Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan sapmalar› dikkate al›narak farkl› de¤ifl-kenlik ölçüleri gelifltirilebilir. Bu noktada ilk akla gelen ortalama sapmad›r, ancak gözlemlerin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n her zaman s›f›ra eflit oldu¤u daha önce verilmiflti. Bu sorunu ortadan kald›rmak için gözlemlerin aritmetik ortalama-dan olan sapmalar›n›n karelerinin toplam›n›n gözlem say›s›na oran› de¤iflkenlik öl-çüsü olarak yorumlanabilir. Bu ölçü varyans olarak adland›r›l›r. Varyans›n karekö-kü standart sapmad›r.
Basit Serilerde Varyans ve Standart Sapma Hesab›
Anakütle için varyans afla¤›daki formülle hesaplan›r:
Anakütle standart sapmas› σ (sigma fleklinde okunur) anakütle varyans›n›n ka-rekökü ile verilir:
Örnek 24: 8 ö¤renciden oluflan bir grup lise 1 ö¤rencisi yabanc› dil e¤itimi için yurt d›fl›na gönderilmifl, döndüklerinde s›nava tabi tutulmufllard›r. Ald›klar›
pu-σ =
( )
∑
= x -Ni i
N µ 2
1 σ2
2
= 1
( )
∑
= x-N
i i
N µ
Sınıflar İşçi sayısı
500 – 600’den az 3
600 – 700’den az 8
700 – 800’den az 15
800 – 900’den az 30
900 – 1000’den az 58
anlar afla¤›da verilmifltir. Ö¤rencilerin ald›klar› puanlara iliflkin varyans› ve stan-dart sapmay› hesaplay›n›z.
Çözüm:
(µ=72.5)
Örneklem varyans› s2, standart sapmas› s ile gösterilir ve afla¤›daki formüllerle hesaplan›r:
Frekans Serilerinde Varyans ve Standart Sapma Hesab›
Frekans serilerinde anakütle için varyans ve standart sapma formülleri afla¤›daki gibidir:
55 -17.5 306.25
62 -10.5 110.25
68 -4.5 20.25
72 -0.5 0.25
75 2.5 6.25
80 7.5 56.25
83 10.5 110.25
85 12.5 156.25
∑ xi= 580 ∑ (xi - µ)= 766
Frekans serilerinde örneklem için varyans ve standart sapma formülleri ise
afla-¤›daki gibi olacakt›r:
Örnek 25: Afla¤›daki tabloda 5 farkl› mühendislik bölümünden rassal olarak seçilen ö¤renciler için mezuniyet puan› ortalamas› ve mezun olan ö¤renci say›la-r› verilmifltir. Buna göre mühendislikten mezun olan ö¤rencilerin mezuniyet pu-anlar›n›n standart sapmas› nedir?
Çözüm:
Mühendislik Fakültesi mezunlar›n›n mezuniyet puan› standart sapmas› 0.065’tir.
s
Bölümler Mezuniyet Puanı
Ortalaması Mezun Olan Öğrenci Sayısı
Endüstri 2.88 58
Elektrik-Elektronik 2.76 32
Bilgisayar 2.82 30
Kimya 2.70 46
Çevre 2.80 45
Bölümler
Endüstri 2.88 58 167.04 0.08 0.0064 0.3712
Elektrik-Elektronik 2.76 32 88.32 -0.04 0.0016 0.0512
Bilgisayar 2.82 30 84.6 0.02 0.0004 0.012
Kimya 2.70 46 124.2 -0.1 0.01 0.46
Çevre 2.80 45 126 0 0 0
Toplam n= 211 590.16 0.8944
Grupland›r›lm›fl Serilerde Varyans ve Standart Sapma Hesab›
Grupland›r›lm›fl seriler için ifllem yaparken verilen formüller gözlem de¤eri xi’nin yerine s›n›f orta noktalar› yaz›lacakt›r. Buna göre anakütle varyans› ve standart sapmas› için formüller
fleklinde olurken örneklem için formüller afla¤›daki gibi tan›mlanacakt›r.
