kinematik yakla¸sımdaki veri bo¸slu˘gu ve s¨ureksizlik dinamik model i¸cin s¨oz konusu de˘gildir. C¸ ¨unk¨u dinamik yakla¸sımda model s¨urekli ve dinamik kuvvetler ile birlikte kurulur. K¨ot¨u g¨ozlemler belirlenir ve bunların etkileri giderilir. B¨oylece, veri kesiklikleri veya bo¸slukları meydana gelmez; s¨urekli bir model ortaya ¸cıkar. Aslında, dinamik yakla¸sımın do˘grulu˘gu kestirim s¨uresinin yanında modelleme hatalarına da ba˘glıdır denilebilir. Kestirim s¨uresinin artmasının yanısıra ¨ozellikle LEO uydularının dinamik davranı¸sları hakkındaki yetersiz bilgiden dolayı dinamik y¨or¨unge ¸c¨oz¨umlerinde sapmalar g¨or¨ul¨ur. Bundan dolayı indirgenmi¸s- dinamik model yakla¸sımı ortaya atılmı¸stır (Swatschina, 2009).
Yukarıda da a¸cıklandı˘gı ¨uzere kinematik yakla¸sım do˘grudan ¨ol¸c¨u hatalarına ve veri bo¸sluklarına duyarlıdır diyebiliriz. Dinamik yakla¸sım ise veri bo¸sluklarına ra˘gmen s¨ureklidir fakat dinamik g¨u¸c modellerine ba˘glıdır. ˙Indirgenmi¸s-dinamik yakla¸sım bu iki yakla¸sımın dezavantajlarını azaltacak ve avantajlarını birle¸stirecek ¸sekilde tasarlanmı¸stır. Bu yakla¸sımda uydunun dinamik parametrelerine ek parametreler tanımlanır ve sistem ¸c¨oz¨ul¨ur. Ek parametreler ¨onsel model hatalarını azaltmak ya da model eksikli˘gini gidermek i¸cin tanımlanır. Bu deneysel parametrelerin hesaba alınmasında genel olarak literat¨urde iki yol vardır. ˙Ilki anlık hız de˘gi¸simleri (instantaneous velocity changes) di˘geri ise deneysel ivmeler (empirical accelerations) ya da par¸calara ayrılmı¸s sabit ivmeler (piecewise constant accelerations) olarak isimlendirilir (Liu, 2008).
Bu b¨ol¨umde kinematik, dinamik ve indirgenmi¸s-dinamik DYB teknikleri ¨
uzerinde durulacak ve dinamik g¨u¸c modeli yani uyduya etki eden kuvvetler hakkında detaylı bilgi ve matematiksel e¸sitlikler verilecektir. Ayrıca uydunun temel hareket denklemi ve Kepler elemanları ile olan ili¸skisi tanımlanacaktır.
4.1 Uydunun Hareket Denklemi ve Kepler Elemanları
Uydunun hareket denklemi Newton’un ortaya koydu˘gu ¸cekim ve ikinci hareket yasasının ortak kullanılmasıyla elde edilir. Newton’un ilk kitabı olan “Principia” adlı eserinde ¨u¸c hareket yasası ¸s¨oyle tanımlanır:
1. Her cisim dı¸s g¨u¸cler tarafından durumu de˘gi¸stirilmeye zorlanmadık¸ca ataletini veya d¨uz bir hat boyunca d¨uzenli hareketini s¨urd¨ur¨ur.
2. Bir cismin hızındaki de˘gi¸sim miktarının (ivme) cismin k¨utlesiyle ¸carpımı, hareketi meydana getiren kuvvete e¸sittir.
