Kesirler İlkokul ve Ortaokul Matematik Öğretim Programı’nın hem en zengin ve karmaşık konularından birisi hem de günlük hayatta geniş kullanımı olan bir konudur (Alacaci, 2014). Müfredata bakıldığı zaman 1. sınıftan 8. sınıfa kadar tüm sınıf seviyelerinde kesirlere yönelik kazanımlara yer verildiği görülmektedir (MEB, 2013, 2015).
Kesirler diğer matematik öğrenme alanları ile olan ilişkisinden dolayı önemli bir konu olarak karşımıza çıkmaktadır. Kesirlerin şu öğrenme alanları ile bağlantısı vardır: (1) Cebirsel düşünme: Kesirler, cebirin bir parçasıdır. Değişken içeren denklemler sıklıkla kesirleri içerir veya kesirler kullanılarak çözülebilir. (2) Kesir hesaplaması: Kesirlere yönelik kavramsal bir anlayış olmadan kesirlerde hesaplama, sebepleri olmayan kurallara indirgenmiş olur. (3) Ondalık ve yüzdeler: Ondalık ve yüzde notasyonları sadece kesirlerin iki farklı gösterimidir. Bu üç gösterim arasında bağlantı kurularak yeni fikirler öğrenme yükü önemli ölçüde azaltılabilir. (4) Oran ve orantı: Bir kesrin parça-bütün kavramı sadece bir çeşit orandır. Ayrıca kesir notasyonu parça-parça oranları için de kullanılabilir (Van de Walle ve diğ., 2013). Ayrıca kesirler sıklıkla ölçme ve olasılıkta da kullanılır. Kesir hesaplamalarını anlamak da aynı şekilde cebirsel düşünme, ondalık gösterimler ve yüzdeler, orantısal akıl yürütme ve ölçme ile ilişkilidir (Van de Walle ve diğ., 2013).
Kesirler parça-bütün anlamı dışında ölçme, bölme, işlemci ve oran anlamlarına da sahiptir. Sinicrope, Mick ve Kolb (2002) problem ortamına göre bu anlamların kullanılabildiğini ifade etmiştir. Bu anlam çeşitliliği kesirlerin öğrenilmesini güçleştiren bir neden olarak görülmektedir (Toluk, 2002). Kesirleri anlamak için kesirlerin temsil ettiği mümkün olan bütün kavramları anlamak (Toluk, 2002; Van de Walle ve diğ, 2013) ve sonra da bu anlamları birbiriyle kaynaştırmak gerekmektedir (Toluk, 2002). Kesirlerin parça- bütün anlamı dışında ölçme, bölme, işlemci ve oran anlamlarının da bilinmesi ortaya çıkabilecek kavram yanılgılarını önlemek adına önemlidir (Alacaci, 2014).
Kesirlerin genellikle kullanılan ve diğerlerine oranla anlaşılması daha kolay olan anlamı parça-bütün anlamıdır. Parça-bütün anlamı genellikle "bütünün ne kadarı" sorusuna cevap vermek için kullanılmakta olup (Alacaci, 2014) diğer dört anlam için de temel teşkil etmektedir (Behr ve diğ., 1983; Charalambous ve Pitta-Pantazi, 2005). Ölçme anlamı, bir uzunluğu referans alarak verilen başka bir uzunluk için alınan referanstan yola çıkarak uzunluğu hesaplama anlamına gelir (Van de Walle ve diğ., 2013) ve tamsayılarla "ne kadar" sorusuna cevap verilemediği durumlarda kullanımı mevcuttur (Alacaci, 2014). Kesirlerin bölüm anlamı daha çok paylaşma durumlarında kullanılır; verilen belirli sayıdaki şeylerin belirli sayıda kişi ya da şeylere paylaştırılması söz konusudur. Bu anlamda parça-bütün anlamından farklı olarak farklı çeşit çokluklardan bahsetmek mümkündür (Alacaci, 2014). Oran anlamında ise aynı parçadan gelen iki şeyin oranından söz edilebilir. Fakat oranı verilen parçaların bütünü oluşturmak gibi bir zorunlulukları bulunmamaktadır. Kesirlerin işlemci anlamında bir miktarın belirli bir oranda büyütülmesi ya da küçültülmesinden bahsedilebilir (Alacaci, 2014). Kesir anlamlarının önemli kesir kavramları ile ilişkisini gösteren Behr ve diğerlerinin (1983) modeli Şekil 2.15’te yer almıştır.
