Olaylar ve Olas›l›klar›
5. A olay› içindeki bütün örnek noktalar›n olas›l›klar›n› topla
Örnek 18:Hilesiz bir zar at›fl›nda iki olay A : Gelen say›n›n tek olmas›
B : Gelen say›n›n bir olmamas›
fleklinde tan›mlans›n. A ve B olaylar›n›n olas›l›¤› kaçt›r?
P(A) = n nA P A P Ei
( ) =Ei A∑∈
( )
P E
( )
= 400 1000 = 0.4Sonuç Görülme Sıklığı
1 50
2 200
3 400
4 250
5 30
6 70
Tablo 3.3 Hileli zar atma deneyi sonuçlar› ve görülme s›kl›¤›
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
Çözüm:Bu deneyde 6 tane sonuç, bir baflka deyiflle, 6 örnek nokta vard›r. Bu durumda, n=6’d›r. Tüm örnek noktalar eflit olas›l›kl›d›r; çünkü her bir örnek nok-tan›n ortaya ç›kma olas›l›¤› 1/6’d›r.
A={1,3,5} olup, A olay› 3 örnek noktadan oluflmaktad›r. A olay›n›n olas›l›¤›
olarak bulunur.
B={2,3,4,5,6} olup, B olay› 5 örnek noktadan oluflmaktad›r. Böylece B olay›n›n olas›l›¤›
’tür.
Öte yandan, olaylar için klasik olas›l›k tan›m›na göre ( ) göre istenen olas›l›klar: A olay› içindeki örnek noktas› say›s› nA=3, örnek uzaydaki tüm örnek noktalar› say›s› n=6 olmak üzere
ve benzer olarak B olay› içindeki örnek noktas› say›s› nB=5, örnek uzaydaki tüm örnek noktalar› say›s› n=6 olmak üzere
olarak bulunur.
Örnek 19:Hilesiz bir zar at›fl›nda, A : Gelen say›n›n tek olmas›
B : Gelen say›n›n çift olmas›
fleklinde iki olay tan›mlans›n. A veya B olay›n›n olas›l›¤› kaçt›r?
Çözüm:Zar deneyinin örnek uzay› S={1,2,3,4,5,6} oldu¤undan 6 örnek nokta-ya sahiptir. Bu durumda, n=6’d›r. Tüm örnek noktalar eflit olas›l›¤a sahiptir ve her bir örnek noktan›n ortaya ç›kma olas›l›¤› 1/6’d›r. Aç›kt›r ki, A={1,3,5} ve B={2,4,6}
fleklindedir. Bu durumda, A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup dir. Öte yandan, A∪B = S oldu¤undan P (S)=1’dir.
Örnek 20:Hilesiz bir para iki kez at›ld›¤›nda, A : En az bir paran›n yaz› gelmesi,
B : En çok iki paran›n da tura gelmesi, C : Her iki paran›n da yaz› gelmesi
olaylar› tan›mlans›n. Bu olaylar›n olas›l›klar›n› hesaplay›n›z.
P A B( ) = 1
6+ ... + 1 6 = 1
∪ P B n
n ( ) = B 5
6= 0.833
= P A n
nA
( ) = 3
6 = 0.5
=
n nA P B( ) = 1
6+1 6+ 1
6+ 1 6+1
6= 5
6= 0.833 P A( ) = 1
6+1 6+ 1
6= 0.5
S
A B
• 1
• 3
• 5
• 2
• 4
• 6 fiekil 3.9
S örnek uzay›, A ve B olaylar›n›n örnek noktalar›
Çözüm: Bu deneyde ortaya ç›kan dört örnek nokta bu deneyin basit olaylar›-d›r. Bu örnek noktalar s›ras›yla E1, E2, E3ve E4fleklinde gösterilirse
E1=YY, E2=YT, E3=TY ve E4=TT
olur ve deneyin örnek uzay› S={YY, YT, TY, TT} biçimindedir. Bir paran›n iki kez at›lmas› deneyinde tüm örnek noktalar eflit olas›l›¤a sahiptir. Deneyin sonuç say›-s› n=4 oldu¤undan dolay›say›-s›yla her bir örnek noktan›n olasay›-s›l›¤› 1/4’tür.