Örnek 26: Bir havaalan›na gelen uçaklardan 100 birimlik bir örneklem seçi-lerek hava ulafl›m›ndaki gecikmeler incelenmifltir. Uçaklar›n gecikme süreleri
afla-¤›daki tabloda verilmifltir. Uçufllar için gecikme sürelerine iliflkin varyans› ve stan-dart sapmay› hesaplay›n›z.
s
Uçakların gecikme
süresi (dk.) Uçak sayısı
0-10 29
0-10 29 5 145 -17.3 299.29 8679.41
10-20 23 15 345 -7.3 53.29 1225.67
20-30 17 25 425 2.7 7.29 123.93
30-40 14 35 490 12.7 161.29 2258.06
40-50 11 45 495 22.7 515.29 5668.19
50-60 6 55 330 32.7 1069.29 6415.74
Toplam n= 100 2230 24371
Çözüm:Gözlemlerin aritmetik ortalamadan olan sapmalar›n›n kareleri topla-m›n› hesaplayaca¤›m›zdan, öncelikle aritmetik ortalama bulunacakt›r.
Uçaklar›n gecikme süresinin aritmetik ortalamas› 22.30 dk., varyans› 246.17 dk.
ve standart sapmas› 15.69 dk. olarak bulunmufltur.
Çok az de¤iflkenli¤e sahip bir veri setinin gözlemlerinin ço¤u, da¤›l›m›n mer-kezine yak›n olacakt›r. Daha de¤iflken bir veri seti için aritmetik ortalamadan olan sapmalar nispeten daha büyük olacakt›r.
En yayg›n olarak kullan›lan de¤ifliklik ölçüsü varyans, asa¤›daki formüllerle de hesaplanabilir;
Frekans serileri için ise formül afla¤›daki gibi yaz›labilir:
Örnek 27: Kareli ortalamas› 12, artitmetik ortalamas› 8 oldu¤u bilinen bir anakütlenin varyans› nedir?
Çözüm:
Anakütlenin varyans› 80’e eflittir.
Kareli ortalamas› 11 aritmetik ortalamas› 10 olan anakütlenin standart sapmas› kaçt›r?
De¤iflim Katsay›s›
Farkl› serilerin de¤iflkenliklerinin karfl›laflt›r›lmas›nda, farkl› birimlerle ölçülmüfl ve-ri setleve-ri söz konusu oldu¤undan standart sapma kullan›fll› de¤ildir. Bunun yeve-rine ilgili serilerin standart sapmalar› serilerin ortalama de¤erinin yüzdesi olarak ifade edilir ve gözlem de¤erlerinin büyüklüklerinden kaynaklanan farkl›l›k ortadan kalk-m›fl olur. Elde edilen bu yeni de¤iflkenlik ölçüsü kullan›larak serilerin birbirlerine göre daha de¤iflken ya da daha homojen olduklar› konusunda yorum yap›labilir.
Anakütle için: D.K.= Örneklem için: D.K.= s
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
Örnek 28: Afla¤›da verilen 2 serinin de¤iflkenli¤ini de¤iflim katsay›s› ile karfl›laflt›r›n›z.
Çözüm:
sx= 5.7
sy= 6.98
x serisinin de¤iflkenli¤i %51.82, y serisinin de¤iflkenli¤i %57.21 olarak hesaplan-m›flt›r. Buna göre y serisinin de¤iflkenli¤i daha fazlad›r.
De¤iflim katsay›s›na göre afla¤›daki serilerden hangisinin de¤iflkenli¤i di¤erine göre daha fazlad›r?
D K y s
yy
. .( ) . .
. . % .
= 100 6 98= =
12 2 100 57 21
D K x s
xx
. .( )= .100 5 7= . . =% . 11 100 51 82 y =12 2.
x =11
xi yi
10 8
15 15
18 20
22 22
25 26
xi yi
4 3
7 7
11 15
15 16
18 20
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
4
Merkezî e¤ilim ve de¤iflkenlik ölçülerini saymak, hangi durumda hangi ölçüyü hesaplaman›z ge-rekti¤ine karar vermek.
