Verilerin analizinde içerik analizi kullanılmıştır. İçerik analizi Cohen, Manion ve Marrison (2005) tarafından eldeki yazılı bilgilerin temel içeriklerinin ve içerdikleri mesajların özetlenmesi ve belirtilmesi işlemi olarak tanımlanmaktadır. Büyüköztürk ve diğerleri (2013) içerik analizinin çalışma metni veya metinlerinden oluşan bir kümenin içindeki belli kelimelerin veya kavramların varlığını belirlemeye yönelik yapıldığını belirtmektedirler. Yıldırım ve Şimşek (2013) içerik analizinde temelde yapılan işlemin birbirine benzeyen verileri belirli kavramlar ve temalar çerçevesinde bir araya getirmek ve bunları okuyucunun anlayabileceği bir biçimde düzenleyerek yorumlamak olduğunu ifade etmektedirler.
Öğretmen adaylarının model kullanımı konusundaki AB’lerini ortaya çıkarmak amacı ile görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Bu görüşmelerin video kayıtları birebir yazıya aktarılarak incelenmiştir. Alan bilgisi görüşme formunun verileri formda yer alan sorulara
göre öğretmen adaylarının verilen kesirleri model ile göstermelerine yönelik AB’leri, kesirlerin denkliğini model ile göstermelerine yönelik AB’leri, kesirlerle çarpma işleminde model kullanımına yönelik AB’leri ve kesirlerle bölme işleminde model kullanımına yönelik AB’leri kategorileri altında ayrı ayrı incelenmiştir. Her bir kategori öğretmen adaylarının sırasıyla alan modeli, küme modeli ve uzunluk modelini nasıl kullandıklarını ayrıntılı olarak açıklayan alt kategorilere ayrılmıştır. Öğretmen adaylarının oluşturdukları modeller ve modelleri oluştururken neye dikkat ettikleri ayrıntılı olarak incelenerek her bir kategori altında öğretmen adaylarının alan modeli, küme modeli ve uzunluk modeline dair AB’lerini yansıtan şekillerden yararlanılmıştır. Öğretmen adaylarının alan bilgisi görüşme formlarında oluşturdukları temsiller ve görüşme verilerinden doğrudan alıntılar yapılmıştır. Öğretmen adaylarının kesirlerde model kullanımına yönelik AB’lerini yansıtan tablolar öğretmen adaylarından AB görüşme formu aracılığıyla elde edilen veriler doğrultusunda oluşturulduğu için içerik analizinden faydalanılmıştır. Ayrıca alan bilgisi görüşme formundan elde edilen veriler bir uzman tarafından da analiz edilerek tutarlık sağlanmaya çalışılmıştır. Öğretmen adaylarının alan bilgisi görüşme formundan elde edilen verilerin analizi sonucu elde edilen kodlar Tablo 3.2, Tablo 3.3, Tablo 3.4 ve Tablo 3.5’te yer almıştır. Tablo 3.2
Öğretmen Adaylarının Verilen Kesirleri Model ile Göstermelerine Yönelik AB’lerine İlişkin Oluşturulan Kodlar
Kategoriler Kodlar
Alan modeli Kesrin paydasının eş parçaların tamamı olduğunu bilme, kesrin payının eş parçalardan alınacak kısmın olduğunu bilme
Küme modeli
Kesrin paydası kadar nesne grubu oluşturma ve bu nesne gruplarından pay kadar nesne grubunu seçme
Bir bütündeki nesne sayısını belirlerken ve istenilen kesri temsil ederken oran-orantı kullanma
Uzunluk modeli Cuisenaire çubukları ile kesrin payı kadar uzunluğu uç uca ekleme
İki sayı arasını kesrin paydası kadar eş parçaya ayırma ve edilen uzunluğu kesrin payı kadar yineleme
Tablo 3.3
Öğretmen Adaylarının Kesirlerin Denkliğini Model ile Göstermelerine Yönelik AB’lerine İlişkin Oluşturulan Kodlar
Kategoriler Kodlar
Alan modeli İki kesrin temsili sonucu oluşan taralı alanların aynı yere denk geliyor olması
Küme modeli İki kesre göre gruplanabilmesi için paydaların EKOK’ları kadar sayma nesnesi alma, bu nesneleri kesirlerin paydalarına göre eş gruplara ayırıp, pay kadar grubu seçme, İki durumdaki nesne sayılarını karşılaştırma
Uzunluk modeli
