Üretim yapan bir fabrikada belli bir üründen rastgele 500 tanesi seçilmifl ve üretime iliflkin afla¤›daki sonuçlar elde edilmifltir

Olaylar ve Olas›l›klar›

2. Üretim yapan bir fabrikada belli bir üründen rastgele 500 tanesi seçilmifl ve üretime iliflkin afla¤›daki sonuçlar elde edilmifltir

Buna göre, rastgele seçilen ilk ürünün a) Kusurlu olmas› olas›l›¤› nedir?

b) Kusurlu veya kusursuz olmas› olas›l›¤› nedir?

3. ‹ki farkl› hilesiz para at›ls›n ve A ile B olaylar› afla¤›daki gibi tan›mlans›n:

A: Her iki paran›n üste gelen yüzünün yaz› olmas›, B: En az bir paran›n üste gelen yüzünün yaz› olmas›.

Buna göre, A∪B ve A∩B olaylar›n›n olas›l›klar›n› bulunuz.

P(AyşeveUmutseçilmesi) = 1 10

Sonuç Görülme Sıklığı

Kusursuz 450

SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE

AMAÇLARIMIZ

N N

K ‹ T A P

Kusurlu ve kusursuz üretimin görülme

SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE

AMAÇLARIMIZ

N N

K ‹ T A P

T E L E V ‹ Z Y O N

K ‹ T A P

T E L E V ‹ Z Y O N

‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T

Bir deneyin örnek noktalar›n› belirlemek.

Bir deneyin en temel sonucuna örnek nokta denmektedir. Örnek noktalar›n her biri basit olayd›r.

Bir deneyin örnek uzay›n› oluflturmak.

Rassal deney sonucu karfl›lafl›lmas› muhtemel tüm örnek noktalar›n oluflturdu¤u kümeye ör-nek (örör-neklem) uzaydenir.

Örnek uzayda basit ve bileflik olaylar› tan›mla-mak.

Örnek uzay›n›n her alt kümesine olay denmek-tedir. Yani olaylar örnek noktalardan oluflmakta-d›r. E¤er olay tek bir örnek noktadan olufluyorsa basit olay, birden çok örnek noktadan oluflu-yorsa bileflik olay ad›n› almaktad›r.

Olaylar üzerinde kesiflim ve birleflim ifllemlerini uygulamak.

Olaylar›n kesiflimi ve birleflimi olas›l›k hesapla-malar›nda oldukça önemlidir.

A ve B olaylar›n›n her ikisine birden ait olan ör-nek noktalar›n›n oluflturdu¤u kümeye A ile B’nin kesiflim (arakesit) kümesi denir. Bu küme A∩B ile gösterilir ve “A kesiflim B” diye okunur.

A veya B olaylar›ndan en az birine ait olan örnek noktalar›n›n oluflturdu¤u olaya A ile B’nin birle-flim kümesi denir. Bu küme A∪B ile gösterilir ve “ A birleflim B” diye okunur. A∪B birleflim kü-mesinde A’n›n, B’nin ya da her ikisinin örnek noktalar› bulunur.

Kombinasyon ve sayma kural› yard›m›yla örnek uzay›n eleman say›s›n› hesaplamak.

Kombinasyon

“n” farkl› eleman›n “k” elemanl› farkl› grup say›s›

fleklinde hesaplan›r.

Sayma Kural›

Sayma kural› “E¤er bir deneyde birden fazla afla-ma varsa bu deneydeki toplam sonuç say›s›, her bir aflamadaki sonuç say›lar›n›n çarp›m›na eflit-tir.” fleklinde ifade edilir. Örne¤in, bir deneyde ilk aflamada n₁, ikinci aflamada n₂ ve üçüncü

aflamada n₃tane sonuç olmak üzere üç aflama bulunuyorsa bu deneyin toplam sonuç say›s›, n₁.n₂.n₃tür.

Olas›l›k ölçüsünün özelliklerini tan›mlamak.

Bir rassal (rastgele) deneyin örnek uzay› S, örnek noktalar› E₁, E₂,..., E_n olmak üzere S= {E₁,...,E_n} ve A da bir olay olsun. E_iörnek noktas›n›n olas›-l›¤› P (E_i) ve A olay›n›n olas›l›¤› P (A) ile gösteril-sin. Olas›l›k ölçüsü afla¤›da (i), (ii) ve (iii) de ve-rilen özellikleri sa¤lar.

(i) Bir olay›n olas›l›¤› her zaman 0 ile 1 aras›n-dad›r:

0 ≤ P (E_i) ≤1 ve 0 ≤P (A) ≤1

(ii) Bir deneyde tüm örnek noktalar›n olas›l›kla-r› toplam› 1’dir:

P (E₁) +...+ P(E_n) = 1 (iii) P (S) = 1

Verilen tan›mlar› kullanarak bir olay›n olas›-l›¤›n› hesaplamak.

