”
“
S›ra Sizde 1
1.Hilesiz bir para ve hilesiz bir zar›n birlikte at›lmas›
deneyinin sonuçlar›, paran›n yaz› (Y) veya tura (T) gel-mesi, zar›n 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelmesi durumuna göre flekil-lenir. Örne¤in, para tura ve zar 1 gelebilir, bu sonuç T 1, fleklinde ve di¤er sonuçlar benzer flekilde
gösterildi-¤inde, para ve zar atma deneyinin örnek uzay›
S= {T1, T2, T3, T4, T5, T6, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 } biçiminde olur.
a)Bu deneye iliflkin Venn flemas› ve a¤aç diyagram›
afla¤›daki flekildeki gibidir.
fiekil 3.12. Bir para ve bir zar›n birlikte at›lmas› deneyi-nin örnek uzay›: (a) Venn flemas›, (b) A¤aç diyagram›
b)S= {T1, T2, T3, T4, T5, T6, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 } ve S‘nin her bir sonucu basit olayd›r. Örne¤in A= {Paran›n tura, zar›n 3 gelmesi}= {T3} basit olaya örnektir. Birden çok sonuçtan oluflan bileflik olaya ise
B= {Zar›n çift gelmesi}= {T2, T4, T6, Y2, Y4, Y6 } olay›
örnek olarak verilebilir.
2.Bu deney üç kez para at›lmas› deneyine benzer ola-rak düflünülebilir. Deneyin üç aflamas›nda De¤iflikli¤i onaylamas› (D) ve De¤iflikli¤i onaylamamas› (O) biçi-minde iki sonuç olacakt›r. Üç kiflinin verece¤i tüm ola-s› cevaplar›n oluflturdu¤u küme
S= {DDD, DDO, DOD, ODD, DOO, ODO, OOD, OOO } biçiminde olur. Örnek uzay›n eleman say›s› 8 olarak el-de edilir. Bir sonraki bölümel-de görece¤imiz, sayma ku-ral› yard›m›yla örnek uzay›n eleman say›s› 2.2.2= 8 flek-linde de hesaplanabilir. Bu deneyin örnek uzay› a¤aç diyagram› yard›m›yla afla¤›daki flekilde elde edilmifltir.
3.Hilesiz iki zar atma deneyinin örnek uzay› S= {(1,1), (1,2),..., (6,6)} olacak flekilde 36 örnek noktadan oluflur.
A olay›, “en az bir zar›n 1 gelmesi” olay› “bir zar›n 1 gelmesi” ve “iki zar›n 1 gelmesi” olaylar›n› içerir.
A= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}
fleklindedir.
S›ra Sizde 2
1.Yaln›z kendisine ve 1’e bölünen say›ya asal say› den-mektedir. Ayr›ca en küçük asal say› 2 kabul edilir. Böy-lece
A= {2, 3, 5, 7, 11, 13} biçiminde, B olay› ise B= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} biçiminde olur.
a) A ve B olaylar›n›n ortak örnek noktas› 2 oldu¤undan dolay›, A∩B= {2} dir.
b) A ve B olaylar›n›n ortak örnek noktas› oldu¤undan dolay› ayr›k de¤illerdir.
2. Hilesiz bir paran›n üç kez at›lmas› deneyinin örnek uzay›
S= {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT } biçimin-de olur.
A olay› “en az bir tura gelmesi” ise
A olay› “bir tura gelmesi”, “iki tura gelmesi” ve “üç tura gelmesi” olaylar›n› içerir. Böylece
A= {YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT }
B “en az iki yaz› gelmesi” olay›, “iki yaz› gelmesi”, “üç yaz› gelmesi” olaylar›n› içerir.
B= {YYT, YTY, TYY, YYY }
C, “en çok iki yaz› gelmesi” olay›, “hiç yaz› gelmemesi”,
“bir yaz› gelmesi” ve “iki yaz› gelmesi” olaylar›n› içerir.
Dolay›s›yla
C= {TTT, YTT, TYT, TTY, YYT, YTY, TYY } D, “üç paran›n da ayn› yüzünün gelmesi”
D= {YYY, TTT } fleklinde olur.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
T
A∩B= {YYT, YTY, TYY} ve C∪D= {TTT, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, YYY }= S
3.Hilesiz bir zar at›lmas› deneyinde, A olay› çift say›
gelmesi ve B olay› 3’ten (3 dahil) büyük say› gelmesi olaylar› ise A= {2, 4, 6} ve B= {3, 4, 5, 6} biçimindedir.
a) A∩B= {4, 6} yani A∩B≠ ∅ oldu¤undan A ve B olay-lar› ayr›k de¤illerdir.
b) A’n›n tümleyeniA_ = {1, 3, 5} ve B’nin tümleyeni B_
= {1, 2} fleklinde olur.
c) Bu örnek uzayda bütüne tamamlay›c› iki olay C ve D olsun.
C ∩D= ∅ ve C ∪D= S olmal›d›r. Bu koflullar› sa¤layan pek çok C ve D olaylar› tan›mlanabilir. Örne¤in, C ={1, 2, 3, 4, 5} ve D= {6} fleklinde tan›mlanan C ve D bütüne tamamlay›c› iki olayd›r.
S›ra Sizde 3
1.Hilesiz iki para ve hilesiz iki zar at›fl› deneyinin ör-nek uzay›n›n eleman say›s›, sayma kural› yard›m›yla 2. 2. 6. 6=144’ tür.