Şekil 2.15. Kesir anlamlarının önemli kesir kavramları ile ilişkisini gösteren Behr ve
diğerlerinin (1983) modeli (akt. Charalambous ve Pitta-Pantazi, 2005, s. 234).
Şekil 2.15’teki diyagram kesirlerde parça-bütün anlamının diğer dört anlam için temel teşkil ettiğini göstermektedir. Aynı zamanda bu diyagramdan denk kesir kavramının oran yorumu ile kolay anlaşılabileceği, işlemci ve bölüm anlamlarının sırasıyla kesirlerle çarpma ve toplama işlemlerinin anlaşılmasında yardımcı olarak görülebileceği, kesir
Parça-bütün / parçalara ayırma
Oran İşlemci Bölüm Ölçme
problemlerinin çözümü için beş bileşenin hepsinin anlaşılmasının bir ön koşul olarak kabul edilebileceği sonuçları elde edilmektedir (Charalambous ve Pitta-Pantazi, 2005).
2.1.2.1. Doğal sayıların kesirlere aşırı genellenmesi. Öğrenciler yeni bir kavram
öğrenirken yeni bilgilerini eski bilgileri üzerine inşa ederler. Daha önce doğal sayıları öğrenen öğrenciler kesirli ifadeler karşılarına çıktığı zaman doğal sayılarda öğrendiklerini uygularlar. Bu durum öğrencilerin öğrenmelerini desteklediği gibi engelleyebilmektedir de. Bu nedenle öğretmenlerin kesirlerin doğal sayılarla benzer olan ve farklı olan yönlerini göstermeleri önem taşımaktadır (Van de Walle ve diğ., 2013).
Doğal sayıların yaygın olarak kesirlere aşırı veya yanlış genellenme biçimleri aşağıda özetlenmiştir:
• Öğrenciler tarafından pay ve paydanın ayrı değerler olduğu düşünülmektedir (Van de Walle ve diğ., 2013). Stafylidou ve Vosniadou (2004) tarafından yapılan çalışma sonucunda da bu durumu destekleyecek nitelikte bulgular elde edilmiştir. Sayı doğrusu veya cetvel üzerinde kesir değerlerine yer verilmesi, öğrencilerin bu kavramı geliştirmelerine yardım edebilir (Van de Walle ve diğ., 2013).
• Pay ve paydayı ayrı sayılar olarak düşünen öğrenciler 2
3 kesrini ifade eden üç eş
parçadan iki eş parçanın birbirine eş parçalar değil de herhangi iki parça olduğunu düşünebilmektedirler (Van de Walle ve diğ., 2013).
• Öğrenciler kesirlerle hesaplamada doğal sayılardaki işlem kurallarını kullanmaktadırlar (Van de Walle ve diğ., 2013). Soylu ve Soylu (2005) tarafından yapılan çalışmada öğrencilerin kesirlerle toplama işlemini yaparken pay ve paydayı ayrı ayrı toplayarak sonuca ulaştıkları görülmüştür.
• Birçok öğrencinin kesirlerde sonucun çarpılandan daha küçük çıkabiliyor olmasını anlayamadığı (Haser ve Ubuz, 2003), verilen iki kesirden hangisinin büyük olduğunu belirlerken rakamları büyük olan kesirleri seçtikleri (Stavy ve Tirosh, 2000), verilen
kesirlerin sıralanması istendiğinde öğrenciler tarafından sadece payda dikkate alınarak sıralama yapıldığı (Mcleod ve Newmarch, 2006) görülmüştür.
• Bölme sadece "böleni ters-çevir bölünenle çarp" kuralı ile verildiğinde bölümün bölünenden büyük olma durumu birçok öğrenci için anlaşılması zor bir durum olarak ortaya çıkmaktadır (Ma, 1999).
