Bir firma yetkilisi, piyasadaki bir ürünü hakk›nda tüketicisinin be¤enisini araflt›r-mak istemektedir. Bunun için ürünü kullanan rastgele bir tüketici seçer ve ürünü
Olas›l›k I
be¤enip be¤enmedi¤ini sorar. Yetkilinin bu eylemi rassal deneye örnek iken, tü-ketici ürünü be¤enmektedir.”, “Tütü-ketici ürünü be¤enmemektedir.” ve “Tütü-keticinin ürün hakk›nda hiçbir fikri yoktur.” fleklindeki sonuçlar ise deneyin sonuçlar›d›r.
Bu gözlem bilgisi sonuçlar›na deneyin en temel sonuçlar›, bu sonuçlar›n tamam›-na ise deneyin örnek uzay› ad› verilmektedir.
Böylece, iyi tan›mlanm›fl çeflitli gözlemler üreten eylem veya sürece rassal de-ney denmektedir. Rassal dede-neyin en temel sonucuna örnek nokta ve rassal dede-ney sonucunda karfl›lafl›lmas› muhtemel tüm örnek noktalar›n oluflturdu¤u kümeye ör-nek (örör-neklem) uzay denir ve örör-nek uzay S sembolü ile gösterilir.
Örnek 1:
a) Hilesiz (Dengeli ve düzgün) bir para at›lmas› deneyi ele al›ns›n. Y=Yaz› ve T=Tura olmak üzere, bu deneyin en temel sonuçlar›, Y ve T d›r. Bir baflka deyiflle, bu deneydeki örnek noktalar Y ve T d›r. Deneyin örnek uzay›, örnek noktalar›n tü-münün oluflturdu¤u küme oldu¤undan S={Y, T } olur.
b) Hilesiz bir zar at›lmas› deneyinin ise alt› muhtemel sonucu vard›r. Bunlar;
1, 2, 3, 4, 5 ve 6 d›r. 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 ayn› zamanda bu deneydeki örnek noktalar olup, deneyin örnek uzay› S={1,2,3,4,5,6} fleklindedir.
Örnek uzay›n her alt kümesine olay denir. Bu durumda, olaylar örnek noktalar-dan oluflmaktad›r. Olaylar genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilmektedir.
Örnek 2:Örnek 1 (b)’de verilen zar deneyi için iki olay A: Üste gelen say›n›n çift olmas› ve
B: Üste gelen say›n›n en az 5 olmas›
fleklinde tan›mlans›n. Bu durumda, A olay› 2, 4 ve 6 örnek noktalar›ndan; B ola-y› ise 5 ve 6 örnek noktalar›ndan oluflur. Bir baflka ifade ile
A={2,4,6} ve B={5,6} d›r.
E¤er olay tek bir örnek noktadan olufluyorsa basit (elemanter) olay, birden çok örnek noktadan olufluyorsa bileflik olay ad›n› almaktad›r.
Örnek 3: Afla¤›da baz› deneyler, bu deneylerin örnek uzaylar› ve tan›mlanm›fl çeflitli olaylar verilmifltir.
a) Deney : Hilesiz paran›n bir kez at›lmas›
Örnek noktalar : Yaz› (Y) ve Tura (T) Örnek Uzay : S={Y,T }
A olay› : Yaz› gelmesi
Bu deneyde, A= {Y } oldu¤u aç›kt›r. A olay›, tek bir örnek noktadan olufltu¤un-dan basit olaya örnektir.
b) Deney : Hilesiz paran›n iki kez at›lmas›
Örnek noktalar : YY, YT, TY, TT Örnek Uzay :S={YY, YT, TY, TT } B olay› : En az bir yaz› gelmesi
Paran›n iki kez at›lmas› deneyinde Y= Yaz› ve T= Tura olmak üzere, deneyin dört sonucu
YY= Birinci ve ikinci at›flta yaz› gelmesi,
YT= Birinci at›flta yaz› ve ikinci at›flta tura gelmesi, TY= Birinci at›flta tura ve ikinci at›flta yaz›,
TT= Birinci ve ikinci at›flta tura gelmesi fleklinde gösterilirse, örnek uzay
S= {YY, YT, TY, TT }
olur. B olay›, “en az bir yaz› gelmesi” olarak tan›mland›¤›ndan, B= {YY, YT, TY } bi-çiminde olur. Dolay›s›yla, B olay›, üç örnek noktadan olufltu¤u için bileflik olaya örnektir.
c) Deney : Bir kutuda 1’den 50’ye kadar numaralanm›fl toplardan bir top seçimi
Örnek noktalar :1,2,...,50 Örnek Uzay : S= {1,2,...,50}
C olay› :Seçilen topun çift say› ile numaralanm›fl top olmas›
Rastgele bir top seçimi deneyinde olas› sonuçlar yani örnek noktalar› 1,2,...,50 fleklindedir.