A olay›, “en az bir paran›n yaz› olmas›” olarak tan›mland›¤›ndan A olay›, bir yaz›
ve iki yaz› gelmesi sonuçlar›n› içerir. Dolay›s›yla, A={YY,YT,TY} ve A={E1,E2,E3} olur. Böylece
tür.
Di¤er bir çözüm, A olay›n›n klasik olas›l›k tan›m›: deneyin toplam sonuç say›s› n, A olay›n›n sonuç say›s› nAise A olay›n›n olas›l›¤›
tür.
B olay›, “en çok iki paran›n da tura olmas›” olay› ise hiç tura gelmemesi, bir tura gelmesi ve iki tura gelmesi olaylar›n› içerir. Dolay›s›yla, B={YY,YT,TY,TT } veya
B={E1, E2, E3, E4}=S Böylece
olur.
Öte yandan B olay›n›n içinde nB=4 say›da örnek nokta vard›r ve B olay›n›n klasik olas›l›k tan›m›na göre olas›l›¤›:
Ayr›ca B olay› S örnek uzay› oldu¤una göre P (S)=1’dir.
C olay› “her iki paran›n da yaz› gelmesi” olarak tan›mland›¤›ndan C={YY } olur.
’tür.
Örnek 21:Bir deneyin örnek uzay› A ile B olaylar› venn flemas› fleklinde fiekil 3.10’da verilmifltir.
P(0)=P(1)= P(2)= P(3)= 1/30; P(4)= P(5)= 1/30; P(6)= P(7)= P(8)= P(9)=4/30 ve P(10)=8/30 fleklinde verilsin. Bu durumda, afla¤›daki olas›l›klar› hesaplay›n›z.
P(C) = ( ) =P 1
1 4 E P B = n
nB
( ) = 4
4 = 1
P(B) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) =P E P E P E P E 1 4+ 1
4+ 1 4+1
4= 1
1 2 3 4
P A n nA ( ) = = 3
4
P(A) = ( ) + ( ) + ( ) =P E P E P E 1 4+ 1
4+ 1 4 = 3
1 2 3 4
P E( ) = ( ) = ( ) = ( ) =P E P E P E 1
1 2 3 4 4
a) P (A)
f) Tüm örnek noktalar eflit olas›l›¤a sahip olsa idi A∩B olay›n›n olas›l›¤› ne olurdu?
Çözüm:Bu örnekte, tüm örnek noktalar›n eflit olas›l›¤a sahip olmad›¤›na dik-kat edilmelidir.
a) A olay›n›n örnek noktalar›n›n {5,6,7,8} oldu¤u fiekil 3.9’dan görülmektedir.
olarak elde edilir.
b) B olay›n›n örnek noktalar› {5,9,10} dur. B_
olay›, B olay›n›n tümleyeni
oldu-¤una göre
fleklindedir.
c) A={5,6,7,8} ve A_
={0,1,2,3,4,9,10} dir. Aç›kt›r ki, A∪ A_
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} d›r.
Buradan, A∪ A_
= S oldu¤u görülür. Bu durumda, P (A∪ A_
)=P (S)=1 elde edilir.
d) Hem A’da hem de B’de olan örnek noktalardan oluflan olay A∩B’dir. Bu olay, fiekil 3.10’daki arakesite karfl›l›k gelen bölümde ifade edilmektedir. Dolay›s›yla,
A∩B={5} oldu¤undan bulunur.
e) P ( A_
∩ B) hesaplayabilmek için önce A_
∩B’nin örnek noktalar›n›n belirlen-mesi gerekir. A_
={0,1,2,3,4,9,10} ve B={5,9,10} ise hem A_
’da hem de B’de olan ör-nek noktalar oluflan küme A_
∩B={9,10} dur. Bu durumda, olarak hesaplan›r. B olaylar›n›n örnek noktalar›
A olay›n›n olas›l›¤›, A içindeki bütün örnek noktalar›n›n olas›l›klar›
toplam›na eflittir.
f) Tüm örnek noktalar› eflit olas›l›¤a sahip olsa idi 11 örnek nokta oldu¤u için olurdu ve
olarak hesaplan›rd›.