2.1.2.2. Kesirlerde model kullanımı. Niss (1987) tarafından model kavramı gerçek
yaşam durumlarını temsil etmek amacıyla kullanılan matematiksel kavramlar ve bu matematiksel kavramlar arasındaki ilişkilerden oluşan bir sistem olarak tanımlanmaktadır. Model, modelleme sonucu ortaya çıkan bir ürün (Sağırlı-Özturan, 2010) ve karmaşık nesne ya da süreçlerin basitleştirilmiş bir gösterimi (Harrison, 2001) olup bir sürecin nasıl meydana geldiği ya da bir nesnenin nasıl oluştuğunu anlamamızda yardımcı olmaktadır (Harrison, 2001). Bender (1978'den akt. Akgün, Çiltaş, Deniz, Çiftçi ve Işık, 2013) matematiksel modeli "belirli bir amaç için oluşturulmuş ve gerçeğin bir parçasıyla ilişkisi bulunan soyut, basitleştirilmiş bir yapı" olarak ifade etmiştir. Aynı zamanda model kavramı Van de Walle ve diğerleri (2013) tarafından kavramı temsil etmede kullanılan resim, çizim veya nesne olarak tanımlanmaktadır. Çalışmada Van de Walle ve diğerleri (2013) tarafından yapılan model tanımının matematiği modelleme anlamında uygun olduğu düşünülerek modelin burada soyut bir kavramı somutlaştırma amacına hizmet ettiği düşünülmektedir.
Johnson (1998) bir sayının matematiksel modelinin bir bağlamda sayının temsili olduğunu ve modelin somut nesneler, sözlü hikâyeler, bir resim veya bir sembolden oluşabileceğini ifade etmektedir. Somut model, bir sayıyı temsil edecek şekilde düzenlenebilen manipülatiflerden oluşmaktadır. Örneğin, 12 kalem setinden beş tanesi kırmızı, yedi tanesi mavidir. Kırmızı kalemlerin seti bu kalem setinin 5
12’idir. Sözel modelde
de somut modele benzer şekilde kümeyi tanımlamak için kelimeler kullanılmaktadır. Bu modelde manipülatifler ve resimler yoktur. Resimsel model, ölçülebilecek birim miktarını
gösteren taslak, resim veya bir çizimi içermektedir. Örneğin, bir dikdörtgen çizilir, bu dikdörtgen eş 12 parçaya ayrılır ve bu parçalardan beş tanesi taranırsa taralı kısım
dikdörtgenin 5
12’ini ifade etmektedir. Sembolik model de 𝑎
𝑏 formundadır. Örneğin 5 12, 12
parçadan oluşan bir birimden beş parça anlamına gelmektedir.
Behr ve diğerleri (1983) alan modeli, küme modeli ve uzunluk modelinin kesirleri temsil etmede yaygın olarak kullanıldığını ifade etmektedirler. Bu çalışmada, model terimi öğretmen adaylarının kesirleri temsil etmek, kesirlerin denkliğini temsil etmek, kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerini temsil etmek için oluşturdukları çizimler (alan modeli, küme modeli ve uzunluk modeli) olarak alınmıştır.
Öğretim teknolojilerindeki gelişmelerle birlikte matematik öğretiminde model kullanımı daha ulaşılabilir hale gelmiştir. Bunun sonucu olarak da birçok ülke müfredatlarında model kullanımına daha fazla yer vermeye başlamışlardır (Blum ve Ferri, 2009). Model kullanımı matematiksel kavramların anlamlı şekilde öğrenilmesi, motivasyonu arttırması, bilgileri zihinde tutmayı kolaylaştırması, öğrencilerin matematiğe karşı olumlu tutum ve davranış geliştirmelerini sağlaması ve günlük yaşam ile matematik arasında bağlantı kurulmasını sağlaması bakımından önemlidir (Blum, 1993; Blum ve Ferri, 2009; Zbiek, 1998). Aynı zamanda model kullanımının iletişim becerilerini geliştirdiği, matematiksel dilin etkin şekilde kullanımı sağladığı ifade edilmektedir (Bayazit ve diğ., 2011). Öğrencilere sembolik biçimde verildiğinde anlaşılması güç görünen fikirler, uygun bir biçimde model kullanılarak açık hale gelebilir (Van de Walle ve diğ., 2013).
Kocaoğlu'na (2010) göre doğal sayılarla ilgili işlemlerin ve problemlerin çözümünde modellerden yararlanıldığı kadar kesirlerle ilgili işlemlerin çözümünde de modellerden yararlanılmalıdır. Soruya ilişkin kullanılan modeller, soruyu somutlaştırıp, anlamayı kolaylaştırarak doğru çözümün yapılmasına olanak sağlamaktadır. Henüz somut işlemler döneminde olan 1-4. Sınıf öğrencileri için kesirlere girişte bir takım modellerin kullanılması,
kesirleri somut hale getirdiğinden dolayı kesir kavramının daha kolay öğrenilmesine ve öğrencilerin kesirlerde ilgili işlemleri daha kolay yapmalarına yardımcı olmaktadır (Biber ve diğ., 2013)