2. “5” say›da farkl› eleman aras›ndan “2” elemanl› fark-l› grup say›s› kombinasyon yard›m›yla
olarak bulunur.
‹statistik kulübünün 5 üyesi aras›ndan matematik kulü-bü için 2 kifli 10 farkl› flekilde seçilebilir.
3.Projeyi yönetmek için 3 çal›flan, yard›mc› olabilecek 4 çal›flan oldu¤una göre, flirket yöneticisi bir proje yö-neticisi ve yard›mc›s›n›, çarpma kural› yard›m›yla 3.4=
12 farkl› flekilde seçebilir.
S›ra Sizde 4
1.Hileli bir zar 1000 kez at›lm›fl 10 kez 6 geldi¤i göz-lenmifl ise göreli s›kl›k tan›m›na göre
ve
’dir
2.Olaylar,
A: Rastgele seçilen ilk ürünün kusurlu olmas›
A_
:Rastgele seçilen ilk ürünün kusursuz olmas›
fleklinde tan›mlan›r.
a) Kusurlu olmas› olay›n›n olas›l›¤›
’dir.
b) A ve A_
olaylar› bu deneyin örnek noktalar› yani ba-sit olaylar›d›r. Dolay›s›yla bu olaylar ayr›k ve bütüne ta-mamlanan olaylar oldu¤undan kusurlu veya kusursuz olmas› olay›, Tablo 3.4’teki veriler kullan›larak
’dir.
3. Hilesiz iki para deneyinin örnek uzay› S= {YY, YT, TY, TT } olacak flekildedir. Tüm örnek noktalar eflit ola-s›l›¤a sahip ve olas›l›¤› ’tür.
A= {YY } ve B= {YY, YT, TY }
fleklindedir. A∪B= {YY, YT, TY } A∩B = {YY } dir.
’tir.
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar
Anderson D.R., Sweeney D.J., Williams T.A. (2005).
Statistics for Business and Economics, China:
Thomson-South-Western.
Akdeniz F. (2007). Olas›l›k ve ‹statistik, Adana: Nobel Kitapevi.
Ben M., Levy H. (1983). Business Statistics Fundamentals and Applications, New York, USA:
Random House Inc.
McClave J.T., Benson P.G., Sincich T. (2001). Statistics for Business and Economics, New Jersey, USA:Prentice-Hall Inc.
Yüzer A. (1996). Olas›l›k ve ‹statistik, Eskiflehir:
Anadolu Üniversitesi Yay›nlar›.
Yüzer A.,A¤ao¤lu E., Tatl›dil H., Özmen A., fi›klar E.
(2006). ‹statistik, Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi, Aç›kö¤retim Fakültesi Yay›nlar›.
P(A ) =3 P A B gelmemesi olayı 1000
P({6 }) = 10 gelmesi olayı 1000 5
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Koflullu olas›l›klar› hesaplayabilecek, Bileflik olas›l›klar› hesaplayabilecek,
Ba¤›ms›z olaylara iliflkin olas›l›klar› hesaplayabilecek, Ba¤›ms›z ve ayr›k olaylar aras›ndaki fark› ay›rt edebilecek, Olaylar›n birlefliminin olas›l›¤›n› hesaplayabileceksiniz.
‹çindekiler
• Olas›l›k
• Koflullu Olas›l›k
• Bileflik Olas›l›k
• Ba¤›ms›z Olaylar
• Ba¤›ml› Olaylar
• ‹ki Olay›n Birlefliminin Olas›l›¤›
Anahtar Kavramlar Amaçlar›m›z
N N N N N
‹statistik-I Olas›l›k II
• G‹R‹fi
• KOfiULLU OLASILIK VE ÇARPMA KURALI
• OLAYLARIN B‹RLEfi‹M‹N‹N OLASILI⁄I
4
G‹R‹fi
Bir önceki bölümde olas›l›k kavram› ve olas›l›k hesaplama kurallar› anlat›ld›. Ha-t›rlanaca¤› gibi bir deneyin en temel sonucu olan örnek noktan›n olas›l›¤› ve bir A olay›n›n olas›l›¤› tan›mland›. Bu bölümde, ilk olarak bir B olay›n›n bilinmesi duru-munda A olay›n›n olas›l›¤›, yani koflullu olas›l›k üzerinde durulacak ve konunun izleyen alt bölümlerinde ba¤›ms›z ve ba¤›ml› olaylar ele al›nacakt›r. Daha sonraki bölümde ise olaylar›n birlefliminin olas›l›¤›n› bulmada kullan›lan toplama kural›n-dan söz edilecek ve tüm verilen konulara iliflkin çeflitli örnekler çözülecektir.
1. Bir hastanede çal›flan 5 evli doktor çiftten (çiftlerin her ikisi de doktor olmak üzere) rastgele (rassal olarak) ikisi hastane baflhekimi ve yard›mc›s› görevlerine seçilecektir. Se-çilen iki doktorun evli bir çift olmas› olas›l›¤› nedir?
2. Bir s›n›fta 22’si k›z olmak üzere 50 ö¤renci bulunmaktad›r. Bu s›n›ftan rassal olarak bir s›n›f baflkan› seçilecektir. Bu ö¤rencinin erkek ö¤renci olmas› olas›l›¤› nedir?
3. Bir kutudaki bilyelerin %40’› siyah, %60’› k›rm›z›d›r. Buna göre, bu kutudan rassal ola-rak çekilen 50 bilyeden kaç tanesinin k›rm›z› olmas› beklenir?