Bir A olay›n›n olas›l›¤›, A içindeki bütün örnek noktalar›n olas›l›klar› toplam›na eflittir:

Genel olarak bir A olay›n›n olas›l›¤› hesaplan›r-ken izlenecek ad›mlar afla¤›daki gibi s›ralanabilir:

1. Deneyi tan›mla.

2. Deneyin örnek noktalar›n› listele.

3. Örnek noktalar›n olas›l›klar›n› belirle.

4. A olay›n›n içindeki bütün örnek noktalar›

belirle.

5. A olay› içindeki bütün örnek noktalar›n ola-s›l›klar›n› topla.

1. Hilesiz bir paran›n üç kez at›lmas› deneyinde A ola-y› “en az bir tura gelmesi” fleklinde tan›mland›¤›nda, A olay›n›n tümleyeni hangi örnek noktalar›ndan oluflur?

a. YYY

b. YYT, TYY, YTY c. YTT, TYT, TTY d. YTT, TYT, TTY,YYY e. YYT, TYY, YTY, YYY

2. Belli bir marka araba sat›n almak isteyen bir müflte-rinin, befl farkl› renk seçeneklerinden birini, iki vites se-çeneklerinden birini tercih etmesi gerekmektedir. Bu durumda müflteri kaç farkl› seçim yapabilir?

a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 10

3.Bir giriflimci, 10 yeni sektörden 3 tanesine yat›r›m yapmak istemektedir. Giriflimci kaç farkl› seçim yapabi-lecektir?

Yukar›dakilerden hangisi ya da hangileri olas›l›k de¤e-ri olamaz?

5. Hilesiz bir paran›n üç kez at›lmas› deneyinde A ola-y› “en çok bir tura gelmesi” fleklinde tan›mland›¤›nda, A olay›n›n olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 1/8 b. 4/8 c. 5/8 d. 6/8 e. 1

6. Asitli içecek üreten bir firma, dört farkl› flifle tasar›m›

üzerinde çal›flm›fl ve 500 tüketicisine tercih etti¤i tasar›-m› sormufltur. Elde etti¤i sonuçlar afla¤›daki tabloda gösterilmifltir.

Yeni bir müflterinin D tasar›m›na sahip flifleyi seçmesi olas›l›¤› nedir?

7. S bir deneyin örnek uzay› ve A ile B olaylar› venn flemas› fleklinde afla¤›da verilmifltir.

P (1)= P(2)= 2/10; P (3)= 1/10 P (4)= 5/10 fleklinde verildi¤inde, P ( A_

∩ B) olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangidir?

a. 1/10

fiifle tasar›m› Görülme S›kl›¤›

A 50

8. Bir fabrikan›n bir günlük kusurlu üretim say›lar› ve onlara iliflkin göreli s›kl›k olas›l›klar› afla¤›daki tabloda verilmifltir. Buna göre, bir günde ikiden (2’i hariç) az kusurlu ürün ç›kmas› olas›l›¤› nedir?

a. 0.30 b. 0.50 c. 0.45 d. 0.75 e. 0.80

9. Bir ö¤rencinin Muhasebe dersinden geçme olas›l›¤›

0.75 ise bu ö¤rencinin Muhasebe dersinden kalma ola-s›l›¤› nedir?

a. 0.05 b. 0.25 c. 0.50 d. 0.75 e. 1

10.Çoktan seçmeli bir test s›nav›nda sorular için dört seçenek bulunmaktad›r. Herhangi bir sorunun cevab›

rassal olarak iflaretlenecek olursa, cevab›n yanl›fl olma-s› olaolma-s›l›¤› nedir?

a. 0.05 b. 0.25 c. 0.50 d. 0.75 e. 1

Bir otomobil sigorta flirketi, belli bir il için otomobil si-gorta primi hesaplan›rken sürücünün yafl faktörünün de etkisi oldu¤unu öne sürmektedir. Bu amaçla, bu il-de son on y›lda gerçekleflen otomobil kaza say›lar› bil-gisine ulafl›r. Bu bilgiler yard›m›yla kazalar›n yafllara göre da¤›l›m›n› ele al›r. Bu bilgilere dayal› olarak top-lam kazalar içinde genç sürücü olarak nitelendirdi¤i 18-28 yafl grubunun oran›n›n yüksek oldu¤unu bulur. Do-lay›s›yla genç bir sürücünün kaza yapma olas›l›¤›n›n yüksek olabilece¤i sonucuna ulafl›l›r. Bu sonuç, sigorta flirketi taraf›ndan de¤erlendirilir. Böylece, flirket, oto-mobil sigorta primi hesaplan›rken yafl faktörünün etki-si de hesaba kat›labilece¤i sonucuna ulaflabilir.

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›

1. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Deney, Örnek Nokta ve Örnek Uzay” ve “Olaylar Üzerinde ‹fllemler”

konular›n› yeniden gözden geçiriniz.

2. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Deney, Örnek Nokta ve Örnek Uzay” ve “Faktöriyel, Kombinasyon ve Sayma Kural›” konular›n› yeniden gözden geçiriniz.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Faktöriyel, Kombinasyon ve Sayma Kural›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

4. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Olas›l›k Hesaplama”