Bir veri setinde yer alan de¤erleri tek bir say› ile özetlemek, temsil etmek ve bu yolla yorumla-mak için hesaplanan ölçüler merkezî e¤ilim öl-çüleridir.
Merkezî e¤ilim ölçüleri aras›nda en yayg›n olan›, serinin gözlem de¤erlerinin toplan›p birim say›-s›na oranlanmas›yla hesaplanan aritmetik ortala-mad›r. Kareli ortalama, aritmetik ortalama gibi hesaplanmas›nda tüm birimlerin dikkate al›nd›¤›
bir di¤er ortalamad›r.
Medyan, kartiller ve mod serinin tüm gözlemle-rinin hesaplamaya kat›lmad›¤› merkezî e¤ilim öl-çüleridir. Medyan serinin orta noktas›n›, birinci kartil serinin birinci dördebölenin s›n›r›n›, üçün-cü kartil serinin üçünüçün-cü dördebölenin s›n›r›n›
gösterirken mod en çok tekrarlanan gözlem
de-¤eridir.
Da¤›l›m›n fleklinden söz edebilmek için merkezi e¤ilim öçüleri yetersiz kald›¤›ndan, ayn› zaman-da de¤iflkenlik ölçülerine de baflvurulur. Stan-dart sapma, stanStan-dart sapman›n karesi olan var-yans s›k kullan›lan de¤iflkenlik ölçüleridir. Di¤er de¤iflkenlik ölçüleri aras›nda de¤iflim aral›¤› ve de¤iflim katsay›s› yer al›r.
Herhangi bir veri seti için uygun ortalamay› he-saplay›p yorumlamak.
Merkezî e¤ilim ölçüleri aras›nda en yayg›n ola-rak kullan›lan› aritmetik ortalamad›r. Sadece or-talama denildi¤inde aritmetik oror-talama anlafl›l›r.
Matematiksel özellikleri ve seriyi güzel temsil et-mesi yönüyle tercih edilir.
Varyans›n pratik hesab›nda kullan›lan, hesaplan-mas›nda gözlem de¤erlerinin kareleri dikkate al›nd›¤›ndan her zaman pozitif sonuç veren orta-lama, kareli ortalamad›r.
Serinin uç de¤erler almas› durumunda tüm göz-lemlerin hesaba kat›ld›¤› duyarl› ortalamalar ye-rine, medyan, kartiller, mod gibi duyarl› olma-yan ortalamalar tercih edilmelidir.
Herhangi bir veri seti için uygun de¤iflkenlik öl-çüsünü hesaplay›p yorumlamak.
‹lk akla gelen de¤iflkenlik ölçüleri standart sap-ma ve standart sapsap-man›n karesi olan varyanst›r.
Bu de¤iflkenlik ölçüleri da¤›l›m›n de¤iflkenli¤iyle ilgili özet bilgiyi verirler.
Duyarl› olmayan ortalamalarda oldu¤u gibi seri-nin tüm gözlemleriseri-nin de¤il sadece minimum ve maksimumunun dikkate al›nd›¤› de¤iflkenlik öl-çüsü de¤iflim aral›¤›d›r.
Serilerin birbirlerine göre de¤iflkenli¤ini k›yas-layabilmek
Pratikte incelenen örnek olaylar için birimlerden ba¤›ms›z olarak hesaplanan de¤iflim katsay›s› yar-d›m›yla serilerin birbirlerine göre daha az de¤ifl-ken (homojen) ya da daha çok de¤iflde¤ifl-ken (hete-rojen) olduklar› konusunda yorum yap›labilir.