C olay›, “Seçilen topun çift say› ile numaralanm›fl top olmas›” olarak tan›mlan-d›¤› için, C = {2,4,...,50} olur. C olay›, 25 örnek noktadan olufltu¤u için bileflik ola-ya örnektir.
Örnek uzay, sonlu ya da say›labilir sonsuz say›da örnek noktadan olufluyorsa bu örnek uzaya kesikli örnek uzay denir. Yukar›da verilen örnek uzaylar kesikli örnek uzay örnek-leridir. E¤er örnek uzay (a,b) aral›¤› ya da bu aral›klar›n birleflimi gibi ise sürekli örnek uzay ad›n› almaktad›r. Sürekli örnek uzaylar, genellikle uzunluk, a¤›rl›k, h›z gibi ölçüm deneylerinde ortaya ç›karlar.
Bir deneyin örnek uzay› venn flemas› ile gösterilip, a¤aç diyagram› ile de olufl-turulabilmektedir. Venn flemas›nda, örnek uzay›n örnek noktalar› kapal› bir flekil içinde birer nokta olarak gösterilir. A¤aç diyagram› ise bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlar›n› göstermede kullan›lan bir grafiktir.
Örnek 4:Hilesiz bir paran›n iki kez at›lmas› deneyi tekrar ele al›ns›n.
a) Venn flemas› ile deneyin örnek uzay›n› gösterip, a¤aç diyagram› yard›m›yla deneyin örnek uzay›n› oluflturunuz.
b) Bu deneyde tüm basit olaylar› belirtiniz. Ayr›ca bu deneye iliflkin iki olay A : En çok bir paran›n yaz› gelmesi,
B : Her iki paran›n da yaz› gelmesi
olarak tan›mlanmaktad›r. Bu olaylar hangi örnek noktalar›ndan oluflur? Bu olay-lar› basit ya da bileflik olarak s›n›fland›r›n›z.
Çözüm:
a) Y=Yaz› ve T=Tura olmak üzere, bu deneyin dört sonucu yani örnek nokta-lar›
YY= Birinci ve ikinci at›flta yaz› gelmesi,
YT= Birinci at›flta yaz› ve ikinci at›flta tura gelmesi,
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
TY= Birinci at›flta tura ve ikinci at›flta yaz›, TT= Birinci ve ikinci at›flta tura gelmesi fleklinde gösterilirse, örnek uzay›
S= {YY, YT, TY, TT }
fleklinde olacakt›r. Bu örnek uzay, venn flemas› yard›m›yla fiekil 3.1. (a)’da ve a¤aç diyagram› yard›m›yla fiekil 3.1 (b)’de gösterilmektedir. fiekil 3.1. (a)’da venn flema-s›nda kapal› bir e¤ri içinde sonuçlar iflaretlenir. fiekil 3.1. (b)’deki a¤aç diyagram›n-da ise ayn› noktadiyagram›n-dan bafllayan iki diyagram›n-dal ve diyagram›n-dallar›n sonuna sonuçlar, deneyin ikinci aflamas›nda iki dal daha ve dallar›n sonuna sonuçlar eklenir.
b) Bu deneyde ortaya ç›kan dört örnek nokta, bu deneyin basit olaylar›d›r. Bu örnek noktalar s›ras›yla E1, E2, E3ve E4 fleklinde gösterilirse
E1= YY, E2= YT, E3= TY ve E4= TT
olur. Bu bilgiler ›fl›¤›nda; A ve B olaylar› afla¤›da gösterildi¤i gibi elde edilir.
A olay›, “en çok bir paran›n yaz› gelmesi” olarak tan›mland›¤›ndan A olay›, hiç ya-z› gelmemesi ve bir yaya-z› gelmesi sonuçlar›n› içerir. Dolay›s›yla, A= {YT, TY, TT } olur.
B olay› “her iki paran›n da yaz› gelmesi” olarak tan›mland›¤›ndan B= {YY } olur.
Birden fazla örnek noktadan oluflan A bileflik olay iken B basit olayd›r.
Örnek 5:Bir ö¤renci e¤itim-ö¤retim y›l›n›n ilk döneminde Sanat Tarihi (T) ya da Beden E¤itimi (B) derslerinden yaln›zca birini, ikinci döneminde ise Halk danslar› (H) ya da Salon Danslar› (S) derslerinden yaln›zca birini seçmeli ders olarak seçmek zorundad›r. Bu durumda,
a) Ö¤renci kaç farkl› ders seçimi yapabilir?
b) Venn flemas› ile deneyin örnek uzay›n› gösterip, a¤aç diyagram› yard›m›y-la deneyin örnek uzay›n› oluflturunuz.
c) Bu deneye iliflkin S
YY
•YY
•YT •TY
•TT YT
TT
TY T
Y 1. At›fl
Sonucu 2. At›fl Sonucu
(a) (b)
fiekil 3.1 Bir paran›n iki kez at›lmas› deneyinin örnek uzay›: (a) Venn flemas›, (b) A¤aç diyagram›.