İki sayı arasını kesrin paydası kadar eş parçaya ayırma ve edilen uzunluğu kesrin payı kadar yineleme, oluşan uzunlukları ikinci kesrin payına göre de eş parçalara ayırma, pay kadar yineleme, sayı doğrusu üzerinde aynı yere denk geliyor olmalarına dikkat etme
Denk kesirleri elde etmek için genişletme işlemi yapma
Tablo 3.4
Öğretmen Adaylarının Kesirlerle Çarpma İşlemini Model ile Göstermelerine Yönelik AB’lerine İlişkin Oluşturulan Kodlar
Kategoriler Kodlar
Alan modeli
Kesrin paydasının eş parçaların tamamı olduğunu bilme, kesrin payının eş parçalardan alınacak kısmın olduğunu bilme, seçilen parçanın yeni bütün olduğunu bilme, ikinci kesrin paydası kadar eş parçalara ayırma ve payı kadar alma, sonucu yorumlarken baştaki bütünü dikkate alma
Doğal sayı ile kesrin çarpımında kesri temsil etme ve eş parçalar olmasından hareketle parçaları bir araya getirerek bütüne tamamlamaya çalışma
Küme modeli
Payda kadar grup oluşturma ve pay kadarını alma/seçme, seçilen parçanın yeni bütün olduğunu bilme, tekrar oluşturduğu gruplar içinde 2. kesri oluşturabilecek şekilde nesne seçme, elde edilen nesne sayısının toplam nesne sayısına oranını çarpma işleminin sonucu olarak ifade etme
Doğal sayı ile kesrin çarpımında doğal sayı kadar nesneyi kesrin paydası kadar eş gruba ayırma ve pay kadar grubu seçme
Uzunluk modeli
Doğal sayı ile kesrin çarpımında; sayı doğrusu üzerinde iki sayı arasını kesrin paydası kadar eş aralığa ayırma, kesrin payı kadar uzunluğu doğal sayı adedince yineleme Kesrin paydası kadar eş parçalama yapma, elde edilen uzunlukları pay kadar yineleme, elde edilen parçaları yeni bütün olarak alıp ikinci kesrin paydası kadar uzunluk içerisinden pay kadar uzunluğu seçme, sonucu ilk bütüne göre yorumlama
Tablo 3.5
Öğretmen Adaylarının Kesirlerle Bölme İşlemini Model ile Göstermelerine Yönelik AB’lerine İlişkin Oluşturulan Kodlar
Kategoriler Kodlar
Alan modeli
Kesrin paydasının eş parçaların tamamı olduğunu bilme, kesrin payının eş parçalardan alınacak kısmın olduğunu bilme, seçilen parçanın içinde ikinci kesirden kaç tane olduğunu bulma
Doğal sayının kesre bölümünde doğal sayı kadar bütünü kesrin paydası kadar parçaya ayırma, pay kadarlık kaç parça olduğunu sayma
Küme modeli Payda kadar grup oluşturma ve pay kadarını alma/seçme, tekrar oluşturduğu gruplar içinde 2. kesir kadar kaç nesne grubu olduğunu belirleme
Uzunluk modeli
Doğal sayıyı kesrin paydası kadar eş parçaya ayırma, pay kadar uzunluğun kaç kere uç uca eklenerek doğal sayıya ulaşılabileceğini ölçme
İki kesrin bölümünde kesirleri ortak payda haline getirerek işlemi doğal sayılarda bölme işlemi haline getirme, bölen kadar uzunluklar ile bölünen uzunluğu ölçme
Ders gözlemlerine ilişkin gözlem verileri analiz edilirken, elde edilen yazılı veriler ayrıntılı olarak incelenmiş ve PAB bileşenlerine ilişkin çerçeve göz önüne alınarak derslerdeki ilgili kesitler belirlenmiştir. Gözlem verileri “öğrenci bilgisi” ve “matematiksel temsiller bilgisi” bileşenlerine göre ayrı ayrı analiz edilmiştir. Öğrenci bilgisi Shulman’ın (1986) PAB tanımı, Kovarik’in (2008) PAB çerçevesi dikkate alınarak “öğrenci ön bilgisi”, “öğrenci zorlukları”, “öğrenci hataları/kavram yanılgıları”, “anlamanın değerlendirilmesi” ve öğrenci düşüncesini anlamanın, öğrencilere düşüncelerini açıklama imkanı vermenin öneminden hareketle “öğrenci düşüncesine odaklanma” alt kategorileri altında değerlendirilmiştir. Öğretmen adaylarının öğrenci bilgilerini değerlendirmek için literatürden faydalanarak (An ve diğ., 2004; Gökkurt, 2014; Özaltun, 2014) bazı kriterler belirlenmiş ve bazı kriteler de araştırmacı tarafından oluşturulmuştur. Öğrenci hataları/kavram yanılgılarında yer alan kriterler belirlendikten sonra aynı kriterler öğrenci zorlukları için oluşturulmuştur. Belirlenen kriterler Tablo 3.6’da yer almıştır.