Özet
N
A M A Ç1N
A M A Ç2N
A M A Ç3N
A M A Ç41. Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesini kazan›p haz›r-l›k okuluna devam eden ö¤rencilerin bölümlerine göre haz›rl›k okulu y›l sonu baflar› puan› ortalamalar› afla¤›-daki gibidir. Fen Fakültesi ö¤rencilerinin haz›rl›k okulu y›l sonu baflar› ortalamas› nedir?
a. 50.50 b. 55.25 c. 58.55 d. 60.55 e. 65.66
2. Bir zar 40 kez at›lm›fl ve afla¤›daki sonuçlar elde edil-mifltir.
Örneklem aritmetik ortalamas›, medyan ve modu he-saplay›n›z.
a. x-=4, Medyan=4.2, Mod=1 b. x-=3.3, Medyan=3, Mod=1 c. x-=4, Medyan=4.2, Mod=2 d. x-=3, Medyan=4, Mod=6 e. x-=3.09, Medyan=4.1, Mod=1
3. Afla¤›dakilerden hangisi minimum gözlem de¤eri 45, maksimum gözlem de¤eri 100, kareli ortalamas› 58 olan serinin aritmetik ortalamas› olabilir?
a. 45 b. 55 c. 65 d. 75 e. 85
4. Afla¤›daki tabloda 50 ö¤rencinin haftal›k harcamala-r› verilmifltir.
Ö¤rencilerin 1 haftal›k harcalamalar›na iliflkin bu veri seti için;
a. Aritmetik ortalamay› hesaplay›n›z.
b. Kareli ortalamay› hesaplay›n›z.
a. x-=144, K=154.15 b. x-=152, K=158.15 c. x-=154, K=154.15 d. x-=154, K=158.15 e. x-=144, K=158.15
5. Afla¤›daki veriler için aritmetik ortalama, medyan ve modu hesaplay›n›z.
11 17 18 10 22 23 15 17 14 13 10 12 18 18 11 14 a. x-=14.62, Mod=10, Medyan=14
b. x-=16.16, Mod=11, Medyan=14 c. x-=17.21, Mod=14, Medyan=14 d. x-=14.13, Mod=14, Medyan=14.5 e. x-=15.19, Mod=18, Medyan=14.5
6. 5. sorudaki verilerde 22 ve 23’ün yerine 42 ve 43’ü gözlemledi¤inizi düflünün. Aritmetik ortalama, medyan ve modu yeniden hesaplay›n. Üç ayr› merkezî e¤ilim ölçüsüne bu afl›r› de¤erlerin etkisini belirtin.
a. Aritmetik ortalama de¤iflmez, Mod=18, Med-yan=14 olur.
b. Aritmetik ortalama de¤iflmez, Mod=17, Med-yan=15 olur.
c. x-=17.69 olarak de¤iflir. Mod ve Medyan de¤iflmez.
d. x-=18.12 olarak de¤iflir. Mod ve Medyan de¤iflmez.
e. x-=19.11 Mod=17 ve Medyan=14.5 olarak de¤iflir.
Kendimizi S›nayal›m
Bölümler Bölümlerin
Başarı Ortalaması
Bölümlerdeki Öğrenci Sayıları
Biyoloji 62 60
Fizik 60 56
İstatistik 68 85
Kimya 65 66
Matematik 70 88
Toplam 355
7. Afla¤›daki ölçümler için mod, medyan ve aritmetik ortalamay› hesaplay›n›z.
10 2 1 5 1 5 7 10 3 4 8 12 5 6 8 9 a. Mod=1, Medyan=5, x-=6
b. Mod=5, Medyan=5.5, x-=6 c. Mod=8, Medyan=6, x-=6 d. Mod=10, Medyan=6, x-=5.5 e. Mod=8, Medyan=5.5, x-=5.5
8. Afla¤›daki frekans tablosunda yer alan veriler için standart sapmay› hesaplay›n›z.
a. 3.44 b. 3.96 c. 5.45 d. 9.45 e. 11.83
9. Afla¤›daki serinin aritmetik ortalamas›n›n 15 oldu¤u bilindi¤ine göre, 5. gözlemin de¤eri nedir?
x1=10 x2=12 x3=14 x4=18 x5= ?
10. Afla¤›dakilerden hangisi bir merkezî e¤ilim ölçüsü de¤ildir?
a. Mod
b. Aritmetik ortalama c. Kareli ortalama d. De¤iflim aral›¤›
e. Medyan
1. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Frekans Serilerinde Aritme-tik Ortalama Hesab›” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.