3. Her etkiye kar¸sı, e¸sit ve zıt y¨onde bir tepki vardır. ˙Ikinci hareket yasasının matematiksel g¨osterimi,
F = ma = m¨r (4.2)
ile ifade edilir. Burada F, m k¨utleli bir cisme uygulanan bile¸ske kuvvet vekt¨or¨un¨u ve a (¨r) ise inersiyal (eylemsiz, ataletsiz) bir referans sistemde cismin ¨ol¸c¨ulen vekt¨orel ivmesini g¨osterir. Newton’un evrensel ¸cekim yasasına g¨ore evrendeki iki cisim birbirlerini aralarındaki uzaklı˘gın karesi ile ters, k¨utleleri ile do˘gru orantılı ¸ceker.
F = −GmM
r2 (4.3)
Burada m (uydu) ve M (yer) cisimlerin k¨utleleri G ise evrensel ¸cekim sabitidir. G’nin de˘geri G = 6.673 × 10−11
m3kg−1
s−2
’dir. Bu iki yasa birbirlerine e¸sitlenir ve eksenlere g¨ore a¸cınımı yapılırsa uydunun temel hareket denklemi,
¨
r = −GMr3 r (4.4)
bulunur. (4.4) e¸sitli˘gi uydunun k¨utlesinin ihmal edildi˘gi, yerin gravite alanının simetrik oldu˘gu ve yerin bir nokta kitle olarak varsayılmasıyla elde edilir. Burada r uydunun yermerkezli konum vekt¨or¨un¨u, ¨r konum vekt¨or¨un¨un ikinci t¨urevini yani ivmeyi, r ise uydu ve yer arasındaki mesafeyi ifade eder.
Hareket denklemi ikinci dereceden ¨u¸c boyutlu bir diferansiyel denklemdir. Hareket denklemi ¨uzerinden uydunun y¨or¨ungesini tanımlamak i¸cin altı integrasyon
sabitine ihtiya¸c duyulur. Genel olarak bu altı parametre Kepler y¨or¨unge parametreleri veya kısaca Kepler elemanları olarak isimlendirilir (S¸ekil 4.2). Bu parametreler; Ekvator Düzlemi
z
x
y
UyduΩ
ν
ω
i
r
Günberi Ω a(1-e)S¸ekil 4.2. Kepler elemanları
a y¨or¨unge elipsinin b¨uy¨uk yarı ekseni,
e y¨or¨unge elipsinin dı¸smerkezli˘gi veya eksantrisitesi, i y¨or¨unge d¨uzleminin e˘gimi,
Ω ¸cıkı¸s d¨u˘g¨um¨un¨un boylamı,
ω g¨unberi uzaklı˘gı veya perige arg¨umanı ve ν ger¸cek anomali de˘geri
olarak ifade edilir. Uydu y¨or¨ungesi Kepler elemanları yardımıyla tanımlanabilir. Bu y¨ontemde uydunun konum ve hız bile¸senleri her epok i¸cin ayrı ayrı hesaplanır. Matematiksel e¸sitlikleri EK A’da verilen bu hesaplama tekni˘gine Kepler efemeris hesabı denir (Swatschina, 2009).
Yukarıda s¨oz edildi˘gi gibi (4.4) e¸sitli˘gi, yer gravite alanının homojen oldu˘gu, yerin bir nokta kitle olarak alındı˘gı ve uydu k¨utlesinin yerin k¨utlesine g¨ore ¸cok k¨u¸c¨uk oldu˘gu varsayımından hareketle elde edilir. Fakat, durum ger¸cekte b¨oyle de˘gildir. Yer gravite alanı homojen bir yapıda olmadı˘gından uydular (¨ozellikle al¸cak-y¨or¨ungeli) ¨uzerindeki ¸cekim etkisi ¸cok d¨uzensizdir. Ayrıca, bu d¨uzensiz etkiye
gravite alanı ile ili¸skili olmayan kuvvetlerde karı¸sır. Bu y¨uzden temel hareket denklemi (Kepler y¨or¨ungesi) ger¸cek uydu y¨or¨ungesinin sadece ilk yakla¸sımı olarak kabul edilir (Seeber, 2003).