Tablo 3.6
Öğremen Adaylarının Öğrenci Bilgisini İncelemek için Oluşturulmuş Kriterler
Alt Bileşenler Kriterler
Öğrenci ön bilgisi
Öğrencilerin konu ile ilgili ön bilgilerini belirleme Öğrencilerin ön bilgilerini ortaya çıkaracak sorular sorma Ön bilgi ile yeni bilgi arasında bağlantı kurma
Öğrenci hataları/kavram yanılgıları
Dersi planlarken öğrencilerin sahip olabileceği kavram yanılgıları ve hataları göz önünde bulundurma
Ders esnasında öğrencilerin sahip olduğu hata ve kavram yanılgılarını fark edebilme
Öğrencilerin sahip olduğu hata ve kavram yanılgılarının nedenlerini belirleme Öğrencilerin sahip olduğu hata ve kavram yanılgılarını ortadan kaldırmak için çözümler üretme
Öğrencilerin sahip olduğu hata ve kavram yanılgılarını ortaya çıkaracak uygun sorular sorma
Öğrenci zorlukları
Dersi planlarken öğrencilerin zorlanabileceği hususları göz önünde bulundurma Ders esnasında öğrencilerin zorlandıkları noktaları fark edebilme
Öğrenci zorluklarını ortadan kaldırmak için çözüm üretme Öğrenci zorluklarının nedenlerini belirleme
Öğrencilerin zorlandıkları noktaları ortaya çıkaracak uygun sorular sorma
Anlamanın değerlendirilmesi
Öğrencilerin ön bilgilerini değerlendirme/ölçme
Öğrencilerin konuyu anlayıp anlamadıklarını değerlendirme
Öğrencilerin sahip olduğu hata/kavram yanılgılarını sınıf içi diyaloglardan ve öğrencinin yazılı dokümanlarından tespit etme
Öğrencilerin sahip olduğu hata/kavram yanılgılarının farkına varmalarını sağlayacak şekilde dönüt ve düzeltmeler yapma
Öğrenci düşüncesine odaklanma
Öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmak için soru sorma Öğrencilere düşüncelerini açıklama imkânı tanıma
Öğrencinin oluşturduğu modeli anlama ve açıklama Öğrencileri farklı modeller oluşturmaya teşvik etme
Gözlemlenen derslerde öğrenci bilgisi kategorisi ile ilgili öğretmen adaylarından elde edilen veriler belirlenen kriterler doğrultusunda her öğretmen adayı için ayrı ayrı ele alınmıştır. Öğretmen adaylarının hazırlamış oldukları ders planları ve ders notları da öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımlarına yönelik PAB’larını ortaya çıkarmak amacı ile analiz edilmiştir. Bu veriler de “öğrenci bilgisi” ve “matematiksel temsiller bilgisi” bileşenlerine göre ayrı ayrı analiz edilerek oluşturulan kategoriler içerisine dahil edilmiştir. Ayrıntılı betimlemeler yaparak, ders planlarından, ders notlarından ve de gözlem verilerinden doğrudan alıntılar yaparak veriler örneklendirilmiştir.