2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Frekans Serilerinde Aritme-tik Ortalama, Mod ve Medyan Hesab›” konusu-nu yeniden gözden geçiriniz.
3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Varyans ve Standart Sapma Hesab›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Frekans Serilerinde Aritme-tik Ortalama Hesab› ve Frekans Serilerinde Ka-reli Ortalama Hesab›” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.
5.e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Basit Serilerde Aritmetik Ortalama, Mod ve Medyan Hesab›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
6. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Basit Serilerde Aritmetik Ortalama, Mod ve Medyan Hesab›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
7. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Basit Serilerde Aritmetik Ortalama, Mod ve Medyan Hesab›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
8. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Frekans Serilerinde Varyans ve Standart Sapma Hesab›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
9. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Aritmetik Ortalaman›n Özel-likleri” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
10. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Merkezî E¤ilim Ölçüleri”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
Aritmetik ortalama, kareli ortalama, medyan, kartiller ve mod merkezî e¤ilim ölçüleri aras›nda yer almaktad›r.
S›ra Sizde 2
Veri seti içinde bir uç de¤er yer ald›¤›ndan, serideki tüm gözlem de¤erlerinin hesaplamaya kat›ld›¤› aritme-tik ortalama de¤il, duyarl› olmayan ve dolay›s›yla
uçde-¤erlerden etkilenmeyen bir ortalama tercih edilmelidir.
Tekrarlanan gözlem de¤eri bulunmad›¤›ndan modun hesab› da uygun de¤ildir. En uygun merkezi e¤ilim öl-çüsü medyand›r. 5. gözlem de¤eriyle 6. gözlem de¤eri-nin aritmetik ortalamas› medyan› verecektir.
10 üniversite mezununun ayl›k gelirlerinin medyan›
T1400 olarak bulunur.
Medyan = + 1300 1500=
2 1400
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
Aralık Frekans
S›ra Sizde 3
Anakütlenin standart sapmas› 4,58’dir.
S›ra Sizde 4
De¤iflkenli¤in araflt›r›lmas› için her bir seri için ayr› ay-r› de¤iflim katsay›laay-r›n›n hesaplanmas› gerekmektedir.
y serisinin de¤iflim katsay›s› % 38.13 olarak
hesapland›-¤›ndan x serisine göre daha heterojen bir seri oldu¤u söylenebilir.
Akdeniz, F: Olas›l›k ve ‹statistik, 13. Bask›, Adana No-bel Kitabevi, Adana, 2007.
Anderson, D.R., Sweeney, D.J., Williams, T.A.: Essentials of Statistics for Business and Economics, Publishing Company. USA, 1997.
Çömlekçi, N: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri, 2.
Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.
Newbold, Paul: (Çeviren: Ümit fienesen), ‹flletme ve
‹ktisat ‹çin ‹statistik,Literatür Yay›nlar›, ‹stanbul, 2000.
Ott, Lymann: An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis,3rd Edition, Duxbury Series in Statistics and Decision Sciences, 1988
D K x sx x D K y sy
y
. .( ) . . . % .
. .( ) .
= = =
=
100 5 87
18 100 32 61
1000 6 94
18 2100 38 13
= . =
, . % .
σ µ
σ
2 2 2 121 100 21
21 4 58
= − = − =
= =
K .
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Bir deneyin örnek noktalar›n› belirleyebilecek, Bir deneyin örnek uzay›n› oluflturabilecek,
Örnek uzayda basit ve bileflik olaylar tan›mlayabilecek,
Olaylar üzerinde kesiflim ve birleflim ifllemlerini uygulayabilecek,
Kombinasyon ve sayma kural› yard›m›yla örnek uzay›n eleman say›s›n›
hesaplayabilecek,
Olas›l›k ölçüsünün özelliklerini tan›mlayabilecek,
Verilen tan›mlar› kullanarak, bir olay›n olas›l›¤›n› hesaplayabileceksiniz.