Örnek 22:Bir deneyin örnek uzay›, dört örnek noktadan oluflmaktad›r.
Afla¤›daki tabloda örnek noktalar ve bunlar›n olas›l›klar› verilmektedir.
Olaylar:
A={1,2,3}; B={2} fleklinde tan›mlans›n.
a) A ve B olaylar›n› venn flemas› içerisinde gösteriniz.
b) P (A∪B) ve P (A∩B) olas›l›klar›n› hesaplay›n›z.
c) B⊆A ise P (B) ≤ P (A) oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm:
a) Deneyin örnek uzay› (S) , A ve B olaylar› afla¤›daki flekildeki gibidir.
b) A∪B={1,2,3}=A’d›r.
P (A∪B)= P (1)+ P (2)+P (3)= 0.15+0.25+0.20= 0.60 A∩B={2}’dir.
P (A∩B)= 0.25
c) B⊆A ({2} ⊆ {1,2,3}), P (B)=0.25 ve P (A)=0.60 oldu¤undan P (B)≤P (A) sa¤la-nd›¤› görülür.
Örnek 23:Bir okulda y›l sonu balosunda düzenlenen piyango çekiliflinde bir kiflinin herhangi bir ödül kazanma olas›l›¤› 1/50’dir. Buna göre, bu kiflinin çeki-liflte ödül kazanamama olas›l›¤› nedir?
P( ) = (5) = 1 A B∩ P 11
P(0) = (1) = ... = (10) =P P 1 11
Örnek noktalar Olasılıkları
1 0.15
2 0.25
3 0.20
4 0.40
P(S)=1, P(∅)=0’d›r.
fiekil 3.11
.4 A
.1 .3
.2 B
S S örnek uzay ve A
ve B olaylar›
ÇözümBu deney için bütüne tamamlay›c› iki olay A : Bir kiflinin ödül kazanmas›,
A_
: Bir kiflinin ödül kazanamamas›
fleklinde tan›mland›¤›nda S={A, A_
} dir. Bu durumda, soruda verilenlere göre,
dir. Ayr›ca, P( A_
)+P(A)=1 oldu¤undan
bulunur. Bir baflka deyiflle, bu piyangoda bir kiflinin ödül kazanamama olas›l›¤›
49/50’dir.
Ayr›k olaylar birlikte ortaya ç›kmazlar.
Örnek 24:Belli bir üniversitede Ayfle ve Umut’unda içinde oldu¤u befl kifliden oluflan bir ‹statistik kulübü vard›r. Bu üyeler aras›ndan rastgele 2 kifli Matematik kulübüne seçilecektir. Bu iki kiflinin Ayfle ve Umut olmas› olas›l›¤› kaçt›r?
Çözüm:Bu deneyin örnek uzay›n›n eleman say›s›, “5” farkl› eleman aras›ndan
“2” elemanl› grup say›s›d›r. Dolay›s›yla kombinasyon yard›m›yla
olarak bulunur. 10 deneyin toplam sonuç say›s›d›r
10 say›da 2 elemanl› grup aras›nda “Ayfle ve Umut” bir örnek noktad›r. Buna göre dur.
1. Hileli bir zar 1000 kez at›lm›fl, 10 kez 6 geldi¤i gözlenmifltir. Buna göre, ilk at›lan za-r›n alt› gelmemesi olas›l›¤› nedir?
2. Üretim yapan bir fabrikada belli bir üründen rastgele 500 tanesi seçilmifl ve üretime