Ayrıca bir öğretmen adayının öğrencilere vermiş olduğu çalışma kağıtlarının incelenmesine yönelik öğretmen adayı ile bir görüşme gerçekleştirilmiştir. Bu görüşmelerden öğretmen adayının “öğrenci bilgisi” ve “matematiksel temsiller bilgisi”ne yönelik veriler elde edilmiş ve analize dahil edilmiştir. Öğretmen adaylarından öğrenci bilgisine yönelik elde edilen veriler belirlenen kriterler bağlamında ele alınmış, her bir kriter altındaki tepkileri belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının matematiksel temsiller bilgisi tablolar yardımı ile özetlenmiştir. Bu tablolar derslerden elde edilen gözlem verileri, öğrenci çalışma kağıtları üzerine yapılan görüşmeler ve ders notlarından elde edilen veriler yardımıyla oluşturulmuştur. Öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma işleminde matematiksel temsiller bilgisi öğretmen adaylarının derste modelleri hangi amaçla kullandıklarına bağlı olarak önce “çarpma işlemi yapmanın bir yolu olarak model kullanımı” ve “çarpma algoritmasını keşfettirmek amaçlı model kullanımı” olarak kategorilendirilmiştir. Öğretmen adayı verilen problemlerin çözümünün model yardımı ile bulunmasının ardından öğrencilerden bir de algoritma ile sonucun bulunmasını istiyor ve algoritma ile model arasında bir bağlantı kurmaya çalışmıyorsa “çarpma işlemi yapmanın bir yolu olarak model kullanımı” kategorisinde yer almıştır. Ardından öğretmen adaylarının derslerinde, ders planlarında ve ders notlarında yer verdikleri problemlere bağlı olarak “doğal sayı ile kesrin çarpımı” ve “iki kesrin çarpımı” alt kategorilerine ayrılmış ve problemlerin çözümünde yer verdikleri modellere göre bu kategorilerde alan modeli, küme modeli ve uzunluk modelinin kullanımı ayrı ayrı analiz edilmiştir. Kesirlerle bölme işleminde matematiksel temsiller bilgisi de yine öğretmen adaylarının derslerinde model kullanma amaçlarına bağlı olarak “bölme işlemi yapmanın bir yolu olarak model kullanımı” ve “ters çevir-çarp algoritmasını keşfettirmek amaçlı model kullanımı” olarak kategorilendirilmiştir. Öğretmen adayı verilen problemlerin çözümünün model yardımı ile bulunmasının ardından öğrencilerden ters çevir-çarp algoritması kullanarak da çözümün yapılmasını istiyorsa ve algoritma ile model arasında bir
bağlantı kurmaya çalışmıyorsa “bölme işlemi yapmanın bir yolu olarak model kullanımı” kategorisi içerisinde yer almıştır. Oluşturulan kategoriler öğretmen adaylarının derslerinde, ders planlarında ve ders notlarında yer verdikleri problemlere bağlı olarak “doğal sayının kesre bölümünde”, “kesrin doğal sayıya bölümünde”, “iki kesrin bölümünde” olmak üzere alt kategorilere ayrılmış ve bu kategorilerde alan modeli kullanımları ayrı ayrı analiz edilmiştir.
Son aşamada öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik AB’lerini öğretimlerine nasıl yansıttıklarını incelemek amaçlanmıştır. Bu amaçla alan bilgisi görüşme formuna verilen yanıtlar ve gözlem verileri birlikte kullanılmıştır. Veriler ”kesirlerle çarpma işleminde model kullanımına yönelik AB’sinin öğretime yansıması” ve “kesirlerle bölme işleminde model kullanımına yönelik AB’sinin öğretime yansıması” olarak iki ayrı başlık altında analiz edilmiştir. Her bir öğretmen adayının AB’sini öğretimine nasıl yansıttığı kesirlerle çarpma ve bölme işlemleri bağlamında ayrı ayrı incelenmiştir.