‹çindekiler
• Deney
• Örnek Nokta
• Örnek Uzay
• Olay
• Basit Olay
• Bileflik Olay
• Ayr›k Olaylar
• Olas›l›k Hesaplama
Anahtar Kavramlar Amaçlar›m›z
N N N N N N N
‹statistik-I Olas›l›k I
• G‹R‹fi
• DENEY, ÖRNEK NOKTA VE ÖRNEK UZAY
• OLAYLAR ÜZER‹NDE ‹fiLEMLER
• FAKTÖR‹YEL, KOMB‹NASYON VE SAYMA KURALI
• OLASILIK HESAPLAMA
3 ‹STAT‹ST‹K-I
G‹R‹fi
Olas›l›k kuram›, çeflitli sonuçlara iliflkin belirsizlikleri ölçmek için metotlar sa¤la-mas›n›n yan› s›ra, belirsiz bir durum alt›nda do¤ru ve sa¤l›kl› kararlar verebilmede yard›mc› olur.
Rastgelelik ve belirsizli¤i ça¤r›flt›ran “olas›l›k”, terim olarak hemen hemen her-kes taraf›ndan bilinen ve s›kça kullan›lan bir kavramd›r. Örne¤in; “Gelecek y›l ifl-sizlik oran› muhtemelen artacak”, “En az 900 biletin sat›lmas› beklenmektedir.” flek-lindeki ifadelere günlük hayat›m›zda s›kl›kla karfl›lafl›l›r. Öte yandan, “Suya at›lan bir demir parças›n›n suya batmas› olas›l›¤› yüksektir.” fleklindeki bir ifade do¤ru ol-mayacakt›r. Çünkü fizik kanunlar› do¤rultusunda, demirin yo¤unlu¤unun suyun yo¤unlu¤undan fazla olmas› nedeniyle demirin suya batt›¤› bilinmektedir. Bu, bir fizik kanunudur ve demirin suya batmas› kesindir. Bu tür olaylara kesin olaylar de-nir. Kesin olay›n aksine, “bir demir parças›n›n suya batmamas›” fleklinde bir olay ise imkans›z (olanaks›z) olay olarak adland›rmaktad›r.
Bir firma yetkilisi, piyasadaki bir ürünü hakk›nda tüketicilerinin be¤enisini araflt›rmak istemektedir. Bu amaçla, ürünü kullanan bir gruba ürünü be¤enisiyle il-gili bir soru sorar. Böyle bir deneyin sonuçlar›, “Tüketici ürünü be¤enmektedir.”,
“Tüketici ürünü be¤enmemektedir.” ve “Tüketicinin ürün hakk›nda hiç bir fikri yoktur.” fleklinde olabilir. Tüketicinin hangi cevab› verece¤i önceden bilinmez. Bafl-ka bir örnek olarak, bir paran›n at›lmas› deneyi ele al›ns›n. Bu deneyin sonuçlar›,
“yaz›” ya da “tura” fleklindedir. Ancak, hangi sonucun gelece¤i önceden bilinme-mektedir. Bir baflka ifade ile deney sonuçlar›n›n ortaya ç›kmas› rastgeledir ve sonu-cu önceden bilinmez. Bu deneyde “paran›n yaz› gelmesi “ fleklinde bir olay tan›m-land›¤›nda, bu bir rassal (rastgele) olaya örnektir. Böylece gerçekleflmesi rastgele olan ve sonucu önceden bilinmeyen olaylara rassal (rastgele) olay denmektedir.
Bu örneklerden yola ç›karak, karfl›lafl›lan olaylar›, kesin, imkans›z ve rassal ol-mak üzere üç grupta de¤erlendirmek uygun olacakt›r. Burada vurgulaol-mak gerekir ki, olas›l›k kuram›, rassal olaylarla ilgilenen bilim dal›d›r.
Bu bölümde, olas›l›kla ilgili temel kavramlar ve olas›l›k hesaplama kurallar› ve-rilerek, verilen konulara iliflkin çeflitli örnekler çözülecektir.