A : Ö¤rencinin ilk dönem Sanat Tarihi dersini seçmesi olay› hangi örnek noktalardan oluflur, listeleyiniz.
Çözüm:
a) Bu deney, iki kez para at›lmas› deneyine benzer olarak düflünülebilir. Ancak deneyin ilk aflamas›nda Sanat Tarihi (T) ve Beden E¤itimi (B) biçiminde iki sonuç, ikinci aflamas›nda Halk Danslar› (H) ve Salon Danslar› (S ) biçiminde iki sonuç var-d›r. Bu deneyin sonuçlar›;
TH = ‹lk dönem Sanat Tarihi ve ikinci dönem Halk Danslar› seçilmesi, TS = ‹lk dönem Sanat Tarihi ve ikinci dönem Salon Danslar› seçilmesi, BH= ‹lk dönem Beden E¤itimi ve ikinci dönem Halk Danslar› seçilmesi, BS = ‹lk dönem Beden E¤itimi ve ikinci dönem Salon Danslar› seçilmesi fleklinde gösterilirse, örnek uzay›
S= {TH, TS, BH, BS }
biçiminde olur. Dolay›s›yla 4 farkl› seçim yapabilir.
b) Bu deneyin örnek uzay› fiekil 3.2 (a) Venn flemas› ve (b) A¤aç diyagram›
fleklinde gösterilmifltir. Sonuç olarak, ö¤renci 4 farkl› seçim yapabilir.
c) A olay›, “ö¤rencinin ilk dönem Sanat Tarihi dersini seçmesi” olarak
tan›mland›-¤›ndan
A= {TH, TS } olur.
Örnek 6:Dört farkl› banka (X, Y, Z, U) müflterilerine, sabit (S) oranl› veya
de-¤iflken (D) oranl› olmak üzere ev kredisi teklif etmektedir. Bu durumda, a) Bir müflteri kaç farkl› ev kredisi seçimi yapabilir?
b) A olay›, “bir müflterinin sabit oranl› kredi seçmesi” olarak tan›mlan›rsa A olay› hangi örnek noktalar›ndan oluflur, listeleyiniz.
fiekil 3.2
S
TH
•TH
•BH •BS
•TS TS
BH
BS B
T 1. Seçim
(a) (b)
2. Seçim Ö¤rencinin ders
seçimi deneyinin örnek uzay›: (a) Venn flemas›, (b) A¤aç diyagram›.
Çözüm:
a) Müflterinin yapaca¤› seçimler “XS=X bankas›n› ve sabit oranl› (S) kredi seç-mesi” fleklinde listelenirse ortaya ç›kacak olas› tüm sonuçlar
S= {XS, XD, YS, YD, ZS, ZD, US, UD }
fleklinde olur ve müflteri 8 farkl› seçim yapabilir. fiekil 3.3’te deney sonuçlar› venn flemas› ve a¤aç diyagram› ile gösterilmektedir.
b) Bir müflterinin sabit oranl› kredi seçmesi A olay› ile gösterilirse;
A= {XS, YS, ZS, US } biçimindedir.
1. Hilesiz bir para ve hilesiz bir zar›n birlikte at›lmas› deneyi ele al›ns›n.
a) Bu deneye iliflkin örnek uzay› venn flemas› ile gösteriniz ve a¤aç diyagram› yard›m›yla oluflturunuz.
b) Bu deneyde basit olay ve bileflik olay örne¤i veriniz.
2. Bir firma, çal›flanlar› aras›ndan 3 kifliye, gelecek y›l yönetimde yapacaklar› belli bir
de-¤iflikli¤i onaylay›p onaylamad›¤›n› soracak olursa toplam kaç olas› sonuçla karfl›laflabilir.
Bu deneyin örnek uzay›n› a¤aç diyagram› yard›m›yla oluflturunuz.
3. Art arda iki zar at›lmas› deneyinde A olay›, “en az bir zar›n 6 gelmesi” ise A olay› han-gi örnek noktalardan oluflur listeleyiniz.
S
• XS
• YS
• ZS
• US
• XD
• YD
• ZD
• UD
X
Y
Z
U UD
US ZD ZS YD YS XD XS 1. Seçim 2. Seçim
(a) (b)
fiekil 3.3 Müflterinin banka ve kredi seçimi deneyinin örnek uzay› (a) Venn flemas› (b) A¤aç diyagram›
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T